Sistem doğrusal denklemler iki bilinmeyenli - bunlar, hepsini bulmanın gerekli olduğu iki veya daha fazla doğrusal denklemdir genel çözümler. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini ele alacağız. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir, a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı reel sayılardır. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin birkaç yolu vardır. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin yollarından birini, yani toplama yöntemini ele alalım.
Toplama yöntemiyle çözme algoritması
İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma.
1. Gerektiğinde eşdeğer dönüşümler Her iki denklemdeki bilinmeyen değişkenlerden birinin katsayılarını eşitleyin.
2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak, bir bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edin
3. Ortaya çıkan denklemi bir bilinmeyenle çözün ve değişkenlerden birini bulun.
4. Ortaya çıkan ifadeyi sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyun ve bu denklemi çözerek ikinci değişkeni elde edin.
5. Çözümü kontrol edin.
Toplama yöntemini kullanan bir çözüm örneği
Daha fazla netlik sağlamak için, aşağıdaki iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözelim:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Değişkenlerin hiçbirinin katsayıları aynı olmadığından y değişkeninin katsayılarını eşitliyoruz. Bunu yapmak için ilk denklemi üçle, ikinci denklemi ikiyle çarpın.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Aldık aşağıdaki denklem sistemi:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Şimdi ikinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz. Sunuyoruz benzer terimler ve ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Ortaya çıkan değeri orijinal sistemimizdeki ilk denklemde yerine koyarız ve elde edilen denklemi çözeriz.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
Sonuç x=6 ve y=14 sayılarından oluşan bir çifttir. Kontrol ediyoruz. Bir değişiklik yapalım.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Gördüğünüz gibi iki doğru eşitliğimiz var, dolayısıyla doğru çözümü bulduk.
Talimatlar
Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rasgele seçilen (sistemden) denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı x=116, y=11'dir.
Grafik yöntemi.
Bir denklem sisteminde doğruların matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarını pratik olarak bulmayı içerir. Her iki doğrunun grafiği aynı koordinat sisteminde ayrı ayrı çizilmelidir. Genel görünüm: – y=khx+b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x – y=4
Y=-3x+1.
İlki kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur; kolaylık sağlamak için onu yazmanız gerekir: y=2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün ve y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde ediyoruz. (resme bakınız)
x 0 1
y -4 -2
İkinci denklem kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur: y=-3x+1.
Ayrıca düz bir çizgi oluşturun. (resme bakınız)
1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).
Konuyla ilgili video
Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse farklı şekillerde, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).
Kaynaklar:
- 8. sınıf cebir
- iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
- İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri
Sistem denklemler her biri bir dizi değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.
İhtiyacın olacak
- -cetvel ve kalem;
- -hesap makinesi.
Talimatlar
a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2 formuna sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını ele alalım. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest terimlerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarını temsil eder. Başlangıç olarak her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemde yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, ortaya çıkan noktaları işaretleyin ve içinden bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.
Sistem tek çözüm, eğer inşa edilen çizgiler kesişiyorsa ve bir ortak nokta. Birbirine paralel ise uyumsuzdur. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.
Bu yöntemçok görsel olarak kabul edilir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Daha doğru bir sonuç sözde verilir. cebirsel yöntemler.
Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için, ortaya çıkan değerleri değişkenlerin yerine koyun. Çözümünü çeşitli yöntemler kullanarak da bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.
Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Denklemi çözmek için verilen sayıları hatırlamanız ve onlarla yapmanız gerekir. özel set eylemler.
İhtiyacın olacak
- - bir kağıt parçası;
- - kalem veya kurşun kalem.
Talimatlar
Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Bir düşünün, her tavşanın bir tane alması için yine de daha fazla havuç almanız gerekiyor.
Bu problemi bir denklem şeklinde sunalım: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım. Gerçekten 5 + 3 = 8.
X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5'i çıkardığınızda yaptığınız şeyin aynısını yapmış olursunuz. bilinmiyor terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.
Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi telafi edelim. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Anlamı bulunması gereken harflere denir. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşan problemimizi çözerken şu denklemi elde ederiz: 5 + x = 20.
20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azaltılan sayıdır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuç fark denir. Yani x = 20 – 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekiyor.
Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğru çözülmüştür. Tabii ne zaman hakkında konuşuyoruz bu kadar basit olanlar için kontrol yapılmasına gerek yoktur. Ancak elinizde üç basamaklı, dört basamaklı vb. rakamlardan oluşan denklemler varsa, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.
Konuyla ilgili video
Faydalı tavsiyeler
Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.
Bulmak için bilinmeyen çıkan, farkı eksiden çıkarmanız gerekir.
İpucu 4: Bir sistem nasıl çözülür? üç denklemüç bilinmeyenli
Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmenize olanak tanır.
Talimatlar
Yerine koyma yöntemi, bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene kadar sırayla ardışık olarak elde edilen sonucun sistem denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Üç denklemden oluşan bir sistem verilsin genel görünüm:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Alacaksın doğrusal ifade z için sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla. Şimdi "geriye" gidin: z'yi ikinci denklemde değiştirin ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi birinci denklemde yerine koyun ve x'i çözün. Süreç genel olarak z bulunmadan önceki şekilde gösterilmektedir. Genel biçimde daha fazla yazmak çok zahmetli olacaktır; pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.
Cramer'in yöntemi, sistemin bir matrisini oluşturmak ve bu matrisin determinantını ve ayrıca üç tane daha hesaplamaktan oluşur. yardımcı matrisler. Sistem matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerinin katsayılarından oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren bir sütun, sağ taraflarındaki bir sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.
Konuyla ilgili video
lütfen aklınızda bulundurun
Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.
Faydalı tavsiyeler
Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.
Kendi başına denklemüç ile bilinmiyor birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.
Talimatlar
Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile bilinmiyor. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.
Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken çarpmanız gerektiğini unutmayın. sol taraf ve doğru olanı. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.
Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri bilinmiyor. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B'yi elde edeceğinizi lütfen unutmayın.
İlk önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, olmaması gerektiğine dikkat edin sıfıra eşit. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.
Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Kaynaklar:
- üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri
Bir denklem sistemini çözmeye başladığınızda bunların ne tür denklemler olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri oldukça iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm tekniklerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.
Bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet, paylar da yapılarında bazı modeller gösteriyor. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen tasarlandılar algoritmik yöntemlerçözümler. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü öğrenmelisin genel sistem n denklemden denklemler.
Sistem n doğrusal cebirsel denklemler n bilinmeyenli forma sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde aij sistemin katsayılarıdır,
xj – bilinmeyenler, bi – serbest terimler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistem katsayılarının matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayı matrisinin determinantına ∆ ana, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için, yardımcı determinant, ana determinantın i'inci sütununun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 2'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.
Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyen içeren iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Lineer denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. okul müfredatı. Bunlardan birine yöntem, diğerine ise toplama yöntemi denir.
İki denklemli bir sistemin standart formu
Şu tarihte: standart form ilk denklem a1*x+b1*y=c1 biçimindedir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2 biçimindedir ve böyle devam eder. Örneğin sistemin iki parçası olması durumunda, her ikisi de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 belirli denklemlerle temsil edilen bazı sayısal katsayılardır. Buna karşılık x ve y, değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenleri temsil eder. Gerekli değerler her iki denklemi aynı anda dönüştürür gerçek eşitlikler.Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözme
Sistemi çözmek, yani onları gerçek eşitliklere dönüştürecek x ve y değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayılarının büyüklüğü aynı, ancak işareti farklı olacak şekilde denklemlerden birini dönüştürmektir.Örneğin iki denklemden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 katsayısıyla çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru katsayı seçimi aşağıdakilerden biridir: anahtar görevler sistemin tamamını belirlediği için toplama yoluyla çözme sürecinde daha fazla hareket Bilinmeyenleri bulma prosedürleri.
Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, katsayıları eşit değerde ancak işareti zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi -10x=-4 formunun oluşmasına yol açacaktır. Bundan sonra, x = 0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.
Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerini, sistemdeki orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koymaktır. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnek sistemin kökleridir.
Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durumda 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde ederiz ki bu doğrudur.
Konuyla ilgili video
Bu makaledeki materyal denklem sistemleriyle ilk tanışma amaçlıdır. Burada bir denklem sisteminin tanımını ve çözümlerini tanıtacağız ve ayrıca en yaygın denklem sistemi türlerini ele alacağız. Her zamanki gibi açıklayıcı örnekler vereceğiz.
Sayfada gezinme.
Denklem sistemi nedir?
Denklem sisteminin tanımına yavaş yavaş yaklaşacağız. İlk olarak, iki noktayı belirterek bunu vermenin uygun olduğunu söyleyelim: birincisi, kaydın türü ve ikincisi, bu kaydın içerdiği anlam. Şimdi sırasıyla bunlara bakalım ve ardından akıl yürütmeyi denklem sistemlerinin tanımına genelleyelim.
Önümüzde birkaç tane olsun. Örneğin iki denklemi ele alalım: 2 x+y=−3 ve x=5. Bunları alt alta yazalım ve solda küme paranteziyle birleştirelim:
Bir sütun halinde düzenlenmiş ve solda küme ayracı ile birleştirilmiş çeşitli denklemlerden oluşan bu tür kayıtlar, denklem sistemlerinin kayıtlarıdır.
Bu tür girişler ne anlama geliyor? Her denklemin çözümü olan sistem denklemlerinin tüm bu tür çözümlerinin kümesini tanımlarlar.
Başka bir deyişle anlatmaktan zarar gelmez. İlk denklemin bazı çözümlerinin sistemin diğer tüm denklemlerinin çözümü olduğunu varsayalım. Yani sistem kaydı sadece onları ifade ediyor.
Artık bir denklem sisteminin tanımını yeterince kabul etmeye hazırız.
Tanım.
Denklem sistemleri Sol tarafta küme ayracı ile birleştirilen ve aynı zamanda sistemin her denkleminin çözümü olan denklemlerin tüm çözümlerinin kümesini gösteren, birbirinin altında yer alan denklemlerden oluşan çağrı kayıtları.
Benzer bir tanım ders kitabında da verilmiş ancak burada verilmemiştir. genel durum ve iki kişilik rasyonel denklemler iki değişkenle.
Ana türler
Sonsuz sayıda farklı denklemin olduğu açıktır. Doğal olarak bunları kullanarak derlenen sonsuz sayıda denklem sistemi de vardır. Bu nedenle, denklem sistemlerini incelemenin ve onlarla çalışmanın kolaylığı için, bunları benzer özelliklere göre gruplara ayırmak ve ardından bireysel türdeki denklem sistemlerini dikkate almak mantıklıdır.
İlk bölüm, sisteme dahil edilen denklemlerin sayısıyla kendini gösterir. İki denklem varsa, iki denklemli bir sistemimiz olduğunu söyleyebiliriz, eğer üçse, o zaman üç denklemli bir sistemimiz var vb. Tek denklemli bir sistemden bahsetmenin hiçbir anlamı olmadığı açıktır, çünkü bu durumda özünde sistemle değil denklemin kendisiyle ilgileniyoruz.
Bir sonraki bölüm, sistemin denklemlerinin yazılmasında yer alan değişkenlerin sayısına dayanmaktadır. Bir değişken varsa, o zaman bir değişkenli (aynı zamanda bir bilinmeyenli) bir denklem sistemiyle, iki varsa, o zaman iki değişkenli (iki bilinmeyenli) vb. bir denklem sistemiyle uğraşıyoruz. Örneğin, 
iki değişken x ve y olan bir denklem sistemidir.
Bu, kayıtta yer alan tüm farklı değişkenlerin sayısını ifade eder. Hepsinin aynı anda her denklemin kaydına dahil edilmesi gerekmez; en az bir denklemde bulunmaları yeterlidir. Örneğin, 
üç değişkenli x, y ve z içeren bir denklem sistemidir. İlk denklemde x değişkeni açıkça mevcut, y ve z örtülü (bu değişkenlerin sıfıra sahip olduğunu varsayabiliriz), ikinci denklemde ise x ve z var, ancak y değişkeni açıkça sunulmuyor. Başka bir deyişle, ilk denklem şu şekilde görülebilir: 
, ve ikincisi – x+0·y−3·z=0 olarak.
Denklem sistemlerinin farklılık gösterdiği üçüncü nokta, denklemlerin türüdür.
Okulda denklem sistemlerinin incelenmesi şu şekilde başlar: iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi. Yani bu tür sistemler iki doğrusal denklem oluşturur. İşte birkaç örnek: 
Ve 
. Denklem sistemleriyle çalışmanın temellerini öğrenirler.
Daha fazlasına karar verirken karmaşık görevler Ayrıca üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemiyle de karşılaşabilirsiniz.
9. sınıfta ayrıca, iki değişkenli iki denklem sistemlerine, çoğunlukla ikinci dereceden denklemlerin tamamı, daha az sıklıkla - daha fazla doğrusal olmayan denklemler eklenir. yüksek dereceler. Bu sistemlere sistem denir doğrusal olmayan denklemler Gerekirse denklemlerin ve bilinmeyenlerin sayısını netleştirin. Bu tür doğrusal olmayan denklem sistemlerine örnekler gösterelim: 
Ve .
Ve ayrıca sistemlerde örneğin . Hangi denklemlerin olduğu belirtilmeden genellikle basit denklem sistemleri olarak adlandırılırlar. Burada, çoğu zaman bir denklem sisteminin basitçe "denklem sistemi" olarak anıldığını ve açıklamaların yalnızca gerektiğinde eklendiğini belirtmekte fayda var.
Lisede materyal incelenirken irrasyonel, trigonometrik, logaritmik ve üstel denklemler
: 
, 
, 
.
Üniversitenin birinci sınıf müfredatına daha da derinlemesine bakarsak, asıl vurgu, doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE'ler), yani sol taraflarında birinci dereceden polinomlar içeren denklemlerin incelenmesi ve çözümü üzerinedir. ve sağ taraflarda belirli sayılar bulunur. Ancak orada, okuldan farklı olarak, artık iki değişkenli iki doğrusal denklem değil, keyfi sayıda denklem alıyorlar. herhangi bir sayı değişkenler genellikle denklem sayısıyla eşleşmez.
Bir denklem sisteminin çözümü nedir?
“Denklem sisteminin çözümü” terimi doğrudan denklem sistemlerini ifade eder. Okulda iki değişkenli bir denklem sistemini çözmenin tanımı verilmektedir. :
Tanım.
İki değişkenli bir denklem sistemini çözme sistemin her denklemini doğruya çeviren, diğer bir deyişle sistemin her denkleminin çözümü olan bu değişkenlerin değer çiftine denir.
Örneğin, x=5, y=2 değişken değerleri çifti ((5, 2) olarak yazılabilir), tanım gereği bir denklem sisteminin çözümüdür, çünkü sistemin denklemleri x= yerine konulduğunda 5, y=2 doğru olur sayısal eşitlikler Sırasıyla 5+2=7 ve 5−2=3. Ancak x=3, y=0 değer çifti bu sistem için bir çözüm değildir, çünkü bu değerleri denklemlerde yerine koyarken bunlardan ilki yanlış 3+0=7 eşitliğine dönüşecektir.
Benzer tanımlar tek değişkenli sistemler için olduğu gibi üç, dört vb. değişkenli sistemler için de formüle edilebilir. değişkenler.
Tanım.
Tek değişkenli denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerinin kökü olan, yani tüm denklemleri doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenin bir değeri olacaktır.
Bir örnek verelim. t şeklinde tek değişkenli bir denklem sistemi düşünün 
. Hem (−2) 2 =4 hem de 5·(−2+2)=0 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan, −2 sayısı bunun çözümüdür. Ve t=1 sistemin bir çözümü değildir, çünkü bu değerin yerine koymak iki yanlış eşitlik verecektir: 1 2 =4 ve 5·(1+2)=0.
Tanım.
Üçlü, dörtlü vb. bir sistemi çözme. değişkenlerüç, dört vb. denir. değişkenlerin değerleri sırasıyla sistemin tüm denklemlerini gerçek eşitliklere dönüştürür.
Yani tanım gereği x=1, y=2, z=0 değişkenlerinin değerlerinin üçlüsü sistemin bir çözümüdür 
2·1=2, 5·2=10 ve 1+2+0=3 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan. Ve (1, 0, 5) bu sistemin çözümü değildir, çünkü değişkenlerin bu değerleri sistem denklemlerinde yerine konulduğunda ikincisi hatalı 5·0=10 eşitliğine dönüşür ve üçüncüsü de 1+0+5=3.
Denklem sistemlerinin çözümleri olmayabileceğini, ancak çözümlerinin olabileceğini unutmayın. son sayıçözümler, örneğin bir, iki, ..., ancak sonsuz sayıda çözümü olabilir. Konuyu derinlemesine incelediğinizde bunu göreceksiniz.
Bir denklem sisteminin tanımlarını ve çözümlerini dikkate alarak, bir denklem sisteminin çözümünün, tüm denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz.
Sonuç olarak, ilgili birkaç tanımı burada bulabilirsiniz:
Tanım.
ortak olmayan, eğer çözümü yoksa, aksi takdirde sistem denir eklem yeri.
Tanım.
Denklem sisteminin adı belirsiz sonsuz sayıda çözümü varsa ve kesin Sonlu sayıda çözümü varsa veya hiç yoksa.
Bu terimler, örneğin bir ders kitabında tanıtılır, ancak okulda oldukça nadiren kullanılır; yüksek öğretim kurumlarında daha sık duyulur.
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 14:00'da 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir ve başlangıçlar matematiksel analiz. 11. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı ( profil düzeyi) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- A. G. Kurosh. Yüksek cebir dersi.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometri: Ders Kitabı: Üniversiteler için. – 5. baskı. – M.: Bilim. Fizmatlit, 1999. – 224 s. - (Kuyu yüksek matematik ve mat. fizik). – ISBN 5-02-015234 – X (Sayı 3)
İlk önce denklem sayısının değişken sayısına eşit olduğu durumu ele alalım; m = n. Daha sonra sistemin matrisi karedir ve determinantına sistemin determinantı denir.
Ters matris yöntemi
Dejenere olmayan AX = B denklem sistemini genel olarak ele alalım. kare matris A. Bu durumda ters matris A-1. Her iki tarafı da soldaki A -1 ile çarpalım. A -1 AX = A -1 B elde ederiz. Dolayısıyla EX = A -1 B ve
Son eşitlik, bu tür denklem sistemlerine çözüm bulmaya yönelik bir matris formülüdür. Bu formülün kullanımına ters matris yöntemi denir.
Örneğin aşağıdaki sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:
;
Sistemi çözmenin sonunda bulunan değerleri sistem denklemlerinde yerine koyarak kontrol edebilirsiniz. Bunu yaparken gerçek eşitliklere dönüşmeleri gerekir.
Ele alınan örnek için şunu kontrol edelim:
Cramer formüllerini kullanarak kare matrisli doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemi
n= 2 olsun:
Birinci denklemin her iki tarafını da a 22 ile, ikinci denklemin her iki tarafını da (-a 12) ile çarpıp elde edilen denklemleri toplarsak x 2 değişkenini sistemden çıkarmış oluruz. Benzer şekilde, x 1 değişkenini ortadan kaldırabilirsiniz (ilk denklemin her iki tarafını da (-a 21) ile ve ikinci denklemin her iki tarafını da 11 ile çarparak). Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:
Parantez içindeki ifade sistemin determinantıdır
Haydi belirtelim
Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Ortaya çıkan sistemden, eğer sistemin determinantı 0 ise sistem tutarlı ve kesin olacaktır. Tek çözümü aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:
= 0, a 1 0 ve/veya 2 0 ise sistem denklemleri 0*x 1 = 2 ve/veya 0*x 1 = 2 formunu alacaktır. Bu durumda sistem tutarsız olacaktır.
= 1 = 2 = 0 olması durumunda, sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır), çünkü şu formu alacaktır:
Cramer teoremi(kanıtı atlayacağız). Bir denklem sisteminin matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:
,
burada j, j'inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilen matrisin determinantıdır.
Yukarıdaki formüllere denir Cramer formülleri.
Örnek olarak, daha önce ters matris yöntemi kullanılarak çözülmüş bir sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:
Ele alınan yöntemlerin dezavantajları:
1) önemli emek yoğunluğu (belirleyicilerin hesaplanması ve ters matrisin bulunması);
2) sınırlı kapsam (kare matrisli sistemler için).
Gerçek ekonomik durumlar genellikle denklem ve değişken sayısının oldukça önemli olduğu ve denklemlerin değişkenlerden daha fazla olduğu sistemler tarafından modellenir. Bu nedenle pratikte aşağıdaki yöntem daha yaygındır.
Gauss yöntemi (değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi)
Bu yöntem, genel formda n değişkenli m doğrusal denklem sistemini çözmek için kullanılır. Özü, genişletilmiş matrise eşdeğer dönüşümler sisteminin uygulanmasında yatmaktadır; bunun yardımıyla denklem sistemi, çözümlerinin bulunması kolaylaştığında (eğer varsa) bir forma dönüştürülür.
Bu, soldaki türden üst kısım Sistemin matrisi kademeli bir matris olacaktır. Bu, sıralamayı belirlemek için bir adım matrisi elde etmek için kullanılan tekniklerin aynısı kullanılarak elde edilir. Bu durumda, genişletilmiş matrise eşdeğer bir denklem sistemi elde edilmesini sağlayacak temel dönüşümler uygulanır. Bundan sonra genişletilmiş matris şu şekli alacaktır:
Böyle bir matris elde etmeye denir dümdüz ileri Gauss yöntemi.
Değişkenlerin değerlerini ilgili denklem sisteminden bulmaya denir. ters yönde Gauss yöntemi. Bunu düşünelim.
Son (m – r) denklemlerinin şu şekilde olacağına dikkat edin:
Sayılardan en az biri ise 
sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik yanlış olacak ve tüm sistem tutarsız olacaktır.
Bu nedenle herhangi bir eklem sistemi için 
. Bu durumda, değişkenlerin herhangi bir değeri için son (m – r) denklemleri 0 = 0 özdeşlikleri olacaktır ve sistem çözülürken bunlar göz ardı edilebilir (sadece ilgili satırları atın).
Bundan sonra sistem şöyle görünecek:
İlk önce r=n durumunu ele alalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:
Sistemin son denkleminden x r benzersiz bir şekilde bulunabilir.
X r'yi bildiğimiz için, bundan açıkça x r -1'i ifade edebiliriz. Daha sonra, önceki denklemden x r ve x r -1'i bilerek x r -2 vb.'yi ifade edebiliriz. x 1'e kadar.
Yani bu durumda sistem ortak ve kararlı olacaktır.
Şimdi r'nin olduğu durumu düşünün.
Bu denklemden temel değişken x r'yi temel olmayanlar cinsinden ifade edebiliriz:
Sondan bir önceki denklem şöyle görünecektir:
Ortaya çıkan ifadeyi x r yerine koyarak, temel değişken x r -1'i temel olmayanlar cinsinden ifade etmek mümkün olacaktır. Vesaire. değişkenx 1'e. Sisteme bir çözüm elde etmek için temel olmayan değişkenleri keyfi değerlere eşitleyebilir ve ardından elde edilen formülleri kullanarak temel değişkenleri hesaplayabilirsiniz. Dolayısıyla bu durumda sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır).
Örneğin denklem sistemini çözelim:
Temel değişkenler kümesini çağıracağız temel sistemler. Bunlar için katsayı sütunları kümesini de çağıracağız. temel(temel sütunlar) veya temel yan dal sistem matrisleri. Temel olmayan tüm değişkenlerin sıfıra eşit olduğu sistemin çözümüne ne ad verilir? temel çözüm.
Önceki örnekte temel çözüm (4/5; -17/5; 0; 0) olacaktır (x 3 ve x 4 (c 1 ve c 2) değişkenleri sıfıra ayarlanmıştır ve temel değişkenler x 1'dir) ve x 2 bunlar üzerinden hesaplanır) . Temel olmayan bir çözüme örnek vermek gerekirse, x 3 ve x 4'ü (c 1 ve c 2) aynı anda sıfır olmayan rastgele sayılara eşitlememiz ve geri kalan değişkenleri bunlar üzerinden hesaplamamız gerekir. Örneğin, 1 = 1 ve 2 = 0 ile temel olmayan bir çözüm elde ederiz - (4/5; -12/5; 1; 0). Değiştirme yoluyla her iki çözümün de doğru olduğunu doğrulamak kolaydır.
Belirsiz bir sistemde sonsuz sayıda temel olmayan çözümlerin olabileceği açıktır. Kaç tane temel çözüm olabilir? Dönüştürülen matrisin her satırı bir temel değişkene karşılık gelmelidir. Problemde n değişken ve r temel çizgi var. Bu nedenle, temel değişkenlerin tüm olası kümelerinin sayısı, n'nin kombinasyon sayısını 2'den fazla olamaz. Daha az olabilir 
Çünkü sistemi, bu özel değişkenler kümesinin temel oluşturacağı bir biçime dönüştürmek her zaman mümkün değildir.
Bu ne tür bir şey? Bu değişkenlere ait katsayı sütunlarından oluşan matrisin basamaklı olacağı ve aynı zamanda r satırdan oluşacağı türdür. Onlar. bu değişkenler için katsayı matrisinin sırası r'ye eşit olmalıdır. Sütun sayısı eşit olduğundan daha büyük olamaz. Eğer r'den küçük çıkarsa bu, sütunların değişkenlere doğrusal bağımlılığını gösterir. Bu tür sütunlar temel oluşturamaz.
Yukarıda tartışılan örnekte başka hangi temel çözümlerin bulunabileceğini düşünelim. Bunu yapmak için, her biri iki temel olmak üzere dört değişkenin tüm olası kombinasyonlarını göz önünde bulundurun. Böyle kombinasyonlar olacak 
ve bunlardan biri (x 1 ve x 2) zaten dikkate alınmıştır.
x 1 ve x 3 değişkenlerini alalım. Bunlar için katsayılar matrisinin rütbesini bulalım:
İkiye eşit olduğundan temel olabilirler. Temel olmayan x 2 ve x 4 değişkenlerini sıfıra eşitleyelim: x 2 = x 4 = 0. O zaman x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 formülünden x 1 = 4 sonucu çıkar. /5 ve x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 formülünden şu sonuç çıkar: x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Böylece temel çözümü elde ederiz (4/5; 0; 17/5; 0).
Benzer şekilde, x 1 ve x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ve x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 ve x 4 – (0; 0; 9; 4).
Bu örnekteki x 2 ve x 3 değişkenleri temel değişkenler olarak alınamaz, çünkü karşılık gelen matrisin sırası bire eşittir, yani. ikiden az:
.
Belirli değişkenlerden temel oluşturmanın mümkün olup olmadığını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım da mümkündür. Örneği çözerken sistem matrisinin aşamalı forma dönüştürülmesi sonucunda şu şekli almıştır:
Değişken çiftlerini seçerek bu matrisin karşılık gelen küçüklerini hesaplamak mümkün oldu. X 2 ve x 3 dışındaki tüm çiftlerin sıfıra eşit olmadığını doğrulamak kolaydır; sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır. Ve yalnızca x 2 ve x 3 değişkenlerine sahip sütunlar için 
, bu onların doğrusal bağımlılığını gösterir.
Başka bir örneğe bakalım. Denklem sistemini çözelim
Dolayısıyla, son matrisin üçüncü satırına karşılık gelen denklem çelişkilidir - 0 = -1 eşitliğinin yanlış olmasına neden olmuştur, bu nedenle bu sistem tutarsızdır.
Jordan-Gauss yöntemi 3 Gauss yönteminin geliştirilmiş halidir. Bunun özü, sistemin genişletilmiş matrisinin, değişkenlerin katsayılarının satır veya sütun 4'ün permütasyonuna kadar bir özdeşlik matrisi oluşturduğu bir forma dönüştürülmesidir (burada r, sistem matrisinin sırasıdır).
Sistemi şu yöntemle çözelim:
Sistemin genişletilmiş matrisini ele alalım:
Bu matriste bir birim eleman seçiyoruz. Örneğin üçüncü kısıttaki x 2'nin katsayısı 5'tir. Bu sütunda kalan satırların sıfır içerdiğinden emin olalım. sütunu tek yapalım. Dönüşüm sürecinde buna şunu diyeceğiz: kolonhoşgörülü(öncü, anahtar). Üçüncü sınırlama (üçüncü astar) biz de arayacağız hoşgörülü. Kendim elemançözümleyen satır ve sütunun kesişme noktasında duran (işte bu bir) aynı zamanda denir hoşgörülü.
İlk satır artık katsayıyı (-1) içeriyor. Onun yerine sıfır almak için üçüncü satırı (-1) ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın (yani ilk satırı üçüncüye ekleyin).
İkinci satırda 2 katsayısı bulunur. Onun yerine sıfır almak için üçüncü satırı 2 ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın.
Dönüşümün sonucu şöyle görünecek:
Bu matristen, ilk iki kısıtlamadan birinin üzerinin çizilebileceği açıkça görülmektedir (karşılık gelen satırlar orantılıdır, yani bu denklemler birbirini takip eder). Örneğin ikincinin üzerini çizelim:
Yani yeni sistemin iki denklemi var. Tek bir sütun (ikinci) elde edilir ve buradaki birim ikinci satırda görünür. Yeni sistemin ikinci denkleminin x 2 temel değişkenine karşılık geleceğini hatırlayalım.
İlk satır için bir temel değişken seçelim. Bu, x 3 dışında herhangi bir değişken olabilir (çünkü x 3 için ilk kısıtın katsayısı sıfırdır, yani x 2 ve x 3 değişkenleri kümesi burada temel olamaz). Birinci veya dördüncü değişkeni alabilirsiniz.
x 1'i seçelim. O zaman çözme elemanı 5 olacak ve ilk satırın ilk sütununda bir tane elde etmek için çözme denkleminin her iki tarafının da beşe bölünmesi gerekecek.
Kalan satırların (yani ikinci satırın) ilk sütununda sıfır olduğundan emin olalım. Artık ikinci satır sıfır değil 3 içerdiğinden, dönüştürülmüş ilk satırın elemanlarını ikinci satırdan 3 ile çarpmamız gerekiyor:
Ortaya çıkan matristen, temel olmayan değişkenleri sıfıra ve temel olanları karşılık gelen denklemlerdeki serbest terimlere eşitleyerek doğrudan bir temel çözüm elde edilebilir: (0,8; -3,4; 0; 0). Ayrıca temel değişkenleri temel olmayan değişkenler aracılığıyla ifade eden genel formüller de türetebilirsiniz: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Bu formüller sistemin sonsuz çözüm kümesinin tamamını tanımlar (x 3 ve x 4'ü rastgele sayılara eşitleyerek x 1 ve x 2'yi hesaplayabilirsiniz).
Jordan-Gauss yönteminin her aşamasındaki dönüşümlerin özünün aşağıdaki gibi olduğuna dikkat edin:
1) çözünürlük çizgisi, onun yerine bir birim elde etmek için çözünürlük elemanına bölündü,
2) Dönüştürülen çözünürlük, diğer tüm satırlardan çıkarılıp çözünürlük sütununda verilen satırda bulunan öğeyle çarpılarak bu öğenin yerine sıfır elde edildi.
Sistemin dönüştürülmüş genişletilmiş matrisini tekrar ele alalım:
Bu kayıttan A sisteminin matrisinin rütbesinin r'ye eşit olduğu açıktır.
Akıl yürütmemiz sırasında, sistemin ancak ve ancak şu şekilde işbirlikçi olacağını tespit ettik: 
. Bu, sistemin genişletilmiş matrisinin şöyle görüneceği anlamına gelir:
Sıfır satırları atarak sistemin genişletilmiş matrisinin rütbesinin de r'ye eşit olduğunu elde ederiz.
Kronecker-Capelli teoremi. Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak sistemin matrisinin sıralaması bu sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır.
Bir matrisin rütbesinin, doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısına eşit olduğunu hatırlayın. Bundan, genişletilmiş matrisin sırası denklem sayısından azsa, sistemin denklemleri doğrusal olarak bağımlıdır ve bunlardan bir veya daha fazlası sistemden çıkarılabilir (çünkü doğrusaldırlar) diğerlerinin kombinasyonu). Bir denklem sistemi ancak genişletilmiş matrisin rütbesi denklem sayısına eşitse doğrusal olarak bağımsız olacaktır.
Ayrıca, eşzamanlı doğrusal denklem sistemleri için, matrisin derecesi değişken sayısına eşitse sistemin benzersiz bir çözümü olduğu ve değişken sayısından azsa o zaman olduğu iddia edilebilir. Sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.
1Örneğin, matriste beş satır olsun (orijinal satır sırası 12345'tir). İkinci satırı ve beşinci satırı değiştirmemiz gerekiyor. İkinci satırın beşincinin yerini alması ve aşağı doğru "hareket etmesi" için, bitişik satırları art arda üç kez değiştiririz: ikinci ve üçüncü (13245), ikinci ve dördüncü (13425) ve ikinci ve beşinci (13452) ). Daha sonra, orijinal matriste beşinci satırın ikincinin yerini alması için, beşinci satırı yalnızca iki ardışık değişiklikle yukarı doğru "kaydırmak" gerekir: beşinci ve dördüncü satırlar (13542) ve beşinci ve üçüncü. (15342).
2n'den r'ye kadar kombinasyon sayısı 
bir n-element kümesinin tüm farklı r-element altkümelerinin sayısını çağırırlar (farklı eleman bileşimlerine sahip olanlar farklı kümeler olarak kabul edilir; seçim sırası önemli değildir). Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: 
. 
0!=1.)
“!” İşaretinin anlamını hatırlayalım. (faktöriyel):
3 Bu yöntem daha önce tartışılan Gauss yönteminden daha yaygın olduğundan ve esasen Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarının bir birleşimi olduğundan, bazen adının ilk kısmı çıkarılarak Gauss yöntemi olarak da anılır. 
.
4Örneğin,
5Sistem matrisinde birim olmasaydı, örneğin ilk denklemin her iki tarafını da ikiye bölmek mümkün olurdu ve o zaman ilk katsayı birlik olurdu; veya benzeri
Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.
Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta iki basamaklı sayı probleminin bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol açtığı durumlarda kullanmıştık. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).
İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.
1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.
4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülünde değiştirin. Eğer o zaman 
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.
Cevap: (2; 1);
Cebirsel toplama yöntemi
Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.
Örnek 2. Denklem sistemini çözme
Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım: 
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:
Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:
Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor
Eğer x = 2 ise
Böylece sisteme iki çözüm bulduk: 
Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi
8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bu yöntemin özü aynıdır ancak teknik açıdan aşağıdaki örneklerde tartışacağımız bazı özellikler vardır.
Örnek 3. Denklem sistemini çözme
Yeni bir değişken tanıtalım. O halde sistemin ilk denklemi daha basit bir biçimde yeniden yazılabilir: Bu denklemi t değişkenine göre çözelim:
Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla t değişkenli rasyonel bir denklemin kökleridir. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlandırmayı" başardık:
x = 2 y; y - 2x.
Sırada ne var? Ve sonra elde edilen iki basit denklemin her biri, henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde sırasıyla ele alınmalıdır. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:
Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:
Burada özellikle her şey hazır olduğuna göre yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini koyalım. Aldık
x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:
Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık
Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.
Cevap: (2; 1); (-2;-1).
İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.
Örnek 4. Denklem sistemini çözme
İki yeni değişkeni tanıtalım:
O zaman şunu dikkate alalım
Bu, verilen sistemi çok daha basit bir biçimde yeniden yazmanıza olanak tanır, ancak yeni a ve b değişkenlerine göre:
a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:
X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz
Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:
O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:
Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik konuşmayla bitirelim. Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için eşdeğerlik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.
Tanım.
X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sisteminin çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer denir.
Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.
Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem
Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani grafiksel çözüm yöntemi hakkında bildiklerinizi tekrarlayalım.
Denklem sistemlerini grafiksel olarak çözme yöntemi, belirli bir sisteme dahil olan ve aynı koordinat düzleminde bulunan belirli denklemlerin her biri için ve bunların noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yerlerde bir grafik oluşturmayı içerir. grafikler. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).
Grafiksel bir denklem sisteminin ya tek bir doğru çözüme ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olmasının ya da hiç çözümünün bulunmamasının yaygın bir durum olduğu unutulmamalıdır.
Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Dolayısıyla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan doğrular kesişmesi durumunda benzersiz bir çözümü olabilir. Eğer bu çizgiler paralelse, böyle bir denklem sisteminin kesinlikle çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.
Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:
Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.
Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:
Denklemleri çözme
1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.
Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.
2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.
Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.
3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.
Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.
Peki sonuç olarak ne elde ederiz?
Doğrunun daireyi kesmesi durumunda elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.
Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.