Bir fonksiyonun bir noktada türevi örnekleri. Bir fonksiyonun türevi

Tarih: 20.11.2014

Türev nedir?

Türev tablosu.

Türev ana kavramlardan biridir yüksek matematik. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.

Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:

Türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlayın;

Bu sorunları başarıyla çözmek zor görevler;

Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.

İlk olarak - hoş bir sürpriz.)

Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve kapsamlı gerektirmez. derin bilgi!

İçin başarılı uygulama okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi bilmek yeterlidir sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Hepsi bu. Bu beni mutlu ediyor.

Hadi tanışmaya başlayalım mı?)

Terimler ve tanımlar.

İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyonun adı farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.

Burada farklılaşmanın basitçe olduğunu anlamak önemlidir. matematiksel işlem fonksiyonun üzerinde. Herhangi bir işlevi alırız ve buna göre belirli kurallar, dönüştürün. Sonuç yeni bir fonksiyon olacaktır. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.

Farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.

Türev- bu eylemin sonucu.

Tıpkı örneğin, toplam- toplamanın sonucu. Veya özel- bölmenin sonucu.

Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla vesaire. Hepsi bu aynı şey. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlamışsındır...)

Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. Bunlar üç sütun:

1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).

3. Türev karmaşık fonksiyon.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.

Türev tablosu.

Dünyada - sonsuz küme işlevler. Bu çeşitlilik arasında en önemli işlevler vardır. pratik uygulama. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.

Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)

İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Sol - temel fonksiyon, sağda onun türevi var.

	İşlev sen	y fonksiyonunun türevi sen"
1	C ( devamlı)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - herhangi bir sayı)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	günah x	(sin x)" = cosx
	çünkü x	(çünkü x)" = - sin x
	tgx
	ctgx
5	ark sin x
	arkcos x
	arktan x
	arkctg x
4	A X
4	e X
5	kayıt A X
5	lx ( a = e)

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Türev güç fonksiyonu- en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biri! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Karar vermeye çalışın daha fazla örnek, tablonun kendisi hatırlanacak!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle çok sık benzer görevler Ek çipler var. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak güç fonksiyonunun bir türevi var genel görünüm(üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

İşte bu.

Cevap: y" = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türev, hatırlatmama izin verin, yeni bir fonksiyondur.

Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y" = (sin x)" = cosx

Sıfırı türevin yerine koyarız:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. Fonksiyonu farklılaştırın:

Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir. Tablonun hiçbir faydası yok...

Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek kosinüs çift açı , o zaman her şey hemen daha iyi olur!

Evet, evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:

Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu... masa fonksiyonu. Hemen şunu alıyoruz:

Cevap: y" = - sin x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama eğer hatırlarsan temel matematik, dereceli eylemler... O zaman bu işlevi basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:

Ve x üssü onda bir zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:

İşte bu. Cevap bu olacak.

Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.

Karar vermek fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri hakkında bilgi olmadan tamamen imkansızdır. Türev en önemli kavramlardan biridir matematiksel analiz. Bu temel konu Bugünün makalesini adamaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Ortalama hız belirli bir süre için:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı durum fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

İÇİNDE bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce türevi hesaplarız. harici fonksiyon ara argümanla, sonra da ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarpın.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. İçin kısa vadeli Daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testleri çözmenize ve problemleri çözmenize yardımcı olacağız.

Problem B9, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemeniz gereken bir fonksiyonun veya türevin grafiğini verir:

Türevin değeri x 0 noktasında,
Maksimum veya minimum noktalar (ekstrem noktalar),
Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü çok daha kolaylaştırır. Görevin matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen, en zayıf öğrencilerçünkü derin olanlar yok teorik bilgi burada gerekli değil.

Türevin, ekstrem noktaların ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmaktan kaçınmak için B9 sorununun koşullarını dikkatlice okuyun: bazen oldukça uzun metinlerle karşılaşırsınız, ancak önemli koşullar Kararın gidişatını etkileyen çok az şey var.

Türev değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme bir f(x) fonksiyonunun bu grafiğe x 0 noktasında teğet olan bir grafiği verilirse ve bu noktada türevinin değerinin bulunması gerekiyorsa aşağıdaki algoritma uygulanır:

Teğet grafikte iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu kilit noktaçözümler ve buradaki herhangi bir hata, yanlış cevaba yol açar.
Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
Son olarak D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyonun artışını argümanın artışına bölmeniz gerekir - cevap bu olacaktır.

Bir kez daha belirtelim: A ve B noktaları sıklıkla olduğu gibi f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet çizgisi mutlaka bu türden en az iki nokta içerecektir - aksi takdirde sorun doğru şekilde formüle edilmeyecektir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

İtibaren son örnek bir kural formüle edebiliriz: eğer teğet OX eksenine paralelse, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfırdır. Bu durumda hiçbir şeyi saymanıza bile gerek yok; sadece grafiğe bakın.

Maksimum ve minimum puanların hesaplanması

Bazen Problem B9, bir fonksiyonun grafiği yerine türevin bir grafiğini verir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunmasını gerektirir. Bu durumda iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha da basit başka bir algoritma daha vardır. Öncelikle terminolojiyi tanımlayalım:

Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
Eğer bu noktanın komşuluğunda aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türev grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için şu adımları uygulamanız yeterlidir:

Gereksiz tüm bilgileri kaldırarak türev grafiğini yeniden çizin. Uygulamada görüldüğü gibi, gereksiz veriler yalnızca karara müdahale eder. Bu nedenle şunu not ediyoruz: koordinat ekseni Türevin sıfırları - hepsi bu.
Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Eğer bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, bu durumda yalnızca iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti şöyledir: orijinal çizimden bunu belirlemek kolaydır: eğer türev grafiği OX ekseninin üzerinde yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≥ 0. Ve bunun tersi, eğer türev grafiği OX ekseninin altında yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≤ 0.
Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği nokta minimum noktadır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa doğru yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli fonksiyonlar için çalışır - B9 probleminde başka şema yoktur.

Görev. Şekilde [−5; 5]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım ve sadece sınırları bırakalım [−5; 5] ve türevinin sıfırları x = −3 ve x = 2,5. Ayrıca işaretleri de not ediyoruz:

Açıkçası, x = −3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Görev. Şekilde [−3; 7]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, yalnızca [−3; 7] ve türevinin sıfırları x = −1,7 ve x = 5. Ortaya çıkan grafikte türevin işaretlerini not edelim. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Görev. Şekil, [−6; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; parçasına ait maksimum nokta sayısını bulun; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [−4; 3]. Bu nedenle, yalnızca [−4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları. Şunu elde ederiz:

Bu grafikte yalnızca bir x = 2 maksimum noktası vardır. Bu noktada türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Koordinatları tam sayı olmayan noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, son problemde x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarı ile x = −3,4'ü de alabiliriz. Sorun doğru yazılmışsa bu tür değişikliklerin cevabı etkilememesi gerekir, çünkü “olmadan” noktaları özel yer ikamet" sorunun çözümünde doğrudan rol oynamamaktadır. Elbette bu numara tam sayı noktalarda işe yaramayacaktır.

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktalar gibi, fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanları bulmak için türev grafiğinin kullanılması önerilmektedir. Öncelikle artan ve azalan şeyin ne olduğunu tanımlayalım:

Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde artan olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Başka bir deyişle, argüman değeri ne kadar büyük olursa, fonksiyon değeri de o kadar büyük olur.
Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, bir f(x) fonksiyonuna bir doğru parçası üzerinde azalan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Onlar. daha yüksek değer argümanı fonksiyonun daha küçük değerine karşılık gelir.

Hadi formüle edelim yeterli koşullar artan ve azalan:

İçin sürekli fonksiyon f(x) doğru parçası üzerinde arttığında, parça içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≥ 0.
Sürekli bir f(x) fonksiyonunun doğru parçası üzerinde azalması için parça içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≤ 0.

Bu açıklamaları delilsiz kabul edelim. Böylece, birçok yönden ekstrem noktaları hesaplama algoritmasına benzeyen, artan ve azalan aralıkları bulmak için bir şema elde ederiz:

Gereksiz tüm bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde öncelikle fonksiyonun sıfırlarıyla ilgilendiğimiz için yalnızca onları bırakacağız.
Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar, f'(x) ≤ 0 olduğunda ise azalır. Eğer problem x değişkenine kısıtlamalar getiriyorsa, bunları ek olarak yeni bir grafikte işaretliyoruz.
Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamaları bildiğimize göre, problemde gerekli olan miktarı hesaplamak kalıyor.

Görev. Şekilde [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda yer alan tam sayıların toplamını belirtiniz.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizelim ve sınırları işaretleyelim [−3; 7,5] ve ayrıca x = −1,5 ve x = 5,3 türevinin sıfırları. Daha sonra türevin işaretlerini not ediyoruz. Sahibiz:

Türev (− 1,5) aralığında negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamaya devam ediyor:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Yalnızca [−10; 4] ve türevin sıfırları, ki bu sefer dört tane vardı: x = −8, x = −6, x = −3 ve x = 2. Türevin işaretlerini işaretleyelim ve aşağıdaki resmi elde edelim:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. f'(x) ≥ 0 olacak şekilde. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). Uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ben 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu bulmamız gerektiğinden cevap olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

Karar verirken çeşitli görevler Bu fonksiyondan aynı analitik süreci kullanarak geometri, mekanik, fizik ve diğer bilgi dalları gerekli hale geldi y=f(x) almak yeni özellik buna denir türev fonksiyonu(veya sadece verilen bir f(x) fonksiyonunun türevi) ve sembolüyle belirtilir

Belirli bir fonksiyondan elde edilen süreç f(x) yeni bir özellik edinin f"(x), isminde farklılaşma ve aşağıdaki üç adımdan oluşur: 1) argümanı verin X artış  X ve fonksiyonun karşılık gelen artışını belirleyin  y = f(x+ x) -f(x);

2) bir ilişki kurmak X 3) sayma  X sabit ve
0, buluruz f"(x) ile gösterdiğimiz X sanki ortaya çıkan işlevin yalnızca değere bağlı olduğunu vurguluyormuş gibi , bu noktada sınıra gidiyoruz.: Tanım Türev y " =f " (x) verilen fonksiyon y=f(x) belirli bir x için
bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti olarak adlandırılır, ancak argümanın artışının sıfıra yönelmesi koşuluyla, tabii ki bu limit mevcutsa, yani. sonlu.

Böylece, X, veya Bir miktar değer için ise şunu unutmayınörneğin ne zaman
x=a  X, davranış en0 eğilimi yok f(x) sonlu sınır Bir miktar değer için ise şunu unutmayın, o zaman bu durumda fonksiyonun olduğunu söylüyorlar Bir miktar değer için ise şunu unutmayın en Bir miktar değer için ise şunu unutmayın.

(veya bu noktada

) türevi yoktur veya bu noktada türevlenebilir değildir

f(x)

2. Türevin geometrik anlamı.

x 0 noktası civarında türevlenebilir olan y = f (x) fonksiyonunun grafiğini düşünün. Bir fonksiyonun grafiğindeki bir noktadan (A(x 0, f (x 0)) geçen ve grafiği bir B(x;f(x)) noktasında kesen rastgele bir düz çizgiyi düşünelim. Böyle bir doğruya (AB) sekant denir. ∆ABC'den: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

AC'den bu yana || Ox ise ALO = BAC = β (paralele karşılık gelen şekilde). Ancak ALO, AB sekantının Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Bu, tanβ = k - anlamına gelir

eğim
düz AB.
Şimdi ∆x'i azaltacağız, yani. ∆х→ 0. Bu durumda grafiğe göre B noktası A noktasına yaklaşacak ve AB sekantı dönecektir. AB keseninin ∆x→ 0'daki sınırlayıcı konumu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti olarak adlandırılan düz bir çizgi (a) olacaktır.
tgβ =∆y/∆x eşitliğinde ∆x → 0 limitine gidersek, şunu elde ederiz:

ortg =f "(x 0), çünkü

-teğetin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı 0 , bir türevin tanımı gereği. Ancak tg = k, tanjantın açısal katsayısıdır, bu da k = tg = f "(x 0) anlamına gelir. 0 .

Dolayısıyla türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir:

Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi

fonksiyonun grafiğine apsis x ile çizilen noktada çizilen teğetin eğimine eşit

3. Türevin fiziksel anlamı. Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünün. Bir noktanın herhangi bir andaki koordinatı x(t) verilsin. Belirli bir zaman periyodundaki ortalama hızın, bu zaman periyodunda kat edilen mesafenin zamana oranına eşit olduğu (bir fizik dersinden) bilinmektedir; Vav = ∆x/∆t. Son eşitlikteki ∆t → 0 limitine gidelim.

ve lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (türev tanımı gereği).

Yani (t) =x"(t).

Türevin fiziksel anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun türevisen = F(X) noktadaX 0 fonksiyonun değişim hızıdırF(x) noktasındaX 0

Türev, fizikte, koordinatların zamana karşı bilinen bir fonksiyonundan hızı, hızın zamana karşı bilinen bir fonksiyonundan ivmeyi bulmak için kullanılır.

(t) = x"(t) - hız,

a(f) = "(t) - ivme veya

Bir daire içindeki maddi bir noktanın hareket kanunu biliniyorsa açısal hız bulunabilir ve açısal ivme dönme hareketi sırasında:

φ = φ(t) - zamanla açıdaki değişim,

ω = φ"(t) - açısal hız,

ε = φ"(t) - açısal ivme veya ε = φ"(t)

Homojen olmayan bir çubuğun kütle dağılımı yasası biliniyorsa, homojen olmayan çubuğun doğrusal yoğunluğu bulunabilir:

m = m(x) - kütle,

x  , l - çubuğun uzunluğu,

p = m"(x) - doğrusal yoğunluk.

Türev kullanılarak esneklik ve harmonik titreşim teorisinden kaynaklanan problemler çözülür. Yani Hooke kanununa göre

F = -kx, x – değişken koordinat, k – yay esneklik katsayısı. ω 2 =k/m koyarak yay sarkacının diferansiyel denklemini x"(t) + ω 2 x(t) = 0 elde ederiz,

burada ω = √k/√m salınım frekansı (l/c), k - yay sertliği (H/m).

y" + ω 2 y = 0 formundaki bir denkleme harmonik salınımların denklemi (mekanik, elektriksel, elektromanyetik) denir. Bu tür denklemlerin çözümü fonksiyondur.

y = Asin(ωt + φ 0) veya y = Acos(ωt + φ 0), burada

A - salınımların genliği, ω - döngüsel frekans,

φ 0 - başlangıç aşaması.

Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi.

Giriiş.

Gerçek metodolojik gelişmeler Endüstri ve İnşaat Fakültesi öğrencilerine yöneliktir. Matematik dersi programıyla ilgili olarak “Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı” bölümünde derlenmiştir.

Gelişmeler, aşağıdakileri içeren tek bir metodolojik kılavuzu temsil etmektedir: kısa teorik bilgiler; “standart” problemler ve bu problemlere ilişkin detaylı çözüm ve açıklamalar içeren alıştırmalar; deneme seçenekleri.

Her paragrafın sonunda ek alıştırmalar bulunmaktadır. Gelişmelerin bu yapısı, onları öğretmenden minimum yardım alarak bölümün bağımsız olarak öğrenilmesine uygun hale getirir.

§1. Türevin tanımı.

Mekanik ve geometrik anlam

türev.

Türev kavramı en çok kullanılanlardan biridir. önemli kavramlar Matematiksel analiz 17. yüzyılda ortaya çıktı. Türev kavramının oluşumu tarihsel olarak iki sorunla ilişkilidir: alternatif hareketin hızı sorunu ve bir eğriye teğet sorunu.

Bu görevler, her ne kadar farklı içerik, fonksiyon üzerinde gerçekleştirilmesi gereken matematiksel işlemin aynısına yol açar. Bu işlem matematikte özel bir isim almıştır. Bir fonksiyonun türev alma işlemine denir. Türev alma işleminin sonucuna türev denir.

Dolayısıyla, y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının (eğer varsa) limitidir.
en
.

Türev genellikle şu şekilde gösterilir:
.

Dolayısıyla tanım gereği

Semboller aynı zamanda türevleri belirtmek için de kullanılır.
.

Türevin mekanik anlamı.

Eğer s=s(t) maddi bir noktanın doğrusal hareketi yasası ise, o zaman
bu noktanın t zamanındaki hızıdır.

Geometrik anlam türev.

Eğer y=f(x) fonksiyonunun bu noktada bir türevi varsa , daha sonra fonksiyonun grafiğine noktadaki teğetin açısal katsayısı
eşittir
.

Örnek.

Fonksiyonun türevini bulun
bu noktada =2:

1) Bir noktaya değinelim =2 artış
. Dikkat.

2) Fonksiyonun noktadaki artışını bulun =2:

3) Fonksiyonun artışının argümanın artışına oranını oluşturalım:

Oranın limitini bulalım
:

Böylece,
.

§ 2. Bazılarının türevleri

en basit işlevler.

Öğrencinin belirli fonksiyonların türevlerini nasıl hesaplayacağını öğrenmesi gerekir: y=x,y= ve genel olarak= .

y=x fonksiyonunun türevini bulalım.

onlar. (x)'=1.

Fonksiyonun türevini bulalım

Türev

İzin vermek
Daha sonra

Kuvvet fonksiyonunun türevlerine ilişkin ifadelerde bir model fark etmek kolaydır.
n=1,2,3 ile.

Buradan,

. (1)

Bu formül herhangi bir gerçek n için geçerlidir.

Özellikle, formül (1)'i kullanarak şunları elde ederiz:

;

Örnek.

Fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyon, formdaki bir fonksiyonun özel bir durumudur.

en
.

Formül (1)'i kullanarak şunu elde ederiz:

y=sin x ve y=cos x fonksiyonlarının türevleri.

y=sinx olsun.

∆x'e bölersek şunu elde ederiz:

∆x→0 noktasındaki limite geçerek,

y=cosx olsun.

∆x→0'daki limite geçerek şunu elde ederiz:

;
. (2)

§3. Farklılaşmanın temel kuralları.

Farklılaşma kurallarını ele alalım.

Teorem1 . Eğer u=u(x) ve v=v(x) fonksiyonları belirli bir x noktasında türevlenebilirse, o zaman bu noktada bunların toplamı da türevlenebilirdir ve toplamın türevi, terimlerin türevlerinin toplamına eşittir. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Kanıt: y=f(x)=u(x)+v(x) fonksiyonunu düşünün.

x argümanının ∆x artışı, u ve v fonksiyonlarının ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) artışlarına karşılık gelir. O zaman y fonksiyonu artacaktır

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Buradan,

Yani (u+v)"=u"+v".

Teorem2. u=u(x) ve v=v(x) fonksiyonları belirli bir x noktasında türevlenebilirse, çarpımları da aynı noktada türevlenebilirdir. Bu durumda çarpımın türevi aşağıdaki formülle bulunur: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

İspat: y=uv olsun; burada u ve v, x'in bazı türevlenebilir fonksiyonlarıdır. X'e ∆x'lik bir artış verelim; o zaman u ∆u'luk bir artış alacak, v ∆v'lik bir artış alacak ve y ∆y'lik bir artış alacaktır.

y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) veya

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Bu nedenle, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Buradan

∆x→0'daki limite geçersek ve u ve v'nin ∆x'e bağlı olmadığını hesaba katarsak, şunu elde ederiz:

Teorem 3. İki fonksiyonun bölümünün türevi, paydası bölenin karesine eşit olan bir kesire eşittir ve pay, bölenin temettü türevinin çarpımı ile bölenin çarpımı arasındaki farktır. bölenin türevine göre temettü, yani

Eğer
O
(5)