Рівноприскорений рух - це рух з прискоренням, вектор якого не змінюється за модулем та напрямом. Приклади такого руху: велосипед, що котиться з гірки; камінь кинутий під кутом до горизонту.
Розглянемо останній випадок докладніше. У будь-якій точці траєкторії на камінь діє прискорення вільного падіння g → , яке не змінюється за величиною і завжди спрямоване в один бік.
Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна як суми рухів щодо вертикальної і горизонтальної осей.
Уздовж осі X рух рівномірний і прямолінійний, а вздовж осі Y - рівноприскорений і прямолінійний. Розглянемо проекції векторів швидкості та прискорення на осі.
Формула для швидкості при рівноприскореному русі:
Тут v 0 - Початкова швидкість тіла, a = c o ns t - прискорення.
Покажемо на графіці, що з рівноприскореному русі залежність v (t) має вигляд прямої лінії.
Прискорення можна визначити за кутом нахилу графіка швидкості. На малюнку вище модуль прискорення дорівнює відношенню сторін трикутника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чим більший кут β, тим більший нахил (крутість) графіка по відношенню до осі часу. Відповідно, тим більше прискорення тіла.
Для першого графіка: v 0 = - 2 м; a = 0,5 м з 2 .
Для другого графіка: v 0 = 3 м; a = - 13 м з 2 .
За цим графіком можна також обчислити переміщення тіла за час t. Як це зробити?
Виділимо на графіку малий відрізок часу ∆t. Вважатимемо, що він настільки малий, що рух за час ∆t можна вважати рівномірним рухом зі швидкістю, що дорівнює швидкості тіла в середині проміжку ∆t. Тоді, переміщення ∆ s за час ∆ t дорівнюватиме ∆ s = v ∆ t .
Розіб'ємо весь час t на нескінченно малі проміжки ∆ t. Переміщення s за час t дорівнює площі трапеції ODEF.
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t.
Ми знаємо, що v - v 0 = a t , тому остаточна формула для переміщення тіла набуде вигляду:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того щоб знайти координату знаходження тіла в даний момент часу, потрібно до початкової координати тіла додати переміщення. Зміна координати при рівноприскореному русі виражає закон рівноприскореного руху.
Закон рівноприскореного руху
Закон рівноприскореного рухуy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Ще одне поширене завдання, що виникає при аналізі рівноприскореного руху - знаходження переміщення при заданих значеннях початкової та кінцевої швидкостей та прискорення.
Виключаючи із записаних вище рівнянь t і вирішуючи їх, отримуємо:
s = v 2 - v 0 2 2 a.
За відомою початковою швидкістю, прискоренням і переміщенням можна знайти кінцеву швидкість тіла:
v = v 0 2 + 2 as.
При v 0 = 0 s = v 2 2 a і v = 2 a s
Важливо!
Величини v, v 0, a, y 0, s, що входять у вирази, є величинами алгебри. Залежно від характеру руху та напрями координатних осей в умовах конкретного завдання вони можуть набувати як позитивних, так і негативних значень.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
1. Прискоренням називають величину, що характеризує зміну швидкості за одиницю часу. Знаючи прискорення тіла та його початкову швидкість, можна знайти швидкість тіла у будь-який момент часу.
2. За будь-якого нерівномірного руху змінюється швидкість. Як прискорення характеризує цю зміну?
2. Якщо прискорення тіла за модулем велике, це означає, що тіло швидко набирає швидкість (коли воно розганяється) або швидко втрачає її (при гальмуванні).
3. Чим відрізняється «уповільнений» прямолінійний рух від «прискореного»?
3. Рух із швидкістю, що зростає по модулю, називають «прискореним» рухом. Рух із швидкістю «уповільненим» рухом.
4. Що таке рівноприскорений рух?
4. Рух тіла, за якого його швидкість за будь-які проміжки часу змінюється однаково, називається рівноприскореним рухом.
5. Чи може тіло рухатися з швидкістю, але з малим прискоренням?
5. Може. Оскільки прискорення залежить від значення швидкості, а характеризує лише її зміна.
6. Як спрямований вектор прискорення за прямолінійного нерівномірного руху?
6. При прямолінійному нерівномірному русі вектор прискорення лежить на одній прямій з векторами V 0 і V .
7. Швидкість - векторна величина, і може змінюватися як модуль швидкості, так і напрям вектора швидкості. Що саме змінюється за прямолінійного рівноприскореного руху?
7. Модуль швидкості. Так як вектори V і a лежать на одній прямій і знаки проекцій їх збігаються.
Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.
Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, лише зі знаком мінус (як пам'ятаєте, швидкість – це векторна величина).
> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:
Мал. 1.8. Середнє прискорення.У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто
Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійної точки, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.
Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:
При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто
V 2 > v 1
а напрямок вектора прискорення збігається з вектором швидкості
Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто
V 2< v 1
той напрямок вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості Інакше кажучи, в даному випадку відбувається уповільнення рухупри цьому прискорення буде негативним (а< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Мал. 1.9. Миттєве прискорення.
При русі по криволінійної траєкторії змінюється як модуль швидкості, а й її напрям. У цьому випадку вектор прискорення являють собою дві складові (див. наступний розділ).
Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.
Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.
Напрямок вектора тангенціального прискорення (рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.
Нормальне прискорення
Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямом і позначається буквою Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.
Повне прискорення
Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень за і визначається формулою:
(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).
У загальному випадку рівноприскореним рухом називають такий рух, при якому вектор прискорення залишається незмінним за модулем та напрямом. Прикладом такого руху є рух каменя, кинутого під деяким кутом до горизонту (без урахування опору повітря). У будь-якій точці траєкторії прискорення каменю дорівнює прискоренню вільного падіння. Для кінематичного опису руху каменю систему координат зручно вибрати так, щоб одна з осей, наприклад, вісь OY, була спрямована паралельно до вектора прискорення. Тоді криволінійний рух каменю можна представити як суму двох рухів. прямолінійного рівноприскореного рухувздовж осі OYі рівномірного прямолінійного рухуу перпендикулярному напрямку, тобто вздовж осі OX(Рис. 1.4.1).
Таким чином вивчення рівноприскореного руху зводиться до вивчення прямолінійного рівноприскореного руху. У разі прямолінійного руху вектори швидкості та прискорення спрямовані вздовж прямого руху. Тому швидкість і прискорення aу проекціях на напрямок руху можна розглядати як алгебраїчні величини.
|
|
|
Малюнок 1.4.1. Проекції векторів швидкості та прискорення на координатні осі. ax = 0, ay = -g |
При рівноприскореному прямолінійному русі швидкість тіла визначається формулою
(*)
У цій формулі υ 0 - швидкість тіла при t = 0 (початкова швидкість ), a= const – прискорення. На графіку швидкості υ ( t) ця залежність має вигляд прямої лінії (рис. 1.4.2).
|
|
|
Малюнок 1.4.2. Графіки швидкості рівноприскореного руху |
За нахилом графіка швидкості може бути визначено прискорення aтіла. Відповідні побудови виконано на рис. 1.4.2 для графіка I. Прискорення чисельно дорівнює відношенню сторін трикутника ABC:
Чим більший кут β, який утворює графік швидкості з віссю часу, тобто чим більший нахил графіка ( крутість), тим більше прискорення тіла.
Для графіка I: ? 0 = -2 м/с, a= 1/2 м/с2.
Для графіка II: ? 0 = 3 м/с, a= -1/3 м/с 2
Графік швидкості дозволяє також визначити проекцію переміщення sтіла за деякий час t. Виділимо на осі часу якийсь малий проміжок часу Δ t. Якщо цей проміжок часу досить малий, то зміна швидкості за цей проміжок невелика, тобто рух протягом цього проміжку часу можна вважати рівномірним з деякою середньою швидкістю, яка дорівнює миттєвій швидкості υ тіла в середині проміжку Δ t. Отже, переміщення Δ sза час Δ tдорівнюватиме Δ s = υΔ t. Це переміщення дорівнює площі заштрихованої смужки (рис. 1.4.2). Розбивши проміжок часу від 0 до деякого моменту tна малі проміжки Δ t, отримаємо, що переміщення sза заданий час tпри рівноприскореному прямолінійному русі дорівнює площі трапеції ODEF. Відповідні побудови виконані для графіка ІІ на рис. 1.4.2. Час tприйнято рівним 5,5 с.
Так як υ - υ 0 = at, остаточна формула для переміщення sтіла при рівномірно прискореному русі на проміжку часу від 0 до tзапишеться у вигляді:
(**)
Для знаходження координати yтіла у будь-який момент часу tпотрібно до початкової координати y 0 Додати переміщення за час t:
(***)
Цей вираз називають законом рівноприскореного руху .
При аналізі рівноприскореного руху іноді виникає завдання визначення переміщення тіла за заданими значеннями початкової 0 і кінцевої швидкості і прискорення a. Ця задача може бути вирішена за допомогою рівнянь, написаних вище, шляхом виключення з них часу t. Результат записується у вигляді
З цієї формули можна отримати вираз для визначення кінцевої швидкості υ тіла, якщо відомі початкова швидкість υ 0 прискорення aта переміщення s:
Якщо початкова швидкість υ 0 дорівнює нулю, ці формули набувають вигляду
Слід ще раз звернути увагу на те, що входять у формули рівноприскореного прямолінійного руху величини 0, υ, s, a, y 0 є алгебраїчними величинами. Залежно від конкретного виду руху, кожна з цих величин може приймати як позитивні, так і негативні значення.
При прямолінійному рівноприскореному русі тіло
- рухається вздовж умовної прямої лінії,
- його швидкість поступово збільшується або зменшується,
- за рівні проміжки часу швидкість змінюється на рівну величину.
Наприклад, автомобіль зі стану спокою починає рухатися прямою дорогою, і до швидкості, скажімо, в 72 км/год він рухається рівноприскорено. Коли задана швидкість досягнуто, то автомобіль рухається без зміни швидкості, тобто рівномірно. За рівноприскореного руху його швидкість зростала від 0 до 72 км/год. І нехай за кожну секунду руху швидкість зростала на 3,6 км/год. Тоді час рівноприскореного руху авто дорівнюватиме 20 секунд. Оскільки прискорення СІ вимірюється в метрах на секунду в квадраті, то треба прискорення 3,6 км/год за секунду перевести у відповідні одиниці вимірювання. Воно дорівнюватиме (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .
Допустимо, через якийсь час їзди з постійною швидкістю автомобіль почав гальмувати, щоб зупинитися. Рух при гальмуванні теж був прискореним (за рівні проміжки часу швидкість зменшувалася на однакову величину). В даному випадку вектор прискорення буде протилежний вектору швидкості. Можна сміливо сказати, що прискорення негативне.
Отже, якщо початкова швидкість тіла нульова, то його швидкість через час у t секунд дорівнюватиме твору прискорення на цей час:
При падінні тіла «працює» прискорення вільного падіння, і швидкість тіла біля поверхні землі визначатиметься за формулою:
Якщо відома поточна швидкість тіла і час, який знадобився, щоб розвинути таку швидкість стану спокою, то можна визначити прискорення (тобто як швидко змінювалася швидкість), розділивши швидкість на час:
Однак тіло могло почати рівноприскорений рух не зі стану спокою, а вже маючи якусь швидкість (або йому надали початкову швидкість). Допустимо, ви кидаєте камінь з вежі вертикально вниз з додатком сили. На таке тіло діє прискорення вільного падіння, що дорівнює 9,8 м/с 2 . Однак ваша сила надала каменю ще швидкості. Таким чином, кінцева швидкість (у момент торкання землі) складатиметься зі швидкості, що розвинулася внаслідок прискорення та початкової швидкості. Таким чином, кінцева швидкість перебуватиме за формулою:
Однак, якщо камінь кидали нагору. То початкова швидкість спрямована вгору, а прискорення вільного падіння вниз. Тобто вектори швидкостей спрямовані у протилежні сторони. У цьому випадку (а також при гальмуванні) добуток прискорення на якийсь час треба віднімати з початкової швидкості:
Отримаємо з цих формул формули прискорення. У разі прискорення:
at = v - v 0
a = (v - v 0) / t
У разі гальмування:
at = v 0 - v
a = (v 0 - v) / t
У разі коли тіло рівноприскорено зупиняється, то в момент зупинки його швидкість дорівнює 0. Тоді формула скорочується до такого виду:
Знаючи початкову швидкість тіла та прискорення гальмування, визначається час, через який тіло зупиниться:
Тепер виведемо формули для шляху, яке тіло проходить при прямолінійному рівноприскореному русі. Графіком залежність швидкості від часу при рівномірному прямолінійному русі є відрізок, паралельний осі часу (зазвичай береться вісь x). Шлях у своїй обчислюється як площа прямокутника під відрізком. Тобто множенням швидкості тимчасово (s = vt). При прямолінійному рівноприскореному русі графіком є пряма, але з паралельна осі часу. Ця пряма або збільшується у разі прискорення, або зменшується у разі гальмування. Однак шлях також визначається як площа постаті під графіком.
При прямолінійному рівноприскореному русі ця фігура є трапецією. Її основами є відрізок на осі y (швидкість) та відрізок, що з'єднує точку кінця графіка з її проекцією на вісь x. Боковими сторонами є сам графік залежності швидкості від часу та його проекція на вісь x (вісь часу). Проекція на вісь x - це не тільки бічна сторона, але ще й висота трапеції, оскільки перпендикулярна його основам.
Як відомо, площа трапеції дорівнює напівсумі підстав на висоту. Довжина першої основи дорівнює початковій швидкості (v 0), довжина другої основи дорівнює кінцевій швидкості (v), висота дорівнює часу. Таким чином отримуємо:
s = ½ * (v 0 + v) * t
Вище була дана формула залежності кінцевої швидкості від початкової та прискорення (v = v 0 + at). Тому у формулі шляху ми можемо замінити v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Отже, пройдений шлях визначається за такою формулою:
s = v 0 t + at 2/2
(До цієї формули можна прийти, розглядаючи не площу трапеції, а підсумовуючи площі прямокутника і прямокутного трикутника, куди розбивається трапеція.)
Якщо тіло почало рухатись рівноприскорено зі стану спокою (v 0 = 0), то формула шляху спрощується до s = at 2/2.
Якщо вектор прискорення протилежний швидкості, то добуток at 2 /2 треба віднімати. Зрозуміло, що при цьому різниця v 0 t і at 2/2 не повинна стати негативною. Коли вона стане рівною нулю, тіло зупиниться. Буде знайдено шлях гальмування. Вище було наведено формулу часу до зупинки (t = v 0 /a). Якщо підставити у формулу шляху значення t, шлях гальмування наводиться до такої формули.