పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి. హేతుబద్ధ సమీకరణాలు

మేము ఇప్పటికే పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాము వర్గ సమీకరణాలు. ఇప్పుడు అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులను హేతుబద్ధ సమీకరణాలకు విస్తరిద్దాం.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటి? మేము ఇప్పటికే ఈ భావనను ఎదుర్కొన్నాము. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలుసంఖ్యలు, వేరియబుల్స్, వాటి శక్తులు మరియు గణిత కార్యకలాపాల చిహ్నాలతో రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలు.

దీని ప్రకారం, హేతుబద్ధ సమీకరణాలు రూపం యొక్క సమీకరణాలు: , ఎక్కడ - హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు.

ఇంతకుముందు, మేము సరళమైన వాటికి తగ్గించగల హేతుబద్ధ సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణించాము. ఇప్పుడు చతుర్భుజ సమీకరణాలకు తగ్గించగల ఆ హేతుబద్ధ సమీకరణాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం:

ఒక భిన్నం 0కి సమానం మరియు దాని లవం 0కి సమానంగా ఉంటే మరియు దాని హారం 0కి సమానం కాకపోతే మాత్రమే.

మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:

వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం. దాన్ని పరిష్కరించే ముందు, దాని అన్ని కోఎఫీషియంట్‌లను 3 ద్వారా భాగిద్దాం. మనకు లభిస్తుంది:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

2 ఎప్పుడూ 0కి సమానం కాదు కాబట్టి, రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: . పైన పొందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏవీ ఏకీభవించవు కాబట్టి చెల్లని విలువలురెండవ అసమానతను పరిష్కరించడం ద్వారా పొందిన వేరియబుల్స్, అవి రెండూ పరిష్కారాలు ఇచ్చిన సమీకరణం.

సమాధానం:.

కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గోరిథంను రూపొందిద్దాం:

1. అన్ని నిబంధనలను దీనికి బదిలీ చేయండి ఎడమ వైపు, తద్వారా కుడి వైపు 0 గా మారుతుంది.

2. ఎడమ వైపును మార్చండి మరియు సరళీకృతం చేయండి, అన్ని భిన్నాలను తగ్గించండి సాధారణ హారం.

3. కింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి ఫలిత భిన్నాన్ని 0కి సమం చేయండి: .

4. మొదటి సమీకరణంలో పొందిన మూలాలను వ్రాసి, సమాధానంలో రెండవ అసమానతను తీర్చండి.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం

చాలా ప్రారంభంలో, అన్ని నిబంధనలను తరలిద్దాం ఎడమ వైపు, తద్వారా 0 కుడి వైపున ఉంటుంది. మనకు ఇది లభిస్తుంది:

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని సాధారణ హారంకు తీసుకువద్దాం:

ఈ సమీకరణం వ్యవస్థకు సమానం:

వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం.

ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు: . మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

ఇప్పుడు రెండవ అసమానతను పరిష్కరిద్దాం: కారకాలు ఏవీ 0కి సమానం కానట్లయితే, కారకాల ఉత్పత్తి 0కి సమానం కాదు.

రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: . మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలలో ఒకటి మాత్రమే సరిపోతుందని మేము కనుగొన్నాము - 3.

సమాధానం:.

ఈ పాఠంలో, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటో మేము గుర్తుంచుకున్నాము మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో కూడా నేర్చుకున్నాము, ఇది వర్గ సమీకరణాలకు తగ్గించబడుతుంది.

తదుపరి పాఠంలో మనం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను వాస్తవ పరిస్థితుల నమూనాలుగా చూస్తాము మరియు చలన సమస్యలను కూడా పరిశీలిస్తాము.

గ్రంథ పట్టిక

బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.
డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా, 8. 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.A., రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. కోసం ట్యుటోరియల్ విద్యా సంస్థలు. - M.: విద్య, 2006.

పండుగ బోధనా ఆలోచనలు "పబ్లిక్ పాఠం" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

ఇంటి పని

చతురస్రాకార సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మనం ఇప్పటికే నేర్చుకున్నాము. ఇప్పుడు అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులను హేతుబద్ధ సమీకరణాలకు విస్తరిద్దాం.

ఉదాహరణ 1

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం:

మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

2 ఎప్పుడూ 0కి సమానం కాదు కాబట్టి, రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: . పైన పొందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏవీ రెండవ అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన వేరియబుల్ యొక్క చెల్లని విలువలతో ఏకీభవించనందున, అవి రెండూ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.

సమాధానం:.

1. అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలించండి, తద్వారా కుడి వైపు 0తో ముగుస్తుంది.

2. ఎడమ వైపును మార్చండి మరియు సరళీకృతం చేయండి, అన్ని భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి.

3. కింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి ఫలిత భిన్నాన్ని 0కి సమం చేయండి: .

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం

ప్రారంభంలోనే, మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమవైపుకు తరలిస్తాము, తద్వారా 0 కుడివైపున ఉంటుంది. మనకు:

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని సాధారణ హారంకు తీసుకువద్దాం:

ఈ సమీకరణం వ్యవస్థకు సమానం:

వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం.

ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు: . మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

సమాధానం:.

గ్రంథ పట్టిక

బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.
డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా, 8. 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.A., రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. - M.: విద్య, 2006.

బోధనా ఆలోచనల పండుగ "ఓపెన్ లెసన్" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

ఇంటి పని

ఈ సమీకరణాన్ని సరళీకరించడానికి అతి తక్కువ సాధారణ హారం ఉపయోగించబడుతుంది.సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు ఒక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణతో మీరు ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని వ్రాయలేనప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది (మరియు గుణకారం యొక్క క్రిస్‌క్రాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి). మీరు 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలతో హేతుబద్ధమైన సమీకరణాన్ని అందించినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది (రెండు భిన్నాల విషయంలో, క్రిస్-క్రాస్ గుణకారం ఉపయోగించడం మంచిది).

భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారం (లేదా కనీసం సాధారణ బహుళ) కనుగొనండి. NOZ ఉంది అతి చిన్న సంఖ్య, ఇది ప్రతి హారం ద్వారా సమానంగా భాగించబడుతుంది.

కొన్నిసార్లు NPD అనేది స్పష్టమైన సంఖ్య. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, అప్పుడు 3, 2 మరియు 6 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6 అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
NCD స్పష్టంగా లేకుంటే, అతిపెద్ద హారం యొక్క గుణిజాలను వ్రాసి, వాటిలో ఇతర హారం యొక్క గుణకారంగా ఉండే వాటిని కనుగొనండి. తరచుగా రెండు హారంలను గుణించడం ద్వారా NODని కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, సమీకరణానికి x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ఇచ్చినట్లయితే, NOS = 8*9 = 72.
ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ హారం వేరియబుల్ కలిగి ఉంటే, ప్రక్రియ కొంత క్లిష్టంగా మారుతుంది (కానీ అసాధ్యం కాదు). ఈ సందర్భంలో, NOC అనేది ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడిన వ్యక్తీకరణ (వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉంటుంది). ఉదాహరణకు, సమీకరణం 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ఎందుకంటే ఈ వ్యక్తీకరణ ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడింది: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

ప్రతి భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం రెండింటినీ ప్రతి భిన్నం యొక్క సంబంధిత హారం ద్వారా NOCని విభజించే ఫలితానికి సమానమైన సంఖ్యతో గుణించండి. మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తున్నందున, మీరు భిన్నాన్ని 1 ద్వారా సమర్థవంతంగా గుణిస్తున్నారు (ఉదాహరణకు, 2/2 = 1 లేదా 3/3 = 1).

కాబట్టి మా ఉదాహరణలో, 2x/6 పొందడానికి x/3ని 2/2తో గుణించండి మరియు 3/6ని పొందడానికి 1/2ని 3/3తో గుణించండి (3x +1/6 భిన్నాన్ని గుణించాల్సిన అవసరం లేదు ఎందుకంటే ఇది హారం 6).
వేరియబుల్ హారంలో ఉన్నప్పుడు అదేవిధంగా కొనసాగండి. మా రెండవ ఉదాహరణలో, NOZ = 3x(x-1), కాబట్టి 5(3x)/(3x)(x-1) పొందడానికి 5/(x-1)ని (3x)/(3x)తో గుణించండి; 1/xని 3(x-1)/3(x-1)తో గుణిస్తే మీకు 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x)ని (x-1)/(x-1)తో గుణిస్తే మీకు 2(x-1)/3x(x-1) వస్తుంది.

xని కనుగొనండి.ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను సాధారణ హారంకి తగ్గించారు, మీరు హారం నుండి బయటపడవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు సాధారణ హారంతో గుణించండి. అప్పుడు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, అంటే “x”ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరియబుల్‌ను వేరు చేయండి.

మా ఉదాహరణలో: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. మీరు దీనితో 2 భిన్నాలను జోడించవచ్చు అదే హారం, కాబట్టి సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయండి: (2x+3)/6=(3x+1)/6. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించండి మరియు హారం నుండి బయటపడండి: 2x+3 = 3x +1. పరిష్కరించండి మరియు x = 2 పొందండి.
మా రెండవ ఉదాహరణలో (డినామినేటర్‌లో వేరియబుల్‌తో), సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది (సాధారణ హారంకి తగ్గించిన తర్వాత): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా N3తో గుణించడం ద్వారా, మీరు హారం నుండి బయటపడతారు మరియు పొందండి: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), లేదా 15x = 3x - 3 + 2x -2, లేదా 15x = x - 5 పరిష్కరించండి మరియు పొందండి: x = -5/14.

అంశంపై ప్రదర్శన మరియు పాఠం: "హేతుబద్ధ సమీకరణాలు. అల్గోరిథం మరియు హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.

గ్రేడ్ 8 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో ఎడ్యుకేషనల్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
మకారిచెవ్ యు.ఎన్ ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం కోసం ఒక మాన్యువల్. మోర్డ్కోవిచ్ A.G ద్వారా పాఠ్య పుస్తకం కోసం ఒక మాన్యువల్.

అహేతుక సమీకరణాలకు పరిచయం

గైస్, మేము క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము. కానీ గణితశాస్త్రం వారికి మాత్రమే పరిమితం కాదు. ఈ రోజు మనం హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము. హేతుబద్ధ సమీకరణాల భావన అనేక విధాలుగా భావనను పోలి ఉంటుంది హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. సంఖ్యలకు అదనంగా, ఇప్పుడు మేము కొన్ని వేరియబుల్ $x$ని పరిచయం చేసాము. అందువలన మనం కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం మరియు పూర్ణాంకాల శక్తికి పెంచడం వంటి కార్యకలాపాలు ఉండే వ్యక్తీకరణను పొందుతాము.

$r(x)$ ఉండనివ్వండి హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ. అటువంటి వ్యక్తీకరణ $x$ వేరియబుల్‌లో సాధారణ బహుపది కావచ్చు లేదా బహుపదిల నిష్పత్తి కావచ్చు (హేతుబద్ధ సంఖ్యల కోసం విభజన ఆపరేషన్ ప్రవేశపెట్టబడింది).
$r(x)=0$ అనే సమీకరణం అంటారు హేతుబద్ధమైన సమీకరణం.
$p(x)=q(x)$ రూపం యొక్క ఏదైనా సమీకరణం, ఇక్కడ $p(x)$ మరియు $q(x)$ హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు కూడా హేతుబద్ధమైన సమీకరణం.

హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

పరిష్కారం.
అన్ని వ్యక్తీకరణలను ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు సూచించబడితే సాధారణ సంఖ్యలు, అప్పుడు మేము రెండు భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంకు తీసుకువస్తాము.
ఇలా చేద్దాం: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
మాకు ఈక్వేషన్ వచ్చింది: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

భిన్నం సున్నాకి సమానం మరియు భిన్నం యొక్క లవం మాత్రమే సున్నాకి సమానం, మరియు హారం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మనం విడిగా లవంను సున్నాకి సమం చేస్తాము మరియు న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము.
$3(x^2+2x-3)=0$ లేదా $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ఇప్పుడు భిన్నం యొక్క హారం తనిఖీ చేద్దాం: $(x-3)*x≠0$.
ఈ సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానమైనప్పుడు రెండు సంఖ్యల లబ్ధం సున్నాకి సమానం. తర్వాత: $x≠0$ లేదా $x-3≠0$.
$x≠0$ లేదా $x≠3$.
న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో పొందిన మూలాలు ఏకీభవించవు. కాబట్టి మేము సమాధానంలో న్యూమరేటర్ యొక్క రెండు మూలాలను వ్రాస్తాము.
సమాధానం: $x=1$ లేదా $x=-3$.

అకస్మాత్తుగా న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలలో ఒకటి హారం యొక్క మూలంతో సమానంగా ఉంటే, దానిని మినహాయించాలి. ఇటువంటి మూలాలను అదనపు అని పిలుస్తారు!

హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:

1. సమీకరణంలో ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలను సమాన గుర్తు యొక్క ఎడమ వైపుకు తరలించండి.
2. సమీకరణంలోని ఈ భాగాన్ని దీనికి మార్చండి బీజగణిత భిన్నం: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. ఫలిత సంఖ్యను సున్నాకి సమం చేయండి, అంటే $p(x)=0$ అనే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
4. హారంను సున్నాకి సమం చేసి, ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. హారం యొక్క మూలాలు న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటిని సమాధానం నుండి మినహాయించాలి.

ఉదాహరణ 2.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

పరిష్కారం.
అల్గోరిథం యొక్క పాయింట్ల ప్రకారం పరిష్కరిద్దాం.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. సంఖ్యను సున్నాకి సమం చేయండి: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. హారంను సున్నాకి సమం చేయండి:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ మరియు $x=-1$.
$x=1$ మూలాలలో ఒకటి న్యూమరేటర్ యొక్క రూట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మేము దానిని సమాధానంలో వ్రాయము.
సమాధానం: $x=-1$.

వేరియబుల్స్ పద్ధతిని మార్చడం ద్వారా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దీనిని ప్రదర్శిద్దాం.

ఉదాహరణ 3.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^4+12x^2-64=0$.

పరిష్కారం.
భర్తీని పరిచయం చేద్దాం: $t=x^2$.
అప్పుడు మా సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
$t^2+12t-64=0$ - సాధారణ వర్గ సమీకరణం.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం: $x^2=4$ లేదా $x^2=-16$.
మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒక జత సంఖ్యలు $x=±2$. రెండవ విషయం ఏమిటంటే దీనికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం: $x=±2$.

ఉదాహరణ 4.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
పరిష్కారం.
కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం: $t=x^2+x+1$.
అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: $t=\frac(15)(t+2)$.
తరువాత మేము అల్గోరిథం ప్రకారం కొనసాగుతాము.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - మూలాలు ఏకీభవించవు.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ప్రతి సమీకరణాన్ని విడిగా పరిష్కరిద్దాం:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - లేదు మూలాలు.
మరియు రెండవ సమీకరణం: $x^2+x-2=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు $x=-2$ మరియు $x=1$ సంఖ్యలు.
సమాధానం: $x=-2$ మరియు $x=1$.

ఉదాహరణ 5.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

పరిష్కారం.
భర్తీని పరిచయం చేద్దాం: $t=x+\frac(1)(x)$.
అప్పుడు:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ లేదా $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
మాకు సమీకరణం వచ్చింది: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు జత:
$t=-3$ మరియు $t=2$.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
మేము విడిగా నిర్ణయిస్తాము.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం $x=1$.
సమాధానం: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

« హేతుబద్ధ సమీకరణాలుబహుపదాలతో" అనేది చాలా తరచుగా ఎదుర్కొనే అంశాలలో ఒకటి పరీక్ష పనులుగణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష. ఈ కారణంగా, వాటిని పునరావృతం చేయడం విలువ ప్రత్యేక శ్రద్ధ. చాలా మంది విద్యార్థులు వివక్షను కనుగొనడం, సూచికలను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు బదిలీ చేయడం మరియు సమీకరణాన్ని సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం వంటి సమస్యలను ఎదుర్కొంటారు, అందుకే ఇలాంటి పనులుఇబ్బందులు కలిగిస్తుంది. మా వెబ్‌సైట్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమస్యలను త్వరగా ఎదుర్కోవటానికి మరియు ఎగిరే రంగులతో పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.

యూనిఫైడ్ మ్యాథమెటిక్స్ పరీక్షకు విజయవంతంగా సిద్ధం కావడానికి ష్కోల్కోవో విద్యా పోర్టల్‌ను ఎంచుకోండి!

తెలియని వాటిని లెక్కించడానికి మరియు సరైన ఫలితాలను సులభంగా పొందేందుకు నియమాలను తెలుసుకోవడానికి, మా ఆన్‌లైన్ సేవను ఉపయోగించండి. Shkolkovo పోర్టల్ అనేది ఒక రకమైన ప్లాట్‌ఫారమ్, ఇది సిద్ధం చేయడానికి అవసరమైన ప్రతిదాన్ని కలిగి ఉంటుంది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మెటీరియల్స్. మా ఉపాధ్యాయులు క్రమబద్ధీకరించారు మరియు ప్రతిదీ అర్థమయ్యే రూపంలో ప్రదర్శించారు. గణిత నియమాలు. అదనంగా, ప్రామాణిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వారి చేతిని ప్రయత్నించమని మేము పాఠశాల పిల్లలను ఆహ్వానిస్తున్నాము, దీని ఆధారంగా నిరంతరం నవీకరించబడుతుంది మరియు విస్తరించబడుతుంది.

పరీక్ష కోసం మరింత ప్రభావవంతమైన తయారీ కోసం, మా ప్రత్యేక పద్ధతిని అనుసరించి, నియమాలు మరియు పరిష్కారాలను పునరావృతం చేయడం ద్వారా ప్రారంభించాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము సాధారణ పనులు, క్రమంగా మరింత సంక్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లడం. అందువలన, గ్రాడ్యుయేట్ తనను తాను ఎక్కువగా హైలైట్ చేయగలడు కష్టమైన విషయాలుమరియు వాటిని అధ్యయనం చేయడంపై దృష్టి పెట్టండి.

కోసం సిద్ధం చేయడం ప్రారంభించండి చివరి పరీక్షఈ రోజు ష్కోల్కోవోతో, మరియు ఫలితం రావడానికి ఎక్కువ కాలం ఉండదు! అత్యంత ఎంచుకోండి సులభమైన ఉదాహరణప్రతిపాదించిన వారి నుండి. మీరు వ్యక్తీకరణలో త్వరగా ప్రావీణ్యం సంపాదించినట్లయితే, మరిన్నింటికి వెళ్లండి కష్టమైన పని. ఈ విధంగా మీరు ప్రత్యేక స్థాయిలో గణితంలో USE టాస్క్‌లను పరిష్కరించే స్థాయి వరకు మీ జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవచ్చు.

శిక్షణ మాస్కో నుండి గ్రాడ్యుయేట్లకు మాత్రమే కాకుండా, ఇతర నగరాల నుండి పాఠశాల పిల్లలకు కూడా అందుబాటులో ఉంది. ఉదాహరణకు, మా పోర్టల్‌లో అధ్యయనం చేయడానికి రోజుకు కొన్ని గంటలు గడపండి మరియు అతి త్వరలో మీరు ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమీకరణాలను ఎదుర్కోగలుగుతారు!