Znajdowanie najmniejszej wartości funkcji w segmencie. Jak znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w ograniczonym obszarze zamkniętym? Największa i najmniejsza wartość funkcji
Często w fizyce i matematyce trzeba znaleźć najmniejsza wartość Funkcje. Teraz powiemy Ci, jak to zrobić.
Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji: instrukcje
Aby obliczyć najmniejszą wartość funkcja ciągła Do ten segment, musisz postępować zgodnie z tym algorytmem:
Znajdź pochodną funkcji.
Znajdź na danym odcinku punkty, w których pochodna jest równa zeru, a także wszystkie punkty krytyczne. Następnie znajdź wartości funkcji w tych punktach, to znaczy rozwiąż równanie, w którym x jest równe zero. Dowiedz się, która wartość jest najmniejsza.
Określ jaką wartość ma ta funkcja punkty końcowe. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji w tych punktach.
Porównaj uzyskane dane z najniższą wartością. Mniejsza z otrzymanych liczb będzie najmniejszą wartością funkcji.
Należy pamiętać, że jeśli funkcja w segmencie nie ma najmniejsze punkty, oznacza to, że w danym segmencie rośnie lub maleje. Zatem najmniejszą wartość należy obliczyć na skończonych odcinkach funkcji.
We wszystkich pozostałych przypadkach wartość funkcji obliczana jest według zadanego algorytmu. W każdym punkcie algorytmu będziesz musiał rozwiązać proste zadanie równanie liniowe z jednym korzeniem. Aby uniknąć błędów, rozwiąż równanie za pomocą obrazka.
Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji w segmencie półotwartym? W okresie półotwartym lub otwartym funkcji należy znaleźć najmniejszą wartość w następujący sposób. W punktach końcowych wartości funkcji oblicz jednostronną granicę funkcji. Inaczej mówiąc, rozwiąż równanie, w którym punkty tendencji są dane przez wartości a+0 i b+0, gdzie a i b to nazwy punkt krytyczny.
Teraz wiesz, jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji. Najważniejsze jest, aby wszystkie obliczenia wykonać poprawnie, dokładnie i bez błędów.
W tym artykule omówię, jak zastosować umiejętność znajdowania do badania funkcji: znaleźć jej największą lub najmniejszą wartość. A następnie rozwiążemy kilka problemów z Zadania B15 z Otwarty Bank zadania dla.
Jak zwykle, najpierw przypomnijmy sobie teorię.
Na początku każdego badania funkcji znajdujemy ją
Aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji, należy sprawdzić, w jakich przedziałach funkcja rośnie, a w jakich maleje.
Aby to zrobić, musimy znaleźć pochodną funkcji i zbadać jej przedziały stałego znaku, czyli przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak.
Przedziały, w których pochodna funkcji jest dodatnia, są przedziałami funkcji rosnącej.
Przedziały, w których pochodna funkcji jest ujemna, to przedziały funkcji malejącej.
1. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245184)
Aby go rozwiązać, zastosujemy następujący algorytm:
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania wyjaśniam w VIDEO TUTORIALE:
Twoja przeglądarka prawdopodobnie nie jest obsługiwana. Aby skorzystać z trainera” Godzina egzaminu jednolitego stanu", spróbuj pobrać Firefoksa
2. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 282862)
Znajdź największą wartość funkcji na segmencie
Jest oczywiste, że funkcja przyjmuje największą wartość na odcinku w punkcie maksymalnym, przy x=2. Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie:
Odpowiedź: 5
3. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245180):
Znajdź największą wartość funkcji
1. tytuł="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Ponieważ zgodnie z dziedziną definicji oryginalnej funkcji title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Licznik równy zeru Na . Sprawdźmy, czy należy Funkcje ODZ. W tym celu sprawdźmy, czy warunek title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Tytuł="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
oznacza to, że punkt należy do funkcji ODZ
Zbadajmy znak pochodnej po prawej i lewej stronie punktu:
Widzimy, że funkcja przyjmuje największą wartość w punkcie . Teraz znajdźmy wartość funkcji w:
Uwaga 1. Należy zauważyć, że w tym zadaniu nie znaleźliśmy dziedziny definicji funkcji: ustaliliśmy jedynie ograniczenia i sprawdziliśmy, czy punkt, w którym pochodna jest równa zeru, należy do dziedziny definicji funkcji. To okazało się wystarczające do tego zadania. Jednak nie zawsze tak jest. To zależy od zadania.
Uwaga 2. Podczas badania zachowania złożona funkcja możesz skorzystać z tej reguły:
jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej rośnie, wówczas funkcja przyjmuje największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna przyjmuje największą wartość. Wynika to z definicji funkcji rosnącej: funkcja rośnie na przedziale I, jeśli większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.
jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej maleje, to funkcja ta przyjmuje największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna przyjmuje najmniejszą wartość . Wynika to z definicji funkcji malejącej: funkcja maleje na przedziale I, jeśli większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji
W naszym przykładzie funkcja zewnętrzna rośnie w całym obszarze definicji. Pod znakiem logarytmu znajduje się wyrażenie - trójmian kwadratowy, który przy ujemnym współczynniku wiodącym przyjmuje w tym punkcie największą wartość . Następnie podstawiamy tę wartość x do równania funkcji i znajdź jego największą wartość.
Standardowy algorytm rozwiązywania takich problemów polega po znalezieniu zer funkcji na wyznaczeniu znaków pochodnej na przedziałach. Następnie obliczenie wartości w znalezionych punktach maksymalnych (lub minimalnych) i na granicy przedziału, w zależności od tego, jakie pytanie znajduje się w warunku.
Radzę ci zrobić wszystko trochę inaczej. Dlaczego? Pisałem o tym.
Proponuję rozwiązać takie problemy w następujący sposób:
1. Znajdź pochodną. 2. Znajdź zera pochodnej. 3. Określ, które z nich należą ten interwał. 4. Obliczamy wartości funkcji na granicach przedziału i punktach kroku 3. 5. Wyciągamy wniosek (odpowiadamy na zadane pytanie).
Przy rozwiązywaniu przedstawionych przykładów rozwiązanie nie było szczegółowo rozważane równania kwadratowe, musisz być w stanie to zrobić. Oni też powinni wiedzieć.
Spójrzmy na przykłady:
77422. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 –3x+4 na odcinku [–2;0].
Znajdźmy zera pochodnej:
Punkt x = –1 należy do przedziału określonego w warunku.
Obliczamy wartości funkcji w punktach –2, –1 i 0:
Największą wartością funkcji jest 6.
Odpowiedź: 6
77425. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 3x 2 + 2 na odcinku.
Punkt x = 2 należy do przedziału określonego w warunku.
Obliczamy wartości funkcji w punktach 1, 2 i 4:
Najmniejsza wartość funkcji to –2.
Odpowiedź: –2
77426. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 – 6x 2 na odcinku [–3;3].
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
Znajdźmy zera pochodnej:
Przedział określony w warunku zawiera punkt x = 0.
Obliczamy wartości funkcji w punktach –3, 0 i 3:
Najmniejsza wartość funkcji wynosi 0.
Odpowiedź: 0
77429. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 2x 2 + x +3 na odcinku.
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Otrzymujemy pierwiastki: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Przedział określony w warunku zawiera tylko x = 1.
Znajdźmy wartości funkcji w punktach 1 i 4:
Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji wynosi 3.
Odpowiedź: 3
77430. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na odcinku [– 4; -1].
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Zdobądźmy korzenie:
Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = –1.
Wartości funkcji znajdujemy w punktach –4, –1, –1/3 i 1:
Ustaliliśmy, że największą wartością funkcji jest 3.
Odpowiedź: 3
77433. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – x 2 – 40x +3 na odcinku.
Znajdźmy pochodną danej funkcji:
Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Zdobądźmy korzenie:
Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = 4.
Znajdź wartości funkcji w punktach 0 i 4:
Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji to –109.
Odpowiedź: –109
Rozważmy sposób określenia największych i najmniejszych wartości funkcji bez pochodnej. Jeśli tak, możesz zastosować to podejście duże problemy. Zasada jest prosta – podstawiamy do funkcji wszystkie wartości całkowite z przedziału (fakt jest taki, że we wszystkich takich prototypach odpowiedzią jest liczba całkowita).
77437. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=7+12x–x 3 na odcinku [–2;2].
Zastąp punkty od –2 do 2:
Zobacz rozwiązanie
77434. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na odcinku [–2;0].
To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Stwierdzenie problemu 2:
Dana funkcja jest zdefiniowana i ciągła w pewnym przedziale. Musisz znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w tym przedziale.
Jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale zamkniętym, to w tym przedziale osiąga swoje wartości maksymalne i minimalne.
Funkcja może osiągnąć swoje największe i najmniejsze wartości albo przez punkty wewnętrzne szczelinę lub na jej granicach. Zilustrujmy wszystkie możliwe opcje.
Wyjaśnienie: 1) Funkcja osiąga największą wartość na lewej granicy przedziału w punkcie , a minimalną wartość na prawej granicy przedziału w punkcie . 2) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie (jest to punkt maksymalny), a wartość minimalną na prawej granicy przedziału w tym punkcie. 3) Funkcja osiąga wartość maksymalną na lewej granicy przedziału w punkcie , a wartość minimalną w punkcie (jest to punkt minimalny). 4) Funkcja jest stała na przedziale, tj. osiąga wartości minimalne i maksymalne w dowolnym punkcie przedziału, a wartości minimalne i maksymalne są sobie równe. 5) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie , a minimalną w punkcie (mimo że funkcja ma w tym przedziale zarówno maksimum, jak i minimum). 6) Funkcja osiąga w punkcie największą wartość (jest to punkt maksymalny), a w punkcie minimalną (jest to punkt minimalny). Komentarz:
„Maksymalna” i „maksymalna wartość” to różne rzeczy. Wynika to z definicji maksimum i intuicyjnego rozumienia pojęcia „wartość maksymalna”.
Algorytm rozwiązania zadania 2.
4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.
Przykład 4:
Określ największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie. Rozwiązanie: 1) Znajdź pochodną funkcji. 2) Znajdź punkty stacjonarne (i punkty podejrzane o ekstremum), rozwiązując równanie. Zwróć uwagę na punkty, w których nie ma dwustronnej skończonej pochodnej. 3) Oblicz wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na granicach przedziału.
4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.
Funkcja na tym odcinku osiąga największą wartość w punkcie o współrzędnych .
Funkcja na tym odcinku osiąga wartość minimalną w punkcie o współrzędnych .
Poprawność obliczeń możesz sprawdzić, patrząc na wykres badanej funkcji.
Komentarz: Funkcja osiąga największą wartość w punkcie maksymalnym, a minimalną na granicy odcinka.
Specjalny przypadek.
Załóżmy, że musimy znaleźć maksimum i minimalna wartość jakaś funkcja w przedziale. Po wykonaniu pierwszego punktu algorytmu, tj. obliczeniu instrumentów pochodnych, staje się jasne, że wystarczy np wartości ujemne w całym rozpatrywanym segmencie. Pamiętaj, że jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Stwierdziliśmy, że funkcja maleje na całym odcinku. Sytuację tę przedstawia wykres nr 1 na początku artykułu.
Funkcja maleje na odcinku, tj. nie ma ekstremów. Z rysunku widać, że funkcja będzie przyjmować najmniejszą wartość po prawej stronie odcinka, a największą po lewej stronie. jeśli pochodna odcinka jest wszędzie dodatnia, to funkcja rośnie. Najmniejsza wartość znajduje się na lewej krawędzi segmentu, największa po prawej stronie.
W praktyce dość często stosuje się pochodną do obliczenia największej i najmniejszej wartości funkcji. Czynność tę wykonujemy wtedy, gdy wiemy, jak zminimalizować koszty, zwiększyć zyski, obliczyć optymalne obciążenie produkcji itp., czyli w przypadkach, gdy musimy określić optymalną wartość parametru. Aby poprawnie rozwiązać takie problemy, musisz dobrze rozumieć, jakie są największe i najmniejsze wartości funkcji.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Zazwyczaj wartości te definiujemy w pewnym przedziale x, który z kolei może odpowiadać całej dziedzinie funkcji lub jej części. Może to być jak segment [a; b ] i przedział otwarty (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), przedział nieskończony (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) lub przedział nieskończony - ∞ ; za , (- ∞ ; za ] , [ za ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
W tym materiale podpowiemy jak obliczyć największą i najmniejszą wartość jawnie określonej funkcji z jedną zmienną y=f(x) y = f (x).
Podstawowe definicje
Zacznijmy, jak zawsze, od sformułowania podstawowych definicji.
Definicja 1
Największą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m a x y = f (x 0) x ∈ X, co dla dowolnej wartości x x ∈ X, x ≠ x 0 tworzy nierówność f (x) ≤ f (x) ważne 0) .
Definicja 2
Najmniejszą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m i n x ∈ X y = f (x 0) , co dla dowolnej wartości x ∈ X, x ≠ x 0 daje nierówność f(X f (x) ≥ fa (x 0) .
Definicje te są dość oczywiste. Jeszcze prościej możemy powiedzieć tak: największa wartość funkcji to jej największa wartość bardzo ważne w znanym przedziale przy odciętej x 0, a najmniejsza jest najmniejszą akceptowaną wartością w tym samym przedziale przy x 0.
Definicja 3
Punkty stacjonarne to te wartości argumentu funkcji, przy których jej pochodna przyjmuje wartość 0.
Dlaczego musimy wiedzieć, jakie są punkty stacjonarne? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy pamiętać o twierdzeniu Fermata. Wynika z tego, że punktem stacjonarnym jest punkt, w którym znajduje się ekstremum funkcji różniczkowalnej (czyli jej lokalne minimum lub maksimum). W rezultacie funkcja przyjmie najmniejszą lub największą wartość w określonym przedziale dokładnie w jednym z punktów stacjonarnych.
Funkcja może także przyjmować największą lub najmniejszą wartość w tych punktach, w których sama funkcja jest zdefiniowana, a jej pierwsza pochodna nie istnieje.
Pierwsze pytanie, które pojawia się podczas studiowania tego tematu: czy we wszystkich przypadkach możemy wyznaczyć największą lub najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale? Nie, nie możemy tego zrobić, gdy granice danego przedziału pokrywają się z granicami obszaru definicyjnego lub jeśli mamy do czynienia z przedziałem nieskończonym. Zdarza się również, że funkcja w danym segmencie lub w nieskończoności będzie przyjmować nieskończenie małą lub nieskończoną duże wartości. W takich przypadkach nie jest możliwe określenie największej i/lub najmniejszej wartości.
Punkty te staną się wyraźniejsze po przedstawieniu ich na wykresach:
Pierwszy rysunek pokazuje nam funkcję, która przyjmuje największe i najmniejsze wartości (m a x y i m i n y) w stacjonarnych punktach znajdujących się na odcinku [ - 6 ; 6].
Rozpatrzmy szczegółowo przypadek wskazany na drugim wykresie. Zmieńmy wartość segmentu na [ 1 ; 6 ] i stwierdzamy, że największą wartość funkcji uzyskamy w punkcie, w którym odcięta znajduje się na prawej granicy przedziału, a najmniejszą w nieruchomy punkt.
Na trzecim rysunku odcięte punktów reprezentują punkty graniczne odcinka [ - 3 ; 2]. Odpowiadają one największej i najmniejszej wartości danej funkcji.
Spójrzmy teraz na czwarty obrazek. W nim funkcja przyjmuje m a x y (największą wartość) i m i n y (najmniejszą wartość) w stacjonarnych punktach na przerwa otwarta (- 6 ; 6) .
Jeśli weźmiemy przedział [ 1 ; 6), to można powiedzieć, że najmniejsza wartość funkcji na niej zostanie osiągnięta w punkcie stacjonarnym. Największa wartość będzie nam nieznana. Funkcja może przyjąć maksymalną wartość przy x równym 6, jeśli x = 6 należy do przedziału. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na wykresie 5.
Na wykresie 6 najniższa wartość tę funkcję przyjmuje na prawej granicy przedziału (- 3; 2 ] i nie możemy wyciągać jednoznacznych wniosków o największej wartości.
Na rysunku 7 widzimy, że funkcja będzie miała m a x y w stacjonarnym punkcie mającym odciętą równą 1. Funkcja osiągnie wartość minimalną na granicy przedziału c prawa strona. Przy minus nieskończoności wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do y = 3.
Jeśli weźmiemy przedział x ∈ 2 ; + ∞ , to zobaczymy, że dana funkcja nie przyjmie na sobie ani najmniejszej, ani największej wartości. Jeśli x dąży do 2, wówczas wartości funkcji będą dążyć do minus nieskończoności, ponieważ linia prosta x = 2 jest asymptotą pionową. Jeśli odcięta dąży do plus nieskończoności, wówczas wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do y = 3. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na rysunku 8.
W tym akapicie przedstawimy sekwencję czynności, które należy wykonać, aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji na danym odcinku.
Najpierw znajdźmy dziedzinę definicji funkcji. Sprawdźmy, czy segment określony w warunku jest w nim zawarty.
Obliczmy teraz punkty zawarte w tym odcinku, w których nie istnieje pierwsza pochodna. Najczęściej można je spotkać w funkcjach, których argument zapisany jest pod znakiem modułu, lub w funkcje mocy, którego wykładnik jest liczbą ułamkową wymierną.
Następnie dowiedzmy się, do których punktów stacjonarnych należą dany segment. Aby to zrobić, należy obliczyć pochodną funkcji, następnie przyrównać ją do 0 i rozwiązać powstałe równanie, a następnie wybrać odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie otrzymamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w danym segmencie, to przechodzimy do kolejnego kroku.
Ustalamy, jakie wartości funkcja będzie przyjmować w danych punktach stacjonarnych (jeśli takie istnieją) lub w tych punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli istnieją), lub obliczamy wartości dla x = a i x = b.
5. Mamy pewną liczbę wartości funkcji, spośród których musimy teraz wybrać największą i najmniejszą. Będą to największe i najmniejsze wartości funkcji, które musimy znaleźć.
Zobaczmy, jak poprawnie zastosować ten algorytm przy rozwiązywaniu problemów.
Przykład 1
Stan : schorzenie: podana jest funkcja y = x 3 + 4 x 2. Określ jego największą i najmniejszą wartość na segmentach [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .
Rozwiązanie:
Zacznijmy od znalezienia dziedziny definicji danej funkcji. W tym przypadku będzie to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0. Inaczej mówiąc, D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenty określone w warunku będą znajdować się w obszarze definicji.
Teraz obliczamy pochodną funkcji zgodnie z zasadą różniczkowania ułamków:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Dowiedzieliśmy się, że pochodna funkcji będzie istniała we wszystkich punktach odcinków [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .
Teraz musimy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji. Zróbmy to za pomocą równania x 3 - 8 x 3 = 0. Ma tylko jedno prawdziwy korzeń, równe 2. Będzie to punkt stacjonarny funkcji i będzie wpadał w pierwszy segment [1; 4] .
Obliczmy wartości funkcji na końcach pierwszego odcinka i w tym punkcie, tj. dla x = 1, x = 2 i x = 4:
Ustaliliśmy, że największą wartością funkcji jest m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 zostanie osiągnięte przy x = 1, a najmniejsze m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – przy x = 2.
Drugi odcinek nie zawiera ani jednego punktu stacjonarnego, dlatego wartości funkcji musimy obliczyć tylko na końcach danego odcinka:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Oznacza to m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Odpowiedź: Dla segmentu [ 1 ; 4 ] - m za x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ja n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , dla odcinka [ - 4 ; - 1 ] - m za x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Widzieć zdjęcie:
Zanim zaczniesz się uczyć Ta metoda, radzimy zapoznać się z prawidłowym obliczaniem granicy jednostronnej i granicy w nieskończoności, a także poznać podstawowe metody ich znajdowania. Aby znaleźć największą i/lub najmniejszą wartość funkcji w przedziale otwartym lub nieskończonym, wykonaj kolejno poniższe kroki.
Najpierw należy sprawdzić, czy dany przedział będzie podzbiorem dziedziny danej funkcji.
Wyznaczmy wszystkie punkty, które mieszczą się w wymaganym przedziale i w których pierwsza pochodna nie istnieje. Występują zazwyczaj w funkcjach, gdzie argument jest zawarty w znaku modułu oraz w funkcjach potęgowych z ułamkiem ułamkowym racjonalny wskaźnik. Jeśli brakuje tych punktów, możesz przejść do następnego kroku.
Ustalmy teraz, które punkty stacjonarne będą mieścić się w zadanym przedziale. Najpierw przyrównujemy pochodną do 0, rozwiązujemy równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie mamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w określonym przedziale, to od razu przystępujemy do dalszych działań. Są one określone przez rodzaj interwału.
Jeśli przedział ma postać [ a ; b) , to musimy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = a i jednostronnie ogranicz limit x → b - 0 fa (x) .
Jeżeli przedział ma postać (a; b ], to należy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = b i jednostronną granicę lim x → a + 0 f (x).
Jeśli przedział ma postać (a; b), to musimy obliczyć jednostronne granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jeśli przedział ma postać [ a ; + ∞), to musimy obliczyć wartość w punkcie x = a i granicę w plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) .
Jeśli przedział wygląda tak (- ∞ ; b ] , obliczamy wartość w punkcie x = b i granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x) .
Jeśli - ∞ ; b , wówczas rozważamy jednostronną granicę lim x → b - 0 f (x) i granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x)
Jeśli - ∞; + ∞ , wówczas rozważamy granice minus i plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
Na koniec należy wyciągnąć wniosek na podstawie uzyskanych wartości funkcji i granic. Dostępnych jest tutaj wiele opcji. Jeśli więc jednostronna granica jest równa minus nieskończoność lub plus nieskończoność, od razu staje się jasne, że o najmniejszych i największych wartościach funkcji nie można powiedzieć nic. Poniżej przyjrzymy się jednemu typowemu przykładowi. Szczegółowe opisy pomoże ci zrozumieć, co jest co. W razie potrzeby możesz powrócić do rysunków 4 – 8 w pierwszej części materiału.
Przykład 2
Warunek: dana funkcja y = 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 . Oblicz jego największą i najmniejszą wartość w przedziałach - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [ 4 ; + ∞) .
Rozwiązanie
Najpierw znajdujemy dziedzinę definicji funkcji. W mianowniku ułamka znajduje się trójmian kwadratowy, który nie powinien wynosić 0:
x 2 + x - 6 = 0 re = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ re (y): x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Otrzymaliśmy dziedzinę definicji funkcji, do której należą wszystkie przedziały określone w warunku.
Teraz różniczkujemy funkcję i otrzymujemy:
y" = 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 mi 1 x 2 + x - 6 " = 3 mi 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · mi 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
W konsekwencji pochodne funkcji istnieją w całym jej obszarze definicji.
Przejdźmy do znajdowania punktów stacjonarnych. Pochodna funkcji przyjmuje wartość 0 przy x = - 1 2 . Jest to punkt stacjonarny leżący w przedziałach (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2).
Obliczmy wartość funkcji przy x = - 4 dla przedziału (- ∞ ; - 4 ], a także granicę przy minus nieskończoności:
y (- 4) = 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1
Ponieważ 3 e 1 6 - 4 > - 1 oznacza to, że m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Nie pozwala nam to jednoznacznie określić najmniejszej wartości Możemy jedynie stwierdzić, że istnieje ograniczenie poniżej - 1, ponieważ właśnie do tej wartości funkcja zbliża się asymptotycznie w minus nieskończoności.
Osobliwością drugiego przedziału jest to, że nie ma w nim ani jednego punktu stacjonarnego ani jednej ścisłej granicy. W rezultacie nie będziemy w stanie obliczyć ani największej, ani najmniejszej wartości funkcji. Po zdefiniowaniu granicy przy minus nieskończoności i jak argument zmierza do - 3 po lewej stronie, otrzymujemy jedynie przedział wartości:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 mi 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1
Oznacza to, że wartości funkcji będą znajdować się w przedziale - 1; +∞
Aby znaleźć największą wartość funkcji w trzecim przedziale, wyznaczamy jej wartość w punkcie stacjonarnym x = - 1 2 jeśli x = 1. Będziemy także musieli znać jednostronną granicę dla przypadku, gdy argument zmierza do - 3 po prawej stronie:
y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Okazało się, że funkcja przyjmie największą wartość w punkcie stacjonarnym m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Co do najmniejszej wartości, to nie jesteśmy w stanie jej określić. Wszystko wiemy , oznacza obecność dolnej granicy do -4.
Dla przedziału (- 3 ; 2) weź wyniki poprzednich obliczeń i jeszcze raz oblicz, ile wynosi jednostronna granica przy dążeniu do 2 po lewej stronie:
y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 - 0 - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Oznacza to, że m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmniejszej wartości nie można wyznaczyć, a wartości funkcji ograniczone są od dołu liczbą - 4 .
Bazując na tym, co otrzymaliśmy w dwóch poprzednich obliczeniach, możemy powiedzieć, że na przedziale [ 1 ; 2) funkcja przyjmie największą wartość przy x = 1, ale najmniejszej nie da się znaleźć.
Na przedziale (2 ; + ∞) funkcja nie osiągnie ani największej, ani najmniejszej wartości, tj. będzie przyjmować wartości z przedziału - 1; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1
Po obliczeniu, jaka będzie wartość funkcji przy x = 4, dowiadujemy się, że m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a dana funkcja w plus nieskończoności będzie asymptotycznie zbliżać się do prostej y = - 1 .
Porównajmy to, co otrzymaliśmy w każdym obliczeniu, z wykresem danej funkcji. Na rysunku asymptoty zaznaczono liniami przerywanymi.
To wszystko, co chcieliśmy powiedzieć o znajdowaniu największych i najmniejszych wartości funkcji. Podane przez nas sekwencje działań pomogą Ci dokonać niezbędnych obliczeń tak szybko i prosto, jak to możliwe. Pamiętaj jednak, że często warto najpierw dowiedzieć się, w jakich odstępach funkcja będzie się zmniejszać, a w jakich będzie rosnąć, po czym będziesz mógł wyciągnąć dalsze wnioski. W ten sposób można dokładniej określić największe i najmniejsze wartości funkcji oraz uzasadnić uzyskane wyniki.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
na segmencie
. Następnie podstawiamy tę wartość x do równania funkcji 
na segmencie. 
