Теорема 1 . Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °.
Нехай у коло з центром О вписано чотирикутник ABCD (рис. 412). Потрібно довести, що ∠А + ∠С = 180° та ∠В + ∠D = 180°.
∠А, як вписаний в коло О, вимірюється 1/2 \(\breve(BCD)\).
∠С, як вписаний у те саме коло, вимірюється 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Отже, сума кутів А і З вимірюється напівсумою дуг BCD і BAD у сумі ці дуги становлять коло, тобто. мають 360 °.
Звідси ∠А + ∠С = 360 °: 2 = 180 °.
Аналогічно доводиться, що ∠В + ∠D = 180°. Однак це можна вивести й іншим шляхом. Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутникадорівнює 360 °. Сума кутів Аі С дорівнює 180 °, отже, на суму інших двох кутів чотирикутника залишається теж 180 °.
Теорема 2 (зворотний). Якщо у чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180 ° , то біля такого чотирикутника можна описати коло.
Нехай сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180 °, а саме
∠А + ∠С = 180° та ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).
Доведемо, що біля такого чотирикутника можна описати коло.
Доведення. Через будь-які 3 вершини цього чотирикутника можна провести коло, наприклад через точки А, В і С. Де буде точка D?
Точка D може зайняти тільки одне з наступних трьохположень: опинитися всередині кола, опинитися поза коло, опинитися на колі кола.
Припустимо, що вершина опиниться всередині кола і займе положення D' (рис. 413). Тоді в чотирикутнику ABCD' матимемо:
∠В + ∠D' = 2 d.
Продовживши сторону AD' до перетину з колом у точці Е і з'єднавши точки Е і С, отримаємо вписаний чотирикутник АВСЕ, в якому за прямою теоремою
∠B + ∠Е = 2 d.
З цих двох рівностей випливає:
∠D' = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
але цього бути не може, тому що ∠D', як зовнішній щодо трикутника CD'E, повинен бути більшим за кут Е. Тому точка D не може опинитися всередині кола.
Також доводиться, що вершина D неспроможна зайняти положення D" поза кола (рис. 414).
Залишається визнати, що вершина D повинна лежати на колі кола, тобто збігатися з точкою Е, отже, біля чотирикутника ABCD можна описати коло.
Наслідки.
1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
2. Навколо рівнобедреної трапеціїможна описати коло.
В обох випадках сума протилежних кутів дорівнює 180 °.
Теорема 3. В описаному чотирикутнику суми протилежних сторінрівні. Нехай чотирикутник ABCD описаний біля кола (рис. 415), тобто сторони його АВ, ВС, CD та DA - дотичні до цього кола.
Потрібно довести, що АВ+CD=AD+ВС. Позначимо точки дотику літерами М, N, К, Р, На підставі властивостей дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо:
Складемо почленно ці рівності. Отримаємо:
АР+ВР+DN+CN=АК+ВМ+DK+СМ,
тобто АВ + CD = AD + ВС, що потрібно було довести.
Інші матеріалиВідеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Тема «Окружність, описана навколо правильного багатокутника» досить докладно розглядається в рамках шкільної програми. Незважаючи на це, завдання, які стосуються даному розділупланіметрії, викликають у багатьох старшокласників певні складнощі. При цьому розуміти принцип вирішення завдань ЄДІз колом, описаним біля багатокутника, повинні випускники з будь-яким рівнем підготовки.
Як підготуватися до єдиного держекзамену?
Для того щоб завдання ЄДІна тему «Окружність, описана біля правильного багатокутника» не викликали у учнів труднощів, займайтеся разом із освітнім порталом «Школково». З нами ви зможете повторити теоретичний матеріалза темами, які викликають у вас проблеми. Теореми та формули, які раніше здавалися досить складними, у нас викладено доступно та зрозуміло.
Щоб освіжити в пам'яті основні визначення та поняття про кути та центр кола, описаного біля багатокутника, а також теореми, пов'язані з довжинами відрізків, випускникам достатньо перейти до розділу «Теоретична довідка». Тут ми розмістили матеріал, складений нашими досвідченими співробітниками спеціально для учнів з різним рівнемпідготовки.
Щоб закріпити засвоєну інформацію, старшокласники можуть попрактикуватися у виконанні вправ. на освітньому порталі«Школково» у розділі «Каталог» представлена велика база завдань різної складності для максимально ефективної підготовкидо ЄДІ. У кожному завданні на сайті прописаний алгоритм вирішення та дано правильну відповідь. База вправ «Школково» регулярно оновлюється та доповнюється.
Практикуватися у виконанні завдань на нашому сайті учні з Москви та інших російських містможуть в онлайн-режимі. У разі потреби будь-яку вправу можна зберегти у розділі «Вибране». Надалі до цього завдання можна буде повернутися і, наприклад, обговорити алгоритм його вирішення шкільним викладачемчи репетитором.
ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ МНОГОКУТНИКИ,
§ 106. ВЛАСТИВОСТІ ВПИСАНИХ І ОПИСАНИХ ЧОТИРОХУГОЛЬНИКІВ.
Теорема 1. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °.
Нехай у коло з центром О вписано чотирикутник ABCD (чорт. 412). Потрібно довести, що / А+ / З = 180 ° і / В+ / D = 180 °.
/
А, як вписаний в коло О, вимірюється 1/2 BCD.
/
З, як вписаний у ту ж коло, вимірюється 1/2 BAD.
Отже, сума кутів А і З вимірюється напівсумою дуг BCD і BAD у сумі ці дуги складають коло, тобто мають 360°.
Звідси /
А+ /
З = 360 °: 2 = 180 °.
Аналогічно доводиться, що і / В+ / D = 180 °. Однак це можна вивести й іншим шляхом. Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 °. Сума кутів А і С дорівнює 180 °, отже, на суму інших двох кутів чотирикутника залишається теж 180 °.
Теорема 2(Зворотній). Якщо у чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180 ° , то біля такого чотирикутника можна описати коло.
Нехай сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180 °, а саме
/
А+ /
З = 180 ° і /
В+ /
D = 180 ° (чорт. 412).
Доведемо, що біля такого чотирикутника можна описати коло.
Доведення. Через будь-які 3 вершини цього чотирикутника можна провести коло, наприклад через точки А, В і С. Де буде точка D?
Точка D може зайняти лише одне з наступних трьох положень: опинитися всередині кола, опинитися поза коло, опинитися на колі кола.
Припустимо, що вершина опиниться всередині кола і займе положення D" (чорт. 413). Тоді в чотирикутнику ABCD" матимемо:
/ В+ / D" = 2 d.
Продовживши бік AD" до перетину з колом у точці Е і з'єднавши точки Е і С, отримаємо вписаний чотирикутник АВСЕ, в якому за прямою теоремою
/ B + / Е = 2 d.
З цих двох рівностей випливає:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E = 2 d - /
B;
/ D" = / E,
але цього не може бути, оскільки / D", як зовнішній щодо трикутника CD"E, має бути більше кута Е. Тому точка D не може опинитися всередині кола.
Також доводиться, що вершина D неспроможна зайняти положення D" поза кола (чорт. 414).
Залишається визнати, що вершина D повинна лежати на колі кола, тобто збігатися з точкою Е, отже, біля чотирикутника ABCD можна описати коло.
Наслідки. 1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
2. Навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло.
В обох випадках сума протилежних кутів дорівнює 180 °.
Теорема 3.В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють. Нехай чотирикутник ABCD описаний біля кола (чорт. 415), тобто сторони його АВ, ВС, CD та DA - дотичні до цього кола.
Потрібно довести, що АВ+CD=AD+ВС. Позначимо точки дотику літерами М, N, К, Р, На підставі властивостей дотичних, проведених до кола з однієї точки (§ 75), маємо:
АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.
Складемо почленно ці рівності. Отримаємо:
АР+ВР+DN+CN=АК+ВМ+DK+СМ,
тобто АВ + CD = AD + ВС, що потрібно було довести.
Вправи.
1. У вписаному чотирикутнику два протилежних кутавідносяться як 3: 5,
інші два ставляться як 4: 5. Визначити величину цих кутів.
2. В описаному чотирикутнику сума двох протилежних сторін дорівнює 45 см. Інші дві сторони відносяться як 0,2: 0,3. Знайти довжину цих сторін.
Коло називається вписаним у чотирикутник, якщо всі сторони чотирикутника є дотичними до кола.
Центром цього кола є точка перетину бісектрис кутів чотирикутника. У цьому випадку радіуси, проведені в точки торкання, є перпендикулярами до сторін чотирикутника.
Коло називається описаним біля чотирикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.
Центром цього кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін чотирикутника
Не у будь-який чотирикутник можна вписати коло і не біля кожного чотирикутника можна описати коло
ВЛАСТИВОСТІ ВПИСАНИХ І ОПИСАНИХ ЧОТИРИКУТНИКІВ
ТЕОРЕМА У опуклому вписаному чотирикутнику суми протилежних кутів рівні між собою і дорівнюють 180°.
ТЕОРЕМА Назад: якщо у чотирикутнику суми протилежних кутів рівні, то близько чотирикутника можна описати коло. Її центр – точка перетину серединних перпендикулярів до сторін.
ТЕОРЕМА Якщо чотирикутник вписано коло, то суми протилежних сторінйого рівні.
ТЕОРЕМА Назад: якщо у чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло. Її центр - точка перетину бісектрис.
Наслідки: із усіх паралелограмів лише біля прямокутника (зокрема біля квадрата) можна описати коло.
З усіх паралелограмів тільки в ромб (зокрема у квадрат) можна вписати коло (центр - точка перетину діагоналей, радіус - дорівнює половинівисоти).
Якщо біля трапеції можна описати коло, вона рівнобедренная. Біля будь-якої рівнобедреної трапеції можна описати коло.
Якщо в трапецію вписано коло, то радіус її дорівнює половині висоти.
Завдання з рішеннями
1. Знайти діагональ прямокутника, вписаного в коло, радіус якого дорівнює 5.
Центром кола, описаного біля прямокутника, є точка перетину його діагоналей. Отже, діагональ АСдорівнює 2 R. Тобто АС=10
Відповідь: 10.
2. Біля трапеції, основи якої 6 см і 8 см, а висота 7см, описано коло Знайти площу цього кола.
Нехай DC=6, AB=8. Оскільки близько трапеції описано коло, вона рівнобедренная.
Проведемо дві висоти DM та CN. Так як трапеція рівнобедрена, то AM=NB=
Тоді AN=6+1=7
З трикутника ANСза теоремою Піфагора знайдемо АС.
З трикутника CВNза теоремою Піфагора знайдемо НД.
Окружність, описана біля трапеції, є і колом, описаним біля трикутника АСВ.
Знайдемо площу цього трикутника двома способами за формулами
Де h- висота та - основа трикутника
Де R-радіус описаного кола.
З цих виразів отримуємо рівняння. Звідки
Площа кола дорівнюватиме
3. Кути і чотирикутника відносяться як . Знайдіть кут , якщо біля цього чотирикутника можна описати коло. Відповідь дайте у градусах
З умови випливає, що .оскільки близько чотирикутника можна описати коло, то
Отримуємо рівняння 
. Тоді. Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360 º. Тоді
. звідки отримуємо, що
4.Бічні сторони трапеції, описаної біля кола, дорівнюють 3 і 5. Знайдіть середню лінію трапеції.
Тоді середня лініядорівнює 
5. Периметр прямокутної трапеції, описаної біля кола, дорівнює 22, її велика бічна сторонадорівнює 7. Знайдіть радіус кола.
У трапеції радіус вписаного кола дорівнює половині висоти. Проведемо висоту СК.
Тоді 
.
Так як у трапецію вписано коло, то суми довжин протилежних сторін дорівнюють. Тоді
Тоді периметр
Отримуємо рівняння
6. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 і 6. Радіус описаного кола дорівнює 5. Знайдіть висоту трапеції.
Нехай Про центр описаної біля трапеції кола. Тоді.
Проведемо висоту КН через точку О
Тоді 
, де КО та ВІН висоти та одночасно медіани рівнобедрених трикутників DOC та АОВ. Тоді 
За теоремою Піфагора.