Mito changamano. Toleo la logarithmic.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kielelezo cha nguvu

Tunaendelea kuboresha mbinu yetu ya kutofautisha. Katika somo hili, tutaunganisha nyenzo ambazo tumeshughulikia, tutaangalia derivatives changamano zaidi, na pia kufahamiana na mbinu na hila mpya za kutafuta derivative, haswa, na derivative ya logarithmic.

Kwa wale wasomaji waliopata kiwango cha chini maandalizi, unapaswa kurejelea makala Jinsi ya kupata derivative? Mifano ya ufumbuzi, ambayo itawawezesha kuinua ujuzi wako karibu kutoka mwanzo. Ifuatayo, unahitaji kusoma kwa uangalifu ukurasa Inatokana na utendaji kazi changamano, kuelewa na kutatua Wote mifano niliyotoa. Somo hili kimantiki ni la tatu mfululizo, na baada ya kulifahamu utatofautisha kazi ngumu kwa ujasiri. Haifai kuchukua msimamo wa "Wapi kwingine? Ndio, inatosha ", kwani mifano na suluhisho zote zinachukuliwa kutoka kwa kweli vipimo na mara nyingi hukutana katika mazoezi.

Wacha tuanze na kurudia. Kwenye somo Inatokana na utendaji kazi changamano Tuliangalia mifano kadhaa na maoni ya kina. Wakati wa kusoma calculus tofauti na sehemu zingine uchambuzi wa hisabati- utalazimika kutofautisha mara nyingi sana, na sio rahisi kila wakati (na sio lazima kila wakati) kuelezea mifano kwa undani sana. Kwa hivyo, tutafanya mazoezi ya kutafuta derivatives kwa mdomo. "Wagombea" wanaofaa zaidi kwa hili ni derivatives ya kazi rahisi zaidi, kwa mfano:

Kulingana na kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu :

Wakati wa kusoma mada zingine za matan katika siku zijazo, rekodi kama hiyo ya kina haihitajiki mara nyingi; Hebu fikiria kwamba saa 3 asubuhi kulikuwa na simu, Na sauti ya kupendeza aliuliza: “Ni nini derivative ya tangent ya X mbili?” Hii inapaswa kufuatiwa na karibu jibu la papo hapo na la heshima: .

Mfano wa kwanza utalengwa mara moja uamuzi wa kujitegemea.

Mfano 1

Tafuta derivatives zifuatazo kwa mdomo, katika hatua moja, kwa mfano:. Ili kukamilisha kazi unayohitaji tu kutumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi(kama bado haujaikumbuka). Ikiwa una shida yoyote, napendekeza kusoma tena somo Inatokana na utendaji kazi changamano.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Majibu mwishoni mwa somo

Mito changamano

Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Labda mifano miwili ifuatayo itaonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaelewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine hesabu tofauti Itaonekana kama utani wa mtoto.

Mfano 2

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha hila muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani iliyopewa katika "usemi wa kutisha".

1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.

2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:

4) Kisha mchemraba cosine:

5) Katika hatua ya tano tofauti:

6) Na mwishowe, kazi ya nje ni mzizi wa mraba:

Mfumo wa kutofautisha kazi changamano itatumika katika utaratibu wa nyuma, kutoka kazi ya nje hadi ya ndani kabisa. Tunaamua:

Inaonekana hakuna makosa ...

(1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.

(2) Tunachukua derivative ya tofauti kwa kutumia kanuni

(3) Kinyume cha sehemu tatu ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).

(4) Chukua derivative ya kosine.

(5) Chukua derivative ya logariti.

(6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.

Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.

Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.

Mfano 3

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa tatu vizidishio?

Mfano 4

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.

Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa mara mbili

Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli - hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:

Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili kwa mabano:

Bado unaweza kupotoshwa na kuchukua kitu kutoka kwa mabano, lakini ndani kwa kesi hii Ni bora kuacha jibu katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.

Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili:

Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.

Mfano 5

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.

Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.

Mfano 6

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:

Au kama hii:

Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo , ikichukua kwa nambari nzima:

Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa? Wacha tupunguze usemi wa nambari kwa dhehebu la kawaida Na tuachane na sehemu ya hadithi tatu:

Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.

Mfano rahisi wa kutatua peke yako:

Mfano 7

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.

Mfano 8

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hapa unaweza kwenda mbali, kwa kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu:

Lakini hatua ya kwanza mara moja inakuingiza katika kukata tamaa - lazima uchukue derivative mbaya ya nguvu ya sehemu, na kisha pia kutoka kwa sehemu.

Ndiyo maana kabla jinsi ya kuchukua derivative ya logarithm "ya kisasa", hurahisishwa kwanza kwa kutumia sifa za shule zinazojulikana:

! Ikiwa una daftari la mazoezi karibu, nakili fomula hizi moja kwa moja hapo. Ikiwa huna daftari, nakili kwenye karatasi, kwa kuwa mifano iliyobaki ya somo itahusu fomula hizi.

Suluhisho lenyewe linaweza kuandikwa kama hii:

Wacha tubadilishe kazi:

Kupata derivative:

Kubadilisha mapema kitendakazi chenyewe kumerahisisha sana suluhisho. Kwa hivyo, wakati logarithm sawa inapendekezwa kwa kutofautisha, daima inashauriwa "kuivunja".

Na sasa mifano michache rahisi kwako kutatua peke yako:

Mfano 9

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Mfano 10

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Mabadiliko yote na majibu yako mwishoni mwa somo.

Toleo la logarithmic

Ikiwa derivative ya logarithms ni muziki tamu kama huo, basi swali linatokea: inawezekana katika hali zingine kupanga logarithm kwa njia ya bandia? Je! Na hata lazima.

Mfano 11

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hivi majuzi tuliangalia mifano kama hiyo. Nini cha kufanya? Unaweza kutumia sequentially sheria ya utofautishaji wa mgawo, na kisha kanuni ya utofautishaji wa bidhaa. Hasara ya njia hii ni kwamba unaishia na sehemu kubwa ya hadithi tatu, ambayo hutaki kukabiliana nayo kabisa.

Lakini katika nadharia na mazoezi kuna jambo la ajabu kama derivative ya logarithmic. Logarithm zinaweza kupangwa kwa njia ya bandia kwa "kuzipachika" pande zote mbili:

Sasa unahitaji "kutenganisha" logarithm ya upande wa kulia iwezekanavyo (formula mbele ya macho yako?). Nitaelezea mchakato huu kwa undani zaidi:

Wacha tuanze na utofautishaji.
Tunahitimisha sehemu zote mbili chini ya mkuu:

Derivative ya upande wa kulia ni rahisi sana; Sitatoa maoni juu yake, kwa sababu ikiwa unasoma maandishi haya, unapaswa kuwa na uwezo wa kushughulikia kwa ujasiri.

Vipi kuhusu upande wa kushoto?

Kwa upande wa kushoto tunayo kazi tata. Ninaona mapema swali: "Kwa nini, kuna herufi moja "Y" chini ya logarithm?"

Ukweli ni kwamba huu "mchezo wa herufi moja" - YENYEWE NI KAZI(ikiwa haiko wazi sana, rejelea Kifungu cha kipengee cha chaguo za kukokotoa kilichobainishwa kwa njia isiyo dhahiri). Kwa hiyo, logarithm ni kazi ya nje, na "y" ni kazi ya ndani. Na tunatumia sheria kutofautisha kazi ngumu :

Kwa upande wa kushoto, kana kwamba kwa uchawi fimbo ya uchawi tunayo derivative . Ifuatayo, kulingana na sheria ya uwiano, tunahamisha "y" kutoka kwa dhehebu la upande wa kushoto hadi juu ya upande wa kulia:

Na sasa hebu tukumbuke ni aina gani ya "mchezaji" -kazi tuliyozungumzia wakati wa kutofautisha? Wacha tuangalie hali:

Jibu la mwisho:

Mfano 12

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Mfano wa kubuni mfano wa aina hii mwishoni mwa somo.

Kutumia derivative ya logarithmic iliwezekana kutatua yoyote ya mifano Nambari 4-7, jambo lingine ni kwamba kazi huko ni rahisi, na, labda, matumizi ya derivative ya logarithmic sio haki sana.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kipeo cha nguvu

Bado hatujazingatia kipengele hiki. Kitendakazi cha kielelezo cha nguvu ni chaguo la kukokotoa ambalo kwalo shahada na msingi hutegemea "x". Mfano wa classic, ambayo utapewa katika kitabu chochote cha kiada au katika mihadhara yoyote:

Jinsi ya kupata derivative ya kazi ya kielelezo cha nguvu?

Inahitajika kutumia mbinu iliyojadiliwa tu - derivative ya logarithmic. Tunaweka logarithm pande zote mbili:

Kama sheria, upande wa kulia digrii hutolewa kutoka chini ya logarithm:

Matokeo yake, upande wa kulia tuna bidhaa ya kazi mbili, ambazo zitatofautishwa na fomula ya kawaida .

Tunapata derivative kufanya hivyo, tunafunga sehemu zote mbili chini ya viboko:

Vitendo zaidi ni rahisi:

Hatimaye:

Ikiwa ubadilishaji wowote hauko wazi kabisa, tafadhali soma tena maelezo ya Mfano #11 kwa makini.

KATIKA kazi za vitendo Kitendaji cha kielelezo cha nguvu kitakuwa chagumu kila wakati kuliko mfano uliojadiliwa katika hotuba.

Mfano 13

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Tunatumia derivative ya logarithmic.

Upande wa kulia tunayo mara kwa mara na bidhaa ya mambo mawili - "x" na "logarithm ya logarithm x" (logarithm nyingine imewekwa chini ya logarithm). Wakati wa kutofautisha, kama tunavyokumbuka, ni bora kusonga mara kwa mara kutoka kwa ishara ya derivative ili isiingie; na, bila shaka, tunatumia kanuni inayojulikana :

Kama unavyoona, algoriti ya kutumia derivative ya logarithmic haina hila au hila zozote maalum, na kupata kitovu cha chaguo la kukokotoa la kielelezo cha nguvu kwa kawaida hakuhusishwa na "mateso."

Amua kazi za kimwili au mifano katika hisabati haiwezekani kabisa bila ujuzi wa derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi uchambuzi wa hisabati. Hii mada ya msingi tuliamua kuweka wakfu makala ya leo. Ni nini derivative, ni nini kimwili na maana ya kijiometri jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?

Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative

Hebu kuwe na utendaji f(x) , iliyobainishwa katika muda fulani (a, b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Kubadilisha hoja - tofauti katika maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya nyongeza ya hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.

Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:

Ni nini maana ya kupata kikomo kama hicho? Na hii ndio ni:

derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjenti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.

Maana ya kimwili derivative: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.

Hakika, tangu siku za shule kila mtu anajua kwamba kasi ni njia fulani x=f(t) na wakati t . kasi ya wastani kwa muda fulani:

Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati kwa wakati t0 unahitaji kuhesabu kikomo:

Kanuni ya kwanza: kuweka mara kwa mara

Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Aidha, hii lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, ichukue kama sheria - Ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .

Mfano. Wacha tuhesabu derivative:

Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi

Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.

Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:

Mfano: tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:

Suluhisho:

Ni muhimu kuzungumza juu ya kuhesabu derivatives ya kazi ngumu hapa. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.

Katika mfano hapo juu tunakutana na usemi:

Katika kesi hii, hoja ya kati ni 8x hadi nguvu ya tano. Ili kukokotoa derivative ya usemi kama huo, tunakokotoa kwanza derivative ya chaguo za kukokotoa za nje kuhusiana na hoja ya kati, na kisha kuzidisha kwa kitokeo cha hoja ya kati yenyewe kwa heshima na kigezo huru.

Kanuni ya nne: derivative ya mgawo wa kazi mbili

Mfumo wa kuamua derivative ya mgawo wa kazi mbili:

Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyoonekana, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.

Ukiwa na maswali yoyote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Nyuma muda mfupi Tutakusaidia kutatua majaribio magumu zaidi na kutatua matatizo, hata kama hujawahi kufanya mahesabu ya derivative hapo awali.

Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Mifano miwili ifuatayo inaweza kuonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaielewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine katika calculus tofauti kitaonekana kama utani wa mtoto.

Mfano 2

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha mbinu muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kwa kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani hii kwenye "usemi wa kutisha".

1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.

2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:

4) Kisha mchemraba cosine:

5) Katika hatua ya tano tofauti:

6) Na mwishowe, kazi ya nje ni mzizi wa mraba:

Mfumo wa kutofautisha kazi changamano hutumika kwa mpangilio wa nyuma, kutoka kitendakazi cha nje hadi cha ndani kabisa. Tunaamua:

Inaonekana bila makosa:

1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.

2) Chukua derivative ya tofauti kwa kutumia sheria

3) Derivative ya triple ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).

4) Chukua derivative ya cosine.

6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.

Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.

Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.

Mfano 3

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa ya mambo matatu?

Mfano 4

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.

Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa mara mbili

Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli - hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:

Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili kwa mabano:

Unaweza pia kupotoshwa na kuweka kitu nje ya mabano, lakini katika kesi hii ni bora kuacha jibu haswa katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.

Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili:

Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.

Mfano 5

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.

Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.

Mfano 6

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:

Au kama hii:

Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo , ikichukua kwa nambari nzima:

Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa?

Wacha tupunguze usemi wa nambari kuwa dhehebu la kawaida na tuondoe muundo wa hadithi tatu wa sehemu.:

Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.

Mfano rahisi wa kutatua peke yako:

Mfano 7

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.

Mifano imetolewa ya kukokotoa derivatives kwa kutumia fomula ya derivative ya kazi changamano.

Hapa tunatoa mifano ya kuhesabu derivatives ya kazi zifuatazo:
; ; ; ; .

Ikiwa chaguo la kukokotoa linaweza kuwakilishwa kama kazi tata V fomu ifuatayo:
,
basi derivative yake imedhamiriwa na formula:
.
Katika mifano hapa chini, tutaandika fomula hii kama ifuatavyo:
.
Wapi.
Hapa, maandishi au , yaliyo chini ya ishara ya derivative, yanaashiria vigezo ambavyo utofautishaji unafanywa.

Kawaida, katika majedwali ya derivatives, derivatives ya kazi kutoka kwa kutofautiana x hutolewa. Walakini, x ni kigezo rasmi. Tofauti x inaweza kubadilishwa na tofauti nyingine yoyote. Kwa hiyo, wakati wa kutofautisha kazi kutoka kwa kutofautiana, tunabadilisha tu, katika jedwali la derivatives, kutofautiana kwa x hadi kutofautiana u.

Mifano rahisi

Mfano 1

Pata derivative ya kazi changamano
.

Suluhisho

Hebu tuandike kazi iliyopewa kwa fomu sawa:
.
Katika jedwali la derivatives tunapata:
;
.

Kulingana na fomula ya derivative ya kazi ngumu, tunayo:
.
Hapa .

Jibu

Mfano 2

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Tunachukua 5 mara kwa mara kutoka kwa ishara ya derivative na kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
.

.
Hapa .

Jibu

Mfano 3

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Tunachukua mara kwa mara -1 kwa ishara ya derivative na kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
;
Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
.

Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano:
.
Hapa .

Jibu

Mifano ngumu zaidi

Katika zaidi mifano tata tunatumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu mara kadhaa. Katika kesi hii, tunahesabu derivative kutoka mwisho. Hiyo ni, tunavunja kazi katika sehemu zake za sehemu na kupata derivatives ya sehemu rahisi kutumia jedwali la derivatives. Tunatumia pia kanuni za kutofautisha hesabu, bidhaa na sehemu. Kisha tunabadilisha na kutumia formula kwa derivative ya kazi changamano.

Mfano 4

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Hebu tuangazie zaidi sehemu rahisi formula na kupata derivative yake. .

.
Hapa tumetumia nukuu
.

Tunapata derivative ya sehemu inayofuata ya kazi ya awali kwa kutumia matokeo yaliyopatikana. Tunatumia sheria ya kutofautisha jumla:
.

Mara nyingine tena tunatumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu.

.
Hapa .

Jibu

Mfano 5

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.

Suluhisho

Wacha tuchague sehemu rahisi zaidi ya fomula na tupate derivative yake kutoka kwa jedwali la derivatives. .

Tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu.
.
Hapa
.

Katika makala hii tutazungumza juu ya dhana muhimu ya hisabati kama kazi ngumu, na kujifunza jinsi ya kupata derivative ya kazi ngumu.

Kabla ya kujifunza kupata derivative ya kazi ngumu, hebu tuelewe dhana ya kazi ngumu, ni nini, "inaliwa na nini," na "jinsi ya kupika kwa usahihi."

Hebu tuzingatie kazi ya kiholela, kwa mfano, kama hii:

Kumbuka kuwa hoja iliyo kwenye pande za kulia na kushoto za mlinganyo wa kukokotoa ni nambari sawa, au usemi.

Badala ya kutofautisha, tunaweza kuweka, kwa mfano, usemi ufuatao:. Na kisha tunapata kazi

Wacha tuite usemi hoja ya kati, na chaguo la kukokotoa ni kazi ya nje. Sio kali dhana za hisabati, lakini husaidia kuelewa maana ya dhana ya kazi changamano.

Ufafanuzi madhubuti wa dhana ya kazi ngumu inasikika kama hii:

Acha chaguo la kukokotoa lifafanuliwe kwenye seti na iwe seti ya maadili ya chaguo hili la kukokotoa. Acha seti (au kitengo chake kidogo) kiwe kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Wacha tugawanye nambari kwa kila mmoja wao. Kwa hivyo, kazi itafafanuliwa kwenye seti. Inaitwa utungaji wa kazi au kazi ngumu.

Katika ufafanuzi huu, ikiwa tunatumia istilahi zetu, kazi ya nje ni hoja ya kati.

Derivative ya kazi ngumu hupatikana kulingana na sheria ifuatayo:

Ili kuifanya iwe wazi zaidi, napenda kuandika sheria hii kama ifuatavyo:

Katika usemi huu, kutumia inaashiria kazi ya kati.

Hivyo. Ili kupata derivative ya kazi ngumu, unahitaji

1. Tambua ni kazi gani ya nje na kupata derivative sambamba kutoka kwa jedwali la derivatives.

2. Fafanua hoja ya kati.

Katika utaratibu huu, ugumu mkubwa ni kutafuta kazi ya nje. Algorithm rahisi hutumiwa kwa hili:

A. Andika mlinganyo wa chaguo za kukokotoa.

b. Fikiria kuwa unahitaji kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa kwa baadhi ya thamani ya x. Ili kufanya hivyo, unabadilisha thamani hii ya x kwenye equation ya chaguo za kukokotoa na kuzalisha shughuli za hesabu. Kitendo cha mwisho unachofanya ni kazi ya nje.

Kwa mfano, katika kazi

Kitendo cha mwisho ni upanuzi.

Wacha tupate derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Ili kufanya hivyo, tunaandika hoja ya kati