అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మూడు మార్గాలను చూద్దాం.
కారకం ద్వారా కనుగొనడం
ఇవ్వబడిన సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం మొదటి పద్ధతి.
99, 30 మరియు 28 సంఖ్యల యొక్క LCMని మనం కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, ఈ సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేద్దాం:
కోరుకున్న సంఖ్య 99, 30 మరియు 28తో భాగించబడాలంటే, ఈ భాజకాల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను సాధ్యమైనంత గొప్ప శక్తికి తీసుకొని వాటిని కలిసి గుణించాలి:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
ఈ విధంగా, LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860 కంటే తక్కువ ఇతర సంఖ్య 99, 30 లేదా 28 ద్వారా భాగించబడదు.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వాటిని వాటి ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేసి, ఆపై ప్రతి ప్రధాన కారకాన్ని అది కనిపించే అతిపెద్ద ఘాతాంకంతో తీసుకొని, ఆ కారకాలను కలిపి గుణించండి.
సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యలకు సాధారణ ప్రధాన కారకాలు లేవు కాబట్టి, వాటి కనీస సాధారణ గుణకం ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం. ఉదాహరణకు, మూడు సంఖ్యలు: 20, 49 మరియు 33 సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి. అందుకే
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
వివిధ ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనేటప్పుడు కూడా అదే చేయాలి. ఉదాహరణకు, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
ఎంపిక ద్వారా కనుగొనడం
రెండవ పద్ధతి ఎంపిక ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం.
ఉదాహరణ 1. ఇచ్చిన సంఖ్యలలో అతిపెద్దది మరొక ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడినప్పుడు, ఈ సంఖ్యల LCM వాటిలో అతిపెద్దదానికి సమానం. ఉదాహరణకు, నాలుగు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి: 60, 30, 10 మరియు 6. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 60 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
ఇతర సందర్భాల్లో, అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, క్రింది విధానం ఉపయోగించబడుతుంది:
- ఇచ్చిన సంఖ్యల నుండి అతిపెద్ద సంఖ్యను నిర్ణయించండి.
- తరువాత, పెరుగుతున్న క్రమంలో సహజ సంఖ్యలతో గుణించడం ద్వారా మరియు ఫలిత ఉత్పత్తిని మిగిలిన అందించిన సంఖ్యలతో భాగించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయడం ద్వారా అతిపెద్ద సంఖ్య యొక్క గుణకాలుగా ఉన్న సంఖ్యలను మేము కనుగొంటాము.
ఉదాహరణ 2. మూడు సంఖ్యలు 24, 3 మరియు 18 ఇవ్వబడ్డాయి. వాటిలో అతిపెద్దది మేము నిర్ణయిస్తాము - ఇది 24 సంఖ్య. తర్వాత, మేము 24 యొక్క గుణిజాలుగా ఉన్న సంఖ్యలను కనుగొంటాము, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 18 మరియు 3 ద్వారా భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేస్తాము:
24 · 1 = 24 - 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కానీ 18 ద్వారా భాగించబడదు.
24 · 2 = 48 - 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కానీ 18 ద్వారా భాగించబడదు.
24 · 3 = 72 - 3 మరియు 18 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
అందువలన, LCM (24, 3, 18) = 72.
LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా కనుగొనడం
LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం మూడవ పద్ధతి.
ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యల యొక్క LCM ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారంతో భాగించబడిన దాని యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.
ఉదాహరణ 1. ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి: 12 మరియు 8. వాటి గొప్ప సాధారణ విభజనను నిర్ణయించండి: GCD (12, 8) = 4. ఈ సంఖ్యలను గుణించండి:
మేము ఉత్పత్తిని వారి gcd ద్వారా విభజిస్తాము:
అందువలన, LCM (12, 8) = 24.
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, క్రింది విధానాన్ని ఉపయోగించండి:
- ముందుగా, వీటిలో ఏదైనా రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.
- అప్పుడు, కనుగొనబడిన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం మరియు మూడవ ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క LCM.
- అప్పుడు, ఫలితంగా వచ్చే అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క LCM మరియు నాల్గవ సంఖ్య మొదలైనవి.
- అందువలన, సంఖ్యలు ఉన్నంత వరకు LCM కోసం శోధన కొనసాగుతుంది.
ఉదాహరణ 2. ఇవ్వబడిన మూడు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి: 12, 8 మరియు 9. మేము ఇప్పటికే మునుపటి ఉదాహరణలో 12 మరియు 8 సంఖ్యల LCMని కనుగొన్నాము (ఇది సంఖ్య 24). సంఖ్య 24 మరియు మూడవ ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది - 9. వాటి గొప్ప సాధారణ విభజనను నిర్ణయించండి: GCD (24, 9) = 3. LCMని సంఖ్య 9తో గుణించండి:
మేము ఉత్పత్తిని వారి gcd ద్వారా విభజిస్తాము:
అందువలన, LCM (12, 8, 9) = 72.
"బహుళ సంఖ్యలు" అనే అంశం మాధ్యమిక పాఠశాల 5వ తరగతిలో అధ్యయనం చేయబడింది. వ్రాత మరియు మౌఖిక గణిత గణన నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచడం దీని లక్ష్యం. ఈ పాఠంలో, కొత్త భావనలు ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి - “బహుళ సంఖ్యలు” మరియు “డివైజర్లు”, సహజ సంఖ్య యొక్క భాగహారాలు మరియు గుణిజాలను కనుగొనే సాంకేతికత మరియు వివిధ మార్గాల్లో LCMని కనుగొనే సామర్థ్యం సాధన చేయబడతాయి.
ఈ అంశం చాలా ముఖ్యమైనది. భిన్నాలతో ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు దాని జ్ఞానం వర్తించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు కనీసం సాధారణ మల్టిపుల్ (LCM)ని లెక్కించడం ద్వారా సాధారణ హారంను కనుగొనాలి.
A యొక్క గుణకం అనేది ఒక పూర్ణాంకం, ఇది శేషం లేకుండా A చే భాగించబడుతుంది.
ప్రతి సహజ సంఖ్యకు అనంతమైన గుణకాలు ఉంటాయి. ఇది స్వయంగా చిన్నదిగా పరిగణించబడుతుంది. గుణకం సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉండకూడదు.
మీరు 125 సంఖ్య 5 యొక్క గుణకం అని నిరూపించాలి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు మొదటి సంఖ్యను రెండవ సంఖ్యతో విభజించాలి. 125ని శేషం లేకుండా 5తో భాగిస్తే, అవుననే సమాధానం వస్తుంది.
ఈ పద్ధతి చిన్న సంఖ్యలకు వర్తిస్తుంది.
LOCని లెక్కించేటప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భాలు ఉన్నాయి.
1. మీరు 2 సంఖ్యల (ఉదాహరణకు, 80 మరియు 20) యొక్క సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటే, వాటిలో ఒకటి (80) మరొకటి (20) ద్వారా భాగించబడినట్లయితే, ఈ సంఖ్య (80) వీటిలో అతి తక్కువ గుణకం రెండు సంఖ్యలు.
LCM(80, 20) = 80.
2. ఇద్దరికి ఉమ్మడి డివైజర్ లేకుంటే, వారి LCM ఈ రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి అని చెప్పవచ్చు.
LCM(6, 7) = 42.
చివరి ఉదాహరణ చూద్దాం. 42కి సంబంధించి 6 మరియు 7 భాగహారాలు. అవి ఒక సంఖ్య యొక్క గుణకాన్ని శేషం లేకుండా విభజిస్తాయి.
ఈ ఉదాహరణలో, 6 మరియు 7 జత కారకాలు. వాటి ఉత్పత్తి చాలా బహుళ సంఖ్య (42)కి సమానం.
ఒక సంఖ్య దాని ద్వారా లేదా 1 (3:1=3; 3:3=1) ద్వారా మాత్రమే భాగించబడినట్లయితే దానిని ప్రధానం అంటారు. మిగిలిన వాటిని మిశ్రమ అంటారు.
మరొక ఉదాహరణ 9 అనేది 42 యొక్క భాజకం కాదా అని నిర్ణయించడం.
42:9=4 (మిగిలినవి 6)
సమాధానం: 9 అనేది 42 యొక్క భాగహారం కాదు ఎందుకంటే సమాధానానికి శేషం ఉంది.
భాగహారం గుణకారం నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, దీనిలో భాగహారం అనేది సహజ సంఖ్యలను విభజించే సంఖ్య, మరియు గుణకం కూడా ఈ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది.
సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం aమరియు బి, వాటి కనిష్ట గుణకారంతో గుణిస్తే, సంఖ్యల ఉత్పత్తిని స్వయంగా ఇస్తుంది aమరియు బి.
అవి: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
మరింత సంక్లిష్ట సంఖ్యల కోసం సాధారణ గుణిజాలు క్రింది విధంగా కనుగొనబడ్డాయి.
ఉదాహరణకు, 168, 180, 3024 కోసం LCMని కనుగొనండి.
మేము ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిస్తాము మరియు వాటిని శక్తుల ఉత్పత్తిగా వ్రాస్తాము:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం నేరుగా ఆ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగానికి సంబంధించినది. ఈ GCD మరియు NOC మధ్య కనెక్షన్కింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
సిద్ధాంతం.
a మరియు b అనే రెండు ధన పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b ల ఉత్పత్తికి సమానం, a మరియు b యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారంతో విభజించబడింది, అనగా, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
రుజువు.
వీలు M అనేది a మరియు b సంఖ్యలలో కొంత గుణకం. అంటే, M అనేది aతో భాగించబడుతుంది మరియు భాగస్వామ్య నిర్వచనం ప్రకారం, M=a·k సమానత్వం నిజం అయ్యేలా కొంత పూర్ణాంకం k ఉంటుంది. కానీ M కూడా bతో భాగించబడుతుంది, తర్వాత a·k అనేది bతో భాగించబడుతుంది.
gcd(a, b)ని d గా సూచిస్తాం. అప్పుడు మనం a=a 1 ·d మరియు b=b 1 ·d అనే సమానతలను వ్రాయవచ్చు మరియు a 1 =a:d మరియు b 1 =b:d సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, a · k bతో భాగించబడుతుందని మునుపటి పేరాలో పొందబడిన షరతును ఈ క్రింది విధంగా సంస్కరించవచ్చు: a 1 · d · kని b 1 · d ద్వారా భాగించవచ్చు మరియు ఇది విభజన లక్షణాల కారణంగా, షరతుకు సమానం a 1 · k అనేది b 1 ద్వారా భాగించబడుతుంది.
మీరు పరిగణించబడిన సిద్ధాంతం నుండి రెండు ముఖ్యమైన సహసంబంధాలను కూడా వ్రాయాలి.
రెండు సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు వాటి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క గుణిజాలకు సమానంగా ఉంటాయి.
ఇది వాస్తవంగా జరుగుతుంది, ఎందుకంటే a మరియు b సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సాధారణ గుణకం M=LMK(a, b)·t కొంత పూర్ణాంకం విలువ t కోసం సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
పరస్పర ప్రధాన సానుకూల సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b వాటి ఉత్పత్తికి సమానం.
ఈ వాస్తవం యొక్క హేతువు చాలా స్పష్టంగా ఉంది. a మరియు b సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి కాబట్టి, gcd(a, b)=1, కాబట్టి, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడానికి తగ్గించబడుతుంది. ఇది ఎలా చేయాలో కింది సిద్ధాంతంలో సూచించబడింది a 1 , a 2 , ..., a k సంఖ్యల m k-1 మరియు a k యొక్క సాధారణ గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, m k సంఖ్య యొక్క సాధారణ గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది. మరియు m k సంఖ్య యొక్క అతిచిన్న ధన గుణకం m k అనే సంఖ్య అయినందున, a 1, a 2, ..., a k అనేది m k సంఖ్యల యొక్క అతి చిన్న సాధారణ గుణకం.
గ్రంథ పట్టిక.
- విలెంకిన్ N.Ya. మరియు ఇతరులు. గణితం. 6వ తరగతి: సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం.
- వినోగ్రాడోవ్ I.M. సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు.
- మిఖెలోవిచ్ Sh.H. సంఖ్య సిద్ధాంతం.
- కులికోవ్ L.Ya. మరియు ఇతరులు బీజగణితం మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతంలో సమస్యల సేకరణ: భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రాల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం. బోధనా సంస్థల ప్రత్యేకతలు.
కానీ అనేక సహజ సంఖ్యలు కూడా ఇతర సహజ సంఖ్యలతో భాగించబడతాయి.
ఉదాహరణకి:
12 సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 6, 12 ద్వారా భాగించబడుతుంది;
36 సంఖ్యను 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ద్వారా భాగించవచ్చు.
సంఖ్యను మొత్తంగా భాగించే సంఖ్యలను (12కి ఇవి 1, 2, 3, 4, 6 మరియు 12) అంటారు. సంఖ్యల భాగహారాలు. సహజ సంఖ్య యొక్క భాగహారం a- ఇచ్చిన సంఖ్యను విభజించే సహజ సంఖ్య aఆధారం లేకుండా. రెండు కంటే ఎక్కువ భాగహారాలను కలిగి ఉన్న సహజ సంఖ్యను అంటారు మిశ్రమ .
దయచేసి 12 మరియు 36 సంఖ్యలు సాధారణ కారకాలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. ఈ సంఖ్యలు: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప భాజకం 12. ఈ రెండు సంఖ్యల ఉమ్మడి భాగహారం aమరియు బి- ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యలను శేషం లేకుండా విభజించిన సంఖ్య ఇది aమరియు బి.
సాధారణ గుణిజాలుఅనేక సంఖ్యలు ఈ సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడే ఒక సంఖ్య. ఉదాహరణకి, 9, 18 మరియు 45 సంఖ్యలు 180 యొక్క సాధారణ గుణింతాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కానీ 90 మరియు 360 కూడా వాటి సాధారణ గుణకాలు. అన్ని సాధారణ గుణకాలలో ఎల్లప్పుడూ చిన్నది ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో అది 90. ఈ సంఖ్య అంటారు అతి చిన్నదైనసాధారణ బహుళ (CMM).
LCM అనేది ఎల్లప్పుడూ సహజ సంఖ్య, ఇది నిర్వచించబడిన సంఖ్యలలో అతిపెద్ద సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.
అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM). లక్షణాలు.
మార్పిడి:
అసోసియేటివిటీ:
ప్రత్యేకించి, కాప్రైమ్ నంబర్‌లు అయితే, అప్పుడు:
రెండు పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం mమరియు nఅన్ని ఇతర సాధారణ గుణిజాల భాగహారం mమరియు n. అంతేకాకుండా, సాధారణ గుణిజాల సమితి m, n LCM యొక్క గుణిజాల సమితితో సమానంగా ఉంటుంది( m, n).
కోసం అసిమ్ప్టోటిక్స్ కొన్ని సంఖ్య-సిద్ధాంత విధుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి.
కాబట్టి, చెబిషెవ్ ఫంక్షన్. మరియు:
ఇది లాండౌ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు లక్షణాల నుండి అనుసరిస్తుంది శుభరాత్రి).
ప్రధాన సంఖ్యల పంపిణీ చట్టం నుండి ఏమి అనుసరిస్తుంది.
అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని కనుగొనడం.
NOC( ఎ, బి) అనేక విధాలుగా లెక్కించవచ్చు:
1. గొప్ప సాధారణ విభజన తెలిసినట్లయితే, మీరు LCMతో దాని కనెక్షన్‌ని ఉపయోగించవచ్చు:
2. ప్రధాన కారకాలుగా రెండు సంఖ్యల యొక్క నియమానుగుణ కుళ్ళిపోవడాన్ని తెలుసుకుందాం:
ఎక్కడ p 1 ,...,p k- వివిధ ప్రధాన సంఖ్యలు, మరియు d 1 ,...,d kమరియు ఇ 1 ,..., ఇ కె— నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకాలు (సంబంధిత ప్రైమ్ విస్తరణలో లేకుంటే అవి సున్నాలు కావచ్చు).
అప్పుడు NOC ( a,బి) సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, LCM కుళ్ళిపోవడం అనేది సంఖ్యల కుళ్ళిపోవటంలో కనీసం ఒకదానిలో చేర్చబడిన అన్ని ప్రధాన కారకాలను కలిగి ఉంటుంది. ఎ, బి, మరియు ఈ గుణకం యొక్క రెండు ఘాతాంకాలలో అతిపెద్దది తీసుకోబడింది.
ఉదాహరణ:
అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడం రెండు సంఖ్యల LCM యొక్క అనేక వరుస గణనలకు తగ్గించబడుతుంది:
నియమం.సంఖ్యల శ్రేణి యొక్క LCMని కనుగొనడానికి, మీకు ఇది అవసరం:
- సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయండి;
- కావలసిన ఉత్పత్తి యొక్క కారకాలకు అతిపెద్ద కుళ్ళిపోవడాన్ని (ఇచ్చిన వాటిలో అత్యధిక సంఖ్యలో కారకాల ఉత్పత్తి) బదిలీ చేయండి, ఆపై మొదటి సంఖ్యలో కనిపించని లేదా దానిలో కనిపించని ఇతర సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడం నుండి కారకాలను జోడించండి. తక్కువ సార్లు;
— ప్రధాన కారకాల యొక్క ఫలిత ఉత్పత్తి ఇచ్చిన సంఖ్యల LCM అవుతుంది.
ఏదైనా రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యలు వాటి స్వంత LCMని కలిగి ఉంటాయి. సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి గుణకాలు కాకపోయినా లేదా విస్తరణలో ఒకే కారకాలు లేకుంటే, వాటి LCM ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం.
సంఖ్య 28 (2, 2, 7) యొక్క ప్రధాన కారకాలు 3 (సంఖ్య 21) కారకంతో అనుబంధించబడతాయి, ఫలితంగా వచ్చే ఉత్పత్తి (84) 21 మరియు 28 ద్వారా భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య అవుతుంది.
అతిపెద్ద సంఖ్య 30 యొక్క ప్రధాన కారకాలు సంఖ్య 25 యొక్క కారకం 5 ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి, ఫలితంగా ఉత్పత్తి 150 అతిపెద్ద సంఖ్య 30 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు మిగిలిన సంఖ్యలు లేకుండా అన్ని ఇచ్చిన సంఖ్యలతో భాగించబడుతుంది. ఇది సాధ్యమయ్యే అతి చిన్న ఉత్పత్తి (150, 250, 300...) ఇది అన్ని ఇవ్వబడిన సంఖ్యల గుణకం.
2,3,11,37 సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలు, కాబట్టి వాటి LCM ఇచ్చిన సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం.
నియమం. ప్రధాన సంఖ్యల LCMని లెక్కించడానికి, మీరు ఈ సంఖ్యలన్నింటినీ కలిపి గుణించాలి.
మరొక ఎంపిక:
మీకు అవసరమైన అనేక సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని కనుగొనడానికి:
1) ప్రతి సంఖ్యను దాని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచిస్తుంది, ఉదాహరణకు:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) అన్ని ప్రధాన కారకాల అధికారాలను వ్రాయండి:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) ఈ ప్రతి సంఖ్య యొక్క అన్ని ప్రధాన భాగహారాలను (మల్టిప్లయర్స్) వ్రాయండి;
4) ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని విస్తరణలలో కనిపించే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి గొప్ప డిగ్రీని ఎంచుకోండి;
5) ఈ శక్తులను గుణించండి.
ఉదాహరణ. సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి: 168, 180 మరియు 3024.
పరిష్కారం. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
మేము అన్ని ప్రధాన విభజనల యొక్క గొప్ప శక్తులను వ్రాసి వాటిని గుణిస్తాము:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
దిగువ అందించబడిన మెటీరియల్ LCM అనే వ్యాసం నుండి సిద్ధాంతం యొక్క తార్కిక కొనసాగింపు - తక్కువ సాధారణ బహుళ, నిర్వచనం, ఉదాహరణలు, LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్. ఇక్కడ మనం మాట్లాడతాము అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం (LCM), మరియు మేము ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యేక శ్రద్ధ చూపుతాము. మొదట, ఈ సంఖ్యల GCDని ఉపయోగించి రెండు సంఖ్యల LCM ఎలా లెక్కించబడుతుందో మేము చూపుతాము. తర్వాత, మేము ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం చూస్తాము. దీని తర్వాత, మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడంపై దృష్టి పెడతాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల LCMని గణించడంపై కూడా శ్రద్ధ చూపుతాము.
పేజీ నావిగేషన్.
GCD ద్వారా తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) గణన
LCM మరియు GCD మధ్య సంబంధం ఆధారంగా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం. LCM మరియు GCDల మధ్య ఉన్న కనెక్షన్ తెలిసిన గొప్ప ఉమ్మడి విభజన ద్వారా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతిస్తుంది. సంబంధిత సూత్రం LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . ఇచ్చిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే ఉదాహరణలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
126 మరియు 70 అనే రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఈ ఉదాహరణలో a=126 , b=70 . ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన LCM మరియు GCD మధ్య కనెక్షన్‌ని ఉపయోగిస్తాము LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). అంటే, ముందుగా మనం 70 మరియు 126 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఆ తర్వాత మనం వ్రాసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ సంఖ్యల LCMని లెక్కించవచ్చు.
యూక్లిడియన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి GCD(126, 70)ని కనుగొనండి: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, కాబట్టి, GCD(126, 70)=14.
ఇప్పుడు మనం అవసరమైన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొంటాము: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
సమాధానం:
LCM(126, 70)=630 .
ఉదాహరణ.
LCM(68, 34) దేనికి సమానం?
పరిష్కారం.
ఎందుకంటే 68 అనేది 34తో భాగించబడుతుంది, తర్వాత GCD(68, 34)=34. ఇప్పుడు మనం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కిస్తాము: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
సమాధానం:
LCM(68, 34)=68 .
a మరియు b ధనాత్మక పూర్ణాంకాల కోసం LCMని కనుగొనడానికి మునుపటి ఉదాహరణ క్రింది నియమానికి సరిపోతుందని గమనించండి: a సంఖ్య bతో భాగించబడితే, ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a.
ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా LCMని కనుగొనడం
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మరొక మార్గం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం సంఖ్యల ఆధారంగా ఉంటుంది. మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేసి, ఆపై ఈ ఉత్పత్తి నుండి అందించిన సంఖ్యల కుళ్ళిపోయేటటువంటి అన్ని సాధారణ ప్రధాన కారకాలను మినహాయిస్తే, ఫలిత ఉత్పత్తి ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది. .
LCMని కనుగొనడానికి పేర్కొన్న నియమం సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). నిజానికి, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ప్రతిగా, GCD(a, b) అనేది a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విస్తరించడాన్ని ఉపయోగించి GCDని కనుగొనే విభాగంలో వివరించినట్లు).
ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7 అని తెలుసుకుందాం. ఈ విస్తరణల యొక్క అన్ని కారకాల నుండి ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేద్దాం: 2·3·3·5·5·5·7 . ఇప్పుడు ఈ ఉత్పత్తి నుండి మేము సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ మరియు సంఖ్య 210 (ఈ కారకాలు 3 మరియు 5) విస్తరణ రెండింటిలోనూ ఉన్న అన్ని కారకాలను మినహాయించాము, అప్పుడు ఉత్పత్తి 2·3·5·5·7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. . ఈ ఉత్పత్తి విలువ 75 మరియు 210 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకానికి సమానం, అంటే, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
ఉదాహరణ.
441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి మరియు ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం:
మనకు 441=3·3·7·7 మరియు 700=2·2·5·5·7 లభిస్తాయి.
ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాల నుండి ఒక ఉత్పత్తిని రూపొందిద్దాం: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. రెండు విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని కారకాలను ఈ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయిద్దాం (అటువంటి ఒక అంశం మాత్రమే ఉంది - ఇది సంఖ్య 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 . ఈ విధంగా, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
సమాధానం:
NOC(441, 700)= 44 100 .
ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యల కారకాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే నియమాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు. సంఖ్య b యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు a సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి కారకాలకు జోడించబడితే, ఫలితంగా ఉత్పత్తి యొక్క విలువ a మరియు b సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది..
ఉదాహరణకు, అదే సంఖ్యలు 75 మరియు 210 తీసుకుందాం, ప్రధాన కారకాలుగా వాటి కుళ్ళిపోవడం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: 75=3·5·5 మరియు 210=2·3·5·7. సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణ నుండి 3, 5 మరియు 5 కారకాలకు మేము 210 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 7 ను జోడిస్తాము, మేము 2·3·5·5·7 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, దీని విలువ LCM(75, 210)కి సమానం.
ఉదాహరణ.
84 మరియు 648 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మేము మొదట 84 మరియు 648 సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము. అవి 84=2·2·3·7 మరియు 648=2·2·2·3·3·3·3 లాగా కనిపిస్తాయి. సంఖ్య 84 యొక్క విస్తరణ నుండి 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 648 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2, 3, 3 మరియు 3ని జోడిస్తాము, మేము ఉత్పత్తి 2 2 2 3 3 3 3 7 ను పొందుతాము, ఇది 4 536కి సమానం. ఈ విధంగా, 84 మరియు 648 యొక్క కనీస సాధారణ గుణకం 4,536.
సమాధానం:
LCM(84, 648)=4,536 .
మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం
రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు. మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనే మార్గాన్ని అందించే సంబంధిత సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం.
సిద్ధాంతం.
ధనాత్మక పూర్ణాంక సంఖ్యలు a 1 , a 2 , ..., a k ఇవ్వబడనివ్వండి, ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ m k m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
నాలుగు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
140, 9, 54 మరియు 250 అనే నాలుగు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఈ ఉదాహరణలో, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
మొదట మనం కనుగొంటాము m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). దీన్ని చేయడానికి, యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము GCD(140, 9)ని నిర్ణయిస్తాము, మనకు 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, కాబట్టి, GCD(140, 9)=1 , ఎక్కడ నుండి GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. అంటే, m 2 =1 260.
ఇప్పుడు మనం కనుగొన్నాము m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). దానిని GCD(1 260, 54) ద్వారా గణిద్దాం, దీనిని మనం యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి కూడా నిర్ణయిస్తాము: 1 260=54·23+18, 54=18·3. అప్పుడు gcd(1,260, 54)=18, దీని నుండి gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. అంటే, m 3 =3 780.
కనుగొనడమే మిగిలి ఉంది m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). దీన్ని చేయడానికి, మేము యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి GCD(3,780, 250)ని కనుగొంటాము: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. కాబట్టి, GCM(3,780, 250)=10, ఎక్కడ నుండి GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. అంటే, m 4 =94,500.
కాబట్టి అసలు నాలుగు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 94,500.
సమాధానం:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
అనేక సందర్భాల్లో, ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారకాన్ని ఉపయోగించి మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మీరు క్రింది నియమానికి కట్టుబడి ఉండాలి. అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఉత్పత్తికి సమానం, ఇది క్రింది విధంగా కూర్చబడింది: రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి అన్ని కారకాలకు జోడించబడతాయి, విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మూడవ సంఖ్య ఫలిత కారకాలకు జోడించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.
ప్రైమ్ ఫ్యాక్టరైజేషన్ ఉపయోగించి అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ని కనుగొనే ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
ఐదు సంఖ్యల 84, 6, 48, 7, 143లో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మొదట, మేము ఈ సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, ఇది సమానంగా ఉంటుంది ప్రధాన కారకాలుగా దాని కుళ్ళిపోవడంతో) మరియు 143=11·13.
ఈ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మొదటి సంఖ్య 84 (అవి 2, 2, 3 మరియు 7) యొక్క కారకాలకు, మీరు రెండవ సంఖ్య 6 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించాలి. మొదటి సంఖ్య 84 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో 2 మరియు 3 రెండూ ఇప్పటికే ఉన్నందున, సంఖ్య 6 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో తప్పిపోయిన కారకాలు లేవు. తరువాత, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము మూడవ సంఖ్య 48 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 2 లను జోడిస్తాము, మేము 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాల సమితిని పొందుతాము. తదుపరి దశలో ఈ సెట్‌కు మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించాల్సిన అవసరం ఉండదు, ఎందుకంటే 7 ఇప్పటికే ఇందులో ఉంది. చివరగా, 2, 2, 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 143 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన 11 మరియు 13 కారకాలను జోడిస్తాము. మేము 2·2·2·2·3·7·11·13 ఉత్పత్తిని పొందుతాము, ఇది 48,048కి సమానం.