సిద్ధాంతాలు మరియు రుజువులు. సిద్ధాంతం మరియు సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు అంటే ఏమిటి? పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు

షరతు నుండి ముగింపు వరకు వాదనలను అనుసంధానించే పద్ధతి ప్రకారం, సాక్ష్యం విభజించబడింది నేరుగామరియు పరోక్షంగా.

ప్రత్యక్ష రుజువుసిద్ధాంతం యొక్క సత్యం నేరుగా స్థాపించబడిన కొన్ని నిస్సందేహమైన సూత్రం ఆధారంగా.

- సింథటిక్,

- విశ్లేషణాత్మక,

సింథటిక్ పద్ధతి: సిలోజిజమ్‌ల గొలుసును నిర్మించేటప్పుడు, ఆలోచన సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి దాని ముగింపుకు కదులుతుంది.

పాఠ్యపుస్తకాలు ఎక్కువగా సింథటిక్ రుజువులను అందిస్తాయి. వాటి ప్రయోజనాలు సంపూర్ణత, సంక్షిప్తత, సంక్షిప్తత. ప్రతికూలతలు - దశలకు ప్రేరణ లేకపోవడం, అదనపు నిర్మాణాలకు సమర్థన; అవి విశ్లేషణాత్మక సాక్ష్యం కంటే చాలా అధికారికమైనవి.

ఉదాహరణ

సిద్ధాంతం. ఒక వృత్తంలోని రెండు తీగలు కలుస్తుంటే, ఒక తీగ యొక్క విభాగాల యొక్క ఉత్పత్తి మరొక తీగ యొక్క విభాగాల ఉత్పత్తికి సమానం.

ఇవ్వబడింది: AB మరియు CD వృత్తం యొక్క తీగలు, E అనేది వాటి ఖండన స్థానం.

నిరూపించండి: AE×BE = CE×DE. (1)

రుజువు (సింథటిక్)

ADE మరియు CBE త్రిభుజాలను పరిగణించండి. ఈ త్రిభుజాలలో, 1 మరియు 2 కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఒకే ఆర్క్ VMDపై చెక్కబడి ఉంటాయి మరియు 3 మరియు 4 కోణాలు నిలువుగా సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క మొదటి సంకేతం ప్రకారం DADE ~ DCBE. ఇది అనుసరిస్తుంది , లేదా AE×BE = CE×DE. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

విశ్లేషణ పద్ధతి : రుజువు కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, ఆలోచన సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు నుండి దాని స్థితికి కదులుతుంది. ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు ఏమిటంటే, రుజువు కోసం ఒక ప్రారంభ స్థానం ఉంది, అదనపు నిర్మాణాలు ప్రేరేపించబడ్డాయి మరియు విద్యార్థుల సృజనాత్మక కార్యాచరణ పెరుగుతుంది. ప్రతికూలతలు: పెద్ద సమయం నష్టాలు, కృత్రిమ అదనపు నిర్మాణాలు సమర్థించడం కష్టం.

ఉదాహరణ. వృత్తం యొక్క తీగలపై సిద్ధాంతం.

రుజువు (విశ్లేషణాత్మక)

సమానత్వం (1) నిరూపించడానికి (2) అని చూపితే సరిపోతుంది.

నిష్పత్తిని కనుగొనడానికి (2), ఈ నిష్పత్తిలో సభ్యులుగా ఉన్న త్రిభుజాల సారూప్యతను నిరూపించడానికి సరిపోతుంది. అటువంటి త్రిభుజాలను పొందడానికి, మేము C మరియు B, A మరియు D పాయింట్లను కలుపుతాము.

నిష్పత్తి (2) యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని సమర్థించడానికి, DADE ~ DCBE అని నిరూపించడానికి సరిపోతుంది. ఈ త్రిభుజాలు త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క మొదటి ప్రమాణం ప్రకారం సమానంగా ఉంటాయి: Ð1 = Ð2 అదే ఆర్క్ VMD ఆధారంగా లిఖించబడిన కోణాలుగా మరియు Ð3 = Ð4 నిలువుగా ఉంటాయి. కాబట్టి, సిద్ధాంతం నిజం.

ఏదైనా విశ్లేషణాత్మక రుజువు సింథటిక్‌గా మార్చబడుతుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. లో ఇది విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది విద్యా ప్రక్రియ. సాంకేతికతలు కావచ్చు:

1) సింథటిక్ రుజువు దాని ప్రణాళిక కోసం విశ్లేషణాత్మక శోధన ద్వారా ముందుగా ఉంటుంది;

2) సింథటిక్ ప్రూఫ్ ఒక విశ్లేషణాత్మకమైన దానితో భర్తీ చేయబడుతుంది ఇంటి పని- పాఠ్య పుస్తకం నుండి సింథటిక్ రుజువును అధ్యయనం చేయడం;

3) ఉపన్యాస పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు (ప్రధానంగా ప్రాథమిక పాఠశాల కోర్సు వెలుపల), రుజువు యొక్క పూర్తిగా సింథటిక్ పద్ధతి తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిజ్యామితిలో విస్తృతంగా లేదు, ఎందుకంటే ఇది సెట్ యొక్క లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది సహజ సంఖ్యలు, ప్రాథమిక పాఠశాల పరిధిని మించి ఉంటుంది, కాబట్టి మేము దానిని ప్రత్యేక అధ్యయనానికి గురి చేయము.

పరోక్ష సాక్ష్యం: సిద్ధాంతం యొక్క సత్యం సిద్ధాంతంలో ఉన్న కొన్ని ప్రతిపాదనలను తిరస్కరించడం ద్వారా స్థాపించబడింది.

ప్లానిమెట్రీ కోర్సులో పరోక్ష రుజువు యొక్క అత్యంత సాధారణ మరియు వర్తించే ఏకైక పద్ధతి వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు.

పద్ధతి యొక్క తార్కిక-గణిత సారాంశం వైరుధ్యం: ప్రత్యక్ష రేఖకు బదులుగా (p Þ q), విలోమ సిద్ధాంతం () వ్యతిరేక సిద్ధాంతం ద్వారా నిరూపించబడింది.

అందువల్ల, వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు క్రింది పథకం ప్రకారం నిర్మించబడింది:

1) q తప్పుగా ఉండనివ్వండి, అంటే నిజం ;

2) మేము p తప్పు అని నిరూపిస్తాము, అంటే నిజం;

3) నుండి నిర్ధారించారు;

4) కాబట్టి, p Þ q (ఇంప్లికేషన్స్ p Þ q మరియు ) యొక్క సమానత్వం కారణంగా, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ప్రాథమిక పాఠశాల జ్యామితి కోర్సు వైరుధ్యం ద్వారా రుజువులను విస్తృతంగా ఉపయోగించుకుంటుంది, ఇది ఏడవ తరగతిలోని మొదటి పాఠాల నుండి అక్షరాలా ప్రారంభమవుతుంది. ఈ సందర్భంలో, అల్గోరిథమిక్ విధానాన్ని ఉపయోగించడం అవసరం.

వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు కోసం అల్గోరిథం.

1. సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు తప్పు అని మేము అనుకుంటాము. అప్పుడు విరుద్ధమైన ప్రకటన నిజం అవుతుంది.

2. మేము సాధ్యమయ్యే కేసులను గుర్తిస్తాము.

3. ప్రతి సందర్భంలోనూ మేము విరుద్ధమైన పర్యవసానానికి వచ్చామని మేము నిర్ధారించుకుంటాము:

- సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితి,

- గతంలో స్థాపించబడిన గణిత వాస్తవాలు.

4. వైరుధ్యం ఉనికిని అంగీకరించిన ముగింపును విడిచిపెట్టడానికి బలవంతం చేస్తుంది.

5. మేము నిరూపించబడుతున్న సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు యొక్క ప్రామాణికతను అంగీకరిస్తాము.

మేము ప్రధానంగా వివరించాము తార్కిక పద్ధతులుసిద్ధాంతాల రుజువులు: ప్రత్యక్ష మరియు పరోక్ష, ఇది విశ్లేషణాత్మకంగా మరియు కృత్రిమంగా ఉంటుంది, వైరుధ్యం ద్వారా రుజువులు.

మేము ప్రధాన గురించి మాట్లాడవచ్చు గణిత పద్ధతులుసిద్ధాంతాల రుజువులు. జ్యామితిలో ఇవి క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి ప్రాథమిక పద్ధతులు:

1) పద్ధతి రేఖాగణిత పరివర్తనాలు : సమర్థవంతమైన, స్థిరమైన ఆధునిక భావనపాఠశాలలో జ్యామితిని బోధించడం, కానీ అభివృద్ధి చెందిన నైరూప్య మరియు ప్రాదేశిక ఆలోచన అవసరం; పాఠశాలలో దాని ఉపయోగం కోసం పద్దతి తగినంతగా అభివృద్ధి చేయబడలేదు;

2) త్రిభుజాల సమానత్వం మరియు సారూప్యత యొక్క పద్ధతి -పాఠశాలలో జ్యామితిని బోధించే శాస్త్రీయ భావనకు అనుగుణంగా, యూక్లిడ్ కాలం నుండి తెలుసు, కాబట్టి దాని పద్దతి బాగా అభివృద్ధి చేయబడింది; సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మరియు సిద్ధాంతాలను నిరూపించే ప్రక్రియలో దాని అనువర్తనంలో నైపుణ్యాలు క్రమంగా ఏర్పడతాయి.

పేర్కొన్న బేసిక్‌తో పాటు గణిత పద్ధతులుప్లానిమెట్రీ సిద్ధాంతాల రుజువు, మేము మరింత నిర్దిష్ట పద్ధతుల గురించి మాట్లాడవచ్చు: సమరూప పద్ధతి, భ్రమణ పద్ధతి, వెక్టర్ పద్ధతి, బీజగణిత పద్ధతి, సారూప్య పద్ధతి, సమన్వయ పద్ధతిమరియు మొదలైనవి

ప్రాథమిక పాఠశాల జ్యామితి కోర్సులో ఉపయోగించే రుజువు పద్ధతులను స్కీమ్ I రూపంలో సంగ్రహించవచ్చు.

పాఠశాలలో అధ్యయనం చేసే సిద్ధాంతాల (నియమాలు, సూత్రాలు, గుర్తింపులు మొదలైనవి) యొక్క కంటెంట్‌ను నేర్చుకోవడం అంత కష్టం కాదు. ఇది చేయుటకు, సిద్ధాంతం యొక్క అర్ధాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి క్రమపద్ధతిలో ప్రయత్నించాలి (నియమాలు, సూత్రాలు, గుర్తింపులు మొదలైనవి, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఇతర సిద్ధాంతాలను రుజువు చేసేటప్పుడు వీలైనంత తరచుగా వాటిని వర్తింపజేయండి. ఇటువంటి పని, అభ్యాసం చూపినట్లుగా, దారితీస్తుంది. వారి కంటెంట్‌ను అసంకల్పితంగా సమీకరించడం, వాటి సూత్రీకరణలను కంఠస్థం చేయడం, సిద్ధాంతాలను ఎలా నిరూపించాలో నేర్చుకోవడం చాలా కష్టం, ఈ సందర్భంలో, మేము తరగతిలో చర్చించిన నిర్దిష్ట సిద్ధాంతం యొక్క రుజువును గుర్తుంచుకోవడం గురించి మాట్లాడటం లేదు. అవసరం లేదు. రుజువును ప్రత్యేకంగా గుర్తుంచుకోవడానికి, మీరు మీరే సిద్ధాంతాలను ఎలా నిరూపించుకోవాలో నేర్చుకోవాలి, పాఠ్యపుస్తకంలోని సిద్ధాంతాల రుజువులను ఒక ప్రకటనను నిరూపించేటప్పుడు నమూనా (ప్రామాణిక) తార్కికంగా పరిగణించాలి.

సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడం అంటే ఏమిటి, రుజువు ఏమిటి?

ప్రూఫ్ ఇన్ విస్తృత కోణంలో- ఇది తార్కిక తార్కికం, ఈ సమయంలో ఆలోచన యొక్క నిజం ఇతర నిబంధనల సహాయంతో సమర్థించబడుతుంది.

అందువల్ల, మీరు మీ స్నేహితుడికి ఏదైనా విషయాన్ని ఒప్పించినప్పుడు లేదా అతనితో వివాదంలో మీ అభిప్రాయాన్ని, మీ దృక్కోణాన్ని సమర్థించినప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా ఒక రుజువును ఉత్పత్తి చేస్తారు (నైపుణ్యంగా లేదా నైపుణ్యంతో - అది మరొక ప్రశ్న). జీవితంలో, అన్ని సమయాలలో, ప్రతిరోజు ఇతర వ్యక్తులతో కమ్యూనికేట్ చేయడంలో, మీరు కొన్ని ఆలోచనలు, ప్రకటనలు నిరూపించుకోవాలి, మీరు ఏదో ఒకదానిని ఒప్పించవలసి ఉంటుంది, అనగా నిరూపించండి.

రుజువు గణిత సిద్ధాంతాలుఉంది ప్రత్యేక సంధర్భంసాధారణంగా సాక్ష్యం. ఇది రోజువారీ పరిస్థితులలో లేదా ఇతర శాస్త్రాలలో రుజువు నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, అది వీలైనంత శుభ్రంగా చేయబడుతుంది. తగ్గింపుగా(నుండి లాటిన్ పదంతగ్గింపు - అనుమితి), అనగా, ఉదాహరణలు లేదా అనుభవానికి ఎటువంటి సూచన లేకుండా లాజిక్ నియమాల ప్రకారం గతంలో నిరూపించబడిన లేదా ఆమోదించబడిన రుజువు ఆలోచనలు (సూత్రాలు) నుండి కొత్త నిరూపించదగిన ఆలోచన (స్టేట్‌మెంట్, తీర్పు) యొక్క ఉత్పన్నం. ఇతర శాస్త్రాలలో, రోజువారీ పరిస్థితులలో, మేము రుజువు కోసం తరచుగా ఉదాహరణలు మరియు అనుభవాన్ని ఆశ్రయిస్తాము. మేము "చూడండి" అని అంటాము మరియు ఇది రుజువుగా ఉపయోగపడుతుంది. గణితంలో, ఈ రుజువు పద్ధతి ఆమోదయోగ్యం కాదు; ఉదాహరణకు, డ్రాయింగ్ ద్వారా వివరించబడిన స్పష్టమైన సంబంధాలను సూచించడం అనుమతించబడదు. గణిత శాస్త్ర రుజువుప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు, నిర్వచనాలు, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితులు మరియు గతంలో నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాల నుండి అవసరమైన ముగింపు వరకు తార్కిక పరిణామాల గొలుసుగా ఉండాలి.

కాబట్టి, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసేటప్పుడు, మేము దానిని మునుపు నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాలకు తగ్గిస్తాము మరియు ఇవి ఇతరులకు మొదలైనవి. సహజంగానే, ఈ తగ్గింపు ప్రక్రియ తప్పనిసరిగా పరిమితమై ఉండాలి మరియు అందువల్ల ఏదైనా రుజువు చివరికి సిద్ధాంతాన్ని అసలు నిర్వచనాలకు మరియు రుజువు లేకుండా ఆమోదించబడిన సిద్ధాంతాలు.

పర్యవసానంగా, సిద్ధాంతాలు మాత్రమే పనిచేస్తాయి పరోక్ష నిర్వచనంప్రాథమిక భావనలు, కానీ గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అన్ని సిద్ధాంతాల రుజువుకు కూడా ఆధారం. అందుకే సిద్ధాంతాలలో సూచించేవి కూడా ఉన్నాయి ప్రత్యేక లక్షణాలుకలిగి ఉన్న భావనలు తార్కిక నిర్వచనాలు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, జ్యామితి కోర్సులో సమాంతర రేఖలు ప్రాథమిక భావన కాదు, కానీ నిర్వచించబడినది. ఏదేమైనా, సమాంతర రేఖల లక్షణాలలో ఒకటి, అవి ఇచ్చిన రేఖపై పడని ఒక బిందువు ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ సరళ రేఖలను విమానంలో గీయడం సాధ్యమవుతుంది, మనం ఒక సిద్ధాంతంగా తీసుకోవలసి వస్తుంది. , ఎందుకంటే, గొప్ప రష్యన్ జియోమీటర్ N.I. లోబాచెవ్స్కీ (1792-1856) చేత స్థాపించబడింది, అలాగే జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు K. F. గౌస్ (1777-1855) మరియు హంగేరియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు J. Bolyai (1802-1860), జ్యామితి యొక్క మిగిలిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా మాత్రమే సమాంతర రేఖల యొక్క ఈ ఆస్తిని నిరూపించడం అసాధ్యం.

రుజువు యొక్క ప్రతి దశ మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:

1) రుజువు యొక్క ఈ దశ నిర్వహించబడే ఒక ప్రతిపాదన (సూత్రం, సిద్ధాంతం, నిర్వచనం); రుజువు దశ యొక్క ఈ ఆధారాన్ని ఆవరణ లేదా వాదన అంటారు;

2) తార్కిక తార్కికం, ఈ సమయంలో ఆవరణ సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితులకు లేదా గతంలో పొందిన పరిణామాలకు వర్తించబడుతుంది;

3) పరిస్థితులు లేదా గతంలో పొందిన పరిణామాలకు ఆవరణను వర్తింపజేయడం యొక్క తార్కిక పరిణామం.

సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు యొక్క చివరి దశలో, మేము నిరూపించడానికి అవసరమైన ప్రకటనను పొందుతాము. కింది సిద్ధాంతాన్ని ఉదాహరణగా ఉపయోగించి రుజువు ప్రక్రియను ప్రదర్శిస్తాము: "దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణాలు సమానంగా ఉంటాయి."

ఈ సిద్ధాంతంలో, మనకు ఏకపక్ష (ఏదైనా) దీర్ఘచతురస్రం ఇవ్వబడింది. రుజువు ప్రక్రియలో తర్కించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, మేము చేస్తాము క్రింది విధంగా. బాగా నిర్వచించబడిన దీర్ఘచతురస్ర ABCDని గీద్దాం, కానీ రుజువులో మేము ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాలను ఉపయోగించము (ఉదాహరణకు, దాని వైపు AB సుమారు 2 సార్లు ఉంటుంది మరిన్ని వైపులా AD, మొదలైనవి). కాబట్టి, ఈ నిర్దిష్ట దీర్ఘచతురస్రానికి సంబంధించి మా వాదన ఏదైనా ఇతర దీర్ఘచతురస్రానికి చెల్లుబాటు అవుతుంది, అనగా అవి కలిగి ఉంటాయి సాధారణ పాత్రఅన్ని దీర్ఘచతురస్రాలకు.

AC మరియు BD వికర్ణాలను గీయండి. స్వీకరించిన వాటిని పరిశీలిద్దాం త్రిభుజాలు ABCమరియు ABD. ఈ త్రిభుజాలు కోణాలు ABCమరియు BAD సరళ రేఖల వలె సమానంగా ఉంటాయి, లెగ్ AB సాధారణం మరియు కాళ్ళు BC మరియు AD దీర్ఘచతురస్రానికి వ్యతిరేక వైపులా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఈ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. AC మరియు BD భుజాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఈ సిద్ధాంతం యొక్క మొత్తం రుజువు క్రింది రేఖాచిత్రంలో చిత్రీకరించబడుతుంది.

దశ నం.	ఆవరణ (వాదనలు)	షరతులు	పరిణామాలు
1.	నిర్వచనం: దీర్ఘచతురస్రం అనేది అన్ని లంబ కోణాలతో కూడిన చతుర్భుజం	ABCD - దీర్ఘచతురస్రం	A - నేరుగా B> - నేరుగా.
2.	సిద్ధాంతం: లంబ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.	A - నేరుగా బి - నేరుగా.	ఎ = బి.
3.	సిద్ధాంతం: దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.	ABCD - దీర్ఘచతురస్రం	BC=క్రీ.శ
4.	రెండు త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క మొదటి సంకేతం.	BC=AD, AB=AB, B=A	ABC=BAD.
5.	త్రిభుజాల సమానత్వాన్ని నిర్ణయించడం.	ABC = BAD AC మరియు BD సంబంధిత పార్టీలు	AC=BD.

ప్రూఫ్‌లో చాలా కష్టమైన విషయం ఏమిటంటే, ప్రాంగణాల క్రమాన్ని (సూత్రాలు, సిద్ధాంతాలు, నిర్వచనాలు) కనుగొనడం, సిద్ధాంతం లేదా ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాల (పరిణామాలు) యొక్క షరతులకు వర్తింపజేయడం ద్వారా మీరు చివరికి కావలసిన పరిణామాన్ని పొందవచ్చు - స్థానం నిరూపించబడింది.

ఈ క్రమం కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు మీరు ఏ నియమాలను అనుసరించాలి? సహజంగానే, ఈ నియమాలు తప్పనిసరి కాదు; అవి మాత్రమే సూచిస్తాయి సాధ్యమయ్యే మార్గాలువెతకండి. అందువల్ల, వాటిని హ్యూరిస్టిక్ నియమాలు లేదా కేవలం హ్యూరిస్టిక్స్ అంటారు (నుండి గ్రీకు పదంయురేకా - నేను కనుగొన్నాను, కనుగొన్నాను). అనేక అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, పాప్ (3వ శతాబ్దంలో నివసించిన పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు), బ్లైస్ పాస్కల్ (1623-1662), రెనే డెస్కార్టెస్ (1596-1650), జాక్వెస్ హడమర్డ్ (1865-1963), డెర్గే పోయా (1887) మరియు అనేక ఇతర, సిద్ధాంతాల రుజువులను కనుగొనడం మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడం కోసం హ్యూరిస్టిక్స్ అభివృద్ధిని అధ్యయనం చేసింది. గుర్తుంచుకోవడానికి ఉపయోగపడే కొన్ని హ్యూరిస్టిక్‌లు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. వస్తువుల పేర్లను భర్తీ చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మేము మాట్లాడుతున్నాముఒక సిద్ధాంతంలో (సమస్య), వాటి నిర్వచనాలు లేదా లక్షణాలు.

ఉదాహరణకు, పైన చర్చించిన సిద్ధాంతం దీర్ఘచతురస్రానికి సంబంధించినది మరియు దానిని నిరూపించడానికి మేము దీర్ఘచతురస్రం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించాము.

2. వీలైతే, అప్పుడు నిరూపించాల్సిన స్థానం భాగాలుగా విభజించబడాలి మరియు ప్రతి భాగాన్ని విడిగా నిరూపించాలి.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు: “చతుర్భుజంలో వికర్ణాలు కలుస్తాయి మరియు ఖండన బిందువు ద్వారా సగానికి విభజించబడితే, ఈ చతుర్భుజం ఒక సమాంతర చతుర్భుజం” అని రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చు: మొదట ఒక జత అని నిరూపించండి ఎదురుగాఇచ్చిన చతుర్భుజం సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఆపై రెండవ జత వ్యతిరేక భుజాలు కూడా సమాంతరంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.

నిరూపితమైన స్టేట్‌మెంట్‌ను సరళమైన స్టేట్‌మెంట్‌లలోని అనేక భాగాలుగా విభజించడం సాధ్యమైనప్పుడు ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయాలి.

3. సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు కోసం అన్వేషణలో, రెండు దిశల నుండి వెళ్లడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి ముగింపుకు మరియు ముగింపు నుండి షరతులకు.

ఉదాహరణకు, మీరు ఈ క్రింది సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాలి: “ఒక నిర్దిష్ట శ్రేణి దానిలోని సభ్యులలో ఎవరైనా, రెండవది నుండి ప్రారంభమై, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటు అయితే, ఈ క్రమం అంకగణిత పురోగతి».

సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి ప్రారంభిద్దాం. మాకు ఏమి ఇవ్వబడింది? సీక్వెన్స్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి (మేము దానిని సూచిస్తాము ఒక ఎన్, ఇక్కడ n ³ 2), అనేది మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల యొక్క అంకగణిత సగటు, అనగా.

a n- 1 మరియు a n+1. కాబట్టి కింది సమానత్వం నిజం:
(1)

ఇప్పుడు ముగింపు నుండి ముందుకు వెళ్దాం. మనం ఏమి నిరూపించాలి? ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి అని మనం నిరూపించాలి. ఏ క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతి అంటారు? నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి:

a n = a n-1 + d,ఎక్కడ n 2, డి — స్థిర సంఖ్య. (2)

మేము మాకు ఇచ్చిన షరతు (1)ని ముగింపు (2)తో పోల్చాము. పరిస్థితి ముగింపు రూపంలోకి రావాలంటే, దానిని ఈ క్రింది విధంగా మార్చాలి:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

ఇక్కడనుంచి a n - ఒక n-1 = a n+1 — a n. (4)

(4) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు ఒకే విషయాన్ని సూచిస్తాయి, అవి రెండు వరుస పదాల మధ్య వ్యత్యాసం ఇచ్చిన క్రమం. సమానత్వంలో ఉంటే (4) పిసీక్వెన్షియల్ విలువలు 2, 3, మొదలైనవి ఇవ్వండి, మనకు లభిస్తుంది: a 2 -a 1 = a 3 -a 2, అప్పుడు a 3 - a 2 = a 4 - a 3మొదలైనవి. పర్యవసానంగా, ఈ తేడాలన్నీ ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే వ్యత్యాసం a p - a p-1 అనేది అక్షరం ద్వారా సూచించబడే స్థిరమైన సంఖ్య, ఉదాహరణకు అక్షరం d:

a n - a n-1 = d.

ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము: a n = a n-1 + d,అంటే నిర్వచనం ప్రకారం (2) ఇచ్చిన క్రమంఒక అంకగణిత పురోగతి ఉంది, ఇది మేము నిరూపించవలసి ఉంది.

ఈ హ్యూరిస్టిక్‌ను ఈ విధంగా రూపొందించవచ్చు: మేము సిద్ధాంతం యొక్క స్థితి మరియు ముగింపును దగ్గరగా తీసుకురావడానికి ప్రయత్నించాలి, వాటిని మార్చడం లేదా వాటిని పరిణామాలతో భర్తీ చేయడం.

కొన్ని సిద్ధాంతాల కోసం మాత్రమే శోధిస్తున్నప్పుడు ఉపయోగించబడే అనేక నిర్దిష్ట హ్యూరిస్టిక్ నియమాలు కూడా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, ఈ హ్యూరిస్టిక్: ఏదైనా విభాగాల సమానత్వాన్ని నిరూపించడానికి, ఈ విభాగాలకు సంబంధిత వైపులా ఉన్న బొమ్మలను కనుగొనడం లేదా నిర్మించడం అవసరం; గణాంకాలు సమానంగా మారినట్లయితే, సంబంధిత విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు, మీరు వాటి రుజువులను గుర్తుంచుకోవడమే కాదు, ప్రతిసారీ అవి ఏ పద్ధతుల ద్వారా నిరూపించబడ్డాయి, ఈ రుజువులను కనుగొనడానికి ఏ హ్యూరిస్టిక్ నియమాలు ఉపయోగించబడ్డాయి, మీరు ఈ రుజువులను ఎలా ఊహించారు (అని వచ్చారు) అని ఆలోచించి, స్థాపించాలి.

అనేక సందర్భాల్లో, సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి ఇది ఉపయోగించబడుతుంది ప్రత్యేక స్వాగతం, "వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు" లేదా "అసంబద్ధతకు తగ్గింపు" అని పిలుస్తారు.

ఈ సాంకేతికత యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, వారు ఇచ్చిన సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు యొక్క అన్యాయాన్ని (తప్పుడు) ఊహిస్తారు మరియు అటువంటి ఊహ పరిస్థితికి లేదా గతంలో నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాలు లేదా సిద్ధాంతాలతో వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని రుజువు చేస్తారు. మరియు ఏదైనా ప్రకటన నిజం లేదా తప్పు కావచ్చు (ఇంకేమీ కాకపోవచ్చు), ఫలితంగా వచ్చే వైరుధ్యం సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు తప్పు అని చూపిస్తుంది మరియు అందువల్ల, ముగింపు నిజమని, తద్వారా సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేస్తుంది.

ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం.

సిద్ధాంతం. రెండు పంక్తులు, విడిగా మూడవ భాగానికి సమాంతరంగా, ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఇవ్వబడింది: a||c, b||c.
నిరూపించండి: ఎ||బి.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని వైరుధ్యం ద్వారా నిరూపిద్దాం. సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు తప్పు అని అనుకుందాం, అంటే లైన్ a లైన్ b కి సమాంతరంగా లేదు. అప్పుడు అవి ఒక నిర్దిష్ట బిందువు M వద్ద కలుస్తాయి. మరియు షరతు ప్రకారం, ఈ పంక్తులలో ప్రతి ఒక్కటి పంక్తి cకి సమాంతరంగా ఉంటాయి కాబట్టి, a మరియు b అనే రెండు పంక్తులు ఒకే రేఖకు సమాంతరంగా, పాయింట్ M ద్వారా డ్రా అయినట్లు తేలింది. మరియు సమాంతరత యొక్క సిద్ధాంతం నుండి మనకు తెలుసు, ఒక రేఖ వెలుపల ఉన్న పాయింట్ ద్వారా మనం ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ గీతలు గీయలేము. మేము సిద్ధాంతంతో వైరుధ్యానికి వచ్చాము. పంక్తులు a మరియు b సమాంతరంగా లేవని మా ఊహ తప్పు అని ఇది చూపిస్తుంది, కాబట్టి, a||b, ఇది మేము నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

మరొక ఉదాహరణ.

సిద్ధాంతం. రెండు యొక్క అంకగణిత సగటు సానుకూల సంఖ్యలుఈ సంఖ్యల రేఖాగణిత సగటు కంటే తక్కువ కాదు (అర్థం: దానికంటే ఎక్కువ లేదా సమానం).

ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఎక్కడ a>0, b>0, (1)

ఇది ప్రత్యక్షంగా లేదా వైరుధ్యం ద్వారా నిరూపించబడవచ్చు. దాన్ని వైరుధ్యంగా నిరూపిద్దాం.

దీన్ని చేయడానికి, అది తప్పు అని అనుకుందాం, అంటే, రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల రేఖాగణిత సగటు కంటే అంకగణిత సగటు తక్కువగా ఉంది: ; (2)

(2) యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా గుణించి, వాటిని వర్గీకరించండి, మనకు లభిస్తుంది: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

ఫలితంగా స్పష్టమైన అసంబద్ధత ఏర్పడింది: నిర్దిష్ట సంఖ్య (a - b) యొక్క స్క్వేర్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, అది ఉండకూడదు. పర్యవసానంగా, సిద్ధాంతం తప్పు అని భావించడం ఒక వైరుధ్యానికి దారితీసింది, ఇది సిద్ధాంతం యొక్క ప్రామాణికతను రుజువు చేస్తుంది.

ఈ విధంగా, ఒక నిర్దిష్ట సిద్ధాంతం యొక్క వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు అనేది సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు తప్పు అని మేము ఊహిస్తున్నాము. అప్పుడు మేము ఈ ఊహ ఆధారంగా తార్కిక ముగింపుల శ్రేణిని చేస్తాము, దాని ఫలితంగా మేము స్పష్టంగా అసంబద్ధమైన స్థానానికి చేరుకుంటాము (షరతుతో వైరుధ్యం లేదా గతంలో నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాలు, సిద్ధాంతాలు). తరువాత, మేము ఇలా వాదిస్తాము: మా ఊహ నిజమైతే, మేము సరైన నిర్ణయానికి మాత్రమే రాగలము మరియు మేము తప్పు నిర్ణయానికి వచ్చాము కాబట్టి, దీని అర్థం మా ఊహ తప్పు అని, అందువల్ల, ముగింపు సిద్ధాంతం నిజం.

తార్కికం ఫలితంగా మనకు అసంబద్ధత (వైరుధ్యం) రాకపోతే, ఊహ నిజమని దీని అర్థం కాదు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపు యొక్క ఖచ్చితత్వం (న్యాయం) నుండి ముందుకు సాగితే మరియు ఈ ఊహ నుండి మనం సరైన (స్పష్టమైన) పర్యవసానాన్ని పొందినట్లయితే, ఇది ఊహ నిజమని దీని అర్థం కాదు: అసలు సిద్ధాంతం కావచ్చు. కేవలం తప్పు.

అనేక వింతలు దీనిపై నిర్మించబడ్డాయి (ఉద్దేశపూర్వకంగా తప్పుగా రూపొందించిన తీర్మానాలు మాత్రమే సరైనవిగా కనిపిస్తాయి), ఇది సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు చేసిన అనేక తప్పులను వివరిస్తుంది.

ఉదాహరణకు, కింది సమానత్వాన్ని పరిగణించండి: a - b = b - a(1), ఎక్కడ ఎమరియు బి- ఏకపక్ష సంఖ్యలు. (1) నిజమని అనుకుందాం, తర్వాత మనం (1)కి రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసి పొందండి:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

అన్ని నిబంధనలను ఒక వైపుకు తరలించడం మరియు సారూప్యమైన వాటిని తీసుకురావడం ద్వారా, మేము పూర్తిగా సరైన సమానత్వానికి చేరుకుంటాము: 0 = 0. కానీ దీని నుండి అసలు సమానత్వం (1) కూడా నిజమని మేము నిర్ధారించలేము. మేము అలాంటి తీర్మానం చేస్తే, మేము ఈ క్రింది సోఫిజానికి వస్తాము: 2a = 2b లేదా a = b, అంటే, ఏదైనా ఏకపక్ష సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. పొరపాటు ఏమిటంటే, రెండు సంఖ్యల వర్గాల సమానత్వం ఈ సంఖ్యల సమానత్వాన్ని సూచించదు. ఉదాహరణకు, (-2) 2 = 2 2 , కానీ -2 2.

సమస్యకు తప్పు పరిష్కారానికి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది.

టాస్క్. 3 + x + 2 = 0 (1) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమీకరణం (1)కి ఒక పరిష్కారం ఉందని, అందువల్ల సమానత్వం (1) నిజమని అనుకుందాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: 3 = - x - 2. సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేద్దాం: 9x = x 2 + 4x + 4 లేదా x 2 -5x + 4 = 0, అందుకే x 1 = 4, x 2 = 1. కనుగొనబడిన x విలువలను సమీకరణం (1) యొక్క మూలాలుగా పరిగణించవచ్చా? కొంతమంది విద్యార్థులు ఈ ప్రశ్నకు నిశ్చయాత్మకంగా సమాధానం ఇస్తారు, ఎందుకంటే సమీకరణం యొక్క అన్ని రూపాంతరాలు సరైనవి. ఇంకా x యొక్క కనుగొనబడిన విలువలు ఏవీ (1) యొక్క మూలం కాదు. ఇది ధృవీకరణ ద్వారా నిర్ధారించబడింది. x యొక్క కనుగొనబడిన విలువలను (1)గా మార్చడం ద్వారా, మేము స్పష్టంగా అసంబద్ధ సమానతలను పొందుతాము: 12 = 0 మరియు 6 = 0.

కానీ మీరు ఈ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరిస్తారు? సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ x 0 అయితే అర్థవంతంగా ఉంటుందని గమనించండి. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు, x యొక్క ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు, సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది మరియు ఏ విధంగానూ 0కి సమానంగా ఉండకూడదు, కాబట్టి, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

అందువల్ల, మీరు సిద్ధాంతాలను (సూత్రాలు, గుర్తింపులు మొదలైనవి) నిరూపించడం నేర్చుకోవాలి, సిద్ధాంతాల రుజువుల కోసం శోధించే సాధారణ పద్ధతులను నేర్చుకోవాలి.

బీజగణితం క్రమానుగతంగా సిద్ధాంతాలను నిరూపించవలసి ఉంటుంది. నిరూపితమైన సిద్ధాంతం పరిష్కరించడంలో మీకు సహాయం చేస్తుంది. అందువల్ల, రుజువును యాంత్రికంగా గుర్తుంచుకోవడం కాదు, సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం, తద్వారా మీరు ఆచరణలో దాని ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయవచ్చు.

ముందుగా, సిద్ధాంతం యొక్క స్పష్టమైన మరియు చక్కని రేఖాచిత్రాన్ని గీయండి. మీకు మొదట తెలిసిన వాటిని లాటిన్ అక్షరాలలో గుర్తు పెట్టండి. "ఇచ్చిన" కాలమ్‌లో అన్ని తెలిసిన పరిమాణాలను వ్రాయండి. తరువాత, "ప్రూవ్" కాలమ్‌లో, ఏమి నిరూపించాలో సూత్రీకరించండి. ఇప్పుడు మనం రుజువును ప్రారంభించవచ్చు. ఇది తార్కిక ఆలోచనల గొలుసు, దీని ఫలితంగా ప్రకటన యొక్క నిజం చూపబడుతుంది. సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించేటప్పుడు, మీరు వివిధ నిబంధనలు, సిద్ధాంతాలు, వైరుధ్యాలు మరియు గతంలో నిరూపించబడిన ఇతర సిద్ధాంతాలను కూడా ఉపయోగించవచ్చు (మరియు కొన్నిసార్లు అవసరం కూడా).

అందువల్ల, రుజువు అనేది చర్యల క్రమం, దీని ఫలితంగా మీరు కాదనలేనిది పొందుతారు. ఒక సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేయడంలో అతి పెద్ద కష్టం ఏమిటంటే, తార్కిక తార్కికం యొక్క క్రమాన్ని ఖచ్చితంగా కనుగొనడం, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉన్నదాని కోసం అన్వేషణకు దారి తీస్తుంది.

సిద్ధాంతాన్ని భాగాలుగా విభజించి, దానిని విడిగా రుజువు చేస్తే, మీరు చివరికి ఆశించిన ఫలితానికి వస్తారు. "వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు" యొక్క నైపుణ్యాన్ని నేర్చుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; కొన్ని సందర్భాల్లో, సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ఇది సులభమైన మార్గం. ఆ. "వ్యతిరేకతను ఊహించు" పదాలతో మీ రుజువును ప్రారంభించండి మరియు ఇది సాధ్యం కాదని క్రమంగా నిరూపించండి. రుజువును పూర్తి చేయండి “అందుకే, అసలు ప్రకటన నిజం. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది."

ఫ్రాంకోయిస్ వియెట్ ఒక ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. వియెటా యొక్క సిద్ధాంతం సరళీకృత పథకాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, దీని ఫలితంగా గణనలపై గడిపిన సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది. కానీ సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, సూత్రీకరణ యొక్క సారాంశంలోకి చొచ్చుకుపోయి దానిని నిరూపించాలి.

వియెటా సిద్ధాంతం

ఈ టెక్నిక్ యొక్క సారాంశం వివక్ష సహాయం లేకుండా మూలాలను కనుగొనడం. x2 + bx + c = 0 రూపం యొక్క సమీకరణం కోసం, రెండు వేర్వేరు వాస్తవ మూలాలు ఉన్న చోట, రెండు స్టేట్‌మెంట్‌లు నిజం.

ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం వేరియబుల్ x (లో) యొక్క గుణకం విలువకు సమానం అని మొదటి ప్రకటన పేర్కొంది ఈ విషయంలోఇది బి), కానీ వ్యతిరేక గుర్తుతో. దృశ్యమానంగా ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: x1 + x2 = -b.

రెండవ ప్రకటన ఇకపై మొత్తానికి సంబంధించినది కాదు, ఈ రెండు మూలాల ఉత్పత్తికి సంబంధించినది. ఈ ఉత్పత్తి ఉచిత గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. సి. లేదా, x1 * x2 = c. ఈ రెండు ఉదాహరణలు సిస్టమ్‌లో పరిష్కరించబడతాయి.

వియెటా సిద్ధాంతం పరిష్కారాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది, కానీ ఒక పరిమితి ఉంది. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనగలిగే వర్గ సమీకరణాన్ని తప్పనిసరిగా తగ్గించాలి. పై సమీకరణంలో, గుణకం a, x2 ముందు ఉన్న ఒకటి, ఒకదానికి సమానం. వ్యక్తీకరణను మొదటి గుణకం ద్వారా విభజించడం ద్వారా ఏదైనా సమీకరణాన్ని ఒకే రూపంలోకి తీసుకురావచ్చు, కానీ ఈ ఆపరేషన్ ఎల్లప్పుడూ హేతుబద్ధమైనది కాదు.

సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు

ప్రారంభించడానికి, చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాలను వెతకడం సాంప్రదాయకంగా ఎలా ఉంటుందో మనం గుర్తుంచుకోవాలి. మొదటి మరియు రెండవ మూలాలు కనుగొనబడ్డాయి, అవి: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. సాధారణంగా ఇది 2a ద్వారా భాగించబడుతుంది, కానీ, ఇప్పటికే పేర్కొన్నట్లుగా, సిద్ధాంతం a=1 అయినప్పుడు మాత్రమే వర్తించబడుతుంది.

వియెటా సిద్ధాంతం నుండి మూలాల మొత్తం మైనస్ గుర్తుతో రెండవ గుణకంతో సమానం అని తెలుస్తుంది. దీని అర్థం x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = -b.

తెలియని మూలాల ఉత్పత్తికి కూడా ఇది వర్తిస్తుంది: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. ప్రతిగా, D = b2-4c (మళ్లీ a=1తో). ఇది ఫలితం: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

ఇచ్చిన సాధారణ రుజువు నుండి, కేవలం ఒక తీర్మానం చేయవచ్చు: వియెటా సిద్ధాంతం పూర్తిగా ధృవీకరించబడింది.

రెండవ సూత్రీకరణ మరియు రుజువు

వియెటా సిద్ధాంతానికి మరొక వివరణ ఉంది. మరింత ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఇది ఒక వివరణ కాదు, కానీ సూత్రీకరణ. వాస్తవం ఏమిటంటే, మొదటి సందర్భంలో అదే పరిస్థితులు నెరవేరినట్లయితే: రెండు వేర్వేరు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి, అప్పుడు సిద్ధాంతాన్ని మరొక సూత్రం ద్వారా వ్రాయవచ్చు.

ఈ సమానత్వం ఇలా కనిపిస్తుంది: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). ఫంక్షన్ P(x) x1 మరియు x2 అనే రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంటే, దానిని P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) అని వ్రాయవచ్చు. P రెండవ డిగ్రీని కలిగి ఉన్న సందర్భంలో, మరియు అసలు వ్యక్తీకరణ ఇలాగే కనిపిస్తే, R అనేది ప్రధాన సంఖ్య, అనగా 1. ఈ ప్రకటన నిజం కాకపోతే సమానత్వం ఉండదు. బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు గుణకం x2 ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు మరియు వ్యక్తీకరణ చతురస్రంగా ఉండాలి.

ఇండక్షన్- ఆలోచన అనేది కొన్ని సాధారణ నియమాలకు మళ్లించే ఆలోచనా రూపం, ఏదైనా తరగతికి చెందిన అన్ని నిర్దిష్ట వస్తువులలో అంతర్లీనంగా ఉండే సాధారణ స్థానం.
తగ్గింపు- కొత్త ఆలోచన మునుపటి ఆలోచనల నుండి పూర్తిగా తార్కికంగా ఉద్భవించినప్పుడు ఆలోచన యొక్క ఒక రూపం. ఈ ఆలోచనల క్రమాన్ని ముగింపు అని పిలుస్తారు మరియు ఈ ముగింపులోని ప్రతి భాగం గతంలో నిరూపించబడిన ఆలోచన, సిద్ధాంతం లేదా పరికల్పన.
తగ్గింపు రుజువు- ఒక రకమైన వ్యక్తిగత లేదా నిర్దిష్ట తీర్పు అయిన థీసిస్‌ను సాధారణ నియమం కిందకు తీసుకువచ్చినప్పుడు సాక్ష్యాల రూపాలలో ఒకటి.
ప్రతి రుజువు మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:
థీసిస్, వాదనలు, ప్రదర్శనలు.
సాక్ష్యం యొక్క నియమాలు:
1. థీసిస్ మరియు వాదనలు స్పష్టంగా మరియు ఖచ్చితమైనవిగా ఉండాలి.
2. థీసిస్ మొత్తం రుజువులో ఒకే విధంగా ఉండాలి.
3. థీసిస్‌లో తార్కిక వైరుధ్యం ఉండకూడదు.
4. నిరూపించవలసిన థీసిస్ గతంలో వ్యక్తీకరించబడిన తీర్పులతో తార్కిక వైరుధ్యంలో ఉండకూడదు.
5. థీసిస్‌కు మద్దతుగా ఇచ్చిన వాదనలు ఒకదానికొకటి విరుద్ధంగా ఉండకూడదు.
6. అసంబద్ధతకు తగ్గింపు. వ్యతిరేక థీసిస్ యొక్క అబద్ధాన్ని రుజువు చేయడం ద్వారా ఒకటి లేదా మరొక థీసిస్ యొక్క సత్యాన్ని రుజువు చేయవచ్చు.
7. థీసిస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌లకు తప్పనిసరిగా వాస్తవాల ద్వారా మద్దతు ఇవ్వాలి.
8. రుజువు పూర్తిగా ఉండాలి.
9. థీసిస్ యొక్క సత్యాన్ని నిర్ధారించడానికి ఇవ్వబడిన వాదనలు తప్పనిసరిగా ఈ థీసిస్‌కు సరిపోతాయి.
10. థీసిస్ యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి ఇచ్చిన వాదనలు తప్పనిసరిగా నిజమై ఉండాలి.
11. వాదనలు తప్పనిసరిగా తీర్పులుగా ఉండాలి, థీసిస్‌తో సంబంధం లేకుండా స్వతంత్రంగా నిరూపించబడిన సత్యం.
గమనిక: థీసిస్ - ఒక ఆలోచన లేదా ప్రతిపాదన దీని నిజం నిరూపించబడాలి.

సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడం నేర్చుకుందాం.

సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడం అంటే ఏమిటి, రుజువు ఏమిటి?

విస్తృత కోణంలో రుజువు అనేది తార్కిక తార్కికం, ఈ సమయంలో ఆలోచన యొక్క నిజం ఇతర నిబంధనల సహాయంతో సమర్థించబడుతుంది.

గణిత సిద్ధాంతాల రుజువు సాధారణంగా రుజువు యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. ఇది రోజువారీ పరిస్థితులలో లేదా ఇతర శాస్త్రాలలో రుజువు నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, ఇది సాధ్యమైనంత పూర్తిగా తగ్గింపుగా నిర్వహించబడుతుంది (లాటిన్ పదం తగ్గింపు - అనుమితి నుండి), అనగా గతంలో నిరూపించబడిన లేదా అంగీకరించకుండా కొత్త నిరూపించదగిన ఆలోచన (ప్రకటన, తీర్పు) తీసివేయడం ద్వారా. ఉదాహరణలు లేదా అనుభవానికి ఎటువంటి సూచన లేకుండా తర్కం యొక్క నియమాల ప్రకారం రుజువు ఆలోచనలు (సూత్రాలు). ఇతర శాస్త్రాలలో, రోజువారీ పరిస్థితులలో, మేము రుజువు కోసం తరచుగా ఉదాహరణలు మరియు అనుభవాన్ని ఆశ్రయిస్తాము. మేము ఇలా అంటాము: “చూడండి” - మరియు ఇది రుజువుగా ఉపయోగపడుతుంది. గణితంలో, ఈ రుజువు పద్ధతి ఆమోదయోగ్యం కాదు; ఉదాహరణకు, డ్రాయింగ్ ద్వారా వివరించబడిన స్పష్టమైన సంబంధాలను సూచించడం అనుమతించబడదు. గణిత శాస్త్ర రుజువు తప్పనిసరిగా ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు, నిర్వచనాలు, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితులు మరియు గతంలో నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాల నుండి అవసరమైన ముగింపు వరకు తార్కిక పరిణామాల గొలుసుగా ఉండాలి.

పర్యవసానంగా, సిద్ధాంతాలు ప్రాథమిక భావనలను పరోక్షంగా నిర్వచించడమే కాకుండా గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అన్ని సిద్ధాంతాల రుజువుకు కూడా ఆధారం. అందుకే సిద్ధాంతాలలో తార్కిక నిర్వచనాలను కలిగి ఉన్న భావనల యొక్క ప్రత్యేక లక్షణాలను సూచించేవి కూడా ఉన్నాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, జ్యామితి కోర్సులో సమాంతర రేఖలు ప్రాథమిక భావన కాదు, కానీ నిర్వచించబడినది. అయితే, సమాంతర రేఖల లక్షణాలలో ఒకటి, అవి hఇచ్చిన రేఖపై పడని బిందువు ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ సరళ రేఖలను గీయడం సాధ్యమవుతుంది, మేము దానిని ఒక సిద్ధాంతంగా తీసుకోవలసి వస్తుంది, ఎందుకంటే, గొప్ప రష్యన్ జియోమీటర్ ద్వారా స్థాపించబడింది N. I. లోబాచెవ్స్కీ (1792-1856), అలాగే జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు K. F. గాస్ (1777-1855) మరియు హంగేరియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు J. Bolyai (1802-1860), మిగిలిన వాటి ఆధారంగా మాత్రమే సమాంతర రేఖల యొక్క ఈ ఆస్తిని నిరూపించడం అసాధ్యం. జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతాలు.

రుజువు యొక్క ప్రతి దశ మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:

ఈ సిద్ధాంతంలో, మనకు ఏకపక్ష (ఏదైనా) దీర్ఘచతురస్రం ఇవ్వబడింది. రుజువు ప్రక్రియలో సులభంగా తర్కించుటకు, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి. బాగా నిర్వచించబడిన దీర్ఘచతురస్ర ABCDని గీద్దాం, కానీ రుజువులో మేము ఈ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ఏ ప్రత్యేక లక్షణాలను ఉపయోగించము (ఉదాహరణకు, దాని వైపు AB సైడ్ AD కంటే సుమారు 2 రెట్లు పెద్దది, మొదలైనవి). కాబట్టి, ఈ నిర్దిష్ట దీర్ఘచతురస్రానికి సంబంధించి మన వాదన ఏదైనా ఇతర దీర్ఘచతురస్రానికి నిజం అవుతుంది, అంటే, ఇది అన్ని దీర్ఘచతురస్రాలకు సాధారణ స్వభావం కలిగి ఉంటుంది.

AC మరియు BD వికర్ణాలను గీయండి. ఫలితంగా వచ్చే ABC మరియు ABD త్రిభుజాలను పరిగణించండి. ఈ త్రిభుజాల కోసం, ABC మరియు BAD కోణాలు లంబ కోణాల వలె సమానంగా ఉంటాయి, లెగ్ AB సాధారణం మరియు కాళ్ళు BC మరియు AD దీర్ఘచతురస్రానికి వ్యతిరేక వైపులా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఈ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. AC మరియు BD భుజాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

దశ నం.	ఆవరణ (వాదనలు)	షరతులు	పరిణామాలు
1.	నిర్వచనం: దీర్ఘచతురస్రం అనేది అన్ని లంబ కోణాలతో కూడిన చతుర్భుజం	ABCD - దీర్ఘచతురస్రం	A - నేరుగా B> - నేరుగా.
2.	సిద్ధాంతం: లంబ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.	A - నేరుగా బి - నేరుగా.	A=B.
3.	సిద్ధాంతం: దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.	ABCD - దీర్ఘచతురస్రం	BC=క్రీ.శ
4.	రెండు త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క మొదటి సంకేతం.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC=BAD.
5.	త్రిభుజాల సమానత్వాన్ని నిర్ణయించడం.	ABC =BAD AC మరియు BD సంబంధిత పార్టీలు	AC=BD.

ఈ క్రమం కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు మీరు ఏ నియమాలను అనుసరించాలి? సహజంగానే, ఈ నియమాలు తప్పనిసరి కాదు; అవి సాధ్యమయ్యే శోధన మార్గాలను మాత్రమే సూచిస్తాయి. అందువల్ల, వాటిని హ్యూరిస్టిక్ నియమాలు లేదా హ్యూరిస్టిక్స్ అని పిలుస్తారు (గ్రీకు పదం యురేకా నుండి - నేను కనుగొన్నాను, కనుగొన్నాను). పప్పుస్ (3వ శతాబ్దంలో నివసించిన పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు), బ్లైస్ పాస్కల్ (1623-1662), రెనే డెస్కార్టెస్ (1596-1650), జాక్వెస్ హడమర్డ్ (1865-1963), డెర్గే పోలియా (1887) వంటి అనేక మంది అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అనేక ఇతర వ్యక్తులు సిద్ధాంత రుజువులను కనుగొనడానికి మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి హ్యూరిస్టిక్స్‌ను అభివృద్ధి చేస్తున్నారు. గుర్తుంచుకోవడానికి ఉపయోగపడే కొన్ని హ్యూరిస్టిక్‌లు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. సిద్ధాంతంలో (సమస్య) చర్చించిన వస్తువుల పేర్లను వాటి నిర్వచనాలు లేదా లక్షణాలతో భర్తీ చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

2. వీలైతే, మీరు నిరూపించాల్సిన స్థానాన్ని భాగాలుగా విభజించి, ప్రతి భాగాన్ని విడిగా నిరూపించాలి.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు: “ఒక చతుర్భుజంలో వికర్ణాలు కలుస్తాయి మరియు ఖండన బిందువు ద్వారా సగానికి విభజించబడితే, ఈ చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం” - రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చు: మొదట ఒక జత అని నిరూపించండి ఈ చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి, ఆపై రెండవ జత వ్యతిరేక భుజాలు కూడా సమాంతరంగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.

ఉదాహరణకు, మీరు ఈ క్రింది సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాలి: "ఒక నిర్దిష్ట శ్రేణి దానిలోని సభ్యులలో ఎవరైనా, రెండవది నుండి ప్రారంభమై, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటు అయితే, ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి."

సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల నుండి ప్రారంభిద్దాం. మాకు ఏమి ఇవ్వబడింది? సీక్వెన్స్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి (మేము దానిని సూచిస్తాము ఒక ఎన్, ఇక్కడ n³ 2), అనేది మునుపటి మరియు తదుపరి నిబంధనల యొక్క అంకగణిత సగటు, అనగా.

a n- 1 మరియు a n+1. కాబట్టి కింది సమానత్వం నిజం:
(1)

a n = a n-1 + d,ఎక్కడ n2, డి- స్థిర సంఖ్య. (2)

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

ఇక్కడనుంచి a n- ఒక n-1= a n+1 - a n . (4)

(4) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు ఒకే విషయాన్ని సూచిస్తాయి, అవి ఇచ్చిన క్రమం యొక్క రెండు వరుస పదాల మధ్య వ్యత్యాసం. సమానత్వంలో ఉంటే (4) పిసీక్వెన్షియల్ విలువలు 2, 3, మొదలైనవి ఇవ్వండి, మనకు లభిస్తుంది: a 2 -a 1 = a 3 - a 2, అప్పుడు a 3 - a 2 = a 4 - a 3మొదలైనవి. పర్యవసానంగా, ఈ తేడాలన్నీ ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే వ్యత్యాసం a p - a p-1 అనేది అక్షరం ద్వారా సూచించబడే స్థిరమైన సంఖ్య, ఉదాహరణకు అక్షరం d:

a n - a n-1 = d.

ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము: a n = a n-1 + d,మరియు దీని అర్థం, నిర్వచనం (2) ప్రకారం, ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి, ఇది మనం నిరూపించవలసి ఉంటుంది.

అనేక సందర్భాల్లో, సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి "వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు" లేదా "అసంబద్ధతకు తగ్గింపు" అని పిలువబడే ప్రత్యేక సాంకేతికత ఉపయోగించబడుతుంది.

ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం.

ఇవ్వబడింది: a||c, b||c.
నిరూపించండి: ఎ||బి.

మరొక ఉదాహరణ.

సిద్ధాంతం. రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల అంకగణిత సగటు ఈ సంఖ్యల రేఖాగణిత సగటు కంటే తక్కువ కాదు (అర్థం: దానికంటే ఎక్కువ లేదా సమానం).

ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

ఎక్కడ a>0, b>0, (1)

దీన్ని చేయడానికి, అది తప్పు అని అనుకుందాం, అంటే, రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల రేఖాగణిత సగటు కంటే అంకగణిత సగటు తక్కువగా ఉంటుంది:; (2)

(2) యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా గుణించి, వాటిని వర్గీకరించండి, మనకు లభిస్తుంది: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

సమస్యకు తప్పు పరిష్కారానికి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది.

టాస్క్. 3+ x + 2 = 0 (1) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

కానీ మీరు ఈ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరిస్తారు? సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ x0 అయితే అర్థవంతంగా ఉంటుందని గమనించండి. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు, x యొక్క ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన విలువలకు, సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది మరియు ఏ విధంగానూ 0కి సమానంగా ఉండదు, కాబట్టి, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

సిద్ధాంతంపై ఉపాధ్యాయుని పని బహుళ దశలు. ఈ దశల్లో ప్రధానమైన వాటిని హైలైట్ చేద్దాం: 1) జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం, సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ప్రేరణ; 2) సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణ మరియు దాని కంటెంట్ యొక్క సమీకరణ; 3) సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు; 4) సిద్ధాంతం యొక్క ఏకీకరణ మరియు అప్లికేషన్

ప్రతి నిర్దిష్ట సందర్భంలో ఉపాధ్యాయుడే ఏ దశలను ఎంత వరకు ఉపయోగించాలో మరియు ఏ వాటిని పంపిణీ చేయవచ్చో నిర్ణయించుకుంటాడు. ఇది తరగతి లక్షణాలు, ఉపాధ్యాయుని మునుపటి అనుభవం, అవగాహన కోసం సిద్ధాంతం యొక్క సంక్లిష్టత మొదలైన వాటిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

దశ 1 - జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం(బేస్ రిపీట్) మరియు సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ప్రేరణ.

రిఫరెన్స్ రిపీట్‌ను నిర్వహించడానికి సాంకేతికత: ఉపాధ్యాయుడు

- రుజువును గరిష్ట సంఖ్యలో దశలుగా విభజిస్తుంది;

- రుజువు ఆధారంగా ఉన్న అన్ని గణిత వాస్తవాలను గుర్తిస్తుంది;

- అవన్నీ మరియు విద్యార్థులకు ఎంతవరకు తెలుసు అని విశ్లేషిస్తుంది;

- సంభాషణ, ఫ్రంటల్ సర్వే, సన్నాహక పనుల వ్యవస్థ (చాలా తరచుగా “రెడీమేడ్ డ్రాయింగ్‌లపై” - క్రింద చూడండి) రూపంలో ప్రాథమిక పునరావృత్తిని నిర్వహిస్తుంది.

సిద్ధాంతంలో ప్రతిబింబించే వాస్తవం అవసరమయ్యే ఆచరణాత్మక సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉపాధ్యాయుడు చాలా తరచుగా సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ప్రేరణను అనుబంధిస్తాడు (పే. 30లో ఉదాహరణ చూడండి).

స్టేజ్ 2 - సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణను పరిచయం చేయడం మరియు దాని కంటెంట్‌ను మాస్టరింగ్ చేయడం.

సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణను పరిచయం చేయడానికి రెండు ప్రధాన మార్గాలను వివరిస్తాము.

1వ పద్ధతి. ఉపాధ్యాయుడు స్వయంగా ప్రాథమిక ప్రేరణతో లేదా లేకుండా సిద్ధాంతాన్ని రూపొందిస్తాడు.

సూత్రీకరణలో తొందరపడవలసిన అవసరం లేదు. ఇది సరళంగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంటే మాత్రమే మీరు పదాలతో ప్రారంభించవచ్చు. సూత్రీకరణ సులభం కానట్లయితే, ఉపాధ్యాయుడు మొదట ఒక బొమ్మను గీసి, పరిస్థితి, సిద్ధాంతం యొక్క ముగింపును కనుగొని బోర్డులో వ్రాస్తాడు మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే దానిని పూర్తిగా సూత్రీకరిస్తాడు.

పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు సంక్షిప్తత, స్పష్టత, సమయం ఆదా; ప్రతికూలత - ఫార్మలిజం మరియు పిడివాదం సాధ్యమే.

2వ పద్ధతి. విద్యార్థులు స్వతంత్రంగా సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారు.

ప్లానిమెట్రీలో, సంబంధిత బొమ్మలను నిర్మించడానికి మరియు కొలిచే వ్యాయామాలు తరచుగా ఈ ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించబడతాయి.

ఉదాహరణ. విద్యార్థులు వృత్తం యొక్క తీగల గురించి సిద్ధాంతాన్ని స్వతంత్రంగా కనుగొనడానికి, ఉపాధ్యాయుడు క్రింది ప్రశ్నలు మరియు పనులను అందిస్తారు:

– ఒక వృత్తంలో రెండు అసమాన తీగలను గీయండి.

- కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉండే కంటి ద్వారా ఏర్పాటు చేయండి.

- మీ ముగింపును రూపొందించండి.

పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాలు విద్యార్థుల సృజనాత్మక సామర్ధ్యాల అభివృద్ధి, జ్యామితి అధ్యయనంలో ఆసక్తిని పెంచడం; అప్రయోజనాలు - చాలా సమయం, అప్రధానమైన వివరాలకు దృష్టిని చెదరగొట్టడం.

సిద్ధాంతం రూపొందించబడిన తర్వాత, మేము స్పష్టీకరణపై పని చేస్తాము: మేము పరిభాషను పేర్కొంటాము, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితి మరియు ముగింపును హైలైట్ చేస్తాము. అదే సమయంలో, డేటా యొక్క సంక్షిప్త రికార్డింగ్ మరియు ఏది నిరూపించబడాలి; డ్రాయింగ్ నిర్మించబడుతోంది.

డ్రాయింగ్ అవసరాలు:

- ఒక సాధారణ కేసు వర్ణించబడాలి, ప్రత్యేక సందర్భం కాదు;

- డ్రాయింగ్ యొక్క కొలతలు సరైనవిగా ఉండాలి;

- డేటా మరియు శోధించినవి డ్రాయింగ్‌లో రంగులో హైలైట్ చేయబడతాయి, ప్రత్యేక గుర్తులు మరియు చిహ్నాలు హోదా కోసం ఉపయోగించబడతాయి.

దశ 3 - సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు.

ముందుగా (3.2 చూడండి) మేము సిద్ధాంతాలను నిరూపించే ప్రాథమిక తార్కిక మరియు గణిత పద్ధతులను వివరించాము.

పాఠ్యపుస్తకం రుజువు పద్ధతి యొక్క ఎంపికను ఎక్కువగా నిర్ణయిస్తుంది: తార్కిక (ప్రత్యక్ష లేదా పరోక్ష, విశ్లేషణాత్మక, సింథటిక్ లేదా వైరుధ్యం ద్వారా పద్ధతి) మరియు గణిత (రేఖాగణిత పరివర్తనల పద్ధతి లేదా సమానత్వం లేదా త్రిభుజాల సారూప్యత యొక్క పద్ధతి).

ఉపాధ్యాయుడు తప్పనిసరిగా అన్ని రకాల రుజువుల నిర్మాణంపై మంచి అవగాహన కలిగి ఉండాలి మరియు సింథటిక్ ప్రూఫ్‌ను అనువదించగలగాలి విశ్లేషణాత్మక మరియు వైస్ వెర్సా; పాఠంలో స్పృహతో విశ్లేషణాత్మక లేదా సింథటిక్ మార్గాన్ని ఎంచుకోండి (విద్యార్థుల వయస్సు మరియు శిక్షణ స్థాయిని బట్టి, తరగతి ప్రొఫైల్, సాధ్యమయ్యే సమయం ఖర్చు మొదలైనవి).

రుజువు ప్రక్రియ అనేది ఇప్పటికే తెలిసిన గణిత వాస్తవాలను ఉపయోగించి సమర్ధించబడిన ఒక స్థిరమైన తార్కిక గొలుసును నిర్మించడాన్ని కలిగి ఉంటుందని విద్యార్థులు అర్థం చేసుకోవాలి. ముగింపు దాని చివరి లింక్.

మనకు తెలిసినట్లుగా, ఈ గొలుసు యొక్క ప్రతి అడుగు ఒక సిలోజిజం. పాఠశాలలో "సిలోజిజం", "మేజర్ ఆవరణ", "చిన్న ఆవరణ" అనే పదాలను పరిచయం చేయడానికి అవకాశం లేదు మరియు నిజానికి అవసరం లేదు. సాధారణంగా, ప్రాథమిక పాఠశాలలో జ్యామితిని బోధించడంలో, "స్టెప్", "స్టేజ్" అనే పదాలు ఉపయోగించబడతాయి: రుజువు యొక్క ప్రతి దశలో, ఒక ప్రకటన మరియు దాని సమర్థన సూచించబడతాయి.

మొదట, రుజువు యొక్క నిర్మాణాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, అది కనుగొనబడిన తర్వాత, దానిని రెండు నిలువు వరుసల రూపంలో రూపొందించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, వాటిలో ఒకటి ప్రకటనలను కలిగి ఉంటుంది మరియు మరొకటి సమర్థనను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ. సమాంతర రేఖల సంకేతం.

సిద్ధాంతం: ఒకవేళ, రెండు పంక్తులు విలోమతో కలుస్తున్నప్పుడు, సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

రుజువు యొక్క తర్కంపై పట్టు సాధించడం గొప్ప కష్టం. ప్రత్యేక కార్డ్‌లు ఇక్కడ చాలా సహాయకారిగా ఉంటాయి, వీటిని స్వతంత్ర పని, హోంవర్క్, వ్యక్తిగత సర్వేల కోసం అసైన్‌మెంట్‌లు మొదలైనవిగా ఉపయోగించవచ్చు. 1

వాటిని తయారు చేసే సాంకేతికత చాలా సులభం: “స్టేట్‌మెంట్” మరియు “జస్టిఫికేషన్” కాలమ్‌లలోని కొన్ని పాయింట్లను వదిలివేస్తే, మేము వ్యక్తిగత కార్డ్ కోసం ఎంపికలలో ఒకదాన్ని పొందుతాము, దానిని ముద్రించిన బేస్‌తో షీట్‌గా ఉపయోగించవచ్చు (విద్యార్థి తప్పిపోయిన దానిలోకి ప్రవేశిస్తాడు. సాక్ష్యం యొక్క శకలాలు).

కార్డులను ఉపయోగించడం కోసం పద్దతి: ఒక కార్డు ఇవ్వబడింది మరియు మీరు ఖాళీలను పూరించమని అడుగుతారు; వివిధ విద్యార్థుల సమూహాలకు వేర్వేరు టెక్స్ట్ కంటెంట్‌తో కార్డ్‌లు అందించబడతాయి, తద్వారా గణిత బోధనను వ్యక్తిగతీకరించారు.

కోసం రుజువును అధ్యయనం చేయడానికి విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం చాలా మంది ఉపాధ్యాయులు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగిస్తారు సాక్ష్యం యొక్క ప్రణాళికను రూపొందించే పద్ధతి. సాధారణంగా రెండు దశలు ఉంటాయి.

1 విధానం. ఇచ్చిన సిద్ధంగా ప్రణాళికకొత్త సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు, విద్యార్థులు ఒక ప్రణాళికను ఉపయోగించి తమను తాము నిరూపించుకోమని అడుగుతారు.

ఉదాహరణ."చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలు జతగా సమానంగా ఉంటే, అది సమాంతర చతుర్భుజం" అనే సిద్ధాంతం కోసం క్రింది ప్రణాళిక ప్రతిపాదించబడింది:

1. ఒక వికర్ణాన్ని గీయండి

2. ఫలిత త్రిభుజాల సమానత్వాన్ని నిరూపించండి

3. చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాల సమాంతరతను నిరూపించండి

4. ముగింపును గీయండి. ⁬

ప్లాన్ తరగతికి చూపబడుతుంది, ఉదాహరణకు, ఇంటరాక్టివ్ వైట్‌బోర్డ్, మల్టీమీడియా ప్రొజెక్టర్ లేదా ఓవర్‌హెడ్ ప్రొజెక్టర్ ఉపయోగించి స్క్రీన్‌పై. విద్యార్థులు ఈ కొత్త అసైన్‌మెంట్‌ను అసాధారణ ఆసక్తితో గ్రహిస్తారు. తెరపై ప్లాన్ కనిపించగానే, వారు నిశ్శబ్దంగా ఉంటారు - వారు అనుకుంటారు. అప్పుడు చాలా మంది సమాధానం చెప్పాలనే కోరికను వ్యక్తం చేస్తారు. ఈ పెరిగిన ఆసక్తిని మనం ఎలా వివరించగలం?

మొదటిది, విద్యార్థులు ఇప్పటికే అనుసరించగల సాధారణ, ప్రాథమిక దశల శ్రేణిగా సిద్ధాంతం యొక్క రుజువును ప్లాన్ విచ్ఛిన్నం చేస్తుంది. వాటిని ఎలా అమలు చేయాలో వారు ఇంకా నేర్చుకోకపోతే, వారికి ప్రణాళిక ఇవ్వడంలో అర్థం లేదు.

రెండవది, విద్యార్థులు కొత్త సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ప్రణాళికను ఉపయోగించవచ్చని భావిస్తారు. వినండి మరియు గుర్తుంచుకోవద్దు, కానీ మీరే నిరూపించుకోండి. ఇది వారికి నిజంగా విజ్ఞప్తి చేస్తుంది.

మూడవదిగా, ప్రణాళిక మొత్తం రుజువును కవర్ చేయడానికి మరియు పూర్తి అవగాహనను సాధించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. పర్యవసానంగా, జ్ఞాపకశక్తి మనస్తత్వం అర్థం చేసుకోవడం కష్టతరం చేసినప్పుడు ప్రతికూల ప్రభావం బలహీనపడుతుంది. ఇది ఆత్మవిశ్వాసానికి దారితీస్తుంది మరియు పని చేయాలనే కోరిక పెరుగుతుంది.

2వ విధానం. విద్యార్థులకు బోధిస్తారు ఇప్పటికే నిరూపితమైన సిద్ధాంతం కోసం ఒక ప్రణాళికను రూపొందించండి.మొదట ఈ పని సమిష్టిగా, ఆపై స్వతంత్రంగా జరుగుతుంది. అంతేకాకుండా, ఇక్కడ ఉపాధ్యాయుడు ఒక ప్రణాళికను రూపొందించే ఉదాహరణలను పదేపదే చూపించవలసి ఉంటుంది. విద్యార్థులు సిద్ధంగా ఉన్న ప్రణాళికను స్వేచ్ఛగా గ్రహిస్తారు, కానీ వారు వెంటనే ప్రణాళికను రూపొందించే నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయరు. అనేక సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి ఒక సాధారణ ప్రణాళిక ఇచ్చిన సందర్భాల్లో చాలా మంచి ఫలితాలు లభిస్తాయి. ఇటువంటి సిద్ధాంతాలు, ఒక సాధారణ ఆలోచనతో ఐక్యమై, ముఖ్యంగా ఉత్పాదకంగా నేర్చుకుంటారు.

మేము ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ప్లానిమెట్రీ పాఠ్యపుస్తకాలు సిద్ధాంతాల సంక్షిప్త సింథటిక్ రుజువులను అందజేస్తాయి. ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులకు క్రమపద్ధతిలో బోధించాలి:

1) దశల నుండి రుజువులను నిర్మించడం;

2) సంక్షిప్త పుస్తక రుజువులను సమర్థనలను సూచించే దశల వివరణాత్మక గొలుసులుగా మార్చండి;

3) వ్యక్తిగత సిద్ధాంతాల రుజువు యొక్క పూర్తి రికార్డులను రూపొందించండి.

దశలవారీగా సిద్ధాంతం యొక్క పూర్తి రుజువు యొక్క ఉదాహరణను ఇద్దాం.

ఉదాహరణ. పంక్తుల కోసం సమాంతరత పరీక్ష యొక్క పూర్తి రుజువు (ప్రూఫ్ యొక్క సూత్రీకరణ మరియు సారాంశం మునుపటి పేజీలో ఇవ్వబడ్డాయి).

పంక్తుల ఖండన వద్ద లెట్ ఎమరియు విసెకెంట్ తోమనకు కోణాలు ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, 2 మరియు 3 - నిలువు, 1 మరియు 3 - అడ్డంగా పడుకున్నాయి.

1. 3 మరియు 2 నిలువు కోణాలు కాబట్టి, అప్పుడు 3 = 2 (నిలువు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి).

2. 1 = 2 మరియు 3 = 2, అప్పుడు 1 = 3 (నిజమైన సమానత్వంలో కుడి భుజాలు సమానంగా ఉంటే, వాటి ఎడమ వైపులా సమానంగా ఉంటాయి).

3. పంక్తుల ఖండన వద్ద 1 మరియు 3 క్రాస్‌వైస్ కోణాలు కాబట్టి ఎమరియు విసెకెంట్ తోమరియు 1 = 3, అప్పుడు ఎ వి(రెండు సరళ రేఖలు విలోమంతో కలుస్తున్నట్లయితే, అబద్ధపు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, అప్పుడు సరళ రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి).

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

రుజువు ప్రక్రియలో, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితులను పూర్తిగా ఉపయోగించడం అవసరం. ఏ దశలలో మరియు పరిస్థితి యొక్క ఈ లేదా ఆ భాగాన్ని ఎలా వర్తింపజేయాలి మరియు అవన్నీ రుజువులో ఉపయోగించబడుతున్నాయా అనే దానిపై చర్చించడం ఒక మార్గాలలో ఒకటి.

సాక్ష్యాల సమీకరణను నిర్ధారించడానికి, ఇది విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది డబుల్ రుజువు అంగీకారం: మొదట, ఆలోచన, ప్రణాళిక మాత్రమే చర్చించబడింది; రుజువు శకలాలుగా సమర్పించబడింది. దీని తరువాత, రుజువు అన్ని సూక్ష్మబేధాలు మరియు సూక్ష్మ నైపుణ్యాలతో పూర్తిగా ప్రదర్శించబడుతుంది.

V.F యొక్క ప్రయోగంలో. షటలోవ్ రుజువు యొక్క సూపర్-మల్టిపుల్ పునరావృత్తిని ఉపయోగిస్తాడు, తరచుగా ఆలోచన లేదా ప్రణాళిక స్థాయిలో.

దశ 4 - సిద్ధాంతం యొక్క ఏకీకరణ మరియు అప్లికేషన్

సిద్ధాంతాన్ని ఏకీకృతం చేసే దశలో సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశం, ఆలోచన, రుజువు యొక్క పద్ధతి మరియు దాని వ్యక్తిగత దశలు అర్థం చేసుకున్నాయో లేదో తెలుసుకోవడానికి పని చేస్తుంది. బందు పద్ధతులు క్రింది విధంగా ఉండవచ్చు:

- విద్యార్థులతో సంభాషణ ప్రక్రియలో, ప్రధాన ఆలోచన, పద్ధతి మరియు రుజువు దశలను మరోసారి హైలైట్ చేయండి;

- రుజువు యొక్క వ్యక్తిగత దశలను వివరించడానికి ఆఫర్ చేయండి;

- రుజువులో ఉపయోగించిన అన్ని సిద్ధాంతాలు, సిద్ధాంతాలు మరియు నిర్వచనాలను జాబితా చేయండి;

- ఈ లేదా ఆ షరతు ఎక్కడ ఉపయోగించబడుతుందో, అవన్నీ ఉపయోగించబడ్డాయో కనుగొనండి;

- రుజువు యొక్క ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయా;

- ఫిక్సింగ్ చేసేటప్పుడు, డ్రాయింగ్‌లోని హోదాలు, అలాగే డ్రాయింగ్ మొదలైన వాటిని మార్చడం ఉపయోగపడుతుంది.

సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్ అది ఉపయోగించిన సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో నిర్వహించబడుతుంది. పాఠ్య పుస్తకం ఎల్లప్పుడూ నిర్దిష్ట సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి సమస్యల వ్యవస్థను అందించదని గుర్తుంచుకోవాలి; చాలా తరచుగా, వ్యక్తిగత సమస్యలు ఇవ్వబడతాయి, వీటిని అనుభవజ్ఞుడైన ఉపాధ్యాయుడు భర్తీ చేయవచ్చు. ప్లానిమెట్రీ మరియు స్టీరియోమెట్రీ యొక్క తదుపరి కోర్సులో ఇతర సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి కూడా సిద్ధాంతాలు ఉపయోగించబడతాయి.