Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kupitia kibainishi. Maamuzi na mifumo ya kozi ya equations ya mstari katika hisabati, kozi ya diploma katika hisabati

Mifumo m milinganyo ya mstari Na n haijulikani.
Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari- hii ni seti kama hiyo ya nambari ( x 1 , x 2 , ..., x n), inapobadilishwa katika kila milinganyo ya mfumo, usawa sahihi hupatikana.
Wapi a ij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n- mgawo wa mfumo;
b i , i = 1, ..., m- wanachama wa bure;
x j , j = 1, ..., n- haijulikani.
Mfumo hapo juu unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix: A X = B,

Wapi ( A|B) ni matrix kuu ya mfumo;
A- matrix ya mfumo uliopanuliwa;
X- safu ya haijulikani;
B- safu ya wanachama huru.
Ikiwa matrix B si ubatili ∅, basi mfumo huu milinganyo ya mstari inaitwa inhomogeneous.
Ikiwa matrix B= ∅, basi mfumo huu wa milinganyo ya mstari unaitwa homogeneous. Mfumo wa homogeneous daima huwa na suluhisho la sifuri (kidogo): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Mfumo wa pamoja wa milinganyo ya mstari ni mfumo wa milinganyo ya mstari ambayo ina suluhu.
Mfumo usiolingana wa milinganyo ya mstari ni mfumo usiotatulika wa milinganyo ya mstari.
Mfumo fulani wa milinganyo ya mstari ni mfumo wa milinganyo ya mstari ambayo ina suluhu ya kipekee.
Mfumo usio na kikomo wa milinganyo ya mstari- anayo seti isiyo na mwisho suluhisho kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.
Mifumo ya n milinganyo ya mstari na n isiyojulikana
Ikiwa idadi ya haijulikani ni sawa na idadi ya equations, basi tumbo ni mraba. Kiainisho cha matrix kinaitwa kiambishi kikuu cha mfumo wa milinganyo ya mstari na inaonyeshwa na ishara Δ.
Mbinu ya Cramer kwa mifumo ya utatuzi n milinganyo ya mstari na n haijulikani.
Utawala wa Cramer.
Kama kibainishi kikuu mifumo ya milinganyo ya mstari sio sawa na sifuri, basi mfumo ni thabiti na umefafanuliwa, na suluhisho pekee linahesabiwa kwa kutumia fomula za Cramer:
ambapo Δ i ni vibainishi vilivyopatikana kutoka kwa kibainishi kikuu cha mfumo Δ kwa kubadilisha i safu wima ya safu ya wanachama huru. .
Mifumo ya milinganyo ya mstari na n isiyojulikana
Nadharia ya Kronecker-Capelli.

Ili mfumo fulani wa milinganyo ya mstari uwe thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix ya mfumo iwe sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo, ring(Α) = ring(Α|B).
Kama piga(Α) ≠ piga(Α|B), basi mfumo ni wazi hauna suluhu.
Kama ring(Α) = ring(Α|B), basi kesi mbili zinawezekana:
1) cheo(Α) = n(idadi isiyojulikana) - suluhisho ni la kipekee na linaweza kupatikana kwa kutumia formula za Cramer;
2) cheo(Α)< n - kuna suluhisho nyingi sana.
Njia ya Gauss kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari

Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ( A|B) ya mfumo uliopeanwa kutoka kwa mgawo wa zisizojulikana na pande za kulia.
Njia ya Gaussian au njia ya kuondoa haijulikani inajumuisha kupunguza matrix iliyopanuliwa ( A|B) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi juu ya safu zake hadi fomu ya mlalo (juu mtazamo wa pembe tatu) Kurudi kwenye mfumo wa equations, yote haijulikani imedhamiriwa.
KWA mabadiliko ya msingi juu ya mistari ni yafuatayo:
1) kubadilishana mistari miwili;
2) kuzidisha kamba kwa nambari nyingine isipokuwa 0;
3) kuongeza kamba nyingine kwenye kamba, kuzidishwa na nambari ya kiholela;
4) kutupa nje ya mstari wa sifuri.
Matrix iliyopanuliwa iliyopunguzwa kwa fomu ya diagonal inafanana na mfumo wa mstari, sawa na hii, suluhisho la ambayo haina kusababisha matatizo. .
Mfumo wa milinganyo ya mstari wa homogeneous.
Mfumo wa homogeneous una fomu:

inalingana nayo mlinganyo wa matrix A X = 0.
1) Mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, tangu r(A) = r(A|B), daima ipo suluhisho la sifuri (0, 0, …, 0).
2) Ili mfumo wa homogeneous uwe na ufumbuzi usio na sifuri, ni muhimu na ya kutosha hiyo r = r(A)< n , ambayo ni sawa na Δ = 0.
3) Kama r< n , basi ni wazi Δ = 0, basi haijulikani bure hutokea c 1 , c 2 , …, c n-r, mfumo una masuluhisho yasiyo ya maana, na kuna mengi yao bila kikomo.
4) Suluhisho la jumla X katika r< n inaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix kwa njia ifuatayo:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
suluhu ziko wapi X 1, X 2, ..., X n-r kuunda mfumo wa msingi wa suluhisho.
5) Mfumo wa msingi wa suluhisho unaweza kupatikana kutoka suluhisho la jumla mfumo wa homogeneous:

,
ikiwa tutaweka maadili ya parameta kwa mpangilio sawa na (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
Upanuzi wa suluhisho la jumla ndani mfumo wa kimsingi ufumbuzi ni rekodi ya suluhisho la jumla katika mfumo wa mchanganyiko wa mstari wa suluhisho za mfumo wa kimsingi.
Nadharia. Ili kwa mfumo wa mstari milinganyo ya homogeneous ilikuwa na suluhisho isiyo ya sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba Δ ≠ 0.
Kwa hivyo, ikiwa kiashiria Δ ≠ 0, basi mfumo una suluhisho la kipekee.
Ikiwa Δ ≠ 0, basi mfumo wa milinganyo ya homogeneous ya mstari una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Nadharia. Ili mfumo wa homogeneous uwe na suluhisho la nonzero, ni muhimu na ya kutosha hiyo r(A)< n .
Ushahidi:
1) r hakuwezi kuwa na zaidi n(nafasi ya matrix haizidi idadi ya safu au safu);
2) r< n , kwa sababu Kama r = n, basi kiashiria kikuu cha mfumo Δ ≠ 0, na, kulingana na fomula za Cramer, kuna suluhisho la kipekee lisilo na maana. x 1 = x 2 = … = x n = 0, ambayo inapingana na hali hiyo. Ina maana, r(A)< n .
Matokeo. Ili mfumo wa homogeneous n milinganyo ya mstari na n haijulikani zilikuwa na suluhu isiyo ya sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba Δ = 0.

Mifumo ya milinganyo ya mstari

Mfumo wa equations ni kama ifuatavyo:

ambapo a ij, b i ni mgawo wa nambari, x i ni vigeuzo, vinavyoitwa mfumo wa milinganyo ya mstari.

Kusuluhisha mfumo wa hesabu za mstari inamaanisha kuashiria suluhisho zote za mfumo, ambayo ni, seti kama hizo za maadili ambazo hubadilisha hesabu za mfumo kuwa vitambulisho.

Mfumo wa milinganyo ya mstari unaitwa:

pamoja ikiwa ina angalau suluhisho moja;

haiendani ikiwa haina suluhisho;

dhahiri ikiwa ina suluhisho la kipekee;

homogeneous ikiwa yote b i = 0;

tofauti ikiwa yote b i ≠ 0.

Utawala wa Cramer

(Gabriel Cramer (1704-1752) mwanahisabati wa Uswisi)

Njia hii inatumika tu katika kesi ya mifumo ya milinganyo ya mstari, ambapo idadi ya vigezo inalingana na idadi ya milinganyo. Kwa kuongeza, ni muhimu kuanzisha vikwazo kwenye coefficients ya mfumo. Ni muhimu kwamba equations zote ziwe huru kwa mstari, i.e. hakuna equation ingekuwa mchanganyiko wa mstari wa zingine.

Ili kufanya hivyo, ni muhimu kwamba kiashiria cha matrix ya mfumo si sawa na 0.

 = det A  0;

Nadharia. (Kanuni ya Cramer):

Mfumo wa n milinganyo yenye n isiyojulikana

Ikiwa kiashiria cha matrix ya mfumo sio sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee na suluhisho hili linapatikana kwa kutumia fomula:

x i = ;

Wapi  - kiashiria kuu, inayojumuisha viambajengo vya nambari kwa zisizojulikana, na  i - mhitimu msaidizi, iliyopatikana kutoka kwa moja kuu kwa kuchukua nafasi ya safu ya i-th na safu ya maneno ya bure b i.

 i =

Mfano. Tatua mfumo kwa kutumia sheria ya Cramer.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Mfano. Pata suluhisho la mfumo wa equations:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Ikiwa mfumo ni homogeneous, i.e. b i = 0, kisha kwa 0 mfumo una suluhisho la sifuri la kipekee x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Mbinu ya Matrix

Mbinu ya matrix inatumika katika kutatua mifumo ya milinganyo ambapo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana.

Njia hii ni rahisi kwa kutatua mifumo ya chini. Inategemea matumizi ya mali ya kuzidisha matrix.

Wacha mfumo wa equations upewe:

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

A=
- matrix ya coefficients ya mfumo;

B = matrix - safu ya maneno ya bure;

X = - tumbo - safu ya zisizojulikana.

Mfumo wa equations unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix:

Hebu tufanye mabadiliko yafuatayo: A -1 AX = A -1 B,

kwa sababu A -1 A = E, kisha EX = A -1 B, tunapata

X = A -1  B - suluhisho la usawa wa tumbo

Mfano . Tatua mfumo kwa kutumia njia ya matrix

Suluhisho. Hebu tuashiria:

,
,
.

Tunapata equation ya matrix
.

Uamuzi wake
, i.e.

(Kupata matrix inverse kulijadiliwa hapo awali).

Njia ya Gauss

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) mwanahisabati wa Ujerumani)

Tofauti na njia ya matrix na njia ya Cramer, njia ya Gauss inaweza kutumika kwa mifumo ya milinganyo ya mstari na nambari yoyote equations na haijulikani. Kiini cha njia ni kutengwa mara kwa mara haijulikani.

Fikiria mfumo wa milinganyo ya mstari:

Ufafanuzi: Matrix inayojumuisha coefficients kwa mifumo isiyojulikana, inaitwa matrix ya mfumo.

Ufafanuzi: Matrix inaitwa matrix iliyopanuliwa ya mfumo ikiwa safu ya masharti ya bure ya mfumo huongezwa kwa matrix A.

Matrix iliyopanuliwa ni rekodi ya nambari ya mfumo. Safu za matrix zinalingana na milinganyo ya mfumo. Kuzidisha mlinganyo kwa nambari na kuongeza bidhaa hii na mlingano mwingine ni sawa na kuzidisha safu mlalo ya matrix kwa nambari hii na kuongeza bidhaa kwa muda na safu mlalo nyingine ya matrix. Kwa hivyo, kufanya kazi na equations kunaweza kubadilishwa na kufanya kazi na safu za matrix.

Ufafanuzi: Matrix A inaitwa hatua kwa hatua ikiwa:

A) safu yoyote ya safu yake ina angalau kipengee kimoja kisicho sifuri,

B) kipengele cha kwanza kisicho na sifuri cha kila mstari, kuanzia pili, iko upande wa kulia wa kipengele kisicho na sifuri cha mstari uliopita.

Njia ya Gauss ni njia bora ya kutatua na kusoma mifumo ya milinganyo ya mstari. Inajumuisha ukweli kwamba mfumo huu wa usawa wa mstari unabadilishwa kuwa mfumo sawa wa aina ya hatua, ambayo hutatuliwa kwa urahisi na kujifunza. Utumiaji wa mbinu ya Gaussian hautegemei ama idadi ya milinganyo au idadi ya zisizojulikana katika mfumo.

Wacha tuangalie wazo la njia ya Gaussian kwa kutumia mifano maalum.

Mfano. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss.

Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa fomu:

, kutoka ambapo tunapata: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Mfano. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian.

Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

Kwa hivyo, mfumo wa asili unaweza kuwakilishwa kama:

Maelezo ya mradi wa kozi

Mradi wa kozi

Na safu ya tatu ya matrix, tunapata msaidizi wahitimu: Tafuta coefficients ya polynomial: Hivyo... bidhaa: Tafuta bidhaa: Tafuta kuu kibainishi: Tunapata msaidizi wahitimu na, kubadilisha matrix moja baada ya nyingine kuwa...

Mapendekezo ya kiufundi ya kufanya kazi ya kujitegemea ya ziada ya mwanafunzi katika taaluma "Hisabati" kwa utaalam.

Miongozo

Mfano: hesabu kibainishi utaratibu wa pili 1) 2) 2. Kokotoa kibainishi utaratibu wa tatu Kuamua utaratibu wa tatu unaitwa ... kutoka kwa coefficients ya haijulikani Hebu tutunga msaidizi wahitimu mfumo kama ifuatavyo: ... Kisha ...

Shirikisho la Urusi kama kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya juu wanaosoma utaalam wa lugha Moscow "Shule ya Juu" 2002

Kitabu cha kiada

Wajazaji, msaidizi vitenzi, kipengele na vitenzi vya awamu, vielezi vya kuimarisha, vielezi wahitimu; tofauti... kwa kuchanganya neno "nyenzo" na " msaidizi- neno la kisarufi. Ipasavyo, na ...

Ukurasa wa 1

Kiamuzi kikuu kinaundwa ili safu ya kwanza iwe na mgawo wa parameta ambayo imepangwa kwenye mhimili mlalo. KATIKA kwa kesi hii inakubalika kuwa klK imechelewa mhimili wima, a & 2it - mlalo.

Kiamuzi kikuu ni sawa na sifuri, na angalau kibainishi kisaidizi kimoja si sawa na sifuri.

Kiamuzi kikuu - Hurwitz imeundwa kama ifuatavyo.

Grafu /C4 - x na mifupa yake.

Kiamuzi kikuu cha matriki P (au Q) ni ya mpangilio m, na usemi wa viambishi vikuu vinavyolingana humaanisha kuwa safu wima za matriki P iliyojumuishwa katika kibainishi kinachohusika zina nambari sawa na mpangilio sawa na safu mlalo za matrix. Q imejumuishwa katika kibainishi kingine.

Kiashiria kikuu D (p), kinachoitwa tabia, haitegemei tofauti inayotaka au eneo la matumizi ya nguvu inayosumbua.

Tunaunda kiashiria kikuu A.

Tunaunda kiamua kuu cha mfumo na kuilinganisha na sifuri. Tunahukumu utulivu kwa asili ya mizizi. Kiwango cha equation ya tabia imedhamiriwa na idadi ya vipengele vinavyotumia nishati ambavyo hujilimbikiza nishati kwa kujitegemea, kwa kuzingatia miti ya kila moja ya vyanzo vinavyodhibitiwa vinavyotegemea mzunguko vinavyopatikana katika mzunguko. Katika baadhi ya matukio, wakati wa kusoma utulivu, ni muhimu kuzingatia sio tu nguzo ya kwanza ya op-amp au transistor, lakini pia miti iliyobaki.

Kwa kuwa kiashiria kikuu cha mfumo (3.50) ni sawa na sifuri, eigenveekta haijaamuliwa kipekee, lakini ndani ya sababu ya mara kwa mara.

Wacha tueleze kiashiria kikuu D [formula (8.35)] kupitia vigezo vya mzunguko.

Ikiwa kibainishi kikuu cha mfumo wa n milinganyo ya mstari na n zisizojulikana si sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee, lakini ikiwa kibainishi hiki ni sawa na sifuri, basi mfumo huo hauna uhakika au hauendani.

Ikiwa kiashiria kikuu cha mfumo wa homogeneous (9) si sawa na sifuri, basi, kwa mujibu wa theorem ya awali, mfumo una suluhisho la pekee. Suluhisho hili ni dogo. Ikiwa kiashiria kikuu ni sawa na sifuri, basi mfumo, kwa mujibu wa Theorem 2, unaweza kutofautiana au usio na kipimo. Hata hivyo, mfumo wa equations (9) hauwezi kutofautiana, kwa kuwa kuna suluhisho lisilo na maana.

Ikiwa kiashiria kikuu cha mfumo wa homogeneous (9) si sawa na sifuri, basi, kwa mujibu wa theorem ya awali, mfumo una suluhisho la pekee. Suluhisho hili ni dogo. Ikiwa kiashiria kikuu ni sawa na sifuri, basi mfumo. Hata hivyo, mfumo wa equations (9) hauwezi kutofautiana, kwa kuwa kuna suluhisho lisilo na maana.

TAWI LA KOSTROMA LA CHUO KIKUU CHA JESHI CHA ULINZI WA RCB

Idara ya Udhibiti wa Kikosi otomatiki

Kwa walimu pekee

"Nimekubali"

Mkuu wa Idara namba 9

Kanali YAKOVLEV A.B.

"____"_____________ 2004

Profesa Mshiriki A.I. SMIRNOVA

"WASIFU.

SULUHU LA MIFUMO YA MILIngano WA MISTARI"

MUHADHARA Na. 2/1

Iliyojadiliwa katika mkutano wa idara Na

"____"________ 2004

Nambari ya Itifaki __________

Kostroma, 2004.

Utangulizi

1. Viashiria vya utaratibu wa pili na wa tatu.

2. Sifa za vibainishi. Nadharia ya mtengano.

3. Nadharia ya Cramer.

Hitimisho

Fasihi

1. V.E. Schneider na wengine. Kozi fupi Hisabati ya Juu, Juzuu ya I, Ch. 2, aya ya 1.

2. V.S. Shchipachev, Hisabati ya juu, sura ya 10, fungu la 2 .

UTANGULIZI

Muhadhara unajadili vibainishi vya amri ya pili na ya tatu na mali zao. Na pia nadharia ya Cramer, ambayo hukuruhusu kutatua mifumo ya hesabu za mstari kwa kutumia viashiria. Viamuzi pia hutumiwa baadaye katika mada "Vector Algebra" wakati wa kuhesabu bidhaa ya vector vekta.

Swali la 1 la masomo VIAMUZI VYA PILI NA TATU

AGIZA

Fikiria jedwali la nambari nne za fomu

Nambari zilizo kwenye jedwali zinaonyeshwa na barua yenye fahirisi mbili. Fahirisi ya kwanza inaonyesha nambari ya safu, ya pili nambari ya safu.

UFAFANUZI 1. Kiamuzi cha agizo la pili kuitwa kujieleza aina :

(1)

Nambari A 11, …, A 22 huitwa vipengele vya kibainishi.

Ulalo, iliyoundwa na vipengele A 11 ; A 22 inaitwa moja kuu, na diagonal inayoundwa na vipengele A 12 ; A 21 - upande kwa upande.

Kwa hivyo, kiashiria cha pili ni sawa na tofauti kati ya bidhaa za vipengele vya diagonals kuu na za sekondari.

Kumbuka kuwa jibu ni nambari.

MIFANO. Hesabu:

Sasa fikiria jedwali la nambari tisa, lililoandikwa katika safu tatu na safu tatu:

UFAFANUZI 2. Kiamuzi cha agizo la tatu inayoitwa usemi wa fomu :

Vipengele A 11; A 22 ; A 33 - kuunda diagonal kuu.

Nambari A 13; A 22 ; A 31 - tengeneza diagonal ya upande.

Wacha tuonyeshe kimkakati jinsi maneno ya kuongeza na kuondoa yanaundwa:

" + " " – "

Pamoja ni pamoja na: bidhaa ya vipengele kwenye diagonal kuu, maneno mawili yaliyobaki ni bidhaa ya vipengele vilivyo kwenye wima ya pembetatu na besi zinazofanana na diagonal kuu.

Maneno ya minus yanaundwa kulingana na mpango huo kwa heshima na diagonal ya sekondari.

Sheria hii ya kuhesabu kibainishi cha mpangilio wa tatu inaitwa

Kanuni ya T reugolnikov.

MIFANO. Kuhesabu kwa kutumia kanuni ya pembetatu:

MAONI. Viamuzi pia huitwa viashiria.

Swali la 2 la masomo MALI ZA VIAMUZI.

NADHARIA YA UPANUZI

Mali 1. Thamani ya kibainishi haitabadilika ikiwa safu mlalo zake zitabadilishwa na safu wima zinazolingana.

Kwa kufichua viashiria vyote viwili, tunasadikishwa juu ya uhalali wa usawa.

Sifa ya 1 huthibitisha usawa wa safu mlalo na safu wima za kibainishi. Kwa hivyo, tutaunda sifa zote zaidi za kibainishi kwa safu na safu wima zote mbili.

Mali 2. Wakati wa kupanga upya safu mbili (au safu wima), kiangazi hubadilisha ishara yake hadi nyingine, ikidumisha dhamana yake kamili. .

Mali 3. Jumla ya kizidishi vipengele vya safu (au safu)inaweza kuchukuliwa kama ishara ya kuamua.

Mali 4. Ikiwa kiashiria kina safu mbili zinazofanana (au safu wima), basi ni sawa na sifuri.

Mali hii inaweza kuthibitishwa kwa uthibitishaji wa moja kwa moja, au unaweza kutumia mali 2.

Hebu tuonyeshe kiashiria na D. Wakati safu mbili zinazofanana za kwanza na za pili zimepangwa upya, haitabadilika, lakini kwa mujibu wa mali ya pili lazima ibadilishe ishara, i.e.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Mali 5. Ikiwa vipengele vyote vya kamba (au safu)ni sawa na sifuri, kisha kibainishi ni sawa na sifuri.

Mali hii inaweza kuzingatiwa kama kesi maalum mali 3 saa

Mali 6. Ikiwa vipengele vya mistari miwili (au nguzo)viambajengo ni sawia, kisha kibainishi ni sawa na sifuri.

Inaweza kuthibitishwa kwa uthibitishaji wa moja kwa moja au kutumia sifa 3 na 4.

Mali 7. Thamani ya kibainishi haitabadilika ikiwa vipengele vinavyolingana vya safu mlalo nyingine (au safu wima) vinaongezwa kwa vipengele vya safu mlalo (au safu wima), ikizidishwa na nambari sawa.

Imethibitishwa na uthibitishaji wa moja kwa moja.

Maombi mali maalum inaweza katika baadhi ya matukio kuwezesha mchakato wa kuhesabu viambatisho, hasa vya utaratibu wa tatu.

Kwa kile kinachofuata tutahitaji dhana za kijalizo kidogo na aljebra. Hebu tuzingatie dhana hizi ili kufafanua utaratibu wa tatu.

UFAFANUZI 3. Ndogo ya kipengele fulani cha kiambishi cha mpangilio wa tatu inaitwa kiambishi cha mpangilio wa pili kilichopatikana kutoka kwa kipengele fulani kwa kuvuka safu na safu kwenye makutano ambayo kipengele kilichotolewa kinasimama.

Kipengele kidogo A i j iliyoonyeshwa na M i j. Hivyo kwa kipengele A 11 ndogo

Inapatikana kwa kuvuka safu ya kwanza na safu wima ya kwanza katika kibainishi cha mpangilio wa tatu.

UFAFANUZI 4. Nyongeza ya aljebra ya kipengele cha kiambishi wanayaita madogo wakizidisha (-1)k , Wapi k - jumla ya nambari za safu na safu kwenye makutano ambayo kipengele hiki kinasimama.

Nyongeza ya aljebra ya kipengele A i j iliyoonyeshwa na A i j .

Hivyo, A i j =

Hebu tuandike nyongeza za algebra kwa vipengele A 11 na A 12.

. .

Sheria muhimu kukumbuka: nyongeza ya algebra kipengele cha kibainishi ni sawa na dogo lake lililotiwa saini pamoja, ikiwa jumla ya nambari za safu na safu ambayo kipengele kinaonekana ni hata, na ishara kuondoa, ikiwa kiasi hiki isiyo ya kawaida .

Matrix - meza ya mstatili, inayoundwa na nambari.

Hebu itolewe matrix ya mraba Maagizo 2:

Kiamuzi (au kiamua) cha agizo la 2 linalolingana na matrix fulani ni nambari

Kiamuzi cha mpangilio wa 3 (au kibainishi) kinacholingana na matrix ni nambari

Mfano 1: Tafuta viashiria vya matrices na

Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari

Ruhusu mfumo wa milinganyo 3 ya mstari na 3 zisizojulikana itolewe

Mfumo (1) unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix-vector

ambapo A ni matrix ya mgawo

B - matrix iliyopanuliwa

X ni vector ya sehemu inayohitajika;

Kutatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia mbinu ya Cramer

Wacha mfumo wa milinganyo ya mstari na vitu viwili visivyojulikana upewe:

Wacha tuzingatie utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari na mbili na tatu zisizojulikana kwa kutumia fomula za Cramer. Nadharia 1. Ikiwa kiashiria kikuu cha mfumo ni tofauti na sifuri, basi mfumo una suluhisho, na moja ya pekee. Suluhisho la mfumo imedhamiriwa na fomula:

ambapo x1, x2 ni mizizi ya mfumo wa equations,

Kiamuzi kikuu cha mfumo, x1, x2 ni viambishi saidizi.

Wahitimu wasaidizi:

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari yenye vitu vitatu visivyojulikana kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Wacha mfumo wa milinganyo ya mstari na vitu vitatu visivyojulikana upewe:

Nadharia 2. Ikiwa kiashiria kikuu cha mfumo ni tofauti na sifuri, basi mfumo una suluhisho, na pekee. Suluhisho la mfumo imedhamiriwa na fomula:

ambapo x1, x2, x3 ni mizizi ya mfumo wa equations,

Kiamuzi kuu cha mfumo,

x1, x2, x3 ni viambishi visaidizi.

Kiashiria kuu cha mfumo imedhamiriwa na:

Wahitimu wasaidizi:

1. Tengeneza jedwali (matrix) ya coefficients kwa haijulikani na uhesabu kiashiria kikuu.
2. Tafuta - kiashiria cha ziada cha x kilichopatikana kwa kubadilisha safu ya kwanza na safu ya masharti ya bure.
3. Tafuta - kiashiria cha ziada cha y kilichopatikana kwa kubadilisha safu ya pili na safu ya masharti ya bure.
4. Pata - kiashiria cha ziada cha z, kilichopatikana kwa kubadilisha safu ya tatu na safu ya maneno ya bure. Ikiwa kiashiria kikuu cha mfumo si sawa na sifuri, basi hatua ya 5 inafanywa.
5. Pata thamani ya mabadiliko ya x kwa kutumia formula x / .
6. Tafuta thamani ya kigezo y kwa kutumia fomula y /.
7. Pata thamani ya kutofautiana z kwa kutumia formula z / .
8. Andika jibu: x=...; y=…, z=… .