Логарифмічні вирази, Вирішення прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, прикладних задачах, також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.
Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:
Основна логарифмічна тотожність:
Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:
*Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.
* * *
*Логарифм ступеня дорівнює творупоказника ступеня на логарифм її основи.
* * *
*Перехід до нової основи
* * *
Ще властивості:
* * *
Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.
Перерахуємо деякі з них:
Суть даної властивостіполягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:
Наслідок з цієї властивості:
* * *
При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.
* * *
Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна гарна практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.
Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!
На цьому все! Успіху Вам!
З повагою, Олександр Крутицьких
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Пояснимо простіше. Наприклад, \(\log_(2)(8)\) дорівнює ступеню, яку треба звести \(2\), щоб отримати \(8\). Звідси відомо, що (log_(2)(8)=3).
|
Приклади: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
т.к. \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
т.к. \ (3 ^ (4) = 81 \) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
т.к. \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Аргумент та основа логарифму
Будь-який логарифм має таку «анатомію»:
Аргумент логарифму зазвичай пишеться з його рівні, а основа - підрядковим шрифтом ближче до знаку логарифму. А читається цей запис так: «логарифм двадцяти п'яти на підставі п'ять».
Як визначити логарифм?
Щоб обчислити логарифм – потрібно відповісти на запитання: в який ступінь слід звести основу, щоб отримати аргумент?
Наприклад, обчисліть логарифм: а) \(\log_(4)(16)\) б) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) в) \(\log_(\sqrt (5))(1)\) г) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) д) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
а) В який ступінь треба звести (4), щоб отримати (16)? Вочевидь у другу. Тому:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
в) У який ступінь треба звести (sqrt(5)), щоб отримати (1)? А який рівень робить будь-яке число одиницею? Нуль, звичайно!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
г) В який ступінь треба звести \(\sqrt(7)\), щоб отримати \(\sqrt(7)\)? У першу - будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
д) В який ступінь треба звести \(3\), щоб отримати \(\sqrt(3)\)? З ми знаємо, що – це дробовий ступінь, і значить квадратний корінь- це ступінь \(\frac(1)(2)\).
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
приклад : Обчислити логарифм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Рішення :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Нам треба знайти значення логарифму, позначимо його за ікс. Тепер скористаємося визначенням логарифму: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Що пов'язує \(4\sqrt(2)\) і \(8\)? Двійка, тому що і те, і інше число можна уявити двійки: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Зліва скористаємось властивостями ступеня: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) та \((a^(m))^(n)=a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Підстави рівні, переходимо до рівності показників |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Помножимо обидві частини рівняння на \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Корінь, що вийшов, і є значення логарифму |
Відповідь : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Навіщо вигадали логарифм?
Щоб це зрозуміти, розв'яжемо рівняння: \(3^(x)=9\). Просто підберіть \(x\), щоб рівність спрацювала. Звичайно, (x = 2).
А тепер розв'яжіть рівняння: \(3^(x)=8\). дорівнює ікс? Ось у тому й справа.
Найдогадливіші скажуть: «ікс трохи менше двох». А як точно записати це число? Для відповіді це питання і придумали логарифм. Завдяки йому відповідь тут можна записати як \(x=\log_(3)(8)\).
Хочу наголосити, що \(\log_(3)(8)\), як і будь-який логарифм - це просто число. Так, виглядає незвично, зате коротко. Тому що, якби ми захотіли записати його у вигляді десяткового дробу, то воно виглядало б ось так: \(1,892789260714.....\)
приклад : Розв'яжіть рівняння \(4^(5x-4)=10\)
Рішення :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) і \(10\) жодної підстави не привести. Значить, тут не обійтися без логарифму. Скористаємося визначенням логарифму: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Дзеркально перевернемо рівняння, щоб ікс був ліворуч |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Перед нами . Перенесемо (4) праворуч. І не лякайтеся логарифму, ставтеся до нього як до звичайного числа. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Поділимо рівняння на 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ось наш корінь. Так, виглядає незвично, але відповіді не обирають. |
Відповідь : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Десятковий та натуральний логарифми
Як зазначено у визначенні логарифму, його основою може бути будь-яке додатне число, Крім одиниці \ ((a> 0, a \ neq1) \). І серед усіх можливих підстав є два такі часто, що для логарифмів з ними придумали особливий короткий запис:
Натуральний логарифм: логарифм, у якого основа - число Ейлера (e) (рівне приблизно (2,7182818 ...)), і записується такий логарифм як (ln (a)).
Тобто, \(\ln(a)\) це те саме, що і \(\log_(e)(a)\)
Десятковий логарифм: логарифм, у якого основа дорівнює 10, записується \(\lg(a)\).
Тобто, \(\lg(a)\) це те саме, що і \(\log_(10)(a)\), Де \(a\) - деяке число.
Основне логарифмічне тотожність
У логарифмів є багато властивостей. Одне з них носить назву «Основна логарифмічна тотожність» і виглядає так:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ця властивість випливає безпосередньо з визначення. Подивимося, як саме ця формула з'явилася.
Згадаймо короткий запис визначення логарифму:
якщо \(a^(b)=c\), то \(\log_(a)(c)=b\)
Тобто, \(b\) - це теж саме, що \(\log_(a)(c)\). Тоді ми можемо у формулі \(a^(b)=c\) написати \(\log_(a)(c)\) замість \(b\). Вийшло \(a^(\log_(a)(c))=c\) – основна логарифмічна тотожність.
Інші властивості логарифмів ви можете знайти. З їх допомогою можна спрощувати та обчислювати значення виразів з логарифмами, які «в лоб» порахувати складно.
приклад : Знайдіть значення виразу \(36^(\log_(6)(5))\)
Рішення :
Відповідь : \(25\)
Як записати число у вигляді логарифму?
Як було сказано вище – будь-який логарифм це число. Вірно і зворотне: будь-яке число може бути записане як логарифм. Наприклад, ми знаємо, що \(\log_(2)(4)\) дорівнює двом. Тоді можна замість двійки писати \(\log_(2)(4)\).
Але \(\log_(3)(9)\) теж дорівнює \(2\), значить, також можна записати \(2=\log_(3)(9)\). Аналогічно і з (log_(5)(25)\), і з(log_(9)(81)\), і т.д. Тобто виходить
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Таким чином, якщо нам потрібно, ми можемо будь-де (хоч у рівнянні, хоч у виразі, хоч у нерівності) записувати двійку як логарифм з будь-якою основою – просто як аргумент пишемо основу в квадраті.
Так само і з трійкою – її можна записати як \(\log_(2)(8)\), або як \(\log_(3)(27)\), або як \(\log_(4)(64) \) ... Тут ми як аргумент пишемо основу в кубі:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
І з четвіркою:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
І з мінус одиницею:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
І з однієї третьої:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Будь-яке число \(a\) може бути представлене як логарифм з основою \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
приклад : Знайдіть значення виразу \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Рішення :
Відповідь : \(1\)
Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N
За умови, що 
,
,
З визначення логарифму випливає, що 
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.
Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість 
пишуть 
.
Логарифми на підставі e
називаються натуральними та позначаються 
.
Основні властивості логарифмів.
Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.
3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів
Множник 
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a
до логарифмів на підставі b
.
За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.
Наприклад, 
Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.
Розділ 2. Елементи вищої математики.
1. Межі
Межею функції 
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx
0
для кожного наперед заданого 
, знайдеться таке число 
, що як тільки 
, то 
.
Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину: 
, де -б.м.в., тобто. 
.
приклад. Розглянемо функцію 
.
При прагненні 
, функція y
прагне до нуля: 
1.1. Основні теореми про межі.
Межа постійної величинидорівнює цій постійній величині
.
Межа суми (різниці) кінцевого числафункцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функций.
Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.
Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.
Чудові межі
,
, де 
1.2. Приклади обчислення меж
Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: 
або .
.
2. Похідна функції
Нехай ми маємо функцію 
, безперервну на відрізку 
.
Аргумент 
отримав деяке приріст 
. Тоді і функція отримає збільшення 
.
Значення аргументу 
відповідає значення функції 
.
Значення аргументу 
відповідає значення функції.
Отже, .
Знайдемо межу цього відношення при 
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.
Визначення 3Виробної даної функції 
за аргументом 
називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.
Похідна функції 
може бути позначена таким чином:
;
;
;
.
Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.
2.1. Механічний сенс похідної.
Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.
Нехай у певний момент часу 
точка, що рухається 
знаходилась на відстані 
від початкового положення 
.
Через деякий проміжок часу 
вона перемістилася на відстань 
. Ставлення 
=
- Середня швидкістьматеріальної точки 
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що 
.
Отже, визначення миттєвої швидкостірух матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.
2.2. Геометричне значенняпохідний
Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію 
.
Мал. 1. Геометричний зміст похідної
Якщо 
, то крапка 
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки 
.
Отже 
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу 
чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі 
.
2.3. Таблиця основних формул диференціювання.
Ступінна функція
|
|
|
|
|
|
|
Показова функція
|
|
|
|
|
Логарифмічна функція
|
|
|
|
|
Тригонометрична функція
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зворотна тригонометрична функція
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Правила диференціювання.
Похідна від 
Похідна суми (різниці) функцій
Похідна робота двох функцій
Похідна приватного двох функцій
2.5. Похідна від складної функції.
Нехай дана функція 
така, що її можна подати у вигляді
і 
, де змінна 
є проміжним аргументом, тоді 
Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.
Приклад1. 
Приклад2. 
3. Диференціал функції.
Нехай є 
, що диференціюється на деякому відрізку 
і нехай у
цієї функції є похідна
,
тоді можна записати
(1),
де 
- нескінченно мала величина,
так як при 
Помножуючи всі члени рівності (1) на 
маємо:
Де 
- Б.М.В. вищого ладу.
Величина 
називається диференціалом функції 
і позначається 
.
3.1. Геометричне значення диференціалу.
Нехай дана функція 
.
Рис.2. Геометричний зміст диференціала.
.
Очевидно, що диференціал функції 
дорівнює приросту ординати дотичної у цій точці.
3.2. Похідні та диференціали різних порядків.
Якщо є 
тоді 
називається першою похідною.
Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується 
.
Похідний n-го порядку від функції 
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:
.
Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.
.
.
3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.
Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону 
, де N
– чисельність мікроорганізмів (у тис.), t
-Час (Дні).
б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?
Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.
Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням
.
Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?
РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.
,
Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.
Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.
(від грецької λόγος - «слово», «ставлення» та ἀριθμός - «число») числа bна підставі a(log α b) називається таке число c, і b= a cтобто записи log α b=cі b=acеквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говорячи іншими словами логарифмчисла bна підставі аформулюється як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).
З цього формулювання випливає, що обчислення x= log α b, рівнозначно рішенню рівняння a x = b.
Наприклад:
log 2 8 = 3 тому, що 8 = 2 3 .
Виділимо, що зазначене формулювання логарифму дає можливість відразу визначити значення логарифмуколи число під знаком логарифму виступає деяким ступенем основи. І справді, формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.
Обчислення логарифму називають логарифмуванням. Логарифмування - це математична операціявзяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників трансформується у суми членів.
Потенціювання- це математична операція, зворотна логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів трансформуються у твір співмножників.
Досить часто використовуються речові логарифми з основами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 ( натуральний логарифм) та 10 (десятковий).
на даному етапідоцільно розглянути зразки логарифмів log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифму вміщено негативне число , у другій - від'ємне числов основі, а в третій - і від'ємне число під знаком логарифму та одиниця в основі.
Умови визначення логарифму.
Варто окремо розглянути умови a > 0, a ≠ 1, b > 0. за яких дається визначення логарифму.Розглянемо, чому взято ці обмеження. У цьому нам допоможе рівність виду x = log α b, зване основним логарифмічним тотожністю , яке безпосередньо випливає з цього визначення логарифму.
Візьмемо умову a≠1. Оскільки одиниця будь-якою мірою дорівнює одиниці, то рівність x=log α bможе існувати лише за b=1але при цьому log 1 1 буде будь-яким дійсним числом. Для виключення цієї неоднозначності і береться a≠1.
Доведемо необхідність умови a>0. При a=0за формулюванням логарифму може існувати тільки при b=0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, тому що нуль у будь-якій відмінній від нуля мірі є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умову a≠0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних та ірраціональних значень логарифму, оскільки ступінь з раціональним та ірраціональним показником визначено лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умову a>0.
І остання умова b>0випливає з нерівності a>0оскільки x=log α b, а значення ступеня з позитивною основою aзавжди позитивно.
Особливості логарифмів.
Логарифмихарактеризуються відмінними особливостями, які зумовили їхнє повсюдне вживання для значного полегшення копітких розрахунків. При переході «у світ логарифмів» множення трансформується значно більше легке додавання, Поділ - на віднімання, а зведення в ступінь і вилучення кореня трансформуються відповідно в множення та розподіл на показник ступеня.
Формулювання логарифмів та таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) вперше видав у 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені та деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових та інженерних обчислень, і залишалися актуальними доки не стали застосовуватись електронні калькулятори та комп'ютери.