İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre, rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

Örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden denklem. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri çakışmadığı için geçersiz değerlerİkinci eşitsizliği çözerek elde edilen değişkenlerin her ikisi de çözümdür verilen denklem.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm şartları şuraya aktarın: sol taraf böylece sağ taraf 0 olur.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri azaltın ortak payda.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: sol taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Referanslar

1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici eğitim kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

1. Festival pedagojik fikirler "Açık ders" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi

Smirnova Anastasia Yurievna

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Organizasyon şekli eğitim faaliyetleri : önden, bireysel.

Dersin amacı: yeni bir denklem türünü tanıtmak - kesirli rasyonel denklemler, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma hakkında fikir vermek.

Ders hedefleri.

Eğitici:

• kesirli rasyonel denklem kavramının oluşumu;
• kesirin sıfıra eşit olması koşulu da dahil olmak üzere kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma düşünün;
• Kesirli rasyonel denklemleri bir algoritma kullanarak çözmeyi öğretmek.

Gelişimsel:

• edinilen bilgilerin uygulanmasında becerilerin geliştirilmesi için koşullar yaratmak;
• gelişmeyi teşvik etmek bilişsel ilgiöğrenciler konuya;
• öğrencilerin analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmek;
• karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerinin geliştirilmesi, dikkat, hafıza, sözlü ve yazma, bağımsızlık.

Eğitim:

• konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek;
• Karar almada bağımsızlığın teşvik edilmesi eğitim görevleri;
• Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azim beslemek.

Teçhizat: ders kitabı, karatahta, boya kalemleri.

Ders Kitabı "Cebir 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma". 2010

Açık bu konu beş saat ayrılmıştır. Bu ilk ders. Önemli olan kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritmayı incelemek ve bu algoritmayı alıştırmalarda uygulamaktır.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

Merhaba arkadaşlar! Bugün dersimize bir dörtlükle başlamak istiyorum:
Herkesin hayatını kolaylaştırmak için,
Neye karar verilecek, ne mümkün olacak,
Gülümse, herkese iyi şanslar,
Hiçbir sorun yaşanmaması için
Birbirimize gülümsedik ve yarattık iyi ruh hali ve çalışmaya başladım.

Tahtada yazılı denklemler var, onlara dikkatlice bakın. Bu denklemlerin hepsini çözebilir misiniz? Hangileri değil ve neden?

Sol ve sağ tarafların kesirli olduğu denklemler rasyonel ifadeler, kesirli rasyonel denklemler olarak adlandırılır. Bugün sınıfta ne çalışacağımızı düşünüyorsunuz? Dersin konusunu formüle edin. Öyleyse not defterlerinizi açın ve “Kesirli rasyonel denklemleri çözme” dersinin konusunu yazın.

2. Bilginin güncellenmesi. Ön anket, sözlü çalışma sınıfla.

Ve şimdi çalışmamız gereken ana teorik materyali tekrarlayacağız. yeni konu. Lütfen aşağıdaki soruları yanıtlayın:

1. Denklem nedir? ( Bir değişken veya değişkenlerle eşitlik.)
2. 1 numaralı denklemin adı nedir? ( Doğrusal.) Çözüm doğrusal denklemler. (Bilinmeyen olan her şeyi denklemin sol tarafına, tüm sayıları sağa taşıyın. Benzer terimler verin. Bilinmeyen faktörü bul).
3. 3 numaralı denklemin adı nedir? ( Kare.) İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. (P formüller hakkında)
4. Oran nedir? ( İki oranın eşitliği.) Oranın ana özelliği. ( Oran doğruysa, aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir..)
5. Denklemleri çözerken hangi özellikler kullanılır? ( 1. Bir denklemdeki terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz. 2. Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.)
6. Bir kesir ne zaman sıfıra eşit olur? ( Pay sıfıra eşit olduğunda kesir sıfıra eşit ve payda sıfır değil.)

3. Yeni materyalin açıklanması.

2 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 10.

Ne kesirli rasyonel denklem Oranın temel özelliğini kullanarak çözmeyi deneyebilir misiniz? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

4 numaralı denklemi defterlerinizde ve tahtada çözün.

Cevap: 1,5.

Denklemin her iki tarafını da paydayla çarparak hangi kesirli rasyonel denklemi çözmeye çalışabilirsiniz? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Cevap: 3;4.

Sonraki derslerde 7 numaralı denklem gibi denklemlerin çözümüne bakacağız.

Bunun neden olduğunu açıklayın? Neden bir durumda üç, diğerinde iki kök var? Bu kesirli rasyonel denklemin kökleri hangi sayılardır?

Şu ana kadar öğrenciler yabancı kök kavramıyla karşılaşmadılar; bunun neden olduğunu anlamak onlar için gerçekten çok zor. Eğer sınıfta kimse bu duruma net bir açıklama getiremezse öğretmen yönlendirici sorular sorar.

• 2 ve 4 numaralı denklemlerin 5 ve 6 numaralı denklemlerden farkı nedir? ( 2 ve 4 numaralı denklemlerde paydada sayılar vardır, 5-6 numaralı - değişkenli ifadeler.)
• Bir denklemin kökü nedir? ( Denklemin doğru olduğu değişkenin değeri.)
• Bir sayının bir denklemin kökü olup olmadığını nasıl öğrenebilirim? ( Kontrol et.)

Test yaparken bazı öğrenciler sıfıra bölmeleri gerektiğini fark ederler. 0 ve 5 sayılarının bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardılar. Şu soru ortaya çıkıyor: kesirli rasyonel denklemleri ortadan kaldırmamıza izin veren bir yol var mı? bu hata? Evet, bu yöntem kesrin sıfıra eşit olması şartına dayanmaktadır.

Kesirli rasyonel denklemleri bu şekilde çözmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım. Çocuklar algoritmayı kendileri formüle ederler.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Her şeyi sol tarafa taşıyın.
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
3. Bir sistem oluşturun: pay sıfıra eşit olduğunda ve payda sıfıra eşit olmadığında bir kesir sıfıra eşittir.
4. Denklemi çözün.
5. Yabancı kökleri hariç tutmak için eşitsizliği kontrol edin.
6. Cevabı yazın.

4. Yeni materyalin ilk kez anlaşılması.

Çiftler halinde çalışın. Öğrenciler denklem türüne bağlı olarak denklemi nasıl çözeceklerini kendileri seçerler. “Cebir 8” ders kitabından ödevler, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e). Öğretmen görevin tamamlanmasını izler, ortaya çıkan soruları yanıtlar ve düşük performans gösteren öğrencilere yardım sağlar. Kendi kendine test: cevaplar tahtaya yazılır.

b) 2 - yabancı kök. Cevap: 3.

c) 2 - yabancı kök. Cevap: 1.5.

a) Cevap: -12.5.

5. Ödev verme.

1. Ders kitabındaki 25. paragrafı okuyun, 1-3. örnekleri analiz edin.
2. Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma öğrenin.
3. 600 (d, d) numaralı defterlerde çözün; 601(g,h).

6. Dersi özetlemek.

Bugün derste kesirli rasyonel denklemlerle tanıştık, bu denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik çeşitli şekillerde. Kesirli rasyonel denklemleri nasıl çözerseniz çözün, neyi aklınızda tutmalısınız? Kesirli rasyonel denklemlerin “kurnazlığı” nedir?

Herkese teşekkürler, ders bitti.

Çözüm kesirli rasyonel denklemler

Başvuru Kılavuzu

Rasyonel denklemler, hem sol hem de sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Hatırlayın: rasyonel ifadeler tamsayılardır ve kesirli ifadeler radikaller olmadan, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerini içeren - örneğin: 6x; (m – n)2; x/3y, vb.)

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın; bu, yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeye bölünmüyorsa bütün veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklemin örnekleri:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeye bölme varsa, o zaman denklem kesirli rasyonel olarak adlandırılır.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x – 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle çözülür aşağıdaki gibi:

1) kesirlerin ortak paydasını bulun ve denklemin her iki tarafını da bununla çarpın;

2) ortaya çıkan denklemin tamamını çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra indirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne örnekler.

Örnek 1. Denklemin tamamını çözelim

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En düşük ortak paydayı bulma. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve elde edilen sonucu her kesrin payı ile çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Çünkü sol ve sağ tarafta aynı payda, ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirerek çözüyoruz:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Ortak bir payda bulmak. Bu x(x – 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Artık tüm ifadeler için aynı olduğundan paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltıyoruz, denklemi sıfıra eşitliyoruz ve ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz: –2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2'de, x(x – 5) ortak paydası kaybolmaz. Bu –2'nin orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

x = 5 olduğunda ortak payda sıfıra gider ve üç ifadeden ikisi anlamsız hale gelir. Bu, 5 sayısının orijinal denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: x = –2

Daha fazla örnek

Örnek 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Cevap: -2,2;6.

Örnek 2.

Fonksiyonlar karmaşık tip her zaman tanıma uymaz karmaşık fonksiyon. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 biçiminde bir fonksiyon varsa, o zaman y = sin 2 x'ten farklı olarak karmaşık kabul edilemez.

Bu makale karmaşık fonksiyon kavramını ve tanımlanmasını gösterecektir. Sonuç bölümünde çözüm örnekleriyle türevi bulmaya yönelik formüllerle çalışalım. Türev tablosunun ve türev kurallarının kullanılması türevi bulma süresini önemli ölçüde azaltır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Temel tanımlar

Tanım 1

Karmaşık bir fonksiyon, argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan fonksiyondur.

Şu şekilde gösterilir: f (g (x)). g(x) fonksiyonunun f(g(x)) argümanı olarak kabul edildiğini biliyoruz.

Tanım 2

Eğer bir f fonksiyonu varsa ve bu bir kotanjant fonksiyon ise, o zaman g(x) = ln x doğal logaritma fonksiyonudur. Karmaşık f(g(x)) fonksiyonunun arctg(lnx) olarak yazılacağını bulduk. Veya g(x) = x 2 + 2 x - 3'ün bir tamsayı olduğu 4'üncü kuvvete yükseltilmiş bir fonksiyon olan f fonksiyonu rasyonel fonksiyon f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 olduğunu buluruz.

Açıkçası g(x) karmaşık olabilir. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 örneğinden g değerinin şu şekilde olduğu açıktır: küp kökü bir kesirle. Bu ifade y = f (f 1 (f 2 (x))) olarak gösterilmesine izin verilir. Buradan f'nin bir sinüs fonksiyonu ve f 1'in de aşağıda yer alan bir fonksiyon olduğunu anlıyoruz. karekök, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - kesirli rasyonel fonksiyon.

Tanım 3

Yuvalanma derecesi herhangi bir şekilde belirlenir. doğal sayı ve şu şekilde yazılır: y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Tanım 4

Fonksiyon bileşimi kavramı, problemin koşullarına göre iç içe geçmiş fonksiyonların sayısını ifade eder. Çözmek için, formun karmaşık bir fonksiyonunun türevini bulma formülünü kullanın.

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Örnekler

Örnek 1

y = (2 x + 1) 2 formundaki karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm

Koşul, f'nin bir kare alma fonksiyonu olduğunu ve g(x) = 2 x + 1'in doğrusal bir fonksiyon olarak kabul edildiğini gösterir.

Türev formülünü karmaşık bir fonksiyona uygulayalım ve yazalım:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Fonksiyonun basitleştirilmiş orijinal formuyla türevini bulmak gerekir. Şunu elde ederiz:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Buradan şunu anlıyoruz

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Sonuçlar aynıydı.

Bu tür problemleri çözerken f ve g(x) formundaki fonksiyonun nerede bulunacağını anlamak önemlidir.

Örnek 2

y = sin 2 x ve y = sin x 2 formundaki karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmalısınız.

Çözüm

İlk fonksiyon gösterimi f'nin kare alma fonksiyonu ve g(x)'in sinüs fonksiyonu olduğunu söyler. O zaman bunu anlıyoruz

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x çünkü x

İkinci girdi f'nin bir sinüs fonksiyonu olduğunu ve g(x) = x 2'nin bir kuvvet fonksiyonunu temsil ettiğini gösterir. Bundan, karmaşık bir fonksiyonun çarpımını şu şekilde yazdığımız sonucu çıkar:

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) türevinin formülü y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) şeklinde yazılacaktır. . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · · . . . fn "(x)

Örnek 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Bu örnek, fonksiyonların yazılmasının ve yerinin belirlenmesinin zorluğunu göstermektedir. O zaman y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))), burada f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinüs fonksiyonudur, yükseltme fonksiyonudur 3 dereceye kadar, logaritma ve e tabanına sahip fonksiyon, arktanjant ve doğrusal fonksiyon.

Karmaşık bir işlevi tanımlama formülünden şunu elde ederiz:

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Bulmamız gerekeni alıyoruz

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) türevler tablosuna göre sinüsün türevi olarak, sonra f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) bir güç fonksiyonunun türevi olarak, o zaman f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))), logaritmik bir türev olarak, o zaman f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) arktanjantın türevi olarak, o zaman f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) = 2 x türevini bulurken, üssü 1'e eşit olan bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kullanarak türevin işaretinden 2'yi çıkarın, ardından f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Ara sonuçları birleştiriyoruz ve bunu elde ediyoruz

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = çünkü (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 çünkü (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Bu tür fonksiyonların analizi iç içe geçmiş bebekleri anımsatıyor. Türev tablosu kullanılarak türev alma kuralları her zaman açıkça uygulanamaz. Genellikle karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için bir formül kullanmanız gerekir.

Karmaşık görünüm ile karmaşık işlevler arasında bazı farklılıklar vardır. Bunu net bir şekilde ayırt edebilme yeteneği ile türevleri bulmak özellikle kolay olacaktır.

Örnek 4

Dökümde dikkate alınması gerekenler benzer örnek. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 biçiminde bir fonksiyon varsa, g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 biçiminde karmaşık bir fonksiyon olarak düşünülebilir. . Açıkçası, karmaşık bir türev için formülü kullanmak gereklidir:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 çünkü 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 çünkü 2 x = 2 t g x + 3 çünkü 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 formundaki bir fonksiyon, t g x 2, 3 t g x ve 1'in toplamına sahip olduğundan karmaşık kabul edilmez. Bununla birlikte, t g x 2 karmaşık bir fonksiyon olarak kabul edilirse, g(x) = x 2 ve f şeklinde bir teğet fonksiyon olan bir kuvvet fonksiyonu elde ederiz. Bunu yapmak için miktara göre farklılaştırın. Bunu anlıyoruz

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 çünkü 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun (t g x 2) türevini bulmaya geçelim ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 çünkü 2 g (x) = 1 çünkü 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x çünkü 2 (x 2)

Şunu elde ederiz: y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Karmaşık türdeki işlevler, karmaşık işlevlere dahil edilebilir ve karmaşık işlevlerin kendisi, karmaşık türdeki işlevlerin bileşenleri olabilir.

Örnek 5

Örneğin, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) formundaki karmaşık bir fonksiyonu düşünün.

Bu fonksiyon y = f (g (x)) olarak temsil edilebilir; burada f değeri 3 tabanlı logaritmanın bir fonksiyonudur ve g (x), h (x) = formundaki iki fonksiyonun toplamı olarak kabul edilir. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ve k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Açıkçası, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) fonksiyonunu düşünün. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7'nin m (x) = e x 2 + 3 3'e oranıdır.

Elimizde l (x) = x 2 + 3 çünkü 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x), n (x) = x 2 + 7 ve p ( olmak üzere iki fonksiyonun toplamıdır. x) = 3 çünkü 3 (2 x + 1) , burada p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))), sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyondur ve p 1 bir küp fonksiyonudur, kosinüs fonksiyonuyla p 2, doğrusal fonksiyonla p 3 (x) = 2 x + 1.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x)'in iki fonksiyonun toplamı olduğunu bulduk: q (x) = e x 2 ve r (x) = 3 3, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) - karmaşık fonksiyon, q 1 - üslü fonksiyon, q 2 (x) = x 2 - güç fonksiyonu.

Bu şunu gösterir: h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x)))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) formundaki bir ifadeye geçildiğinde, fonksiyonun bir s (x) kompleksi formunda sunulduğu açıktır. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) rasyonel bir tam sayı olan t (x) = x 2 + 1, burada s 1 bir kare alma fonksiyonudur ve s 2 (x) = ln x e tabanlı logaritmiktir .

İfadenin k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) formunu alacağı sonucu çıkar.

O zaman bunu anlıyoruz

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x)))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Fonksiyonun yapılarına dayanarak, ifadeyi farklılaştırırken basitleştirmek için nasıl ve hangi formüllerin kullanılması gerektiği ortaya çıktı. Bilgi için benzer görevler bunları çözme kavramı için de bir fonksiyonun türevini alma yani türevini bulma noktasına dönmek gerekiyor.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Çözüm örnekleri

Bu dersimizde nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. karmaşık bir fonksiyonun türevi. Ders dersin mantıksal bir devamıdır Türevi nasıl bulunur?Üzerinde en basit türevleri incelediğimiz ve aynı zamanda türev alma kuralları ve bazı konularda bilgi sahibi olduğumuz teknik yöntemler türevlerini bulmak. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda pek iyi değilseniz veya bu makaledeki bazı noktalar tam olarak net değilse, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içine girin - materyal basit değil, ama yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, size türevleri bulma görevi verildiğinde hemen hemen her zaman.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuraldaki (No. 5) tabloya bakıyoruz:

Hadi çözelim. Öncelikle girişe dikkat edelim. Burada iki fonksiyonumuz var - ve mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon fonksiyonun içinde yuvalanmıştır. Bu türdeki bir fonksiyona (bir fonksiyon diğerinin içine yerleştirildiğinde) karmaşık fonksiyon denir.

Fonksiyonu çağıracağım harici fonksiyon ve fonksiyon – dahili (veya iç içe geçmiş) fonksiyon.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. başvuruyorum resmi olmayan ifadeler « harici fonksiyon", "dahili" işlevi yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak içindir.

Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:

Örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, ifadenin tamamı var, dolayısıyla türevi tablodan hemen bulmak işe yaramayacak. Ayrıca ilk dört kuralın burada uygulanmasının imkansız olduğunu da fark ettik, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüs "parçalara ayrılamaz":

İÇİNDE bu örnekte Açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu zaten sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapmanız gereken şey Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Durumunda basit örnekler Sinüs altına bir polinomun gömülü olduğu açık görünüyor. Peki ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu doğru bir şekilde nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için zihinsel olarak veya taslak halinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

İfadesinin değerini hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmamız gerektiğini hayal edelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Öncelikle aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom bir iç fonksiyon olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, dolayısıyla sinüs - harici bir fonksiyon olacak:

Bizden sonra HEPSİ SATILDIİç ve dış fonksiyonlarda, karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralını uygulamanın zamanı geldi.

Karar vermeye başlayalım. Sınıftan Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta Dış fonksiyonun (sinüs) türevini bulun, türev tablosuna bakın temel işlevler ve bunu fark ediyoruz. Tüm tablo formülleri, "x" yerine karmaşık bir ifade konulursa da geçerlidir, V bu durumda:

Lütfen iç fonksiyonun değişmedi, dokunmuyoruz.

Peki, oldukça açık ki

Formülün uygulanmasının nihai sonucu şöyle görünür:

Sabit çarpan genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlaşılma varsa çözümü bir kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyona sahip olduğumuzu ve nerede dahili bir fonksiyona sahip olduğumuzu bulalım. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya taslak halinde) ifadenin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapmalısınız? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu nedenle polinom bir iç fonksiyondur:

Ve ancak o zaman üs alma işlemi gerçekleştirilir, bu nedenle kuvvet fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formüle göre öncelikle dış fonksiyonun türevini, bu durumda derecesini bulmanız gerekir. Tabloda arıyorum gerekli formül: . Bir kez daha tekrarlıyoruz: herhangi tablo formülü yalnızca “x” için değil aynı zamanda karmaşık ifadeler için de geçerlidir. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonumuzun değişmediğini bir kez daha vurguluyorum:

Şimdi geriye kalan tek şey iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz değiştirmek:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar(Dersin sonunda cevap verin).

Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışın, dış fonksiyonun nerede ve iç fonksiyonun nerede olduğunu, görevlerin neden bu şekilde çözüldüğünü düşünün.

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü farklılaştırabilmek için onun bir güç olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece öncelikle fonksiyonu türev almaya uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ettiğimizde, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu, bir güce yükselmenin ise bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralını uyguluyoruz:

Dereceyi yine bir radikal (kök) olarak temsil ediyoruz ve iç fonksiyonun türevi için toplamın türevini almak için basit bir kural uyguluyoruz:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya indirgeyebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde ettiğinizde bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması, gereksiz bir hata yapılması kolaydır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine bir bölümün türevini alma kuralını kullanabileceğinizi belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm komik bir sapkınlık gibi görünecektir. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz ancak karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı yoluyla türevini bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - eksiyi türev işaretinden çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs bir iç fonksiyondur, üstel ise harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım:

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz ve kosinüsü tekrar sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte işaretlerin karıştırılmaması önemlidir. Bu arada kuralı kullanarak çözmeye çalışın , cevaplar eşleşmelidir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Şu ana kadar karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 veya hatta 4-5 fonksiyonun aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışalım. Hesap makinesine nasıl güvenebiliriz?

İlk önce bulmanız gerekir; bu, ark sinüsünün en derin gömme olduğu anlamına gelir:

Bu birin ark sinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak yedinin bir kuvvetini alıyoruz:

Yani bu örnekte üç tane var farklı işlevler ve en içteki fonksiyon ark sinüs ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon olmak üzere iki yerleştirme.

Karar vermeye başlayalım

Kurala göre öncelikle dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakıyoruz ve türevi buluyoruz üstel fonksiyon: Tek farkımız “X” yerine elimizde karmaşık ifade bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Vuruş altında yine karmaşık bir işlevimiz var! Ama zaten daha basit. İç fonksiyonun ark sinüs, dış fonksiyonun ise derece olduğunu doğrulamak kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralına göre, önce kuvvetin türevini almanız gerekir.