గణిత ప్రేరణ నిర్వచనం యొక్క పద్ధతి. ఇండక్షన్ ఉదాహరణలు

ఇండక్షన్ అనేది నిర్దిష్ట పరిశీలనల నుండి సాధారణ ప్రకటనను పొందే పద్ధతి. గణిత ప్రకటన పరిమిత సంఖ్యలో వస్తువులకు సంబంధించిన సందర్భంలో, ప్రతి వస్తువు కోసం పరీక్షించడం ద్వారా దానిని నిరూపించవచ్చు. ఉదాహరణకు, ప్రకటన: “ప్రతి రెండు-అంకెల సరి సంఖ్య రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం,” స్థాపించడానికి చాలా సాధ్యమయ్యే సమానత్వాల శ్రేణి నుండి అనుసరిస్తుంది:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

అన్ని అవకాశాలను నిర్వీర్యం చేసే పరిమిత సంఖ్యలో కేసుల కోసం స్టేట్‌మెంట్ ధృవీకరించబడే రుజువు పద్ధతిని పూర్తి ఇండక్షన్ అంటారు. ఈ పద్ధతి చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే గణిత శాస్త్ర ప్రకటనలు, ఒక నియమం వలె, పరిమితమైనవి కావు, కానీ అనంతమైన వస్తువులను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, పూర్తి ఇండక్షన్ ద్వారా పైన నిరూపించబడిన రెండు-అంకెల సంఖ్యల గురించిన ప్రకటన సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం మాత్రమే: "ఏదైనా సరి సంఖ్య రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం." ఈ సిద్ధాంతం ఇంకా నిరూపించబడలేదు లేదా నిరూపించబడలేదు.

గణిత ప్రేరణ అనేది గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్‌ను నిరూపించే పద్ధతి: “ఒక స్టేట్‌మెంట్ n=1కి నిజమైతే మరియు n=k కోసం దాని చెల్లుబాటు n=k కోసం ఈ స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది. +1, అప్పుడు ఇది అన్ని n కోసం నిజం గణిత ప్రేరణ ద్వారా రుజువు పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంది:

1) ప్రేరణ యొక్క ఆధారం: అవి n=1 (కొన్నిసార్లు n=0 లేదా n=n 0) కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపిస్తాయి లేదా నేరుగా తనిఖీ చేస్తాయి;

2) ఇండక్షన్ స్టెప్ (పరివర్తన): వారు కొన్ని సహజ సంఖ్య n=k కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును ఊహిస్తారు మరియు ఈ ఊహ ఆధారంగా, n=k+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును రుజువు చేస్తారు.

పరిష్కారాలతో సమస్యలు

1. ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం, 3 2n+1 +2 n+2 సంఖ్య 7తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

A(n)=3 2n+1 +2 n+2ని సూచిస్తాం.

ఇండక్షన్ బేస్. n=1 అయితే, A(1)=3 3 +2 3 =35 మరియు, స్పష్టంగా, 7చే భాగించబడుతుంది.

ఇండక్షన్ ఊహ. A(k)ని 7చే భాగించవచ్చు.

ఇండక్షన్ పరివర్తన. A(k+1) 7 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపిద్దాం, అంటే n=k కోసం సమస్య యొక్క ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు.

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.

చివరి సంఖ్య 7చే భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఇది రెండు పూర్ణాంకాల తేడా 7తో భాగించబడుతుంది. కాబట్టి, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి 3 2n+1 +2 n+2 7తో భాగించబడుతుంది.

2. ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం, సంఖ్య 2 3 n +1 3 n+1 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు 3 n+2 ద్వారా భాగించబడదని నిరూపించండి.

సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: a i =2 3 i +1.

n=1 కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము మరియు 1 =2 3 +1=9. కాబట్టి, a 1 3 2చే భాగించబడుతుంది మరియు 3 3 ద్వారా భాగించబడదు.

n=k కోసం లెట్ సంఖ్య a k 3 k+1 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు 3 k+2 ద్వారా భాగించబడదు, అంటే a k =2 3 k +1=3 k+1 m, ఇక్కడ m అనేది 3తో భాగించబడదు. అప్పుడు

మరియు k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).

సహజంగానే, k+1 3 k+2తో భాగించబడుతుంది మరియు 3 k+3తో భాగించబడదు.

అందువల్ల, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిరూపించబడింది.

3. x+1/x అనేది పూర్ణాంకం అని తెలుసు. ఏదైనా పూర్ణాంకం nకి x n +1/x n కూడా పూర్ణాంకం అని నిరూపించండి.

సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: a i =х i +1/х i మరియు వెంటనే a i =а -i అని గమనించండి, కాబట్టి మేము సహజ సూచికల గురించి మాట్లాడటం కొనసాగిస్తాము.

గమనిక: ఒక 1 అనేది కన్వెన్షన్ ద్వారా పూర్ణాంకం; మరియు 2 అనేది పూర్ణాంకం, ఎందుకంటే a 2 = (a 1) 2 –2; మరియు 0 =2.

k అనేది n మించని ఏదైనా సహజ సంఖ్య k కోసం పూర్ణాంకం అని అనుకుందాం. అప్పుడు 1 ·a n ఒక పూర్ణాంకం, అయితే a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 మరియు a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . అయితే, n–1, ఇండక్షన్ పరికల్పన ప్రకారం, పూర్ణాంకం. అంటే n+1 కూడా పూర్ణాంకం. కాబట్టి, x n +1/x n అనేది ఏదైనా పూర్ణాంకం n కోసం పూర్ణాంకం, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

4. 1 కంటే ఎక్కువ ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం డబుల్ అసమానత నిజమని నిరూపించండి

5. సహజ n > 1 మరియు |x| కోసం నిరూపించండి

(1–x)n +(1+x)n

n=2 కోసం అసమానత నిజం. నిజంగా,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

అసమానత n=kకి నిజమైతే, n=k+1 కోసం మనకు ఉంటుంది

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

ఏదైనా సహజ సంఖ్య n > 1కి అసమానత నిరూపించబడింది.

6. ఒక విమానంలో n సర్కిల్‌లు ఉన్నాయి. ఈ సర్కిల్‌ల యొక్క ఏదైనా అమరిక కోసం, అవి రూపొందించే మ్యాప్‌ను రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగు వేయవచ్చని నిరూపించండి.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

n=1 కోసం ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంది.

n సర్కిల్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన ఏదైనా మ్యాప్‌కు స్టేట్‌మెంట్ నిజమని మనం అనుకుందాం మరియు విమానంలో n+1 సర్కిల్‌లు ఉండనివ్వండి. ఈ సర్కిల్‌లలో ఒకదానిని తీసివేయడం ద్వారా, మేము చేసిన ఊహ కారణంగా, రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగులు వేయగల మ్యాప్‌ను పొందుతాము (క్రింద ఉన్న మొదటి చిత్రాన్ని చూడండి).

అప్పుడు మనం విస్మరించిన సర్కిల్‌ను పునరుద్ధరిద్దాము మరియు దాని యొక్క ఒక వైపున, ఉదాహరణకు లోపల, ప్రతి ప్రాంతం యొక్క రంగును ఎదురుగా మారుద్దాం (రెండవ చిత్రాన్ని చూడండి). ఈ సందర్భంలో మనం రెండు రంగులతో సరిగ్గా మ్యాప్‌ని పొందుతామని చూడటం సులభం, కానీ ఇప్పుడు n+1 సర్కిల్‌ల కోసం, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

7. కింది షరతులు నెరవేరినట్లయితే మేము కుంభాకార బహుభుజిని "అందమైన" అని పిలుస్తాము:

1) దాని ప్రతి శీర్షాలు మూడు రంగులలో ఒకదానిలో పెయింట్ చేయబడతాయి;

2) ఏదైనా రెండు ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాలు వేర్వేరు రంగులలో పెయింట్ చేయబడతాయి;

3) బహుభుజి యొక్క కనీసం ఒక శీర్షం ప్రతి మూడు రంగులలో పెయింట్ చేయబడింది.

ఏదైనా అందమైన n-gonని విడదీయని వికర్ణాల ద్వారా "అందమైన" త్రిభుజాలుగా కత్తిరించవచ్చని నిరూపించండి.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

ఇండక్షన్ బేస్. సాధ్యమైనంత చిన్నదైన n=3తో, సమస్య యొక్క ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంటుంది: "అందమైన" త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు మూడు వేర్వేరు రంగులలో పెయింట్ చేయబడతాయి మరియు కట్‌లు అవసరం లేదు.

ఇండక్షన్ ఊహ. ఏదైనా "అందమైన" n-gon కోసం సమస్య యొక్క ప్రకటన నిజమని మనం అనుకుందాం.

ఇండక్షన్ దశ. మనం ఏకపక్ష "అందమైన" (n+1)-గోన్‌ని పరిశీలిద్దాం మరియు ఇండక్షన్ పరికల్పనను ఉపయోగించి, దానిని కొన్ని వికర్ణాల ద్వారా "అందమైన" త్రిభుజాలుగా కత్తిరించవచ్చని రుజువు చేద్దాం. A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 ద్వారా (n+1)-gon యొక్క వరుస శీర్షాలను సూచిస్తాము. ఒక (n+1)-gon యొక్క ఒక శీర్షం మాత్రమే మూడు రంగులలో దేనిలోనైనా రంగులో ఉంటే, ఈ శీర్షాన్ని దాని ప్రక్కనే లేని అన్ని శీర్షాలకు వికర్ణాలతో అనుసంధానించడం ద్వారా, మేము (n+1) యొక్క అవసరమైన విభజనను పొందుతాము ) - "అందమైన" త్రిభుజాలలోకి వెళ్లండి.

ఒక (n+1)-gon యొక్క కనీసం రెండు శీర్షాలు మూడు రంగులలో ప్రతి రంగులో ఉంటే, మేము శీర్షం A 1 యొక్క రంగును సంఖ్య 1 ద్వారా మరియు శీర్షం A 2 యొక్క రంగును సంఖ్య 2 ద్వారా సూచిస్తాము. శీర్షం A k మూడవ రంగులో ఉండేలా k అనేది అతి చిన్న సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. ఇది స్పష్టంగా ఉంది k > 2. వికర్ణ A k–2 A kతో (n+1)-gon నుండి A k–2 A k–1 A k త్రిభుజాన్ని కట్ చేద్దాం. సంఖ్య k ఎంపికకు అనుగుణంగా, ఈ త్రిభుజం యొక్క అన్ని శీర్షాలు మూడు వేర్వేరు రంగులలో పెయింట్ చేయబడతాయి, అంటే, ఈ త్రిభుజం "అందమైనది". కుంభాకార n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , మిగిలి ఉంది, ప్రేరక ఊహ కారణంగా, “అందంగా” ఉంటుంది, అంటే ఇది "అందమైన" త్రిభుజాలుగా విభజించబడింది, ఇది నిరూపించబడాలి.

8. ఒక కుంభాకార n-gonలో n కంటే ఎక్కువ వికర్ణాలను ఎంచుకోవడం అసాధ్యమని నిరూపించండి, తద్వారా వాటిలో ఏదైనా ఒక సాధారణ బిందువు ఉంటుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువును చేద్దాం.

మరింత సాధారణ ప్రకటనను నిరూపిద్దాం: ఒక కుంభాకార n-gonలో n భుజాలు మరియు వికర్ణాల కంటే ఎక్కువ ఎంపిక చేయడం అసాధ్యం, తద్వారా వాటిలో ఏదైనా ఒక సాధారణ పాయింట్ ఉంటుంది. n = 3 కోసం ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఈ ప్రకటన ఏకపక్ష n-gon కోసం నిజమని భావించి, దీనిని ఉపయోగించి, మేము ఏకపక్ష (n+1)-gon కోసం దాని చెల్లుబాటును నిరూపిస్తాము.

(n+1)-gon కోసం ఈ ప్రకటన నిజం కాదని మనం అనుకుందాం. ఒక (n+1)-gon యొక్క ప్రతి శీర్షం నుండి రెండు కంటే ఎక్కువ ఎంచుకున్న భుజాలు లేదా వికర్ణాలు ఉద్భవించకపోతే, మొత్తంగా వాటిలో n+1 కంటే ఎక్కువ ఎంపిక చేయబడవు. కాబట్టి, కొన్ని శీర్షం A నుండి కనీసం మూడు ఎంచుకున్న భుజాలు లేదా AB, AC, AD వికర్ణాలు ఉంటాయి. AB మరియు AD మధ్య AC ఉండనివ్వండి. పాయింట్ C నుండి మరియు CA నుండి ఉద్భవించే ఏదైనా వైపు లేదా వికర్ణం ఏకకాలంలో AB మరియు AD లను కలుస్తాయి కాబట్టి, పాయింట్ C నుండి ఎంచుకున్న ఒక వికర్ణ CA మాత్రమే ఉద్భవిస్తుంది.

వికర్ణ CAతో కలిపి పాయింట్ Cని విస్మరిస్తే, మేము ఒక కుంభాకార n-gonని పొందుతాము, దీనిలో n కంటే ఎక్కువ భుజాలు మరియు వికర్ణాలు ఎంపిక చేయబడతాయి, వీటిలో ఏదైనా రెండు సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, మేము ఒక ఏకపక్ష కుంభాకార n-gon కోసం ప్రకటన నిజమని ఊహతో వైరుధ్యానికి వస్తాము.

కాబట్టి, (n+1)-gon కోసం స్టేట్‌మెంట్ నిజం. గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, ఏదైనా కుంభాకార n-gon కోసం ప్రకటన నిజం.

9. ఒక విమానంలో n సరళ రేఖలు ఉన్నాయి, వాటిలో రెండు సమాంతరంగా లేవు మరియు మూడు ఒకే బిందువు గుండా వెళ్ళవు. ఈ పంక్తులు విమానాన్ని ఎన్ని భాగాలుగా విభజిస్తాయి?

ప్రాథమిక డ్రాయింగ్‌లను ఉపయోగించి, ఒక సరళ రేఖ విమానాన్ని 2 భాగాలుగా, రెండు సరళ రేఖలను 4 భాగాలుగా, మూడు సరళ రేఖలను 7 భాగాలుగా మరియు నాలుగు సరళ రేఖలను 11 భాగాలుగా విభజిస్తుందని మీరు సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు.

n సరళ రేఖలు విమానాన్ని విభజించే భాగాల సంఖ్యను N(n) ద్వారా సూచిస్తాము. అని గమనించవచ్చు

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

అని అనుకోవడం సహజం

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

లేదా, ఒక అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములాను ఉపయోగించి, స్థాపించడం సులభం,

N(n)=1+n(n+1)/2.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సూత్రం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపిద్దాం.

n=1 కోసం సూత్రం ఇప్పటికే తనిఖీ చేయబడింది.

ఇండక్షన్ ఊహను రూపొందించిన తర్వాత, సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే k+1 లైన్‌లను మేము పరిశీలిస్తాము. వాటి నుండి k సరళరేఖలను ఏకపక్ష పద్ధతిలో ఎంచుకుందాం. ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, వారు విమానాన్ని 1+ k(k+1)/2 భాగాలుగా విభజిస్తారు. మిగిలిన (k+1)వ సరళ రేఖ ఎంచుకున్న k సరళ రేఖల ద్వారా k+1 భాగాలుగా విభజించబడుతుంది మరియు అందువల్ల, విమానం ఇప్పటికే విభజించబడిన (k+1)వ భాగం మరియు ప్రతి దానితో పాటు వెళుతుంది. ఈ భాగాలు 2 భాగాలుగా విభజించబడతాయి, అనగా మరొక k+1 భాగం జోడించబడుతుంది. కాబట్టి,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

Q.E.D.

10. x 1: x 2: ... : x n అనే వ్యక్తీకరణలో, చర్యల క్రమాన్ని సూచించడానికి కుండలీకరణాలు ఉంచబడ్డాయి మరియు ఫలితం భిన్నం వలె వ్రాయబడుతుంది:

(ఈ సందర్భంలో, ప్రతి అక్షరం x 1, x 2, ..., x n భిన్నం యొక్క లవం లేదా హారంలో ఉంటుంది). కుండలీకరణాలను ఉంచే అన్ని మార్గాలతో ఈ విధంగా ఎన్ని విభిన్న వ్యక్తీకరణలను పొందవచ్చు?

అన్నింటిలో మొదటిది, ఫలిత భిన్నంలో x 1 న్యూమరేటర్‌లో ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. కుండలీకరణాలు ఎలా ఉంచబడినా x 2 హారంలో ఉంటుందని దాదాపుగా స్పష్టంగా ఉంది (x 2 ముందు ఉన్న విభజన గుర్తు x 2ని సూచిస్తుంది లేదా లవంలోని x 2ని కలిగి ఉన్న కొన్ని వ్యక్తీకరణను సూచిస్తుంది).

అన్ని ఇతర అక్షరాలు x 3, x 4, ..., x n పూర్తిగా ఏకపక్ష పద్ధతిలో న్యూమరేటర్ లేదా హారంలో ఉండవచ్చని భావించవచ్చు. ఇది మొత్తంగా మీరు 2 n–2 భిన్నాలను పొందవచ్చు: ప్రతి n–2 అక్షరాలు x 3, x 4, ..., x n న్యూమరేటర్ లేదా హారంలోని ఇతరులతో సంబంధం లేకుండా స్వతంత్రంగా కనిపించవచ్చు.

ఇండక్షన్ ద్వారా ఈ ప్రకటనను నిరూపిద్దాం.

n=3తో మీరు 2 భిన్నాలను పొందవచ్చు:

కాబట్టి ప్రకటన నిజం.

ఇది n=kకి నిజమని భావించి, n=k+1కి రుజువు చేద్దాం.

x 1:x 2: ... :x k అనే వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్‌ల కొన్ని ప్లేస్‌మెంట్ తర్వాత నిర్దిష్ట భిన్నం Q రూపంలో వ్రాయనివ్వండి. ఈ వ్యక్తీకరణలో x kకి బదులుగా x k:x k+1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అప్పుడు x k అవుతుంది భిన్నం Qలో ఉన్న అదే స్థలంలో, మరియు x k ఉన్న చోట x k+1 ఉండదు (x k హారంలో ఉంటే, అప్పుడు x k+1 లవం మరియు వైస్ వెర్సాలో ఉంటుంది).

ఇప్పుడు మనం x k ఉన్న ప్రదేశానికి x k+1ని జోడించవచ్చని నిరూపిస్తాము. Q భిన్నంలో, బ్రాకెట్‌లను ఉంచిన తర్వాత, తప్పనిసరిగా q:x k ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ ఉండాలి, ఇక్కడ q అనేది x k–1 అక్షరం లేదా బ్రాకెట్‌లలో కొంత వ్యక్తీకరణ. q:x kని ఎక్స్‌ప్రెషన్‌తో భర్తీ చేయడం (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), మేము స్పష్టంగా అదే భిన్నం Qని పొందుతాము, ఇక్కడ x kకి బదులుగా x k ·x k+1 ఉంటుంది.

ఈ విధంగా, n=k+1 కేసులో సాధ్యమయ్యే అన్ని భిన్నాల సంఖ్య n=k కేసు కంటే 2 రెట్లు ఎక్కువ మరియు 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2కి సమానం. కాబట్టి ప్రకటన నిరూపించబడింది.

సమాధానం: 2 n–2 భిన్నాలు.

పరిష్కారాలు లేని సమస్యలు

1. ఏదైనా సహజ n కోసం నిరూపించండి:

a) సంఖ్య 5 n –3 n +2n 4 ద్వారా భాగించబడుతుంది;

బి) n 3 +11n సంఖ్య 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది;

c) సంఖ్య 7 n +3n–1 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది;

d) సంఖ్య 6 2n +19 n –2 n+1 17 ద్వారా భాగించబడుతుంది;

ఇ) 7 n+1 +8 2n–1 సంఖ్య 19తో భాగించబడుతుంది;

ఇ) 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 సంఖ్య 27తో భాగించబడుతుంది.

2. (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1) అని నిరూపించండి.

3. అసమానతను నిరూపించండి |sin nx| n|పాపం x| ఏదైనా సహజ n కోసం.

4. 10 ద్వారా భాగించబడని సహజ సంఖ్యలు a, b, cని కనుగొనండి మరియు ఏదైనా సహజ n సంఖ్యలకు a n + b n మరియు c n ఒకే చివరి రెండు అంకెలను కలిగి ఉంటాయి.

5. n పాయింట్లు ఒకే రేఖపై ఉండకపోతే, వాటిని కలిపే పంక్తులలో కనీసం n వేర్వేరుగా ఉన్నాయని నిరూపించండి.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పరిచయం

ముఖ్య భాగం

1. పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ
2. గణిత ప్రేరణ సూత్రం
3. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి
4. పరిష్కార ఉదాహరణలు
5. సమానత్వాలు
6. సంఖ్యలను విభజించడం
7. అసమానతలు

ముగింపు

ఉపయోగించిన సాహిత్యం జాబితా

పరిచయం

ఏదైనా గణిత పరిశోధన యొక్క ఆధారం తగ్గింపు మరియు ప్రేరక పద్ధతులు. తార్కికం యొక్క తగ్గింపు పద్ధతి అనేది సాధారణ నుండి నిర్దిష్టానికి తార్కికం, అనగా. తార్కికం, దీని ప్రారంభ స్థానం సాధారణ ఫలితం మరియు చివరి పాయింట్ నిర్దిష్ట ఫలితం. నిర్దిష్ట ఫలితాల నుండి సాధారణ ఫలితాలకు వెళ్లేటప్పుడు ఇండక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా. తగ్గింపు పద్ధతికి వ్యతిరేకం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని పురోగతితో పోల్చవచ్చు. మేము అత్యల్ప నుండి ప్రారంభిస్తాము మరియు తార్కిక ఆలోచన ఫలితంగా మనం అత్యున్నత స్థాయికి వస్తాము. మనిషి ఎల్లప్పుడూ పురోగతి కోసం, తన ఆలోచనలను తార్కికంగా అభివృద్ధి చేయగల సామర్థ్యం కోసం ప్రయత్నిస్తాడు, అంటే ప్రకృతి అతనిని ప్రేరేపకంగా ఆలోచించాలని నిర్ణయించింది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి పెరిగినప్పటికీ, పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో దీనికి తక్కువ సమయం కేటాయించబడింది. బాగా, ఆ రెండు లేదా మూడు పాఠాలు ఒక వ్యక్తికి ఉపయోగపడతాయని నాకు చెప్పండి, ఈ సమయంలో అతను ఐదు సిద్ధాంతాల పదాలను వింటాడు, ఐదు ఆదిమ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు మరియు ఫలితంగా, అతనికి ఏమీ తెలియదనే వాస్తవం కోసం Aని అందుకుంటాడు.

కానీ ప్రేరేపకంగా ఆలోచించడం చాలా ముఖ్యం.

ముఖ్య భాగం

దాని అసలు అర్థంలో, "ఇండక్షన్" అనే పదం తార్కికానికి వర్తించబడుతుంది, దీని ద్వారా అనేక నిర్దిష్ట ప్రకటనల ఆధారంగా సాధారణ ముగింపులు పొందబడతాయి. ఈ రకమైన తార్కికం యొక్క సరళమైన పద్ధతి పూర్తి ఇండక్షన్. అటువంటి తార్కికానికి ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

4లోపు ప్రతి సరి సహజ సంఖ్య n అని నిర్ధారించడం అవసరం< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ఈ తొమ్మిది సమానత్వాలు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రతి సంఖ్య వాస్తవానికి రెండు సాధారణ పదాల మొత్తంగా సూచించబడుతుందని చూపిస్తుంది.

అందువల్ల, పూర్తి ఇండక్షన్ అనేది పరిమిత సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే సందర్భాలలో ఒక్కొక్కటిగా సాధారణ ప్రకటనను విడిగా రుజువు చేస్తుంది.

కొన్నిసార్లు సాధారణ ఫలితాన్ని అన్నింటిని కాకుండా, తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో నిర్దిష్ట కేసులను (అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ అని పిలవబడేవి) పరిగణనలోకి తీసుకున్న తర్వాత అంచనా వేయవచ్చు.

అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ ద్వారా పొందిన ఫలితం, అయితే, అన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను కవర్ చేస్తూ, ఖచ్చితమైన గణితశాస్త్ర రీజనింగ్ ద్వారా నిరూపించబడే వరకు కేవలం పరికల్పన మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గణితంలో అసంపూర్ణ ప్రేరణ అనేది కఠినమైన రుజువు యొక్క చట్టబద్ధమైన పద్ధతిగా పరిగణించబడదు, కానీ కొత్త సత్యాలను కనుగొనే శక్తివంతమైన పద్ధతి.

ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:

1+3+5+7+9=25=5 2

ఈ కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలించిన తర్వాత, కింది సాధారణ ముగింపు స్వయంగా సూచిస్తుంది:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ఆ. మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2

వాస్తవానికి, ఇచ్చిన ఫార్ములా యొక్క చెల్లుబాటుకు రుజువుగా చేసిన పరిశీలన ఇంకా ఉపయోగపడదు.

కంప్లీట్ ఇండక్షన్‌కు గణితంలో పరిమిత అప్లికేషన్‌లు మాత్రమే ఉన్నాయి. అనేక ఆసక్తికరమైన గణిత ప్రకటనలు అనంతమైన ప్రత్యేక కేసులను కవర్ చేస్తాయి, కానీ మేము వాటిని అనంతమైన కేసుల కోసం పరీక్షించలేము. అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ తరచుగా తప్పుడు ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది.

అనేక సందర్భాల్లో, ఈ రకమైన కష్టం నుండి బయటపడే మార్గం గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అని పిలువబడే ఒక ప్రత్యేక తార్కిక పద్ధతిని ఆశ్రయించడం. ఇది క్రింది విధంగా ఉంది.

మీరు ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించాలని అనుకుందాం (ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2కి సమానం అని నిరూపించాలి). n యొక్క ప్రతి విలువకు ఈ ప్రకటన యొక్క ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ అసాధ్యం, ఎందుకంటే సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతం. ఈ ప్రకటనను నిరూపించడానికి, ముందుగా n=1 కోసం దాని చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి. అప్పుడు వారు k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువ కోసం, n=k కోసం పరిశీలనలో ఉన్న స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది.

అప్పుడు ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. వాస్తవానికి, ప్రకటన n=1కి నిజం. కానీ తర్వాతి సంఖ్య n=1+1=2కి కూడా ఇది నిజం. n=2 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=2+కి దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది

1=3. ఇది n=4 మొదలైన వాటి కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది. చివరికి, మనం ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చేరుకుంటామని స్పష్టమవుతుంది. దీని అర్థం ఏదైనా n కోసం ప్రకటన నిజం.

చెప్పబడిన వాటిని సంగ్రహించి, మేము ఈ క్రింది సాధారణ సూత్రాన్ని రూపొందిస్తాము.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

ఒక వాక్యం A(n), సహజ సంఖ్య nపై ఆధారపడి, n=1కి నిజమైతే మరియు అది n=k (ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య)కి నిజమైనది అనే వాస్తవం నుండి అది కూడా నిజం అని అనుసరిస్తుంది. తదుపరి సంఖ్య n=k +1, అప్పుడు ఊహ A(n) ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి నిజం.

అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం కాకుండా n>p కోసం మాత్రమే నిరూపించడం అవసరం కావచ్చు, ఇక్కడ p అనేది స్థిర సహజ సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, గణిత ప్రేరణ సూత్రం క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది.

ఒకవేళ A(n) అనేది n=pకి నిజమైతే మరియు ఏదైనా k>pకి A(k)ÞA(k+1) అయితే, A(n) ప్రతిపాదన ఏదైనా n>pకి సరైనది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువు క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. ముందుగా, నిరూపించాల్సిన స్టేట్‌మెంట్ n=1 కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది, అనగా. ప్రకటన A(1) యొక్క సత్యం స్థాపించబడింది. రుజువు యొక్క ఈ భాగాన్ని ఇండక్షన్ ఆధారం అంటారు. అప్పుడు ప్రూఫ్‌లో ఇండక్షన్ స్టెప్ అనే భాగం వస్తుంది. ఈ భాగంలో, వారు n=k (ఇండక్షన్ ఊహ) కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ కింద n=k+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును రుజువు చేస్తారు, అనగా. A(k)ÞA(k+1) అని నిరూపించండి.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 అని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) మనకు n=1=1 2 ఉంది. అందుకే,

ప్రకటన n=1కి నిజం, అనగా. A(1) నిజం.

2) A(k)ÞA(k+1) అని నిరూపిద్దాం.

k ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి మరియు n=k కోసం స్టేట్‌మెంట్ నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, అనగా.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

తర్వాతి సహజ సంఖ్య n=k+1కి కూడా ఆ ప్రకటన సరైనదని నిరూపిద్దాం, అనగా. ఏమిటి

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

నిజానికి,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా nÎNకి ఊహ A(n) నిజమని మేము నిర్ధారించాము.

నిరూపించు

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ఇక్కడ x¹1

పరిష్కారం: 1) n=1 కోసం మనకు లభిస్తుంది

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

కాబట్టి, n=1 కోసం సూత్రం సరైనది; A(1) నిజం.

2) k ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి మరియు సూత్రం n=kకి నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, అనగా.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

అప్పుడు సమానత్వం అని నిరూపిద్దాం

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

నిజానికి

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి సూత్రం సరైనదని మేము నిర్ధారించాము.

కుంభాకార n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య n(n-3)/2కి సమానం అని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=3 కోసం ప్రకటన నిజం

మరియు 3 అర్ధవంతమైనది, ఎందుకంటే త్రిభుజంలో

 A 3 =3(3-3)/2=0 వికర్ణాలు;

A 2 A(3) నిజం.

2) ప్రతిదానిలో అని అనుకుందాం

ఒక కుంభాకార k-gon ఉంది-

A 1 x A k =k(k-3)/2 వికర్ణాలు.

మరియు k అప్పుడు కుంభాకారంలో అని నిరూపిద్దాం

(k+1)-gon సంఖ్య

వికర్ణాలు A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ఒక కుంభాకార (k+1)-gonగా ఉండనివ్వండి. దానిలో వికర్ణ A 1 A k గీద్దాం. ఈ (k+1)-gon యొక్క మొత్తం వికర్ణాల సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు k-gon A 1 A 2 ...A k లోని వికర్ణాల సంఖ్యను లెక్కించాలి, ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యకు k-2ని జోడించండి, అనగా. A k+1 శీర్షం నుండి వెలువడే (k+1)-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య మరియు అదనంగా, వికర్ణ A 1 A k పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

ఈ విధంగా,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం కారణంగా, ఏదైనా కుంభాకార n-gon కోసం ప్రకటన నిజం.

ఏదైనా n కింది ప్రకటన నిజమని నిరూపించండి:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం.

2) n=k అని అనుకోండి

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటనను పరిగణించండి

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

మేము n=k+1 కోసం సమానత్వం నిజమని నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజం.

ఏదైనా సహజ సంఖ్య n సమానత్వం నిజమని నిరూపించండి:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్.

అప్పుడు X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2/4=1.

మేము n=1 కోసం ప్రకటన నిజమని చూస్తాము.

2) n=kకి సమానత్వం సరైనదని అనుకుందాం

X k =k 2 (k+1) 2/4.

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం, అనగా.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

పై రుజువు నుండి ప్రకటన n=k+1కి సరైనదని స్పష్టమవుతుంది, కాబట్టి, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి సమానత్వం నిజమైనది.

నిరూపించు

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ఇక్కడ n>2.

పరిష్కారం: 1) n=2 కోసం గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

ఆ. ఇది నిజం.

2) n=k కోసం వ్యక్తీకరణ నిజమని భావించండి

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1 కోసం వ్యక్తీకరణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిరూపిద్దాం.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´...´((k 3 +1)/(k 3 -1)))'(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

మేము n=k+1 కోసం సమానత్వం నిజమని నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ఏదైనా n>2 కోసం ప్రకటన నిజం

నిరూపించు

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

ఏదైనా సహజ n కోసం.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) అప్పుడు n=k అని అనుకుందాం

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 కోసం సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు కూడా నిరూపించబడింది, కాబట్టి ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజం.

గుర్తింపు సరైనదని నిరూపించండి

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

ఏదైనా సహజ n కోసం.

1) n=1కి గుర్తింపు నిజం 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) n=k కోసం అనుకుందాం

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1కి గుర్తింపు నిజమని నిరూపిద్దాం.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

పై రుజువు నుండి ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన సరైనదని స్పష్టమవుతుంది.

(11 n+2 +12 2n+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.

కానీ (23´133) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది, అంటే n=1 కోసం ప్రకటన నిజం; A(1) నిజం.

2) (11 k+2 +12 2k+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడిందని అనుకుందాం.

3) ఈ సందర్భంలో దానిని నిరూపిద్దాం

(11 k+3 +12 2k+3) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది. నిజానికి, 11 k+3 +12 2l+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

ఫలితంగా వచ్చే మొత్తాన్ని శేషం లేకుండా 133తో విభజించారు, ఎందుకంటే దాని మొదటి పదం ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది మరియు రెండవది 133. కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏదైనా n 7 n -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్, అప్పుడు X 1 =7 1 -1=6 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అంటే n=1 అయినప్పుడు ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

7 k -1 అనేది శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

మొదటి పదం 6తో భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే 7 k -1 ఊహ ద్వారా 6తో భాగించబడుతుంది మరియు రెండవ పదం 6. దీని అర్థం ఏదైనా సహజ n కోసం 7 n -1 6 యొక్క గుణకం. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ n కోసం 3 3n-1 +2 4n-3 11 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.
పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది. దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

X k =3 3k-1 +2 4k-3 అనేది శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

మొదటి పదం శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే 3 3k-1 +2 4k-3 ఊహ ద్వారా 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది, రెండవది 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే దాని కారకాల్లో ఒకటి సంఖ్య 11. దీని అర్థం మొత్తం ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ n కోసం 11 2n -1 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్, అప్పుడు 11 2 -1=120 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అంటే n=1 అయినప్పుడు ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

11 2k -1 అనేది శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

రెండు పదాలు శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడతాయి: మొదటిది 6 యొక్క గుణకం, సంఖ్య 120, మరియు రెండవది ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. అంటే మొత్తం శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య n కోసం 3 3n+3 -26n-27 శేషం లేకుండా 26 2 (676)తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: మొదట 3 3n+3 -1 శేషం లేకుండా 26తో భాగించబడుతుందని నిరూపిస్తాము.

1. n=0 ఉన్నప్పుడు

3 3 -1=26 26తో భాగించబడింది

2. n=k కోసం అని అనుకుందాం

3 3k+3 -1 26చే భాగించబడుతుంది

3. ప్రకటన అని నిరూపిద్దాం

n=k+1కి నిజం.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – 26తో భాగించబడింది

ఇప్పుడు సమస్య ప్రకటనలో రూపొందించిన ప్రకటన యొక్క రుజువును అమలు చేద్దాం.

1) సహజంగానే, n=1 ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు

3 3+3 -26-27=676

2) n=k కోసం అనుకుందాం

వ్యక్తీకరణ 3 3k+3 -26k-27 శేషం లేకుండా 26 2 ద్వారా విభజించబడింది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

రెండు పదాలు 26 2 ద్వారా భాగించబడతాయి; మొదటిది 26 2తో భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ 26తో భాగించబడుతుందని మేము నిరూపించాము మరియు రెండవది ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

n>2 మరియు x>0 అయితే అసమానత నిజమని నిరూపించండి

(1+x) n >1+n´x.

పరిష్కారం: 1) n=2 కోసం అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది, ఎందుకంటే

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

కాబట్టి A(2) నిజం.

2) A(k)ÞA(k+1), k> అయితే 2. A(k) నిజమని, అంటే అసమానత అని నిరూపిద్దాం.

(1+x) k >1+k´x. (3)

అప్పుడు A(k+1) కూడా నిజమని, అంటే అసమానత అని నిరూపిద్దాం

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

నిజానికి, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (3) ధనాత్మక సంఖ్య 1+xతో గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున పరిశీలిద్దాం

స్తవా; మన దగ్గర ఉంది

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

ఫలితంగా, మేము దానిని పొందుతాము

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, బెర్నౌలీ యొక్క అసమానత దేనికైనా నిజమని వాదించవచ్చు

అసమానత నిజమని నిరూపించండి

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

పరిష్కారం: 1) m=1 ఎప్పుడు

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

2) m=k అని అనుకుందాం

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) m=k+1 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపిద్దాం

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

మేము m=k+1 కోసం అసమానత యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ m కోసం చెల్లుబాటు అవుతుంది.

n>6కి అసమానత నిజమని నిరూపించండి

3 n >n´2 n+1 .

పరిష్కారం: రూపంలో అసమానతను తిరిగి వ్రాద్దాం

1. n=7 కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము

3 7/2 7 =2187/128>14=2´7

అసమానత నిజం.

2. n=k కోసం అని అనుకుందాం

3) n=k+1 కోసం అసమానత యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 నుండి, చివరి అసమానత స్పష్టంగా ఉంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చెల్లుతుంది.

n>2 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపించండి

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

పరిష్కారం: 1) n=3 కోసం అసమానత నిజం

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. n=k కోసం అని అనుకుందాం

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) కాని వాటి చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం

n=k+1కి సమానత్వం

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) అని నిరూపిద్దాం<1,7-(1/k+1)Û

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

తరువాతి స్పష్టంగా ఉంది, అందువలన

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత నిరూపించబడింది.

ముగింపు

ముఖ్యంగా, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, నేను ఈ గణితంలో నా జ్ఞానాన్ని పెంచుకున్నాను మరియు గతంలో నా శక్తికి మించిన సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాను.

ఇవి ప్రధానంగా తార్కిక మరియు వినోదాత్మక పనులు, అనగా. కేవలం గణితశాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రంగా ఆసక్తిని పెంచేవి. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం వినోదాత్మక కార్యకలాపంగా మారుతుంది మరియు మరింత ఆసక్తిగల వ్యక్తులను గణిత చిక్కుల్లోకి ఆకర్షిస్తుంది. నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఇది ఏదైనా శాస్త్రానికి ఆధారం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం కొనసాగిస్తూ, నేను గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవితంలోని సమస్యలను పరిష్కరించడంలో కూడా ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

గణితం:

ఉపన్యాసాలు, సమస్యలు, పరిష్కారాలు

పాఠ్య పుస్తకం / V.G. బోల్ట్యాన్స్కీ, Yu.V. సిడోరోవ్, M.I. షాబునిన్. పాట్‌పూరీ LLC 1996.

బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభాలు

పాఠ్య పుస్తకం / I.T. డెమిడోవ్, A.N. కోల్మోగోరోవ్, S.I. ష్వార్ట్స్‌బర్గ్, O.S. ఇవాషెవ్-ముసాటోవ్, B.E. వీట్జ్. "జ్ఞానోదయం" 1975.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, ఏదైనా సహజమైనదని నిరూపించండి nకింది సమానత్వం చెల్లుబాటు అవుతుంది:
ఎ) ;
బి) .

పరిష్కారం.

ఎ) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం. వద్ద సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటును ఊహిస్తూ n, ఎప్పుడు కూడా దాని చెల్లుబాటును చూపిద్దాం n+ 1. నిజానికి,

Q.E.D.

బి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు స్పష్టంగా ఉంది. వద్ద దాని చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ నుండి nఉండాలి

సమానత్వం 1 + 2 + ... + ఇవ్వబడింది n = n(n+ 1)/2, మేము పొందుతాము

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

అంటే ప్రకటన కూడా ఎప్పుడు నిజమే n + 1.

ఉదాహరణ 1.కింది సమానత్వాన్ని నిరూపించండి

ఎక్కడ nగురించి ఎన్.

పరిష్కారం.ఎ) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం 1=1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, కాబట్టి, పి(1) నిజం. ఈ సమానత్వం నిజమని, అంటే అది కలిగి ఉందని అనుకుందాం

. అని తనిఖీ చేయడం (నిరూపించడం) అవసరంపి(n+ 1), అంటే నిజం. నుండి (ఇండక్షన్ పరికల్పనను ఉపయోగించి)మేము అర్థం చేసుకున్నాము, పి(n+ 1) నిజమైన ప్రకటన.

అందువలన, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ప్రకారం, అసలు సమానత్వం ఏదైనా సహజంగా చెల్లుతుంది n.

గమనిక 2.ఈ ఉదాహరణను వేరే విధంగా పరిష్కరించవచ్చు. నిజానికి, మొత్తం 1 + 2 + 3 + ... + nమొదటి మొత్తం nమొదటి పదంతో అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు a 1 = 1 మరియు తేడా డి= 1. బాగా తెలిసిన సూత్రం ద్వారా , మాకు దొరికింది

బి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: 2 1 - 1 = 1 2 లేదా 1=1, అంటే, పి(1) నిజం. సమానత్వం అని అనుకుందాం

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 మరియు అది సంభవిస్తుందని నిరూపించండిపి(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 లేదా 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ఇండక్షన్ పరికల్పనను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

ఈ విధంగా, పి(n+ 1) నిజం మరియు అందువల్ల, అవసరమైన సమానత్వం నిరూపించబడింది.

గమనిక 3.ఈ ఉదాహరణను గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించకుండా (మునుపటి మాదిరిగానే) పరిష్కరించవచ్చు.

సి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం: 1=1. సమానత్వం నిజమని అనుకుందాం

మరియు దానిని చూపించు అంటే సత్యంపి(n) సత్యాన్ని సూచిస్తుందిపి(n+ 1). నిజంగా,మరియు, 2 నుండి n 2 + 7 n + 6 = (2 n + 3)(n+ 2), మేము పొందుతాము మరియు, అందువల్ల, అసలు సమానత్వం ఏదైనా సహజమైనదానికి చెల్లుతుందిn.

డి) ఎప్పుడు n= 1 సమానత్వం నిజం: 1=1. అది జరుగుతుందని అనుకుందాం

మరియు మేము దానిని నిరూపిస్తాము

నిజంగా,

ఇ) ఆమోదం పి(1) నిజం: 2=2. సమానత్వం అని అనుకుందాం

నిజం, మరియు అది సమానత్వాన్ని సూచిస్తుందని మేము నిరూపిస్తామునిజంగా,

పర్యవసానంగా, అసలు సమానత్వం ఏదైనా సహజంగా ఉంటుంది n.

f) పి(1) నిజం: 1/3 = 1/3. సమానత్వం ఉండనివ్వండి పి(n):

. చివరి సమానత్వం క్రింది వాటిని సూచిస్తుందని చూపిద్దాం:

వాస్తవానికి, దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే పి(n) కలిగి ఉంది, మేము పొందుతాము

కాబట్టి, సమానత్వం నిరూపించబడింది.

g) ఎప్పుడు n= 1 మా వద్ద ఉంది a + బి = బి + aఅందువలన సమానత్వం న్యాయమైనది.

న్యూటన్ యొక్క ద్విపద ఫార్ములా చెల్లుబాటవుతుంది n = కె, అంటే,

అప్పుడు సమానత్వాన్ని ఉపయోగించడంమాకు దొరికింది

ఉదాహరణ 2.అసమానతలను నిరూపించండి

ఎ) బెర్నౌలీ అసమానత: (1 + ఎ) n ≥ 1 + n a , a > -1, nగురించి ఎన్.

బి) x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n, ఉంటే x 1 x 2 · ... · x n= 1 మరియు x i > 0, .

c) అంకగణిత సగటు మరియు రేఖాగణిత సగటుకు సంబంధించి కౌచీ అసమానత ఎక్కడ x i > 0, , n ≥ 2.

డి) పాపం 2 n a + cos 2 n a ≤ 1, nగురించి ఎన్.

ఇ)

f) 2 n > n 3 , nగురించి ఎన్, n ≥ 10.

పరిష్కారం.ఎ) ఎప్పుడు n= 1 మేము నిజమైన అసమానతను పొందుతాము

1 + a ≥ 1 + a . అసమానత ఉందని అనుకుందాం

(1 + ఎ) n ≥ 1 + n a

(1)

మరియు అది జరుగుతుందని మేము చూపుతాము మరియు(1 + ఎ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) ఎ .

నిజానికి, ఒక > -1 అనేది + 1 > 0ని సూచిస్తుంది కాబట్టి, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (1)ని (a + 1) గుణిస్తే, మేము పొందుతాము

(1 + ఎ) n(1 + ఎ) ≥ (1 + n a )(1 + a ) లేదా (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) a + n a 2 నుండి nఒక 2 ≥ 0, కాబట్టి(1 + ఎ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1) a + n a 2 ≥ 1 + ( n+ 1) ఎ .

అందువలన, ఉంటే పి(n) నిజమే, అప్పుడు పి(n+ 1) నిజం, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ప్రకారం, బెర్నౌలీ అసమానత నిజం.

బి) ఎప్పుడు n= 1 మనకు లభిస్తుంది x 1 = 1 మరియు అందువలన x 1 ≥ 1 అంటే పి(1) న్యాయమైన ప్రకటన. అలా నటిద్దాం పి(n) నిజం, అంటే అదికా అయితే, x 1 ,x 2 ,...,x n - nధనాత్మక సంఖ్యలు దీని ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం, x 1 x 2 ·...· x n= 1, మరియు x 1 + x 2 + ... + x n ≥ n.

ఈ వాక్యం కిందివాటిలో సత్యాన్ని కలిగి ఉందని చూపిద్దాం: అయితే x 1 ,x 2 ,...,x n ,x n+1 - (n+ 1) సానుకూల సంఖ్యలు x 1 x 2 ·...· x n · x n+1 = 1, అప్పుడు x 1 + x 2 + ... + x n + x n + 1 ≥n + 1.

కింది రెండు సందర్భాలను పరిగణించండి:

1) x 1 = x 2 = ... = x n = x n+1 = 1. అప్పుడు ఈ సంఖ్యల మొత్తం ( n+ 1), మరియు అవసరమైన అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది;

2) కనీసం ఒక సంఖ్య ఒకదానికి భిన్నంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, నుండి x 1 x 2 · ... · x n · x n+ 1 = 1, ఒకటి కంటే కనీసం మరో సంఖ్య భిన్నంగా ఉంటుంది (మరింత ఖచ్చితంగా, ఒకటి కంటే తక్కువ). వీలు x n+ 1 > 1 మరియు x n < 1. Рассмотрим nసానుకూల సంఖ్యలు

x 1 ,x 2 ,...,x n-1 ,(x n · x n+1). ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం, మరియు పరికల్పన ప్రకారం, x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n + 1 ≥ n. చివరి అసమానత క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయబడింది: x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n x n+1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 లేదా x 1 + x 2 + ... + x n-1 + x n + x n+1 ≥ n + x n + x n+1 - x n x n+1 .

ఎందుకంటే

(1 - x n)(x n+1 - 1) > 0, ఆపై n + x n + x n+1 - x n x n+1 = n + 1 + x n+1 (1 - x n) - 1 + x n =
= n + 1 + x n+1 (1 - x n) - (1 - x n) = n + 1 + (1 - x n)(x n+1 - 1) ≥ n+ 1. కాబట్టి, x 1 + x 2 + ... + x n + x n+1 ≥ n+1, అంటే, ఉంటే పి(n) నిజమే, అప్పుడుపి(n+ 1) న్యాయమైన. అసమానత నిరూపించబడింది.

గమనిక 4.సమాన సంకేతం ఉంటే మరియు ఉంటే మాత్రమే ఉంటుంది x 1 = x 2 = ... = x n = 1.

సి) లెట్ x 1 ,x 2 ,...,x n- ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్యలు. కింది వాటిని పరిగణించండి nసానుకూల సంఖ్యలు:

వారి ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం కాబట్టి: గతంలో నిరూపితమైన అసమానత బి) ప్రకారం, అది అనుసరిస్తుందిఎక్కడ

గమనిక 5.సమానత్వం ఉంటే మరియు మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది x 1 = x 2 = ... = x n .

d) పి(1) అనేది న్యాయమైన ప్రకటన: sin 2 a + cos 2 a = 1. మనం దానిని అనుకుందాం పి(n) నిజమైన ప్రకటన:

పాపం 2 n a + cos 2 n a ≤ 1 మరియు ఏమి జరుగుతుందో చూపించుపి(n+ 1). నిజంగా,పాపం 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = పాపం 2 n a sin 2 a + cos 2 n a cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (పాపం 2 a ≤ 1 అయితే, cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 ఎ ≤ 1, ఆపై పాపం 2 ఎ < 1). Таким образом, для любого nగురించి ఎన్పాపం 2 n a + cos 2 n ≤ 1 మరియు సమానత్వ చిహ్నం ఎప్పుడు మాత్రమే సాధించబడుతుందిn = 1.

ఇ) ఎప్పుడు n= 1 ప్రకటన నిజం: 1< 3 / 2 .

అని అనుకుందాం మరియు మేము దానిని నిరూపిస్తాము

ఎందుకంటే
పరిశీలిస్తున్నారు పి(n), మాకు దొరికింది

f) రిమార్క్ 1ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, తనిఖీ చేద్దాం పి(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, అందుకోసం n= 10 ప్రకటన నిజం. 2 అని అనుకుందాం n > n 3 (n> 10) మరియు నిరూపించండి పి(n+ 1), అంటే 2 n+1 > (n + 1) 3 .

ఎప్పట్నుంచి n> 10 మేము కలిగి లేదా , దానిని అనుసరిస్తుంది

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 లేదా n 3 > 3n 2 + 3n + 1. అసమానత కారణంగా (2 n > n 3), మనకు 2 వస్తుంది n+1 = 2 n·2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

అందువలన, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ప్రకారం, ఏ సహజ కోసం nగురించి ఎన్, n≥ 10 మనకు 2 ఉంది n > n 3 .

ఉదాహరణ 3.ఎవరికైనా అని నిరూపించండి nగురించి ఎన్

పరిష్కారం. a) పి(1) నిజమైన స్టేట్‌మెంట్ (0ని 6తో విభజించారు). వీలు పి(n) న్యాయమైనది, అంటే n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అప్పుడు అది సంభవిస్తుందని చూపిద్దాం పి(n+ 1), అంటే, ( n + 1)n(2n+ 1) 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. నిజానికి, నుండి

మరి ఎలా n(n - 1)(2 n- 1), మరియు 6 n 2 6 ద్వారా భాగించబడతాయి, అప్పుడు వాటి మొత్తంn(n + 1)(2 n+ 1) 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

ఈ విధంగా, పి(n+ 1) న్యాయమైన ప్రకటన, అందువలన n(2n 2 - 3n+ 1) దేనికైనా 6తో భాగించవచ్చు nగురించి ఎన్.

బి) తనిఖీ చేద్దాం పి(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, కాబట్టి, పి(1) న్యాయమైన ప్రకటన. 6 2 అయితే అని నిరూపించాలి n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 11 ద్వారా విభజించబడింది ( పి(n)), ఆపై 6 2 n + 3 n+2 + 3 n 11 ద్వారా కూడా భాగించబడుతుంది ( పి(n+ 1)). నిజానికి, నుండి

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 మరియు 6 2 వంటివి n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 మరియు 33 6 2 n-2 వాటిని 11తో భాగించవచ్చు, అప్పుడు వాటి మొత్తం 6 2n + 3 n+2 + 3 n 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది. ప్రకటన నిరూపించబడింది. జ్యామితిలో ఇండక్షన్

ఉదాహరణ 4.సరైన 2 వైపును లెక్కించండి nవ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంలో చెక్కబడిన త్రిభుజం ఆర్.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

రష్యన్ భాషలో ఇండక్షన్ అనే పదానికి మార్గదర్శకం అని అర్థం, మరియు పరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా తీర్మానాలు, అనగా ప్రేరక అని పిలుస్తారు. నిర్దిష్ట నుండి సాధారణ వరకు అనుమితి ద్వారా పొందబడింది.

ఉదాహరణకు, సూర్యుడు తూర్పు నుండి ఉదయించడాన్ని మనం ప్రతిరోజూ గమనిస్తాము. అందువల్ల, రేపు అది పశ్చిమాన కాకుండా తూర్పున కనిపిస్తుందని మీరు అనుకోవచ్చు. ఆకాశం అంతటా సూర్యుని కదలికకు కారణం గురించి ఎటువంటి ఊహలను ఆశ్రయించకుండా మేము ఈ తీర్మానాన్ని చేస్తాము (అంతేకాకుండా, భూగోళం వాస్తవానికి కదులుతున్నందున ఈ కదలిక స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది). ఇంకా ఈ ప్రేరక ముగింపు మనం రేపు చేసే పరిశీలనలను సరిగ్గా వివరిస్తుంది.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ న్యూటన్ యొక్క మూడు చలన నియమాలపై ఆధారపడి ఉన్నప్పటికీ, ఈ చట్టాలు ప్రయోగాత్మక డేటా ద్వారా లోతైన ఆలోచనల ఫలితంగా ఉన్నాయి, ప్రత్యేకించి కెప్లర్ యొక్క గ్రహ చలన నియమాలు, అతను డానిష్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త టైకోచే అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనల ప్రాసెసింగ్ నుండి తీసుకోబడింది. బ్రహే. పరిశీలన మరియు ఇండక్షన్ చేసిన ఊహలను స్పష్టం చేయడానికి భవిష్యత్తులో ఉపయోగపడతాయి. కదిలే మాధ్యమంలో కాంతి వేగాన్ని కొలవడానికి మిచెల్సన్ చేసిన ప్రయోగాల తర్వాత, భౌతిక శాస్త్ర నియమాలను స్పష్టం చేయడం మరియు సాపేక్షత సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం అవసరం అని తేలింది.

గణితశాస్త్రంలో, ఇండక్షన్ పాత్ర ఎక్కువగా అది ఎంచుకున్న యాక్సియోమాటిక్స్‌లో ఉంటుంది. దీర్ఘకాల అభ్యాసం వక్ర లేదా విరిగిన మార్గం కంటే సరళమైన మార్గం ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుందని చూపించిన తర్వాత, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం సహజం: ఏదైనా మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C, అసమానత

కింది భావన, ఇది అంకగణితానికి ఆధారం, సైనికులు, నౌకలు మరియు ఇతర ఆర్డర్ సెట్ల ఏర్పాటు యొక్క పరిశీలనల నుండి కూడా కనిపించింది.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఇది గణితంలో ఇండక్షన్ పాత్రను నిర్వీర్యం చేస్తుందని భావించకూడదు. వాస్తవానికి, సిద్ధాంతాల నుండి తార్కికంగా తీసివేయబడిన సిద్ధాంతాలను మనం ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించకూడదు: ఉత్పన్నం సమయంలో ఎటువంటి తార్కిక లోపాలు జరగకపోతే, మేము అంగీకరించిన సిద్ధాంతాలు నిజం అయినంత వరకు అవి నిజమైనవి. కానీ ఈ సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ నుండి చాలా ప్రకటనలను తీసివేయవచ్చు. మరియు నిరూపించబడవలసిన ఆ ప్రకటనల ఎంపిక మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది పనికిరాని వాటి నుండి ఉపయోగకరమైన సిద్ధాంతాలను వేరు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఏ సిద్ధాంతాలు నిజం కావచ్చో సూచిస్తుంది మరియు రుజువు యొక్క మార్గాన్ని వివరించడానికి కూడా సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క సారాంశం

అంకగణితం, బీజగణితం, జ్యామితి మరియు విశ్లేషణ యొక్క అనేక శాఖలలో, సహజ వేరియబుల్ ఆధారంగా వాక్యాల A(n) యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడం అవసరం. వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) యొక్క సత్యం యొక్క రుజువు తరచుగా గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది, ఇది క్రింది సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కింది రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు ప్రతిపాదన A(n) నిజమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది:

ప్రతిపాదన A(n) n=1కి నిజం.

n=k (ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య)కి A(n) సరైనది అనే ఊహ నుండి, అది తదుపరి విలువ n=k+1కి సరైనదని అనుసరిస్తుంది.

ఈ సూత్రాన్ని గణిత ప్రేరణ సూత్రం అంటారు. ఇది సాధారణంగా సంఖ్యల సహజ శ్రేణిని నిర్వచించే సిద్ధాంతాలలో ఒకటిగా ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు అందువల్ల రుజువు లేకుండా ఆమోదించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అంటే క్రింది రుజువు పద్ధతి. మీరు అన్ని సహజ n కోసం A(n) వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని రుజువు చేయాలనుకుంటే, ముందుగా, మీరు A(1) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని తనిఖీ చేయాలి మరియు రెండవది, A(k) స్టేట్‌మెంట్ యొక్క సత్యాన్ని ఊహిస్తూ ఉండాలి. ప్రకటన A(k +1) నిజమని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించండి. ఇది నిరూపించగలిగితే మరియు k యొక్క ప్రతి సహజ విలువకు రుజువు చెల్లుబాటు అయ్యేలా ఉంటే, గణిత ప్రేరణ సూత్రానికి అనుగుణంగా, A(n) ప్రతిపాదన n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజమైనదిగా గుర్తించబడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి సిద్ధాంతాలు, గుర్తింపులు, అసమానతలను నిరూపించడంలో, విభజన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, కొన్ని రేఖాగణిత మరియు అనేక ఇతర సమస్యలను పరిష్కరించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

సమస్యలను పరిష్కరించడంలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

విభజన

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మీరు సహజ సంఖ్యల విభజనకు సంబంధించి వివిధ ప్రకటనలను నిరూపించవచ్చు.

కింది ప్రకటన సాపేక్షంగా సరళంగా నిరూపించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఇది ఎలా పొందబడుతుందో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 1. n అనేది సహజ సంఖ్య అయితే, ఆ సంఖ్య సరి.

n=1 మన ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు: - సరి సంఖ్య. అది సరిసంఖ్య అని అనుకుందాం. కాబట్టి, 2k అనేది సరి సంఖ్య కూడా. కాబట్టి, n=1 కోసం సమానత్వం నిరూపించబడింది, సమానత్వం నుండి సమానత్వం తీసివేయబడుతుంది .ఇది n యొక్క అన్ని సహజ విలువలకు కూడా అని అర్థం.

ఉదాహరణ 2.వాక్యం యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించండి

A(n)=(సంఖ్య 5 అనేది 19 యొక్క గుణకం), n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

ప్రకటన A(1)=(19చే భాగించబడే సంఖ్య) నిజం.

కొంత విలువ n=k అని అనుకుందాం

A(k)=(సంఖ్య 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది) నిజం. అప్పుడు, నుండి

సహజంగానే, A(k+1) కూడా నిజం. నిజానికి, A(k) నిజం అనే ఊహ కారణంగా మొదటి పదం 19తో భాగించబడుతుంది; రెండవ పదం కూడా 19 ద్వారా భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది 19 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండు షరతులు సంతృప్తి చెందాయి, కాబట్టి, ప్రతిపాదన A(n) n యొక్క అన్ని విలువలకు నిజం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

సంగ్రహించే సిరీస్

ఉదాహరణ 1.సూత్రాన్ని నిరూపించండి

, n అనేది సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=1 అయినప్పుడు, సమానత్వం యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికి మారుతాయి మరియు అందువల్ల, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క మొదటి షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది.

n=kకి ఫార్ములా సరైనదని అనుకుందాం, అనగా.

.

ఈ సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా జోడించి, కుడి వైపును మారుద్దాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఈ విధంగా, సూత్రం n=kకి నిజం అయినందున, ఇది n=k+1కి కూడా సరైనదని అనుసరిస్తుంది. ఈ ప్రకటన k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువకు వర్తిస్తుంది. కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం యొక్క రెండవ షరతు కూడా సంతృప్తి చెందింది. సూత్రం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 2.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

అవసరమైన మొత్తాన్ని సూచిస్తాము, అనగా. .

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన నిజం.

వీలు . అది చూపిద్దాం .

నిజానికి,

సమస్య పరిష్కారమైంది.

ఉదాహరణ 3.సహజ శ్రేణిలోని మొదటి n సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం సమానమని నిరూపించండి .

పరిష్కారం.

వీలు .

.

అలా నటిద్దాం . అప్పుడు

మరియు చివరకు.

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు .

పరిష్కారం.

ఉంటే, అప్పుడు

ఉదాహరణ 5.నిరూపించు

పరిష్కారం.

n=1 ఉన్నప్పుడు పరికల్పన స్పష్టంగా నిజం.

వీలు .

అని నిరూపిద్దాం.

నిజంగా,

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని వర్తించే ఉదాహరణలు

అసమానతలకు రుజువు

ఉదాహరణ 1.ఏదైనా సహజ సంఖ్య n>1 కోసం నిరూపించండి

.

పరిష్కారం.

అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుని ద్వారా సూచిస్తాము.

కాబట్టి, n=2కి అసమానత నిజం.

కొందరికి లెట్. అప్పుడు దానిని నిరూపిద్దాం మరియు. మన దగ్గర ఉంది , .

పోల్చడం మరియు , మేము కలిగి ఉన్నాము , అనగా .

ఏదైనా సానుకూల పూర్ణాంకం k కోసం, చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు సానుకూలంగా ఉంటుంది. అందుకే . కానీ అది కూడా అర్థం.

ఉదాహరణ 2.తార్కికంలో లోపాన్ని కనుగొనండి.

ప్రకటన. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు n అసమానత నిజం.

రుజువు.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని నిరూపిద్దాం, అనగా.

.

నిజానికి, ఏదైనా సహజ k కోసం 2 కంటే తక్కువ కాదు. అసమానత యొక్క ఎడమ వైపుకు (1) మరియు కుడి వైపున 2కి జోడిద్దాం. మేము న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము, లేదా . ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.నిరూపించు , ఇక్కడ >-1, , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 కోసం అసమానత నిజం, నుండి .

అసమానత n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (1)

అసమానత n=k+1కి కూడా చెల్లుబాటు అవుతుందని చూపిద్దాం, అనగా.

. (2)

నిజానికి, షరతు ప్రకారం, , కాబట్టి అసమానత నిజం

, (3)

ప్రతి భాగాన్ని గుణించడం ద్వారా అసమానత (1) నుండి పొందబడింది. అసమానత (3)ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాద్దాం: . చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సానుకూల పదాన్ని విస్మరిస్తే, మేము సరసమైన అసమానతను పొందుతాము (2).

ఉదాహరణ 4.నిరూపించు

(1)

ఇక్కడ , n అనేది 1 కంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్య.

పరిష్కారం.

n=2 అసమానత (1) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

. (2)

అప్పటి నుండి, అసమానత నిజం

. (3)

అసమానత (3) యొక్క ప్రతి భాగానికి జోడించడం ద్వారా మేము అసమానత (2) ను పొందుతాము.

ఇది n=2 అసమానత (1) నిజమని రుజువు చేస్తుంది.

అసమానత (1) n=k కోసం నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, ఇక్కడ k అనేది కొంత సహజ సంఖ్య, అనగా.

. (4)

అసమానత (1) n=k+1కి కూడా తప్పక నిజమని నిరూపిద్దాం, అనగా.

(5)

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (4) a+bతో గుణిద్దాం. షరతుల ప్రకారం, మేము ఈ క్రింది న్యాయమైన అసమానతను పొందుతాము:

. (6)

అసమానత (5) యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించడానికి, దానిని చూపించడానికి సరిపోతుంది

, (7)

లేదా, అదే ఏమిటి,

. (8)

అసమానత (8) అసమానతతో సమానం

. (9)

ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు సానుకూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున (9) మనకు రెండు ప్రతికూల సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉంటుంది. రెండు సందర్భాల్లో, అసమానత (9) నిజం.

n=k కోసం అసమానత (1) యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుందని ఇది రుజువు చేస్తుంది.

ఇతరులకు వర్తించే గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పనులు

జ్యామితిలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అత్యంత సహజమైన అప్లికేషన్, సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు బీజగణితంలో ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం దగ్గరగా, రేఖాగణిత గణన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దాని అప్లికేషన్. కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.R వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంలో వ్రాయబడిన సాధారణ చతురస్రం యొక్క ప్రక్కను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

n=2 సరిగ్గా ఉన్నప్పుడు 2 n - ఒక చతురస్రం ఒక చతురస్రం; అతని వైపు. ఇంకా, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

సాధారణ అష్టభుజి వైపు అని మేము కనుగొన్నాము , సాధారణ షడ్భుజి వైపు , సాధారణ ముప్పై రెండు త్రిభుజం వైపు . కాబట్టి మనం సరైన లిఖించిన వైపు 2 అని భావించవచ్చు n - ఏదైనా సమానం కోసం చతురస్రం

. (1)

సాధారణ లిఖిత చతురస్రం యొక్క వైపు ఫార్ములా (1) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, రెట్టింపు సూత్రం ప్రకారం

,

ఆ ఫార్ములా (1) అన్ని n కోసం చెల్లుబాటు అయ్యేది.

ఉదాహరణ 2.ఒక n-gon (తప్పనిసరిగా కుంభాకారం కాదు) దాని అసమ్మతి కర్ణాల ద్వారా ఎన్ని త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు?

పరిష్కారం.

ఒక త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది (త్రిభుజంలో ఒక్క వికర్ణం కూడా డ్రా చేయబడదు); చతుర్భుజం కోసం ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా రెండు.

ప్రతి k-gon, ఎక్కడ k అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు అని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n త్రిభుజాలలోకి.

ఒక ఎన్

ఎ 1 ఎ 2

A 1 A k ఈ విభజన యొక్క వికర్ణాలలో ఒకటిగా ఉండనివ్వండి; ఇది n-gon A 1 A 2 ...A n ను k-gon A 1 A 2 ...A k మరియు (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 ..గా విభజిస్తుంది. .ఎ ఎన్ . చేసిన ఊహ కారణంగా, విభజనలోని మొత్తం త్రిభుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

అందువలన, మా ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 3.ఒక కుంభాకార n-gonను విడదీయబడిన వికర్ణాల ద్వారా త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్య P(n)ని గణించే నియమాన్ని పేర్కొనండి.

పరిష్కారం.

త్రిభుజం కోసం, ఈ సంఖ్య స్పష్టంగా ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది: P(3)=1.

మేము ఇప్పటికే అన్ని k కోసం P(k) సంఖ్యలను నిర్ణయించామని అనుకుందాం 1 A 2 ...A n . ఇది త్రిభుజాలుగా విభజించబడినప్పుడల్లా, వైపు A 1 ఎ 2 విభజన త్రిభుజాలలో ఒకదాని వైపు ఉంటుంది, ఈ త్రిభుజం యొక్క మూడవ శీర్షం A బిందువులలో ప్రతి ఒక్కటితో సమానంగా ఉంటుంది 3, A 4, …, A n . ఈ శీర్షం పాయింట్ Aతో కలిసే n-gonని విభజించే మార్గాల సంఖ్య 3 , (n-1)-gon Aని త్రిభుజాలుగా విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 3 A 4 …A n , అనగా P(n-1)కి సమానం. ఈ శీర్షం Aతో కలిసే విభజన పద్ధతుల సంఖ్య 4 , (n-2)-gon Aని విభజించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం 1 A 4 A 5 …A n , అనగా సమానం P(n-2)=P(n-2)P(3); విభజన పద్ధతుల సంఖ్య Aతో సమానంగా ఉంటుంది 5 , P(n-3)P(4)కి సమానం, ఎందుకంటే (n-3)-gon A యొక్క ప్రతి విభజన 1 A 5 ...A n చతుర్భుజం A యొక్క ప్రతి విభజనతో కలపవచ్చు 2 ఎ 3 ఎ 4 ఎ 5 , మొదలైనవి కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది సంబంధానికి చేరుకుంటాము:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మేము స్థిరంగా పొందుతాము:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

మొదలైనవి

మీరు గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌లతో సమస్యలను కూడా పరిష్కరించవచ్చు.

విమానంలో కొన్ని పాయింట్లను కనెక్ట్ చేసే లైన్ల నెట్‌వర్క్ ఉండనివ్వండి మరియు ఇతర పాయింట్లు లేవు. అటువంటి పంక్తుల నెట్‌వర్క్‌ను మేము మ్యాప్ అని పిలుస్తాము, దాని శీర్షాలుగా ఇచ్చిన పాయింట్లు, రెండు ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాల మధ్య వంపుల విభాగాలు - మ్యాప్ యొక్క సరిహద్దులు, సరిహద్దుల ద్వారా విభజించబడిన విమానం యొక్క భాగాలు - మ్యాప్‌లోని దేశాలు.

విమానంలో కొంత మ్యాప్ ఇవ్వనివ్వండి. దానిలోని ప్రతి దేశం ఒక నిర్దిష్ట రంగుతో పెయింట్ చేయబడితే అది సరిగ్గా రంగులో ఉందని మేము చెబుతాము మరియు ఉమ్మడి సరిహద్దు ఉన్న ఏవైనా రెండు దేశాలు వేర్వేరు రంగులతో పెయింట్ చేయబడతాయి.

ఉదాహరణ 4.విమానంలో n సర్కిల్‌లు ఉన్నాయి. ఈ సర్కిల్‌ల యొక్క ఏదైనా అమరిక కోసం, అవి రూపొందించే మ్యాప్‌ను రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగు వేయవచ్చని నిరూపించండి.

పరిష్కారం.

n=1 కోసం మా ప్రకటన స్పష్టంగా ఉంది.

n సర్కిల్‌ల ద్వారా ఏర్పడిన ఏదైనా మ్యాప్‌కు మన ప్రకటన సరైనదని అనుకుందాం మరియు విమానంలో n+1 సర్కిల్‌లు ఉండనివ్వండి. ఈ సర్కిల్‌లలో ఒకదానిని తీసివేయడం ద్వారా, మేము ఊహించిన కారణంగా, రెండు రంగులతో సరిగ్గా రంగులు వేయగల మ్యాప్‌ను పొందుతాము, ఉదాహరణకు, నలుపు మరియు తెలుపు.

గణిత శాస్త్ర ప్రూఫ్ యొక్క అత్యంత సాధారణ పద్ధతుల్లో గణిత ప్రేరణ అనేది ఒక ఆధారం. దాని సహాయంతో, మీరు సహజ సంఖ్యలు n తో చాలా సూత్రాలను నిరూపించవచ్చు, ఉదాహరణకు, పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనే సూత్రం S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n, న్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రం a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .

మొదటి పేరాలో, మేము ప్రాథమిక భావనలను విశ్లేషిస్తాము, ఆపై పద్ధతి యొక్క ప్రాథమికాలను పరిశీలిస్తాము, ఆపై సమానత్వం మరియు అసమానతలను నిరూపించడానికి దాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో మీకు తెలియజేస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ఇండక్షన్ మరియు తగ్గింపు యొక్క భావనలు

ముందుగా, ఇండక్షన్ మరియు డిడక్షన్ సాధారణంగా ఏమిటో చూద్దాం.

నిర్వచనం 1

ఇండక్షన్నిర్దిష్ట నుండి సాధారణమైన పరివర్తన, మరియు తగ్గింపువిరుద్దంగా - సాధారణ నుండి నిర్దిష్ట వరకు.

ఉదాహరణకు, మనకు ఒక ప్రకటన ఉంది: 254ని రెండుగా విభజించవచ్చు. దాని నుండి మనం నిజమైన మరియు అబద్ధంతో సహా అనేక తీర్మానాలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 4తో ముగిసే పూర్ణాంకాలన్నింటినీ శేషం లేకుండా రెండుతో భాగించవచ్చు అనే ప్రకటన నిజం, అయితే ఏదైనా మూడు అంకెల సంఖ్య 2తో భాగించబడుతుందనే ప్రకటన తప్పు.

సాధారణంగా, ప్రేరక తార్కికం సహాయంతో, తెలిసిన లేదా స్పష్టమైన తార్కికం నుండి అనేక ముగింపులు తీసుకోవచ్చని చెప్పవచ్చు. ఈ తీర్మానాలు ఎంతవరకు చెల్లుబాటు అవుతాయో గుర్తించడానికి గణిత ప్రేరణ మాకు అనుమతిస్తుంది.

మనకు 1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, వంటి సంఖ్యల శ్రేణి ఉందని అనుకుందాం. . . , 1 n (n + 1), ఇక్కడ n కొంత సహజ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి మూలకాలను జోడించినప్పుడు, మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము:

S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5 , . . .

ఇండక్షన్ ఉపయోగించి, మేము S n = n n + 1 అని నిర్ధారించవచ్చు. మూడవ భాగంలో మేము ఈ సూత్రాన్ని నిరూపిస్తాము.

గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి ఏమిటి?

ఈ పద్ధతి అదే పేరు యొక్క సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఇలా రూపొందించబడింది:

నిర్వచనం 2

1) n = 1 మరియు 2 లకు ఈ వ్యక్తీకరణ చెల్లుబాటు అయ్యే వాస్తవం నుండి సహజ విలువ n కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటన నిజం అవుతుంది n = k + 1.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ 3 దశల్లో నిర్వహించబడుతుంది:

1. మొదట, మేము n యొక్క ఏకపక్ష సహజ విలువ విషయంలో అసలు ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేస్తాము (సాధారణంగా ఐక్యత కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది).
2. దీని తర్వాత మేము n = k ఉన్నప్పుడు చెల్లుబాటు కోసం తనిఖీ చేస్తాము.
3. ఆపై మేము n = k + 1 అయితే స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిస్తాము.

అసమానతలు మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఎలా ఉపయోగించాలి

మనం ఇంతకు ముందు మాట్లాడుకున్న ఉదాహరణ తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 1

S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + సూత్రాన్ని నిరూపించండి. . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

పరిష్కారం

మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి, మూడు వరుస చర్యలు తప్పనిసరిగా నిర్వహించాలి.

1. ముందుగా, ఈ సమానత్వం ఒకదానికి సమానమైన nకి చెల్లుబాటు అవుతుందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము. మనకు S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 వస్తుంది. ఇక్కడ ప్రతిదీ సరిగ్గా ఉంది.
2. తరువాత, S k = k k + 1 సూత్రం సరైనదని మేము ఊహిస్తాము.
3. మూడవ దశలో, మునుపటి సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు ఆధారంగా మేము S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 అని నిరూపించాలి.

మేము k + 1ని అసలైన సీక్వెన్స్ మరియు k + 1 యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తంగా సూచించవచ్చు:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

రెండవ చర్యలో మేము S k = k k + 1ని అందుకున్నాము కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని వ్రాయవచ్చు:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

ఇప్పుడు మేము అవసరమైన పరివర్తనలను చేస్తాము. మేము భిన్నాన్ని సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి, సారూప్య పదాలను తగ్గించాలి, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని వర్తింపజేయాలి మరియు మనకు లభించే వాటిని తగ్గించాలి:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

ఈ విధంగా, మేము గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క మూడు దశలను పూర్తి చేయడం ద్వారా మూడవ పాయింట్‌లో సమానత్వాన్ని నిరూపించాము.

సమాధానం: S n = n n + 1 సూత్రం గురించి ఊహ సరైనది.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్లతో మరింత క్లిష్టమైన సమస్యను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 2

2 α · cos 4 α · గుర్తింపుకు రుజువు ఇవ్వండి. . . · cos 2 n α = sin 2 n + 1 α 2 n పాపం 2 α .

పరిష్కారం

మనకు గుర్తున్నట్లుగా, n ఒకదానికి సమానమైనప్పుడు సమానత్వం యొక్క ప్రామాణికతను తనిఖీ చేయడం మొదటి దశ. తెలుసుకోవడానికి, మేము ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలను గుర్తుంచుకోవాలి.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

కాబట్టి, ఒకదానికి సమానమైన nకి, గుర్తింపు నిజం అవుతుంది.

ఇప్పుడు దాని చెల్లుబాటు n = kకి నిజం అని అనుకుందాం, అనగా. ఇది నిజం అవుతుంది cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α = sin 2 k + 1 α 2 k సిన్ 2 α .

మేము సమానత్వం cos 2 α · cos 4 α · నిరూపిస్తాము. . . · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α n = k + 1 అయినప్పుడు, మునుపటి ఊహను ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటుంది.

త్రికోణమితి సూత్రం ప్రకారం,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (పాపం (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 పాపం (2 2 k + 1 α) + పాపం 0 = 1 2 పాపం 2 k + 2 α

అందుకే,

cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · కాస్ 2 కె k + 2 α 2 k + 1 పాపం 2 α

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి గురించిన కథనంలో ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతను నిరూపించడానికి సమస్యను పరిష్కరించడానికి మేము ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చాము. ఉజ్జాయింపు గుణకాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలు ఉత్పన్నమైన పేరాను చదవండి.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి