1. ర్యాంక్ మ్యాట్రిక్స్ ఇవ్వబడనివ్వండి. ఈ మాతృక యొక్క వరుస ప్రధాన మైనర్‌ల కోసం క్రింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం:

.

గాస్సియన్ అల్గోరిథం యొక్క సాధ్యత కోసం షరతులు కలిగి ఉన్నాయని అనుకుందాం:

సమీకరణాల వ్యవస్థ తగ్గించబడిన సమీకరణాల వ్యవస్థ (18)ని గుణకాల మాతృక ద్వారా సూచిస్తాము.

గాస్సియన్ తొలగింపు పద్ధతి. మాతృక ఎగువ త్రిభుజాకార ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు దాని మొదటి వరుసల మూలకాలు సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి (13), మరియు చివరి వరుసల మూలకాలు అన్నీ సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి:

.

మాతృక నుండి మాతృకకు పరివర్తన క్రింది రకం యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ఆపరేషన్‌లను ఉపయోగించి సాధించబడింది: మాత్రిక యొక్క వ వరుసను వ (వ) అడ్డు వరుసకు జోడించబడింది, గతంలో నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించబడింది . ఈ ఆపరేషన్ ఎడమవైపు రూపాంతరం చెందే మాతృకను మాతృకతో గుణించడంతో సమానం

. (31)

ఈ మాతృకలో, ప్రధాన వికర్ణం వాటిని కలిగి ఉంటుంది మరియు మూలకం మినహా అన్ని ఇతర మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి.

ఈ విధంగా

,

ఇక్కడ ప్రతి మాత్రిక రూపం (31) కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, 1కి సమానమైన వికర్ణ మూలకాలతో తక్కువ త్రిభుజాకార మాతృక.

. (32)

గాస్సియన్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతిలో మాతృక కోసం మాతృకను పరివర్తన మాతృక అంటారు. మాత్రికలు మరియు , మాతృకను పేర్కొనడం ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడతాయి. (32) నుండి అది 1కి సమానమైన వికర్ణ మూలకాలతో తక్కువ త్రిభుజాకార మాత్రికను అనుసరిస్తుంది (పేజీ 28 చూడండి).

ఏకవచనం కాని మాతృక కనుక, (33) నుండి మనం కనుగొంటాము:

మేము మాతృకను దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించాము. ఈ రకమైన మాతృకను కారకం చేసే ప్రశ్న కింది సిద్ధాంతం ద్వారా పూర్తిగా స్పష్టం చేయబడింది:

సిద్ధాంతం 1. ర్యాంక్ యొక్క ఏదైనా మాతృక , దీనిలో మొదటి వరుస కంటి మైనర్లు నాన్ జీరో,

, (34)

దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది

. (35)

మాత్రికల యొక్క మొదటి వికర్ణ అంశాలు మరియు షరతులను సంతృప్తిపరిచే ఏకపక్ష విలువలను ఇవ్వవచ్చు (36).

మాత్రికల యొక్క మొదటి వికర్ణ మూలకాలను పేర్కొనడం మరియు మాతృక యొక్క మొదటి నిలువు వరుసలు మరియు మాతృక యొక్క మొదటి r వరుసల మూలకాలను ప్రత్యేకంగా నిర్ణయిస్తుంది. ఈ మూలకాల కోసం క్రింది సూత్రాలు వర్తిస్తాయి:

, (37)

మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలలో, మీరు అన్ని మూలకాలను వేర్వేరు సున్నాలకు సెట్ చేయవచ్చు మరియు మాతృక యొక్క చివరి వరుసలలో అన్ని మూలకాలకు ఏకపక్ష విలువలను ఇవ్వండి లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, మాతృక యొక్క చివరి వరుసలను సున్నాలతో పూరించండి, మరియు మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలను ఏకపక్షంగా తీసుకోండి.

రుజువు. మాతృక సంతృప్తికరమైన స్థితి (34)ని ఉత్పత్తిగా (35) సూచించే అవకాశం పైన నిరూపించబడింది [చూడండి. (33")]

ఇప్పుడు ఏకపక్ష దిగువ మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాత్రికల ఉత్పత్తికి సమానం. రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తి యొక్క మైనర్‌ల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము కనుగొంటాము:

ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక కాబట్టి, మాతృక యొక్క మొదటి నిలువు వరుసలు వ క్రమంలో సున్నా కాని మైనర్‌ను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి . కాబట్టి, సమానత్వం (38) ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

ముందుగా ఇక్కడ పెట్టుకుందాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

దీని నుండి సంబంధాలు (36) ఇప్పటికే అనుసరిస్తాయి.

అసమానతను ఉల్లంఘించకుండా (35), మేము కుడివైపు ఉన్న మాతృకను ఏకపక్ష ప్రత్యేక వికర్ణ మాత్రికతో గుణించవచ్చు, అదే సమయంలో ఎడమవైపు ఉన్న మాతృకను ఏకకాలంలో గుణించవచ్చు . ఇది మాతృక యొక్క నిలువు వరుసలను వరుసగా, మరియు మాతృక వరుసలను గుణించడంతో సమానం . కాబట్టి, వికర్ణ మూలకాలు , , షరతులను సంతృప్తిపరిచే ఏవైనా విలువలను ఇవ్వవచ్చు (36).

,

అంటే, మొదటి సూత్రాలు (37). మాతృక యొక్క మూలకాల కోసం రెండవ సూత్రాలు (37) పూర్తిగా ఇదే విధంగా స్థాపించబడ్డాయి.

మాతృకలను గుణించేటప్పుడు, మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసల మూలకాలు మరియు మాతృక యొక్క చివరి వరుసల మూలకాలు రెండూ ఒకదానితో ఒకటి గుణించబడతాయనే వాస్తవాన్ని మనం దృష్టిలో ఉంచుకుందాం. మాతృక యొక్క చివరి వరుసలలోని అన్ని మూలకాలను సున్నాగా ఎంచుకోవచ్చని మేము చూశాము. అప్పుడు మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసల మూలకాలను ఏకపక్షంగా ఎంచుకోవచ్చు. మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలను సున్నాగా మరియు మాతృక యొక్క చివరి వరుసల మూలకాలను ఏకపక్షంగా తీసుకుంటే మాత్రికల ఉత్పత్తి మారదని స్పష్టమవుతుంది.

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం నుండి అనేక ఆసక్తికరమైన పరిణామాలు అనుసరిస్తాయి.

పరిణామం 1. మాతృక యొక్క మొదటి నిలువు వరుసల మూలకాలు మరియు మాతృక యొక్క మొదటి వరుసలు పునరావృత సంబంధాల ద్వారా మాతృక యొక్క మూలకాలకు సంబంధించినవి:

(41)

సంబంధాలు (41) నేరుగా మాతృక సమానత్వం (35) నుండి అనుసరిస్తాయి; మాత్రికల మూలకాలను వాస్తవంగా లెక్కించడానికి మరియు .

పర్యవసానం 2. ఒక నాన్‌సింగులర్ మ్యాట్రిక్స్ సంతృప్తికరమైన పరిస్థితి (34) అయితే, ప్రాతినిధ్యంలో (35) మాత్రికలు మరియు షరతులకు అనుగుణంగా ఈ మాత్రికల యొక్క వికర్ణ మూలకాలు ఎంపిక చేయబడిన వెంటనే ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడతాయి (36).

పరిణామం 3. ర్యాంక్ యొక్క సుష్ట మాతృక అయితే మరియు

,

దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక ఎక్కడ ఉంది

2. ప్రాతినిధ్యంలో (35) మాతృక సున్నాకి సమానమైన చివరి నిలువు వరుసల మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. అప్పుడు మీరు ఉంచవచ్చు:

, , (43)

దిగువ మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక ఎక్కడ ఉంది; అంతేకాకుండా, మాత్రికల యొక్క మొదటి వికర్ణ మూలకాలు మరియు 1కి సమానంగా ఉంటాయి మరియు మాతృక యొక్క చివరి నిలువు వరుసల మూలకాలు మరియు మాతృక యొక్క చివరి వరుసలు పూర్తిగా ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడతాయి. సమానత్వం (36) కోసం (35) వ్యక్తీకరణలకు (43) ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు మరియు ఉపయోగించి (36), మేము ఈ క్రింది సిద్ధాంతానికి చేరుకుంటాము:

సిద్ధాంతం 2. ర్యాంక్ యొక్క ఏదైనా మాతృక

,

దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక, వికర్ణ మాతృక మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిగా దీనిని ప్రదర్శిస్తాము:

(44)

, (45)

a , కోసం ఏకపక్షంగా ఉంటాయి; .

3. గాస్సియన్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతి, దీని కోసం ర్యాంక్ మ్యాట్రిక్స్‌కు వర్తింపజేయడం , మాకు రెండు మాత్రికలను ఇస్తుంది: 1 యొక్క వికర్ణ మూలకాలతో దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక మరియు మొదటి వికర్ణ మూలకాలు సమానంగా ఉండే ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక , మరియు చివరి పంక్తులు సున్నాలతో నిండి ఉంటాయి. - మాతృక యొక్క గాస్సియన్ రూపం, - పరివర్తన మాతృక.

మాతృక మూలకాల యొక్క నిర్దిష్ట గణన కోసం, కింది సాంకేతికతను సిఫార్సు చేయవచ్చు.

మేము గాస్ అల్గారిథమ్‌లోని మ్యాట్రిక్స్‌లో చేసిన అన్ని పరివర్తనలను (మాత్రికల ద్వారా పేర్కొనబడిన) గుర్తింపు మాతృకకు వర్తింపజేస్తే మేము మ్యాట్రిక్స్‌ను పొందుతాము (ఈ సందర్భంలో, సమానమైన ఉత్పత్తికి బదులుగా, మనకు సమానమైన ఉత్పత్తి ఉంటుంది) . కాబట్టి, మేము గుర్తింపు మాతృకను కుడివైపున ఉన్న మాతృకకు కేటాయిస్తాము:

. (46)

ఈ దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృకకు గాస్సియన్ అల్గోరిథం యొక్క అన్ని రూపాంతరాలను వర్తింపజేయడం ద్వారా, మేము రెండు చతురస్రాకార మాత్రికలతో కూడిన దీర్ఘచతురస్రాకార మాతృకను పొందుతాము మరియు:

ఈ విధంగా, గాస్సియన్ అల్గారిథమ్‌ను మ్యాట్రిక్స్ (46)కి వర్తింపజేయడం మాతృక మరియు మాతృక రెండింటినీ ఇస్తుంది.

ఏకవచనం కాని మాతృక అయితే, అంటే, ఆపై మరియు . ఈ సందర్భంలో, ఇది (33) నుండి అనుసరిస్తుంది. గాస్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి మాత్రికలు నిర్వచించబడినందున, విలోమ మాతృకను కనుగొనడం ద్వారా నిర్ణయించడం మరియు గుణించడం తగ్గించబడుతుంది., అనగా, మాతృక యొక్క నిలువు వరుసలు, మాతృక మాత్రికతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మాతృక మాతృకతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల సూత్రాలు ( 53) మరియు (54) రూపాన్ని తీసుకుంటాయి

త్రిభుజాకార మాత్రికలు మరియు లక్షణ సమీకరణం

ప్రధాన వికర్ణం క్రింద లేదా పైన ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండే చతురస్ర మాతృకను త్రిభుజాకారం అంటారు. త్రిభుజాకార మాతృక ఎగువ మరియు దిగువ నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఎగువ మరియు దిగువ రూపాలు వరుసగా:

, .

త్రిభుజాకార మాత్రికలు అనేక ఆచరణాత్మకంగా ముఖ్యమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి:

1) త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి దాని వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:

అందువల్ల, త్రిభుజాకార మాతృక దాని ప్రధాన వికర్ణంలోని అన్ని అంశాలు సున్నా కానివి అయితే మాత్రమే ఏకవచనం కాదు.

2) అదే నిర్మాణం యొక్క త్రిభుజాకార మాత్రికల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి కూడా అదే నిర్మాణం యొక్క త్రిభుజాకార మాతృక.

3) అసంపూర్ణ త్రిభుజాకార మాతృక సులభంగా విలోమం చేయబడుతుంది మరియు దాని విలోమ మాతృక మళ్లీ అదే నిర్మాణం యొక్క త్రిభుజాకార నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

4) ఏదైనా ఏకవచనం కాని మాతృకను త్రిభుజాకార మాతృకకు మాత్రమే అడ్డు వరుసల మీదుగా లేదా నిలువు వరుసల మీదుగా ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి తగ్గించవచ్చు. ఉదాహరణగా, స్థిరత్వ సిద్ధాంతంలో తెలిసిన హర్విట్జ్ మాతృకను పరిగణించండి

.

ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తరలించడానికి, మేము క్రింది ప్రాథమిక పరివర్తనలను చేస్తాము. రెండవ పంక్తిలోని ప్రతి మూలకం నుండి, దాని పైన ఉన్న మొదటి పంక్తి మూలకాన్ని తీసివేయండి, గతంలో గుణించబడింది. మూలకాలతో కూడిన స్ట్రింగ్‌కు బదులుగా, మేము మూలకాలతో కూడిన స్ట్రింగ్‌ను ఎక్కడ పొందుతాము , , , ... మొదలైనవి

మిగిలిన అంతర్లీన పంక్తులలో ఇలాంటి కార్యకలాపాలను చేద్దాం. అప్పుడు మేము రూపాంతరం చెందిన మాతృక యొక్క మూడవ వరుసలోని ప్రతి మూలకం నుండి దాని పైన ఉన్న అడ్డు వరుస మూలకాలను తీసివేస్తాము, గుణించి, మిగిలిన వరుసలలో సారూప్య కార్యకలాపాలను పునరావృతం చేస్తాము. mth దశలో ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృకను పొందే వరకు మేము ఈ ప్రక్రియ ప్రకారం ప్రక్రియను కొనసాగిస్తాము

.

ఇటువంటి రూపాంతరాలు తప్పనిసరిగా కుడివైపు (లేదా ఎడమవైపు) ఉన్న మాతృకను కొన్ని ఇతర సహాయక మాతృకతో గుణించడంతో సమానం.

హర్విట్జ్ మాతృక యొక్క డిటర్మినేట్

.

ఏదైనా స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ని రెండు త్రిభుజాకారాల ఉత్పత్తికి విడదీయడం గురించి ఒక సిద్ధాంతం ఉంది. ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఏదైనా చతురస్ర మాతృక దిగువ మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది:

,

దాని వికర్ణ మైనర్‌లు సున్నా కానివి అయితే:

, , .

మేము త్రిభుజాకార మాత్రికలలో ఒకదాని యొక్క వికర్ణ మూలకాలను పరిష్కరించినట్లయితే ఈ కుళ్ళిపోవడం ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది (ఉదాహరణకు, వాటిని ఒకదానికి సమానంగా సెట్ చేయండి). కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు గణన పద్ధతులలో సూచించిన వికర్ణ మూలకాలతో ఏదైనా స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ని రెండు త్రిభుజాకార వాటి ఉత్పత్తిగా విడదీయడం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

రెండు త్రిభుజాకార వాటి ఉత్పత్తిగా మాతృక యొక్క ప్రత్యేక ప్రాతినిధ్యం సెల్యులార్ మాత్రికలకు సాధారణీకరించబడుతుంది. అటువంటి మాత్రికలలో, మూలకాలే మాత్రికలు. ఈ సందర్భంలో, మాతృక దిగువ మరియు ఎగువ పాక్షిక-త్రిభుజాకార మాత్రికల ఉత్పత్తిగా కుళ్ళిపోతుంది.

పాక్షిక-త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం దాని వికర్ణ కణాల ఉత్పత్తికి సమానం.

వికర్ణ మాత్రికల వలె కాకుండా, త్రిభుజాకార మాత్రికల గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్ సాధారణంగా కమ్యుటేటివ్ కాదు.

నియంత్రణ సిద్ధాంతం యొక్క గణన పద్ధతులలో, త్రిభుజాకారమే కాకుండా, దాదాపు త్రిభుజాకార మాత్రికలు అని పిలవబడేవి కూడా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. అనేక పద్ధతులు మాతృక కుళ్ళిపోవడాన్ని రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తిగా ఉపయోగిస్తాయి, వాటిలో ఒకటి త్రిభుజాకార నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మ్యాట్రిక్స్ A అనేది కుడి (ఎడమ) దాదాపుగా త్రిభుజాకారంగా లేదా హెస్సెన్‌బర్గ్ మాతృకగా పిలువబడుతుంది, దాని మూలకాలు a ij కింది సంబంధాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి:

ఉదాహరణకు, కుడి దాదాపు త్రిభుజాకార పరిమాణం (4x4) యొక్క హెస్సెన్‌బర్గ్ మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

గణన పద్ధతులలో ఉపయోగించబడే పరిశీలనలో ఉన్న మాత్రికల ఉపయోగకరమైన లక్షణాలను మనం గమనించండి:

ఎ) ఒకే నిర్మాణం యొక్క దాదాపు త్రిభుజాకార మాత్రికల మొత్తం అదే నిర్మాణం యొక్క త్రిభుజాకార మాతృకగా ఉంటుంది, కానీ ఉత్పత్తి కాదు;

బి) దాదాపు త్రిభుజాకార మాత్రికల యొక్క లక్షణమైన బహుపది నిర్మాణం ఆర్థికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే దీనికి ఏకపక్ష మాతృక ఆకారంతో పోలిస్తే చాలా తక్కువ గణన అవసరం. గుణకారం ఆపరేషన్ల సంఖ్య , చేర్పులు - ;

c) దాదాపు త్రిభుజాకార మాతృకను రెండు త్రిభుజాకార వాటి యొక్క ఉత్పత్తిగా విడదీయవచ్చు మరియు కుళ్ళిపోవడంలో మాత్రికలలో ఒకటి సరళమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అవి ద్విభుజంగా ఉంటుంది.

కంప్యూటర్-ఎయిడెడ్ డిజైన్ సిస్టమ్స్‌లో పొందుపరిచిన ఆధునిక ఇంజనీరింగ్ పద్ధతులలో, మాత్రికల గుణకార ప్రాతినిధ్యం, ఉదాహరణకు, QR ప్రాతినిధ్యం, విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. దీని సారాంశం ఏమిటంటే, ఏదైనా స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ A ఆర్తోగోనల్ మరియు దాదాపు త్రిభుజాకార రూపాల ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది

లేదా, (4.4)

ఇక్కడ Q అనేది ఆర్తోగోనల్ మాతృక; R - కుడి (ఎగువ) త్రిభుజాకార ఆకారం; L అనేది మాతృక యొక్క ఎడమ (దిగువ) త్రిభుజాకార ఆకారం.

ప్రాతినిధ్యాన్ని (4.4) QR-విచ్ఛేదం అని పిలుస్తారు (తక్కువ త్రిభుజాకార మాతృక విషయంలో, QL-కుళ్ళిపోవడం) మరియు మాతృక A కోసం ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.

QR మరియు QL అల్గారిథమ్‌లు ప్రాథమికంగా చాలా తక్కువగా ఉంటాయి. వాటి ఉపయోగం మాతృక మూలకాలు ఎలా అమర్చబడిందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. వారు దిగువ కుడి మూలలో కేంద్రీకృతమై ఉంటే, QL అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం మరింత ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. మాతృక మూలకాలు ఎగువ ఎడమ భాగంలో కేంద్రీకృతమై ఉంటే, QR అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం మరింత సముచితం. కంప్యూటర్‌లో సరిగ్గా అమలు చేయబడితే, అనేక సందర్భాల్లో చుట్టుముట్టే లోపాలు గణన యొక్క ఖచ్చితత్వంపై పెద్ద ప్రభావాన్ని కలిగి ఉండవు.

ఈ అంశంలో మేము మాతృక యొక్క భావనను అలాగే మాత్రికల రకాలను పరిశీలిస్తాము. ఈ అంశంలో చాలా నిబంధనలు ఉన్నందున, మెటీరియల్‌ని నావిగేట్ చేయడాన్ని సులభతరం చేయడానికి నేను సంక్షిప్త సారాంశాన్ని జోడిస్తాను.

మాతృక మరియు దాని మూలకం యొక్క నిర్వచనం. సంజ్ఞామానం.

మాతృక$m$ అడ్డు వరుసలు మరియు $n$ నిలువు వరుసల పట్టిక. మాతృక యొక్క మూలకాలు పూర్తిగా భిన్నమైన స్వభావం గల వస్తువులు కావచ్చు: సంఖ్యలు, వేరియబుల్స్ లేదా, ఉదాహరణకు, ఇతర మాత్రికలు. ఉదాహరణకు, మాతృక $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 అడ్డు వరుసలు మరియు 2 నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది; దాని మూలకాలు పూర్ణాంకాలు. మాతృక $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 అడ్డు వరుసలు మరియు 4 నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది.

మాత్రికలను వ్రాయడానికి వివిధ మార్గాలు: చూపించు\దాచు

మాతృకను రౌండ్లో మాత్రమే కాకుండా, చదరపు లేదా డబుల్ స్ట్రెయిట్ బ్రాకెట్లలో కూడా వ్రాయవచ్చు. అంటే, దిగువ నమోదులు ఒకే మాతృకను సూచిస్తాయి:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

ఉత్పత్తి $m\times n$ అంటారు మాతృక పరిమాణం. ఉదాహరణకు, ఒక మాత్రిక 5 అడ్డు వరుసలు మరియు 3 నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు మేము పరిమాణం $5\రెట్లు 3$ యొక్క మాతృక గురించి మాట్లాడుతాము. మాతృక $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ పరిమాణం $3 \times 2$.

సాధారణంగా, మాత్రికలు లాటిన్ వర్ణమాల యొక్క పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడతాయి: $A$, $B$, $C$ మరియు మొదలైనవి. ఉదాహరణకు, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. లైన్ నంబరింగ్ పై నుండి క్రిందికి వెళుతుంది; నిలువు వరుసలు - ఎడమ నుండి కుడికి. ఉదాహరణకు, మాతృక $B$ యొక్క మొదటి వరుసలో 5 మరియు 3 మూలకాలు ఉన్నాయి మరియు రెండవ నిలువు వరుసలో 3, -87, 0 మూలకాలు ఉన్నాయి.

మాత్రికల మూలకాలు సాధారణంగా చిన్న అక్షరాలతో సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు, $A$ మాతృక మూలకాలు $a_(ij)$తో సూచించబడతాయి. డబుల్ ఇండెక్స్ $ij$ మాతృకలోని మూలకం యొక్క స్థానం గురించి సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. $i$ అనేది అడ్డు వరుస సంఖ్య, మరియు $j$ అనేది నిలువు వరుస సంఖ్య, దీని ఖండన వద్ద మూలకం $a_(ij)$. ఉదాహరణకు, $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 మాతృక యొక్క రెండవ అడ్డు వరుస మరియు ఐదవ నిలువు వరుస ఖండన వద్ద & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ ముగింపు(శ్రేణి) \ కుడి)$ మూలకం $a_(25)= $59:

అదే విధంగా, మొదటి అడ్డు వరుస మరియు మొదటి నిలువు వరుస ఖండన వద్ద మనకు $a_(11)=51$; మూడవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుస యొక్క ఖండన వద్ద - మూలకం $a_(32)=-15$ మరియు మొదలైనవి. నమోదు $a_(32)$ "ఒక మూడు రెండు" అని చదువుతుంది, కానీ "ఒక ముప్పై రెండు" కాదు.

$A$ మాతృకను సంక్షిప్తీకరించడానికి, దాని పరిమాణం $m\times n$, $A_(m\times n)$ సంజ్ఞామానం ఉపయోగించబడుతుంది. మీరు దీన్ని కొంచెం వివరంగా వ్రాయవచ్చు:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

ఇక్కడ $(a_(ij))$ సంజ్ఞామానం $A$ మాతృక యొక్క మూలకాలను సూచిస్తుంది. దాని పూర్తిగా విస్తరించిన రూపంలో, మాతృక $A_(m\times n)=(a_(ij))$ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

మరొక పదాన్ని పరిచయం చేద్దాం - సమాన మాత్రికలు.

ఒకే పరిమాణంలో ఉన్న రెండు మాత్రికలు $A_(m\times n)=(a_(ij))$ మరియు $B_(m\times n)=(b_(ij))$ అంటారు సమానం, వాటి సంబంధిత అంశాలు సమానంగా ఉంటే, అనగా. $i=\overline(1,m)$ మరియు $j=\overline(1,n)$కి $a_(ij)=b_(ij)$.

ఎంట్రీకి వివరణ $i=\overline(1,m)$: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" అనే సంజ్ఞామానం అంటే $i$ పరామితి 1 నుండి m వరకు మారుతుంది. ఉదాహరణకు, $i=\overline(1,5)$ అనే సంజ్ఞామానం $i$ పరామితి 1, 2, 3, 4, 5 విలువలను తీసుకుంటుందని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి, మాత్రికలు సమానంగా ఉండాలంటే, రెండు షరతులు తప్పక కలుసుకోవాలి: పరిమాణాల యాదృచ్చికం మరియు సంబంధిత మూలకాల సమానత్వం. ఉదాహరణకు, $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ మాతృకకు సమానం కాదు $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ ఎందుకంటే మాతృక $A$ పరిమాణం $3\రెట్లు 2$ మరియు మాతృక $B$ పరిమాణం $2\రెట్లు $2 ఉంది. అలాగే, మాతృక $A$ మాతృక $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$కి సమానం కాదు , నుండి $a_( 21)\neq c_(21)$ (అంటే $0\neq 98$). కానీ మాతృక $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ కోసం మనం సురక్షితంగా $A= అని వ్రాయవచ్చు F$ ఎందుకంటే $A$ మరియు $F$ మాత్రికల పరిమాణాలు మరియు సంబంధిత మూలకాలు రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1

మాతృక పరిమాణం $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి)$. మూలకాలు $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ దేనికి సమానమో సూచించండి.

ఈ మ్యాట్రిక్స్ 5 అడ్డు వరుసలు మరియు 3 నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంది, కాబట్టి దీని పరిమాణం $5\రెట్లు 3$. మీరు ఈ మ్యాట్రిక్స్ కోసం $A_(5\times 3)$ అనే సంజ్ఞామానాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

మూలకం $a_(12)$ మొదటి అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుస ఖండన వద్ద ఉంది, కాబట్టి $a_(12)=-2$. మూలకం $a_(33)$ మూడవ అడ్డు వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుస ఖండన వద్ద ఉంది, కాబట్టి $a_(33)=23$. మూలకం $a_(43)$ నాల్గవ అడ్డు వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుస ఖండన వద్ద ఉంది, కాబట్టి $a_(43)=-5$.

సమాధానం: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

వాటి పరిమాణాన్ని బట్టి మాత్రికల రకాలు. ప్రధాన మరియు ద్వితీయ వికర్ణాలు. మ్యాట్రిక్స్ ట్రేస్.

ఒక నిర్దిష్ట మాతృక $A_(m\times n)$ ఇవ్వబడనివ్వండి. $m=1$ (మాత్రిక ఒక అడ్డు వరుసను కలిగి ఉంటుంది) అయితే, ఇచ్చిన మాతృక అంటారు మాతృక-వరుస. $n=1$ (మ్యాట్రిక్స్ ఒక నిలువు వరుసను కలిగి ఉంటుంది) అయితే, అటువంటి మాతృక అంటారు మాతృక-కాలమ్. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ అనేది అడ్డు వరుస మాతృక మరియు $\left(\begin(array) ) (సి) -1 \\ 5 \\ 6 \ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి)$ అనేది కాలమ్ మ్యాట్రిక్స్.

మాత్రిక $A_(m\times n)$ షరతును $m\neq n$ (అనగా, అడ్డు వరుసల సంఖ్య నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానం కాదు) సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, $A$ అనేది దీర్ఘచతురస్రాకారం అని తరచుగా చెప్పబడుతుంది. మాతృక. ఉదాహరణకు, మాతృక $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ పరిమాణం $2\times 4ని కలిగి ఉంది $, ఆ. 2 అడ్డు వరుసలు మరియు 4 నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది. అడ్డు వరుసల సంఖ్య నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా లేనందున, ఈ మాతృక దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది.

$A_(m\times n)$ షరతును $m=n$ (అనగా, అడ్డు వరుసల సంఖ్య నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానం) సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, $A$ అనేది $ ఆర్డర్ యొక్క స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌గా చెప్పబడుతుంది. n$. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ అనేది సెకండ్-ఆర్డర్ స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ అనేది థర్డ్-ఆర్డర్ స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్. సాధారణంగా, చదరపు మాతృక $A_(n\times n)$ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

మూలకాలు $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ఆన్‌లో ఉన్నట్లు చెప్పబడింది. ప్రధాన వికర్ణంమాత్రికలు $A_(n\times n)$. ఈ మూలకాలు అంటారు ప్రధాన వికర్ణ అంశాలు(లేదా కేవలం వికర్ణ మూలకాలు). మూలకాలు $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ఆన్‌లో ఉన్నాయి వైపు (చిన్న) వికర్ణం; వాళ్ళు పిలువబడ్డారు వైపు వికర్ణ అంశాలు. ఉదాహరణకు, మాతృక కోసం $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( శ్రేణి) \కుడి)$ మాకు ఉంది:

మూలకాలు $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు; మూలకాలు $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ అనేవి పక్క వికర్ణ మూలకాలు.

ప్రధాన వికర్ణ మూలకాల మొత్తాన్ని అంటారు మాతృక తరువాతమరియు $\Tr A$ (లేదా $\Sp A$) ద్వారా సూచించబడుతుంది:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ఉదాహరణకు, మాతృక కోసం $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \ ముగింపు(శ్రేణి)\కుడి)$ మా వద్ద ఉన్నాయి:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

వికర్ణ మూలకాల భావన నాన్-స్క్వేర్ మాత్రికల కోసం కూడా ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, మాతృక కోసం $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ end(array) \ right)$ ప్రధాన వికర్ణ మూలకాలు $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

వాటి మూలకాల విలువలను బట్టి మాత్రికల రకాలు.

మాతృక యొక్క అన్ని మూలకాలు $A_(m\times n)$ సున్నాకి సమానం అయితే, అటువంటి మాతృక అంటారు శూన్యమరియు సాధారణంగా $O$ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి)$ - సున్నా మాత్రికలు.

మాతృక $A_(m\times n)$ కింది ఫారమ్‌ని కలిగి ఉండనివ్వండి:

అప్పుడు ఈ మాతృక అంటారు ట్రాపెజోయిడల్. ఇది సున్నా వరుసలను కలిగి ఉండకపోవచ్చు, కానీ అవి ఉన్నట్లయితే, అవి మాతృక దిగువన ఉంటాయి. మరింత సాధారణ రూపంలో, ట్రాపెజోయిడల్ మాతృకను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

మళ్ళీ, శూన్య పంక్తులు వెనుకంజ వేయవలసిన అవసరం లేదు. ఆ. అధికారికంగా, మేము ట్రాపెజోయిడల్ మాతృక కోసం క్రింది పరిస్థితులను వేరు చేయవచ్చు:

1. ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నా.
2. ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న $a_(11)$ నుండి $a_(rr)$ వరకు ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానం కాదు: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. చివరి $m-r$ వరుసలలోని అన్ని మూలకాలు సున్నా, లేదా $m=r$ (అంటే సున్నా వరుసలు లేవు).

ట్రాపెజోయిడల్ మాత్రికల ఉదాహరణలు:

తదుపరి నిర్వచనానికి వెళ్దాం. మాతృక $A_(m\times n)$ అంటారు అడుగు పెట్టాడు, ఇది క్రింది షరతులకు అనుగుణంగా ఉంటే:

ఉదాహరణకు, దశ మాత్రికలు ఇలా ఉంటాయి:

పోలిక కోసం, మాతృక $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \ ముగింపు(శ్రేణి)\కుడి)$ ఎచెలాన్ కాదు ఎందుకంటే మూడవ అడ్డు వరుసలో రెండవ అడ్డు వరుస వలె సున్నా భాగం ఉంటుంది. అంటే, సూత్రం "తక్కువ రేఖ, పెద్ద సున్నా భాగం" ఉల్లంఘించబడింది. ట్రాపెజోయిడల్ మాతృక అనేది స్టెప్డ్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం అని నేను జోడిస్తాను.

తదుపరి నిర్వచనానికి వెళ్దాం. ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న చదరపు మాతృక యొక్క అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అటువంటి మాతృక అంటారు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి) $ ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక. ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్వచనం ప్రధాన వికర్ణం పైన లేదా ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న మూలకాల విలువల గురించి ఏమీ చెప్పలేదని గమనించండి. అవి సున్నా కావచ్చు లేదా కాదు - ఇది పట్టింపు లేదు. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ కూడా ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక.

ప్రధాన వికర్ణం పైన ఉన్న చతురస్ర మాతృక యొక్క అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అటువంటి మాతృక అంటారు దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ ముగింపు(శ్రేణి) \కుడి)$ - దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక. దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్వచనం ప్రధాన వికర్ణంలో లేదా కింద ఉన్న మూలకాల విలువల గురించి ఏమీ చెప్పలేదని గమనించండి. అవి సున్నా లేదా కాకపోవచ్చు - ఇది పట్టింపు లేదు. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ మరియు $\left(\ ప్రారంభం (శ్రేణి) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \ end(array) \ right)$ కూడా తక్కువ త్రిభుజాకార మాత్రికలు.

స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ అంటారు వికర్ణంగా, ప్రధాన వికర్ణంలో ఉండని ఈ మాతృకలోని అన్ని అంశాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటే. ఉదాహరణ: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ ముగింపు(శ్రేణి)\కుడి)$. ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాలు ఏదైనా కావచ్చు (సున్నాకి సమానం లేదా కాదు) - ఇది పట్టింపు లేదు.

వికర్ణ మాతృక అంటారు సింగిల్, ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న ఈ మాతృకలోని అన్ని మూలకాలు 1కి సమానంగా ఉంటే. ఉదాహరణకు, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ ముగింపు(శ్రేణి)\కుడి)$ - నాల్గవ-ఆర్డర్ గుర్తింపు మాతృక; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ అనేది రెండవ-ఆర్డర్ గుర్తింపు మాతృక.

పేజీ 2

త్రిభుజాకార మాతృక అనేది ఒక మాతృక, దీనిలో ప్రధాన లేదా ద్వితీయ వికర్ణం యొక్క ఒక వైపున ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ఏమిటి?

త్రిభుజాకార మాతృక అనేది ఒక మాతృక, దీనిలో ప్రధాన లేదా ద్వితీయ వికర్ణం యొక్క ఒక వైపున ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి ఏమిటి?

లీనియర్ బీజగణితం యొక్క సిద్ధాంతాలకు అనుగుణంగా గాస్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ ప్రోగ్రెషన్‌ను నిర్వహించడానికి చేసే కార్యకలాపాలు డిటర్మినెంట్ విలువను మార్చవు. సహజంగానే, త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి దాని వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ సహజమైన ఆలోచన కొన్ని సందర్భాల్లో ఖచ్చితమైన పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణను కనుగొంటుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాకార మాతృక (ఎగువ లేదా దిగువ) యొక్క నిర్ణయాధికారం ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం అని మనకు తెలుసు (§ 1 నుండి (6) చూడండి).

త్రిభుజాకార మాత్రికలు అనేక విశేషమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి, దీని కారణంగా అవి బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను నిర్మించడంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, చదరపు మాత్రికల కోసం, అదే పేరుతో ఉన్న త్రిభుజాకార మాత్రికల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి అదే పేరుతో త్రిభుజాకార మాతృక, త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారం వికర్ణ మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం, ఈజెన్‌వాల్యూస్ త్రిభుజాకార మాతృక దాని వికర్ణ మూలకాలతో సమానంగా ఉంటుంది, త్రిభుజాకార మాతృక సులభంగా విలోమం చేయబడుతుంది మరియు దాని విలోమం కూడా త్రిభుజాకారంగా ఉంటుంది.

నిర్ణయాత్మకతను నేరుగా కనుగొనడానికి పెద్ద మొత్తంలో లెక్కలు అవసరమని ముందుగా గుర్తించబడింది. అదే సమయంలో, త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సులభంగా లెక్కించబడుతుంది: ఇది దాని వికర్ణ మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం.

మాతృక A యొక్క మూలకాలలో ఎక్కువ సున్నాలు ఉన్నాయి మరియు అవి మరింత మెరుగ్గా ఉంటాయి, నిర్ణయాత్మక det Aని లెక్కించడం సులభం. ఈ సహజమైన ప్రాతినిధ్యం కొన్ని సందర్భాల్లో ఖచ్చితమైన పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణను కనుగొంటుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాకార మాతృక (ఎగువ లేదా దిగువ) యొక్క నిర్ణయాధికారం ప్రధాన వికర్ణంలోని మూలకాల ఉత్పత్తికి సమానం అని మనకు తెలుసు (§ 1 నుండి (6) చూడండి).

ఉదాహరణకు, ఒక నిర్ణాయకాన్ని స్కేలార్‌తో గుణించడం అనేది మాతృకలోని ఏదైనా అడ్డు వరుస లేదా నిలువు వరుసలోని మూలకాలను ఆ స్కేలార్‌తో గుణించడంతో సమానం. సమీకరణం (40) నుండి మరియు బీజగణిత సమ్మేళనానికి విస్తరణ అనేది డిటర్మినెంట్ మాదిరిగానే వర్తిస్తుంది కాబట్టి, త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి దాని వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం అని ఇది అనుసరిస్తుంది.

ఈ అవకాశం నిర్ణయాధికారుల యొక్క మూడు ప్రధాన లక్షణాల నుండి అనుసరిస్తుంది. ఒక స్ట్రింగ్ యొక్క మల్టిపుల్‌ని మరొక స్ట్రింగ్‌కు జోడించడం వలన డిటర్మినెంట్ మారదు. రెండు వరుసలను క్రమాన్ని మార్చడం డిటర్మినెంట్ యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది. త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం దాని వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి. సరి సంఖ్యలో ప్రస్తారణలు ఉంటే 1 విలువను మరియు బేసి సంఖ్యలో ప్రస్తారణలు ఉంటే 1 విలువను ఉంచడానికి DECOMP లీడింగ్ ఎలిమెంట్ వెక్టర్ యొక్క చివరి భాగాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. డిటర్మినెంట్‌ను పొందేందుకు, ఈ విలువను అవుట్‌పుట్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క వికర్ణ మూలకాల ఉత్పత్తితో గుణించాలి.

ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక n 2 మూలకాలను కలిగి ఉంటే, వాటిలో దాదాపు సగం సున్నా మరియు వాటిని స్పష్టంగా నిల్వ చేయవలసిన అవసరం లేదు. ప్రత్యేకించి, n 2 మూలకాల మొత్తం నుండి n వికర్ణ మూలకాలను తీసివేస్తే, మిగిలిన మూలకాలలో సగం సున్నా. ఉదాహరణకు, n=25తో 0 విలువతో 300 మూలకాలు ఉన్నాయి:

(n 2 -n)/2 = (25 2 -25)/2=(625-25)/2 = 300

రెండు త్రిభుజాకార మాత్రికలు A మరియు B యొక్క మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం సంబంధిత మాతృక మూలకాలను జోడించడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా పొందబడుతుంది. ఫలిత మాతృక త్రిభుజాకారంగా ఉంటుంది.

అదనంగా C = A + B

వ్యవకలనం C = A - B

ఇక్కడ C అనేది C i, j = A i, j + B i, j మూలకాలతో కూడిన త్రిభుజాకార మాతృక.

గుణకారం C = A * B

ఫలిత మాతృక C అనేది C i, j మూలకాలతో కూడిన త్రిభుజాకార మాతృక, దీని విలువలు మాతృక A యొక్క వరుస i మరియు మాతృక B యొక్క కాలమ్ j మూలకాల నుండి లెక్కించబడతాయి:

C i , j =(A i ,0 *B 0, j)+ (A i ,1 *B 1, j)+ (A i ,2 *B 2, j)+…+ (A i , n -1 *B n -1, j)

సాధారణ చతురస్ర మాతృక కోసం, డిటర్మినెంట్ అనేది గణించడం చాలా కష్టమైన పని, కానీ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించడం కష్టం కాదు. వికర్ణంలో మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తిని పొందండి.

త్రిభుజాకార మాతృక నిల్వ

ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృకను నిల్వ చేయడానికి ప్రామాణిక ద్విమితీయ శ్రేణిని ఉపయోగించడం కోసం వికర్ణం క్రింద ఉన్న ఊహించిన సున్నాలు ఉన్నప్పటికీ, పరిమాణం n 2 యొక్క మొత్తం మెమరీని ఉపయోగించడం అవసరం. ఈ స్థలాన్ని తొలగించడానికి, మేము త్రిభుజాకార మాతృక నుండి మూలకాలను ఒక డైమెన్షనల్ శ్రేణి Mలో నిల్వ చేస్తాము. ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న అన్ని మూలకాలు నిల్వ చేయబడవు. టేబుల్ 3.1 ప్రతి అడ్డు వరుసలో నిల్వ చేయబడిన మూలకాల సంఖ్యను చూపుతుంది.

త్రిభుజాకార మాతృక నిల్వ

టేబుల్ 1

నిల్వ అల్గారిథమ్‌కు యాక్సెస్ ఫంక్షన్ అవసరం, అది తప్పనిసరిగా A i, j మూలకం యొక్క M యొక్క శ్రేణిలో స్థానాన్ని గుర్తించాలి. జె కోసం< i элемент A i , j является равным 0 и не сохраняется в М. Для j ³ i функция доступа использует информацию о числе сохраняемых элементов в каждой строке вплоть до строки i. Эта информация может быть вычислена для каждой строки i и сохранена в массиве (rowTable) для использования функцией доступа.

ఉదాహరణ 4.

త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క మూలకాలు M శ్రేణిలో వరుసల వారీగా నిల్వ చేయబడినందున, A i, j కోసం యాక్సెస్ ఫంక్షన్ క్రింది పారామితులను ఉపయోగిస్తుంది:

సూచికలు i మరియు j,

వరుస పట్టిక శ్రేణి

మూలకం A i, j కోసం యాక్సెస్ అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంది:

ఒకవేళ జె

j³i అయితే, rowTable[i] విలువ పొందబడుతుంది, ఇది వరుస i వరకు ఉన్న మూలకాల కోసం M శ్రేణిలో నిల్వ చేయబడిన మూలకాల సంఖ్య. వరుస iలో, మొదటి i మూలకాలు సున్నా మరియు M. మూలకం A iలో నిల్వ చేయబడవు, j అనేది M+(j-i)]లో ఉంచబడుతుంది.

ఉదాహరణ 5.

ఉదాహరణ 3.4 నుండి త్రిభుజాకార మాతృక Xని పరిగణించండి:

1.X 0.2 =M=M=M=0

2.X 1.0 సేవ్ చేయబడలేదు

3.X 1.2 =M+(2-1)]=M=M=1

ట్రైమ్యాట్ క్లాస్

ట్రైమ్యాట్ క్లాస్ అనేక త్రిభుజాకార మాతృక కార్యకలాపాలను అమలు చేస్తుంది. త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క వ్యవకలనం మరియు గుణకారం అధ్యాయం చివరిలో వ్యాయామాల కోసం మిగిలి ఉన్నాయి. మేము స్టాటిక్ శ్రేణులను మాత్రమే ఉపయోగించాలి అనే పరిమితి కారణంగా, మా తరగతి అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసల పరిమాణాన్ని 25కి పరిమితం చేస్తుంది. మనకు 300=(25 2 -25)/2 సున్నా మూలకాలు ఉంటాయి, కాబట్టి శ్రేణి M తప్పనిసరిగా 325 మూలకాలను కలిగి ఉండాలి.

ట్రైమ్యాట్ క్లాస్ స్పెసిఫికేషన్

ప్రకటన

#చేర్చండి

#చేర్చండి

// గరిష్ట సంఖ్యలో మూలకాలు మరియు అడ్డు వరుసలు

// ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక

const int ELEMENTLIMIT = 325;

const int ROWLIMIT = 25;

// ప్రైవేట్ డేటా సభ్యులు

int rowTable; // M లో స్ట్రింగ్ యొక్క ప్రారంభ సూచిక

int n; // అడ్డు వరుస/నిలువు వరుస పరిమాణం

డబుల్ M;

// పారామితులతో కన్స్ట్రక్టర్ TriMat(int matsize);

// మాతృక మూలకాలకు యాక్సెస్ పద్ధతులు

శూన్యమైన PutElement (డబుల్ ఐటెమ్, int i, int j);

డబుల్ GetElement(int i, int j) const;

// మాతృక అంకగణిత కార్యకలాపాలు

TriMat AddMat(const TriMat&A) const;

డబుల్ DelMat(శూన్యం) const;

// మ్యాట్రిక్స్ I/O ఆపరేషన్లు

శూన్యం రీడ్‌మ్యాట్ (శూన్యం);

శూన్యమైన రైట్‌మ్యాట్ (శూన్యం) కాన్స్ట్;

// మాతృక పరిమాణం పొందండి

int GetDimension(శూన్యం) const;

వివరణ

మాతృక యొక్క అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్యను కన్స్ట్రక్టర్ అంగీకరిస్తాడు. PutElement మరియు GetElement పద్ధతులు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క మూలకాలను నిల్వ చేసి తిరిగి అందిస్తాయి. వికర్ణం క్రింద ఉన్న మూలకాల కోసం GetElement 0ని అందిస్తుంది. AddMat ప్రస్తుత వస్తువుతో మాతృక A మొత్తాన్ని అందిస్తుంది. ఈ పద్ధతి ప్రస్తుత మాతృక విలువను మార్చదు. రీడ్‌మ్యాట్ మరియు రైట్‌మ్యాట్ I/O ఆపరేటర్లు n x n మాతృకలోని అన్ని మూలకాలపై పనిచేస్తాయి. రీడ్‌మ్యాట్ పద్ధతి మాతృక యొక్క ఎగువ త్రిభుజాకార మూలకాలను మాత్రమే నిల్వ చేస్తుంది.

#include trimat.h // TriMat తరగతిని చేర్చండి

ట్రైమ్యాట్ ఎ (10), బి (10), సి (10); // 10x10 త్రిభుజాకార మాత్రికలు

A.ReadMat(); // A మరియు B మాత్రికలను నమోదు చేయండి

C = A.AddMat(B); // C = A + Bని లెక్కించండి

C.WriteMat(); // ప్రింట్ సి

ట్రైమ్యాట్ తరగతి అమలు

కన్స్ట్రక్టర్ ప్రైవేట్ మెంబర్ n ను మ్యాట్‌సైజ్ పారామీటర్‌తో ప్రారంభిస్తాడు. ఇది మాతృక యొక్క అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్యను సెట్ చేస్తుంది. అదే పరామితి రోటేబుల్ శ్రేణిని ప్రారంభించేందుకు ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది మ్యాట్రిక్స్ మూలకాలను యాక్సెస్ చేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. మ్యాట్‌సైజ్ ROWLIMITని మించి ఉంటే, ఎర్రర్ మెసేజ్ జారీ చేయబడుతుంది మరియు ప్రోగ్రామ్ ఎగ్జిక్యూషన్‌కు అంతరాయం ఏర్పడుతుంది.

// n మరియు rowTableని ప్రారంభించండి

TriMat::TriMat (పూర్ణాంక మాట్సైజ్)

int storedElements = 0;

// మ్యాట్‌సైజ్ ROWLIMIT కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ప్రోగ్రామ్‌ను నిలిపివేయండి

ఉంటే (మాట్సైజ్ > ROWLIMIT)

cerr<< "Превышен размер матрицы" << ROWLIMIT << "x" << ROWLIMIT << endl;

// టేబుల్ సెట్ చేయండి

కోసం (int i = 0; i< n; i++)

rowTable[i] = storedElements;

storedElements += n - i;

మ్యాట్రిక్స్ యాక్సెస్ పద్ధతులు. త్రిభుజాకార మాత్రికలతో పని చేస్తున్నప్పుడు కీలకమైనది, సున్నా కాని మూలకాలను సరళ శ్రేణిలో సమర్ధవంతంగా నిల్వ చేయగల సామర్థ్యం. ఈ సామర్థ్యాన్ని సాధించడానికి మరియు ఇప్పటికీ మాతృక మూలకాన్ని యాక్సెస్ చేయడానికి సాధారణ ద్విమితీయ సూచికలు i మరియు j లను ఉపయోగించడానికి, మ్యాట్రిక్స్ మూలకాలను శ్రేణిలో నిల్వ చేయడానికి మరియు తిరిగి ఇవ్వడానికి మాకు PutElement మరియు GetElement ఫంక్షన్‌లు అవసరం.

GetDimension పద్ధతి క్లయింట్‌కు మ్యాట్రిక్స్ పరిమాణానికి యాక్సెస్ ఇస్తుంది. యాక్సెసర్‌లు సరైన అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసకు సంబంధించిన పారామీటర్‌లను పాస్ చేసినట్లు నిర్ధారించుకోవడానికి ఈ సమాచారం ఉపయోగించవచ్చు:

// రిటర్న్ మ్యాట్రిక్స్ డైమెన్షన్ n

int TriMat::GetDimension(శూన్యం) const

PutElement పద్ధతి i మరియు j సూచికలను తనిఖీ చేస్తుంది. j ³ i అయితే, మేము త్రిభుజాకార మాత్రికల కోసం మ్యాట్రిక్స్ యాక్సెస్ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి M లో డేటా విలువను నిల్వ చేస్తాము: i లేదా j 0 పరిధిలో లేకుంటే. . (n-1), ఆపై ప్రోగ్రామ్ ముగుస్తుంది:

// శ్రేణి Mకి మాతృక మూలకాన్ని వ్రాయండి

శూన్యం TriMat ::PutElement (డబుల్ ఐటెమ్, int i, int j)

// మూలకం యొక్క సూచికలు వెలుపల ఉన్నట్లయితే ప్రోగ్రామ్‌ను నిలిపివేయండి

// సూచిక పరిధి

నేను ఉంటే< 0 || i >= n) || (జె< 0 |1 j >= n))

cerr<< "PutElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;

// ఒకవేళ (j >= i) వికర్ణం క్రింద ఉన్న అన్ని అంశాలు విస్మరించబడతాయి

M + j-i] = అంశం;

ఏదైనా మూలకాన్ని తిరిగి పొందడానికి, GetElement పద్ధతి i మరియు j సూచికలను తనిఖీ చేస్తుంది. i లేదా j 0...(n - 1) పరిధిలో లేకుంటే, ప్రోగ్రామ్ ముగుస్తుంది. ఒకవేళ జె

// శ్రేణి M యొక్క మాతృక మూలకాన్ని పొందండి

డబుల్ ట్రైమ్యాట్::GetElement(int i, int j) const

// సూచికలు ఇండెక్స్ పరిధికి వెలుపల ఉన్నట్లయితే ప్రోగ్రామ్‌ను నిలిపివేయండి

నేను ఉంటే< 0 || i >= n) || (జె< 0 |I j >= n))

cerr<< "GetElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl;

// మూలకం వికర్ణానికి పైన ఉంటే దాన్ని తిరిగి ఇవ్వండి

తిరిగి M + j-i];

// మూలకం వికర్ణం క్రింద ఉన్నట్లయితే 0

మ్యాట్రిక్స్ వస్తువుల ఇన్‌పుట్/అవుట్‌పుట్. సాంప్రదాయకంగా, మ్యాట్రిక్స్ ఇన్‌పుట్ అనేది అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుస విలువల పూర్తి సెట్‌తో వరుసగా డేటాను నమోదు చేయడం. ట్రైమ్యాట్ ఆబ్జెక్ట్‌లో, దిగువ త్రిభుజాకార మాతృక శూన్యం మరియు విలువలు శ్రేణిలో నిల్వ చేయబడవు. అయినప్పటికీ, సాధారణ మ్యాట్రిక్స్ ఇన్‌పుట్‌ను నిలుపుకోవడానికి ఈ సున్నా విలువలను నమోదు చేయమని వినియోగదారు ప్రాంప్ట్ చేయబడతారు.

// అన్ని (n x n) మూలకాలు

శూన్యం TriMat ::ReadMat (శూన్యం)

కోసం (i = 0; i

కోసం (j = 0; j

స్ట్రీమ్‌కు మ్యాట్రిక్స్ మూలకాల యొక్క //లైన్-బై-వరుస అవుట్‌పుట్

శూన్యం TriMat::WriteMat (శూన్యం) const

// జారీ చేసే మోడ్‌ను సెట్ చేస్తోంది

కోట్. setf (ios:: fixed) ;

cout.Precision(3) ;

cout.setf (ios::showpoint) ;

కోసం (i =0; i< n; i++)

కోసం (j = 0; j< n; j++)

కోట్<< setw(7) << GetElement (i,j);

కోట్<< endl;

మ్యాట్రిక్స్ కార్యకలాపాలు. ట్రైమ్యాట్ క్లాస్‌లో రెండు మాత్రికల మొత్తాన్ని మరియు మాతృక యొక్క నిర్ణాయక మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి పద్ధతులు ఉన్నాయి. AddMat పద్ధతి ఒకే పరామితిని తీసుకుంటుంది, ఇది మొత్తంలో సరైన ఆపరేండ్. ప్రస్తుత ఆబ్జెక్ట్ ఎడమ ఒపెరాండ్‌తో సరిపోతుంది. ఉదాహరణకు, త్రిభుజాకార మాత్రికల మొత్తం X మరియు Y ఆబ్జెక్ట్ Xపై AddMat పద్ధతిని ఉపయోగిస్తుంది. మొత్తం ఆబ్జెక్ట్ Zలో నిల్వ చేయబడిందని అనుకుందాం. లెక్కించేందుకు.

Z = X + Y ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగిస్తుంది

Z = X.AddMat(Y) ;

ట్రైమ్యాట్ రకం రెండు ఆబ్జెక్ట్‌లను జోడించే అల్గారిథమ్ B i, j = CurrentObjecty i, j + A i, j: మూలకాలతో కొత్త మ్యాట్రిక్స్ Bని అందిస్తుంది:

// ప్రస్తుత మరియు మాతృక A మొత్తాన్ని అందిస్తుంది.

// ప్రస్తుత వస్తువు మారదు

TriMat TriMat::AddMat (const TriMat& A) const

డబుల్ అంశం కరెంట్, అంశం;

ట్రైమ్యాట్ B(A.n); // B అవసరమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది

కోసం (i = 0; i< n; i++) // цикл по строкам

కోసం (j = i; j< n; j++) // пропускать элементы ниже диагонали

itemCurrent=GetElement i, j);

itemA = A.GetElement(i, j);

B. PutElement(itemCurrent + itemA, i, j);

DetMat పద్ధతి ప్రస్తుత వస్తువు యొక్క డిటర్మినేట్‌ను అందిస్తుంది. రిటర్న్ విలువ అనేది వికర్ణ మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తి అయిన వాస్తవ సంఖ్య. ట్రైమ్యాట్ తరగతిని అమలు చేయడానికి పూర్తి కోడ్‌ను సాఫ్ట్‌వేర్ అప్లికేషన్‌లో కనుగొనవచ్చు.