Watu wengi wamesikia juu ya maendeleo ya hesabu, lakini sio kila mtu ana wazo nzuri la ni nini. Katika makala hii tutatoa ufafanuzi unaofanana, na pia fikiria swali la jinsi ya kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu, na kutoa mifano kadhaa.
Ufafanuzi wa hisabati
Kwa hiyo, ikiwa tunazungumzia juu ya maendeleo ya hesabu au algebraic (dhana hizi zinafafanua kitu kimoja), basi hii ina maana kwamba kuna mfululizo wa nambari fulani ambayo inakidhi sheria ifuatayo: kila namba mbili zilizo karibu katika mfululizo hutofautiana kwa thamani sawa. Kimahesabu imeandikwa hivi:
Hapa n inamaanisha nambari ya kipengele a n katika mlolongo, na nambari d ni tofauti ya mwendelezo (jina lake linafuata kutoka kwa fomula iliyowasilishwa).
Kujua tofauti d inamaanisha nini? Kuhusu jinsi nambari za jirani "mbali" ziko kutoka kwa kila mmoja. Hata hivyo, ujuzi wa d ni hali ya lazima lakini haitoshi kwa kuamua (kurejesha) maendeleo yote. Inahitajika kujua nambari moja zaidi, ambayo inaweza kuwa sehemu yoyote ya safu inayozingatiwa, kwa mfano, 4, a10, lakini, kama sheria, hutumia nambari ya kwanza, ambayo ni 1.
Fomula za kuamua vipengele vya maendeleo
Kwa ujumla, maelezo hapo juu tayari yanatosha kuendelea na kutatua matatizo maalum. Walakini, kabla ya maendeleo ya hesabu kutolewa, na itakuwa muhimu kupata tofauti yake, tutawasilisha fomula kadhaa muhimu, na hivyo kuwezesha mchakato unaofuata wa kutatua shida.
Ni rahisi kuonyesha kuwa kipengele chochote cha mlolongo na nambari n kinaweza kupatikana kama ifuatavyo:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Hakika, mtu yeyote anaweza kuangalia formula hii kwa utafutaji rahisi: ikiwa unabadilisha n = 1, unapata kipengele cha kwanza, ikiwa unabadilisha n = 2, basi usemi unatoa jumla ya nambari ya kwanza na tofauti, na kadhalika.
Masharti ya matatizo mengi yanajumuishwa kwa namna ambayo, kutokana na jozi inayojulikana ya namba, idadi ambayo pia hutolewa katika mlolongo, ni muhimu kuunda upya mfululizo wa nambari nzima (kupata tofauti na kipengele cha kwanza). Sasa tutatatua tatizo hili kwa fomu ya jumla.
Kwa hivyo, wacha vitu viwili vilivyo na nambari n na m vipewe. Kutumia fomula iliyo hapo juu, unaweza kuunda mfumo wa hesabu mbili:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Ili kupata kiasi kisichojulikana, tutatumia mbinu rahisi inayojulikana ya kutatua mfumo huo: toa pande za kushoto na za kulia kwa jozi, usawa utabaki halali. Tuna:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Kwa hivyo, tumeondoa moja isiyojulikana (a 1). Sasa tunaweza kuandika usemi wa mwisho wa kuamua d:
d = (a n - a m) / (n - m), ambapo n > m
Tulipokea formula rahisi sana: ili kuhesabu tofauti d kwa mujibu wa hali ya tatizo, ni muhimu tu kuchukua uwiano wa tofauti kati ya vipengele wenyewe na namba zao za serial. Jambo moja muhimu linapaswa kuzingatiwa: tofauti huchukuliwa kati ya washiriki "waandamizi" na "wadogo", ambayo ni, n > m ("mkubwa" inamaanisha kusimama zaidi tangu mwanzo wa mlolongo, dhamana yake kamili inaweza kuwa ama. kipengele kikubwa au kidogo zaidi cha "junior").
Usemi wa uendelezaji wa tofauti d unapaswa kubadilishwa katika milinganyo yoyote mwanzoni mwa kutatua tatizo ili kupata thamani ya muhula wa kwanza.
Katika umri wetu wa maendeleo ya teknolojia ya kompyuta, watoto wengi wa shule hujaribu kutafuta ufumbuzi wa kazi zao kwenye mtandao, hivyo maswali ya aina hii mara nyingi hutokea: kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu mtandaoni. Kwa ombi kama hilo, injini ya utaftaji itarudisha idadi ya kurasa za wavuti, kwa kwenda ambayo utahitaji kuingiza data inayojulikana kutoka kwa hali (hii inaweza kuwa masharti mawili ya maendeleo au jumla ya idadi fulani yao. ) na kupokea jibu papo hapo. Hata hivyo, mbinu hii ya kutatua tatizo haina tija katika suala la ukuaji wa mwanafunzi na uelewa wa kiini cha kazi aliyopewa.
Suluhisho bila kutumia fomula
Wacha tusuluhishe shida ya kwanza bila kutumia fomula zozote zilizopewa. Hebu vipengele vya mfululizo vipewe: a6 = 3, a9 = 18. Pata tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Vipengele vinavyojulikana vinasimama karibu na kila mmoja mfululizo. Ni mara ngapi tofauti lazima iongezwe kwa ndogo ili kupata kubwa zaidi? Mara tatu (mara ya kwanza kuongeza d, tunapata kipengele cha 7, mara ya pili - ya nane, hatimaye, mara ya tatu - ya tisa). Ni nambari gani inapaswa kuongezwa kwa mara tatu ili kupata 18? Hii ndio nambari tano. Kweli:
Kwa hivyo, tofauti isiyojulikana d = 5.
Kwa kweli, suluhisho lingeweza kufanywa kwa kutumia fomula inayofaa, lakini hii haikufanywa kwa makusudi. Ufafanuzi wa kina wa suluhisho la tatizo unapaswa kuwa mfano wazi na wazi wa maendeleo ya hesabu ni nini.
Kazi inayofanana na ya awali
Sasa hebu tusuluhishe shida kama hiyo, lakini tubadilishe data ya kuingiza. Kwa hivyo, unapaswa kupata ikiwa a3 = 2, a9 = 19.
Kwa kweli, unaweza tena kuamua njia ya "kichwa-juu" ya suluhisho. Lakini kwa kuwa vipengele vya mfululizo vinatolewa, ambavyo ni kiasi kikubwa kutoka kwa kila mmoja, njia hii haitakuwa rahisi kabisa. Lakini kutumia formula inayosababisha itatuongoza haraka kwa jibu:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
Hapa tumezungusha nambari ya mwisho. Kiwango ambacho mzunguko huu ulisababisha kosa unaweza kuhukumiwa kwa kuangalia matokeo:
a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
Matokeo haya yanatofautiana kwa 0.1% tu na thamani iliyotolewa katika hali. Kwa hiyo, mzunguko unaotumiwa kwa mia moja ya karibu unaweza kuchukuliwa kuwa chaguo la mafanikio.
Matatizo yanayohusisha kutumia fomula ya neno
Wacha tuchunguze mfano wa kawaida wa shida kuamua d isiyojulikana: pata tofauti ya maendeleo ya hesabu ikiwa a1 = 12, a5 = 40.
Wakati nambari mbili za mfuatano wa aljebra zisizojulikana zinatolewa, na moja wapo ni kipengele a 1, basi huhitaji kufikiria kwa muda mrefu, lakini unapaswa kutumia fomula ya n neno mara moja. Katika kesi hii, tunayo:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Tulipokea nambari kamili wakati wa kugawanya, kwa hivyo hakuna maana katika kuangalia usahihi wa matokeo yaliyohesabiwa, kama ilivyofanywa katika aya iliyotangulia.
Wacha tusuluhishe shida nyingine kama hiyo: tunahitaji kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu ikiwa a1 = 16, a8 = 37.
Tunatumia mbinu sawa na ile iliyopita na kupata:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Nini kingine unapaswa kujua kuhusu maendeleo ya hesabu?
Mbali na matatizo ya kupata tofauti isiyojulikana au vipengele vya mtu binafsi, mara nyingi ni muhimu kutatua matatizo ya jumla ya masharti ya kwanza ya mlolongo. Kuzingatia shida hizi ni zaidi ya upeo wa kifungu, hata hivyo, kwa ukamilifu wa habari, tunawasilisha fomula ya jumla ya jumla ya nambari za n katika safu:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Kiwango cha kwanza
Maendeleo ya hesabu. Nadharia ya kina yenye mifano (2019)
Mlolongo wa nambari
Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:
Mlolongo wa nambari
Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:
Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.
Nambari iliyo na nambari inaitwa neno la th la mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Kwa upande wetu: 
Wacha tuseme tuna mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Kwa mfano: 
na kadhalika.
Mlolongo huu wa nambari unaitwa kuendelea kwa hesabu.
Neno "maendeleo" lilianzishwa na mwandishi wa Kirumi Boethius huko nyuma katika karne ya 6 na lilieleweka kwa maana pana kama mfuatano wa nambari usio na kikomo. Jina "hesabu" lilihamishwa kutoka kwa nadharia ya uwiano unaoendelea, ambayo ilisomwa na Wagiriki wa kale.
Huu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambao ni sawa na wa awali ulioongezwa kwa nambari sawa. Nambari hii inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu na imeteuliwa.
Jaribu kubainisha ni mfuatano wa nambari gani ni mwendelezo wa hesabu na ambao sio:
a)
b)
c)
d)
Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:
Je! maendeleo ya hesabu - b, c.
Sio maendeleo ya hesabu - a, d.
Wacha turudi kwenye mwendelezo uliopewa () na ujaribu kupata thamani ya muhula wake. Ipo mbili njia ya kuipata.
1. Mbinu
Tunaweza kuongeza nambari ya kuendelea kwa thamani iliyotangulia hadi tufikie muhula wa kuendelea. Ni vizuri kwamba hatuna mengi ya kufupisha - maadili matatu pekee:
Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya hesabu iliyoelezewa ni sawa na.
2. Mbinu
Je, ikiwa tungehitaji kupata thamani ya muhula wa maendeleo? Muhtasari huo ungetuchukua zaidi ya saa moja, na si ukweli kwamba hatungefanya makosa wakati wa kuongeza nambari.
Bila shaka, wanahisabati wamekuja na njia ambayo si lazima kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa thamani ya awali. Angalia kwa karibu picha iliyochorwa... Hakika tayari umeona muundo fulani, yaani:
Kwa mfano, hebu tuone ni nini thamani ya muhula wa th ya maendeleo ya hesabu hii inajumuisha: 
Kwa maneno mengine:
Jaribu kupata thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya hesabu mwenyewe kwa njia hii.
Je, ulihesabu? Linganisha maelezo yako na jibu:
Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na njia ya awali, tulipoongeza masharti ya kuendelea kwa hesabu kwa thamani iliyotangulia.
Wacha tujaribu "kubinafsisha" fomula hii - wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:
|
Mlinganyo wa maendeleo ya hesabu. |
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka au kupungua.
Kuongezeka- maendeleo ambapo kila thamani inayofuata ya masharti ni kubwa kuliko ya awali.
Kwa mfano:
Kushuka- maendeleo ambayo kila thamani inayofuata ya masharti ni chini ya ya awali.
Kwa mfano:
Fomula inayotokana hutumika katika kukokotoa maneno katika masharti yanayoongezeka na yanayopungua ya uendelezaji wa hesabu.
Wacha tuangalie hii kwa vitendo.
Tumepewa uendelezaji wa hesabu unaojumuisha nambari zifuatazo: Hebu tuangalie nambari ya th ya maendeleo haya ya hesabu itakuwaje ikiwa tutatumia fomula yetu kuihesabu:
Tangu wakati huo:
Kwa hivyo, tuna hakika kwamba fomula hufanya kazi katika kupungua na kuongeza kasi ya hesabu.
Jaribu kupata masharti ya th na ya th ya maendeleo haya ya hesabu mwenyewe.
Wacha tulinganishe matokeo:
Mali ya maendeleo ya hesabu
Hebu tufanye shida - tutapata mali ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuseme tumepewa hali ifuatayo:
- maendeleo ya hesabu, pata thamani.
Rahisi, unasema na kuanza kuhesabu kulingana na fomula unayojua tayari:
Acha, ah, basi:
Sawa kabisa. Inabadilika kuwa tunapata kwanza, kisha tuiongeze kwa nambari ya kwanza na kupata kile tunachotafuta. Ikiwa maendeleo yanawakilishwa na maadili madogo, basi hakuna chochote ngumu kuhusu hilo, lakini ni nini ikiwa tunapewa namba katika hali hiyo? Kukubaliana, kuna uwezekano wa kufanya makosa katika mahesabu.
Sasa fikiria ikiwa inawezekana kutatua tatizo hili kwa hatua moja kwa kutumia fomula yoyote? Bila shaka ndiyo, na ndivyo tutakavyojaribu kuleta sasa.
Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa maendeleo ya hesabu kama, fomula ya kuipata inajulikana kwetu - hii ndio fomula ile ile tuliyopata mwanzoni:
, Kisha:
- muda wa awali wa maendeleo ni:
- muhula unaofuata wa mwendelezo ni:
Wacha tufanye muhtasari wa masharti yaliyotangulia na yanayofuata ya mwendelezo:
Inabadilika kuwa jumla ya masharti ya awali na ya baadaye ya maendeleo ni thamani mbili ya muda wa maendeleo ulio kati yao. Kwa maneno mengine, ili kupata thamani ya muda wa kuendeleza na maadili yanayojulikana ya awali na mfululizo, unahitaji kuwaongeza na kugawanya.
Hiyo ni kweli, tulipata nambari sawa. Hebu salama nyenzo. Kuhesabu thamani ya maendeleo mwenyewe, sio ngumu hata kidogo.
Umefanya vizuri! Unajua karibu kila kitu kuhusu maendeleo! Inabakia kujua formula moja tu, ambayo, kulingana na hadithi, ilitolewa kwa urahisi na mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "mfalme wa wanahisabati" - Karl Gauss ...
Carl Gauss alipokuwa na umri wa miaka 9, mwalimu, akiwa na shughuli nyingi za kukagua kazi ya wanafunzi katika madarasa mengine, alikabidhi kazi ifuatayo darasani: “Hesabu jumla ya nambari asilia kutoka hadi (kulingana na vyanzo vingine hadi) zikijumlishwa.” Hebu fikiria mshangao wa mwalimu wakati mmoja wa wanafunzi wake (huyu alikuwa Karl Gauss) dakika moja baadaye alitoa jibu sahihi kwa kazi hiyo, wakati wengi wa wanafunzi wa darasa la daredevil, baada ya mahesabu ya muda mrefu, walipokea matokeo mabaya ...
Carl Gauss mchanga aligundua muundo fulani ambao unaweza kugundua kwa urahisi pia.
Wacha tuseme tuna mwendelezo wa hesabu unaojumuisha maneno -th: Tunahitaji kupata jumla ya masharti haya ya maendeleo ya hesabu. Kwa kweli, tunaweza kujumlisha maadili yote kwa mikono, lakini vipi ikiwa kazi inahitaji kupata jumla ya masharti yake, kama Gauss alikuwa akitafuta?
Wacha tuonyeshe maendeleo tuliyopewa. Angalia kwa karibu nambari zilizoangaziwa na ujaribu kufanya shughuli mbali mbali za kihesabu nazo. 
Je, umejaribu? Umeona nini? Haki! Jumla yao ni sawa
Sasa niambie, ni jozi ngapi kama hizo kwa jumla katika maendeleo tuliyopewa? Kwa kweli, nusu ya nambari zote, yaani.
Kulingana na ukweli kwamba jumla ya maneno mawili ya maendeleo ya hesabu ni sawa, na jozi zinazofanana ni sawa, tunapata kuwa jumla ya jumla ni sawa na:
.
Kwa hivyo, fomula ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Katika shida zingine hatujui muhula wa th, lakini tunajua tofauti ya maendeleo. Jaribu kubadilisha fomula ya neno la th kwenye fomula ya jumla.
Ulipata nini?
Umefanya vizuri! Sasa wacha turudi kwenye shida ambayo Carl Gauss aliuliza: jihesabu mwenyewe jumla ya nambari zinazoanzia th ni sawa na jumla ya nambari zinazoanzia th.
Ulipata kiasi gani?
Gauss aligundua kuwa jumla ya masharti ni sawa, na jumla ya masharti. Je, ndivyo ulivyoamua?
Kwa kweli, fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu ilithibitishwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Diophantus nyuma katika karne ya 3, na kwa wakati huu wote, watu wajanja walitumia kikamilifu mali ya maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, fikiria Misri ya Kale na mradi mkubwa wa ujenzi wa wakati huo - ujenzi wa piramidi ... Picha inaonyesha upande mmoja wake. 
Maendeleo yapo wapi hapa, unasema? Angalia kwa uangalifu na utafute muundo katika idadi ya vitalu vya mchanga katika kila safu ya ukuta wa piramidi. 
Kwa nini sio maendeleo ya hesabu? Kuhesabu ni vitalu ngapi vinahitajika kujenga ukuta mmoja ikiwa matofali ya kuzuia yanawekwa kwenye msingi. Natumaini hutahesabu wakati wa kusogeza kidole chako kwenye kifuatiliaji, unakumbuka fomula ya mwisho na kila kitu tulichosema kuhusu maendeleo ya hesabu?
Katika kesi hii, maendeleo yanaonekana kama hii:.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tubadilishe data yetu katika fomula za mwisho (hesabu idadi ya vizuizi kwa njia 2).
Mbinu 1.
Mbinu 2.
Na sasa unaweza kuhesabu kwenye mfuatiliaji: kulinganisha maadili yaliyopatikana na idadi ya vitalu vilivyo kwenye piramidi yetu. Nimeelewa? Umefanya vizuri, umefahamu jumla ya masharti ya nth ya maendeleo ya hesabu.
Bila shaka, huwezi kujenga piramidi kutoka kwa vitalu kwenye msingi, lakini kutoka? Jaribu kuhesabu ngapi matofali ya mchanga yanahitajika ili kujenga ukuta na hali hii.
Je, uliweza?
Jibu sahihi ni vitalu:
Mafunzo
Kazi:
- Masha anapata sura nzuri kwa majira ya joto. Kila siku yeye huongeza idadi ya squats kwa. Masha atafanya squats mara ngapi kwa wiki ikiwa alifanya squats kwenye kikao cha kwanza cha mafunzo?
- Ni jumla gani ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani.
- Wakati wa kuhifadhi kumbukumbu, wakataji huziweka kwa njia ambayo kila safu ya juu ina kumbukumbu moja chini ya ile ya awali. Ni magogo ngapi katika uashi mmoja, ikiwa msingi wa uashi ni magogo?
Majibu:
- Hebu tufafanue vigezo vya maendeleo ya hesabu. Kwa kesi hii
(wiki = siku).Jibu: Katika wiki mbili, Masha anapaswa kufanya squats mara moja kwa siku.
- Nambari isiyo ya kawaida ya kwanza, nambari ya mwisho.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya nambari zisizo za kawaida ndani ni nusu, hata hivyo, hebu tuangalie ukweli huu kwa kutumia fomula ya kupata muhula wa th wa maendeleo ya hesabu:Nambari zina nambari zisizo za kawaida.
Wacha tubadilishe data inayopatikana kwenye fomula:Jibu: Jumla ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani ni sawa.
- Hebu tukumbuke tatizo kuhusu piramidi. Kwa upande wetu, a , kwa kuwa kila safu ya juu imepunguzwa na logi moja, basi kwa jumla kuna kundi la tabaka, yaani.
Wacha tubadilishe data kwenye fomula:Jibu: Kuna magogo katika uashi.
Hebu tujumuishe
- - mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa. Inaweza kuongezeka au kupungua.
- Kutafuta formula Muda wa th wa maendeleo ya hesabu umeandikwa na formula - , ambapo ni idadi ya nambari katika maendeleo.
- Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu- - iko wapi idadi ya nambari zinazoendelea.
- Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu inaweza kupatikana kwa njia mbili:
, nambari ya maadili iko wapi.
MAENDELEO YA HESABU. KIWANGO CHA WASTANI
Mlolongo wa nambari
Hebu tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa nyingi kama unavyopenda. Lakini tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.
Kwa maneno mengine, kila nambari inaweza kuhusishwa na nambari fulani ya asili, na ya kipekee. Na hatutagawa nambari hii kwa nambari nyingine yoyote kutoka kwa seti hii.
Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa th wa mlolongo.
Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .
Ni rahisi sana ikiwa neno la th la mlolongo linaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula
huweka mlolongo:
Na formula ni mlolongo ufuatao:
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu ni mlolongo (neno la kwanza hapa ni sawa, na tofauti ni). Au (, tofauti).
fomula ya muhula wa nth
Tunaita fomula inayorudiwa ambayo, ili kujua neno, unahitaji kujua yaliyotangulia au kadhaa yaliyopita:
Ili kupata, kwa mfano, muhula wa th wa kuendelea kwa kutumia fomula hii, itabidi tuhesabu tisa zilizopita. Kwa mfano, basi. Kisha:
Kweli, ni wazi sasa formula ni nini?
Katika kila mstari tunaongeza, kuzidishwa na nambari fulani. Gani? Rahisi sana: hii ndio nambari ya mshiriki wa sasa kutoa:
Inafaa zaidi sasa, sivyo? Tunaangalia:
Amua mwenyewe:
Katika mwendelezo wa hesabu, tafuta fomula ya muhula wa nth na utafute muhula wa mia.
Suluhisho:
Muda wa kwanza ni sawa. Tofauti ni nini? Hapa ni nini:
(Hii ndiyo sababu inaitwa tofauti kwa sababu ni sawa na tofauti ya masharti yanayofuatana ya mwendelezo).
Kwa hivyo, formula:
Kisha neno la mia ni sawa na:
Je, ni jumla gani ya nambari zote asilia kutoka hadi?
Kulingana na hadithi, mwanahisabati mkuu Carl Gauss, kama mvulana wa miaka 9, alihesabu kiasi hiki kwa dakika chache. Aligundua kuwa jumla ya nambari ya kwanza na ya mwisho ni sawa, jumla ya nambari ya pili na ya mwisho ni sawa, jumla ya ya tatu na ya 3 kutoka mwisho ni sawa, na kadhalika. Je, kuna jozi ngapi kama hizo kwa jumla? Hiyo ni kweli, nusu ya idadi ya nambari zote, yaani. Kwa hiyo,
Fomula ya jumla ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:
Mfano:
Pata jumla ya vizidishi vyote vya tarakimu mbili.
Suluhisho:
Nambari ya kwanza kama hii ni hii. Kila nambari inayofuata inapatikana kwa kuongeza nambari iliyotangulia. Kwa hivyo, nambari ambazo tunavutiwa nazo huunda maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza na tofauti.
Mfumo wa muhula wa maendeleo haya:
Je, kuna maneno mangapi katika mwendelezo ikiwa yote yanapaswa kuwa na tarakimu mbili?
Rahisi sana: .
Muda wa mwisho wa maendeleo utakuwa sawa. Kisha jumla:
Jibu:.
Sasa amua mwenyewe:
- Kila siku mwanariadha anaendesha mita zaidi kuliko siku iliyopita. Je, atakimbia kilomita ngapi kwa wiki ikiwa alikimbia km m siku ya kwanza?
- Mwendesha baiskeli husafiri kilomita zaidi kila siku kuliko siku iliyotangulia. Siku ya kwanza alisafiri km. Ni siku ngapi anahitaji kusafiri ili kufikia kilomita? Je, atasafiri kilomita ngapi katika siku ya mwisho ya safari yake?
- Bei ya jokofu katika duka hupungua kwa kiasi sawa kila mwaka. Tambua ni kiasi gani bei ya jokofu ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka sita baadaye iliuzwa kwa rubles.
Majibu:
- Jambo muhimu zaidi hapa ni kutambua maendeleo ya hesabu na kuamua vigezo vyake. Katika kesi hii, (wiki = siku). Unahitaji kuamua jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo haya:
.
Jibu: - Hapa imetolewa:, lazima ipatikane.
Ni wazi, unahitaji kutumia fomula sawa na katika shida iliyopita:
.
Badilisha maadili:Mzizi ni wazi haufai, kwa hivyo jibu ni.
Wacha tuhesabu njia iliyosafirishwa kwa siku ya mwisho kwa kutumia fomula ya neno la th:
(km).
Jibu: - Imetolewa:. Tafuta:.
Haiwezi kuwa rahisi zaidi:
(sugua).
Jibu:
MAENDELEO YA HESABU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Huu ni mlolongo wa nambari ambapo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka () na kupungua ().
Kwa mfano:
Mfumo wa kutafuta muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu
imeandikwa na formula, ambapo ni idadi ya idadi katika maendeleo.
Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu
Inakuruhusu kupata kwa urahisi muda wa kuendelea ikiwa masharti ya jirani yake yanajulikana - ambapo ni idadi ya nambari katika mwendelezo.
Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu
Kuna njia mbili za kupata kiasi:
Idadi ya maadili iko wapi.
Idadi ya maadili iko wapi.
Kwa mfano, mlolongo \(2\); \(5\); \(8\); \(kumi na moja\); \(14\)... ni mwendelezo wa hesabu, kwa sababu kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa tatu (kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia kwa kuongeza tatu):
Katika mwendelezo huu, tofauti \(d\) ni chanya (sawa na \(3\)), na kwa hivyo kila muhula unaofuata ni mkubwa kuliko uliopita. Maendeleo kama haya yanaitwa kuongezeka.
Walakini, \(d\) pia inaweza kuwa nambari hasi. Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... tofauti ya uendelezaji \(d\) ni sawa na minus sita.
Na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kitakuwa kidogo kuliko kilichotangulia. Maendeleo haya yanaitwa kupungua.
Nukuu ya maendeleo ya hesabu
Maendeleo yanaonyeshwa kwa herufi ndogo ya Kilatini.
Nambari zinazounda mwendelezo huitwa wanachama(au vipengele).
Zinaonyeshwa kwa herufi sawa na maendeleo ya hesabu, lakini kwa faharisi ya nambari sawa na nambari ya kitu kwa mpangilio.
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) inajumuisha vipengele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) na kadhalika.
Kwa maneno mengine, kwa mwendelezo \(a_n = \kushoto\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu
Kimsingi, habari iliyowasilishwa hapo juu tayari inatosha kutatua karibu shida yoyote ya maendeleo ya hesabu (pamoja na zile zinazotolewa katika OGE).
Mfano (OGE).
Ukuaji wa hesabu hubainishwa na masharti \(b_1=7; d=4\). Tafuta \(b_5\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_5=23\)
Mfano (OGE).
Masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu yametolewa: \(62; 49; 36…\) Tafuta thamani ya neno hasi la kwanza la mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunapewa vipengele vya kwanza vya mlolongo na tunajua kwamba ni maendeleo ya hesabu. Hiyo ni, kila kipengele hutofautiana na jirani yake kwa idadi sawa. Wacha tujue ni ipi kwa kutoa iliyotangulia kutoka kwa kipengele kinachofuata: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sasa tunaweza kurejesha uendelezaji wetu kwa kipengele (cha kwanza hasi) tunachohitaji. |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(-3\)
Mfano (OGE).
Kwa kuzingatia vipengele kadhaa mfululizo vya maendeleo ya hesabu: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tafuta thamani ya kipengele kilichoteuliwa na herufi \(x\).
Suluhisho:
|
|
Ili kupata \(x\), tunahitaji kujua ni kiasi gani kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia, kwa maneno mengine, tofauti ya maendeleo. Hebu tutafute kutoka kwa vipengele viwili vinavyojulikana jirani: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Na sasa tunaweza kupata kile tunachotafuta kwa urahisi: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(7,5\).
Mfano (OGE).
Uendelezaji wa hesabu hufafanuliwa na masharti yafuatayo: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tafuta jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunahitaji kupata jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo. Lakini hatujui maana zao, tumepewa tu kipengele cha kwanza. Kwa hivyo, kwanza tunahesabu maadili moja baada ya nyingine, kwa kutumia kile tulichopewa: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Kiasi kinachohitajika kimepatikana. |
Jibu: \(S_6=9\).
Mfano (OGE).
Katika maendeleo ya hesabu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tafuta tofauti ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
Jibu: \(d=7\).
Fomula muhimu za maendeleo ya hesabu
Kama unaweza kuona, shida nyingi juu ya maendeleo ya hesabu zinaweza kutatuliwa kwa kuelewa jambo kuu - kwamba maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, na kila kipengele kinachofuata katika mlolongo huu kinapatikana kwa kuongeza nambari sawa kwa ile iliyotangulia ( tofauti ya maendeleo).
Hata hivyo, wakati mwingine kuna hali wakati kuamua "kichwa-juu" ni mbaya sana. Kwa mfano, fikiria kwamba katika mfano wa kwanza kabisa hatuhitaji kupata kipengele cha tano \(b_5\), lakini mia tatu themanini na sita \(b_(386)\). Je, tuongeze mara nne \(385\)? Au fikiria kuwa katika mfano wa mwisho unahitaji kupata jumla ya vitu sabini na tatu vya kwanza. Utakuwa umechoka kuhesabu ...
Kwa hivyo, katika hali kama hizi hazisuluhishi vitu "kichwa-juu", lakini hutumia fomula maalum zinazotokana na maendeleo ya hesabu. Na kuu ni fomula ya muhula wa nth wa kuendelea na fomula ya jumla ya \(n\) maneno ya kwanza.
Mfumo wa neno \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ambapo \(a_1\) ni muhula wa kwanza wa mwendelezo;
\(n\) - nambari ya kipengele kinachohitajika;
\(a_n\) - muda wa kuendelea na nambari \(n\).
Njia hii inaruhusu sisi kupata haraka hata kipengele cha mia tatu au milioni, tukijua tu ya kwanza na tofauti ya maendeleo.
Mfano.
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tafuta \(b_(246)\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_(246)=1850\).
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ambapo
\(a_n\) - muhtasari wa mwisho;
Mfano (OGE).
Mwendelezo wa hesabu hubainishwa na masharti \(a_n=3.4n-0.6\). Tafuta jumla ya masharti ya \(25\) ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Ili kuhesabu jumla ya maneno ishirini na tano ya kwanza, tunahitaji kujua thamani ya maneno ya kwanza na ishirini na tano. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Sasa hebu tutafute muhula wa ishirini na tano kwa kubadilisha ishirini na tano badala ya \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Naam, sasa tunaweza kuhesabu kwa urahisi kiasi kinachohitajika. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(25)=1090\).
Kwa jumla \(n\) ya maneno ya kwanza, unaweza kupata fomula nyingine: unahitaji tu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\)\ (\cdot 25\ ) badala ya \(a_n\) badilisha fomula yake \(a_n=a_1+(n-1)d\). Tunapata:
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ambapo
\(S_n\) - jumla inayohitajika ya \(n\) vipengele vya kwanza;
\(a_1\) - muhtasari wa kwanza;
\(d\) - tofauti ya maendeleo;
\(n\) - idadi ya vipengele kwa jumla.
Mfano.
Pata jumla ya masharti ya kwanza \(33\)-ex ya maendeleo ya hesabu: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
Suluhisho:
Jibu: \(S_(33)=-231\).
Matatizo magumu zaidi ya maendeleo ya hesabu
Sasa una taarifa zote unahitaji kutatua karibu tatizo lolote la maendeleo ya hesabu. Wacha tumalizie mada kwa kuzingatia shida ambazo hauitaji tu kutumia fomula, lakini pia fikiria kidogo (katika hisabati hii inaweza kuwa muhimu ☺)
Mfano (OGE).
Pata jumla ya masharti yote mabaya ya maendeleo: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Suluhisho:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Kazi ni sawa na ile iliyopita. Tunaanza kutatua kitu kimoja: kwanza tunapata \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sasa ningependa kubadilisha \(d\) katika fomula ya jumla... na hapa nuance ndogo inaibuka - hatujui \(n\). Kwa maneno mengine, hatujui ni maneno mangapi yatahitaji kuongezwa. Jinsi ya kujua? Hebu fikiria. Tutaacha kuongeza vipengele tutakapofikia kipengele chanya cha kwanza. Hiyo ni, unahitaji kujua idadi ya kipengele hiki. Vipi? Hebu tuandike fomula ya kukokotoa kipengele chochote cha maendeleo ya hesabu: \(a_n=a_1+(n-1)d\) kwa kesi yetu. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Tunahitaji \(a_n\) kuwa kubwa kuliko sifuri. Wacha tujue ni nini \(n\) hii itatokea. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Tunahamisha minus moja, bila kusahau kubadilisha ishara |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hebu tuhesabu... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...na inabadilika kuwa kipengele cha kwanza chanya kitakuwa na nambari \(66\). Ipasavyo, hasi ya mwisho ina \(n=65\). Ikiwezekana, wacha tuangalie hii. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Kwa hivyo tunahitaji kuongeza vitu \(65\) vya kwanza. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdoti (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(65)=-630.5\).
Mfano (OGE).
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\) kipengele kikiwa pamoja.
Suluhisho:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Katika tatizo hili unahitaji pia kupata jumla ya vipengele, lakini kuanzia si kutoka kwa kwanza, lakini kutoka \(26\)th. Kwa kesi kama hiyo hatuna fomula. Jinsi ya kuamua? |
|
|
Kwa maendeleo yetu \(a_1=-33\), na tofauti \(d=4\) (baada ya yote, ni nne ambazo tunaongeza kwenye kipengele kilichotangulia ili kupata kinachofuata). Kujua hili, tunapata jumla ya vipengele vya kwanza \(42\)-y. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdoti 42=\) |
Sasa jumla ya vipengele \(25\) vya kwanza. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Na hatimaye, tunahesabu jibu. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Jibu: \(S=1683\).
Kwa maendeleo ya hesabu, kuna fomula kadhaa zaidi ambazo hatukuzingatia katika nakala hii kwa sababu ya matumizi yao ya chini ya vitendo. Hata hivyo, unaweza kupata yao kwa urahisi.
Jumla ya maendeleo ya hesabu.
Jumla ya maendeleo ya hesabu ni jambo rahisi. Wote kwa maana na kwa fomula. Lakini kuna kila aina ya kazi juu ya mada hii. Kutoka msingi hadi imara kabisa.
Kwanza, hebu tuelewe maana na fomula ya kiasi. Na kisha tutaamua. Kwa raha zako.) Maana ya kiasi ni rahisi kama moo. Ili kupata jumla ya maendeleo ya hesabu, unahitaji tu kuongeza kwa makini masharti yake yote. Ikiwa masharti haya ni machache, unaweza kuongeza bila fomula zozote. Lakini ikiwa kuna mengi, au mengi ... kuongeza ni hasira.) Katika kesi hii, formula inakuja kuwaokoa.
Fomu ya kiasi ni rahisi:
Wacha tuone ni aina gani ya herufi zilizojumuishwa kwenye fomula. Hii itaweka wazi mambo mengi.
S n - jumla ya maendeleo ya hesabu. Matokeo ya nyongeza kila mtu wanachama, pamoja na kwanza Na mwisho. Ni muhimu. Wanaongeza haswa Wote wanachama mfululizo, bila kuruka au kuruka. Na, kwa usahihi, kuanzia kwanza. Katika matatizo kama vile kupata jumla ya istilahi ya tatu na nane, au jumla ya istilahi za tano hadi ishirini, matumizi ya moja kwa moja ya fomula yatakatisha tamaa.)
a 1 - kwanza mwanachama wa maendeleo. Kila kitu ni wazi hapa, ni rahisi kwanza nambari ya safu.
n- mwisho mwanachama wa maendeleo. Nambari ya mwisho ya mfululizo. Sio jina linalojulikana sana, lakini linapotumiwa kwa kiasi, linafaa sana. Kisha utajionea mwenyewe.
n - idadi ya mwanachama wa mwisho. Ni muhimu kuelewa kwamba katika formula nambari hii sanjari na idadi ya masharti yaliyoongezwa.
Hebu tufafanue dhana mwisho mwanachama n. Swali gumu: mwanachama gani atakuwa ya mwisho ikitolewa isiyo na mwisho maendeleo ya hesabu?)
Ili kujibu kwa ujasiri, unahitaji kuelewa maana ya msingi ya maendeleo ya hesabu na ... soma kazi hiyo kwa uangalifu!)
Katika kazi ya kutafuta jumla ya maendeleo ya hesabu, neno la mwisho linaonekana kila wakati (moja kwa moja au moja kwa moja), ambayo inapaswa kuwa mdogo. Vinginevyo, kiasi cha mwisho, maalum haipo tu. Kwa suluhisho, haijalishi ikiwa maendeleo yametolewa: yenye mwisho au isiyo na mwisho. Haijalishi jinsi inavyotolewa: mfululizo wa nambari, au fomula ya neno la nth.
Jambo muhimu zaidi ni kuelewa kwamba fomula hufanya kazi kutoka kwa muhula wa kwanza wa maendeleo hadi neno na nambari n. Kwa kweli, jina kamili la fomula inaonekana kama hii: jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu. Idadi ya wanachama hawa wa kwanza kabisa, i.e. n, imedhamiriwa pekee na kazi. Katika kazi, habari hii yote muhimu mara nyingi husimbwa kwa njia fiche, ndio... Lakini usijali, katika mifano iliyo hapa chini tunafichua siri hizi.)
Mifano ya kazi kwa jumla ya maendeleo ya hesabu.
Kwanza kabisa, habari muhimu:
Ugumu kuu katika kazi zinazohusisha jumla ya maendeleo ya hesabu iko katika uamuzi sahihi wa vipengele vya fomula.
Waandishi wa kazi husimba vipengele hivi kwa mawazo yasiyo na mipaka.) Jambo kuu hapa si kuogopa. Kuelewa kiini cha vipengele, inatosha kuzifafanua tu. Hebu tuangalie mifano michache kwa undani. Wacha tuanze na kazi kulingana na GIA halisi.
1. Maendeleo ya hesabu hutolewa na hali: a n = 2n-3.5. Tafuta jumla ya masharti yake 10 ya kwanza.
Kazi nzuri. Rahisi.) Ili kujua kiasi kwa kutumia fomula, tunahitaji kujua nini? Mwanachama wa kwanza a 1, muhula uliopita n, ndiyo idadi ya mwanachama wa mwisho n.
Ninaweza kupata wapi nambari ya mwanachama wa mwisho? n? Ndio, hapo hapo, kwa sharti! Inasema: pata jumla wanachama 10 wa kwanza. Naam, itakuwa na nambari gani? mwisho, mshiriki wa kumi?) Hutaamini, nambari yake ni ya kumi!) Kwa hiyo, badala ya n Tutabadilisha katika fomula ya 10, na badala yake n-kumi. Narudia kusema, idadi ya mjumbe wa mwisho inaendana na idadi ya wajumbe.
Inabakia kuamua a 1 Na ya 10. Hii inakokotolewa kwa urahisi kwa kutumia fomula ya neno la nth, ambalo limetolewa katika taarifa ya tatizo. Sijui jinsi ya kufanya hivi? Hudhuria somo lililopita, bila hii hakuna njia.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
ya 10=2 · 10 - 3.5 =16.5
S n = S 10.
Tumepata maana ya vipengele vyote vya fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu. Kilichobaki ni kuzibadilisha na kuhesabu:
Ni hayo tu. Jibu: 75.
Kazi nyingine kulingana na GIA. Ngumu zaidi kidogo:
2. Kutokana na maendeleo ya hesabu (a n), tofauti ambayo ni 3.7; 1 = 2.3. Tafuta jumla ya masharti yake 15 ya kwanza.
Mara moja tunaandika formula ya jumla:
Fomula hii huturuhusu kupata thamani ya neno lolote kwa nambari yake. Tunatafuta mbadala rahisi:
a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
Inabakia kubadilisha vitu vyote kwenye fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu na kuhesabu jibu:
Jibu: 423.
Kwa njia, ikiwa katika fomula ya jumla badala ya n Tunabadilisha tu fomula ya muhula wa nth na kupata:
Wacha tuwasilishe zinazofanana na tupate fomula mpya ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu:
 |
Kama unaweza kuona, neno la nth halihitajiki hapa n. Katika baadhi ya matatizo formula hii husaidia sana, ndiyo ... Unaweza kukumbuka formula hii. Au unaweza kuionyesha kwa wakati unaofaa, kama hapa. Baada ya yote, kila wakati unahitaji kukumbuka fomula ya jumla na fomula ya muhula wa nth.)
Sasa kazi katika mfumo wa usimbuaji mfupi):
3. Tafuta jumla ya nambari zote chanya za tarakimu mbili ambazo ni zidishio za tatu.
Lo! Wala mwanachama wako wa kwanza, wala wa mwisho wako, wala maendeleo kabisa ... Jinsi ya kuishi!?
Utakuwa na kufikiri kwa kichwa chako na kuvuta vipengele vyote vya jumla ya maendeleo ya hesabu kutoka kwa hali hiyo. Tunajua nambari za tarakimu mbili ni nini. Zinajumuisha nambari mbili.) Nambari ya tarakimu mbili itakuwaje kwanza? 10, labda.) A jambo la mwisho nambari ya tarakimu mbili? 99, bila shaka! Wenye tarakimu tatu watamfuata...
Nyingi za tatu... Hm... Hizi ni nambari zinazogawanyika kwa tatu, hapa! Kumi haigawanyiki kwa tatu, 11 haigawanyiki... 12... inagawanyika! Kwa hiyo, kitu kinajitokeza. Unaweza tayari kuandika safu kulingana na hali ya shida:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Je, mfululizo huu utakuwa mwendelezo wa hesabu? Hakika! Kila neno hutofautiana na lililotangulia kwa tatu. Ikiwa unaongeza 2 au 4 kwa muda, sema, matokeo, i.e. nambari mpya haiwezi kugawanywa tena na 3. Unaweza kuamua mara moja tofauti ya maendeleo ya hesabu: d = 3. Itakuja kwa manufaa!)
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama vigezo kadhaa vya maendeleo:
Nambari itakuwa nini? n mwanachama wa mwisho? Yeyote anayefikiri kwamba 99 amekosea sana... Nambari daima huenda mfululizo, lakini wanachama wetu huruka zaidi ya tatu. Hazilingani.
Kuna suluhisho mbili hapa. Njia moja ni kwa wenye bidii sana. Unaweza kuandika mwendelezo, msururu mzima wa nambari, na kuhesabu idadi ya washiriki kwa kidole chako.) Njia ya pili ni kwa wanaofikiria. Unahitaji kukumbuka fomula ya muhula wa nth. Ikiwa tutatumia fomula kwa tatizo letu, tunapata kwamba 99 ni muhula wa thelathini wa kuendelea. Wale. n = 30.
Wacha tuangalie fomula ya jumla ya maendeleo ya hesabu:
Tunaangalia na kufurahi.) Tulitoa kutoka kwa taarifa ya tatizo kila kitu muhimu ili kuhesabu kiasi:
a 1= 12.
ya 30= 99.
S n = S 30.
Kilichobaki ni hesabu za kimsingi. Tunabadilisha nambari kwenye fomula na kuhesabu:
Jibu: 1665
Aina nyingine ya fumbo maarufu:
4. Kutokana na maendeleo ya hesabu:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Tafuta jumla ya masharti kutoka ishirini hadi thelathini na nne.
Tunaangalia formula ya kiasi na ... tunakasirika.) Fomula, napenda nikumbushe, huhesabu kiasi. kutoka kwa kwanza mwanachama. Na katika tatizo unahitaji kuhesabu jumla tangu ishirini... Fomula haitafanya kazi.
Unaweza, bila shaka, kuandika maendeleo yote katika mfululizo, na kuongeza masharti kutoka 20 hadi 34. Lakini ... kwa namna fulani ni ya kijinga na inachukua muda mrefu, sawa?)
Kuna suluhisho la kifahari zaidi. Hebu tugawanye mfululizo wetu katika sehemu mbili. Sehemu ya kwanza itakuwa kutoka awamu ya kwanza hadi ya kumi na tisa. Sehemu ya pili - kutoka ishirini hadi thelathini na nne. Ni wazi kwamba ikiwa tutahesabu jumla ya masharti ya sehemu ya kwanza S 1-19, wacha tuiongeze na jumla ya masharti ya sehemu ya pili S 20-34, tunapata jumla ya maendeleo kutoka muhula wa kwanza hadi wa thelathini na nne S 1-34. Kama hii:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Kutoka kwa hili tunaweza kuona kwamba kupata jumla S 20-34 inaweza kufanywa kwa kutoa rahisi
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kiasi zote mbili upande wa kulia zinazingatiwa kutoka kwa kwanza mwanachama, i.e. formula ya kawaida ya jumla inatumika kwao. Tuanze?
Tunatoa vigezo vya maendeleo kutoka kwa taarifa ya tatizo:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Ili kukokotoa hesabu za masharti 19 ya kwanza na 34 ya kwanza, tutahitaji masharti ya 19 na 34. Tunazihesabu kwa kutumia fomula ya muhula wa nth, kama ilivyo kwa shida ya 2:
ya 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
ya 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
Hakuna chochote kilichosalia. Kutoka kwa jumla ya masharti 34 toa jumla ya maneno 19:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Jibu: 262.5
Ujumbe mmoja muhimu! Kuna hila muhimu sana katika kutatua tatizo hili. Badala ya hesabu moja kwa moja unachohitaji (S 20-34), tulihesabu kitu ambacho kingeonekana kutohitajika - S 1-19. Na kisha wakaamua S 20-34, kutupa yasiyo ya lazima kutoka kwa matokeo kamili. Aina hii ya "kuziba kwa masikio yako" mara nyingi hukuokoa katika matatizo mabaya.)
Katika somo hili tuliangalia matatizo ambayo inatosha kuelewa maana ya jumla ya maendeleo ya hesabu. Kweli, unahitaji kujua fomula kadhaa.)
Ushauri wa vitendo:
Wakati wa kutatua tatizo lolote linalohusisha jumla ya maendeleo ya hesabu, ninapendekeza mara moja kuandika fomula kuu mbili kutoka kwa mada hii.
Mfumo wa muhula wa nth:
Njia hizi zitakuambia mara moja nini cha kutafuta na katika mwelekeo gani wa kufikiria ili kutatua shida. Husaidia.
Na sasa kazi za suluhisho la kujitegemea.
5. Tafuta jumla ya nambari zote za tarakimu mbili ambazo haziwezi kugawanywa na tatu.
Baridi?) Kidokezo kimefichwa kwenye dokezo la tatizo 4. Naam, tatizo la 3 litasaidia.
6. Maendeleo ya hesabu hutolewa na hali: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Tafuta jumla ya masharti yake 24 ya kwanza.
Isiyo ya kawaida?) Hii ni fomula inayojirudia. Unaweza kusoma juu yake katika somo lililopita. Usipuuze kiungo, matatizo hayo mara nyingi hupatikana katika Chuo cha Jimbo la Sayansi.
7. Vasya alihifadhi pesa kwa likizo. Kiasi cha rubles 4550! Na niliamua kumpa mtu wangu ninayependa (mwenyewe) siku chache za furaha). Ishi kwa uzuri bila kujinyima chochote. Tumia rubles 500 siku ya kwanza, na kwa kila siku inayofuata kutumia rubles 50 zaidi kuliko ya awali! Mpaka pesa inaisha. Vasya alikuwa na siku ngapi za furaha?
Je, ni vigumu?) Fomu ya ziada kutoka kwa kazi 2 itasaidia.
Majibu (katika hali isiyoeleweka): 7, 3240, 6.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Wazo la mlolongo wa nambari linamaanisha kwamba kila nambari asilia inalingana na thamani fulani halisi. Msururu kama huo wa nambari unaweza kuwa wa kiholela au kuwa na mali fulani - maendeleo. Katika kesi ya mwisho, kila kipengele kinachofuata (mwanachama) cha mlolongo kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia uliopita.
Ukuaji wa hesabu ni mlolongo wa maadili ya nambari ambayo washiriki wake wa karibu hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa nambari sawa (vitu vyote vya safu, kuanzia ya 2, vina mali sawa). Nambari hii - tofauti kati ya maneno ya awali na yafuatayo - ni mara kwa mara na inaitwa tofauti ya maendeleo.
Tofauti ya maendeleo: ufafanuzi
Fikiria mlolongo unaojumuisha j thamani A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ni ya seti ya nambari asili N. Hesabu kuendelea, kulingana na ufafanuzi wake, ni mfuatano , ambapo a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Thamani d ndiyo tofauti inayotakikana ya mwendelezo huu.
d = a(j) – a(j-1).
Kuonyesha:
- Mwendelezo unaoongezeka, ambapo d > 0. Mfano: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Kupungua kwa maendeleo, basi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Maendeleo ya tofauti na vipengele vyake vya kiholela
Ikiwa masharti 2 ya kiholela ya maendeleo yanajulikana (i-th, k-th), basi tofauti ya mlolongo fulani inaweza kuamua kulingana na uhusiano:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ambayo ina maana d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Tofauti ya maendeleo na muhula wake wa kwanza
Usemi huu utasaidia kuamua thamani isiyojulikana tu katika hali ambapo nambari ya kipengele cha mlolongo inajulikana.
Tofauti ya maendeleo na jumla yake
Jumla ya mwendelezo ni jumla ya masharti yake. Ili kuhesabu jumla ya thamani ya vipengele vyake vya kwanza vya j, tumia fomula inayofaa:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakini tangu a(j) = a(1) + d(j – 1), kisha S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.