Ufafanuzi. Ikiwa kazi f(x) hufafanuliwa kwa muda [ a, b], ni endelevu katika kila hatua ya muda ( a, b), kwa uhakika a kuendelea kulia, kwa uhakika b ni kuendelea upande wa kushoto, basi tunasema kwamba kazi f(x) kuendelea kwenye sehemu [a, b].
Kwa maneno mengine, kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], ikiwa masharti matatu yametimizwa:
1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0);
2) f(x) = f(a);
3) f(x) = f(b).
Kwa kazi zinazoendelea kwa muda, tunazingatia baadhi ya mali, ambayo tunaunda katika mfumo wa nadharia zifuatazo, bila kutekeleza uthibitisho.
Nadharia 1. Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], basi inafikia viwango vyake vya chini na vya juu zaidi kwenye sehemu hii.
Nadharia hii inasema (Mchoro 1.15) kwamba kwenye sehemu [ a, b] kuna hatua kama hiyo x 1 hiyo f(x 1) £ f(x) kwa yoyote x kutoka [ a, b] na kwamba kuna uhakika x 2 (x 2 O[ a, b]) hivyo" xÎ[ a, b] (f(x 2)³ f(x)).
Maana f(x 1) ndio kubwa zaidi kwa kitendakazi kilichotolewa kwenye [ a, b], A f(x 2) - ndogo zaidi. Hebu tuashiria: f(x 1) = M, f(x 2) =m. Tangu kwa f(x) ukosefu wa usawa unashikilia: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, kisha tunapata mfululizo ufuatao kutoka kwa Theorem 1.
Matokeo. Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda, basi imefungwa kwa muda huu.
Nadharia 2. Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a,b] na mwisho wa sehemu huchukua maadili ya ishara tofauti, basi kuna hatua ya ndani kama hiyo x 0 sehemu [ a, b], ambayo kazi inageuka 0, i.e. $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0).
Nadharia hii inasema kwamba grafu ya fomula y = f(x), kuendelea kwa muda [ a, b], hukatiza mhimili Ng'ombe angalau mara moja ikiwa maadili f(a) Na f(b) kuwa na ishara kinyume. Kwa hiyo, (Mchoro 1.16) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) inakuwa 0 kwa pointi x 1 , x 2 , x 3 .
Nadharia 3. Hebu kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], f(a) = A, f(b) = B Na A¹ B. (Mchoro 1.17). Kisha kwa nambari yoyote C, iliyoambatanishwa kati ya nambari A Na B, kuna hatua hiyo ya mambo ya ndani x 0 sehemu [ a, b], Nini f(x 0) = C.
Matokeo. Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], m – thamani ndogo f(x), M – thamani ya juu kazi f(x) kwenye sehemu [ a, b], basi chaguo za kukokotoa huchukua (angalau mara moja) thamani yoyote m, alihitimisha kati ya m Na M, na kwa hivyo sehemu [ m, M] ni seti ya thamani zote za utendakazi f(x) kwenye sehemu [ a, b].
Kumbuka kuwa ikiwa kazi inaendelea kwa muda ( a, b) au iko kwenye sehemu [ a, b] pointi za kutoendelea, basi Nadharia 1, 2, 3 za utendaji kama huo hukoma kuwa kweli.
Kwa kumalizia, fikiria nadharia juu ya uwepo wa kazi ya kinyume.
Hebu tukumbuke kwamba kwa muda tunamaanisha sehemu au muda, au nusu ya muda, yenye mwisho au isiyo na mwisho.
 |
Nadharia 4. Hebu f(x) inaendelea kwa muda X, huongeza (au hupungua) kwa X na ina anuwai ya maadili Y. Kisha kwa kazi y = f(x) kuna kitendakazi kinyume x= j(y), iliyofafanuliwa kwa muda Y, inayoendelea na inayoongezeka (au inapungua) kwa Y yenye maana nyingi X.
Maoni. Hebu kazi x= j(y) ni kinyume cha chaguo la kukokotoa f(x) Kwa kuwa hoja kawaida huonyeshwa na x, na kazi kupitia y, basi tutaandika utendaji wa kinyume kama y =j(x).
Mfano 1. Kazi y = x 2 (Mchoro 1.8, a) kwenye seti X= a, b[ na inaendelea katika kila hatua ya kipindi hiki. Kisha inaitwa kuendelea katika muda ] a, b[ . Dhana ya mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kwenye vipindi vya fomu ]- ∞ inafafanuliwa vile vile, b[ , ]a, + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Hebu sasa kazi y = f(x) inavyofafanuliwa kwa muda [ a, b] . Tofauti kati ya muda na sehemu: pointi za mpaka za muda hazijumuishwa katika muda, lakini pointi za mpaka za sehemu zinajumuishwa katika sehemu. Hapa tunapaswa kutaja kinachojulikana kuwa mwendelezo wa upande mmoja: kwa uhakika a, iliyobaki kwenye sehemu [ a, b], tunaweza tu kukaribia kutoka kulia, na kwa uhakika b- upande wa kushoto tu. Shughuli inasemekana kuwa endelevu kwa muda [ a, b] ikiwa ni yenye kuendelea katika yote pointi za ndani ya sehemu hii, inaendelea upande wa kulia kwa uhakika a na inaachwa ikiendelea kwa uhakika b.
Mfano wa utendaji unaoendelea unaweza kuwa kazi zozote za kimsingi. Kila moja kazi ya msingi inaendelea kwa muda wowote ambao imefafanuliwa. Kwa mfano, kazi na ni endelevu kwa muda wowote [ a, b], chaguo la kukokotoa ni endelevu kwa muda [ 0 , b] , chaguo la kukokotoa linaendelea kwenye sehemu yoyote isiyo na alama a = 2 .
Mfano 4. Chunguza chaguo za kukokotoa kwa mwendelezo.
Suluhisho. Wacha tuangalie hali ya kwanza. Kazi haijafafanuliwa kwa pointi - 3 na 3. Angalau moja ya masharti ya kuendelea kwa kazi kwenye mstari mzima wa nambari haijaridhika. Ndiyo maana kipengele hiki inaendelea kwa vipindi
.Mfano 5. Amua kwa thamani gani ya parameta a inayoendelea kote uwanja wa ufafanuzi kazi 
Suluhisho.
Wacha tupate kikomo cha mkono wa kulia kwa:
.
Ni wazi, thamani katika hatua x= 2 inapaswa kuwa sawa shoka :
a = 1,5 .
Mfano 6. Amua ni thamani gani za parameta a Na b inayoendelea kote uwanja wa ufafanuzi kazi 
Suluhisho.
Wacha tupate kikomo cha upande wa kushoto wa chaguo la kukokotoa kwenye hatua:
.
Kwa hivyo, thamani katika hatua lazima iwe 1:
Wacha tupate kitendakazi cha mkono wa kushoto kwa uhakika:
Ni wazi, thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua inapaswa kuwa sawa na:
Jibu: kazi ni endelevu juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi wakati a = 1; b = -3 .
Mali ya msingi ya kazi zinazoendelea
Hisabati ilikuja kwa wazo la kazi inayoendelea kwa kusoma, kwanza kabisa, sheria mbali mbali za mwendo. Nafasi na wakati hazina mwisho, na utegemezi, kwa mfano, njia s kutoka wakati t, iliyoonyeshwa na sheria s = f(t) , inatoa mfano wa kuendelea kazi f(t). Joto la maji yenye joto pia hubadilika kila wakati; pia ni kazi inayoendelea ya wakati: T = f(t) .
KATIKA uchambuzi wa hisabati baadhi ya mali zimethibitishwa kazi zinazoendelea. Hebu tuwasilishe muhimu zaidi ya mali hizi.
1. Ikiwa kazi inayoendelea kwa muda inachukua maadili ya ishara tofauti mwishoni mwa muda, basi katika hatua fulani ya muda huu inachukua thamani. sawa na sifuri. Katika taarifa rasmi zaidi, mali hii imetolewa katika nadharia inayojulikana kama nadharia ya kwanza ya Bolzano-Cauchy.
2. Kazi f(x), inayoendelea kwa muda [ a, b] , inachukua maadili yote ya kati kati ya maadili kwenye sehemu za mwisho, ambayo ni, kati ya f(a) Na f(b). Katika taarifa rasmi zaidi, mali hii imetolewa katika nadharia inayojulikana kama nadharia ya pili ya Bolzano-Cauchy.
Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kwenye muda
| Jina la kigezo | Maana |
| Mada ya kifungu: | Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kwenye muda |
| Rubriki (aina ya mada) | Hisabati |
Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa kwa kawaida huitwa kuendelea kwa muda ikiwa ni endelevu katika kila hatua ya muda huu.
Ikiwa kazi imefafanuliwa katika X=A na ndani f(X) = f(A),
halafu wanasema hivyo f(X) kwa uhakika na inaendelea kulia. Vivyo hivyo, ikiwa f(X) = f(b), kisha wanasema hivyo kwa uhakika b kipengele hiki kushoto kuendelea.
Ufafanuzi. Kitendaji kawaida huitwa kuendelea kwa muda [ a, b], ikiwa ni endelevu katika kila nukta (kwa uhakika A kuendelea kulia, kwa uhakika b- kuendelea upande wa kushoto).
Thamani ya juu zaidi kazi katika = f(x) kwenye sehemu [ a, b f(x 1) hiyo f(x) £ f(x 1) kwa kila mtu X Î [ a, b].
Thamani ya chini kabisa kazi katika = f(x) kwenye sehemu [ a, b] ni desturi kuita hii maana yake f(x 2) hiyo f(x) ³ f(x 2) kwa kila mtu X Î [ a, b].
Kazi zinazoendelea kwa muda zina idadi ya mali muhimu, ambazo zinaonyeshwa na nadharia zifuatazo.
Nadharia 3.3.1. Chaguo la kukokotoa linaloendelea kwa muda [ a, b], hufikia thamani yake ya chini zaidi juu yake m na thamani kubwa zaidi M, yaani, kuna pointi kama hizo x 1 na x 2 ya sehemu hii, hiyo f(x 1) = m, f(x 2) = M.
Theorem ina maana rahisi ya kijiometri (tazama Mchoro 2).
 |
Nadharia 3.3.2. Katika kesi ya utendaji katika = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] na mwisho wake huchukua maadili yasiyo sawa f(A) = A, f(b) = B, A ¹ B, basi chochote nambari C kati ya A na B, kutakuwa na uhakika Na Î [ a, b] vile f(Na) = S.
Maana ya kijiometri Nadharia imeonyeshwa kwenye Mchoro wa 3. Mstari wowote wa moja kwa moja katika= C, ambapo A< C < B (или A >C > B), huingiliana na grafu ya chaguo la kukokotoa katika = f(x).
Matokeo. Ikiwa kazi inaendelea kwenye sehemu na inachukua maadili ya ishara tofauti mwisho wake, basi kwenye sehemu hii kuna angalau hatua moja ambayo kazi hupotea.
Maana ya kijiometri ya matokeo imeonyeshwa kwenye Mchoro 4.
Maswali ya kujidhibiti
1. Ni kazi gani ambayo kawaida huitwa kuendelea kwa uhakika?
2. Toa ufafanuzi mwingine sawa katika suala la ongezeko la utendaji na hoja.
3. Nini kinaweza kusemwa kuhusu jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa kazi mbili zinazoendelea?
4. Kwa nini maadili ya hoja ni mantiki nzima na kazi za kimantiki za sehemu kuendelea?
5. Je, kazi ngumu inaendelea lini kwa uhakika?
6. Ni nini kinachojulikana kama sehemu ya mapumziko ya kazi?
7. Ni pointi gani zinazoitwa pointi za kutoendelea za aina ya kwanza?
8. Ni kiasi gani kinachoitwa kuruka kwa kazi?
9. Eleza dhana ya "hatua ya kutoendelea inayoondolewa". Toa mifano.
10. Ni pointi gani zinazoitwa pointi za kutoendelea za aina ya pili? Toa mifano.
11. Eleza dhana: "mwendelezo kwa muda", "mwendelezo wa kulia", "mwendelezo upande wa kushoto", "mwendelezo kwenye sehemu".
12. Bainisha maadili makubwa na madogo zaidi ya vitendakazi.
13. Unda nadharia kuhusu uhusiano kati ya mwendelezo kwenye sehemu na thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa. Eleza kwa kuchora.
14. Tengeneza nadharia kuhusu muunganisho kati ya mwendelezo wa vitendakazi kwenye muda na muda wa thamani za utendakazi. Onyesha maana yake ya kijiometri katika takwimu.
15. Toa muhtasari wa nadharia iliyo hapo juu na tafsiri yake ya kijiometri.
MUHADHARA Na
Mada ya mihadhara: Nyingi ya chaguo za kukokotoa
Muhtasari wa hotuba: Dhana ya derivative, kijiometri yake na maana ya kimwili. Kanuni za msingi za kutofautisha. Derivative kazi tata. Baadhi ya programu ni derivative.
4.1. Dhana ya derivative, maana yake ya kijiometri na kimwili
Fikiria kazi katika = f(x), iliyobainishwa katika muda ] a, b[. Hebu XÎ ] a, b[Na X Î ] a, b[, kisha nyongeza ya chaguo za kukokotoa kwenye uhakika X 0 inaonyeshwa na fomula D katika = f(x 0+D X) – f(x 0).
Ufafanuzi. Kitendaji kiingilizi y = f(x) kwa uhakika X 0 kawaida huitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo hili la kukokotoa hadi nyongeza ya hoja wakati ya mwisho inaelekea sifuri:
f'(x 0) = 
au y"(x 0) =.
Maana ya kijiometri ya derivative: derivative ya kitendakazi kilichotolewa katika hatua ni sawa na tanjenti ya pembe kati ya mhimili wa Ox na tanjenti kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua inayolingana(ona Mtini. 1):
f"(x 0) = jua a.
MALI ZA KAZI ZINAZOENDELEA KWENYE USAILI
Hebu tuchunguze baadhi ya sifa za utendaji zinazoendelea kwa muda. Tunawasilisha mali hizi bila uthibitisho.
Kazi y = f(x) kuitwa kuendelea kwenye sehemu [a, b], ikiwa ni kuendelea katika pointi zote za ndani za sehemu hii, na mwisho wake, i.e. kwa pointi a Na b, ni kuendelea kwa kulia na kushoto, kwa mtiririko huo.
Nadharia 1. Chaguo la kukokotoa linaloendelea kwa muda [ a, b], angalau katika sehemu moja ya sehemu hii inachukua thamani kubwa zaidi na angalau katika hatua moja ndogo zaidi.
Nadharia inasema kwamba ikiwa kitendo y = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b], basi kuna angalau nukta moja x 1 Î [ a, b] hivi kwamba thamani ya chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua hii itakuwa kubwa zaidi ya maadili yake yote kwenye sehemu hii: f(x 1) ≥ f(x). Vile vile, kuna hatua kama hiyo x 2, ambayo thamani ya chaguo la kukokotoa itakuwa ndogo zaidi ya maadili yote kwenye sehemu: f(x 1) ≤ f(x).
Ni wazi kuwa kunaweza kuwa na vidokezo kadhaa; kwa mfano, takwimu inaonyesha kuwa kazi hiyo f(x) inachukua thamani ndogo katika pointi mbili x 2 Na x 2 ".
Maoni. Taarifa ya nadharia inaweza kuwa sio sahihi ikiwa tutazingatia thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye muda ( a, b) Kwa kweli, ikiwa tutazingatia kazi y = x juu ya (0, 2), basi inaendelea kwa muda huu, lakini haifikii maadili makubwa zaidi au ndogo ndani yake: inafikia maadili haya mwishoni mwa muda, lakini miisho sio mali. kwenye kikoa chetu.
Pia, nadharia hukoma kuwa kweli kwa utendaji usioendelea. Toa mfano.
Matokeo. Ikiwa kazi f(x) inaendelea [ a, b], basi ni mdogo kwenye sehemu hii.
Nadharia 2. Hebu kazi y = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] na mwisho wa sehemu hii inachukua maadili ya ishara tofauti, basi kuna angalau hatua moja ndani ya sehemu. x = C, ambayo kazi huenda hadi sifuri: f(C)= 0, wapi a< C< b
Nadharia hii ina maana rahisi ya kijiometri: ikiwa pointi za grafu ya kazi inayoendelea y = f(x), sambamba na miisho ya sehemu [ a, b] lala pamoja pande tofauti kutoka kwa mhimili Ng'ombe, kisha grafu hii inaingiliana na mhimili angalau pointi moja ya sehemu Ng'ombe. Huenda vitendaji visivyoendelea visiwe na sifa hii.
Nadharia hii inakubali jumla ifuatayo.
Nadharia ya 3 (nadharia ya thamani ya kati). Hebu kazi y = f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] Na f (a) = A, f (b) = B. Kisha kwa nambari yoyote C, alihitimisha kati ya A Na B, kuna hatua kama hiyo ndani ya sehemu hii CÎ [ a, b], Nini f(c) = C.
Nadharia hii ni dhahiri kijiometri. Fikiria grafu ya chaguo la kukokotoa y = f(x). Hebu f (a) = A, f (b) = B. Kisha mstari wowote wa moja kwa moja y = C, Wapi C- nambari yoyote kati ya A Na B, itaingiliana na grafu ya chaguo la kukokotoa angalau katika hatua moja. Abscissa ya hatua ya makutano itakuwa thamani hiyo x = C, ambapo f(c) = C.
Kwa hivyo, kazi inayoendelea, inayohamia kutoka kwa thamani moja hadi nyingine, lazima inapita kupitia maadili yote ya kati. Hasa:
Matokeo. Ikiwa kazi y = f(x) inaendelea kwa muda fulani na inachukua thamani kubwa na ndogo zaidi, kisha kwa muda huu inachukua angalau mara moja thamani yoyote iliyomo kati ya maadili yake ndogo na kubwa zaidi.
NUKUU NA MATUMIZI YAKE. UFAFANUZI WA NICHUZI
Hebu tuwe na utendaji fulani y=f(x), hufafanuliwa kwa muda fulani. Kwa kila thamani ya hoja x kutoka kwa kipindi hiki kitendakazi y=f(x) ina maana fulani.
Fikiria maadili mawili ya hoja: ya awali x 0 na mpya x.
Tofauti x–x 0 inaitwa kwa kuongeza hoja x kwa uhakika x 0 na inaashiria Δx. Hivyo, Δx = x - x 0 (ongezeko la hoja linaweza kuwa chanya au hasi). Kutoka kwa usawa huu inafuata hiyo x=x 0 +Δx, i.e. maana ya asili kutofautisha kulipata nyongeza fulani. Kisha, ikiwa kwa uhakika x Thamani ya chaguo 0 ilikuwa f(x 0 ), kisha ndani hatua mpya x chaguo la kukokotoa litachukua thamani f(x) = f(x 0 +Δx).
Tofauti y-y 0 = f(x) – f(x 0 ) kuitwa ongezeko la kazi y = f(x) kwa uhakika x 0 na inaonyeshwa na ishara Δy. Hivyo,
| Δy = f(x) – f(x 0 ) = f(x 0 +Δx) - f(x 0 ) . | (1) |
Kwa kawaida thamani ya awali ya hoja x 0 inachukuliwa kuwa thabiti, na thamani mpya x- kutofautiana. Kisha y 0 = f(x 0 ) inageuka kuwa mara kwa mara, na y = f(x)- kutofautiana. Ongezeko Δy Na Δx pia itakuwa vigeugeu na fomula (1) inaonyesha hivyo Dy ni kazi ya kutofautiana Δx.
Wacha tuunde uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi uongezaji wa hoja
Wacha tupate kikomo cha uwiano huu Δx→0. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi inaitwa derivative ya kazi hii f(x) kwa uhakika x 0 na kuashiria f "(x 0). Kwa hiyo,
Derivative kipengele hiki y = f(x) kwa uhakika x 0 inaitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa Δ y kwa ongezeko la hoja Δ x, wakati mwisho kiholela huwa na sifuri.
Kumbuka kuwa kwa kazi sawa derivative in pointi mbalimbali x inaweza kuchukua maadili tofauti, i.e. derivative inaweza kuchukuliwa kama kazi ya hoja x. Kazi hii imeteuliwa f "(x)
Derivative inaonyeshwa na alama f "(x),y ", . Maana mahususi derivative katika x = a iliyoonyeshwa na f "(a) au y "| x=a.
Uendeshaji wa kutafuta derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) inaitwa utofautishaji wa kazi hii.
Ili kupata derivative moja kwa moja kwa ufafanuzi, unaweza kutumia zifuatazo: kanuni ya kidole gumba:
Mifano.
HISIA YA MITAMBO YA NJIA
Inajulikana kutoka kwa fizikia kuwa sheria mwendo wa sare inaonekana kama s = v t, Wapi s- njia ilisafiri hadi wakati wa wakati t, v- kasi ya mwendo sawa.
Hata hivyo, kwa sababu Harakati nyingi zinazotokea katika asili hazifanani, basi kwa ujumla kasi, na, kwa hiyo, umbali s itategemea wakati t, i.e. itakuwa kazi ya wakati.
Kwa hiyo, basi hatua ya nyenzo iende kwa mstari wa moja kwa moja katika mwelekeo mmoja kulingana na sheria s=s(t).
Wacha tuweke alama kwa wakati fulani t 0 . Katika hatua hii hatua imepita njia s=s(t 0 ). Wacha tuamue kasi v nyenzo kwa wakati kwa wakati t 0 .
Ili kufanya hivyo, hebu tuzingatie hatua nyingine kwa wakati t 0 + Δ t. Inalingana na njia iliyosafirishwa s =s(t 0 + Δ t) Kisha kwa kipindi cha muda Δ t hatua imesafiri njia Δs =s(t 0 + Δ t)–s(t).
Hebu tuzingatie mtazamo. Inaitwa kasi ya wastani katika muda wa muda Δ t. Kasi ya wastani haiwezi kuashiria kwa usahihi kasi ya mwendo wa uhakika kwa sasa t 0 (kwa sababu harakati sio sawa). Ili kuelezea kwa usahihi kasi hii ya kweli kwa kutumia kasi ya wastani, unahitaji kuchukua muda mfupi Δ t.
Kwa hivyo, kasi ya harakati ndani wakati huu wakati t 0 (kasi ya papo hapo) ni kikomo cha kasi ya wastani katika muda kutoka t 0 kwa t 0 +Δ t, wakati Δ t→0:
,
hizo. kasi isiyo sawa hii ni derivative ya umbali unaosafirishwa kwa kuzingatia wakati.
MAANA YA KIJIometri YA NJIA
Hebu kwanza tujulishe ufafanuzi wa tangent kwa curve katika hatua fulani.
Wacha tuwe na curve na uhakika uliowekwa juu yake M0(ona mchoro) Fikiria jambo lingine M Curve hii na kuchora secant M0 M. Ikiwa uhakika M huanza kusonga kando ya curve, na uhakika M0 inabaki bila kusonga, kisha secant inabadilisha msimamo wake. Kama, pamoja na makadirio ya ukomo wa uhakika M kando ya curve kwa uhakika M0 kwa upande wowote secant huwa na nafasi ya mstari fulani ulionyooka M0 T, kisha moja kwa moja M0 T kuitwa tangent kwa Curve katika hatua fulani M0.
Hiyo., tangent kwa curve katika hatua fulani M0 inayoitwa nafasi ya kikomo ya secant M0 M wakati uhakika M huelekea kwenye mkunjo hadi uhakika M0.
Hebu sasa tuchunguze kazi inayoendelea y=f(x) na curve inayolingana na chaguo la kukokotoa. Kwa thamani fulani X Chaguo za kukokotoa 0 huchukua thamani y 0 =f(x 0). Maadili haya x 0 na y 0 kwenye curve inalingana na uhakika M 0 (x 0; y 0). Hebu toa hoja x 0 ongezeko Δ X. Thamani mpya ya hoja inalingana na thamani iliyoongezwa ya chaguo za kukokotoa y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Tunapata uhakika M (x 0+Δ x; y 0+Δ y). Hebu tuchore secant M0 M na kuashiria kwa φ pembe inayoundwa na secant yenye mwelekeo mzuri wa mhimili Ng'ombe. Wacha tuunda uhusiano na tutambue kuwa.
Ikiwa sasa Δ x→0, basi kutokana na kuendelea kwa kazi Δ katika→0, na kwa hivyo uhakika M, kusonga kando ya curve, inakaribia hatua bila kikomo M0. Kisha secant M0 M itaelekea kuchukua nafasi ya tanjiti kwa mkunjo kwenye uhakika M0, na pembe φ→α katika Δ x→0, ambapo α inaashiria pembe kati ya tanjiti na mwelekeo chanya wa mhimili Ng'ombe. Kwa kuwa kazi tan φ inategemea φ kwa φ≠π/2, basi kwa φ→α tan φ → tan α na, kwa hivyo, mteremko wa tangent utakuwa:
hizo. f"(x)=tg α .
Kwa hivyo, kijiometri y" (x 0) inawakilisha mteremko wa tanjenti kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa kwenye hatua x 0, i.e. katika thamani iliyopewa hoja x, derivative ni sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjiti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa. f(x) katika hatua inayofaa M 0 (x; y) yenye mwelekeo chanya wa mhimili Ng'ombe.
Mfano. Tafuta mteremko tangent kwa curve y = x 2 kwa uhakika M(-1; 1).
Tumeona hapo awali kwamba ( x 2)" = 2X. Lakini mgawo wa angular wa tangent kwa curve ni tan α = y"| x=-1 = - 2.
UTOFAUTI WA KAZI. MWENDELEZO WA KAZI MBALIMBALI
Kazi y=f(x) kuitwa kutofautishwa wakati fulani x 0 ikiwa ina derivative fulani katika hatua hii, i.e. ikiwa kikomo cha uhusiano kipo na ni cha mwisho.
Ikiwa kazi inaweza kutofautishwa katika kila sehemu ya sehemu fulani [ A; b] au muda ( A; b), kisha wanasema kwamba yeye kutofautishwa kwenye sehemu [ A; b] au, kwa mtiririko huo, katika muda ( A; b).
Nadharia ifuatayo ni halali, inaanzisha uhusiano kati ya kazi zinazoweza kutofautishwa na zinazoendelea.
Nadharia. Ikiwa kazi y=f(x) kutofautishwa kwa wakati fulani x 0, basi ni kuendelea katika hatua hii.
Kwa hivyo, kutoka kwa kutofautisha kwa kazi, mwendelezo wake unafuata.
Ushahidi. Kama 
, Hiyo
,
ambapo α ni kiasi kisicho na kikomo, i.e. kiasi kinachoelekea sifuri kama Δ x→0. Lakini basi
Δ y=f "(x 0) Δ x+αΔ x=> Δ y→0 katika Δ x→0, yaani. f(x) - f(x 0)→0 kwa x→x 0 , ambayo ina maana kwamba kazi f(x) kuendelea kwa hatua x 0 . Q.E.D.
Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa haliwezi kuwa na derivative katika sehemu za kutoendelea. Mazungumzo sio kweli: kuna kazi zinazoendelea ambazo haziwezi kutofautishwa katika sehemu fulani (yaani, hazina derivative katika nukta hizi).
Fikiria pointi katika takwimu a, b, c.
Kwa uhakika a katika Δ x→0 uwiano hauna kikomo (kwani vikomo vya upande mmoja ni tofauti kwa Δ x→0–0 na Δ x→0+0). Kwa uhakika A grafu hakuna tanjiti iliyofafanuliwa, lakini kuna tanjiti mbili tofauti za njia moja na mteremko. Kwa 1 na Kwa 2. Aina hii ya hatua inaitwa sehemu ya kona.
Kwa uhakika b katika Δ x→0 uhusiano ni wa ishara ya kudumu kwa muda usiojulikana ukubwa mkubwa. Chaguo hili la kukokotoa lina derivative isiyo na kikomo. Katika hatua hii grafu ina tanjiti wima. Aina ya ncha - "hatua ya kugeuza" ya tanjenti ya wima.
Kwa uhakika c derivatives za upande mmoja ni idadi kubwa isiyo na kikomo ya ishara tofauti. Katika hatua hii grafu ina tanjiti mbili za wima zilizounganishwa. Andika - "hatua ya kurudi" na tanjenti wima - kesi maalum hatua ya kona.
