లాగరిథమిక్ అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలి. సాధారణ లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడం

మొత్తం వివిధ లాగరిథమిక్ అసమానతలలో, అసమానతలు వేరియబుల్ బేస్. అవి ప్రత్యేక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి, కొన్ని కారణాల వల్ల పాఠశాలలో చాలా అరుదుగా బోధించబడుతుంది:

లాగ్ k (x) f (x) ∨ లాగ్ k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” చెక్‌బాక్స్‌కు బదులుగా, మీరు ఏదైనా అసమానత గుర్తును ఉంచవచ్చు: ఎక్కువ లేదా తక్కువ. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే రెండు అసమానతలలో సంకేతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి.

ఈ విధంగా మేము లాగరిథమ్‌లను వదిలించుకుంటాము మరియు సమస్యను హేతుబద్ధమైన అసమానతకు తగ్గిస్తాము. రెండోది పరిష్కరించడం చాలా సులభం, కానీ లాగరిథమ్‌లను విస్మరించినప్పుడు, సమస్యలు తలెత్తవచ్చు. అదనపు మూలాలు. వాటిని కత్తిరించడానికి, ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి సరిపోతుంది ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు. మీరు లాగరిథమ్ యొక్క ODZని మరచిపోయినట్లయితే, దాన్ని పునరావృతం చేయమని నేను గట్టిగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను - "సంవర్గమానం అంటే ఏమిటి" చూడండి.

ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధికి సంబంధించిన ప్రతిదీ తప్పనిసరిగా వ్రాయబడాలి మరియు విడిగా పరిష్కరించబడాలి:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ఈ నాలుగు అసమానతలు ఒక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి మరియు అవి ఏకకాలంలో సంతృప్తి చెందాలి. ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి కనుగొనబడినప్పుడు, పరిష్కారంతో కలుస్తుంది హేతుబద్ధమైన అసమానత- మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది.

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

ముందుగా, సంవర్గమానం యొక్క ODZని వ్రాస్దాం:

మొదటి రెండు అసమానతలు స్వయంచాలకంగా సంతృప్తి చెందుతాయి, కానీ చివరిది వ్రాయవలసి ఉంటుంది. సంఖ్య యొక్క వర్గము నుండి సున్నాకి సమానంఒకవేళ సంఖ్య సున్నా అయితే మాత్రమే, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

సంవర్గమానం యొక్క ODZ సున్నా మినహా అన్ని సంఖ్యలు అని తేలింది: x ∈ (-−∞ 0)∪(0; +∞). ఇప్పుడు మేము ప్రధాన అసమానతను పరిష్కరిస్తాము:

నుండి మేము పరివర్తన చేస్తాము లాగరిథమిక్ అసమానతహేతుబద్ధతకు. అసలు అసమానత "తక్కువ కంటే" గుర్తును కలిగి ఉంటుంది, అంటే ఫలితంగా వచ్చే అసమానత తప్పనిసరిగా "తక్కువ" గుర్తును కలిగి ఉండాలి. మాకు ఉన్నాయి:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క సున్నాలు: x = 3; x = -3; x = 0. అంతేకాకుండా, x = 0 అనేది రెండవ గుణకారం యొక్క మూలం, అంటే దాని గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క చిహ్నం మారదు. మాకు ఉన్నాయి:

మనకు x ∈ (−∞ -3)∪(3; +∞) వస్తుంది. ఈ సెట్ పూర్తిగా లాగరిథమ్ యొక్క ODZలో ఉంది, అంటే ఇది సమాధానం.

లాగరిథమిక్ అసమానతలను మార్చడం

తరచుగా అసలు అసమానత పైన పేర్కొన్నదాని నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. లాగరిథమ్‌లతో పనిచేయడానికి ప్రామాణిక నియమాలను ఉపయోగించి దీన్ని సులభంగా సరిదిద్దవచ్చు - “లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాలు” చూడండి. అవి:

1. ఇచ్చిన బేస్‌తో ఏదైనా సంఖ్యను లాగరిథమ్‌గా సూచించవచ్చు;
2. ఒకే బేస్‌లతో ఉన్న లాగరిథమ్‌ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని ఒక లాగరిథమ్‌తో భర్తీ చేయవచ్చు.

విడిగా, ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి గురించి నేను మీకు గుర్తు చేయాలనుకుంటున్నాను. అసలు అసమానతలో అనేక లాగరిథమ్‌లు ఉండవచ్చు కాబట్టి, వాటిలో ప్రతిదాని యొక్క VAని కనుగొనడం అవసరం. ఈ విధంగా, సాధారణ పథకంలాగరిథమిక్ అసమానతలకు పరిష్కారాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. అసమానతలో చేర్చబడిన ప్రతి లాగరిథమ్ యొక్క VAని కనుగొనండి;
2. లాగరిథమ్‌లను జోడించడం మరియు తీసివేయడం కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించి అసమానతను ప్రామాణికంగా తగ్గించండి;
3. పైన ఇచ్చిన పథకం ప్రకారం ఫలిత అసమానతను పరిష్కరించండి.

టాస్క్. అసమానతలను పరిష్కరించండి:

మొదటి సంవర్గమానం యొక్క డొమైన్ ఆఫ్ డెఫినిషన్ (DO)ని కనుగొనండి:

మేము విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిస్తాము. న్యూమరేటర్ యొక్క సున్నాలను కనుగొనడం:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

అప్పుడు - హారం యొక్క సున్నాలు:

x - 1 = 0;
x = 1.

మేము కోఆర్డినేట్ బాణంపై సున్నాలు మరియు సంకేతాలను గుర్తు చేస్తాము:

మనకు x ∈ (-− 2/3)∪(1; +∞) వస్తుంది. రెండవ లాగరిథమ్‌లో అదే VA ఉంటుంది. మీరు నన్ను నమ్మకపోతే, మీరు దాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు. ఇప్పుడు మేము రెండవ సంవర్గమానాన్ని మారుస్తాము, తద్వారా బేస్ రెండు:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, బేస్ వద్ద మరియు లాగరిథమ్ ముందు ఉన్న త్రీలు తగ్గించబడ్డాయి. మాకు రెండు లాగరిథమ్‌లు వచ్చాయి అదే ఆధారం. వాటిని జత చేద్దాం:

లాగ్ 2 (x - 1) 2< 2;
లాగ్ 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

మేము ప్రామాణిక లాగరిథమిక్ అసమానతను పొందాము. మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లాగరిథమ్‌లను వదిలించుకుంటాము. అసలు అసమానత "తక్కువ" గుర్తును కలిగి ఉన్నందున, ఫలితంగా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణతప్పనిసరిగా సున్నా కంటే తక్కువగా ఉండాలి. మాకు ఉన్నాయి:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 − 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

మాకు రెండు సెట్లు ఉన్నాయి:

1. ODZ: x ∈ (-∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. అభ్యర్థి సమాధానం: x ∈ (−1; 3).

ఈ సెట్‌లను కలుస్తుంది - మేము నిజమైన సమాధానం పొందుతాము:

మేము సెట్ల ఖండనపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము, కాబట్టి మేము రెండు బాణాలపై షేడ్ చేయబడిన విరామాలను ఎంచుకుంటాము. మనకు x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) వస్తుంది - అన్ని పాయింట్లు పంక్చర్ చేయబడ్డాయి.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ఇంకా సమయం ఉందని మరియు మీరు సిద్ధం కావడానికి సమయం ఉంటుందని మీరు అనుకుంటున్నారా? బహుశా ఇది అలా ఉంటుంది. ఏదేమైనా, ఒక విద్యార్థి ఎంత త్వరగా ప్రిపరేషన్ ప్రారంభించాడో, అతను పరీక్షలలో అంత విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధిస్తాడు. ఈ రోజు మనం లాగరిథమిక్ అసమానతలకు ఒక కథనాన్ని కేటాయించాలని నిర్ణయించుకున్నాము. ఇది టాస్క్‌లలో ఒకటి, అంటే అదనపు క్రెడిట్‌ని పొందే అవకాశం.

సంవర్గమానం అంటే ఏమిటో మీకు ఇప్పటికే తెలుసా? మేము నిజంగా ఆశిస్తున్నాము. కానీ ఈ ప్రశ్నకు మీ దగ్గర సమాధానం లేకపోయినా, అది సమస్య కాదు. సంవర్గమానం అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడం చాలా సులభం.

ఎందుకు 4? మీరు 81ని పొందడానికి ఈ శక్తికి సంఖ్య 3ని పెంచాలి. మీరు సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, మీరు మరింత క్లిష్టమైన గణనలకు వెళ్లవచ్చు.

మీరు కొన్ని సంవత్సరాల క్రితం అసమానతలను ఎదుర్కొన్నారు. మరియు అప్పటి నుండి మీరు వాటిని గణితంలో నిరంతరం ఎదుర్కొన్నారు. అసమానతలను పరిష్కరించడంలో మీకు సమస్యలు ఉంటే, తగిన విభాగాన్ని చూడండి.
ఇప్పుడు మనం వ్యక్తిగతంగా భావనలతో సుపరిచితం అయ్యాము, వాటిని సాధారణంగా పరిగణలోకి తీసుకుందాం.

సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానత.

సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానతలు ఈ ఉదాహరణకి మాత్రమే పరిమితం కాలేదు, వివిధ సంకేతాలతో మాత్రమే ఉన్నాయి. ఇది ఎందుకు అవసరం? లాగరిథమ్‌లతో అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలో బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి. ఇప్పుడు మరింత వర్తించే ఉదాహరణను ఇద్దాం, ఇంకా చాలా సరళంగా ఉంటుంది;

దీన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? ఇదంతా ODZతో మొదలవుతుంది. మీరు ఎల్లప్పుడూ ఏదైనా అసమానతను సులభంగా పరిష్కరించాలనుకుంటే దాని గురించి మరింత తెలుసుకోవడం విలువైనదే.

ODZ అంటే ఏమిటి? లాగరిథమిక్ అసమానతలకు ODZ

సంక్షిప్తీకరణ అనేది ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని సూచిస్తుంది. ఈ సూత్రీకరణ తరచుగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ కోసం టాస్క్‌లలో వస్తుంది. లాగరిథమిక్ అసమానతల విషయంలో మాత్రమే ODZ మీకు ఉపయోగపడుతుంది.

పై ఉదాహరణను మరోసారి చూడండి. మేము దాని ఆధారంగా ODZని పరిశీలిస్తాము, తద్వారా మీరు సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకుంటారు మరియు లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడం ప్రశ్నలను లేవనెత్తదు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం నుండి 2x+4 తప్పనిసరిగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. మా విషయంలో ఇది క్రింది అర్థం.

ఈ సంఖ్య, నిర్వచనం ప్రకారం, తప్పనిసరిగా సానుకూలంగా ఉండాలి. పైన అందించిన అసమానతను పరిష్కరించండి. ఇది మౌఖికంగా కూడా చేయవచ్చు; X అనేది 2 కంటే తక్కువగా ఉండకూడదు. అసమానతకు పరిష్కారం ఆమోదయోగ్యమైన విలువల శ్రేణి యొక్క నిర్వచనం.
ఇప్పుడు సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానతను పరిష్కరించడానికి ముందుకు వెళ్దాం.

మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపుల నుండి లాగరిథమ్‌లను విస్మరిస్తాము. ఫలితంగా మనకు మిగిలేది ఏమిటి? సాధారణ అసమానత.

పరిష్కరించడం కష్టం కాదు. X తప్పనిసరిగా -0.5 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఇప్పుడు మనం పొందిన రెండు విలువలను సిస్టమ్‌లో మిళితం చేస్తాము. ఈ విధంగా,

ఇది పరిశీలనలో ఉన్న లాగరిథమిక్ అసమానత కోసం ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి అవుతుంది.

మనకు ODZ ఎందుకు అవసరం? తప్పు మరియు అసాధ్యమైన సమాధానాలను తొలగించడానికి ఇది ఒక అవకాశం. సమాధానం ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిలో లేకుంటే, సమాధానం అర్థం కాదు. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో తరచుగా ODZ కోసం శోధించాల్సిన అవసరం ఉన్నందున ఇది చాలా కాలం పాటు గుర్తుంచుకోవడం విలువ, మరియు ఇది లాగరిథమిక్ అసమానతలకు మాత్రమే కాకుండా.

సంవర్గమాన అసమానతను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం

పరిష్కారం అనేక దశలను కలిగి ఉంటుంది. ముందుగా, మీరు ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని కనుగొనాలి. ODZ లో రెండు అర్థాలు ఉంటాయి, మేము దీనిని పైన చర్చించాము. తరువాత, మీరు అసమానతను స్వయంగా పరిష్కరించాలి. పరిష్కార పద్ధతులు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

• గుణకం భర్తీ పద్ధతి;
• కుళ్ళిపోవడం;
• హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతి.

పరిస్థితిని బట్టి, పై పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించడం విలువ. నేరుగా పరిష్కారానికి వెళ్దాం. దాదాపు అన్ని సందర్భాల్లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనులను పరిష్కరించడానికి అనువైన అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పద్ధతిని బహిర్గతం చేద్దాం. తరువాత మనం కుళ్ళిపోయే పద్ధతిని పరిశీలిస్తాము. మీరు ప్రత్యేకంగా గమ్మత్తైన అసమానతలను ఎదుర్కొంటే ఇది సహాయపడుతుంది. కాబట్టి, లాగరిథమిక్ అసమానతను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గోరిథం.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు :

మేము సరిగ్గా ఈ అసమానతను తీసుకున్నది ఏమీ కాదు! బేస్ దృష్టి చెల్లించండి. గుర్తుంచుకోండి: అది ఉంటే ఒకటి కంటే ఎక్కువ, ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి కనుగొనబడినప్పుడు గుర్తు అలాగే ఉంటుంది; వి లేకుంటేమీరు అసమానత చిహ్నాన్ని మార్చాలి.

ఫలితంగా, మేము అసమానతలను పొందుతాము:

ఇప్పుడు మేము అందిస్తున్నాము ఎడమ వైపుసమీకరణం రూపంలో, సున్నాకి సమానం. "తక్కువ" గుర్తుకు బదులుగా మేము "సమానాలు" ఉంచాము మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. అందువలన, మేము ODZ ను కనుగొంటాము. దీనికి పరిష్కారం లభిస్తుందని మేము ఆశిస్తున్నాము సాధారణ సమీకరణంమీకు ఎలాంటి సమస్యలు ఉండవు. సమాధానాలు -4 మరియు -2. అంతే కాదు. మీరు ఈ పాయింట్లను గ్రాఫ్‌లో ప్రదర్శించాలి, “+” మరియు “-”ని ఉంచాలి. దీని కోసం ఏమి చేయాలి? విరామాల నుండి సంఖ్యలను వ్యక్తీకరణలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. విలువలు సానుకూలంగా ఉన్న చోట, మేము అక్కడ “+” ఉంచుతాము.

సమాధానం: x -4 కంటే ఎక్కువ మరియు -2 కంటే తక్కువ ఉండకూడదు.

మేము ఎడమ వైపున మాత్రమే ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని కనుగొన్నాము; ఇది చాలా సులభం. సమాధానం: -2. మేము రెండు ఫలిత ప్రాంతాలను కలుస్తాము.

మరియు ఇప్పుడు మాత్రమే మనం అసమానతలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించాము.

పరిష్కరించడానికి సులభతరం చేయడానికి వీలైనంత సరళీకృతం చేద్దాం.

మేము మళ్ళీ పరిష్కారంలో విరామం పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. గణనలను దాటవేద్దాం; మునుపటి ఉదాహరణ నుండి ప్రతిదీ ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉంది. సమాధానం.

కానీ లాగరిథమిక్ అసమానత అదే స్థావరాలను కలిగి ఉంటే ఈ పద్ధతి అనుకూలంగా ఉంటుంది.

తో లాగరిథమిక్ సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం వివిధ కారణాల కోసంఒక స్థావరానికి ప్రారంభ తగ్గింపును ఊహిస్తుంది. తరువాత, పైన వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించండి. కానీ ఇంకా ఉంది కష్టమైన కేసు. అత్యంత ఒకటి పరిశీలిద్దాం సంక్లిష్ట జాతులులాగరిథమిక్ అసమానతలు.

వేరియబుల్ బేస్‌తో లాగరిథమిక్ అసమానతలు

అటువంటి లక్షణాలతో అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలి? అవును, మరియు అలాంటి వ్యక్తులు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో కనుగొనవచ్చు. కింది విధంగా అసమానతలను పరిష్కరించడం కూడా మీకు ప్రయోజనం చేకూరుస్తుంది విద్యా ప్రక్రియ. సమస్యను వివరంగా పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతాన్ని విస్మరించి నేరుగా అభ్యాసానికి వెళ్దాం. లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, ఒకసారి ఉదాహరణతో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవడం సరిపోతుంది.

సమర్పించబడిన ఫారమ్ యొక్క సంవర్గమాన అసమానతను పరిష్కరించడానికి, కుడి వైపున అదే ఆధారంతో లాగరిథమ్‌కు తగ్గించడం అవసరం. సూత్రం సమానమైన పరివర్తనలను పోలి ఉంటుంది. ఫలితంగా, అసమానత ఇలా కనిపిస్తుంది.

వాస్తవానికి, లాగరిథమ్‌లు లేకుండా అసమానతల వ్యవస్థను సృష్టించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి, మేము కొనసాగుతాము సమానమైన వ్యవస్థఅసమానతలు మీరు తగిన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేసి, వాటి మార్పులను ట్రాక్ చేసినప్పుడు మీరు నియమాన్ని అర్థం చేసుకుంటారు. సిస్టమ్ కింది అసమానతలను కలిగి ఉంటుంది.

అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది వాటిని గుర్తుంచుకోవాలి: ఒక బేస్ నుండి తీసివేయాలి, x, లాగరిథమ్ నిర్వచనం ప్రకారం, అసమానత యొక్క రెండు వైపుల నుండి తీసివేయబడుతుంది (కుడి నుండి ఎడమవైపు), రెండు వ్యక్తీకరణలు గుణించబడతాయి. మరియు సున్నాకి సంబంధించి అసలు గుర్తు కింద సెట్ చేయబడింది.

తదుపరి పరిష్కారం విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది, ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. మీరు పరిష్కార పద్ధతుల్లో తేడాలను అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం, అప్పుడు ప్రతిదీ సులభంగా పని చేయడం ప్రారంభమవుతుంది.

లాగరిథమిక్ అసమానతలలో అనేక సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు ఉన్నాయి. వాటిలో సరళమైన వాటిని పరిష్కరించడం చాలా సులభం. మీరు ప్రతి ఒక్కటి సమస్యలు లేకుండా ఎలా పరిష్కరించగలరు? మీరు ఈ కథనంలోని అన్ని సమాధానాలను ఇప్పటికే స్వీకరించారు. ఇప్పుడు మీ ముందు సుదీర్ఘ అభ్యాసం ఉంది. నిరంతరం ఎక్కువగా పరిష్కరించడానికి సాధన చేయండి వివిధ పనులుపరీక్షలో భాగంగా మరియు మీరు స్వీకరించగలరు అత్యధిక స్కోరు. మీ కష్టమైన పనిలో మీకు శుభాకాంక్షలు!

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో అభ్యర్థనను సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

లాగరిథమిక్ అసమానతలు

మునుపటి పాఠాలలో, మేము లాగరిథమిక్ సమీకరణాలతో పరిచయం పొందాము మరియు ఇప్పుడు అవి ఏమిటో మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో మాకు తెలుసు. నేటి పాఠం లాగరిథమిక్ అసమానతల అధ్యయనానికి అంకితం చేయబడుతుంది. ఈ అసమానతలు ఏమిటి మరియు లాగరిథమిక్ సమీకరణం మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం మధ్య తేడా ఏమిటి?

లాగరిథమిక్ అసమానతలు అంటే లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద లేదా దాని బేస్ వద్ద కనిపించే వేరియబుల్ కలిగి ఉండే అసమానతలు.

లేదా, లాగరిథమిక్ అసమానత అనేది అసమానత అని కూడా చెప్పవచ్చు, దీనిలో సంవర్గమాన సమీకరణం వలె దాని తెలియని విలువ సంవర్గమానం యొక్క చిహ్నం క్రింద కనిపిస్తుంది.

సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానతలు క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

ఇక్కడ f(x) మరియు g(x) xపై ఆధారపడిన కొన్ని వ్యక్తీకరణలు.

ఈ ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీన్ని చూద్దాం: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడం

లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ముందు, పరిష్కరించినప్పుడు అవి సమానంగా ఉన్నాయని గమనించాలి ఘాతాంక అసమానతలు, అవి:

ముందుగా, సంవర్గమానం గుర్తు కింద సంవర్గమానాల నుండి వ్యక్తీకరణలకు వెళ్లేటప్పుడు, మనం సంవర్గమానం యొక్క ఆధారాన్ని కూడా ఒకదానితో పోల్చాలి;

రెండవది, వేరియబుల్స్ మార్పును ఉపయోగించి లాగరిథమిక్ అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు, మనం సరళమైన అసమానతను పొందే వరకు మార్పుకు సంబంధించి అసమానతలను పరిష్కరించాలి.

కానీ మీరు మరియు నేను లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడంలో సారూప్య అంశాలను పరిగణించాము. ఇప్పుడు చాలా ముఖ్యమైన వ్యత్యాసానికి శ్రద్ధ చూపుదాం. లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ఉందని మీకు మరియు నాకు తెలుసు పరిమిత ప్రాంతంనిర్వచనాలు, కాబట్టి, లాగరిథమ్‌ల నుండి వ్యక్తీకరణలకు లాగరిథమ్ సైన్ కింద మారడం, మీరు అనుమతించదగిన విలువల (APV) పరిధిని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

అంటే, నిర్ణయించేటప్పుడు ఇది పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి సంవర్గమాన సమీకరణంమీరు మరియు నేను మొదట సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనవచ్చు, ఆపై ఈ పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు. కానీ లాగరిథమిక్ అసమానతను పరిష్కరించడం ఈ విధంగా పని చేయదు, ఎందుకంటే లాగరిథమ్ సైన్ కింద లాగరిథమ్‌ల నుండి వ్యక్తీకరణలకు వెళ్లేటప్పుడు, వ్రాయడం అవసరం DZ అసమానత.

అదనంగా, అసమానతల సిద్ధాంతం కలిగి ఉందని గుర్తుంచుకోవడం విలువ వాస్తవ సంఖ్యలు, ఇవి సానుకూలమైనవి మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు, అలాగే సంఖ్య 0.

ఉదాహరణకు, "a" సంఖ్య సానుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించాలి: a >0. ఈ సందర్భంలో, ఈ సంఖ్యల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి రెండూ కూడా సానుకూలంగా ఉంటాయి.

అసమానతను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన సూత్రం దానిని సరళమైన అసమానతతో భర్తీ చేయడం, కానీ ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ఇది ఇచ్చిన దానికి సమానం. ఇంకా, మేము ఒక అసమానతను కూడా పొందాము మరియు దానిని మళ్లీ సరళమైన రూపం మొదలైన వాటితో భర్తీ చేసాము.

వేరియబుల్‌తో అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు దాని అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనాలి. రెండు అసమానతలు ఒకే వేరియబుల్ xని కలిగి ఉంటే, అటువంటి అసమానతలు సమానమైనవి, వాటి పరిష్కారాలు సమానంగా ఉంటాయి.

సంవర్గమాన అసమానతలను పరిష్కరించడంలో విధులను నిర్వర్తిస్తున్నప్పుడు, మీరు గుర్తుంచుకోవాలి a > 1 ఉన్నప్పుడు, సంవర్గమాన ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది మరియు 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

ఇప్పుడు లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు జరిగే కొన్ని పద్ధతులను చూద్దాం. మంచి అవగాహన మరియు సమీకరణ కోసం, మేము నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి వాటిని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాము.

సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానత క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉందని మనందరికీ తెలుసు:

ఈ అసమానతలో, V – క్రింది అసమానత సంకేతాలలో ఒకటి:<,>, ≤ లేదా ≥.

ఇచ్చిన సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం ఒకటి (a>1) కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు, లాగరిథమ్ గుర్తు క్రింద సంవర్గమానాల నుండి వ్యక్తీకరణలకు పరివర్తన చేసినప్పుడు, ఈ సంస్కరణలో అసమానత గుర్తు భద్రపరచబడుతుంది మరియు అసమానత క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఈ వ్యవస్థకు సమానమైనది:

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం సున్నా కంటే ఎక్కువగా మరియు ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు (0

ఇది ఈ వ్యవస్థకు సమానం:

దిగువ చిత్రంలో చూపిన సరళమైన లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించే మరిన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

పరిష్కార ఉదాహరణలు

వ్యాయామం.ఈ అసమానతను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని పరిష్కరించడం.

ఇప్పుడు దాని కుడి వైపున గుణించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

మనం ఏమి చేయగలమో చూద్దాం:

ఇప్పుడు, సబ్‌లోగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి వెళ్దాం. సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం 0 అనే వాస్తవం కారణంగా< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

మరియు దీని నుండి మనం పొందిన విరామం పూర్తిగా ODZ కి చెందినది మరియు అటువంటి అసమానతకు పరిష్కారం అని ఇది అనుసరిస్తుంది.

మాకు లభించిన సమాధానం ఇక్కడ ఉంది:

లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఏమి అవసరం?

ఇప్పుడు సంవర్గమాన అసమానతలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి మనకు ఏమి అవసరమో విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నిద్దాం?

మొదట, మీ దృష్టిని కేంద్రీకరించండి మరియు ఈ అసమానతలో ఇవ్వబడిన పరివర్తనలను చేసేటప్పుడు తప్పులు చేయకుండా ప్రయత్నించండి. అలాగే, అటువంటి అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అసమానతల విస్తరణలు మరియు సంకోచాలను నివారించడం అవసరం అని గుర్తుంచుకోవాలి, ఇది అదనపు పరిష్కారాల నష్టానికి లేదా కొనుగోలుకు దారి తీస్తుంది.

రెండవది, లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు అసమానతల వ్యవస్థ మరియు అసమానతల సమితి వంటి భావనల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని తార్కికంగా ఆలోచించడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం నేర్చుకోవాలి, తద్వారా మీరు దాని DL ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడినప్పుడు అసమానతకు పరిష్కారాలను సులభంగా ఎంచుకోవచ్చు.

మూడవదిగా, అటువంటి అసమానతలను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీలో ప్రతి ఒక్కరూ అన్ని లక్షణాలను ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవాలి ప్రాథమిక విధులుమరియు వాటి అర్థాన్ని స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోండి. ఇటువంటి ఫంక్షన్లలో సంవర్గమానం మాత్రమే కాకుండా, హేతుబద్ధం, శక్తి, త్రికోణమితి మొదలైనవి కూడా ఉంటాయి, ఒక్క మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు అంతటా అధ్యయనం చేసినవన్నీ ఉంటాయి. పాఠశాల విద్యబీజగణితం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, లాగరిథమిక్ అసమానతల అంశాన్ని అధ్యయనం చేసిన తరువాత, ఈ అసమానతలను పరిష్కరించడంలో కష్టం ఏమీ లేదు, మీరు మీ లక్ష్యాలను సాధించడంలో జాగ్రత్తగా మరియు పట్టుదలతో ఉంటే. అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఏవైనా సమస్యలను నివారించడానికి, మీరు సాధ్యమైనంత ఎక్కువ సాధన చేయాలి, వివిధ పనులను పరిష్కరించడం మరియు అదే సమయంలో అటువంటి అసమానతలను మరియు వాటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించే ప్రాథమిక పద్ధతులను గుర్తుంచుకోవాలి. మీరు లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించడంలో విఫలమైతే, భవిష్యత్తులో మళ్లీ వాటికి తిరిగి రాకుండా మీరు మీ తప్పులను జాగ్రత్తగా విశ్లేషించాలి.

ఇంటి పని

కోసం మెరుగైన శోషణఅంశాలు మరియు కవర్ చేయబడిన పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ, క్రింది అసమానతలను పరిష్కరించండి:

అసమానత లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉంటే దానిని లాగరిథమిక్ అంటారు.

లాగరిథమిక్ అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతులు రెండు విషయాలకు మినహా భిన్నంగా లేవు.

ముందుగా, లాగరిథమిక్ అసమానత నుండి కింద అసమానతకి వెళ్ళేటప్పుడు లాగరిథమిక్ విధులుఉండాలి ఫలిత అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని అనుసరించండి. ఇది క్రింది నియమాన్ని పాటిస్తుంది.

సంవర్గమాన ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారం $1$ కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, సంవర్గమాన అసమానత నుండి సబ్‌లోగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌ల అసమానతకి మారినప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం భద్రపరచబడుతుంది, అయితే అది $1$ కంటే తక్కువగా ఉంటే, అది వ్యతిరేక స్థితికి మారుతుంది. .

రెండవది, ఏదైనా అసమానతకు పరిష్కారం ఒక విరామం, అందువల్ల, సబ్‌లోగరిథమిక్ ఫంక్షన్ల అసమానతను పరిష్కరించే ముగింపులో, రెండు అసమానతల వ్యవస్థను సృష్టించడం అవసరం: ఈ వ్యవస్థ యొక్క మొదటి అసమానత సబ్‌లోగరిథమిక్ ఫంక్షన్ల అసమానత, మరియు రెండవది లాగరిథమిక్ అసమానతలో చేర్చబడిన లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క విరామం.

సాధన.

అసమానతలను పరిష్కరిద్దాం:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం $2>1$, కాబట్టి గుర్తు మారదు. సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in)