Подібні документи

Кінематика матеріальної точкита поступального руху твердого тіла. Вивчення основних законів Ньютона. Особливість обертального перебігу речовини навколо нерухомої осі. Аналіз визначення механічної роботисили. Суть законів збереження у механіці.

методичка, доданий 06.12.2015


Розгляд основних законів механіки: всесвітнього тяжіння, збереження імпульсу та енергії, принцип відносності Галілея. Розв'язання задач кінематики в різних системахвідліку. Робота сили тяжіння та сили пружності. Рівняння коливального руху.

методичка, доданий 05.11.2012


Кінематика поступального та обертального руху матеріальної точки. Інерційні системивідліку. Елементи механіки твердого тіла та рідин, що існують у цій сфері закони та теореми. Механічні коливаннята хвилі, принципи поширення.

презентація, додано 17.11.2013


Основи кінематики. Динаміка матеріальної точки. Класифікація взаємодій. Тертя спокою, ковзання та кочення. Динаміка системи матеріальних точок (часток). Динаміка обертального руху твердого тіла. Гармонічні коливання. Явище резонансу.

методичка, доданий 28.09.2017


Характеристика кінематики матеріальної точки. Основні закони класичної динаміки. Механіка абсолютно твердого тіла. Вивчення динаміки поступального та обертального рухів. Дослідження основних особливостей гравітаційної взаємодії.

методичка, доданий 21.04.2015


Кінетична енергіята робота обертального руху. Момент інерції твердого тіла. Гармонічні коливання фізичного маятника. Динаміка поступального руху. Розподіл молекул ідеального газуза швидкостями. Молярна теплоємність речовини.

курс лекцій, доданий 15.01.2016


Предмет фізики та її зв'язок з іншими науками. Одиниці фізичних величинта деякі відомості про вектори. Система відліку. Траєкторія, довжина колії, вектор переміщення. Кінематика обертального руху. Закони Ньютона. Принцип відносності Галілея.

курс лекцій, доданий 08.11.2011


Рух центру важкості твердого тіла. Робота зовнішніх силпри його обертанні. Момент інерції тіла щодо осі обертання. Огляд закону збереження моменту імпульсу. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі.

реферат, доданий 22.10.2013


Механіка та елементи спеціальної теоріївідносності. Кінематика поступального та обертального рухів матеріальної точки. Робота та механічна енергія. Елементи спеціальної теорії відносності. Основи молекулярної фізики та термодинаміки.

курс лекцій, доданий 04.09.2016


Ізотропія простору. Закон збереження моменту імпульсу та рух у центральному полі. Резерфордовське розсіювання, розв'язання задачі Кеплера. Тензор інерції і енергія твердого тіла, що обертається. Момент імпульсу твердого тіла та рівняння його руху.

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ АСОЦІАЦІЯ КАФЕДР ФІЗИКИ ТЕХНІЧНИХ ВНЗ РОСІЇ
В.М.Анісімов, ВІН. Третьякова Практичний курсфізики МЕХАНІКА За редакцією проф.
Г.Г. Спіріна Допущено Міністерством освіти та науки Російської Федераціїяк навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів, які навчаються за технічним напрямкамта спеціальностям Москва 2008 1

УДК 53 (075)
ББК 16.4.1 А Рецензенти Кафедра фізики РГУ нафти та газу ім. ні.
Губкіна, завкафедрою доктор техн. наук, професор Б.В. Нагаєв, канд. фізмат. наук, доцент А.В. Цибульників, канд. фізмат. наук, доцент В.К Зародов
Анісімов В.М., Третьякова ВІН. Практичний курс фізики Мехаїїка / під. р.р.
Спирина е вид, испр. - М ВВІА ім. НЕ. Жуковського,
2008. – 168 Сил. ред проф
А67
ISBN 978-5-903111-31-2 Навчальний посібник написаний відповідно до програми курсу фізики для технічних університетів. У посібнику коротко викладено теорію, наведено завдання з рішеннями та завдання для самостійного рішенняз відповідями з усіх розділів механіки, які вивчаються у курсі загальної фізики. Для студентів технічних вишів.
УДК 53 (075)
ББК 16.4.1
\
© В.М. Анісімов,
ISBN 978-5-903111-31-2 ВІН. Третьякова, 2008 Навчальний посібник
Анісімов Володимир Михайлович
Третьякова Ольга Миколаївна Практичний курс фізики Механіка Редактор О.В. Безсонова Підписано до друку 03.07.2008 р. Формат 60 84/ 10,625 Пл УСЛ.П.л. Тираж 200 ЕКЗ. Замовлення N 959
Orдруковано в друкарні
ВВІА імені професора НЕ. Жуковського
125190, м. Москва, вул. Планетна, Д.
3 тел.lфакс: 251-23-88, 614-29-90 2

Передмова Пропонований читачеві навчальний посібник призначений для студентів технічних вузів. Воно є першою частиною єдиного в навчально-методичному планіПрактичного курсу фізики за редакцією професора Г.Г. Спіріна, створюваного у межах роботи Асоціації кафедр фізики технічних вузів Росії. Кожен розділ посібника починається з короткого викладу теорії. Метою теоретичної частини розділу не дублювання лекційного курсу і навіть виклад основних концепцій курсу фізики, лише нагадування основних понять, визначень, законів і формул, які необхідні вирішення завдань. Далі наводиться кілька типових завданьз докладним рішенням. Це дасть можливість студентам ознайомитись самостійно з методами вирішення основних типів завдань. Потім у кожному розділі наведено завдання для самостійного вирішення, які можуть бути використані для проведення практичних занять, виконання розрахункових робіт (РР), проведення заліків та іспитів, та надано відповіді до завдань. На завершення посібника запропоновано варіанти РР для всіх студентів, а також методичні рекомендаціїз проведення додаткових занятьдля студентів із недостатньо високим попереднім рівнем підготовки. Це передбачає використання допомоги за дворівневої методики навчання. Тому посібником проводяться заняття на кафедрі фізики Московського авіаційного інституту(державного технічного університету) зі студентами всіх спеціальностей технічного профілю. Автори висловлюють глибоку подяку рецензентам д.т.н. професору В.Б. Нагаєву, к.ф-м.н. доценту О.В. Цибульникову та к.ф-м.н. доценту В.К. Зародову за уважне прочитання посібника.
Автори з вдячністю приймуть зауваження та побажання читачів, спрямовані на покращення змісту книги, за адресою
125871, Москва, Волоколамське шосе, д, МАІ, кафедра фізики, електронною адресою [email protected]або по телефону
8-499- 158-86-98.
3

Введення. Основні поняття та визначення механіки У кожному розділі курсу загальної фізики для опису фізичного об'єктаабо явища вводять деякі абстрактні поняття, що дозволяють перейти від реального процесуабо явища до нього фізичної моделі. У механіці такими поняттями є матеріальна точка та абсолютно тверде тіло. Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого можна знехтувати за умов цього завдання, ті. розміри тіла малі в порівнянні з відстанями, які воно проходить. Абсолютно тверде тіло – це тіло, відстань між будь-якими двома точками якого не змінюється у процесі руху. Рух тіла можна описати щодо обраної системи відліку. Система відліку – це тіло відліку, пов'язана з ним система координат та спосіб виміру часу.
Траєкторія –це лінія, яку описує точка (тіло) у процесі руху.
Довільне складний рухтвердого тіла можна вивчити, розглянувши два основних типи руху - поступальне та обертання навколо закріпленої осі. Поступальний рух - це такий рух, при якому будь-яка пряма, що з'єднує дві точки тіла, залишається паралельною собі в процесі руху. Це означає, що всі точки тіла рухаються однаково. Тому для опису поступального руху твердого тіла достатньо розгляду кінематики та динаміки точки. Обертання твердого тіла навколо закріпленої осі – це такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на осі обертання. Механічна система – це сукупність матеріальних точок та твердих тіл. Оскільки тверде тіло можна як сукупність складових його точок, механічну систему називають також системою матеріальних точок. Число ступенів свободи механічної системи i - це число незалежних змінних, які необхідно ввести, щоб задати її положення у просторі. Для матеріальної точки i= 3, для твердого тіла загальному випадку i = 6.
4

Кінематика
1.1. Основні поняття і закони У кінематиці рух точки (тіла) описують без розгляду причин, що викликали цей рух. Існують три способи опису руху точки – векторний, координатний та природний. Останній використовується у тому випадку, коли траєкторія руху точки відома. Для опису руху першим другим способом часто використовують прямокутну декартову систему координат (рис. 1.1).
1
z
2
z
1
y
1
2
x
2
x Рис Положення точки у вибраній системі відліку задають радіус- вектором, проведеним в дану точкупочинала відліку
k
z
j
y
i
x
r
r r
r r
+
+
=
k
j
i
r r
r
,
,
, де
- одиничні вектори (орти, що задають напрями осей
z
y
x Закон руху – це рівняння чи система рівнянь, що дозволяє визначити положення точки у будь-який момент часу.
t
r
r
r r В векторної формивін має вигляд При координатному способі закон руху – це система скалярних рівнянь виду
()
(При русі вздовж заданої кривої на траєкторії вибирається початок відліку, вибирається напрямок руху, прийнятий за позитивний, і положення точки на кривій визначається дуговою координатою s, яка може бути як позитивною, так і негативною. При природному способі закон руху точки вздовж заданої траєкторії має вигляд
(Існують три основні кінематичні характеристикирухи – переміщення, швидкість та прискорення. Нехай за проміжок часу
1 2
t
t
t
−
=
Δ
точка перемістилася з положення 1 положення 2 (див. рис. 1.1). Позначимо
1 1
t
r
r
r r =
,
2 2
t
r
r
r r =
5

Переміщення – це вектор, що з'єднує початкове і кінцеве положення точки) ()
k
z
j
y
i
x
t
r
t
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
Δ
+
Δ
+
Δ
=
−
=
−
=
Δ
1 2
1 2
, де
1 2
1 2
1 Вектор середньої швидкості- це відношення вектора переміщення точки до проміжку часу, за який воно було здійснено
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
r r
Δ
v r
. Напрямок збігається з Швидкість (миттєва швидкість – це Векторна величина, що дорівнює похідній переміщення часу, де
- Проекції вектора швидкості на осі координат. Вектор спрямований по траєкторії.
2 2
2
z
y
x
v
v
v
v
v
+
+
=
= Модуль вектора швидкості Оскільки модуль елементарного переміщення дорівнює довжині дуги траєкторії
,
dt
ds
v
v
=
=
r
ds
s
Δ
Шлях – це скалярна величина
, рівна відстані, пройденому точкою вздовж траєкторії, 0
≥
Δ
s
,
∫
=
Δ
2 Середня шляхова швидкістьпри нерівномірному (
const
v
≠
) рух на даній ділянці
s
Δ - це скалярна величина, що дорівнює чисельному значеннюшвидкості такого рівномірного руху, у якому проходження шляху витрачається теж час
t
Δ , що і при заданому нерівномірному русі
t
s
v
ср
Δ
Δ
=
v
v
ср
r
≠
2 У загальному випадку
, т.к. Вектор середнього прискорення – це відношення збільшення вектора швидкості
1 2
t
v
t
v
v
r r
r
−
=
Δ
до проміжку часу, за який ця зміна відбулася
t
v
a
Δ
Δ
=
r r
a r
v r
Δ
збігається із напрямком Напрямок Прискорення (миттєве прискорення – векторна величина
, рівна похідної від швидкості часу, де Модуль вектора прискорення
τ
r
n r
τ
a r
y
a r
2 Рис

2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
a
+
+
=
= В окремому випадку плоского руху по криволінійної траєкторіїу площині
ХОУ
можна ввести прямокутну декартову супутню систему координат, початок відліку якої збігається з точкою, що рухається, а осі задаються одиничними вектораминормалі та дотичної
n r
τ
r
(Рис. 1.2). Тоді прискорення можна уявити у вигляді
τ
τ
τ
τ
r r
r r
r r
r r
dt
v
d
n
R
v
a
n
a
a
a
a
n
n
+
=
+
=
+
=
2
, де
R
– радіус кривизни траєкторії у цій точці. Нормальне прискорення
n
a r характеризує зміну напрямку швидкості, а тангенціальний дотичний)
τ
a r характеризує зміну величини швидкості. Модуль прискорення в даному випадкудорівнює
2 2
2 При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі основні кінематичні характеристики руху – кутове переміщення, кутова швидкість та кутове прискорення, які вводяться аналогічно до відповідних характеристик поступального руху. Положення твердого тіла під час обертання навколо фіксованої осі визначається кутом повороту або кутовим переміщенням. Нескінченно малому куту повороту
ϕ
r
d
ϕ
d
відповідає вектор Напрямок обертання та напрямок вектора пов'язані правилом правого гвинта (рис. Кутова швидкість (миттєва кутова швидкість – це похідна від кута повороту часу) Напрямок збігається з напрямком Кутове прискорення – це похідна від кутовий швидкостічасу Напрямок збігається з напрямком
. Якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки зі збільшенням кутової швидкості (
εr
ωr
d
v r
0 Рис r
) вектор кутового прискорення спрямований вгору, а применшенні вниз (див. рис. зв'язок між кутовими і лінійними величинами,
7

характеризують обертання твердого тіла навколо закріпленої осі або рух матеріальної точки по колу радіуса
R
(Див. рис. Довжина дуги кола

,
,
R
v
r
v
ω
=
ω
=
r Швидкість

,
,
R
a
r
a
ε
=
ε
=
τ
τ
r Тангенціальне прискорення Нормальне прискорення
,
2 2
R
a
n
R
a
n
n
ω
=
ω
−
=
r Рівномірне обертання Рівномірний рух вздовж ОХ
0 0
=
=
+
=
a
const
v
vt
x
x
0 Рівноприскорений рухРівноприскорене обертання
const
a
at
v
v
at
t
v
x
x
=
+
=
+
+
=
0 2
0 0
2
const
t
t
t
=
ε
ε
+
ω
=
ω
ε
+
ω
+
ϕ
=
ϕ
0 2
0 0
2 8

1.2. Приклади розв'язання задач
Завдання
1.1. Човен, що має швидкість
, спускає вітрило в момент часу і продовжує рухатися так, що швидкість човна обернено пропорційна часу
t.
Показати, що прискорення човна
а
на цій ділянці руху пропорційно квадрату її швидкості.
0
v
0
t
t
t
v
v
0 Рішення. Відповідно до умов завдання
(при цьому початок відліку tі те саме. Тоді миттєве значенняприскорення
0
t
0 0
2
t
v
v
a
−
=
v
t
v
t
0 0
=
2 0
0 0
0
t
t
v
t
t
v
dt
d
dt
dv
a
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
. Оскільки
, то
(при
). Завдання 1.2. Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по прямій (вісь х) має вигляд
3
Ct
Bt
A
x
+
+
=
, де
3
c мм м. Для моменту часу c
2 визначити 1) координату точки, 2) миттєву швидкість,
1
x
1
v
3) миттєве прискорення. Рішення. Координату точки, для якої відоме кінематичне рівняння руху, знайдемо, підставивши в рівняння руху замість задане значеннячасу: м 3
1 1
1
=
+
+
=
Ct
Bt
A
x
2. Миттєву швидкість у довільний момент часу знайдемо, продиференціювавши координату часу.
2 Знак мінус вказує на те, що в момент часу c
2 точка рухається у негативному напрямку координатної осі.
3. Миттєве прискоренняу довільний момент часу знайдемо, взявши другу похідну від координати
x
Миттєве прискорення в заданий момент часу дорівнює
2 см Знак мінус вказує на те, що вектор спрямований у бік, протилежний координатній осі х, причому в умовах даної задачі це має місце для будь-якого моменту часу. Завдання 1.3. Дві частинки (1 та
2) рухаються зі швидкостями ірис) за двома взаємно перпендикулярними прямими до точки їх перетину О. У момент вони перебували на відстанях і від точки
Про
Через скільки часу відстань між частинками стане мінімальною Чому вона дорівнює Рішення. Початкова відстань між частинками дорівнює
2 2
2 1
0
l
l
l
+
=
. Через проміжок часу частинки пройдуть відстань та
, і відстань між частинками стане рівною
t
v
1
t
v
2
()
(
)
2 2
2 2
1 1
2 2
2 Мінімальна відстань між частинками буде тоді, коли підкорене вираз мінімальне. Позначимо
) (
2 2
2 2
1 Досліджуємо функцію на екстремум
)
,
0 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 2
1
=
+
−
+
−
=
+
−
+
+
−
=
t
v
v
l
t
v
v
l
t
v
t
v
l
l
t
v
t
v
l
l
dt
d
dt
dz
)
,
2 2
2 1
2 2
1 1
min
2 2
2 1
2 2
1 Тоді мінімальна відстань між частинками буде
)
)
)
)
=
+
−
−
+
+
+
−
−
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1 1
min
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
v
l
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
l
l
)
)
)
)
)
)
=
+
+
−
=
+
−
+
−
=
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2
v
v
v
v
v
l
v
l
v
v
v
l
v
l
v
v
l
v
l
v
2
l
1
v r
0
l
1
l
(Рис

(
2 2
2 1
1 2
2 Завдання 1.4. Частка переміщається у просторі так, що її радіус-вектор змінюється згідно із законом
)
[м 2
k
t
j
i
t
r
r r
r Знайти вектор середньої швидкості частки, що відповідає інтервалу часу (
t
,
2t
). Рішення. За визначенням вектор середньої швидкості переміщення
t
r
v
Δ
Δ
=
r r
t
t
t
t
=
−
=
Δ
2
,
, де
(
(
[ мс м r
r Тоді Завдання 1.5. Дві матеріальні точки одночасно почали рух за законами
)
[ мм, Визначити кут між прискореннями точок у момент після початку руху. Рішення. За визначенням швидкості знайдемозакони зміни швидкостей матеріальних точок
)
[ см см Диференціюючи отримані залежності, також за визначенням отримуємо прискорення матеріальних точок у будь-який момент часу
)

2 1
c мм Позначимо
- кути, що становлять вектори прискорення з віссю ОХ. Очевидно, що
2 1
,
ϕ
ϕ
2 1
, a
a r r
2 2
6 12
tg
,
3 3
2 2
6
tg
1 2
2 2
2 1
1 Кут між прискореннями
2
arctg
3
arctg
1 1
2 Завдання 1.6. Радіус-вектор частки змінюється з часом tзгідно із законом
)
[м r
b
r
, де
- Постійний вектор,
α
-
11

v r
a r позитивна стала. Знайти а) швидкість та прискорення як функцію часу б) проміжок часу
t
Δ
, після закінчення якого частка повернеться до вихідну точку, а також шлях
s
, який вона пройде у своїй.
)
[ см Рішення. Вектор швидкість вектор прискорення
[див. рух рівноуповільнений. Повернення частки на момент часу у вихідну точку означає
(

c
1
;
0 Для знаходження пройденого шляху визначимо час зупинки частки
)

c
2 1
;
0 2
1
;
0
α
α
=
=
−
=
ост
ост
t
t
v
Зміщення частки до моменту зупинки буде
)
α
α
α
α
α
4 2
1 1
2 1
1
b
b
t
bt
r
ост
ост
ост
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
Δr
, а весь пройдений шлях буде
() ()
[м 2
0
α
b
r
t
r
t
r
r
t
r
s
ост
ост
ост
=
Δ
=
−
Δ
+
−
=
r r
r Завдання 1.7. Матеріальна точка рухається згідно із законом
. Визначити вектор швидкості, вектор прискорення та траєкторію руху матеріальної точки.
()
j
t
i
t
r
r Рішення. Знаходимо компоненти радіус-вектора
() ()
()
[
]
2
10
cos
1 Визначаємо компоненти вектора швидкості
() ()
t
t
v
t
t
v
y
x
10
sin
5
,
5
cos
5
β
−
=
α
=
та вектор прискорення
() ()
(Для отримання рівняння траєкторії виключимо час tіз системи рівнянь та
t
x
t
y
. Матеріальна точка рухається параболою
4 3
3 Завдання 1.8. Частка рухається у площині
ХОУ
зі швидкістю
, де
- орти осей Хі У
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
j
i
r r
,
β
α
, - Постійні. У початковий моментчастка знаходилася в точці
0
=
= y
x
. Знайти
1) рівняння траєкторії частки ух 2) радіус кривизни траєкторії в залежності від
х
Рішення. 1. Знайдемо рівняння руху частки у декартових координатахі виключимо з них час
j
x
i
v
r r
r
β
+
α
=
. За умовою
t
, звідки
12

,
2 2
2 2
2
x
v
v
v
x
v
v
y
x
y
x
β
+
α
=
+
=
⎭
⎬
⎫
β
=
α
=
dt
r
d
v
r r За визначенням,
, або в декартових координатах
;
dt
dy
v
dt
dx
v
y
x
=
=
∫
∫
+
α
=
α
=
=
1
C
t
dt
dt
v
x
x
Т.к.
, Константу інтегрування знайдемо, використовуючи початкові умови
Отже,
1
C
0 0
0 0
0 1
1
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
x
t
t
x
α
=
∫
∫
∫
+
αβ
=
αβ
=
β
=
=
2 2
2 Так як
, то Константу інтегрування знайдемо аналогічно до попереднього
0 0
0 0
0 2
2
=
⇒
+
=
⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
C
C
y
t
2 2
1
t
y
αβ
=
Отже, Знайдемо рівняння траєкторії ух)
2 2
2 2
2
x
x
y
x
t
α
β
=
α
αβ
=
α
=
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
αβ
=
α
=
2 Траєкторія частинки являє собою параболу. Графік траєкторії зображено на рис. 1.5.
2. Щоб визначити радіус кривизни траєкторії Рис, треба скористатися виразом для нормального прискорення
R
v
2
=
, звідки
a
n
n
a
v
R
2
=
Нормальне прискорення можна знайти з наступних співвідношень
n
a
dt
dv
a
dt
dv
a
a
a
a
dt
dv
a
a
a
a
y
y
x
x
y
x
n
=
=
+
=
=
+
=
,
,
,
,
2 2
2 2
τ
τ
βα
=
=
=
=
α
=
dt
dx
dx
dv
a
a
const
v
y
y
x
x
,
0
,
, то Бо
, то тангенціальне прискорення
2 2
2 2
x
x
dt
dx
dx
dv
a
β
+
α
β
α
=
=
τ
, анормальне прискорення
13

2 2
2 2
2 2
x
a
a
a
n
β
+
α
β
α
=
−
=
τ
2 3
2 2
2 Радіус кривизни
. Зазначимо, що для визначення нормального прискорення можна використати формулу
, де
ϕ
- Кут між векторами
a r
n
a r
ϕ
= в.
v
v
x
=
ϕ
cos
2 2
2
cos
x
β
+
α
α
=
ϕ
, Ті. Як випливає з рис 2
2 Використовуючи
, отримуємо
, що збігається з раніше одержаною формулою. Завдання 1.9. Крапка рухається, сповільнюючись, по прямій із прискоренням, модуль якого залежить від її швидкості
v
згідно із законом
v
a
α
=
, де
α
- Позитивна постійна. У початковий момент швидкість точки дорівнює
. Який шлях
s
0
v
вона пройде до зупинки За який час
τ
цей шлях буде пройдений
(Рішення. Для вирішення задачі треба знати залежності і Залежність знайдемо, використовуючи вирази
t
s
(Знак мінус відповідає тому, що швидкість точки зменшується з часом (
0
,
0
> dv
dt
). Прирівнюючи праві частини, отримаємо диференціальне рівняння
dt
dv
v
−
=
α
dt
v
dv
α
−
=
, розділяючи змінні, маємо Проінтегруємо з урахуванням початкових умов (
0
,
0
v
v
t
=
=
)
0 0
0 0
2 1
,
2
,
0 Зводячи в квадрат, остаточно отримаємо
0 0
2 2
4 1
v
t
v
t
t
v
+
−
=
α
α
(Залежність шляху від часу знайдемо за допомогою формули для модуля швидкості
dt
ds
v
=
, з якої випливає
t
v
t
v
t
t
s
dt
v
t
v
t
vdt
s
t
t
0 2
0 3
2 0
0 0
2 2
0 2
12
,
4 Виходячи з того, що при
0
=
= v
t
τ
, маємо
14

0 4
1 0
0 2
2
=
+
α
−
α
v
t
v
t
, Рис звідки Пройдений шлях дорівнюватиме
α
=
3 2
0 На рис зображено графік залежності
t
v
, що є параболою. Шуканий шлях чисельно дорівнює площізаштриховані фігури. Завдання 1.10. При русі автомобіля його колесо радіуса рухається по колу радіуса.
ωr
1
ωr
O
O′
ωr
v r
r
A
B
R
α
R горизонтальній площині. При цьому центр колеса крапка
А
переміщається з постійною швидкістю
v
. Визначити кутову швидкість та кутове прискорення колеса, а також кут, який становить вектор кутової швидкості з вертикаллю. Рішення. Рух колеса (рис) представимо як суму обертальних рухівз кутовою швидкістю навколо горизонтальної осі
АВ
і з кутовою швидкістю
2
ωr
1
ωr разом із віссю
АВ навколо вертикальної осі
O
O Результуючий вектор кутової швидкості
2 1
ω
+
ω
=
ω
r r
r
2 2
2 1
ω
+
ω
=
ω
, а його модуль Розглянемо рух у системі відліку, пов'язаної з автомобілем. Тоді колесо обертатиметься навколо нерухомої осі
АВ
, А точки дороги, що стикаються з колесом, матимуть швидкість
. Оскільки ковзання колеса відсутнє, його зовнішні точки матимуть швидкість
v
v
−
=
′
v′ , рівну за модулем
v
. Тоді вираз для
ω
набуде вигляду
2 2
2 Кут між вектором
ω та вертикаллю r
r
R
arctg arctg
1 2
=
ω
ω
=
α
εr є швидкість зміни кутової швидкості Кутове прискорення
ω
r
При цьому модуль вектора не змінюється.
15

Кінець вектора
ωr описує в горизонтальній площині коло радіусу за час, що дорівнює періоду обертання колеса навколо осі.
. Тому
1
T
2
ω
rR
v
T
2 2
1 1
2 2
=
ω
ω
=
πω
=
ε
O
O Завдання 1.11. Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі так, що його кутова швидкість
ω
залежить від кута повороту за законом
де і позитивні постійні. У момент часу
0
ϕ
b
ϕ
−
ω
=
ω
b
0 0
ω
0
=
ϕ
=
t
кут повороту
. Знайти залежність від часу: 1) кута повороту; 2) кутовий швидкості. Рішення. Кут повороту твердого тіла, що обертається за час t
()
∫
ω
=
ϕ
t
dt
t
t
0
(де
- Залежність від часу кутової швидкості. Для знаходження
t
ω
ϕ
ω
скористаємося залежністю Продиференціюємо її часу, звідки отримаємо диференціальне рівняння виду. Вирішимо його, розділивши змінні Інтегруючи обидві частини рівняння, знайдемо його рішення у вигляді Позначимо
bt
C
bt
C
C
C
−
=
ω
−
=
−
ω
=
ln
;
ln ln
,
ln
1
. Звідки Постійне інтегрування
C
знайдемо початкові умови. Бо при
t
= 0
bt
e
t
−
ω
=
ω
0 0
=
ϕ
, те, звідки
0
ω
=
ω
ϕ
=
ω
d
dt
dt
d
ϕ
=
ω
, то Оскільки, за визначенням,
, інтегруючи цей вираз отримаємо
()
∫
∫
−
ω
=
ω
=
ϕ
t
bt
t
dt
e
dt
t
t
0 Звісно, ​​залежність кута повороту від часу має вигляд
(
bt
e
b
t
−
−
ω
=
ϕ
1 0
16

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ АСОЦІАЦІЯ КАФЕДР

ФІЗИКИ ТЕХНІЧНИХ ВНЗ РОСІЇ

В.М.Анісімов, О.М. Третьякова

Практичний курс фізики МЕХАНІКА

За редакцією проф. Г.Г. Спіріна

Допущено Міністерством освіти і науки Російської Федерації як навчальний посібник

для студентів вищих навчальних закладів, які навчаються за технічними напрямками та спеціальностями

Москва 2008

УДК 53 (075) ББК 16.4.1 А67

Рецензенти:

Кафедра фізики РГУ нафти та газу ім. ні. Губкіна, зав. кафедрою доктор техн. наук, професор Б.В. Нагаєв, канд. фіз.-мат. наук, доцент О.В. Цибульників, канд. фіз.-мат.

наук, доцент В.К Зародов

Анісімов В.М., Третьякова О.М.

А67 Практичний курс фізики. Мехаїїка / под.г.г. Спирина 5-те вид., Випр. - М: ВВІА ім. Н.Є. Жуковського, 2008. – 168 С.: іл.

ISBN 978-5-903111-31-2

Навчальний посібник написаний відповідно до програми курсу фізики для технічних університетів.

У посібнику коротко викладено теорію, наведено завдання з рішеннями та завдання для самостійного вирішення з відповідями по всіх розділах механіки, що вивчаються в курсі загальної фізики.

Для студентів технічних вишів.

Навчальний посібник

Анісімов Володимир Михайлович Третьякова Ольга Миколаївна

Практичний курс фізики Механіка

Редактор О.В. Безсонова

Підписано до друку 03.07.2008 р.

Формат 60x 84/16 10,625 П. л. 9,9 УСЛ.П.л.

Тираж 200 ЕКЗ. Замовлення N~ 959 Orдруковано в друкарні

ВВІА імені професора Н.Є. Жуковського 125190, м. Москва, вул. Планетна, Д. 3

тел.lфакс: 251-23-88, 614-29-90

Передмова

Пропонований читачеві навчальний посібник призначений для студентів технічних вузів. Воно є першою частиною єдиного у навчально-методичному плані «Практичного курсу фізики» за редакцією професора Г.Г. Спіріна, створюваного у межах роботи Асоціації кафедр фізики технічних вузів Росії.

Кожен розділ посібника починається з короткого викладу теорії. Метою теоретичної частини розділу не дублювання лекційного курсу і навіть виклад основних концепцій курсу фізики, лише нагадування основних понять, визначень, законів і формул, які необхідні вирішення завдань.

Потім у кожному розділі наведено завдання для самостійного вирішення, які можуть використовуватись для проведення практичних занять, виконання розрахункових робіт (РР), проведення заліків та іспитів, та надано відповіді до завдань. На завершення посібника запропоновано варіанти РР для всіх студентів, а також методичні рекомендації щодо проведення додаткових занять для студентів із недостатньо високим попереднім рівнем підготовки. Це передбачає використання допомоги за дворівневої методики навчання.

З цього посібника проводяться заняття на кафедрі фізики Московського авіаційного інституту (державного технічного університету) зі студентами всіх спеціальностей технічного профілю.

Автори з вдячністю приймуть зауваження та побажання читачів, спрямовані на покращення змісту книги, за адресою: 125871, Москва, Волоколамське шосе, д.4, МАІ, кафедра фізики, за електронною адресою: [email protected]або за телефоном:

8-499- 158-86-98.

Введення. Основні поняття та визначення механіки

У кожному розділі курсу загальної фізики для опису фізичного об'єкта чи явища вводять абстрактні поняття, що дозволяють перейти від реального процесу або явища до його фізичної моделі. У механіці такими поняттями є матеріальна точка та абсолютно тверде тіло.

Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого можна знехтувати в умовах даного завдання, тобто. розміри тіла малі в порівнянні з відстанями, які воно проходить.

Абсолютно тверде тіло- Це тіло, відстань між будь-якими двома точками якого не змінюється в процесі руху.

Рух тіла можна описати щодо обраної системи відліку.

Система відліку – це тіло відліку, пов'язана з ним система координат та спосіб виміру часу.

Траєкторія - це лінія, яку описує точка (тіло) у процесі руху.

Довільний складний рух твердого тіла можна вивчити, розглянувши два основні типи руху - поступальний та обертання навколо закріпленої осі.

Поступальний рух- Це такий рух, при якому будь-яка пряма, що з'єднує дві точки тіла, залишається паралельною собі в процесі руху. Це означає, що всі точки тіла рухаються однаково. Тому для опису поступального руху твердого тіла достатньо розгляду кінематики та динаміки точки.

Обертання твердого тіла навколо закріпленої осі – це такий рух, коли всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на осі обертання.

Механічна система- Це сукупність матеріальних точок та твердих тіл. Оскільки тверде тіло можна як

незалежних змінних, які необхідно запровадити, щоб задати її становище у просторі. Для матеріальної точки i = 3, для твердого тіла у випадку = 6.

1.Кінематика

1.1. Основні поняття та закони

У кінематиці рух точки (тіла)

описують

розгляду причин, що викликали цей рух.

Існують

способу опису руху

вектор,

координатний

природний.

Останній

rr 2

використовується в

коли траєкторія руху

точки відома.

описи

руху першим та другим

способом часто використовують

прямокутну декартову систему координат (рис. 1.1).

Положення точки у вибраній системі відліку задають радіус-

вектор,

проведеним

з початку

одиничні вектори (орти), що задають

i, j, k

напрями осей x, y, z.

Закон руху – це рівняння чи система рівнянь, що дозволяє визначити положення точки у будь-який час.

У векторній формі він має вигляд r = r(t).

При координатному способі закон руху – це система скалярних рівнянь виду

x = x (t), y = y (t), z = z (t).

При русі вздовж заданої кривої на траєкторії вибирається початок відліку, вибирається напрямок руху, прийняте за позитивне, і положення точки на кривій визначається дуговою координатою s, яка може бути як позитивною, так і негативною. При природному способі закон руху точки вздовж заданої траєкторії має вид = s (t).

Існують три основні кінематичні характеристики

Переміщення –

r , що з'єднує

початкове

кінцеве положення точки

r r= r r

− r r

R r (t

)− r r (t )=

xi +

yj +

zk,

x = x2 − x1 ,

y = y2 − y1 ,

z = z2 - z1.

Вектор середньої швидкості- Це відношення вектора переміщення

до проміжку

який воно

здійснено

t. Напрям

збігається з

Швидкість (миттєва швидкість) -

це векторна величина

рівна похідної переміщення за часом v r = dr r = v x i r

Vy r j+ vz kr ,

де v x v y v z - проекції вектора швидкості на осі координат. Вектор

направлений по дотичній до траєкторії.

Модуль вектора швидкості v = vr =

v x 2+ v y 2+ v z 2.

Оскільки

елементарного

переміщення

відповідної довжини дуги траєкторії ds ,v =

Шлях – це скалярна величина

s , рівна відстані,

пройденому точкою вздовж траєкторії,

s ≥ 0 ,

dt.

s = ∫

Середня колійна

швидкість

нерівномірному

(v ≠ const)

рух на даній ділянці

це скалярна величина,

чисельному значенню швидкості такого рівномірного руху, при

якому на проходження шляху	витрачається той же час				t , що і
при заданому нерівномірному русі v
У загальному випадку v ≠ v r		r r=
	Т.к. s ≠			x 2+ y 2+	z 2.

Вектор середнього прискорення– це відношення збільшення вектора швидкості v = v r (t 2 ) − v r (t 1 ) до проміжку часу, за який це

зміна відбулася

Напрям

збігається з напрямком

v r.

Прискорення (миттєве прискорення) - Векторна величина a,

рівна похідної від швидкості за часом

a r = dv r

Ax ir + ay r j+ az kr

a x=

a z =

Модуль вектор прискорення

a = a r = x 2 + a y 2 + a z 2 .

В окремому випадку плоского руху по криволінійній траєкторії в площині ХОУможна ввести прямокутну декартову супутню систему координат, початок відліку якої збігається з точкою, що рухається, а осі задаються одиничними векторами нормаліn r і дотичноюτ (рис. 1.2).

Тоді прискорення можна уявити у вигляді

v 2r

τ =

τ , де R - радіус кривизни траєкторії

у цій точці. Нормальне прискорення a n характеризує зміну напрямку швидкості, а тангенціальний (дотик) a τ

характеризує зміну величини швидкості.

Модуль прискорення у разі дорівнює a = a r = a n 2 + a τ 2 = a x 2 + a y 2 .

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі основні кінематичні характеристики руху – кутове переміщення, кутова швидкість та кутове прискорення, що вводяться аналогічно до відповідних характеристик поступального руху.

Положення твердого тіла під час обертання навколо фіксованої осі визначається кутом повороту або кутовим переміщенням. Нескінченно малому куту повороту d відповідає вектор d .

Напрямок обертання та напрямок вектора пов'язані правилом правого гвинта (рис.1.3).

швидкість

(миттєва кутова

швидкість)

похідна від кута повороту за часом ω=

Напрям

dϕ.

ω збігається з напрямком

Кутове прискорення- це похідна від кутової швидкості по

ε = dt

ε = dt.

Напрям

збігається з

напрямом

d ω. Якщо обертання

ε > 0, ε

відбувається

приr

збільшенні

швидкості (

> 0) вектор кутового

прискорення

спрямований

ε < 0, ε

при зменшенні

кутовими

лінійними

величинами,

фізика. Практичний курс для вступників до університетів. Драбович К.Н., Макаров В.А., Чесноков С.С.

М.: Фізматліт, 2006. -544с.

Посібник призначений для учнів випускних класівсередніх шкіл з поглибленим вивченнямфізики та математики. Його основу складають завдання з фізики, які протягом останніх 20 років пропонувалися абітурієнтам факультету. обчислювальної математикита кібернетики МДУ ім. М. В. Ломоносова. Матеріал розбитий на теми відповідно до програми вступних випробуваньз фізики для вступників до МДУ. Кожна тема передується коротким зведенням базових теоретичних відомостей, які необхідні для вирішення завдань та виявляться корисними при підготовці до вступним іспитам. Усього до збірки включено близько 600 завдань, понад половину з них забезпечені докладними рішеннямита методичними вказівками.

Для школярів, які готуються до вступу до фізико-математичних факультетів університетів.

Формат: djvu/zip

Розмір: 4,5 Мб

/ Download файл

З передмови:

Цей посібник призначений для учнів випускних класів середніх шкіл з поглибленим вивченням фізики та математики. Воно має на меті допомогти майбутнім абітурієнтам самостійно підготуватися до вступних іспитів на природничі факультети класичних університетів, насамперед МДУ ім. М. В. Ломоносова.

Цілеспрямована підготовка до вступу до університету має органічно поєднувати як вивчення теорії, і вирішення завдань. Виходячи з цього, ми вважали за доцільне дати на початку кожного розділу короткий викладбазових теоретичних відомостей, що є по суті конспекти відповідей на питання програми з фізики для вступників до МДУ. Сподіваємося, що пропоновані нами конспекти допоможуть абітурієнтам розумно структурувати матеріал, що вивчається, підкажуть, як побудувати план обговорення теорії за темами, запропонованими в екзаменаційних завданнях. Разом з тим необхідно мати на увазі, що основна мета усного вступного іспиту полягає у виявленні глибини розуміння абітурієнтом сутності. фізичних явищі законів, вміння тлумачити фізичний сенсвеличин та понять. Тому короткий виклад теорії, що наводиться тут, жодною мірою не може замінити стабільні. навчальні посібники, рекомендовані у програмі для вступників до МДУ Список цих посібників міститься в кінці книги.

Необхідною умовою успішної здачівступного іспиту є також вміння вирішувати завдання з усіх розділів програми. У зв'язку з цим до книги включені обрані завдання з фізики з числа пропонованих абітурієнтам факультету обчислювальної математики та кібернетики (ВМК) МДУ ім. М.В. Ломоносова впродовж останніх 20 років. Усього до збірки включено близько 600 завдань різної складності, які згруповані за темами у повній відповідності до програми з фізики для вступників до МДУ. Завдання, що пропонувалися у 2003 – 2005 роках, поміщені в окремі розділи наприкінці книги. На прикладі цих завдань читач зможе скласти уявлення про зростання в останні рокирівні вимог до вступників до МДУ. Для полегшення самостійної роботи з підготовки до вступу
вступним іспитам понад половину завдань із цієї збірки забезпечені докладними рішеннями.

ЗМІСТ
Передмова
Розділ 1. Механіка
1.1. Кінематика
1.2. Динаміка
1.3. Закони збереження у механіці
1.4. Статика твердого тіла
1.5. Механіка рідин та газів
1.6. Механічні коливання та хвилі. Звук
Розділ 2. Молекулярна фізиката термодинаміка
2.1. Основи молекулярно-кінетичної теорії
2.2. Елементи термодинаміки
2.3. Зміна агрегатного стануречовини
2.4. Поверхневий натягу рідинах
2.5. Теплове розширення твердих тіл та рідин
Розділ 3. Електродинаміка
3.1. Електростатика
3.2. Постійний струм
3.3. Магнетизм
3.4. Електромагнітна індукція
3.5. Електромагнітні коливаннята хвилі
Розділ 4. Оптика
4.1. Геометрична оптика
4.2. Елементи фізичної оптики
Глава 5. Атом і атомне ядро
Розділ 6. Комбіновані завдання
Глава 7. Завдання 2003 року
7.1. Механіка
7.2. Молекулярна фізика та термодинаміка
7.3. Електродинаміка
7.4. Оптика
Глава 8. Завдання 2004 року
8.1. Механіка
8.2. Молекулярна фізика та термодинаміка
8.3. Електродинаміка
8.4. Оптика
Глава 9. Завдання 2005 року
9.1. Механіка
9.2. Молекулярна фізика та термодинаміка
9.3. Електродинаміка
9.4. Оптика
Відповіді
Глава 10. Розв'язання завдань 2003 – 2005 років
Література