Якщо події H 1 , H 2 , … H n утворюють повну групу, то для обчислення ймовірності довільної події можна використовувати формулу повної ймовірності:
P(А) = P(A/H 1)·P(H 1)+P(A/H 2)·P(H 2)
Відповідно до якої ймовірність настання події А може бути представлена як сума творів умовних ймовірностей події А за умови настання подій H i на безумовні ймовірності цих подій H i . Ці події H i називають гіпотезами.
З формули повної ймовірності випливає формула Байєса:
Імовірності P(H i) гіпотез H i називають апріорними ймовірностями - ймовірністю до проведення дослідів.
Імовірності P(A/H i) називають апостеріорними ймовірностями - ймовірності гіпотез H i уточнених в результаті досвіду.
Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для обчислення повної ймовірності оформлення всього ходу рішення у форматі Word (див. приклади вирішення завдань).
Приклад №1. Магазин отримує електролампочки із двох заводів, причому частка першого заводу становить 25%. Відомо, що частка шлюбу на цих заводах дорівнює відповідно 5% і 10% від усієї продукції. Продавець навмання бере одну лампочку. Яка ймовірність того, що вона виявиться бракованою?
Рішення:Позначимо через А подію – «лампочка виявиться бракованою». Можливі наступні гіпотези про походження цієї лампочки: H 1– «лампочка надійшла з першого заводу». H 2- «Лампочка надійшла з другого заводу». Оскільки частка першого заводу становить 25 %, то ймовірність цих гіпотез дорівнює відповідно 
; 
.
Умовна ймовірність того, що бракована лампочка випущена першим заводом – 
, другим заводом - p(A/H 2)=
ймовірність того, що продавець взяв браковану лампочку, знаходимо за формулою повної ймовірності
0,25 · 0,05 +0,75 · 0,10 = 0,0125 +0,075 = 0.0875
Відповідь: р(А)= 0,0875.
Приклад №2. Магазин отримав дві рівні за кількістю партії однойменного товару. Відомо що, 25% першої партії та 40% другої партії становить товар першого сорту. Яка ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде не першого сорту?
Рішення:
Позначимо через А подію - "товар виявиться першого сорту". Можливі такі гіпотези про походження цього товару: H 1- "Товар з першої партії". H 2- "Товар з другої партії". Оскільки частка першої партії становить 25%, то ймовірності цих гіпотез рівні відповідно ; 
.
Умовна ймовірність того, що товар із першої партії – 
, з другої партії - 
шукаю ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде першого сорту
р(А) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2)·(A/H 2)= 0,25 · 0,5 +0,4 · 0,5 = 0,125 +0,2 = 0.325
Тоді, ймовірність того, що навмання обрана одиниця товару буде не першого сорту дорівнюватиме: 1- 0.325 = 0,675
Відповідь:
.
Приклад №3. Відомо, що 5% чоловіків та 1% жінок – дальтоніки. Навмання обрана людина виявилася не дальтоніком. Яка ймовірність, що це чоловік (вважати, що чоловіки та жінки порівну).
Рішення.
Подія A - навмання обрана людина виявилася не дальтоніком.
Знайдемо ймовірність появи цієї події.
P(A) = P(A|H=чоловік) + P(A|H=жінка) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
Тоді ймовірність, що це чоловік становитиме: p = P(A|H=чоловік) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897
Приклад №4. У спортивній олімпіаді беруть участь 4 студенти з першого курсу, з другого – 6, з третьої – 5. Імовірність того, що студент з першого, другого, третього курсу переможе на олімпіаді, дорівнює відповідно 0,9; 0,7 та 0,8.
а) Знайдіть ймовірність перемоги навмання обраним її учасником.
б) У разі цього завдання один студент переміг на олімпіаді. До якої групи він найімовірніше належить?
Рішення.
Подія A - перемога навмання обраного учасника.
Тут P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
а) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333 * 0.8 = 0.787
б) Рішення можна отримати за допомогою цього калькулятора.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 вибрати максимальну.
Приклад №5. На підприємстві є три верстати одного типу. Один із них дає 20% загальної продукції, другий – 30%, третій – 50%. У цьому перший верстат виробляє 5% шлюбу, другий 4%, третій – 2%. Знайти ймовірність того, що випадково відібраний непридатний виріб випущений першим верстатом.
Ймовірність протилежної події
Розглянемо деяку випадкову подію Aі нехай його ймовірність p(A)відома. Тоді ймовірність протилежної події визначається за формулою
. (1.8)
Доказ.Згадаймо, що за аксіомою 3 для несумісних подій
p(A+B) = p(A) + p(B).
Через несумісність Aі
Слідство.тобто ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
За допомогою формули (1.8) визначається, наприклад, ймовірність промаху, якщо відома ймовірність попадання (або, навпаки, ймовірність попадання, якщо відома ймовірність промаху; наприклад, якщо ймовірність попадання для зброї 0,9, ймовірність промаху для нього (1 - 0, 9 = 0,1).
- Імовірність суми двох подій
Тут доречно нагадати, що для несумісних подій ця формула має вигляд:
приклад.Завод виробляє 85% продукції першого сорту та 10% - другого. Інші вироби вважаються шлюбом. Яка ймовірність, що взявши навмання виріб, ми отримаємо шлюб?
Рішення. P = 1 - (0,85 + 0,1) = 0,05.
Імовірність суми двох будь-яких випадкових подійдорівнює
Доказ.Уявимо подію A + Bу вигляді суми несумісних подій
Враховуючи несумісність Aі , отримаємо згідно з аксіомою 3
Аналогічно знаходимо
Підставляючи останнє у попередню формулу, отримаємо шукану (1.10) (рис 2).
приклад.З 20 студентів 5 осіб склали на двійку іспит з історії, 4 – з англійської мови, причому 3 студенти отримали двійки з обох предметів. Який відсоток студентів у групі, які не мають двійок з цих предметів?
Рішення. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).
- Умовна ймовірність
У деяких випадках необхідно визначити ймовірність випадкової події Bза умови, що сталася випадкова подія A, що має ненульову ймовірність Те, що подія Aсталося, звужує простір елементарних подій до множини A, що відповідає цій події. Подальші міркування проведемо з прикладу класичної схеми. Нехай W складається з n рівноможливих елементарних подій (виходів) та події Aсприяє m(A), а події AB - m(AB)результатів. Позначимо умовну ймовірність події Bза умови, що Aсталося, - p(B|A).За визначенням,
= .
Якщо Aсталося, то реалізований один з m(A)наслідків та подія Bможе статися, тільки якщо відбудеться один із результатів, що сприяють AB; таких результатів m(AB). Тому природно покласти умовну ймовірність події Bза умови, що Aсталося, що дорівнює відношенню
Узагальнюючи, дамо загальне визначення: умовною ймовірністю події B за умови, що подія A з ненульовою ймовірністю відбулася , називається
. (1.11)
Легко можна перевірити, що введене таким чином визначення задовольняє всім аксіомам і, отже, справедливі раніше доведені теореми.
Часто умовну ймовірність p(B|A)можна легко знайти з умови завдання, у складніших випадках доводиться користуватися визначенням (1.11).
приклад.У урні лежить N куль, їх n білих і N-n чорних. З неї дістають кулю і, не кладучи її назад ( вибірка без повернення ), дістають ще один. Чому дорівнює ймовірність того, що обидві кулі білі?
Рішення.При вирішенні цього завдання застосуємо і класичне визначення ймовірності, і правило твору: позначимо через A подію, що полягає в тому, що першим вийняли білу кулю (тоді - першою вийняли чорну кулю), а через B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли біла куля; тоді
.
Легко бачити, що ймовірність того, що три вийняті підряд (без повернення) кулі білі:
і т.д.
приклад.З 30 екзаменаційних білетів студент підготував лише 25. Якщо він відмовляється відповідати за першим взятим білетом (якого він не знає), то йому дозволяється взяти другий. Визначити ймовірність того, що другий квиток виявиться щасливим.
Рішення.Нехай подія Aполягає в тому, що перший витягнутий квиток виявився для студента "поганим", а B- другий - "хорошим". Бо після настання події Aодин із «поганих» вже витягнуто, то залишається всього 29 квитків, з яких 25 студент знає. Звідси шукана ймовірність, припускаючи, що поява будь-якого квитка рівноможлива і вони не повертаються назад, дорівнює .
- Вірогідність твору
Співвідношення (1.11), припускаючи, що p(A)або p(B)не дорівнюють нулю, можна записати у вигляді
Це співвідношення називають теорема про ймовірність твору двох подій , яка може бути узагальнена на будь-яке число множників, наприклад, для трьох вона має вигляд
приклад.За умовами попереднього прикладу знайти можливість успішної складання іспиту, якщо для цього студент повинен відповісти на перший квиток або, не відповівши на перший, обов'язково відповісти на другий.
Рішення.Нехай події Aі Bполягають у тому, що, відповідно, перший і другий квитки «хороші». Тоді – поява „поганого” квитка вперше. Іспит буде складено, якщо відбудеться подія Aабо одночасно і B. Тобто подія С - успішна сдача іспиту - виражається наступним чином: C = A+ .Звідси
Тут ми скористалися несумісністю Aі , а отже, несумісністю Aта , теоремами про ймовірність суми та твору та класичним визначенням ймовірності при підрахунку p(A)та .
Це завдання можна вирішити і простіше, якщо скористатися теоремою про ймовірність протилежної події:
- Незалежність подій
Випадкові події A та Bназвемонезалежними, якщо
Для незалежних подій з (1.11) випливає, що ; справедливе та зворотне твердження.
Незалежність подійозначає, що настання події A не змінює ймовірності появи події B, тобто умовна ймовірність дорівнює безумовній .
приклад.Розглянемо попередній приклад з урною, що містить N куль, з яких n білих, але змінимо досвід: вийнявши кулю, ми кладемо її назад і тільки потім виймаємо наступний ( вибірка із поверненням ).
A - подія, що полягає в тому, що першим вийняли білу кулю, - подія, що полягає в тому, що першим вийняли чорну кулю, а B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли білу кулю; тоді
тобто в цьому випадку події A та В незалежні.
Таким чином, при вибірці з поверненням події при другому вийманні кулі не залежить від подій першого виймання, а при вибірці без повернення це не так. Однак за великих N і n ці ймовірності дуже близькі один до одного. Цим користуються, тому що іноді виробляють вибірку без повернення (наприклад, при контролі якості, коли тестування об'єкта призводить до його руйнування), а розрахунки проводять за формулами для вибірки з поверненням, які простіше.
На практиці при розрахунку ймовірностей часто користуються правилом, згідно з яким з фізичної незалежності подій випливає їхня незалежність у теоретико-імовірнісному сенсі .
приклад.Імовірність того, що людина у віці 60 років не помре у найближчий рік, дорівнює 0,91. Страхова компанія страхує на рік життя двох людей 60 років.
Імовірність того, що жоден з них не помре: 0,91×0,91 = 0,8281.
Імовірність того, що вони обоє помруть:
(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.
Імовірність того, що помре хоча б один:
1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.
Імовірність того, що помре один:
0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.
Систему подій A 1 , A 2 ,..., A nназвемо незалежною в сукупності, якщо ймовірність твору дорівнює твору ймовірностей для будь-якої комбінації співмножників із цієї системи. У цьому випадку, зокрема,
приклад.Шифр сейфа складається із семи десяткових цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?
У кожній з 7 позицій можна набрати будь-яку з 10 цифр 0,1,2,...,9, всього 10 7 чисел, починаючи з 0000000 і закінчуючи 9999999.
приклад.Шифр сейфа складається з російської літери (їх 33) та трьох цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?
P = (1/33) × (1/10) 3 .
приклад.У більш загальному вигляді завдання про страховку: ймовірність того, що людина у віці … років не помре у найближчий рік, дорівнює p. Страхова компанія страхує на рік життя людей цього віку.
Імовірність того, що жоден їх не помре: pn (не доведеться платити страхову премію нікому).
Імовірність того, що помре хоча б один: 1 – p n (передбачаються виплати).
Імовірність того, що вони все помруть: (1 – p) n (найбільші виплати).
Імовірність того, що помре один: n × (1 – p) × p n-1 (якщо людей пронумерувати, то той, хто помре, може мати номер 1, 2,…, n – це n різних подій, кожна з яких має ймовірність (1 – p) × p n-1).
- Формула повної ймовірності
Нехай події H 1 , H 2 , ... , H nзадовольняють умовам
Якщо , і .
Таку сукупність називають повною групою подій.
Припустимо, що відомі ймовірності p(H i), p(A/H i). В цьому випадку застосовна формула повної ймовірності
. (1.14)
Доказ.Скористаємося тим, що H i(їх зазвичай називають гіпотезами ) попарно несумісні (отже несумісні та H i× A), та їх сума є достовірною подією
Ця схема має місце завжди, коли можна говорити про розбиття всього простору подій на кілька різнорідних областей. В економіці це – розбиття країни чи району на регіони різного розміру та різних умов, коли відома частка кожного регіону p(H i)і ймовірність (частка) якогось параметра у кожному регіоні (наприклад, відсоток безробітних – у кожному регіоні він свій) – p(A/H i). На складі може лежати продукція з трьох різних заводів, що постачають різну кількість продукції з різною часткою шлюбу тощо.
приклад.Лиття в болванках надходить із двох цехів до третього: 70% з першого та 30% з другого. У цьому продукція першого цеху має 10% шлюбу, а другого – 20%. Знайти ймовірність того, що одна взята навмання болванка має дефект.
Рішення: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;
P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (у середньому 13% болванок у третьому цеху дефектні).
Математична модель може бути, наприклад, такою: є кілька урн різного складу; у першій урні n 1 куль, з яких m 1 білих, і т.д. За формулою повної ймовірності шукається ймовірність, вибравши навмання урну, дістати з неї білу кулю.
За цією ж схемою вирішуються задачі й у загальному випадку.
приклад.Повернемося наприклад з урною, що містить N куль, у тому числі n білих. Дістаємо з неї (без повернення) дві кулі. Яка ймовірність, що друга куля біла?
Рішення. H 1 – перша куля біла; p(H 1)=n/N;
H 2 - перший шар чорний; p(H 2)=(N-n)/N;
В - друга куля біла; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);
Ця модель може бути застосована при вирішенні такої задачі: з N квитків студент вивчив тільки n. Що йому вигідніше – тягнути квиток найпершим чи другим? Виявляється, у будь-якому випадку він із ймовірністю n/Nвитягне гарний квиток і з ймовірністю ( N-n)/N -поганий.
приклад.Визначити ймовірність того, що мандрівник, що вийшов з пункту А, потрапить до пункту В, якщо на роздоріжжі доріг він навмання вибирає будь-яку дорогу (крім зворотної). Схема доріг вказано на рис. 1.3.
Рішення.Нехай прихід мандрівника до пунктів H 1 , H 2 , H 3 та H 4 буде відповідними гіпотезами. Очевидно, вони утворюють повну групу подій та за умовою завдання
p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.
(Всі напрямки з А для мандрівника рівноможливі). Згідно зі схемою доріг умовні ймовірності попадання в B за умови, що мандрівник пройшов через H i рівні:
Застосовуючи формулу повної ймовірності, отримаємо
- Формула Байєса
Припустимо, що виконуються умови попереднього пункту та додатково відомо, що подія Aсталося. Знайдемо ймовірність того, що при цьому було реалізовано гіпотезу H k. За визначенням умовної ймовірності
. (1.15)
Отримане співвідношення називають формулою Байєса. Вона дозволяє за відомими
(до проведення досвіду) апріорним ймовірностям гіпотез p(H i)та умовним ймовірностям p(A|H i)визначити умовну ймовірність p(H k |A), яку називають апостеріорної
(тобто отримана за умови, що в результаті досвіду подія Aвже сталося).
приклад. 30% пацієнтів, які надійшли до лікарні, належать першій соціальній групі, 20% – другій та 50% – третій. Імовірність захворювання на туберкульоз для представника кожної соціальної групи, відповідно, дорівнює 0,02, 0,03 та 0,01. Проведені аналізи для випадково вибраного пацієнта показали наявність туберкульозу. Знайти ймовірність, що це представник третьої групи.
Фактично формули (1) та (2) це короткий запис умовної ймовірності на основі таблиці сполученості ознак. Повернемося, наприклад, розглянутому (рис. 1). Припустимо, нам стало відомо, ніби якась сім'я збирається купити широкоекранний телевізор. Яка ймовірність того, що ця сім'я справді придбає такий телевізор?
Мал. 1. Поведінка покупців широкоекранних телевізорів
В даному випадку нам необхідно обчислити умовну ймовірність Р (купівля здійснена | купівля планувалася). Оскільки нам відомо, що сім'я планує придбання, вибірковий простір складається не з усіх 1000 сімей, а лише з тих, що планують придбання широкоекранного телевізора. Із 250 таких сімей 200 справді купили цей телевізор. Отже, ймовірність того, що сім'я дійсно придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала це, можна обчислити за такою формулою:
Р (купівля здійснена | купівля планувалася) = кількість сімей, що планували та купили широкоекранний телевізор / кількість сімей, які планували купити широкоекранний телевізор = 200 / 250 = 0,8
Той самий результат дає формула (2):
де подія Аполягає в тому, що сім'я планує покупку широкоформатного телевізора, а подію У- У тому, що вона його дійсно купить. Підставляючи у формулу реальні дані, отримуємо:
Дерево рішень
На рис. 1 сім'ї розділені на чотири категорії: які планували покупку широкоекранного телевізора і не планували, а також купили такий телевізор і не купили. Аналогічну класифікацію можна виконати за допомогою дерева розв'язків (рис. 2). Дерево, зображене на рис. 2, має дві гілки, що відповідають сім'ям, які планували придбати широкоекранний телевізор, та сім'ям, які не робили цього. Кожна з цих гілок поділяється на дві додаткові гілки, що відповідають сім'ям, які купили і не купили широкоекранний телевізор. Імовірності, записані на кінцях двох основних гілок, є безумовними ймовірностями подій Аі А’. Імовірності, записані на кінцях чотирьох додаткових гілок є умовними ймовірностями кожної комбінації подій Аі У. Умовні ймовірності обчислюються шляхом поділу спільної ймовірності подій на безумовну ймовірність кожного з них.
Мал. 2. Дерево рішень
Наприклад, щоб визначити ймовірність того, що сім'я придбає широкоекранний телевізор, якщо вона запланувала зробити це, слід визначити ймовірність події купівля запланована та здійснена, а потім поділити його на ймовірність події купівля запланована. Переміщаючись по дереву рішення, зображене на рис. 2, отримуємо наступну (аналогічну попередньому) відповідь:
Статистична незалежність
У прикладі з покупкою широкоекранного телевізора ймовірність того, що випадково обрана сім'я придбала широкоекранний телевізор за умови, що вона планувала це зробити, дорівнює 200/250 = 0,8. Нагадаємо, що безумовна ймовірність того, що випадково обрана сім'я набула широкоекранного телевізора, дорівнює 300/1000 = 0,3. Звідси випливає дуже важливий висновок. Апріорна інформація про те, що сім'я планувала покупку, впливає на ймовірність самої покупки.Інакше кажучи, ці дві події залежать одна від одної. На противагу цьому прикладу існують статистично незалежні події, ймовірності яких не залежать одна від одної. Статистична незалежність виражається тотожністю: Р(А|В) = Р(А), де Р(А|В)- ймовірність події Аза умови, що сталася подія У, Р(А)- Безумовна ймовірність події А.
Зверніть увагу на те, що події Аі У Р(А|В) = Р(А). Якщо таблиці сполученості ознак, має розмір 2×2, ця умова виконується хоча б однієї комбінації подій Аі У, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації. У нашому прикладі події купівля запланованаі купівля здійсненане є статистично незалежними, оскільки інформація про одну подію впливає на ймовірність іншої.
Розглянемо приклад, де показано, як перевірити статистичну незалежність двох подій. Запитаємо у 300 сімей, які купили широкоформатний телевізор, чи задоволені вони своєю покупкою (рис. 3). Визначте, чи пов'язані між собою ступінь задоволеності покупкою та тип телевізора.
Мал. 3. Дані, що характеризують ступінь задоволеності покупців широкоекранних телевізорів
Судячи з цих даних,
У той же час,
Р (покупець задоволений) = 240/300 = 0,80
Отже, ймовірність того, що покупець задоволений покупкою, і того, що сім'я купила HDTV-телевізор, є рівними між собою, і ці події є статистично незалежними, оскільки ніяк не пов'язані між собою.
Правило множення ймовірностей
Формула для обчислення умовної ймовірності дозволяє визначити ймовірність спільної події А і В. Дозволивши формулу (1)
щодо спільної ймовірності Р(А та В), Отримуємо загальне, правило множення ймовірностей. Ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події Аза умови, що настала подія У У:
(3) Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
Розглянемо як приклад 80 сімей, які купили широкоекранний HDTV-телевізор (рис. 3). У таблиці зазначено, що 64 сім'ї задоволені покупкою та 16 – ні. Припустимо, що серед них випадково вибираються дві родини. Визначте ймовірність, що обидва покупці виявляться задоволеними. Використовуючи формулу (3), отримуємо:
Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
де подія Аполягає в тому, що друга сім'я задоволена своєю покупкою, а подія У- У тому, що перша сім'я задоволена своєю покупкою. Імовірність того, що перша сім'я задоволена своєю покупкою, дорівнює 64/80. Однак ймовірність того, що друга сім'я також задоволена своєю покупкою, залежить від першої родини. Якщо перша сім'я після опитування не повертається у вибірку (вибір без повернення), кількість респондентів знижується до 79. Якщо перша сім'я виявилася задоволеною своєю покупкою, ймовірність того, що друга сім'я також буде задоволена, дорівнює 63/79, оскільки у вибірці залишилося лише 63 сім'ї, задоволені своїм придбанням. Таким чином, підставляючи у формулу (3) конкретні дані, отримаємо наступну відповідь:
Р(А та В) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Отже, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 63,8%.
Припустимо, що після опитування перша сім'я повертається у вибірку. Визначте ймовірність того, що обидві сім'ї виявляться задоволеними своєю покупкою. У цьому випадку ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своєю покупкою однакові, і дорівнюють 64/80. Отже, Р(А та В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким чином, ймовірність того, що обидві сім'ї задоволені своїми покупками, дорівнює 64%. Цей приклад показує, що вибір другої сім'ї залежить від вибору першої. Таким чином, замінюючи у формулі (3) умовну ймовірність Р(А|В)ймовірністю Р(А), ми одержуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій.
Правило збільшення ймовірностей незалежних подій.Якщо події Аі Ує статистично незалежними, ймовірність події А і Вдорівнює ймовірності події А, помноженої на ймовірність події У.
(4) Р(А та В) = Р(А)Р(В)
Якщо це правило виконується для подій Аі УОтже, вони є статистично незалежними. Таким чином, існують два способи визначити статистичну незалежність двох подій:
- Події Аі Ує статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А|В) = Р(А).
- Події Аі Bє статистично незалежними один від одного тоді і лише тоді, коли Р(А та В) = Р(А)Р(В).
Якщо в таблиці спряженості ознак, що має розмір 2×2, одна з цих умов виконується хоча б для однієї комбінації подій Аі B, воно буде справедливим і для будь-якої іншої комбінації.
Безумовна ймовірність елементарної події
(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)
де події B 1 , B 2 ... B k є взаємовиключними і вичерпними.
Проілюструємо застосування цієї формули з прикладу рис.1. Використовуючи формулу (5), отримуємо:
Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)
де Р(А)- ймовірність того, що купівля планувалася, Р(У 1)- ймовірність того, що покупка здійснена, Р(В 2)- Імовірність того, що покупка не здійснена.
ТЕОРЕМА БАЙЄСА
Умовна ймовірність події враховує інформацію про те, що сталася інша подія. Цей підхід можна використовувати як для уточнення ймовірності з урахуванням нової інформації, так і для обчислення ймовірності, що ефект, що спостерігається, є наслідком певної конкретної причини. Процедура уточнення цих ймовірностей називається теоремою Байєса. Вперше вона була розроблена Томасом Байєсом у 18 столітті.
Припустимо, що компанія, згадана вище, досліджує ринок збуту нової моделі телевізора. У минулому 40% телевізорів, створених компанією, мали успіх, а 60% моделей визнання не отримали. Перш ніж оголосити про випуск нової моделі, фахівці з маркетингу ретельно досліджують ринок та фіксують попит. У минулому успіх 80% моделей, які здобули визнання, прогнозувався заздалегідь, водночас 30% сприятливих прогнозів виявились невірними. Для нової моделі відділ маркетингу дав сприятливий прогноз. Яка ймовірність того, що нова модель телевізора матиме попит?
Теорему Байєса можна вивести з визначень умовної ймовірності (1) та (2). Щоб обчислити ймовірність Р(В|А), візьмемо формулу (2):
і підставимо замість Р(А і В) значення формули (3):
Р(А та В) = Р(А|В) * Р(В)
Підставляючи замість Р(А) формулу (5), отримуємо теорему Байєса:
де події B 1 , 2 , … k є взаємовиключними і вичерпними.
Введемо такі позначення: подія S - телевізор користується попитом, подія S' - телевізор не користується попитом, подія F - сприятливий прогноз, подія F’ - несприятливий прогноз. Припустимо, що P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Застосовуючи теорему Байєса отримуємо:
Імовірність попиту нову модель телевізора за умови сприятливого прогнозу дорівнює 0,64. Таким чином, ймовірність відсутності попиту за умови сприятливого прогнозу дорівнює 1-0,64 = 0,36. Процес обчислень подано на рис. 4.
Мал. 4. (а) Обчислення за формулою Байєса для оцінки ймовірності попиту телевізорів; (б) Дерево рішення щодо попиту на нову модель телевізора
Розглянемо приклад застосування теореми Байєса для медичної діагностики. Імовірність того, що людина страждає від певного захворювання, дорівнює 0,03. Медичний тест дозволяє перевірити, чи це так. Якщо людина дійсно хвора, ймовірність точного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона дійсно хвора) дорівнює 0,9. Якщо людина здорова, ймовірність хибнопозитивного діагнозу (стверджує, що людина хвора, коли вона здорова) дорівнює 0,02. Допустимо, що медичний тест дав позитивний результат. Яка ймовірність того, що людина дійсно хвора? Яка ймовірність точного діагнозу?
Введемо такі позначення: подія D - людина хвора, подія D' - людина здорова, подія Т - позитивний діагноз, подія Т' - негативний діагноз. З умови завдання випливає, що Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Застосовуючи формулу (6), отримуємо:
Імовірність того, що при позитивному діагнозі людина дійсно хвора, дорівнює 0,582 (див. також рис. 5). Знаменник формули Байєса дорівнює ймовірності позитивного діагнозу, тобто. 0,0464.
- Імовірність - ступінь (відносна міра, кількісна оцінка) можливості настання певної події. Коли підстави для того, щоб якась можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, інакше малоймовірною або неймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, можливо різною мірою, унаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.
Дослідження ймовірності з математичної погляду становить особливу дисципліну - теорію ймовірностей. У теорії ймовірностей та математичної статистики поняття ймовірності формалізується як числова характеристика події - ймовірнісна міра (або її значення) - міра на безлічі подій (підмножини безлічі елементарних подій), що приймає значення від
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значення
(\displaystyle 1)
Відповідає достовірній події. Неможлива подія має ймовірність 0 (назад взагалі кажучи не завжди вірно). Якщо ймовірність настання події дорівнює
(\displaystyle p)
То ймовірність його ненастання дорівнює
(\displaystyle 1-p)
Зокрема, ймовірність
(\displaystyle 1/2)
Означає рівну ймовірність настання та ненастання події.
Класичне визначення ймовірності грунтується на понятті рівноможливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне «визначення» ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що вона відбудеться в деякій частина цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.
Емпіричне «визначення» ймовірності пов'язане з частотою настання події виходячи з того, що при досить значній кількості випробувань частота повинна прагнути до об'єктивного ступеня можливості цієї події. У сучасному викладі теорії ймовірностей ймовірність визначається аксіоматично, як окремий випадок абстрактної теорії міри множини. Тим не менш, сполучною ланкою між абстрактним заходом і ймовірністю, що виражає ступінь можливості настання події, є частота його спостереження.
Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичній фізиці макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детермінований опис усієї системи часток не є практично можливим і доцільним. У квантовій фізиці самі описувані процеси мають імовірнісну природу.
Розумію, що всім хочеться заздалегідь знати, як завершиться спортивний захід, хто здобуде перемогу, а хто програє. Маючи таку інформацію, можна без страху робити ставки на спортивні заходи. Але чи можна взагалі і якщо так, як розрахувати ймовірність події?
Імовірність – це відносна величина, тому не може з точністю говорити про якусь подію. Дана величина дозволяє проаналізувати та оцінити необхідність здійснення ставки на те чи інше змагання. Визначення ймовірностей – це ціла наука, яка потребує ретельного вивчення та розуміння.
Коефіцієнт ймовірності теорії ймовірності
У ставках на спорт є кілька варіантів результату змагання:
- перемога першої команди;
- перемога другої команди;
- нічия;
- тотал.
Кожен результат змагання має свою ймовірність і частоту, з якою ця подія відбудеться за умови збереження початкових характеристик. Як вже говорили раніше, неможливо точно розрахувати ймовірність будь-якої події - вона може збігтися, а може і не збігтися. Таким чином ваша ставка може як виграти, так і програти.
Точного 100% передбачення результатів змагання не може бути, тому що на результат матчу впливає багато факторів. Звичайно, і букмекери не знають заздалегідь результату матчу і лише припускають результат, приймаючи рішення на своїй системі аналізу і пропонують певні коефіцієнти для ставок.
Як вважати ймовірність події?
Припустимо, що коефіцієнт букмекера дорівнює 2. 1/2 – отримуємо 50%. Виходить, що коефіцієнт 2 дорівнює ймовірності 50%. За принципом можна отримати беззбитковий коефіцієнт ймовірності – 1/ймовірність.
Багато гравців думають, що після кількох поразок, що повторюються, обов'язково відбудеться виграш — це помилкова думка. Імовірність виграшу ставки залежить від кількості поразок. Навіть якщо ви викидаєте кілька орлів поспіль у грі з монеткою, ймовірність викидання рішки залишиться колишньою – 50%.