Tatua mfumo wa milinganyo yenye vitu vinne visivyojulikana. Mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari: njia ya suluhisho

Matumizi ya milinganyo yameenea katika maisha yetu. Zinatumika katika mahesabu mengi, ujenzi wa miundo na hata michezo. Mwanadamu alitumia equations katika nyakati za kale, na tangu wakati huo matumizi yao yameongezeka tu. Milinganyo yenye mambo manne yasiyojulikana yanaweza kuwa na masuluhisho mengi yanayowezekana. Katika hisabati, mara nyingi mtu hukutana na milinganyo ya aina hii. Ili kutatua kwa usahihi hesabu kama hizo, ni muhimu kutumia vipengele vyote vya equations ili kurahisisha na kufupisha ufumbuzi wake.

Wacha tuangalie suluhisho la mfano ufuatao:

Kwa kuongeza hesabu za kwanza na za pili kwa sehemu, unaweza kupata equation rahisi sana:

\ au \

Wacha tufanye vitendo sawa na equations 2 na 3:

\ au \

Tunasuluhisha milinganyo inayotokana \ na \

Tunapata \ na \

Tunabadilisha nambari zinazotokana na milinganyo 1 na 3:

\ au \

Kubadilisha nambari hizi na milinganyo ya pili na ya nne itatoa milinganyo sawa.

Lakini sio hivyo tu, kwani kuna milinganyo 2 na 2 zisizojulikana zimesalia kutatua. Unaweza kuona suluhisho la aina hii ya equation katika makala hapa.

Je, ni wapi ninaweza kutatua mlinganyo na watu wanne wasiojulikana mtandaoni?

Unaweza kutatua milinganyo na wasiojulikana mtandaoni katika https://site. Kitatuzi cha bure mtandaoni kitakuruhusu kutatua milinganyo ya mtandaoni ya utata wowote katika suala la sekunde. Unachohitaji kufanya ni kuingiza data yako kwenye kisuluhishi. Unaweza pia kutazama maagizo ya video na kujifunza jinsi ya kutatua equation kwenye tovuti yetu. Na ikiwa bado una maswali, unaweza kuwauliza katika kikundi chetu cha VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Jiunge na kikundi chetu, tunafurahi kukusaidia kila wakati.

Mifumo ya equations hutumiwa sana katika sekta ya kiuchumi kwa uundaji wa hesabu wa michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa (tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kwamba thamani zinazofaa za x na y hazipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo ambayo upande wake wa kulia ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo la kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo kwenye mfumo haitegemei vigeuzo; kunaweza kuwa na nyingi kama unavyotaka.

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchanganuzi ya kutatua mifumo kama hii; njia zote zinatokana na suluhu za nambari. Kozi ya hisabati ya shule inaelezea kwa undani mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na pia njia za picha na matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua mfumo kwa usahihi na kupata algorithm ya suluhisho bora kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari katika mtaala wa elimu ya jumla wa darasa la 7 ni rahisi sana na inaelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Kutatua mfano huu ni rahisi na inakuwezesha kupata thamani ya Y. Hatua ya mwisho ni kuangalia maadili yaliyopatikana.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 zisizojulikana katika mfumo, kutatua kwa kubadilisha pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhu za mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, milinganyo huongezwa kwa muda na mrefu na kuzidishwa na nambari mbalimbali. Lengo kuu la shughuli za hisabati ni mlinganyo katika kigezo kimoja.

Utumiaji wa njia hii unahitaji mazoezi na uchunguzi. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Kama matokeo ya utendakazi wa hesabu, moja ya mgawo wa kutofautisha inapaswa kuwa sawa na 1.
Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhu kwa si zaidi ya milinganyo miwili; idadi ya zisizojulikana pia zinapaswa kuwa zisizozidi mbili.

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kigezo kipya cha t, iliwezekana kupunguza mlingano wa 1 wa mfumo hadi utatu wa kawaida wa quadratic. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa kutumia formula inayojulikana: D = b2 - 4 * a * c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. Katika mfano uliopeanwa, a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, basi kuna ufumbuzi mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa ubaguzi ni chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja: x = -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Njia hiyo inajumuisha kuunda grafu za kila equation iliyojumuishwa kwenye mfumo kwenye mhimili wa kuratibu. Kuratibu za pointi za makutano ya curves itakuwa suluhisho la jumla la mfumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupata suluhu la picha kwa mfumo wa milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Ikumbukwe kwamba si mara zote inawezekana kusema kama mfumo una suluhisho au la; ni muhimu kila wakati kuunda grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kuandika kwa ufupi mfumo wa milinganyo ya mstari. Matrix ni aina maalum ya meza iliyojaa nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja yenye idadi isiyo na kikomo ya safu mlalo. Matrix iliyo na zile pamoja na moja ya diagonals na vipengele vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo; matrix kama hiyo inapatikana tu kwa mraba wa asili.

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti huru ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix; mlinganyo mmoja ni safu mlalo moja ya matriki.

Safu mlalo ya matrix inasemekana kuwa isiyo na zero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 ni tumbo kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili; unahitaji tu kuzidisha vitu vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo yenye idadi kubwa ya anuwai na equations.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

Katika hisabati ya juu, njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata vigezo vya mifumo yenye idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss inafanana sana na suluhu kwa kubadilisha na kuongeza aljebra, lakini ni ya kimfumo zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Kwa njia ya mabadiliko ya aljebra na mbadala, thamani ya kutofautiana moja inapatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gaussian ni ngumu kwa wanafunzi wa shule ya kati kuelewa, lakini ni mojawapo ya njia za kuvutia zaidi za kukuza werevu wa watoto waliojiandikisha katika programu za juu za kujifunza katika madarasa ya hesabu na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na maneno ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyiwa kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.

Kesi wakati idadi ya milinganyo m vigezo zaidi n, kwa kuondoa sequentially zisizojulikana kutoka kwa milinganyo husababisha kesi m= n au m n. Kesi ya kwanza ilijadiliwa hapo awali.

Katika kesi ya pili, wakati idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani m n na equations ni huru, simama nje m vigezo kuu Na ( n- m)vigezo visivyo vya msingi . Vigezo kuu ni vile vinavyokidhi hali: kiashiria, kilichoundwa na coefficients ya vigezo hivi, si sawa na sifuri. Ya kuu yanaweza kuwa makundi tofauti ya vigezo. Jumla ya idadi ya vikundi kama hivyo N sawa na idadi ya michanganyiko ya n vipengele kwa m:

Ikiwa mfumo una angalau kundi moja la vigezo vya msingi, basi mfumo huu ni kutokuwa na uhakika , yaani, ina masuluhisho mengi.

Ikiwa mfumo hauna kundi moja la vigezo vya msingi, basi mfumo ni yasiyo ya pamoja , yaani, haina suluhu moja.

Katika kesi wakati mfumo una suluhisho nyingi, suluhisho la msingi linajulikana kati yao.

Suluhisho la msingi ni suluhu ambayo viambishi vidogo ni sawa na sifuri. Mfumo hauna zaidi ya ufumbuzi wa msingi.

Ufumbuzi wa mfumo umegawanywa katika kukubalika Na haikubaliki .

Inakubalika Hizi ni suluhisho ambazo maadili ya anuwai zote sio hasi.

Ikiwa angalau thamani moja ya kutofautiana ni hasi, basi suluhisho linaitwa haikubaliki .

Mfano 4.5

Pata suluhisho za msingi kwa mfumo wa milinganyo

Hebu tupate idadi ya ufumbuzi wa msingi

Kwa hivyo, kati ya suluhisho nyingi za mfumo hakuna zaidi ya tatu za msingi. Wacha tuangazie vigezo viwili kuu kati ya hizo tatu. Hebu tuchukulie ni X 1 na X 2. Wacha tuangalie kibainishi kutoka kwa mgawo wao

Kwa kuwa kiashiria hiki si sawa na sifuri, basi vigezo X 1 ,X 2 ndio kuu.

Sasa hebu tufikirie hivyo X 3 =0. Kisha tunapata mfumo katika fomu

Wacha tuitatue kwa kutumia fomula za Cramer:

,
.

Kwa hivyo, suluhisho la kwanza la msingi lina fomu

X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .

Wacha sasa tuangalie ikiwa anuwai ni ya zile kuu X 1 na X 3 .

Tunapata hilo X 1 na X 3 - kundi la pili la vigezo kuu. Hebu tuweke X 2 =0 na kutatua mfumo

,
.

Suluhisho la pili la msingi lina fomu

X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.

Sasa hebu tuangalie ikiwa vigezo ni vya kuu X 2 na X 3 .

yaani, vigezo X 2 na X 3 ndogo. Kwa hivyo, mfumo huu una suluhisho mbili za msingi kwa jumla. Suluhisho hizi zote mbili zinakubalika.

Hali ya upatanifu kwa mfumo wa milinganyo ya mstari na vigeu vya n inatolewa kwa kutumia dhana ya kiwango cha matriki.

Kiwango cha Matrix - hii ni nambari inayolingana na mpangilio wa juu zaidi wa mdogo zaidi ya sifuri.

Kwa matrix A

mdogo k - utaratibu hutumika kama kibainishi kinachojumuisha vipengele vya yoyote k mistari na k nguzo.

Kwa mfano,

Mfano 2

Tafuta kiwango cha matrix

Wacha tuhesabu kiashiria cha matrix

Ili kufanya hivyo, zidisha mstari wa kwanza na (-4) na uiongeze na mstari wa pili, kisha zidisha mstari wa kwanza na (-7) na uiongeze na mstari wa tatu, matokeo yake tunapata kiashiria.