సిస్టమ్ సిస్టమ్ యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కార నిర్ణయాధికారిని కలిగి ఉంది. సరళ సమీకరణాల నిర్ణాయకాలు మరియు వ్యవస్థలు

రెండవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్

మరియు నియమం ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది

సంఖ్యలు అంటారు నిర్ణయాత్మక అంశాలు (మొదటి సూచిక పంక్తి సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు రెండవది
ఈ మూలకం ఉన్న ఖండన వద్ద నిలువు వరుస సంఖ్య); మూలకాల ద్వారా ఏర్పడిన వికర్ణం
,
, అని పిలిచారు ప్రధాన , అంశాలు
,

వైపు .

థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ భావన కూడా అదే విధంగా పరిచయం చేయబడింది.

మూడవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ చిహ్నం ద్వారా సూచించబడే సంఖ్య

మరియు నియమం ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది

మూలకాలచే ఏర్పడిన వికర్ణం
,
,
, అని పిలిచారు ప్రధాన , అంశాలు
,
,

వైపు .

సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న ఉత్పత్తులను గుర్తుంచుకోవడానికి (1) "" గుర్తుతో తీసుకోబడింది
", మరియు కొన్ని గుర్తుతో"
", కింది "త్రిభుజాల నియమం"ని ఉపయోగించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

మీరు 4వ, 5వ, మొదలైన ఆర్డర్‌ల నిర్ణాయక భావనను పరిచయం చేయవచ్చు.

మైనర్
నిర్ణీత మూలకం యొక్క నిర్దిష్ట మూలకం అనేది ఈ మూలకం ఉన్న ఖండన వద్ద అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసలను తొలగించడం ద్వారా ఇచ్చిన మూలకం నుండి ఏర్పడిన నిర్ణాయకం.

బీజగణితం పూరక డిటర్మినెంట్ యొక్క కొన్ని మూలకం యొక్క మైనర్ మూలకం ద్వారా గుణించబడుతుంది
, ఎక్కడ
వరుస సంఖ్య,
ఈ మూలకం ఉన్న ఖండన వద్ద నిలువు వరుస సంఖ్య:

నిర్ణయాధికారుల లక్షణాలు.

దాని అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను మార్చుకుంటే డిటర్మినెంట్ విలువ మారదు.

ప్రశ్నలోని ఆపరేషన్‌ను ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అంటారు. ఆస్తి 1

నిర్ణాయకం యొక్క అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సమానత్వాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

టాస్క్ 1.నిర్ణాయకాలను లెక్కించండి:

1) 2)3)4).

టాస్క్ 2.డిటర్మినేట్‌లను మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలుగా విడదీయడం ద్వారా వాటిని లెక్కించండి:

1)
2)

టాస్క్ 3.కనుగొనండి సమీకరణాల నుండి:

1)
2)

1.2 నిర్ణాయకాలను ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం. క్రామెర్ సూత్రాలు

నేను) రెండు సరళ వ్యవస్థ సజాతీయ సమీకరణాలుఇద్దరు తెలియని వారితో

సూచిస్తాం

వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి;

,
సహాయక అర్హతలు.

a) వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి అయితే

,
. (1)

బి) వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి అయితే
, అప్పుడు క్రింది కేసులు సాధ్యమే:

1)
(సమీకరణాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి), అప్పుడు సిస్టమ్ ఒక సమీకరణాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు,
మరియు అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది (అనిశ్చిత వ్యవస్థ). దాన్ని పరిష్కరించడానికి, ఒక వేరియబుల్‌ను మరొక పరంగా వ్యక్తీకరించడం అవసరం, దీని విలువ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది;

2) కనీసం ఒక డిటర్మినేంట్ అయితే
సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేవు (అస్థిరమైన వ్యవస్థ).

II) మూడు వేరియబుల్స్‌తో రెండు సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ

(2)

సరళ సమీకరణం అంటారు సజాతీయమైన , ఈ సమీకరణం యొక్క ఉచిత పదం అయితే సున్నాకి సమానం.

మరియు ఉంటే
, అప్పుడు సిస్టమ్ (2) ఒక సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, మొదటిది), దాని నుండి తెలియని ఒకటి రెండు ఇతరుల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, వాటి విలువలు ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడతాయి.

బి) షరతు ఉంటే
సంతృప్తి చెందలేదు, ఆపై సిస్టమ్ (2) పరిష్కరించడానికి మేము ఒక వేరియబుల్‌ను కుడి వైపుకు తరలించి, క్రామెర్ సూత్రాలను (1) ఉపయోగించి రెండు సరళ అసమాన సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము.

III) మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ అసమాన సమీకరణాల వ్యవస్థ:

ప్రధాన నిర్ణాయకాన్ని కంపోజ్ చేసి గణిద్దాం మరియు సహాయక అర్హతలు ,.

మరియు ఉంటే
, అప్పుడు సిస్టమ్ ఉంది మాత్రమే నిర్ణయం, ఇది క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి కనుగొనబడింది:

,
,
(3)

బి) ఉంటే
, అప్పుడు క్రింది కేసులు సాధ్యమే:

1)
, అప్పుడు సిస్టమ్ అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, అది ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాలతో కూడిన సిస్టమ్‌కి తగ్గించబడుతుంది (మనం తెలియని ఒకదాన్ని కుడివైపుకి తరలించి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము);

2) నిర్ణాయకాల్లో కనీసం ఒకటి
సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేదు.

IV) మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ:

ఈ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ అనుకూలంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది ఉంది సున్నా పరిష్కారం.

a) వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి అయితే
, అప్పుడు అది ప్రత్యేకమైన సున్నా పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

బి) ఉంటే
, అప్పుడు సిస్టమ్ రెండు సమీకరణాలకు (మూడవది వాటి పర్యవసానంగా) లేదా ఒక సమీకరణానికి (మిగతా రెండు దాని పర్యవసానాలు) మరియు అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది (విభాగం II చూడండి).

టాస్క్ 4.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం.సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారిని గణిద్దాం

ఎందుకంటే
, అప్పుడు సిస్టమ్ ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. క్రామెర్ సూత్రాలను (3) ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము సహాయక నిర్ణయాధికారులను లెక్కిస్తాము:

,
,

టాస్క్ 5.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం.సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేట్‌ను గణిద్దాం:

పర్యవసానంగా, సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన అనేక సున్నా కాని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. మేము మొదటి రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము (మూడవ సమీకరణం వాటి పరిణామం):

వేరియబుల్‌ని తరలిద్దాం సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున:

ఇక్కడ నుండి, సూత్రాలను ఉపయోగించి (1) మేము పొందుతాము

,
.

స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు

టాస్క్ 6.సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణాయకాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించండి:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)

1.1 రెండు వ్యవస్థలు సరళ సమీకరణాలుమరియు రెండవ ఆర్డర్ నిర్ణాయకాలు

రెండు తెలియని వాటితో రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

అసమానత తెలియని వారితో మరియు రెండు సూచికలను కలిగి ఉంటాయి: మొదటిది సమీకరణ సంఖ్యను సూచిస్తుంది, రెండవది - వేరియబుల్ సంఖ్య.

క్రామెర్ నియమం: వ్యవస్థకు పరిష్కారం సహాయక నిర్ణాయకాలను విభజించడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది ప్రధాన నిర్ణయాధికారివ్యవస్థలు

గమనిక 1.సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారి అయితే క్రామెర్ నియమాన్ని ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుంది సున్నాకి సమానం కాదు.

గమనిక 2.క్రామెర్ యొక్క సూత్రాలు ఉన్నత క్రమ వ్యవస్థలకు సాధారణీకరించబడ్డాయి.

ఉదాహరణ 1.వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:
.

పరిష్కారం.

;
;

;

పరీక్ష:

ముగింపు:సిస్టమ్ సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది:
.

1.2 మూడు సరళ సమీకరణాలు మరియు థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినేంట్‌ల వ్యవస్థలు

మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

తెలియని వ్యక్తుల కోసం కోఎఫీషియంట్స్‌తో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్ అంటారు సిస్టమ్ డిటర్మినెంట్ లేదా మెయిన్ డిటర్మినెంట్:

ఉంటే
అప్పుడు సిస్టమ్ ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది, ఇది క్రామెర్ సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

నిర్ణాయకాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి
- సహాయక అని పిలుస్తారు మరియు నిర్ణాయకం నుండి పొందబడతాయి సిస్టమ్ యొక్క ఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌తో దాని మొదటి, రెండవ లేదా మూడవ నిలువు వరుసను భర్తీ చేయడం ద్వారా.

ఉదాహరణ 2.వ్యవస్థను పరిష్కరించండి
.

ప్రధాన మరియు సహాయక నిర్ణయాధికారులను రూపొందిద్దాం:

మూడవ-ఆర్డర్ డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించడానికి నియమాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది. వాటిలో మూడు ఉన్నాయి: నిలువు వరుసలను జోడించే నియమం, సర్రస్ నియమం, కుళ్ళిపోయే నియమం.

ఎ) మొదటి రెండు నిలువు వరుసలను ప్రధాన నిర్ణాయకానికి జోడించే నియమం:

గణన నిర్వహిస్తారు క్రింది విధంగా: ప్రధాన వికర్ణం యొక్క మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తులు మరియు దానికి సమాంతరంగా వాటి గుర్తుతో వెళతాయి, వ్యతిరేక సంకేతంతో అవి ద్వితీయ వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తులను మరియు దానికి సమాంతరంగా తీసుకుంటాయి.

బి) సర్రస్ నియమం:

వాటి గుర్తుతో, ప్రధాన వికర్ణం యొక్క మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తులను మరియు దానికి సమాంతరంగా తీసుకోండి మరియు తప్పిపోయిన మూడవ మూలకం నుండి తీసుకోబడింది ఎదురుగా మూలలో. వ్యతిరేక సంకేతంతో, ద్వితీయ వికర్ణం యొక్క మూలకాల ఉత్పత్తులను తీసుకోండి మరియు దానికి సమాంతరంగా, మూడవ మూలకం వ్యతిరేక మూలలో నుండి తీసుకోబడుతుంది.

c) అడ్డు వరుస లేదా నిలువు వరుస మూలకాల ద్వారా కుళ్ళిపోయే నియమం:

ఉంటే
, అప్పుడు.

బీజగణితం పూరకసంబంధిత అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసలను దాటడం ద్వారా మరియు గుర్తును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా పొందిన దిగువ ఆర్డర్ డిటర్మినేంట్
, ఎక్కడ - వరుస సంఖ్య, - నిలువు వరుస సంఖ్య.

ఉదాహరణకి,

,
,
మొదలైనవి

ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము సహాయక నిర్ణాయకాలను లెక్కిస్తాము మరియు , మొదటి వరుసలోని అంశాల ప్రకారం వాటిని విస్తరించడం.

అన్ని నిర్ణాయకాలను లెక్కించిన తరువాత, మేము క్రామెర్ నియమాన్ని ఉపయోగించి వేరియబుల్స్‌ను కనుగొంటాము:

పరీక్ష:

ముగింపు:సిస్టమ్ సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది: .

నిర్ణాయకాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

నిర్ణయాత్మకమైనది అని గుర్తుంచుకోవాలి సంఖ్య, కొన్ని నియమాల ప్రకారం కనుగొనబడింది. ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క నిర్ణయాధికారులకు చెల్లుబాటు అయ్యే ప్రాథమిక లక్షణాలను ఉపయోగిస్తే దాని గణనను సరళీకృతం చేయవచ్చు.

ఆస్తి 1. దాని అన్ని అడ్డు వరుసలు సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉండే నిలువు వరుసలతో భర్తీ చేయబడితే డిటర్మినెంట్ విలువ మారదు మరియు వైస్ వెర్సా.

అడ్డు వరుసలను నిలువు వరుసలతో భర్తీ చేసే చర్యను ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అంటారు. ఈ ప్రాపర్టీ నుండి డిటర్మినెంట్ యొక్క అడ్డు వరుసలకు సంబంధించిన ఏదైనా స్టేట్‌మెంట్ దాని నిలువు వరుసలకు కూడా నిజం అవుతుంది.

ఆస్తి 2. డిటర్‌మినెంట్‌లోని రెండు అడ్డు వరుసలు (నిలువు వరుసలు) మార్చుకుంటే, డిటర్‌మినెంట్ యొక్క గుర్తు ఎదురుగా మారుతుంది.

ఆస్తి 3. నిర్ణాయకంలోని ఏదైనా అడ్డు వరుసలోని అన్ని మూలకాలు 0కి సమానం అయితే, డిటర్మినెంట్ 0కి సమానం.

ఆస్తి 4. డిటర్మినెంట్ స్ట్రింగ్ యొక్క మూలకాలు కొంత సంఖ్యతో గుణిస్తే (విభజించబడుతుంది). , అప్పుడు డిటర్మినెంట్ విలువ పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది). ఒకసారి.

అడ్డు వరుస యొక్క మూలకాలు సాధారణ కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, అది నిర్ణాయక చిహ్నం నుండి తీసుకోవచ్చు.

ఆస్తి 5. ఒక డిటర్‌మినెంట్‌కు రెండు సారూప్య లేదా అనుపాత వరుసలు ఉంటే, అటువంటి డిటర్‌మినేట్ 0కి సమానం.

ఆస్తి 6. నిర్ణాయకం యొక్క ఏదైనా అడ్డు వరుసలోని మూలకాలు రెండు పదాల మొత్తం అయితే, నిర్ణయాత్మకం రెండు డిటర్మినేట్ల మొత్తానికి సమానం.

ఆస్తి 7. ఒక అడ్డు వరుసలోని మూలకాలను అదే సంఖ్యతో గుణిస్తే, మరొక అడ్డు వరుసలోని మూలకాలకు జోడించబడితే డిటర్మినెంట్ విలువ మారదు.

ఈ డిటర్మినెంట్‌లో, మొదట మూడవ అడ్డు వరుస రెండవ వరుసకు జోడించబడింది, 2 ద్వారా గుణించబడుతుంది, రెండవది మూడవ నిలువు వరుస నుండి తీసివేయబడుతుంది, ఆ తర్వాత రెండవ వరుస మొదటి మరియు మూడవదానికి జోడించబడింది, ఫలితంగా మనకు చాలా లభించింది సున్నాలు మరియు గణనను సులభతరం చేసింది.

ప్రాథమికరూపాంతరాలు నిర్ణీత లక్షణాలను ఉపయోగించడం ద్వారా నిర్ణయాన్ని దాని సరళీకరణ అంటారు.

ఉదాహరణ 1.కంప్యూట్ డిటర్మినెంట్

పైన చర్చించిన నియమాలలో ఒకదాని ప్రకారం ప్రత్యక్ష గణన గజిబిజి గణనలకు దారి తీస్తుంది. అందువల్ల, లక్షణాలను ఉపయోగించడం మంచిది:

a) 1వ పంక్తి నుండి, రెండవది తీసివేయి, 2తో గుణించాలి;

b) పంక్తి II నుండి 3తో గుణించబడిన మూడవదాన్ని తీసివేయండి.

ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:

మనం ఈ డిటర్‌మినేంట్‌ని మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలకు విస్తరింపజేద్దాం, ఇందులో ఒక సున్నా కాని మూలకం మాత్రమే ఉంటుంది.

అధిక ఆర్డర్‌ల వ్యవస్థలు మరియు నిర్ణాయకాలు

వ్యవస్థ తో సరళ సమీకరణాలు తెలియని వాటిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ఈ సందర్భంలో, ప్రధాన మరియు సహాయక నిర్ణాయకాలను కంపోజ్ చేయడం మరియు క్రామెర్ నియమాన్ని ఉపయోగించి తెలియని వాటిని గుర్తించడం కూడా సాధ్యమవుతుంది. సమస్య ఏమిటంటే, క్రమాన్ని తగ్గించి, వాటిని థర్డ్ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్‌లకు తగ్గించడం ద్వారా మాత్రమే అధిక ఆర్డర్ డిటర్‌మెంట్లను లెక్కించవచ్చు. అడ్డు వరుసలు లేదా నిలువు వరుసల మూలకాలుగా నేరుగా కుళ్ళిపోవడం, అలాగే ప్రాథమిక ప్రాథమిక రూపాంతరాలు మరియు మరింత కుళ్ళిపోవడం ద్వారా ఇది చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 4.నాల్గవ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించండి

పరిష్కారంమేము దానిని రెండు విధాలుగా కనుగొనవచ్చు:

ఎ) మొదటి వరుసలోని అంశాలలోకి నేరుగా విస్తరించడం ద్వారా:

బి) ప్రాథమిక రూపాంతరాలు మరియు మరింత కుళ్ళిపోవడం ద్వారా

	a) పంక్తి నుండి I తీసివేస్తుంది III
	బి) లైన్ II నుండి IV వరకు జోడించండి

ఉదాహరణ 5.నాల్గవ నిలువు వరుసను ఉపయోగించి మూడవ వరుసలో సున్నాలను పొందడం ద్వారా ఐదవ-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్‌ను గణించండి

మొదటి పంక్తి నుండి మనం రెండవదాన్ని తీసివేస్తాము, మూడవది నుండి రెండవదాన్ని తీసివేస్తాము, నాల్గవ నుండి రెండవదాన్ని 2తో గుణిస్తే తీసివేస్తాము.

రెండవ నిలువు వరుస నుండి మూడవదాన్ని తీసివేయండి:

రెండవ పంక్తి నుండి మూడవదాన్ని తీసివేయండి:

ఉదాహరణ 6.వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం.సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణాయకాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం మరియు నిర్ణాయకాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, దానిని లెక్కించండి:

(మొదటి వరుస నుండి మనం మూడవదాన్ని తీసివేస్తాము, ఆపై మూడవ వరుస నిర్ణయాత్మకంలో మూడవ నిలువు వరుస నుండి మేము మొదటిదాన్ని తీసివేస్తాము, 2 ద్వారా గుణించాలి). నిర్ణాయకం
, కాబట్టి, క్రామెర్ సూత్రాలు వర్తిస్తాయి.

మిగిలిన నిర్ణాయకాలను గణిద్దాం:

నాల్గవ నిలువు వరుస 2తో గుణించబడింది మరియు మిగిలిన వాటి నుండి తీసివేయబడింది

నాల్గవ నిలువు వరుస మొదటి నుండి తీసివేయబడింది, ఆపై, 2 ద్వారా గుణించి, రెండవ మరియు మూడవ నిలువు వరుసల నుండి తీసివేయబడుతుంది.

ఇక్కడ మేము అదే పరివర్తనలను చేసాము
.

మీరు కనుగొన్నప్పుడు మొదటి నిలువు వరుస 2తో గుణించబడింది మరియు మిగిలిన వాటి నుండి తీసివేయబడింది.

క్రామెర్ నియమం ప్రకారం మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

కనుగొన్న విలువలను సమీకరణాలలోకి మార్చిన తర్వాత, సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం సరైనదని మేము నమ్ముతున్నాము.

2. మాత్రికలు మరియు వాటి ఉపయోగం

సరళ సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థలలో

వ్యవస్థలు mతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని.
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం- ఇది అటువంటి సంఖ్యల సమితి ( x 1, x 2, ..., x n), సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది.
ఎక్కడ a ij , i = 1, ..., m; j = 1,…, n- సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్;
b i, i = 1,…, m- ఉచిత సభ్యులు;
x j , j = 1, …, n- తెలియదు.
పై వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో వ్రాయవచ్చు: A X = B,

ఎక్కడ ( ఎ|బి) వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక;
ఎ- పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్;
X- తెలియని కాలమ్;
బి- ఉచిత సభ్యుల కాలమ్.
మాతృక ఉంటే బిఅది శూన్య మాతృక కాదు ∅, అప్పుడు ఈ వ్యవస్థసరళ సమీకరణాలను అసమానత అంటారు.
మాతృక ఉంటే బి= ∅, అప్పుడు ఈ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ సజాతీయంగా పిలువబడుతుంది. ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సున్నా (చిన్న) పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
సరళ సమీకరణాల ఉమ్మడి వ్యవస్థఅనేది ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
సరళ సమీకరణాల అస్థిరమైన వ్యవస్థఅనేది సరళ సమీకరణాల యొక్క పరిష్కరించలేని వ్యవస్థ.
సరళ సమీకరణాల యొక్క నిర్దిష్ట వ్యవస్థఅనేది ఒక ఏకైక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
సరళ సమీకరణాల నిరవధిక వ్యవస్థ- కలిగి ఉంది అనంతమైన సెట్సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు.
n తెలియని వాటితో n సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు
తెలియని వారి సంఖ్య సమీకరణాల సంఖ్యకు సమానం అయితే, మాతృక చతురస్రం. మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి అని పిలుస్తారు మరియు Δ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది.
క్రామెర్ పద్ధతిపరిష్కార వ్యవస్థల కోసం nతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని.
క్రామెర్ నియమం.
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, సిస్టమ్ స్థిరంగా మరియు నిర్వచించబడి ఉంటుంది మరియు క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి మాత్రమే పరిష్కారం లెక్కించబడుతుంది:
ఇక్కడ Δ i అనేది సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణాయకం నుండి Δ భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన నిర్ణాయకాలు iఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌కి వ నిలువు వరుస. .
n తెలియని వాటితో m సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు
క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం.

ఇచ్చిన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉండటానికి, సిస్టమ్ మాతృక యొక్క ర్యాంక్ సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌కు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది, రాంగ్(Α) = రాంగ్(Α|B).
ఉంటే రాంగ్(Α) ≠ రాంగ్(Α|B), అప్పుడు వ్యవస్థకు స్పష్టంగా పరిష్కారాలు లేవు.
ఉంటే రాంగ్(Α) = రాంగ్(Α|B), అప్పుడు రెండు కేసులు సాధ్యమే:
1) ర్యాంక్(Α) = n(తెలియని వారి సంఖ్య) - పరిష్కారం ప్రత్యేకమైనది మరియు క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి పొందవచ్చు;
2) ర్యాంక్ (Α)< n - అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
గాస్ పద్ధతిసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి

పొడిగించిన మాతృకను సృష్టిద్దాం ( ఎ|బి) తెలియని మరియు కుడి-భుజాల గుణకాల నుండి ఇచ్చిన సిస్టమ్.
గాస్సియన్ పద్ధతి లేదా తెలియని వాటిని తొలగించే పద్ధతి పొడిగించిన మాతృకను తగ్గించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది ( ఎ|బి) దాని అడ్డు వరుసలపై వికర్ణ రూపానికి (ఎగువకు) ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించడం త్రిభుజాకార వీక్షణ) సమీకరణాల వ్యవస్థకు తిరిగి రావడం, అన్ని తెలియనివి నిర్ణయించబడతాయి.
TO ప్రాథమిక రూపాంతరాలుపంక్తుల పైన ఈ క్రిందివి ఉన్నాయి:
1) రెండు పంక్తులను మార్చుకోండి;
2) స్ట్రింగ్‌ను 0 కాకుండా వేరే సంఖ్యతో గుణించడం;
3) స్ట్రింగ్‌కు మరొక స్ట్రింగ్ జోడించడం, ఏకపక్ష సంఖ్యతో గుణించడం;
4) సున్నా గీతను విసరడం.
వికర్ణ రూపానికి తగ్గించబడిన పొడిగించిన మాతృకకు అనుగుణంగా ఉంటుంది సరళ వ్యవస్థ, దీనికి సమానం, దీని పరిష్కారం ఇబ్బందులు కలిగించదు. .
సజాతీయ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ.
సజాతీయ వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది మాతృక సమీకరణం A X = 0.
1) సజాతీయ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే r(A) = r(A|B), ఎల్లప్పుడూ సున్నా పరిష్కారం ఉంటుంది (0, 0, ..., 0).
2) క్రమంలో సజాతీయ వ్యవస్థసున్నా కాని పరిష్కారం ఉంది, ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది r = r(A)< n , ఇది Δ = 0కి సమానం.
3) ఉంటే ఆర్< n , అప్పుడు స్పష్టంగా Δ = 0, అప్పుడు ఉచిత తెలియనివి తలెత్తుతాయి c 1 , c 2 , …, c n-r, సిస్టమ్ నాన్-ట్రివియల్ సొల్యూషన్స్‌ని కలిగి ఉంది మరియు వాటిలో చాలా వరకు ఉన్నాయి.
4) సాధారణ పరిష్కారం Xవద్ద ఆర్< n మాతృక రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
పరిష్కారాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి X 1, X 2, …, X n-rపరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తుంది.
5) పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ నుండి పొందవచ్చు సాధారణ పరిష్కారంసజాతీయ వ్యవస్థ:

,
మనం పరామితి విలువలను (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)కి సమానంగా సెట్ చేస్తే.
సాధారణ పరిష్కారం యొక్క విస్తరణ ప్రాథమిక వ్యవస్థపరిష్కారాలుప్రాథమిక వ్యవస్థకు చెందిన పరిష్కారాల సరళ కలయిక రూపంలో సాధారణ పరిష్కారం యొక్క రికార్డు.
సిద్ధాంతం. సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండటానికి, ఇది Δ ≠ 0 అవసరం మరియు సరిపోతుంది.
కాబట్టి, డిటర్మినెంట్ Δ ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది.
Δ ≠ 0 అయితే, సరళ సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.
సిద్ధాంతం. సజాతీయ వ్యవస్థకు నాన్ జీరో సొల్యూషన్ ఉండాలంటే, అది అవసరం మరియు సరిపోతుంది r(A)< n .
రుజువు:
1) ఆర్ఎక్కువ ఉండకూడదు n(మాతృక యొక్క ర్యాంక్ నిలువు వరుసలు లేదా వరుసల సంఖ్యను మించదు);
2) ఆర్< n , ఎందుకంటే ఉంటే r = n, అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి Δ ≠ 0, మరియు, క్రామెర్ సూత్రాల ప్రకారం, ఒక ప్రత్యేకమైన పనికిమాలిన పరిష్కారం ఉంది x 1 = x 2 = … = x n = 0, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది. అంటే, r(A)< n .
పర్యవసానం. సజాతీయ వ్యవస్థ కోసం nతో సరళ సమీకరణాలు nతెలియని వారికి సున్నా కాని పరిష్కారం ఉంది, ఇది Δ = 0 అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడంలో నిర్ణాయకాలను ఉపయోగించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది పరిష్కార ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేస్తుంది.

ప్రతి సమీకరణంలో తెలియని అనేక సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి క్రామెర్ యొక్క పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానంగా లేకుంటే, క్రామెర్ యొక్క పద్ధతిని ద్రావణంలో ఉపయోగించవచ్చు, కానీ అది సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అది సాధ్యం కాదు. అదనంగా, ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్న సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి క్రామెర్ యొక్క పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

నిర్వచనం. తెలియని వ్యక్తుల కోసం కోఎఫీషియంట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేట్ అంటారు మరియు దీనిని సూచిస్తారు (డెల్టా).

నిర్ణాయకాలు

సంబంధిత తెలియని వాటి గుణకాలను ఉచిత నిబంధనలతో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందబడతాయి:

;

క్రామెర్స్ సిద్ధాంతం. సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేంట్ నాన్ జీరో అయితే, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారం ఉంటుంది మరియు తెలియనిది డిటర్మినేంట్‌ల నిష్పత్తికి సమానం. హారం సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినెంట్‌ని కలిగి ఉంటుంది మరియు న్యూమరేటర్ ఈ తెలియని గుణకాలను ఉచిత నిబంధనలతో భర్తీ చేయడం ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేట్ నుండి పొందిన డిటర్మినెంట్‌ను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం ఏదైనా క్రమం యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1.సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

ప్రకారం క్రామెర్స్ సిద్ధాంతంమాకు ఉన్నాయి:

కాబట్టి, సిస్టమ్కు పరిష్కారం (2):

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్, నిర్ణయాత్మక పద్ధతిక్రామెర్.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు మూడు సందర్భాలు

నుండి స్పష్టంగా ఉంది క్రామెర్స్ సిద్ధాంతం, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, మూడు సందర్భాలు సంభవించవచ్చు:

మొదటి సందర్భం: సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది

(వ్యవస్థ స్థిరంగా మరియు ఖచ్చితమైనది)

రెండవ సందర్భం: సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది

(వ్యవస్థ స్థిరంగా మరియు అనిశ్చితంగా ఉంది)

** ,

ఆ. తెలియని వాటి గుణకాలు మరియు ఉచిత నిబంధనలు అనుపాతంలో ఉంటాయి.

మూడవ సందర్భం: సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు

(వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంది)

కాబట్టి వ్యవస్థ mతో సరళ సమీకరణాలు nవేరియబుల్స్ అంటారు కాని ఉమ్మడి, ఆమెకు ఒకే పరిష్కారం లేకపోతే, మరియు ఉమ్మడి, దానికి కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంటే. ఒకే పరిష్కారం ఉన్న సమీకరణాల ఏకకాల వ్యవస్థ అంటారు ఖచ్చితంగా, మరియు ఒకటి కంటే ఎక్కువ - అనిశ్చిత.

క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థల ఉదాహరణలు

వ్యవస్థ ఇవ్వనివ్వండి

క్రామెర్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా

………….
,

ఎక్కడ
-

వ్యవస్థ నిర్ణాయకం. ఉచిత నిబంధనలతో సంబంధిత వేరియబుల్ (తెలియని) యొక్క గుణకాలతో నిలువు వరుసను భర్తీ చేయడం ద్వారా మేము మిగిలిన నిర్ణాయకాలను పొందుతాము:

ఉదాహరణ 2.

అందువలన, వ్యవస్థ ఖచ్చితంగా ఉంది. దాని పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, మేము నిర్ణాయకాలను లెక్కిస్తాము

క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:

కాబట్టి, (1; 0; -1) వ్యవస్థకు ఏకైక పరిష్కారం.

3 X 3 మరియు 4 X 4 సమీకరణాల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాలను తనిఖీ చేయడానికి, మీరు క్రామెర్ యొక్క పరిష్కార పద్ధతిని ఉపయోగించి ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలలో వేరియబుల్స్ లేకపోతే, డిటర్మినెంట్‌లో సంబంధిత మూలకాలు సున్నాకి సమానం! ఇది తదుపరి ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ 3.క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొంటాము:

సమీకరణాల వ్యవస్థను మరియు సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారి వద్ద జాగ్రత్తగా చూడండి మరియు నిర్ణయానికి సంబంధించిన ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంశాలు సున్నాకి సమానం అనే ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని పునరావృతం చేయండి. కాబట్టి, డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానం కాదు, కాబట్టి సిస్టమ్ ఖచ్చితంగా ఉంటుంది. దాని పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, మేము తెలియని వాటి కోసం నిర్ణాయకాలను లెక్కిస్తాము

క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము:

కాబట్టి, సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం (2; -1; 1).

పేజీ ఎగువన

మేము కలిసి క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తాము

ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం అయితే, మరియు తెలియని వాటి యొక్క నిర్ణయాధికారులు సున్నాకి సమానం కాకపోతే, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంటుంది, అంటే దానికి పరిష్కారాలు లేవు. కింది ఉదాహరణతో ఉదహరించుకుందాం.

ఉదాహరణ 6.క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొంటాము:

వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అస్థిరమైనది మరియు ఖచ్చితమైనది, లేదా అస్థిరమైనది, అంటే పరిష్కారాలు లేవు. స్పష్టం చేయడానికి, మేము తెలియని వాటి కోసం నిర్ణాయకాలను గణిస్తాము

తెలియని వాటి యొక్క నిర్ణాయకాలు సున్నాకి సమానం కాదు, కాబట్టి, సిస్టమ్ అస్థిరంగా ఉంటుంది, అంటే దానికి పరిష్కారాలు లేవు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలకు సంబంధించిన సమస్యలలో, వేరియబుల్స్‌ను సూచించే అక్షరాలతో పాటు, ఇతర అక్షరాలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ అక్షరాలు ఒక సంఖ్యను సూచిస్తాయి, చాలా తరచుగా నిజమైనవి. ఆచరణలో, శోధన సమస్యలు అటువంటి సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలకు దారితీస్తాయి సాధారణ లక్షణాలుఏదైనా దృగ్విషయం లేదా వస్తువులు. అంటే, మీరు ఏదైనా కనిపెట్టారా కొత్త పదార్థంలేదా పరికరం, మరియు ఒక ఉదాహరణ యొక్క పరిమాణం లేదా సంఖ్యతో సంబంధం లేకుండా సాధారణమైన దాని లక్షణాలను వివరించడానికి, మీరు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి, ఇక్కడ వేరియబుల్స్ కోసం కొన్ని గుణకాలకు బదులుగా అక్షరాలు ఉన్నాయి. మీరు ఉదాహరణల కోసం చాలా దూరం చూడవలసిన అవసరం లేదు.

కింది ఉదాహరణ సారూప్య సమస్య కోసం, నిర్దిష్ట వాస్తవ సంఖ్యను సూచించే సమీకరణాలు, వేరియబుల్స్ మరియు అక్షరాల సంఖ్య మాత్రమే పెరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 8.క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారిని కనుగొంటాము:

తెలియని వాటి కోసం నిర్ణాయకాలను కనుగొనడం

మాతృక - దీర్ఘచతురస్రాకార పట్టిక, సంఖ్యలతో రూపొందించబడింది.

ఇవ్వనివ్వండి చదరపు మాతృక 2 ఆర్డర్‌లు:

ఇచ్చిన మాతృకకు సంబంధించిన ఆర్డర్ 2 యొక్క డిటర్మినెంట్ (లేదా డిటర్మినెంట్) సంఖ్య

మాతృకకు సంబంధించిన 3వ ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ (లేదా డిటర్మినెంట్) అనేది ఒక సంఖ్య

ఉదాహరణ 1: మాత్రికల నిర్ణాయకాలను కనుగొనండి మరియు

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ

3 తెలియని వాటితో 3 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి

సిస్టమ్ (1) మాతృక-వెక్టార్ రూపంలో వ్రాయవచ్చు

ఇక్కడ A అనేది గుణకం మాతృక

B - పొడిగించిన మాతృక

X అనేది అవసరమైన కాంపోనెంట్ వెక్టర్;

క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

రెండు తెలియని వాటితో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి:

క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించి రెండు మరియు మూడు తెలియని వాటితో సరళ సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థలను పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతం 1. సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం మరియు ప్రత్యేకమైనది ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ x1, x2 సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క మూలాలు,

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణాయకం, x1, x2 సహాయక నిర్ణాయకాలు.

సహాయక అర్హతలు:

క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మూడు తెలియని వ్యక్తులతో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం.

మూడు తెలియని అంశాలతో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వనివ్వండి:

సిద్ధాంతం 2. వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం మరియు ప్రత్యేకమైనది ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ x1, x2, x3 సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క మూలాలు,

వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి,

x1, x2, x3 సహాయక నిర్ణాయకాలు.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారం దీని ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

సహాయక అర్హతలు:

1. తెలియని వారి కోసం గుణకాల పట్టిక (మాతృక) తయారు చేయండి మరియు ప్రధాన నిర్ణయాధికారిని లెక్కించండి.
2. కనుగొనండి - మొదటి నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన x యొక్క అదనపు డిటర్మినేంట్.
3. కనుగొనండి - రెండవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందిన y యొక్క అదనపు డిటర్మినేంట్.
4. కనుగొను - z యొక్క అదనపు డిటర్మినేంట్, మూడవ నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది. సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం కానట్లయితే, దశ 5 నిర్వహించబడుతుంది.
5. ఫార్ములా x/ని ఉపయోగించి వేరియబుల్ x విలువను కనుగొనండి.
6. y / సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వేరియబుల్ y విలువను కనుగొనండి.
7. z/ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వేరియబుల్ z విలువను కనుగొనండి.
8. సమాధానాన్ని వ్రాయండి: x=...; y=…, z=… .