మొత్తం అవకలన మరియు ఉజ్జాయింపు లెక్కలకు దాని అప్లికేషన్. ఉజ్జాయింపు లెక్కలకు అవకలనను వర్తింపజేయడం

23. అవకలన ఫంక్షన్ యొక్క భావన. లక్షణాలు. సుమారుగా భేదం యొక్క అప్లికేషన్.y లెక్కలు.

అవకలన ఫంక్షన్ యొక్క భావన

ఫంక్షన్ y=ƒ(x) పాయింట్ x వద్ద నాన్ జీరో డెరివేటివ్‌ని కలిగి ఉండనివ్వండి.

అప్పుడు, ఒక ఫంక్షన్, దాని పరిమితి మరియు అనంతమైన ఫంక్షన్ మధ్య కనెక్షన్ గురించి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనం  у/х=ƒ"(x)+α అని వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ α→0 వద్ద ∆х→0, లేదా ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

ఈ విధంగా, ఫంక్షన్ ∆у యొక్క పెంపు అనేది ƒ"(x) ∆x మరియు a ∆x అనే రెండు పదాల మొత్తం, ఇవి ∆x→0కి అనంతంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భంలో, మొదటి పదం అనంతంగా ఉంటుంది. చిన్న ఫంక్షన్∆х వలె అదే క్రమంలో, నుండి మరియు రెండవ పదం అనేది ఎక్కువ యొక్క అనంతమైన ఫంక్షన్ అధిక ఆర్డర్, ∆х కంటే:

కాబట్టి, మొదటి పదం ƒ"(x) ∆x అంటారు ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన భాగంవిధులు ∆у.

ఫంక్షన్ అవకలన x బిందువు వద్ద y=ƒ(x) దాని ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన భాగం అంటారు, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు dу (లేదా dƒ(x))గా సూచించబడుతుంది:

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

dу అవకలన అని కూడా అంటారు మొదటి ఆర్డర్ అవకలన.ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ x యొక్క అవకలనాన్ని కనుగొనండి, అనగా y=x ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన.

y"=x"=1 కాబట్టి, ఫార్ములా (1) ప్రకారం, మనకు dy=dx=∆x ఉంటుంది, అనగా స్వతంత్ర చరరాశి యొక్క అవకలన పెంపుతో సమానంఈ వేరియబుల్: dх=∆х.

కాబట్టి, ఫార్ములా (1) ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క అవకలనానికి సమానం.

ఫార్ములా (2) నుండి సమానత్వం dy/dx=ƒ"(x). ఇప్పుడు సంజ్ఞామానం

dy/dx వ్యుత్పన్నం dy మరియు dx భేదాల నిష్పత్తిగా పరిగణించబడుతుంది.

అవకలనకింది ప్రధాన లక్షణాలను కలిగి ఉంది.

1. d(తో)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(తోu)=తోd(u)

4. .

5. వై= f(z), , ,

అవకలన రూపం మార్పులేనిది (మారదు): ఇది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది ఉత్పత్తికి సమానంఆర్గ్యుమెంట్ సాధారణమైనదా లేదా సంక్లిష్టమైనదా అనే దానితో సంబంధం లేకుండా ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అవకలన ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ఉజ్జాయింపు లెక్కలకు అవకలనను వర్తింపజేయడం

ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, x పాయింట్ వద్ద y=ƒ(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ ∆у ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, ఇక్కడ α→0 వద్ద ∆х→0, లేదా ∆у= dy+α ∆х ∆х కంటే ఎక్కువ శ్రేణి యొక్క అనంతమైన α ∆х, మేము సుమారు సమానత్వాన్ని పొందుతాము.

∆y≈dy, (3)

అంతేకాకుండా, ఈ సమానత్వం మరింత ఖచ్చితమైనది, చిన్నది ∆х.

ఈ సమానత్వం గొప్ప ఖచ్చితత్వంతో ఏదైనా డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌ను సుమారుగా లెక్కించేందుకు అనుమతిస్తుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ కంటే అవకలన సాధారణంగా కనుగొనడం చాలా సులభం, కాబట్టి ఫార్ములా (3) కంప్యూటింగ్ ప్రాక్టీస్‌లో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

24. యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ మరియు నిరవధికవ సమగ్ర.

ఒక ఆదిమ ఫంక్షన్ మరియు ఒక నష్టపరిహారం సమగ్రత యొక్క భావన

ఫంక్షన్ ఎఫ్ (X) అంటారు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ ఈ ఫంక్షన్ కోసం f (X) (లేదా, సంక్షిప్తంగా, యాంటీడెరివేటివ్ ఈ ఫంక్షన్ f (X)) ఇచ్చిన విరామంలో, ఈ విరామంలో అయితే . ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ అనేది మొత్తం సంఖ్య అక్షం మీద ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే ఏదైనా X. ఒక ఫంక్షన్‌తో పాటు, ఫారమ్‌లోని ఏదైనా ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అని గమనించండి తో- ఏకపక్ష స్థిర సంఖ్య(ఇది స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అనే వాస్తవం నుండి వస్తుంది). ఈ ఆస్తి సాధారణ కేసులో కూడా ఉంది.

సిద్ధాంతం 1. ఫంక్షన్ కోసం రెండు యాంటీడెరివేటివ్‌లు మరియు ఉంటే f (X) ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో, ఈ విరామంలో వాటి మధ్య వ్యత్యాసం స్థిరమైన సంఖ్యకు సమానం. ఈ సిద్ధాంతం నుండి ఏదైనా యాంటీడెరివేటివ్ తెలిసినట్లయితే అది అనుసరిస్తుంది ఎఫ్ (X) ఈ ఫంక్షన్ f (X), తర్వాత యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తం సెట్ f (X) ఫంక్షన్ల ద్వారా అయిపోయింది ఎఫ్ (X) + తో. వ్యక్తీకరణ ఎఫ్ (X) + తో, ఎక్కడ ఎఫ్ (X) - ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f (X) మరియు తో- ఏకపక్ష స్థిరాంకం, అంటారు నిరవధిక సమగ్ర ఫంక్షన్ నుండి f (X) మరియు చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు f (X) అంటారు సమగ్ర ఫంక్షన్ ; - సమగ్ర , X - ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్ ; ∫ - నిరవధిక సమగ్ర సంకేతం . అందువలన, నిర్వచనం ప్రకారం ఉంటే . ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: అందరికి విధులు f (X) ఒక యాంటీడెరివేటివ్ ఉంది మరియు అందుచేత నిరవధిక సమగ్రం ఉందా? సిద్ధాంతం 2. ఫంక్షన్ అయితే f (X) నిరంతర పై [ a ; బి], అప్పుడు ఫంక్షన్ కోసం ఈ విభాగంలో f (X) ఒక యాంటీడెరివేటివ్ ఉంది . క్రింద మేము నిరంతర ఫంక్షన్ల కోసం మాత్రమే యాంటీడెరివేటివ్స్ గురించి మాట్లాడుతాము. కాబట్టి, ఈ విభాగంలో మేము తరువాత పరిగణించే సమగ్రతలు ఉన్నాయి.

25. నిరవధిక లక్షణాలుమరియుసమగ్రమైన. సమగ్రప్రాథమిక ప్రాథమిక విధుల నుండి s.

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు

దిగువ సూత్రాలలో fమరియు g- వేరియబుల్ ఫంక్షన్లు x, ఎఫ్- ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f, a, k, C- స్థిరమైన విలువలు.



ప్రాథమిక విధుల సమగ్రతలు

నుండి సమగ్రాల జాబితా హేతుబద్ధమైన విధులు

(సున్నా యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ స్థిరంగా ఉంటుంది; ఏకీకరణ యొక్క ఏదైనా పరిమితులలో, సున్నా యొక్క సమగ్రం సున్నాకి సమానం)

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ల సమగ్రాల జాబితా

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల సమగ్రాల జాబితా

నుండి సమగ్రాల జాబితా అహేతుక విధులు

("లాంగ్ లాగరిథమ్")

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమగ్రాల జాబితా , విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమగ్రాల జాబితా

26. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిs వేరియబుల్, నిరవధిక సమగ్రంలో భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతి.

వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతి (ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి)

ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతి ఒక కొత్త ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్ (అంటే, ప్రత్యామ్నాయం) పరిచయం చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన సమగ్రం కొత్త సమగ్రానికి తగ్గించబడుతుంది, ఇది పట్టిక లేదా దానికి తగ్గించదగినది. సాధారణ పద్ధతులుప్రత్యామ్నాయాల ఎంపిక లేదు. ప్రత్యామ్నాయాన్ని సరిగ్గా నిర్ణయించే సామర్థ్యం అభ్యాసం ద్వారా పొందబడుతుంది.

అవకలన భావన

ఫంక్షన్ లెట్ వై = f(x) వేరియబుల్ యొక్క కొంత విలువకు భేదం ఉంటుంది x. అందువలన, పాయింట్ వద్ద xపరిమిత ఉత్పన్నం ఉంది

అప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, వ్యత్యాసం

వద్ద అనంతమైన విలువ. సమానత్వం (1) నుండి ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ను వ్యక్తీకరించడం, మేము పొందుతాము

(2)

(విలువపై ఆధారపడి ఉండదు, అనగా వద్ద స్థిరంగా ఉంటుంది).

ఒకవేళ , అప్పుడు సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున (2) మొదటి పదం సంబంధించి రేఖీయంగా ఉంటుంది. అందువలన, ఎప్పుడు

ఇది చిన్నతనం యొక్క అదే క్రమంలో అనంతమైనది. రెండవ పదం మొదటిదాని కంటే చిన్నతనం యొక్క అధిక క్రమం యొక్క అనంతమైనది, ఎందుకంటే వాటి నిష్పత్తి సున్నాకి ఉంటుంది

అందువల్ల, ఫార్ములా (2) యొక్క మొదటి పదం ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన, సాపేక్షంగా సరళ భాగం అని వారు చెప్పారు; చిన్నది, పెంపుదల యొక్క పెద్ద నిష్పత్తి ఈ భాగం చేస్తుంది. కాబట్టి, చిన్న విలువలకు (మరియు కోసం) ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ సుమారుగా భర్తీ చేయబడుతుంది ముఖ్య భాగం, అనగా

ఈ ముఖ్య భాగంఒక ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదలను పాయింట్ వద్ద ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన అంటారు xమరియు సూచిస్తాయి

అందుకే,

(5)

కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన y = f(x) దాని ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం.

వ్యాఖ్య. ఉంటే తప్పక గుర్తుంచుకోవాలి x- అసలు వాదన విలువ,

పెరిగిన విలువ, తర్వాత అవకలన వ్యక్తీకరణలోని ఉత్పన్నం తీసుకోబడుతుంది ప్రారంభ స్థానం x; ఫార్ములా (5)లో ఇది రికార్డు నుండి స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, ఫార్ములా (4)లో ఇది లేదు.

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనను మరొక రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

రేఖాగణిత అర్థంఅవకలన. ఫంక్షన్ అవకలన y = f(x) పాయింట్ వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు గీసిన టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం ( x; వై), అది మారినప్పుడు xమొత్తం ద్వారా.

విభిన్న లక్షణాలు. అవకలన ఆకారం యొక్క మార్పులేనిది

ఇందులో మరియు తదుపరి పేరాల్లో, మేము ప్రతి ఫంక్షన్‌ని దాని వాదనల యొక్క అన్ని పరిగణించబడిన విలువలకు భిన్నంగా పరిగణించాలి.

అవకలన ఉత్పన్నం యొక్క లక్షణాలను పోలి ఉంటుంది:

(తో - స్థిరమైన) (8)

(9)

(10)

(12)

సూత్రాలు (8) – (12) ప్రతి సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా గుణించడం ద్వారా ఉత్పన్నం కోసం సంబంధిత సూత్రాల నుండి పొందబడతాయి.

అవకలనను పరిగణించండి క్లిష్టమైన ఫంక్షన్. సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి:

అవకలన

ఈ ఫంక్షన్, సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, రూపంలో వ్రాయవచ్చు

కానీ అవకలన ఫంక్షన్ ఉంది, కాబట్టి

(13)

ఇక్కడ అవకలన సూత్రం (7)లో అదే రూపంలో వ్రాయబడింది, అయితే వాదన స్వతంత్ర వేరియబుల్ కాదు, కానీ ఒక ఫంక్షన్. అందువల్ల, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిగా వ్యక్తీకరించడం మరియు దాని వాదన యొక్క భేదం వాదన స్వతంత్ర వేరియబుల్ లేదా మరొక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ అనే దానితో సంబంధం లేకుండా చెల్లుబాటు అవుతుంది. ఈ ఆస్తి అంటారు మార్పులేనిఅవకలన ఆకారం యొక్క (అస్థిరత).

ఫార్ములా (13)లో , నుండి భర్తీ చేయలేమని మేము నొక్కిచెబుతున్నాము

లీనియర్ తప్ప ఏదైనా ఫంక్షన్ కోసం.

ఉదాహరణ 2.ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనాన్ని వ్రాయండి

రెండు విధాలుగా, దానిని వ్యక్తీకరించడం: ఇంటర్మీడియట్ వేరియబుల్ యొక్క అవకలన ద్వారా మరియు వేరియబుల్ యొక్క అవకలన ద్వారా x. ఫలిత వ్యక్తీకరణల సరిపోలికను తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం. పెడతాం

మరియు అవకలన రూపంలో వ్రాయబడుతుంది

ఈ సమానత్వంలో ప్రత్యామ్నాయం

మాకు దొరికింది

ఉజ్జాయింపు గణనలలో అవకలన యొక్క అప్లికేషన్

మొదటి పేరాలో స్థాపించబడిన సుమారు సమానత్వం

ఫంక్షన్ విలువల యొక్క ఉజ్జాయింపు లెక్కల కోసం అవకలనను ఉపయోగించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉజ్జాయింపు సమానత్వాన్ని మరింత వివరంగా వ్రాసుకుందాం. ఎందుకంటే

ఉదాహరణ 3.అవకలన భావనను ఉపయోగించి, సుమారుగా ln 1.01ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం. ln 1.01 సంఖ్య ఫంక్షన్ యొక్క విలువలలో ఒకటి వై= చిట్టా x. ఫార్ములా (15) లో ఈ విషయంలోరూపం తీసుకుంటుంది

అందుకే,

ఇది చాలా మంచి ఉజ్జాయింపు: టేబుల్ విలువ ln 1.01 = 0.0100.

ఉదాహరణ 4.అవకలన భావనను ఉపయోగించి, సుమారుగా లెక్కించండి

పరిష్కారం. సంఖ్య
ఫంక్షన్ విలువలలో ఒకటి

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం నుండి

అప్పుడు ఫార్ములా (15) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

మాకు దొరికింది

(పట్టిక విలువ

సంఖ్య యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను ఉపయోగించి, మీరు దాని ఖచ్చితత్వం స్థాయిని నిర్ధారించగలగాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, దాని సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపం.

ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ లోపం సంపూర్ణ విలువఖచ్చితమైన సంఖ్య మరియు దాని ఉజ్జాయింపు విలువ మధ్య వ్యత్యాసం:

ఉజ్జాయింపు సంఖ్య యొక్క సాపేక్ష లోపం అనేది ఈ సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ దోషం మరియు సంబంధిత ఖచ్చితమైన సంఖ్య యొక్క సంపూర్ణ విలువకు నిష్పత్తి:

4/3 ద్వారా గుణించడం, మేము కనుగొంటాము

రూట్ యొక్క పట్టిక విలువను తీసుకోవడం

ఖచ్చితమైన సంఖ్య కోసం, మేము సూత్రాలు (16) మరియు (17) ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క సంపూర్ణ మరియు సంబంధిత లోపాలను ఉపయోగించి అంచనా వేస్తాము:

ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క లీనియరైజేషన్‌తో సారూప్యత ద్వారా, ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద భేదం ఉన్న అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను సుమారుగా లెక్కించేటప్పుడు, దాని ఇంక్రిమెంట్‌ను అవకలనతో భర్తీ చేయవచ్చు. అందువలన, మీరు ఫార్ములా ఉపయోగించి అనేక (ఉదాహరణకు, రెండు) వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క సుమారు విలువను కనుగొనవచ్చు:

ఉదాహరణ.

సుమారు విలువను లెక్కించండి.

ఫంక్షన్ పరిగణించండి మరియు ఎంచుకోండి x 0 = 1, y 0 = 2. అప్పుడు Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03. మేము కనుగొంటాము ,

అందువలన, ఇచ్చిన f ( 1, 2) = 3, మనకు లభిస్తుంది:

సంక్లిష్ట విధుల భేదం.

ఫంక్షన్ వాదనలు లెట్ z = f (x, y)క్రమంగా, వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు uమరియు v: x = x (u, v), y = y (u, v).అప్పుడు ఫంక్షన్ fనుండి ఒక ఫంక్షన్ కూడా ఉంది uమరియు v.వాదనలకు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకుందాం uమరియు v,ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం చేయకుండా

z = f (x(u, v), y(u, v)).ఈ సందర్భంలో, పరిశీలనలో ఉన్న అన్ని విధులు వాటి అన్ని వాదనలకు సంబంధించి పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉన్నాయని మేము ఊహిస్తాము.

వాదనను సెట్ చేద్దాం uపెంపు Δu,వాదన మార్చకుండా v.అప్పుడు

మీరు ఇంక్రిమెంట్‌ను వాదనకు మాత్రమే సెట్ చేస్తే v,మాకు దొరికింది: . (2.8)

సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా (2.7) Δ ద్వారా భాగిద్దాం u, మరియు సమానతలు (2.8) - Δ న vమరియు Δ వద్ద వరుసగా పరిమితికి తరలించండి u→ 0 మరియు Δ v→ 0. ఫంక్షన్ల కొనసాగింపు కారణంగా దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుందాం Xమరియు వద్ద. అందుకే,

కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం.

వీలు x = x(t), y = y(t).అప్పుడు ఫంక్షన్ f(x,y)నిజానికి ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ t, మరియు ఫార్ములాలను (2.9) ఉపయోగించి మరియు వాటిలోని పాక్షిక ఉత్పన్నాలను భర్తీ చేయడం సాధ్యమవుతుంది Xమరియు వద్దద్వారా uమరియు vసంబంధించి సాధారణ ఉత్పన్నాలకు t(వాస్తవానికి, విధులు విభిన్నంగా ఉంటాయి x(t)మరియు y(t)), దీని కోసం వ్యక్తీకరణను పొందండి:

(2.10)

అని ఇప్పుడు అనుకుందాం tవేరియబుల్‌గా పనిచేస్తుంది X, అంటే Xమరియు వద్దసంబంధం ద్వారా సంబంధించినది y = y (x).ఈ సందర్భంలో, మునుపటి సందర్భంలో వలె, ఫంక్షన్ fఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ X.ఫార్ములా (2.10) ఉపయోగించి t = xమరియు దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము దానిని పొందుతాము

. (2.11)

ఈ ఫార్ములా ఫంక్షన్ యొక్క రెండు ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉందనే వాస్తవాన్ని మనం దృష్టిలో ఉంచుకుందాం fవాదన ద్వారా X: ఎడమవైపు అని పిలవబడేది మొత్తం ఉత్పన్నం, కుడి వైపున ఉన్న ప్రైవేట్‌కి విరుద్ధంగా.

ఉదాహరణలు.

1. లెట్ z = xy,ఎక్కడ x = u² + v, y = uv². కనుగొని చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట మూడు యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను గణిస్తాము పేర్కొన్న విధులుదాని ప్రతి వాదనకు:

అప్పుడు ఫార్ములా (2.9) నుండి మనం పొందుతాము:

(తుది ఫలితంలో మేము వ్యక్తీకరణలను భర్తీ చేస్తాము Xమరియు వద్దవిధులుగా uమరియు v).

2. ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి z =పాపం ( x+y²), ఎక్కడ y =కాస్ x.

అవకలన ఆకారం యొక్క మార్పులేనిది.

సూత్రాలను (2.5) మరియు (2.9) ఉపయోగించి, మేము వ్యక్తపరుస్తాము పూర్తి అవకలనవిధులు z = f (x, y), ఎక్కడ x = x(u,v), y = y(u,v),వేరియబుల్స్ యొక్క అవకలనల ద్వారా uమరియు v:

(2.12)

అందువల్ల, అవకలన రూపం వాదనల కోసం భద్రపరచబడుతుంది uమరియు vఈ ఆర్గ్యుమెంట్‌ల ఫంక్షన్ల మాదిరిగానే Xమరియు వద్ద, అంటే, ఉంది మార్పులేని(మార్చలేనిది).

అవ్యక్త విధులు, వాటి ఉనికి కోసం పరిస్థితులు. అవ్యక్త విధుల భేదం. అధిక ఆర్డర్‌ల పాక్షిక ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు, వాటి లక్షణాలు.

నిర్వచనం 3.1.ఫంక్షన్ వద్దనుండి X, సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడింది

F(x,y)= 0 , (3.1)

అని పిలిచారు అవ్యక్త ఫంక్షన్.

వాస్తవానికి, రూపం (3.1) యొక్క ప్రతి సమీకరణం నిర్ణయించదు వద్దయొక్క ప్రత్యేకమైన (మరియు, అంతేకాకుండా, నిరంతర) విధిగా X. ఉదాహరణకు, దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం

సెట్లు వద్దయొక్క రెండు-విలువ ఫంక్షన్‌గా X: కోసం

ప్రత్యేకమైన మరియు నిరంతర ఉనికి కోసం పరిస్థితులు అవ్యక్త ఫంక్షన్కింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

సిద్ధాంతం 3.1(రుజువు లేదు). ఉండని:

1) ఫంక్షన్ F(x,y)బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉన్న నిర్దిష్ట దీర్ఘచతురస్రంలో నిర్వచించబడింది మరియు నిరంతరంగా ఉంటుంది ( x 0, y 0);

2) F (x 0 , y 0) = 0 ;

3) స్థిరంగా xF(x,y)పెరుగుదలతో మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది (లేదా తగ్గుతుంది). వద్ద.

ఎ) పాయింట్ యొక్క కొంత పరిసరాల్లో ( x 0, y 0)సమీకరణం (3.1) నిర్వచిస్తుంది వద్దయొక్క ఒకే-విలువ ఫంక్షన్‌గా X: y = f(x);

బి) ఎప్పుడు x = x 0ఈ ఫంక్షన్ విలువను తీసుకుంటుంది y 0 : f (x 0) = y 0;

సి) ఫంక్షన్ f(x)నిరంతర.

పేర్కొన్న షరతులు నెరవేరినట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి y = f(x)ద్వారా X.

సిద్ధాంతం 3.2.ఫంక్షన్ లెట్ వద్దనుండి Xసమీకరణం (3.1) ద్వారా పరోక్షంగా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ ఫంక్షన్ F(x,y)సిద్ధాంతం 3.1 యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది. లెట్, అదనంగా, - నిరంతర విధులుకొన్ని ప్రాంతంలో డిఒక పాయింట్ కలిగి (x,y),దీని కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణాన్ని (3.1) సంతృప్తిపరుస్తాయి మరియు ఈ సమయంలో . అప్పుడు ఫంక్షన్ వద్దనుండి Xఒక ఉత్పన్నం ఉంది

ఉదాహరణ.

సుమారు విలువను లెక్కించండి
.

ఫంక్షన్ పరిగణించండి
మరియు ఎంచుకోండి X 0 = 1, వద్ద 0 = 2. అప్పుడు Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 – 2 = -0.03. మేము కనుగొంటాము
,

అందువలన, ఇచ్చిన f ( 1, 2) = 3, మనకు లభిస్తుంది:

సంక్లిష్ట విధుల భేదం.

ఫంక్షన్ వాదనలు లెట్ z = f (x, వై) uమరియు v: x = x (u, v), వై = వై (u, v). అప్పుడు ఫంక్షన్ f నుండి ఒక ఫంక్షన్ కూడా ఉంది uమరియు v. వాదనలకు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకుందాం u మరియు v, ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం చేయకుండా

వాదనను సెట్ చేద్దాం uపెంపు Δ u, వాదన మార్చకుండా v. అప్పుడు

మీరు ఇంక్రిమెంట్‌ను వాదనకు మాత్రమే సెట్ చేస్తే v, మాకు దొరికింది: . (2.8)

కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం.

వీలు x = x(t), వై = వై(t). అప్పుడు ఫంక్షన్ f (x, వై) నిజానికి ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ t, మరియు ఫార్ములాలను (2.9) ఉపయోగించి మరియు వాటిలోని పాక్షిక ఉత్పన్నాలను భర్తీ చేయడం సాధ్యమవుతుంది Xమరియు వద్దద్వారా u మరియు vసంబంధించి సాధారణ ఉత్పన్నాలకు t(వాస్తవానికి, విధులు విభిన్నంగా ఉంటాయి x(t) మరియు వై(t) ) కోసం వ్యక్తీకరణను పొందండి :

(2.10)

అని ఇప్పుడు అనుకుందాం tవేరియబుల్‌గా పనిచేస్తుంది X, అంటే Xమరియు వద్దసంబంధం ద్వారా సంబంధించినది y = y (x).ఈ సందర్భంలో, మునుపటి సందర్భంలో వలె, ఫంక్షన్ fఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ X.ఫార్ములా (2.10) ఉపయోగించి t = x మరియు అది ఇవ్వబడింది
, మేము దానిని పొందుతాము

. (2.11)

ఉదాహరణలు.

అప్పుడు ఫార్ములా (2.9) నుండి మనం పొందుతాము:

(తుది ఫలితంలో మేము వ్యక్తీకరణలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము Xమరియు వద్దవిధులుగా uమరియు v).

ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి z = పాపం ( x + వై²), ఎక్కడ వై = కాస్ x.

అవకలన ఆకారం యొక్క మార్పులేనిది.

సూత్రాలు (2.5) మరియు (2.9) ఉపయోగించి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం భేదాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము z = f (x, వై) , ఎక్కడ x = x(u, v), వై = వై(u, v), వేరియబుల్స్ యొక్క అవకలనల ద్వారా u మరియు v:

(2.12)

నిర్వచనం 3.1.ఫంక్షన్ వద్దనుండి X, సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడింది

F(x,y)= 0 , (3.1)

అని పిలిచారు అవ్యక్త ఫంక్షన్.

సెట్లు వద్దయొక్క రెండు-విలువ ఫంక్షన్‌గా X:
కోసం

ప్రత్యేకమైన మరియు నిరంతర అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికి కోసం పరిస్థితులు క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

సిద్ధాంతం 3.1 (రుజువు లేదు). ఉండని:

ఎ) పాయింట్ యొక్క కొంత పరిసరాల్లో ( X 0 , వై 0 ) సమీకరణం (3.1) నిర్వచిస్తుంది వద్దయొక్క ఒకే-విలువ ఫంక్షన్‌గా X: వై = f(x) ;

బి) ఎప్పుడు x = x 0 ఈ ఫంక్షన్ విలువను తీసుకుంటుంది వద్ద 0 : f (x 0 ) = వై 0 ;

సి) ఫంక్షన్ f (x) నిరంతర.

పేర్కొన్న షరతులు నెరవేరినట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి వై = f (x) ద్వారా X.

సిద్ధాంతం 3.2. ఫంక్షన్ లెట్ వద్దనుండి Xసమీకరణం (3.1) ద్వారా పరోక్షంగా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ ఫంక్షన్ ఎఫ్ (x, వై) సిద్ధాంతం 3.1 యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది. లెట్, అదనంగా,
- కొన్ని ప్రాంతంలో నిరంతర విధులు డిఒక పాయింట్ కలిగి (x,y),దీని కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణాన్ని (3.1) సంతృప్తిపరుస్తాయి మరియు ఈ సమయంలో
. అప్పుడు ఫంక్షన్ వద్దనుండి Xఒక ఉత్పన్నం ఉంది

(3.2)

ఉదాహరణ.మేము కనుగొంటాము , ఉంటే
. మేము కనుగొంటాము
,
.

అప్పుడు ఫార్ములా (3.2) నుండి మనం పొందుతాము:
.

అధిక ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలు మరియు భేదాలు.

పాక్షిక ఉత్పన్న విధులు z = f (x, వై) క్రమంగా, వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు Xమరియు వద్ద. కాబట్టి, ఈ వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి వాటి పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు. వాటిని ఇలా నిర్దేశిద్దాం:

అందువలన, 2 వ ఆర్డర్ యొక్క నాలుగు పాక్షిక ఉత్పన్నాలు పొందబడతాయి. వాటిని ప్రతి దాని ప్రకారం మళ్లీ వేరు చేయవచ్చు Xమరియు ద్వారా వద్దమరియు 3వ ఆర్డర్ మొదలైన ఎనిమిది పాక్షిక ఉత్పన్నాలను పొందండి. అధిక ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిద్దాం:

నిర్వచనం 3.2.పాక్షిక ఉత్పన్నంn -వ ఆర్డర్అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను ఉత్పన్నం యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం అంటారు ( n- 1) వ ఆర్డర్.

పాక్షిక ఉత్పన్నాలు ఉన్నాయి ముఖ్యమైన ఆస్తి: భేదం యొక్క ఫలితం భేదం యొక్క క్రమం మీద ఆధారపడి ఉండదు (ఉదాహరణకు,
) ఈ ప్రకటనను రుజువు చేద్దాం.

సిద్ధాంతం 3.3. ఫంక్షన్ అయితే z = f (x, వై) మరియు దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు
ఒక పాయింట్ వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు నిరంతరంగా ఉంటుంది M(x,y)మరియు దాని సమీపంలో కొన్ని, అప్పుడు ఈ సమయంలో

(3.3)

పర్యవసానం. ఈ లక్షణం ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క డెరివేటివ్‌లకు మరియు ఎన్ని వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌లకు వర్తిస్తుంది.