Goethe aliita ond hiyo "curve ya maisha." Kwa asili, makombora mengi yana sura ya ond ya Archimedes. Mbegu za alizeti hupangwa kwa ond. Ond inaweza kuonekana katika cacti na mananasi. Kimbunga kinazidi kuongezeka. Kundi la kulungu hutawanyika kwa ond. Molekuli ya DNA imepotoshwa katika hesi mbili. Hata galaksi huundwa kulingana na kanuni ya ond.
Hebu fikiria piga saa kwa mkono mrefu. Mshale husogea karibu na mduara wa piga. Na kwa wakati huu mshale unasonga na kasi ya mara kwa mara mdudu mdogo. Njia ya harakati ya mdudu ni Archimedes spiral.
Ond, iliyopewa jina la Archimedes, iligunduliwa naye katika karne ya 3 KK.
Ujenzi wa ond ya Archimedes
Kulingana na Archimedes mwenyewe: "Ond ni njia mwendo wa sare pointi kando ya boriti inayozunguka kwa usawa kuzunguka asili yake.”
Ili kuelewa jinsi Archimedes spiral inavyopatikana, hebu tuchukue mduara na tugawanye katika idadi sawa ya sehemu (katika mfano wetu, 8). Tunagawanya radius ya mduara katika idadi sawa ya sehemu (8). Kutoka katikati ya duara tunachora miale kupitia sehemu za mgawanyiko wa duara na kuzitaja kama 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.
Juu ya ray ya kwanza tutaweka kando mgawanyiko mmoja wa radius na mteule uhakika I. Juu ya ray ya pili tutaweka kando mgawanyiko mbili wa radius na mteule uhakika II. Juu ya ray ya tatu tutaweka mgawanyiko tatu wa radius na mteule uhakika III. Kwa njia hiyo hiyo tunapata pointi IV, V, VI, VII, VIII. Kwa kuunganisha alama zilizoonyeshwa na mstari uliopindika, tunapata ond ya Archimedes. Ikiwa tutaendelea na ujenzi zaidi, basi kwa hatua ya IX 8 + 1 sehemu za radius zitawekwa. Na kadhalika.
Inabadilika kuwa Archimedes spiral inahusiana kwa karibu na mlolongo wa nambari za Fibonacci. Je, hizi, kwa mtazamo wa kwanza, dhana tofauti kabisa zinafanana nini?
Mlolongo wa Fibonacci
Mfululizo wa Fibonacci ni mlolongo wa nambari ambapo kila nambari inayofuata ni sawa na jumla ya mbili zilizopita. Mlolongo wa Fibonacci unaonekana kama hii: 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ... Na uwiano wa kila nambari inayofuata na ya awali katika mfululizo huu wa nambari ni 1.618 ... Nambari hii inaitwa nambari F.
Hata hivyo, bila dhana ya "uwiano wa dhahabu" hatutaweza kufuatilia uhusiano kati ya mfululizo wa nambari ya Fibonacci na Archimedes spiral.
Uwiano wa dhahabu
Fikiria kuwa umegawanya sehemu ya mstari wa moja kwa moja katika sehemu mbili zisizo sawa ili sehemu nzima ihusishwe na sehemu kubwa, kama wengi wa inahusu ndogo. Hii ndio uwiano "sehemu ya dhahabu" au "uwiano wa dhahabu". Mtazamo upande mkubwa kwa ndogo katika uwiano wa dhahabu ni sawa na 1.618. Kama tunavyoona, uwiano wa nambari inayofuata na ile iliyotangulia kwenye safu ya Fibonacci ni sawa na nambari sawa.
Hebu tujenge mstatili, pande zake ambazo zitaunganishwa katika uwiano wa dhahabu. Hiyo ni, uwiano wa upande mkubwa wa mstatili hadi mdogo ni 1.618. Mstatili wenye pande hizi huitwa "mstatili wa dhahabu" Wacha tukate mraba kutoka kwa mstatili huu, ambao upande wake ni sawa na upande mdogo wa mstatili. Inageuka kuwa mstatili uliobaki pia utakuwa "dhahabu". Ikiwa tutakata mraba kutoka kwake na upande sawa na upande mdogo wa mstatili huu, basi mstatili uliobaki utakuwa "dhahabu". Nakadhalika. Ikiwa unaongeza mraba kando ya upande mrefu wa mstatili, basi mchakato huu unaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Ilibadilika kuwa urefu wa pande za mraba huu ni sawa na nambari za jirani katika mlolongo wa Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Na, ipasavyo, uwiano wa upande wa mraba unaofuata kwa upande wa uliopita pia ni 1.618.
Kuunganisha curve pointi za kona viwanja hivi, tunapata Archimedes ond.
Mwanahisabati wa zama za kati Luca Pacioli aliita "uwiano wa dhahabu" uwiano wa Kimungu. Jicho la mwanadamu huona sehemu ya uwiano wa dhahabu kuwa mzuri na mzuri. Na mwanadamu alianza kutumia "uwiano wa dhahabu" katika shughuli zake muda mrefu sana uliopita. Kwa hivyo, katika piramidi za Giza uwiano wa urefu wa msingi hadi urefu ni 1.618. Piramidi za Mexico zina idadi sawa. Uwiano wa dhahabu Leonardo da Vinci pia alitumia katika ubunifu wake. Labda ndiyo sababu wanavutia sana na wakamilifu?
Archimedes ond katika asili
Kwa asili, ond ya Archimedes hupatikana kwa kila hatua.
Buibui husuka utando wake kwa ond.
Kichwa cha alizeti kina spirals za Archimedes, ambazo baadhi yake zimepindishwa saa, zingine kinyume cha saa. Kwa hiyo, katika kichwa cha ukubwa wa kati kuna spirals 34 katika mwelekeo mmoja na 55 kwa upande mwingine. Je, unatambua? Hizi ndizo nambari za mfululizo wa Fibonacci.
Miiba ya misonobari na miiba ya cactus pia ina miisho ya saa au kinyume cha saa. Kwa kuongezea, idadi ya ond hizi daima itakuwa sawa na nambari za jirani za safu ya Fibonacci. Kwa mfano, koni ya pine ina ond 5 na 8, nanasi ina 8 na 13.
Utumiaji wa ond ya Archimedes
Katika karne ya 3 BK, Archimedes, kwa msingi wa ond yake, aligundua screw, ambayo ilitumiwa kwa mafanikio kuhamisha maji kwenye mifereji ya umwagiliaji kutoka kwa mabwawa yaliyo chini. Baadaye, auger ("konokono") iliundwa kulingana na screw Archimedes. Aina yake maarufu sana ni rotor ya screw katika grinder ya nyama. The screw hutumiwa katika taratibu za kuchanganya vifaa vya msimamo tofauti. Katika teknolojia, antena kwa namna ya Archimedes spiral zimetumika. Cartridge ya kujitegemea inafanywa kulingana na Archimedes spiral. Nyimbo za sauti kwenye CD na DVD pia zina umbo la Archimedes spiral.
Ilipata ond ya Archimedes matumizi ya vitendo katika hisabati, teknolojia, usanifu, uhandisi wa mitambo.
Jiometri takatifu. Nambari za nishati za maelewano Prokopenko Iolanta
Mlolongo wa Fibonacci na Archimedes ond
Chakula mnene cha wake za Fibonacci
Ilikuwa ni kwa faida yao tu, hakuna kingine.
Wake walipima, kulingana na uvumi,
Kila moja ni kama mbili zilizopita.
James Lyndon
Mfululizo wa nambari Fibonacci ni mlolongo wa ajabu uliotukuzwa katika riwaya za Dan Brown. Ni nini cha kipekee na kisicho kawaida kuhusu safu hii ya nambari? Kwa nini nambari kadhaa mfululizo huvutia umakini mwingi?
Nambari za Fibonacci ni vipengele mlolongo wa nambari, ambapo kila nambari inayofuata ni sawa na jumla ya mbili nambari zilizopita. Mfululizo wa nambari ya Fibonacci inaonekana kama kwa njia ifuatayo: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, nk.
Mlolongo huu ulijulikana katika India ya Kale, ilitumika sana katika uthibitishaji. Baadaye kidogo, ilitumiwa Magharibi katika kazi yake "Liber Abaci" (1202) na Leonardo wa Pisa, anayejulikana zaidi kama Fibonacci. Alitazama maendeleo ya idadi bora ya sungura kutoka kwa mtazamo ufuatao:
- Hapo awali kuna jozi ya sungura (1 wanandoa wapya sungura);
- Katika mwezi wa kwanza, wanandoa huzaa jozi nyingine (jozi 1 mpya ya sungura);
- Katika mwezi wa pili, kila wanandoa huzaa jozi nyingine. Jozi ya kwanza hufa (jozi 2 mpya za sungura);
- Katika mwezi wa tatu, jozi ya pili na jozi mbili mpya za sungura huzaa jozi tatu mpya. Jozi ya zamani hufa (jozi 3 mpya za sungura), nk.
Fibonacci iliamua kama ukweli wa asili kwamba kila jozi ya sungura huzaa jozi mbili zaidi katika maisha yao yote, na kisha kufa.
Kwa nini tunazungumzia hili? Inaweza kuonekana kuwa Fibonacci hakugundua chochote kipya; alikumbusha ulimwengu juu ya jambo kama hilo uwiano wa dhahabu(tazama sura ya "Uwiano wa Dhahabu. Uwiano wa Kiungu").
Walakini, nambari za Fibonacci zinaweza kupatikana kwa urahisi katika maumbile, katika maisha ambayo yanatuzunguka. Ni kana kwamba kila kitu ulimwenguni kilijengwa na mbunifu mmoja mkubwa. Nambari za Fibonacci zinaweza kupatikana kwenye shina la mmea wowote au kwa idadi ya petals.
Usambazaji wa majani ya yarrow kulingana na mlolongo wa Fibonacci
Mlolongo wa Fibonacci unahusiana kwa karibu na ufafanuzi wa Archimedes spiral. Archimedes spiral ni ond na ongezeko sare katika lami na zamu. Fikiria "mstatili wa dhahabu".
"Mstatili wa dhahabu"
Kama unaweza kuona, sehemu ndani yake zimepangwa kulingana na mlolongo hapo juu. Kwa kuongezea, ikiwa tunachora mistari kupitia pembe za mraba huu kwa mpangilio wa kupanda, hatutapata chochote zaidi ya ond inayojulikana ya Archimedes.
Archimedes ond
Kuna mifano mingi katika asili ya jinsi mlolongo wa Fibonacci unaweza kujumuishwa kwa usawa. (Mbegu za alizeti, mbegu za pine, seli za mananasi, petals za maua.)
Molekuli ya DNA ya binadamu imeundwa na ond mbili zilizounganishwa kwa wima na urefu wa 34 na upana wa 21. Sio bure kwamba Goethe aliita ond "curve ya maisha", kwa sababu 21 na 34 ni namba. rafiki ijayo baada ya kila mmoja katika mlolongo wa Fibonacci.
Mpangilio wa mbegu za alizeti
Mtandao uliojengwa juu ya kanuni ya Archimedes spiral
Ganda la konokono lililojengwa juu ya kanuni ya ond ya Archimedes
DNA ya binadamu kulingana na mlolongo wa Fibonacci
Nambari za Fibonacci pia zinapatikana kwenye nafasi, kwa sababu Njia ya Milky na galaksi nyingine nyingi zimejengwa juu ya mfano wa Archimedes spiral.
Milky Way, mojawapo ya ond kubwa za Archimedes
Kutoka kwa kitabu The Jaguar Woman and the Wisdom of the Butterfly Tree na Andrews LynnSura ya 8. Caldera na Sacred Spiral Hatutazamii kupumzika - kwa mabadiliko. Tunatembea kwa kila mmoja kama kupitia milango. Tunaunganisha, kuvuka, kuondoka na kurudi, kama mawimbi, kutoka kwa msingi wa tufaha, jicho la mandala, utupu katika ua wa waridi, duara lisilo na kikomo na kituo.
Kutoka kwa kitabu Secrets of Ancient Civilizations. Encyclopedia ya mafumbo ya kuvutia zaidi ya zamani na James PeterGLASTONBURY SPIRAL ***Mwaka wa 1944, mfanyabiashara wa Ireland Geoffrey Russell aliota ndoto iliyo wazi isivyo kawaida. Alipoamka, mara akaihamishia kwenye karatasi ile picha iliyokuwa bado mbele ya macho yake. Ilikuwa ishara ya ond iliyojumuisha mstari mmoja uliosokotwa katika zamu saba.
Kutoka kwa kitabu Vitabu vilivyolaaniwa na Bergier JacquesKitabu cha DOUBLE SPIRAL cha Profesa James D. Watson " helix mbili"Ni rahisi kupata katika duka lolote la vitabu. Yake Tafsiri ya Kifaransa ilichapishwa na Robert Laffont. Pia kuna kadhaa matoleo ya Kiingereza V jalada gumu na toleo la mfukoni katika karatasi
Kutoka kwa kitabu A Manual of Witchcraft mwandishi Cunningham ScottSura ya 9 Ond ya Kuzaliwa Upya Kuzaliwa Upya ni jambo la kiroho lenye utata zaidi wa wakati wetu. Kuzaliwa upya ni mojawapo ya masomo muhimu zaidi ya uchawi. Kujua kwamba maisha haya ni moja tu ya mengi, na kwamba wakati mwili wa kimwili inakufa, hatuachi
Kutoka kwa kitabu Secrets of Ancient Civilizations na James PeterGLASTONBURY SPIRAL *** Mnamo 1944, mfanyabiashara wa Ireland Geoffrey Russell aliota ndoto iliyo wazi isivyo kawaida. Alipoamka, mara moja akaihamishia kwenye karatasi picha ambayo ilikuwa bado mbele ya macho yake. Ilikuwa ishara ya ond iliyojumuisha mstari mmoja uliosokotwa katika zamu saba.
Kutoka kwa kitabu Hakuna neno la ukweli katika kitabu hiki, lakini hivi ndivyo yote yanatokea na Frissell BobOnd Wacha turudi kwenye mraba ambao tunaweza kutoshea mwili wa binadamu, na wima kugawanya katika nusu, na diagonal. Tumia dira ili kugeuza ulalo na ukamilishe mstatili kwa kupanua mistari miwili iliyobaki hadi ikatike. Kwa hiyo wewe
Kutoka kwa kitabu Siri ya Kale Maua ya Maisha. Juzuu 1 mwandishi Melkizedeki DrunvaloMtaalamu wa hesabu wa Fibonacci Spiral Medieval Leonardo Fibonacci aligundua utaratibu fulani, au mlolongo ambao ukuaji wa mimea hutokea. Mlolongo huu ni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na kadhalika. Tayari nimesema wakati wa kujadili ukuaji wa mmea.
Kutoka kwa kitabu Four Castes. Wewe ni nani? mwandishi Pokhabov Alexey8 Kupatanisha Polarities za Mfuatano wa Binary na Mfuatano wa Fibonacci Fibonacci na Fibonacci Spiral Ili kuelewa kwa nini spirals nane karibu na Canon ya Da Vinci sio Golden Ratio spirals, na kuelewa.
Kutoka kwa kitabu Absolute Healing. Siri za kimfumo na habari-nishati za afya zetu mwandishi Gladkov Sergey MikhailovichSura ya 4 Ond ya Sifa Ikiwa tunazungumza juu ya jinsi ya kuwa Mchawi, basi lazima tuelewe yafuatayo: mageuzi ya mwanadamu hutokea kwa mlolongo wazi. Hakuna kurukaruka kutoka tabaka la mfanyabiashara hadi tabaka la Mage. Utalazimika kupanda ngazi, kukanyaga kila moja.Tatizo ni kwamba sisi
Kutoka kwa kitabu Mathematics for Mystics. Siri za Jiometri Takatifu na Chesso RennaMzunguko wa Uponyaji wa Mtu Binafsi Kama vile tungependa kupata mfumo wa lishe "kamili" ulioundwa na mmoja wa wakuu, matumaini haya, ole, hayana uhalisia. Nilitumia muda mwingi kujaribu "mifumo" tofauti hadi nikagundua kuwa mfumo kamili ni wewe
Kutoka kwa kitabu Sacred Jiometri. Nambari za nishati za maelewano mwandishi Prokopenko IolantaSura ya #9 Fibonacci, Uwiano wa Dhahabu na Pentacle Mfuatano wa Fibonacci sio tu muundo wa nambari nasibu uliovumbuliwa na mwanahisabati huyu wa Kiitaliano. Ni matunda ya kuelewa mahusiano ya anga ambayo hufanyika katika asili na baadaye kupokelewa
Kutoka kwa kitabu Kitabu kikubwa maarifa ya siri. Numerology. Graphology. Palmistry. Unajimu. Kusema bahati mwandishi Schwartz TheodorSpiral. coil ya suala la maisha Spirality ni moja ya sifa za tabia ya viumbe vyote kama dhihirisho la kiini cha maisha. J. Goethe Ambivalent, utata ishara takatifu. Ond wakati huo huo inajumuisha ishara ya maisha na kifo, maendeleo juu
Kutoka kwa kitabu Free Mind. Mazoezi ya mwili, roho na roho by Katsuzo NishiArchimedes' Spiral and the Law of Octaves Art - na ninamaanisha kweli, sanaa nzuri - inategemea, kati ya mambo mengine, juu ya kanuni za usawa, mienendo, eneo na muundo. Vipengele hivi lazima vipatane na kuingiliana na kila mmoja ili
Kutoka kwa kitabu cha mwandishiUjenzi wa Archimedes spiral Hatua iliyotolewa ya ond ya Archimedes imegawanywa katika kadhaa, kwa mfano nane, sehemu sawa. Kutoka mwisho O wa sehemu, chora duara R = t na ugawanye katika sehemu nyingi sawa kama hatua t iligawanywa. Kwenye mwale wa kwanza, kwa kuchora safu ya radius.
Kutoka kwa kitabu cha mwandishiMlolongo wa Fibonacci Jina la mwanahisabati Leonardo kutoka Pisa, anayejulikana kama Fibonacci (mwana wa Bonacci), linahusishwa na historia ya uwiano wa dhahabu. Alikuwa mwanahisabati maarufu zaidi wa Zama za Kati. Mnamo 1202, kitabu chake "Kitabu cha Abacus" (ubao wa kuhesabu) kilichapishwa, ambapo
Kutoka kwa kitabu cha mwandishiKutafakari juu ya ond Kutafakari na ond itachukua muda, inapaswa kufanyika ndani ya saa moja. Ni bora kuchagua masaa ya asubuhi au alasiri ya wikendi kwa kutafakari. Fanya chumba cha kutafakari kuwa giza na uwashe mshumaa. Kaa sawa na jaribu kutupa kila kitu
Ujenzi wa ond ya Archimedes huanza na ujenzi wa mduara na radius sawa na lami ya ond kwa kutumia amri ya Circle. Kutoka katikati ya duara KUHUSU amri Sehemu inafanywa mstari wa usawa, sawa na lami ya Archimedes spiral OA. Mduara na sehemu imegawanywa katika sehemu 12 sawa. Sehemu ya mstari inaweza kugawanywa katika sehemu 12 sawa kwa kutumia curve ya Split katika amri ya sehemu za n. Kupitia sehemu za mgawanyiko wa sehemu OA kwa kutumia amri ya Equidistant, nakala ya miduara: inapaswa kuwa na 12. Kutumia Copy pamoja na amri ya Circle, tengeneza safu ya polar kutoka kwa hatua ya ond iliyogawanywa katika sehemu 12 (Mchoro 3.50).
Mchele. 3.50. Ujenzi wa ond ya Archimedes
Sehemu za makutano ya hatua na miduara ya radii 1/12, 2/12, 3/12, nk. iliyounganishwa na polyline kwa kutumia amri ya sehemu ya Mstari, kuanzia katikati ya ond (point KUHUSU), kwa kuzingatia mwelekeo wa mzunguko wa kitu. Kutumia amri ya NURBS, mstari wa Archimedes spiral unapatikana (Mchoro 3.51).
Ili kuunda idadi kubwa ya zamu za ond ya Archimedes, jenga mduara na radius sawa na hatua mbili za ond, au hatua tatu, na, ipasavyo, ugawanye hatua mbili katika sehemu 24, hatua 2.5 katika sehemu 30.
Mchele. 3.51. Archimedes 'spiral iliyojengwa kwa kutumia amri ya NURBS
Ujenzi wa curl ya katikati mbili
Kwanza, jenga mstari wa msaidizi wa usawa. Kisha sehemu imewekwa juu yake. Kutoka kituo cha kwanza mduara na radius O 1 O 2 hujengwa, kutoka kituo cha pili mduara na radius 2O 1 O 2 hujengwa (Mchoro 3.52).
Mchele. 3.52. Ujenzi wa curl ya katikati mbili kwa kutumia miduara
Baada ya kujenga idadi inayotakiwa ya miduara, sehemu zao za ziada zinaondolewa kwa kutumia amri ya Trim Curve (Mchoro 3.53).
Ongeza vipimo vya radial kwenye semicircles, hakikisha kwamba radius inaongezeka mara mbili kwa kila mduara unaofuata.
Mchele. 3.53. Mviringo wa katikati
Fanya kazi na maandishi
Amri ya Maandishi hukuruhusu kuunda uandishi wa maandishi kwenye mchoro au kipande. Kila uandishi unaweza kujumuisha idadi kiholela ya mistari.
Ili kuita amri, bofya kitufe cha Maandishi kwenye upau wa vidhibiti wa Alama.
Baada ya kupiga amri, KOMPAS hubadilisha hali ya maandishi. Hii inabadilisha nambari na majina ya amri kuu za menyu, pamoja na muundo wa paneli ya Compact.
Kutumia kikundi cha swichi Malazi chagua eneo la maandishi kuhusiana na hatua ya nanga.
Katika shamba Kona Unaweza kuingiza pembe ya mwelekeo wa mistari ya maandishi kwenye mhimili wa X wa mfumo wa sasa wa kuratibu.
Bainisha sehemu ya maandishi.
Ingiza nambari inayotakiwa ya mistari, ukimaliza kila mmoja wao kwa kubonyeza kitufe<Ingiza>.
Unaweza kubadilisha mipangilio ya maandishi chaguomsingi kwa kutumia vidhibiti vilivyo kwenye kichupo Uumbizaji Paneli za mali, pamoja na kuingiza vitu mbalimbali maalum kwa kutumia vipengele vya tab Ingiza.
Ili kupiga picha, bonyeza kitufe Unda kitu kwenye Jopo Maalum la Kudhibiti.
Utaratibu wa kufanya kazi ya maabara
Unda kipande kipya.
Tengeneza ond ya Archimedes kulingana na mgawo.
Unda curl maalum.
Hifadhi faili.
Ingiza vipimo vinavyohitajika.
Ingiza jina la kituo na lami ya ond kwa kutumia amri ya Maandishi.
Unda uandishi katika kipande kilicho na jina la mwanafunzi, kikundi, nambari. kazi ya maabara, nambari ya chaguo, tarehe ya kuunda.
Archimedes spirals hutumiwa sana katika kujenga jiometri kwa inductors, exchanger joto ond, na vifaa microfluidics. Katika chapisho hili tutaonyesha jinsi ya kuunda ond ya Archimedes kwa kutumia maneno ya uchambuzi na derivatives zao ili kufafanua curves muhimu. Tutaunda kwanza jiometri ya 2D, na kisha, baada ya kuweka unene uliotaka, tutaibadilisha kwa 3D kwa kutumia operesheni ya Extrude.
Archimedes spiral ni nini?
Kuenea kwa asili, spirals au whorls hutumiwa kwa wengi miundo ya uhandisi. Kwa mfano, katika uhandisi wa umeme na umeme, inductors ni jeraha kwa kutumia conductors ond-umbo au antenna helical ni iliyoundwa. Katika uhandisi wa mitambo, helis hutumiwa katika kubuni ya chemchemi, gia za helical spur, au hata taratibu za saa, moja ambayo imeonyeshwa hapa chini.
Mfano wa ond ya Archimedes, ambayo hutumiwa katika utaratibu wa saa. Picha kwa hisani ya Greubel Forsey. Inapatikana chini ya CC BY-SA 3.0 kutoka Wikimedia Commons.
Katika makala hii tutachambua aina moja tu ya ond, ambayo ni, Archimedes spiral, ambayo imeonyeshwa kwenye utaratibu hapo juu. Archimedes ond-Hii aina maalum ond na umbali wa mara kwa mara kati ya zamu. Kutokana na mali hii, hutumiwa sana katika kubuni ya coils na chemchemi.
Equation ya Archimedes spiral katika mfumo wa kuratibu polar imeandikwa kama:
ambapo a na b ni vigezo vinavyoamua radius ya awali ya ond na umbali kati ya zamu, ambayo ni sawa na 2\pi b. Kumbuka kwamba ond ya Archimedes pia wakati mwingine huitwa ond ya hesabu. Jina hili linahusishwa na utegemezi wa hesabu wa umbali kutoka mwanzo wa curve hadi pointi za ond ziko kwenye mstari huo wa radial.
Kufafanua jiometri ya parameterized ya Archimedes spiral
Sasa kwa kuwa tayari unajua Archimedes spiral ni nini, wacha tuanze kuweka vigezo na kuunda jiometri katika Multifizikia ya COMSOL.
Ond ya Archimedes inaweza kubainishwa katika kuratibu za polar na Cartesian.
Kwanza unahitaji kubadilisha equation ya ond kutoka mfumo wa polar inaratibu katika Cartesian na kueleza kila equation katika fomu ya parametric:
\anza(align*) x_(sehemu)=rcos(\theta) \\ y_(sehemu)=rsin(\theta) \mwisho(align*)
Baada ya kubadilisha equation ya ond katika fomu ya parametric hadi Mfumo wa Cartesian kuratibu zitachukua fomu:
\anza(align*) x_(sehemu)=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_(sehemu)=(a+b\theta)dhambi(\theta) \mwisho(align*)
Katika Multifizikia ya COMSOL, tunahitaji kufafanua seti ya vigezo ambavyo vitatumika kufafanua jiometri ya ond. Kwa upande wetu, hizi ni radii ya awali na ya mwisho ya ond a_(ya awali) na a_(mwisho), kwa mtiririko huo, na idadi ya zamu n. Fahirisi ya ukuaji wa helix b hupatikana kama:
b=\frac(a_(mwisho)-a_(ya awali))(2 \pi n)
Pia ni muhimu kuamua pembe za kuanzia na za mwisho za ond - theta_0 na theta_f, kwa mtiririko huo. Wacha tuanze nao - theta_0=0 na theta_f=2 \pi n . Kulingana na habari iliyotolewa, tunaamua vigezo vya kujenga jiometri ya ond.
Vigezo vinavyotumika kujenga jiometri ya ond.
Wacha tuanze ujenzi wetu kwa kuchagua tatizo la pande tatu (Kipengele cha 3D) na kuunda Ndege ya Kazi(Ndege ya kazi) katika sehemu Jiometri(Jiometri). Katika jiometri kwa Ndege ya Kazi ongeza Parametric Curve(Parametric Curve) na uandike equations parametric, iliyoelezwa hapo juu, ili kufafanua jiometri ya pande mbili ya Archimedes spiral. Milinganyo hii inaweza kuingizwa mara moja kwenye sehemu zinazofaa kwenye kichupo Kujieleza au unaweza kwanza kuweka kila mlinganyo kando Uchambuzi Kazi ya uchanganuzi:
\anza(align*) X_(furaha)=(a+bs)cos(s) \\ Y_(furaha)=(a+bs)dhambi \\ \mwisho(align*)
Usemi wa kijenzi cha X cha mlinganyo wa ond wa Archimedes uliotolewa uchambuzi kazi.
Uchambuzi kazi hiyo basi inaweza kutumika kama usemi katika nodi ya Parametric Curve. Katika kichupo cha Parameter, weka parameter s kutoka pembe ya kuanzia, theta_0, hadi thamani yake ya mwisho, theta_f=2 \pi n.
Mipangilio ya Parametric Curve.
Mara baada ya kuweka vigezo vyote na kubofya kitufe cha "Jenga Uliochaguliwa", curve iliyoonyeshwa kwenye skrini hapo juu itajengwa. Sasa hebu tuweke unene wa ond ili kupata takwimu imara mbili-dimensional.
Hadi kufikia hatua hii, vigezo vya curve yetu vilikuwa radii ya awali (a_(ya awali)) na ya mwisho (a_(mwisho)) na idadi ya zamu n. Sasa tunataka kuongeza jambo moja zaidi - unene wa ond.
Hebu tukumbuke tena mali kuu ya ond - umbali kati ya zamu ni mara kwa mara na sawa na 2\pi b. Nini ni sawa \frac(a_(mwisho)-a_(awali))(n). Ili kuongeza unene kwa milinganyo yetu, tunawakilisha umbali kati ya zamu kama jumla ya unene wa ond na pengo nene+pengo.
Umbali kati ya zamu imedhamiriwa na unene wa ond na saizi ya pengo.
\anza(align*) distance=\frac(a_(awali)-a_(mwisho))(n) \\ pengo=unene-umbali \mwisho(align*)
Baada ya hayo, tunaelezea kiwango cha ukuaji wa ond katika suala la unene:
\anza(align*) distance=2\pi b \\ b=\frac(pengo+nene)(2\pi) \mwisho(align*)
Unahitaji pia kuelezea pembe ya mwisho ya ond kwa suala la pembe ya kuanzia na radius ya mwisho:
\anza(align*) \theta_(mwisho)=2 \pi n \\ a_(mwisho)=\maandishi(jumla ya umbali)+a_(ya awali) \\ a_(mwisho)=2 \pi bn+a_(ya awali) \\ n=\frac(a_(mwisho)-a_(ya awali))(2 \pi b) \\ \theta_(mwisho)=\frac(2 \pi (a_(mwisho)-a_(ya awali)))( 2 \pi b) \\ \theta_(mwisho)=\frac(a_(mwisho)-a_(awali))(b) \mwisho(linganisha*)
Je, unataka kuweka pembe ya kuanzia isiyo sifuri kwa ond? Ikiwa ni hivyo, basi itahitaji kuongezwa kwa usemi ili kuamua pembe ya mwisho: theta_f=\frac(a_(mwisho)-a_(ya awali))(b)+theta_0.
Kurudufisha curve ya ond mara mbili kwa kuhama kwa -\frac(nene)(2) na +\frac(nene)(2) kuhusiana na curve ya awali hukuruhusu kujenga ond ya unene fulani. Ili kuweka kwa usahihi spirals za ndani na nje, unahitaji kuhakikisha kuwa mwanzo wa curves hizi ni perpendicular kwa mstari ambao pointi zao za kuanzia ziko. Hii inaweza kufanywa kwa kuzidisha umbali wa kuhamishwa \pm\frac(nene)(2) na vekta ya kawaida hadi mkunjo wa mwanzo wa hesi. Equations ya vekta za kawaida katika fomu ya parametric:
n_x=-\frac(dy)(ds) \quad \text(na) \quad n_y=\frac(dx)(ds)
ambapo s ni kigezo kinachotumika katika nodi ya Parametric Curve. Ili kupata hali ya kawaida vekta za kitengo, ni muhimu kugawanya maneno haya kwa urefu wa kawaida:
\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )
Ilisasisha milinganyo ya parametric kwa ond ya kukabiliana na Archimedes:
\anza(align*) x_(sehemu)=(a+bs)cos(s)-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2))\ frac(nene)(2) \\ y_(sehemu)=(a+bs)dhambi+\frac(dx/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 ))\frac(nene)(2)\mwisho(align*)
Kuandika misemo mirefu kama hii sio rahisi sana, kwa hivyo tunatanguliza nukuu ifuatayo:
\anza(align*) N_x=-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)) \\ N_y=\frac(dx/ds)(\ sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )) \mwisho(align*)
ambapo N_x na N_y zimefafanuliwa uchambuzi hufanya kazi katika Multifizikia ya COMSOL, sawa na X_(ya kufurahisha) na Y_(ya kufurahisha) katika mfano wa kwanza. Ndani ya chaguo za kukokotoa, opereta derivative, d(f(x),x) inatumika, kama inavyoonyeshwa kwenye picha ya skrini hapa chini.
Mifano ya opereta derivative ambayo inatumika katika uchambuzi kazi
Vipengele vya kukokotoa X_(fun) , Y_(fun) , N_x , na N_y vinaweza kutumika katika misemo kufafanua kigezo cha parametric, kama kwa njia moja:
\anza(align*) x_(chini)=X_(furaha)(s)+N_x(s)\frac(nene)(2) \\ y_(chini)=Y_(furaha)(s)+N_y(s) \frac(nene)(2) \mwisho(align*)
Na kadhalika kwa upande mwingine:
\anza(align*) x_(juu)=X_(furaha)(s)-N_x(s)\frac(nene)(2) \\ y_(juu)=Y_(furaha)-N_y(s) \frac(nene)(2) \mwisho(align*)
Vielezi kwa kipingo cha pili cha kigezo kilichosogezwa.
Ili kuunganisha ncha, tutaongeza curve mbili zaidi za parametric kwa kutumia mabadiliko madogo milinganyo hapo juu. Kwa curve ambayo itaunganisha ond katikati, unahitaji kutaja X_(fun) , Y_(fun) , N_x , na N_y kwa thamani ya awali pembe, theta. Curve ambayo itaunganisha ncha inahitaji kupewa thamani ya mwisho ya theta. Kulingana na hili, milinganyo ya curve katikati ni:
\anza(align*) X_(furaha)(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac(nene)(2) \\ Y_(furaha)(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot \frac(nene)(2) \mwisho(align*)
Milinganyo ya curve mwishoni:
\anza(align*) X_(furaha)(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac(nene)(2) \\ Y_(furaha)(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot \frac(nene)(2) \mwisho(align*)
Katika milinganyo hii, kigezo s hutofautiana kutoka -1 hadi 1, kama inavyoonyeshwa kwenye picha ya skrini hapa chini.
Milinganyo ya curve inayounganisha ond katikati.
Matokeo yake, tuna curve tano zinazofafanua mstari wa kati wa ond na pande zake nne. Mstari wa katikati inaweza kuzimwa (lemaza kazi) au hata kuondolewa, kwani sio lazima. Kwa kuongeza nodi Badilisha hadi Imara, tunaunda moja kitu cha kijiometri. Hatua ya mwisho ni kutoa wasifu huu kwa kutumia operesheni Extrude na kuundwa kwa kitu chenye pande tatu.
Imejaa mlolongo wa kijiometri na elongated (extruded) jiometri tatu-dimensional ya ond.
Muhtasari wa Kuiga Archimedes Spiral katika Multifizikia ya COMSOL
Katika barua hii, tulichunguza hatua kuu za kuunda parametric Archimedes spiral. Kwa mfano huu unaweza kujaribu maana tofauti vigezo, na pia jaribu kutatua tatizo la optimization kwa kutumia parameterization hii. Tunatumahi kuwa nakala hii ilikuwa muhimu na utatumika mbinu hii katika mifano yao inayofuata.
Nyenzo za Ziada juu ya Usanifu wa Ond na Hesabu
- Ili kuboresha ustadi wako wa uundaji wa ond, angalia mifano ya mafunzo ifuatayo:
- Angalia uzoefu wa mmoja wa watumiaji wetu: