กำหนดนิยามของมุมระหว่างเส้นตรง มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ: คำจำกัดความ ตัวอย่างการค้นพบ

สมการไม่เชิงเส้นที่มีไม่ทราบค่าสองตัว

คำจำกัดความ 1. ให้ A เป็นบางส่วน ชุดตัวเลขคู่ (x; ย- พวกเขาบอกว่าให้เซต Aฟังก์ชันตัวเลข zจากสองตัวแปร

x และ y หากมีการระบุกฎโดยให้ตัวเลขแต่ละคู่จากเซต A เชื่อมโยงกับตัวเลขที่แน่นอน ออกกำลังกายฟังก์ชันตัวเลข z จากตัวแปรสองตัวคือ x และ y บ่อยครั้งแสดงถึง

ดังนั้น: ฉ (x , ย) ที่ไหน

ฉ (x , ย) = - ฟังก์ชันใดๆ นอกเหนือจากฟังก์ชัน ,

ขวาน+โดย+ค โดยที่ a, b, c –.

ตัวเลขที่กำหนด คำจำกัดความ 3การแก้สมการ (2) x; ยโทรหาคู่หมายเลข (

) โดยที่สูตร (2) คือความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ

เนื่องจากกำลังสองของจำนวนใดๆ ไม่เป็นลบ จึงเป็นไปตามสูตร (4) ว่าค่าที่ไม่รู้จัก x และ y เป็นไปตามระบบสมการ

คำตอบที่เป็นคู่ของตัวเลข (6; 3)

คำตอบ: (6; 3)

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ ดังนั้นการแก้สมการ (6) ก็คือชุดอนันต์คู่ตัวเลข

(1 + ย ; ย) ,

พิมพ์

โดยที่ y คือตัวเลขใดๆ

เชิงเส้น คำจำกัดความที่ 4

การแก้ระบบสมการ x; ยโทรหาคู่หมายเลข ( ) เราจะได้เมื่อแทนที่พวกมันลงในแต่ละสมการของระบบนี้.

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีรูปแบบหนึ่งเป็นแบบเส้นตรง(x , ย)

ก

ตัวอย่างที่ 4 แก้ระบบสมการ

สารละลาย . ให้เราแสดงค่า y ที่ไม่ทราบค่าจากสมการแรกของระบบ (7) ถึงค่า x ที่ไม่ทราบค่า และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองของระบบ:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

การแก้สมการ

ย 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ย 2 = 8 - x 2 = - 1 .

เพราะฉะนั้น,

ระบบของสองสมการ ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นระบบเอกพันธ์

ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีระบบหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีรูปแบบ ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีรูปแบบหนึ่งเป็นแบบเส้นตรง(x , ย) โดยที่ a, b, c ได้รับตัวเลข และ

– ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x และ y

ตัวอย่างที่ 6 แก้ระบบสมการ

3x 2 + 2สารละลาย . ลองแก้สมการเอกพันธ์กัน - ย 2 = 0 ,

3x 2 + 17สารละลาย . ลองแก้สมการเอกพันธ์กัน + 10ย 2 = 0 ,

เอ็กซ์ซี

.

ถือว่ามันเป็นสมการกำลังสองด้วยความเคารพต่อ x ที่ไม่รู้จัก: x = - 5ยเผื่อ

5ย 2 = - 20 ,

จากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ

ซึ่งไม่มีราก

เผื่อ

,

จากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ ย 1 = 3 , ย 2 = - 3 . ซึ่งมีรากเป็นตัวเลข

การค้นหาค่าแต่ละค่าเหล่านี้ y ค่าที่สอดคล้องกัน x เราได้คำตอบสองวิธีสำหรับระบบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

ตอบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการประเภทอื่นๆ

สารละลาย . ให้เราแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ u และ v ซึ่งแสดงผ่าน x และ y ตามสูตร:

เพื่อที่จะเขียนระบบใหม่ (12) ในรูปของสิ่งที่ไม่รู้ใหม่ เราจะเขียนสิ่งที่ไม่รู้จัก x และ y ในรูปของ u และ v ก่อน จากระบบ (13) เป็นไปตามนั้น

ให้เราแก้ระบบเชิงเส้น (14) โดยกำจัดตัวแปร x ออกจากสมการที่สองของระบบนี้ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้บนระบบ (14):

• เราจะปล่อยให้สมการแรกของระบบไม่เปลี่ยนแปลง
• จากสมการที่สองเราจะลบสมการแรกและแทนที่สมการที่สองของระบบด้วยผลต่างผลลัพธ์

เป็นผลให้ระบบ (14) ถูกแปลงเป็นระบบที่เทียบเท่า

จากที่เราพบ

การใช้สูตร (13) และ (15) เราจะเขียนระบบเดิม (12) ใหม่ในรูปแบบ

สมการแรกของระบบ (16) เป็นแบบเส้นตรง ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงค่า u ที่ไม่รู้จักผ่านค่า v ที่ไม่ทราบค่า จากนั้นแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สองของระบบ

หัวข้อบทเรียน: "สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์"

(เกรด 10)

เป้า: แนะนำแนวคิดเรื่องเนื้อเดียวกัน สมการตรีโกณมิติองศา I และ II; กำหนดและหาอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ขององศา I และ II สอนให้นักเรียนแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ขององศา I และ II พัฒนาความสามารถในการระบุรูปแบบและสรุป กระตุ้นความสนใจในเรื่องพัฒนาความรู้สึกเป็นน้ำหนึ่งใจเดียวกันและการแข่งขันที่ดี

ประเภทบทเรียน: บทเรียนในการสร้างความรู้ใหม่

รูปร่าง: การทำงานเป็นกลุ่ม.

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ การติดตั้งมัลติมีเดีย

ในระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน

ทักทายนักเรียน ระดมความสนใจ

ในบทเรียน ระบบการให้คะแนนการประเมินความรู้ (ครูอธิบายระบบการประเมินความรู้โดยกรอกใบประเมินโดยผู้เชี่ยวชาญอิสระที่ครูเลือกจากนักเรียน) บทเรียนจะมาพร้อมกับการนำเสนอ .

การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

การบ้านได้รับการตรวจสอบและให้คะแนนโดยผู้เชี่ยวชาญอิสระและที่ปรึกษาก่อนชั้นเรียนและเสร็จสิ้น กระดาษประเมินผล.

ครูสรุปการแสดง การบ้าน.

ครู: เราศึกษาหัวข้อ "สมการตรีโกณมิติ" ต่อไป วันนี้ในบทเรียนเราจะแนะนำให้คุณรู้จักกับสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติประเภทอื่นดังนั้นเราจะทำซ้ำสิ่งที่เราได้เรียนรู้ เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติทุกประเภท สมการตรีโกณมิติจะลดลงเป็นการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

มีการตรวจสอบการบ้านส่วนบุคคลที่ทำเป็นกลุ่ม ป้องกันการนำเสนอ "คำตอบของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด"

(ผลงานของกลุ่มได้รับการประเมินโดยผู้เชี่ยวชาญอิสระ)

แรงจูงใจในการเรียนรู้

ครู: เรามีงานที่ต้องทำเพื่อไขปริศนาอักษรไขว้ เมื่อแก้ไขแล้ว เราจะค้นหาชื่อของสมการประเภทใหม่ที่เราจะเรียนรู้ที่จะแก้ในชั้นเรียนวันนี้

คำถามถูกฉายไว้บนกระดาน นักเรียนเดาและผู้เชี่ยวชาญอิสระจะเข้าสู่คะแนนของนักเรียนที่ตอบในใบบันทึกคะแนน

เมื่อไขปริศนาอักษรไขว้ได้แล้ว เด็ก ๆ จะอ่านคำว่า "เป็นเนื้อเดียวกัน"

การดูดซึมความรู้ใหม่

ครู: หัวข้อของบทเรียนคือ “สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์”

มาเขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึก สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นมีระดับที่หนึ่งและสอง

ให้เราเขียนคำจำกัดความของสมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก ฉันแสดงตัวอย่างการแก้สมการประเภทนี้ คุณสร้างอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ในระดับแรก

สมการของแบบฟอร์ม กบาป + ข cosx = 0 เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ กและ วีแตกต่างจาก 0

ตัวอย่าง: ซิน x + cosx = 0

ร หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วย cosx เราก็จะได้

ความสนใจ! คุณสามารถหารด้วย 0 ได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์นี้ไม่เปลี่ยนเป็น 0 เลย มาวิเคราะห์กัน ถ้าโคไซน์เท่ากับ 0 ไซน์ก็จะเท่ากับ 0 ด้วย โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์แตกต่างจาก 0 แต่เรารู้ว่าไซน์และโคไซน์ไปที่ศูนย์ใน จุดต่างๆ- ดังนั้นการดำเนินการนี้สามารถดำเนินการได้เมื่อแก้สมการประเภทนี้

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก: หารทั้งสองข้างของสมการด้วย cosx, cosx 0

สมการของแบบฟอร์ม ก บาป mx +ข คอส mx = 0เรียกอีกอย่างว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรี 1 และยังแก้การหารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์ mx

สมการของแบบฟอร์ม ก บาป 2 x+ข ไซน์คอสเอ็กซ์ +ค cos2x = 0เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

ตัวอย่าง : บาป 2 x + 2ซินx คอสเอ็กซ์ – 3คอส 2 x = 0

สัมประสิทธิ์ a แตกต่างจาก 0 ดังนั้น cosx ไม่เท่ากับ 0 เช่นเดียวกับสมการก่อนหน้า ดังนั้น คุณสามารถใช้วิธีหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos 2 x ได้

เราได้ tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

เราแก้ไขโดยแนะนำตัวแปรใหม่ ให้ tgx = a จากนั้นเราจะได้สมการ

ก 2 + 2a – 3 = 0

ง = 4 – 4 (–3) = 16

ก 1 = 1 ก 2 = –3

กลับมาทดแทน

คำตอบ:

หากสัมประสิทธิ์ a = 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ 2sinx cosx – 3cos2x = 0 เราจะแก้มันโดยใช้วิธีการลบ ตัวคูณทั่วไป cosx ออกจากวงเล็บ หากสัมประสิทธิ์ c = 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ sin2x +2sinx cosx = 0 เราจะแก้มันโดยนำปัจจัยร่วม sinx ออกจากวงเล็บ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ในระดับแรก:

ดูว่าสมการมีพจน์ asin2 x หรือไม่

หากมีคำว่า asin2 x อยู่ในสมการ (เช่น 0) สมการก็จะแก้ได้โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos2x แล้วจึงแนะนำตัวแปรใหม่

หากไม่มีคำว่า asin2 x อยู่ในสมการ (เช่น a = 0) สมการก็จะแก้ได้โดยการแยกตัวประกอบ: cosx จะถูกนำออกจากวงเล็บ สมการเอกพันธ์ของรูปแบบ a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน

อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์เขียนไว้ในตำราเรียนหน้า 102

นาทีพลศึกษา

การพัฒนาทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์

เปิดหนังสือปัญหาหน้า 53

กลุ่มที่ 1 และ 2 ตัดสินหมายเลข 361-v

กลุ่มที่ 3 และ 4 ตัดสินใจหมายเลข 363-v

แสดงวิธีแก้ปัญหาบนกระดาน อธิบาย และเสริม ผู้เชี่ยวชาญอิสระเป็นผู้ประเมิน

ตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหา เล่ม 361-ว
ซินซ์ – 3cosx = 0
เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cosx 0 เราได้

เลขที่ 363-ว
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos2x เราจะได้ tg2x + tanx – 2 = 0

แก้ไขโดยการแนะนำตัวแปรใหม่
ให้ tgx = a แล้วเราจะได้สมการ
ก2 + ก – 2 = 0
ด = 9
ก1 = 1 ก2 = –2
กลับไปทดแทน

ทำงานอิสระ.

แก้สมการ

2 คอกซ์ – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

เมื่อเลิกงานอิสระก็เปลี่ยนงานและตรวจสอบร่วมกัน คำตอบที่ถูกต้องจะถูกฉายไว้บนกระดาน

จากนั้นพวกเขาก็ส่งมอบให้กับผู้เชี่ยวชาญอิสระ

โซลูชันการบริการตนเอง

สรุปบทเรียน.

เราเรียนรู้สมการตรีโกณมิติประเภทใดในชั้นเรียน

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติระดับที่หนึ่งและสอง

การบ้าน: § 20.3 อ่าน เลขที่ 361(ก), 363(ข), ความยากลำบากเพิ่มขึ้นนอกจากนี้หมายเลข 380(a)

ปริศนาอักษรไขว้

ถ้าคุณเข้า คำพูดที่แท้จริงจากนั้นคุณจะได้ชื่อของสมการตรีโกณมิติประเภทใดประเภทหนึ่ง

ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง? (ราก)

หน่วยวัดมุม? (เรเดียน)

ปัจจัยเชิงตัวเลขในผลิตภัณฑ์? (ค่าสัมประสิทธิ์)

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติ? (ตรีโกณมิติ)

ที่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำเป็นสำหรับการแทรก ฟังก์ชันตรีโกณมิติ? (วงกลม)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติข้อใดเป็นเลขคู่? (โคไซน์)

ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเรียกว่าอะไร? (ตัวตน)

ความเท่าเทียมกันกับตัวแปร? (สมการ)

สมการที่มี รากที่เหมือนกัน? (เทียบเท่า)

เซตรากของสมการ - (สารละลาย)

กระดาษประเมินผล

№
ไม่มี\n

นามสกุล ชื่ออาจารย์

การบ้าน

การนำเสนอ

กิจกรรมทางปัญญา
กำลังเรียน

การแก้สมการ

เป็นอิสระ
งาน

การบ้าน – 12 คะแนน (กำหนดให้ทำการบ้าน 3 สมการ 4 x 3 = 12 คะแนน)

การนำเสนอ – 1 คะแนน

กิจกรรมนักศึกษา – 1 คำตอบ – 1 คะแนน (สูงสุด 4 คะแนน)

การแก้สมการ 1 จุด

งานอิสระ – 4 คะแนน

การให้คะแนนกลุ่ม:

“5” – 22 คะแนนขึ้นไป
“4” – 18 – 21 แต้ม
“3” – 12 – 17 คะแนน

หยุด! ลองทำความเข้าใจสูตรยุ่งยากนี้กัน

ตัวแปรแรกของกำลังที่มีค่าสัมประสิทธิ์ควรมาก่อน ในกรณีของเรามันเป็น

ในกรณีของเรามันเป็น ดังที่เราพบ นั่นหมายความว่าระดับของตัวแปรแรกมาบรรจบกัน และมีตัวแปรตัวที่สองถึงระดับแรกอยู่ ค่าสัมประสิทธิ์

เรามีมัน

ตัวแปรแรกคือกำลัง และตัวแปรที่สองคือกำลังสองพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ นี่คือเทอมสุดท้ายในสมการ

อย่างที่คุณเห็น สมการของเราตรงกับคำจำกัดความในรูปแบบของสูตร

ลองดูที่ส่วนที่สอง (วาจา) ของคำจำกัดความ

เรามีสองสิ่งที่ไม่รู้จักและ มันมาบรรจบกันที่นี่

ลองพิจารณาเงื่อนไขทั้งหมด ในนั้นผลรวมของระดับของสิ่งที่ไม่รู้ควรจะเท่ากัน

ผลรวมขององศาจะเท่ากัน

ผลรวมของยกกำลังเท่ากับ (at และ at)

ผลรวมขององศาจะเท่ากัน

อย่างที่เห็น ทุกอย่างลงตัว!!!

ทีนี้มาฝึกนิยามสมการเอกพันธ์กันดีกว่า

พิจารณาว่าสมการใดเป็นเนื้อเดียวกัน:

สมการเอกพันธ์ - สมการที่มีตัวเลข:

ลองพิจารณาสมการแยกกัน

ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วยการแยกตัวประกอบแต่ละเทอม เราจะได้

และสมการนี้ก็เข้าข่ายนิยามของสมการเอกพันธ์โดยสิ้นเชิง

จะแก้สมการเอกพันธ์ได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 2

ลองหารสมการด้วย

ตามเงื่อนไขของเรา y จะเท่ากันไม่ได้ ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัย

เมื่อทำการทดแทนเราจะได้สมการกำลังสองอย่างง่าย:

เนื่องจากนี่คือสมการกำลังสองรีดิวซ์ เราจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราก็จะได้คำตอบ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ลองหารสมการด้วย (ตามเงื่อนไข)

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาว่า

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องหาร แต่คูณ ลองคูณสมการทั้งหมดด้วย:

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

เมื่อทำการทดแทนแบบย้อนกลับเราจะได้คำตอบ:

คำตอบ:

การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์

การแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ไม่แตกต่างจากวิธีการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ข้างต้น เฉพาะที่นี่เท่านั้น เหนือสิ่งอื่นใด คุณต้องรู้ตรีโกณมิติสักหน่อย และสามารถแก้สมการตรีโกณมิติได้ (คุณสามารถอ่านส่วนนี้ได้)

ลองดูสมการดังกล่าวโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

เราเห็นเป็นธรรมดา สมการเอกพันธ์: และเป็นสิ่งที่ไม่ทราบ และผลรวมของพลังในแต่ละเทอมก็เท่ากัน

สมการเอกพันธ์ดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก แต่ก่อนที่จะแบ่งสมการ ให้พิจารณากรณีที่ว่าเมื่อใด

ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: , ดังนั้น แต่ไซน์และโคไซน์ไม่สามารถเท่ากันในเวลาเดียวกันได้ เพราะโดยพื้นฐานแล้ว เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ- ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:

เนื่องจากสมการถูกกำหนดไว้ ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Vieta:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ

ดังตัวอย่าง คุณต้องหารสมการด้วย ลองพิจารณากรณีนี้เมื่อ:

แต่ไซน์และโคไซน์จะเท่ากันในเวลาเดียวกันไม่ได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน นั่นเป็นเหตุผล

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหาและ:

คำตอบ:

การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเอกพันธ์

สมการเอกพันธ์ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับที่กล่าวไว้ข้างต้น หากลืมวิธีตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลัง- ดูส่วนที่เกี่ยวข้อง ()!

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการ

ลองจินตนาการเช่นนี้:

เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปซึ่งมีตัวแปรสองตัวและผลรวมของกำลัง ลองแบ่งสมการออกเป็น:

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทำการทดแทน เราจะได้สมการกำลังสองด้านล่าง (ไม่จำเป็นต้องกังวลเรื่องการหารด้วยศูนย์ เพราะมันจะมากกว่าศูนย์เสมอ):

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8

แก้สมการ

ลองจินตนาการเช่นนี้:

ลองแบ่งสมการออกเป็น:

มาแทนที่และแก้สมการกำลังสองกัน:

รูตไม่ตรงตามเงื่อนไข เรามาทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้วค้นหา:

คำตอบ:

สมการเอกพันธ์ ระดับเฉลี่ย

ก่อนอื่น ผมขอเตือนคุณโดยใช้ตัวอย่างปัญหาหนึ่ง สมการเอกพันธ์คืออะไร และอะไรคือคำตอบของสมการเอกพันธ์

แก้ปัญหา:

ค้นหาว่า

คุณจะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสงสัยได้ที่นี่: ถ้าเราหารแต่ละเทอมด้วย เราจะได้:

นั่นคือตอนนี้ไม่มีการแยกจากกันและ - ตอนนี้ตัวแปรในสมการคือค่าที่ต้องการ และนี่คือสมการกำลังสองธรรมดาที่สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ผลคูณของรากเท่ากัน และผลรวมคือตัวเลข และ

คำตอบ:

สมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือนี่คือสมการที่มีค่าไม่ทราบสองตัว ซึ่งแต่ละเทอมจะมีพลังรวมของค่าไม่ทราบเหล่านี้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้น จำนวนนี้เท่ากับ สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันแก้ได้โดยการหารด้วยค่าที่ไม่ทราบค่าตัวใดตัวหนึ่งในระดับนี้:

และการแทนที่ตัวแปรในภายหลัง: . ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังโดยไม่ทราบค่า:

บ่อยครั้งที่เราจะเจอสมการระดับที่สอง (นั่นคือกำลังสอง) และเรารู้วิธีแก้สมการเหล่านี้:

โปรดทราบว่าเราสามารถหาร (และคูณ) สมการทั้งหมดด้วยตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเรามั่นใจว่าตัวแปรนี้ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้! เช่น ถ้าเราถูกขอให้ค้นหา เราก็จะเข้าใจทันทีว่าเพราะมันแบ่งแยกไม่ได้ ในกรณีที่ไม่ชัดเจนนัก จำเป็นต้องตรวจสอบกรณีแยกต่างหากเมื่อตัวแปรนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

แก้สมการ

สารละลาย:

เราเห็นสมการเอกพันธ์ทั่วไปที่นี่ และไม่ทราบค่า และผลรวมของกำลังในแต่ละเทอมมีค่าเท่ากัน

แต่ก่อนที่จะหารด้วยสมการกำลังสองที่สัมพันธ์กัน เราต้องพิจารณากรณีที่เมื่อก่อน ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ: ซึ่งหมายถึง แต่ไซน์และโคไซน์ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันได้ เพราะตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: ดังนั้นเราจึงสามารถแบ่งได้อย่างปลอดภัยเป็น:

ฉันหวังว่าวิธีแก้ปัญหานี้จะชัดเจนอย่างสมบูรณ์ใช่ไหม ถ้าไม่อ่านหัวข้อ หากไม่ชัดเจนว่ามาจากไหนคุณต้องกลับไปที่ส่วนนี้เร็วกว่านี้

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. ค้นหาว่า
2. ค้นหาว่า
3. แก้สมการ

ต่อไปนี้ผมจะเขียนคำตอบของสมการเอกพันธ์โดยตรงสั้นๆ:

โซลูชั่น:

คำตอบ: .

แต่ที่นี่เราต้องคูณแทนที่จะหาร:

คำตอบ:

หากคุณยังไม่ได้ใช้สมการตรีโกณมิติ คุณสามารถข้ามตัวอย่างนี้ได้

เนื่องจากที่นี่เราต้องหารด้วย ต้องแน่ใจว่าไม่ใช่ร้อยก่อน เท่ากับศูนย์:

และนี่เป็นไปไม่ได้

คำตอบ: .

สมการเอกพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

การแก้สมการเอกพันธ์ทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการหารด้วยค่าที่ไม่รู้จักค่าใดค่าหนึ่งยกกำลัง และการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพิ่มเติม

อัลกอริทึม:

“ความยิ่งใหญ่ของมนุษย์อยู่ที่ความสามารถในการคิด”
เบลส ปาสคาล.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1) เกี่ยวกับการศึกษา– แนะนำนักเรียนให้รู้จักสมการเอกพันธ์ พิจารณาวิธีการแก้สมการ และส่งเสริมการพัฒนาทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติประเภทที่ศึกษาก่อนหน้านี้

2) พัฒนาการ– พัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียนของพวกเขา กิจกรรมการเรียนรู้, การคิดอย่างมีตรรกะ,ความจำ,ความสามารถในการทำงาน สถานการณ์ที่มีปัญหาเพื่อให้บรรลุความสามารถในการแสดงความคิดของตนเองอย่างถูกต้อง สม่ำเสมอ มีเหตุผล ขยายขอบเขตของนักเรียน และเพิ่มระดับวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

3) เกี่ยวกับการศึกษา– เพื่อปลูกฝังความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเอง ทำงานหนัก พัฒนาความสามารถในการจดบันทึกทางคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพและแม่นยำ ปลูกฝังกิจกรรม เพื่อช่วยกระตุ้นความสนใจในคณิตศาสตร์

ประเภทบทเรียน:รวมกัน

อุปกรณ์:

1. บัตรเจาะสำหรับนักเรียนหกคน
2. การ์ดสำหรับอิสระและ งานของแต่ละบุคคลนักเรียน.
3. ย่อมาจาก "การแก้สมการตรีโกณมิติ", "วงกลมหน่วยตัวเลข"
4. ตารางตรีโกณมิติไฟฟ้า
5. การนำเสนอสำหรับบทเรียน (ภาคผนวก 1).

ในระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร(2 นาที)

ทักทายกัน; การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนในบทเรียน ( ที่ทำงาน, รูปร่าง- องค์กรแห่งความสนใจ

ครูบอกนักเรียนเกี่ยวกับหัวข้อบทเรียนเป้าหมาย (สไลด์ 2)และอธิบายว่าระหว่างบทเรียนจะใช้อันหนึ่ง เอกสารประกอบคำบรรยายซึ่งอยู่บนโต๊ะ

2. การทำซ้ำ วัสดุทางทฤษฎี(15 นาที)

งานเจาะบัตร(6 คน) . เวลาทำงานโดยใช้บัตรเจาะ – 10 นาที (ภาคผนวก 2)

หลังจากแก้ไขปัญหาแล้ว นักเรียนจะได้เรียนรู้ว่าพวกเขาสมัครที่ไหน การคำนวณตรีโกณมิติ- เราได้คำตอบดังต่อไปนี้: สามเหลี่ยม (เทคนิคที่ช่วยให้วัดระยะทางไปยังดาวฤกษ์ใกล้เคียงในดาราศาสตร์) อะคูสติก อัลตราซาวนด์ เอกซ์เรย์ จีโอเดซี วิทยาการเข้ารหัสลับ

(สไลด์ 5)

การสำรวจหน้าผาก

1. สมการใดเรียกว่าตรีโกณมิติ?
2. คุณรู้จักสมการตรีโกณมิติประเภทใดบ้าง
3. สมการใดเรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด?
4. สมการใดเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสอง?
5. กำหนดนิยามของอาร์คไซน์ของ a
6. กำหนดนิยามของโคไซน์ส่วนโค้งของ a
7. กำหนดนิยามของอาร์กแทนเจนต์ของ a
8. กำหนดนิยามของโคแทนเจนต์ส่วนโค้งของจำนวน a

เกม "เดาคำที่เข้ารหัส"

เบลส ปาสคาลเคยกล่าวไว้ว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจังมากจนไม่ควรพลาดโอกาสที่จะทำให้คณิตศาสตร์มีความสนุกสนานมากขึ้น นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันแนะนำให้เล่น หลังจากแก้ตัวอย่างแล้ว ให้พิจารณาลำดับของตัวเลขที่ใช้เขียนคำที่เข้ารหัส ในภาษาละตินคำนี้หมายถึง "ไซน์" (สไลด์ 3)

2) ส่วนโค้ง tg (-√3)

4) tg (อาร์คคอส (1/2))

5) tg (ส่วนโค้ง ctg √3)

คำตอบ: "โค้งงอ"

เกม "นักคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม"»

งานสำหรับงานปากเปล่าฉายบนหน้าจอ:

ตรวจสอบว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง(คำตอบที่ถูกต้องจะปรากฏบนสไลด์หลังคำตอบของนักเรียน) (สไลด์ 4)

	คำตอบที่มีข้อผิดพลาด	คำตอบที่ถูกต้อง
	x = ± พาย/6+2πn	x = ± พาย/3+2πn
	x= พาย/3+πn	เอ็กซ์ = (-1) nπ/3+πn
ทีจี x = พาย/4	x= 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± พาย/6+2πn
	x = (-1)n อาร์คซิน1/3+ 2πn	x = (-1)n อาร์คซิน1/3+ πn
	x = ± พาย/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
เพราะ x = พาย/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± พาย/3+2πn

ตรวจการบ้าน.

ครูสร้างความถูกต้องและความตระหนักในการทำการบ้านของนักเรียนทุกคน ระบุช่องว่างในความรู้ พัฒนาความรู้ ทักษะ และความสามารถของนักเรียนในด้านการแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

1 สมการ นักเรียนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการแก้สมการ ซึ่งมีบรรทัดปรากฏบนสไลด์ตามลำดับความคิดเห็น) (สไลด์ 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= อาร์คแทน 1/√3 +πn, n ∈ซี.

2х= π/6 +πn, n ∈ซี.

x= π/12 + พาย/2 เอ็น, n ∈ซี.

2 สมการ. สารละลาย ชม.เขียนถึงนักเรียนบนกระดาน

2 บาป 2 x + 3 cosx = 0

3. อัพเดตความรู้ใหม่ (3 นาที)

นักเรียนจำวิธีแก้สมการตรีโกณมิติได้ตามคำขอของครู พวกเขาเลือกสมการที่พวกเขารู้วิธีแก้อยู่แล้ว ตั้งชื่อวิธีการแก้สมการและผลลัพธ์ที่ได้ . คำตอบจะปรากฏบนสไลด์ (สไลด์ 7) .

ขอแนะนำตัวแปรใหม่:

ลำดับที่ 1. 2ซิน 2 x – 7ซินx + 3 = 0

ให้ sinx = t แล้ว:

2t 2 – 7t + 3 = 0

การแยกตัวประกอบ:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3ซินx – 1) = 0;

cos4x = 0 หรือ 3 sinx – 1 = 0; -

ลำดับที่ 3. 2 ซิน – 3 คอส = 0,

ลำดับที่ 4. 3 บาป 2 x – 4 บาป x cosx + cos 2 x = 0

ครู:คุณยังไม่ทราบวิธีแก้สมการสองประเภทสุดท้าย พวกเขาทั้งสองเป็นสายพันธุ์เดียวกัน ไม่สามารถลดเป็นสมการได้ ฟังก์ชั่น sinxหรือคอสเอ็กซ์ จะถูกเรียกว่า สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์แต่อันแรกเท่านั้นที่เป็นสมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก และอันที่สองคือสมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง วันนี้ในบทเรียนเราจะทำความคุ้นเคยกับสมการดังกล่าวและเรียนรู้วิธีแก้สมการเหล่านั้น

4. คำอธิบายเนื้อหาใหม่ (25 นาที)

ครูให้คำจำกัดความของสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์แก่นักเรียนและแนะนำวิธีการแก้โจทย์เหล่านั้น

คำนิยาม.สมการของรูปแบบ a sinx + b cosx =0 โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 เรียกว่า สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก(สไลด์ 8)

ตัวอย่างของสมการดังกล่าวคือสมการหมายเลข 3 เราจะเขียนมันออกมา แบบฟอร์มทั่วไปสมการและวิเคราะห์มัน

a sinx + b cosx = 0

ถ้า cosx = 0 ดังนั้น sinx = 0

– สถานการณ์เช่นนี้จะเกิดขึ้นได้หรือไม่?

- เลขที่. เราได้รับความขัดแย้งกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

นี่หมายถึง cosx ≠ 0 มาทำการหารแบบเทอมต่อเทอมด้วย cosx:

tgx + b = 0

tgx = –b / ก– สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

บทสรุป:สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรี 1 แก้ได้โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cosx (sinx)

ตัวอย่างเช่น: 2 ซิน – 3 คอส = 0,

เพราะ cosx ≠ 0 แล้ว

tgx = 3/2 ;

x = อาร์คแทน (3/2) +πn, n ∈Z

คำนิยาม.สมการของรูปแบบ a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 เรียกว่า สมการตรีโกณมิติของระดับที่สอง (สไลด์ 8)

ตัวอย่างของสมการดังกล่าวคือสมการหมายเลข 4 ให้เราเขียนรูปแบบทั่วไปของสมการแล้ววิเคราะห์

บาป 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0

ถ้า cosx = 0 ดังนั้น sinx = 0

เราขัดแย้งกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานอีกครั้ง

นี่หมายถึง cosx ≠ 0 ให้เราหารแบบเทอมต่อเทอมด้วย cos 2 x:

และ tg 2 x + b tgx + c = 0 เป็นสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง

สรุป: โอ้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สองได้รับการแก้ไขโดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos 2 x (sin 2 x)

ตัวอย่างเช่น: 3 บาป 2 x – 4 บาป x cosx + cos 2 x = 0

เพราะ cos 2 x ≠ 0 แล้ว

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (เชิญนักเรียนไปที่กระดานและเติมสมการโดยอิสระ)

การแทนที่: tgx = y 3у 2 – 4 คุณ + 1 = 0

ง = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 หรือ y 2 = 1/3

tgx = 1 หรือ tgx = 1/3

x = อาร์คแทน (1/3) + πn, n ∈Z

x = อาร์คแทน + πn, n ∈Z

x = π/4 + πn, n ∈Z

5. ขั้นตอนการตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่ (1 นาที)

เลือกอันที่แปลกออก:

ไซน์ = 2คอสเอ็กซ์; 2ซินx + คอสเอ็กซ์ = 2;

√3ซินx + คอสเอ็กซ์ = 0; บาป 2 x – 2 บาป x cosx + 4cos 2 x = 0;

4คอสx + 5ซินx = 0; √3ซินx – คอสเอ็กซ์ = 0

(สไลด์ 9)

6. การรวมวัสดุใหม่ (24 นาที)

นักเรียนร่วมกับผู้ตอบแก้สมการบนกระดาน วัสดุใหม่- งานจะถูกเขียนบนสไลด์ในรูปแบบของตาราง เมื่อแก้สมการ ส่วนที่เกี่ยวข้องของรูปภาพบนสไลด์จะเปิดขึ้น จากการกรอกสมการทั้ง 4 เสร็จ นักเรียนจะได้เห็นภาพของนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลสำคัญต่อการพัฒนาตรีโกณมิติ (นักเรียนจะจำภาพเหมือนของ François Vieta นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ผู้มีส่วนช่วยอย่างมากในด้านวิชาตรีโกณมิติ ผู้ค้นพบคุณสมบัติของรากของการลดลง สมการกำลังสองและทำงานในการเข้ารหัส) - (สไลด์ 10)

1) √3ซินx + คอสเอ็กซ์ = 0,

เพราะ cosx ≠ 0 แล้ว

√3tgx + 1 = 0;

ทีจีเอ็กซ์ = –1/√3;

x = อาร์คแทน (–1/√3) + πn, n ∈Z

x = –π/6 + πn, n ∈Z

2) บาป 2 x – 10 บาป x cosx + 21cos 2 x = 0

เพราะ cos 2 x ≠ 0 จากนั้น tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

การทดแทน: tgx = ย

ปี 2 – 10 ปี + 21 = 0

y 1 = 7 หรือ y 2 = 3

tgx = 7 หรือ tgx = 3

x = อาร์คแทน7 + πn, n ∈Z

x = อาร์คแทน3 + πn, n ∈Z

3) บาป 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0

เพราะ cos 2 2x ≠ 0 แล้วก็ 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

การทดแทน: tg2x = y

3у 2 – 6у + 5 = 0

ง = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 หรือ y 2 = 1

tg2x = 5 หรือ tg2x = 1

2х = อาร์คแทน5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 อาร์คแทน5 + π/2 n, n ∈Z

2х = อาร์คแทน1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6ซิน 2 x + 4ซิน(π-x) cos(2π-x) = 1

6ซิน 2 x + 4ซินx cosx = 1

6ซิน 2 x + 4ซินx cosx – บาป 2 x – cos 2 x = 0

5ซิน 2 x + 4ซินx cosx – cos 2 x = 0

เพราะ cos 2 x ≠0 จากนั้น 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

การทดแทน:ทีจี x = ย.

5у 2 + 4у – 1 = 0

ง = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 หรือ y 2 = –1

tg x = 1/5 หรือ tg x = –1

x = อาร์คแทน1/5 + πn, n ∈Z

x = อาร์คแทน(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

นอกจากนี้ (บนการ์ด):

แก้สมการและเลือกหนึ่งตัวเลือกจากสี่ตัวเลือกที่เสนอให้เดาชื่อของนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับสูตรการลด:

2ซิน 2 x – 3ซินx cosx – 5cos 2 x = 0

คำตอบที่เป็นไปได้:

x = อาร์คแทน2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. เชบีเชฟ

x = อาร์คแทน 12.5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclid

x = อาร์คแทน 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – โซเฟีย โควาเลฟสกายา

x = อาร์คแทน2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

คำตอบที่ถูกต้อง: เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

7. งานอิสระที่แตกต่าง (8 นาที)

นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาผู้ยิ่งใหญ่เมื่อกว่า 2,500 ปีที่แล้วเสนอวิธีพัฒนาความสามารถในการคิด “การคิดเริ่มต้นด้วยความประหลาดใจ” เขากล่าว ทุกวันนี้เราเห็นซ้ำแล้วซ้ำอีกว่าคำเหล่านี้ถูกต้อง เมื่อทำงานอิสระใน 2 ทางเลือกเสร็จแล้ว คุณจะสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณเชี่ยวชาญเนื้อหาอย่างไรและค้นหาชื่อของนักคณิตศาสตร์คนนี้ สำหรับงานอิสระ ให้ใช้เอกสารประกอบคำบรรยายที่อยู่บนโต๊ะของคุณ คุณสามารถเลือกหนึ่งในสามสมการที่เสนอได้ด้วยตัวเอง แต่จำไว้ว่าด้วยการแก้สมการที่สอดคล้องกับ สีเหลืองคุณสามารถได้ "3" เท่านั้นโดยการแก้สมการที่สอดคล้องกับสีเขียว - "4" สีแดง - "5" (ภาคผนวก 3)

ไม่ว่านักเรียนจะเลือกระดับความยากระดับใดก็ตาม การตัดสินใจที่ถูกต้องสมการเวอร์ชันแรกสร้างคำว่า "ARIST" เวอร์ชันที่สอง - "HOTEL" คำในสไลด์คือ “ARIST-HOTEL” (สไลด์ 11)

ใบไม้ด้วย งานอิสระถูกส่งเพื่อตรวจสอบ (ภาคผนวก 4)

8. จดบันทึกการบ้าน (1 นาที)

D/z: §7.17 เขียนและแก้สมการเอกพันธ์ 2 ตัวของดีกรี 1 และสมการเอกพันธ์ 1 ตัวของดีกรี 2 (ใช้ทฤษฎีบทของเวียตนามในการเรียบเรียง) (สไลด์ 12)

9. สรุปบทเรียน ให้คะแนน (2 นาที)

ครูดึงความสนใจไปที่สมการประเภทเหล่านั้นและข้อเท็จจริงทางทฤษฎีเหล่านั้นอีกครั้งที่จำได้ในบทเรียน โดยพูดถึงความจำเป็นในการเรียนรู้สิ่งเหล่านั้น

นักเรียนตอบคำถาม:

1. เราคุ้นเคยกับสมการตรีโกณมิติประเภทใด
2. สมการเหล่านี้แก้ได้อย่างไร?

ครูจดบันทึกมากที่สุด งานที่ประสบความสำเร็จในบทเรียนของนักเรียนแต่ละคนให้คะแนน

ซึ่งหมายถึงการหามุมระหว่างเส้นนี้กับเส้นโครงบนระนาบที่กำหนด

แบบจำลองเชิงพื้นที่ที่แสดงงานแสดงอยู่ในภาพ

แผนการแก้ปัญหา:
1. จาก จุดใดก็ได้ ก∈กลดตั้งฉากกับเครื่องบินลง α ;
2. กำหนดจุดบรรจบของฉากตั้งฉากกับระนาบนี้ α - จุด เอ แอลฟา - การฉายภาพออโธกราฟิก กไปที่เครื่องบิน α ;
3. หาจุดตัดของเส้นตรง กกับเครื่องบิน α - จุด α- เส้นทางตรง กบนพื้นผิว α ;
4. เราดำเนินการ ( เอ แอลฟา) - การฉายเส้นตรง กไปที่เครื่องบิน α ;
5. กำหนดมูลค่าที่แท้จริง ∠ อา ฟา อา ฟาเช่น ∠ φ .

การแก้ปัญหา หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างมากหากเราไม่กำหนด ∠ φ ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ และประกอบกันเป็น 90° ∠ γ - ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดเส้นโครงของจุด กและเส้นโครงเส้นตรง กไปที่เครื่องบิน α - เมื่อรู้ถึงขนาด γ คำนวณโดยสูตร:

$ φ = 90° - γ $

กและเครื่องบิน α กำหนดโดยเส้นขนาน มและ n.

ก α
หมุนรอบแนวนอน มอบให้โดยคะแนน 5 และ 6 เรากำหนดขนาดจริง ∠ γ - เมื่อรู้ถึงขนาด γ คำนวณโดยสูตร:

$ φ = 90° - γ $

การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรง กและเครื่องบิน α , กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยมบีซีดี.

จากจุดใดก็ได้บนเส้น กลดตั้งฉากกับเครื่องบินลง α
โดยการหมุนรอบเส้นแนวนอนที่ระบุโดยจุดที่ 3 และ 4 เราจะกำหนดขนาดธรรมชาติ ∠ γ - เมื่อรู้ถึงขนาด γ คำนวณโดยใช้สูตร