Wyznacz kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji. Równanie stycznej do wykresu funkcji

Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W w tym przypadku Wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać Główne zasady, według którego brane są instrumenty pochodne i dopiero wtedy przechodzimy do kolejnego kroku.

  • Przeczytaj artykuł.
  • Jak wziąć najprostsze pochodne, na przykład pochodną równanie wykładnicze, opisany. Obliczenia przedstawione w następne kroki, będzie opierać się na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać zadania, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.

  • Weź pochodną podanej funkcji. Nie ma tu potrzeby budowania wykresu – wystarczy równanie funkcji. W naszym przykładzie weźmy pochodną funkcji. Weź pochodną zgodnie z metodami opisanymi w artykule wspomnianym powyżej:

    • Pochodna:

  • Zastąp podane współrzędne punktu do znalezionej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f”(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x,f(x)). W naszym przykładzie:

    • Znajdź nachylenie funkcji fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2).
    • Pochodna funkcji:
      • fa ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4x + 6)
    • Zastąp wartość współrzędnej „x” tego punktu:
      • fa ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4 (4) + 6)
    • Znajdź nachylenie:
    • Funkcja nachylenia fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2) jest równe 22.

  • Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenia nie można obliczyć w każdym punkcie. Rachunek różniczkowy rozważa złożone funkcje oraz złożone wykresy, gdzie nie można obliczyć nachylenia w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie podanej funkcji jest prawidłowe. W W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w podanym Ci punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.

    • Styczna będzie miała w pewnym punkcie takie samo nachylenie jak wykres funkcji. Aby narysować styczną w danym punkcie należy przesunąć się w lewo/prawo na osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie o jedną w górę na osi Y. Zaznacz punkt, a następnie połącz go z dany Ci punkt. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).

    • Będziesz potrzebować

    • - podręcznik matematyczny;
    • - zeszyt;
    • - prosty ołówek;
    • - długopis;
    • - kątomierz;
    • - kompas.

    Instrukcje

    Należy pamiętać, że wykres funkcji różniczkowalnej f(x) w punkcie x0 nie różni się od odcinka stycznego. Jest zatem dość blisko odcinka l, czyli odcinka przechodzącego przez punkty (x0; f(x0)) i (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Aby określić linię prostą przechodzącą przez punkt A ze współczynnikami (x0; f(x0)), określ jej nachylenie. Co więcej, jest ona równa Δy/Δx secans tangens (Δх →0), a także zmierza do liczby f‘(x0).

    Jeśli nie ma wartości dla f‘(x0), to nie ma stycznej lub przebiega ona pionowo. Na tej podstawie pochodną funkcji w punkcie x0 tłumaczy się istnieniem niepionowej stycznej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x0). Pochodna geometryczna, czyli współczynnik kątowy stycznej, staje się jasna.

    Oznacza to, że aby znaleźć nachylenie stycznej, należy znaleźć wartość pochodnej funkcji w punkcie styczności. Przykład: znajdź współczynnik kątowy stycznej do funkcji y = x³ w punkcie z odciętą X0 = 1. Rozwiązanie: Znajdź pochodną tej funkcji y΄(x) = 3x²; znajdź wartość pochodnej w punkcie X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Współczynnik kąta stycznej w punkcie X0 = 3.

    Narysuj dodatkowe styczne na rysunku tak, aby stykały się z wykresem funkcji w punktach: x1, x2 i x3. Kąty utworzone przez te styczne zaznaczamy na osi odciętych (kąt liczony jest w kierunku dodatnim – od osi do linii stycznej). Na przykład kąt α1 będzie ostry, kąt (α2) będzie rozwarty, a trzeci (α3) będzie równy zeru, ponieważ narysowana linia styczna to oś równoległa OH. W tym przypadku styczna kąt rozwarty Jest negatywne znaczenie i styczna kąt ostry– dodatni, przy tg0 i wynik równy zeru.

    Styczna do danego okręgu to prosta, która ma tylko jedną wspólny punkt z tym kręgiem. Styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Jeżeli z jednego punktu nienależącego do okręgu poprowadzono dwie styczne, to odległości od tego punktu do punktów styczności będą zawsze takie same. Styczna do koła są budowane różne sposoby w zależności od ich wzajemnego położenia.

    Instrukcje

    Konstruowanie stycznej do jednego okręgu.
    1. Skonstruuj okrąg o promieniu R i weź A, przez który przejdzie styczna.
    2. Konstruuje się okrąg ze środkiem w środku odcinka OA i promieniami równymi temu segmentowi.
    3. Przecięcie dwóch punktów stycznych poprowadzonych przez punkt A do danego okręgu.

    Zewnętrzna styczna do dwójki koła.

    2. Narysuj okrąg o promieniu R – r ze środkiem w punkcie O.
    3. Do powstałego okręgu rysuje się styczną z O1, punkt styczności oznaczono M.
    4. Promień R przechodzący przez punkt M do punktu T – punktu stycznego okręgu.
    5. Przez środek O1 małego okręgu poprowadzono promień r, równolegle do R dużego okręgu. Promień r wskazuje na punkt T1 – punkt styczności małego okręgu.
    koła.

    Styczna wewnętrzna do dwójki koła.
    1. Zbudowano dwa koła o promieniach R i r.
    2. Narysuj okrąg o promieniu R + r ze środkiem w punkcie O.
    3. Do powstałego okręgu z punktu O1 rysuje się styczną, punkt styczności oznaczony jest literą M.
    4. Promień OM przecina pierwszy okrąg w punkcie T – w punkcie styczności okręgu wielkiego.
    5. Przez środek O1 małego okręgu poprowadzono promień r równolegle do promienia OM. Promień r wskazuje na punkt T1 – punkt styczności małego okręgu.
    6. Prosta TT1 – styczna do danej koła.

    Źródła:

    • styczna wewnętrzna

    Kątowy gabinet – idealna opcja na puste kąty w mieszkaniu. Dodatkowo konfiguracja narożna gabinet ov nadaje wnętrzu klasyczną atmosferę. Jako wykończenie narożników gabinet Można zastosować dowolny materiał odpowiedni do tego celu.

    Będziesz potrzebować

    • Płyta pilśniowa, MDF, wkręty, gwoździe, brzeszczot, fryz.

    Instrukcje

    Wytnij szablon o szerokości 125 mm i długości 1065 mm ze sklejki lub płyty pilśniowej. Krawędzie należy spiłować pod kątem 45 stopni. Przez gotowy szablon określ wymiary ścian bocznych, a także miejsce, w którym będzie zlokalizowany gabinet.

    Połącz pokrywę ze ścianami bocznymi i trójkątnymi półkami. Osłonę należy przymocować do górnych krawędzi ścian bocznych za pomocą wkrętów. Aby uzyskać wytrzymałość konstrukcyjną, stosuje się dodatkowy klej. Przymocuj półki do listew.

    Ustaw brzeszczot pod kątem 45 stopni i skoś przednią krawędź ścian bocznych wzdłuż prowadnicy. Przymocuj stałe półki do listew MDF. Połącz ściany boczne za pomocą śrub. Upewnij się, że nie ma żadnych luk.

    Zrób ślady w ścianie, pomiędzy którymi umieść ramę narożnika gabinet A. Mocowanie za pomocą śrub gabinet do ściany. Długość kołka powinna wynosić 75 mm.

    Wytnij ramę przednią z litej płyty MDF. Za pomocą piły tarczowej wytnij w niej otwory za pomocą linijki. Zakończ rogi.

    Znajdź wartość odciętej punktu stycznego, który jest oznaczony literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, wówczas „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość Funkcje f(a) poprzez podstawienie do równania Funkcje wartość odciętej.

    Wyznacz pierwszą pochodną równania Funkcje f’(x) i podstawiamy do niego wartość punktu „a”.

    Brać równanie ogólne tangens, który jest zdefiniowany jako y = f(a) = f (a)(x – a), i podstaw do niego znalezione wartości a, f(a), f "(a). W rezultacie zostanie znalezione rozwiązanie wykresu i stycznej.

    Rozwiąż zadanie w inny sposób, jeśli podany punkt styczny nie pokrywa się z punktem stycznym. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznym. Następnie zamiast liter „x” i „y” podstaw wartość współrzędnej dany punkt. Rozwiąż powstałe równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Podstaw otrzymaną wartość do równania stycznego.

    Napisz równanie stycznej z literą „a”, jeśli opis problemu określa równanie Funkcje i równanie linia równoległa względem żądanej stycznej. Następnie potrzebujemy pochodnej Funkcje, do współrzędnej w punkcie „a”. Podstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.

    Składając równanie stycznej do wykresu funkcji, stosuje się pojęcie „odciętej punktu styczności”. Ta wartość może być określony początkowo w warunkach zadania lub musi zostać ustalony samodzielnie.

    Instrukcje

    Narysuj osie współrzędnych x i y na kartce papieru. Badać dane równanie dla wykresu funkcji. Jeżeli tak, to wystarczy mieć dwie wartości parametru y dla dowolnego x, następnie nanieść znalezione punkty na oś współrzędnych i połączyć je linią. Jeśli wykres jest nieliniowy, utwórz tabelę zależności y od x i wybierz co najmniej pięć punktów do skonstruowania wykresu.

    Wyznacz wartość odciętej punktu stycznego dla przypadku, gdy dany punkt styczny nie pokrywa się z wykresem funkcji. Trzeci parametr ustawiamy literą „a”.

    Zapisz równanie funkcji f(a). Aby to zrobić, wstaw a zamiast x do pierwotnego równania. Znajdź pochodną funkcji f(x) i f(a). Podstaw wymagane dane do ogólnego równania stycznego, które ma postać: y = f(a) + f "(a)(x – a). Otrzymasz w rezultacie równanie składające się z trzech nieznanych parametrów.

    Podstaw do niego zamiast x i y współrzędne danego punktu, przez który przechodzi styczna. Następnie znajdź rozwiązanie otrzymanego równania dla wszystkich a. Jeśli jest kwadratowy, wówczas odcięta punktu stycznego będzie miała dwie wartości. Oznacza to, że tangens przechodzi dwukrotnie w pobliżu wykresu funkcji.

    Narysuj wykres dana funkcja i , które są określone zgodnie z warunkami problemu. W tym przypadku należy także podać nieznany parametr a i podstawić go do równania f(a). Przyrównaj pochodną f(a) do pochodnej równania prostej równoległej. Wynika to z warunku równoległości tych dwóch. Znajdź pierwiastki powstałego równania, które będą odciętą punktu styczności.

    Prosta y=f(x) będzie styczna do wykresu pokazanego na rysunku w punkcie x0, jeśli przejdzie przez punkt o współrzędnych (x0; f(x0)) i będzie miała współczynnik kątowy f”(x0). Znajdź taki współczynnik, Znając cechy stycznej, nie jest to trudne.

    Będziesz potrzebować

    • - podręcznik matematyczny;
    • - prosty ołówek;
    • - zeszyt;
    • - kątomierz;
    • - kompas;
    • - długopis.

    Instrukcje

    Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przebiega ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy f "(x0). Zatem staje się jasne znaczenie geometryczne pochodna – obliczenie nachylenia stycznej.

    Określ ogólny. Tego rodzaju informacje można uzyskać, odwołując się do danych spisowych. Aby określić ogólny współczynnik dzietności, śmiertelności, małżeństw i rozwodów, musisz znaleźć produkt ogólna populacja i okres rozliczeniowy. Wynikową liczbę zapisz w mianowniku.

    Umieść na liczniku wskaźnik odpowiadający żądanemu krewnemu. Na przykład, jeśli masz do czynienia z określeniem całkowitego współczynnika dzietności, to zamiast licznika powinna znajdować się liczba odzwierciedlająca całkowitą liczbę urodzeń w interesującym Cię okresie. Jeśli Twoim celem jest współczynnik umieralności lub współczynnik małżeństw, to w miejsce licznika wpisz odpowiednio liczbę zgonów w okresie obliczeniowym lub liczbę małżeństw.

    Pomnóż wynikową liczbę przez 1000. Będzie to ogólny współczynnik, którego szukasz. Jeśli stoisz przed zadaniem znalezienia ogólnego tempa wzrostu, odejmij współczynnik umieralności od wskaźnika urodzeń.

    Wideo na ten temat

    Źródła:

    • Ogólne wskaźniki życiowe

    Głównym wskaźnikiem wydajności ekstrakcji jest współczynnik dystrybucja. Oblicza się ją ze wzoru: Co/Sw, gdzie Co to stężenie wyekstrahowanej substancji w rozpuszczalniku organicznym (ekstraktorze), a St to stężenie tej samej substancji w wodzie po osiągnięciu równowagi. Jak eksperymentalnie znaleźć współczynnik rozkładu?

    Instrukcje

    Wyznaczamy współczynnik kątowy stycznej do krzywej w punkcie M.
    Krzywa reprezentująca wykres funkcji y = f(x) jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu M (uwzględniając sam punkt M).

    Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przebiega ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy f "(x0). Zatem geometryczne znaczenie pochodnej staje się jasne - obliczenie współczynnika kątowego stycznej.

    Znajdź wartość odciętej punktu stycznego, który jest oznaczony literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, wówczas „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość Funkcje f(a) poprzez podstawienie do równania Funkcje wartość odciętej.

    Wyznacz pierwszą pochodną równania Funkcje f’(x) i podstawiamy do niego wartość punktu „a”.

    Weź ogólne równanie styczne, które jest zdefiniowane jako y = f(a) = f (a)(x – a) i podstaw do niego znalezione wartości a, f(a), f „(a). W rezultacie zostanie znalezione rozwiązanie wykresu i styczne.

    Rozwiąż zadanie w inny sposób, jeśli podany punkt styczny nie pokrywa się z punktem stycznym. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznym. Następnie zamiast liter „x” i „y” podstawia się wartość współrzędnych danego punktu. Rozwiąż powstałe równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Podstaw otrzymaną wartość do równania stycznego.

    Napisz równanie stycznej z literą „a”, jeśli opis problemu określa równanie Funkcje oraz równanie linii równoległej względem żądanej stycznej. Następnie potrzebujemy pochodnej Funkcje, do współrzędnej w punkcie „a”. Podstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.

    Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

    Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

    Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

    Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

    Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

    Jakie dane osobowe zbieramy:

    • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

    Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

    • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
    • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
    • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
    • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

    Ujawnianie informacji osobom trzecim

    Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

    Wyjątki:

    • Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
    • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

    Ochrona danych osobowych

    Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

    Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

    Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

    Rozważ następujący rysunek:

    Przedstawia pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczono punkt M o współrzędnych (a; f(a)). Poprzez dowolny punkt Wykres P(a + ∆x; f(a + ∆x)) rysuje się za pomocą siecznej MR.

    Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty na wykresie do punktu M, to linia prosta MR będzie się obracać wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążyć do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.

    Styczna do wykresu funkcji

    Styczna do wykresu funkcji jest pozycją graniczną siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że ​​w tym punkcie wykresu tangens do niego.

    W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 jest pewną linią prostą przechodzącą przez ten punkt (x0;f(x0)) i posiadającą współczynnik kątowy f’(x0).

    Równanie styczne

    Spróbujmy otrzymać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma następny widok:

    Ponieważ nasz współczynnik nachylenia jest równy pochodnej f’(x0), wówczas równanie przyjmie postać: y = f’(x0)*x + b.

    Teraz obliczmy wartość b. W tym celu wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.

    f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

    Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:

    y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

    y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

    Rozważmy następujący przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 w punkcie x = 2.

    2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

    3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

    4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

    5. Podstaw otrzymane wartości do wzoru stycznego, otrzymamy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwarcie nawiasów i przyniesienie podobne terminy otrzymujemy: y = 4*x - 7.

    Odpowiedź: y = 4*x - 7.

    Ogólny schemat tworzenia równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):

    1. Określ x0.

    2. Oblicz f(x0).

    3. Oblicz f’(x)