Jak rozwiązuje się nierówności. Rozwiązywanie nierówności liniowych

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało „nierówność kwadratowa”? Bez dwóch zdań!) Jeśli weźmiesz każdy równanie kwadratowe i zamień w nim znak "=" (równy) dowolnemu znakowi nierówności ( > ≥ < ≤ ≠ ), otrzymujemy nierówność kwadratową. Na przykład:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Cóż, rozumiesz...)

Nie bez powodu połączyłem tutaj równania i nierówności. Chodzi o to, że jest to pierwszy krok do rozwiązania każdy nierówność kwadratowa - rozwiązać równanie, z którego wynika ta nierówność. Z tego powodu – niemożność podjęcia decyzji równania kwadratowe automatycznie prowadzi do całkowitego zniszczenia nierówności. Czy wskazówka jest jasna?) Jeśli już, spójrz, jak rozwiązać dowolne równania kwadratowe. Wszystko jest tam szczegółowo opisane. Na tej lekcji zajmiemy się nierównościami.

Gotowa do rozwiązania nierówność ma postać: po lewej stronie znajduje się trójmian kwadratowy topór 2 +bx+c, po prawej - zero. Znak nierówności może być absolutnie dowolny. Pierwsze dwa przykłady znajdziesz tutaj są już gotowi podjąć decyzję. Trzeci przykład nadal wymaga przygotowania.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Na przykład nierówność jest wyrażeniem \(x>5\).

Rodzaje nierówności:

Jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami lub , to nazywamy nierówność liczbowy. Właściwie to po prostu porównanie dwóch liczb. Takie nierówności dzielą się na wierny I niewierny.

Na przykład:
\(-5<2\) - верное nierówność liczbowa, ponieważ \(-5\) jest w rzeczywistości mniejsze niż \(2\);

\(17+3\geq 115\) jest niepoprawną nierównością liczbową, ponieważ \(17+3=20\), a \(20\) jest mniejsze niż \(115\) (i nie większe lub równe) .


Jeśli \(a\) i \(b\) są wyrażeniami zawierającymi zmienną, to mamy nierówność ze zmienną. Nierówności takie dzielimy na typy w zależności od treści:

\(2x+1\geq4(5-x)\)

Zmienna tylko do pierwszej potęgi

\(3x^2-x+5>0\)

W drugiej potędze (kwadracie) jest zmienna, ale nie ma wyższych potęg (trzeciej, czwartej itd.)

\(\log_(4)((x+1))<3\)

\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)
... i tak dalej.

Jakie jest rozwiązanie nierówności?

Jeśli zamiast zmiennej zastąpisz nierówność liczbą, zamieni się ona w nierówność numeryczną.

Jeśli dana wartość x zamienia pierwotną nierówność w prawdziwą nierówność liczbową, wówczas nazywa się to rozwiązanie nierówności. Jeśli nie, to ta wartość nie jest rozwiązaniem. I do rozwiązać nierówność– musisz znaleźć wszystkie jego rozwiązania (lub pokazać, że ich nie ma).

Na przykład, jeśli podstawimy liczbę \(7\) do nierówności liniowej \(x+6>10\), otrzymamy poprawną nierówność liczbową: \(13>10\). A jeśli podstawimy \(2\), otrzymamy niepoprawną nierówność liczbową \(8>10\). Oznacza to, że \(7\) jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności, ale \(2\) nim nie jest.

Jednak nierówność \(x+6>10\) ma inne rozwiązania. Rzeczywiście, otrzymamy prawidłowe nierówności numeryczne, podstawiając \(5\), i \(12\), i \(138\)... I jak możemy znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania? W tym celu używają W naszym przypadku mamy:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Oznacza to, że będzie nam odpowiadać każda liczba większa niż cztery. Teraz musisz zapisać odpowiedź. Rozwiązania nierówności zapisuje się najczęściej cyfrowo, dodatkowo zaznaczając je na osi liczbowej cieniowaniem. Dla naszego przypadku mamy:

Odpowiedź: \(x\in(4;+\infty)\)

Kiedy zmienia się znak nierówności?

W nierównościach kryje się jedna wielka pułapka, w którą uczniowie naprawdę „uwielbiają” wpadać:

Kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną, zostaje ona odwrócona („więcej” przez „mniej”, „więcej lub równa” przez „mniejsze lub równe” itd.)

Dlaczego to się dzieje? Aby to zrozumieć, spójrzmy na przekształcenia nierówności numerycznej \(3>1\). To prawda, rzeczywiście trzy więcej niż jeden. Najpierw spróbujmy pomnożyć to przez dowolny Liczba dodatnia na przykład dwa:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Jak widać po pomnożeniu nierówność pozostaje prawdziwa. I bez względu na to, przez jaką liczbę dodatnią pomnożymy, zawsze otrzymamy prawdziwa nierówność. Spróbujmy teraz pomnożyć przez liczba ujemna na przykład minus trzy:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatem jest niepoprawna nierówność, ponieważ minus dziewięć jest mniejsze niż minus trzy! Oznacza to, że aby nierówność stała się prawdziwa (a zatem przekształcenie mnożenia przez liczbę ujemną było „legalne”), należy odwrócić znak porównania w następujący sposób: \(−9<− 3\).
Z podziałem wyjdzie to tak samo, możesz to sprawdzić sam.

Zasada napisana powyżej dotyczy wszystkich typów nierówności, nie tylko liczbowych.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(2(x+1)-1<7+8x\)
Rozwiązanie:

\(2x+2-1<7+8x\)

Przesuńmy \(8x\) w lewo, a \(2\) i \(-1\) w prawo, nie zapominając o zmianie znaków

\(2x-8x<7-2+1\)

\(-6x<6\) \(|:(-6)\)

Podzielmy obie strony nierówności przez \(-6\), nie zapominając o zmianie z „mniej” na „więcej”

Zaznaczmy na osi przedział liczbowy. Nierówność, dlatego „wybijamy” samą wartość \(-1\) i nie bierzemy jej jako odpowiedzi

Zapiszmy odpowiedź jako przedział

Odpowiedź: \(x\in(-1;\infty)\)

Nierówności i niepełnosprawność

Nierówności, podobnie jak równania, mogą mieć ograniczenia co do wartości x. W związku z tym z zakresu rozwiązań należy wyłączyć te wartości, które zdaniem DZ są niedopuszczalne.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(\sqrt(x+1)<3\)

Rozwiązanie: Jasne jest, że aby lewa strona była mniejsza niż \(3\), wyrażenie radykalne musi być mniejsze niż \(9\) (w końcu z \(9\) tylko \(3\)). Otrzymujemy:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Wszystko? Dowolna wartość x mniejsza niż \(8\) będzie nam odpowiadać? NIE! Bo jeśli przyjmiemy np. wartość \(-5\), która wydaje się spełniać warunek, to nie będzie to rozwiązanie pierwotnej nierówności, gdyż doprowadzi nas to do obliczenia pierwiastka z liczby ujemnej.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Dlatego też musimy wziąć pod uwagę ograniczenia dotyczące wartości X – nie może być tak, że pod pierwiastkiem znajduje się liczba ujemna. Zatem mamy drugi warunek dla x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A żeby x było rozwiązaniem ostatecznym, musi spełniać oba wymagania na raz: musi być mniejsze od \(8\) (aby było rozwiązaniem) i większe od \(-1\) (aby było w zasadzie dopuszczalne). Wykreślając to na osi liczbowej, mamy ostateczną odpowiedź:

Odpowiedź: \(\lewo[-1;8\prawo)\)

Już od czasów starożytnych konieczne było porównywanie ilości i ilości przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. Jednocześnie pojawiły się słowa takie jak coraz mniej, wyżej i niżej, lżej i ciężej, ciszej i głośniej, taniej i drożej itp., oznaczające wyniki porównywania jednorodnych wielkości.

Pojęcia więcej i mniej powstały w związku z liczeniem obiektów, mierzeniem i porównywaniem ilości. Na przykład matematycy starożytnej Grecji wiedzieli, że bok dowolnego trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków i że większy bok leży naprzeciw większego kąta w trójkącie. Archimedes, obliczając obwód, ustalił, że obwód dowolnego koła jest równy trzykrotności średnicy z nadmiarem mniejszym niż jedna siódma średnicy, ale większym niż dziesięć siedemdziesiąt razy średnicy.

Zapisz symbolicznie relacje między liczbami i wielkościami, używając znaków > i b. Zapisy, w których dwie liczby są połączone jednym ze znaków: > (większy niż), Z nierównościami liczbowymi spotkałeś się także w klasach niższych. Wiesz, że nierówności mogą być prawdziwe lub fałszywe. Na przykład \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) jest poprawną nierównością numeryczną, 0,23 > 0,235 jest niepoprawną nierównością liczbową.

Nierówności z niewiadomymi mogą być prawdziwe dla niektórych wartości niewiadomych i fałszywe dla innych. Na przykład nierówność 2x+1>5 jest prawdziwa dla x = 3, ale fałszywa dla x = -3. W przypadku nierówności z jedną niewiadomą możesz ustawić zadanie: rozwiązać nierówność. Problemy rozwiązywania nierówności w praktyce stawiane są i rozwiązywane nie rzadziej niż problemy rozwiązywania równań. Na przykład wiele problemów ekonomicznych sprowadza się do badania i rozwiązywania systemów nierówności liniowych. W wielu gałęziach matematyki nierówności są częstsze niż równania.

Niektóre nierówności służą jako jedyny pomocniczy sposób udowodnienia lub obalenia istnienia określonego obiektu, na przykład pierwiastka równania.

Nierówności numeryczne

Można porównywać liczby całkowite i ułamki dziesiętne. Zna zasady porównywania ułamków zwykłych o tych samych mianownikach, ale różnych licznikach; o tych samych licznikach, ale różnych mianownikach. Tutaj dowiesz się, jak porównać dwie dowolne liczby, znajdując znak ich różnicy.

Porównywanie liczb jest szeroko stosowane w praktyce. Na przykład ekonomista porównuje zaplanowane wskaźniki z rzeczywistymi, lekarz porównuje temperaturę pacjenta z normalną, tokarz porównuje wymiary obrabianej części ze standardem. We wszystkich takich przypadkach niektóre liczby są porównywane. W wyniku porównywania liczb powstają nierówności numeryczne.

Definicja. Liczba a jest większa od liczby b, jeśli różnica a-b jest dodatnia. Liczba a jest mniejsza niż liczba b, jeśli różnica a-b jest ujemna.

Jeżeli a jest większe od b, to piszą: a > b; jeśli a jest mniejsze od b, to piszą: a Zatem nierówność a > b oznacza, że ​​różnica a - b jest dodatnia, tj. a - b > 0. Nierówność a Dla dowolnych dwóch liczb aib, z trzech poniższych relacji a > b, a = b, a Porównanie liczb aib oznacza sprawdzenie, który ze znaków >, = lub Twierdzenie. Jeśli a > b i b > c, to a > c.

Twierdzenie. Jeśli do obu stron nierówności dodamy tę samą liczbę, znak nierówności nie ulegnie zmianie.
Konsekwencja. Każdy wyraz można przenieść z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając znak tego wyrazu na przeciwny.

Twierdzenie. Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy przez tę samą liczbę dodatnią, to znak nierówności nie ulegnie zmianie. Jeśli obie strony nierówności zostaną pomnożone przez tę samą liczbę ujemną, wówczas znak nierówności zmieni się na przeciwny.
Konsekwencja. Jeśli obie strony nierówności podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, to znak nierówności nie ulegnie zmianie. Jeżeli obie strony nierówności podzielimy przez tę samą liczbę ujemną, wówczas znak nierówności zmieni się na przeciwny.

Wiesz to równości numeryczne Możesz dodawać i mnożyć wyraz po wyrazie. Następnie dowiesz się, jak wykonywać podobne działania z nierównościami. W praktyce często wykorzystuje się umiejętność dodawania i mnożenia nierówności wyraz po wyrazie. Działania te pomagają rozwiązać problemy oceny i porównania znaczeń wyrażeń.

Decydując różne zadania Często trzeba dodać lub pomnożyć lewą i prawą stronę nierówności wyraz po wyrazie. Jednocześnie czasami mówi się, że nierówności sumują się lub mnożą. Przykładowo, jeśli turysta pierwszego dnia przeszedł ponad 20 km, a drugiego ponad 25 km, to można powiedzieć, że w ciągu dwóch dni przeszedł ponad 45 km. Podobnie, jeśli długość prostokąta jest mniejsza niż 13 cm, a szerokość mniejsza niż 5 cm, to możemy powiedzieć, że pole tego prostokąta jest mniejsze niż 65 cm2.

Rozważając te przykłady, wykorzystano następujące przykłady: twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu nierówności:

Twierdzenie. Dodając nierówności tego samego znaku, otrzymujemy nierówność tego samego znaku: jeśli a > b i c > d, to a + c > b + d.

Twierdzenie. Mnożąc nierówności tego samego znaku, którego lewa i prawa strona są dodatnie, otrzymujemy nierówność tego samego znaku: jeśli a > b, c > d oraz a, b, c, d są liczbami dodatnimi, to ac > bd.

Nierówności ze znakiem > (większe niż) i 1/2, 3/4 b, c Wraz ze znakami ścisłe nierówności> i W ten sam sposób nierówność \(a \geq b \) oznacza, że ​​liczba a jest większa lub równa b, to znaczy a jest nie mniejsze niż b.

Nierówności zawierające znak \(\geq \) lub \(\leq \) nazywane są nieścisłymi. Na przykład \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nie są nierównościami ścisłymi.

Wszystkie właściwości nierówności ścisłych obowiązują również w przypadku nierówności nieścisłych. Co więcej, jeśli dla ostrych nierówności znaki > uznano za przeciwne i wiadomo, że należy rozwiązać szereg stosowane problemy musisz stworzyć model matematyczny w postaci równania lub układu równań. Następnie dowiesz się, że modele matematyczne służące do rozwiązywania wielu problemów to nierówności z niewiadomymi. Wprowadzimy koncepcję rozwiązywania nierówności i pokażemy, jak sprawdzić, czy podany numer rozwiązanie określonej nierówności.

Nierówności formy
\(ax > b, \quad ax, w którym znajdują się a i b podane liczby, a x jest nieznane, nazywa się nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

Definicja. Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której nierówność ta staje się prawdziwą nierównością liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich jej rozwiązań lub stwierdzeniu, że ich nie ma.

Rozwiązałeś równania, sprowadzając je do najprostszych równań. Podobnie rozwiązując nierówności, próbuje się je sprowadzić za pomocą właściwości do postaci prostych nierówności.

Rozwiązywanie nierówności drugiego stopnia za pomocą jednej zmiennej

Nierówności formy
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a \(a \neq 0 \), zwane nierówności drugiego stopnia z jedną zmienną.

Rozwiązanie nierówności
\(ax^2+bx+c >0 \) lub \(ax^2+bx+c można uznać za znalezienie przedziałów, w których funkcja \(y= ax^2+bx+c \) przyjmuje wartość dodatnią lub ujemną wartości Aby to zrobić, wystarczy przeanalizować, jak wykres funkcji \(y= ax^2+bx+c\) leży w płaszczyźnie współrzędnych: gdzie skierowane są gałęzie paraboli - w górę czy w dół, czy parabola przecina oś x, a jeśli tak, to w jakich punktach.

Algorytm rozwiązywania nierówności drugiego stopnia z jedną zmienną:
1) znajdź dyskryminator trójmian kwadratowy\(ax^2+bx+c\) i dowiedz się, czy trójmian ma pierwiastek;
2) jeśli trójmian ma pierwiastki, to zaznaczamy je na osi x i przez zaznaczone punkty narysujemy schematyczną parabolę, której ramiona są skierowane w górę dla a > 0 lub w dół dla 0 lub w dół dla 3) znajdź przedziały na osi x, dla których parabole punktów znajdują się powyżej osi x (jeśli rozwiązują nierówność \(ax^2+bx+c >0\)) lub poniżej osi x (jeśli rozwiązują nierówność nierówność
\(ax^2+bx+c Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową

Rozważ funkcję
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb. Zerami funkcji są liczby -2, 3, 5. Dzielą one dziedzinę definicji funkcji na przedziały \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) i \( (5; +\infty)\)

Przekonajmy się, jakie są znaki tej funkcji w każdym ze wskazanych przedziałów.

Wyrażenie (x + 2)(x - 3)(x - 5) jest iloczynem trzech czynników. Znak każdego z tych czynników w rozważanych przedziałach pokazano w tabeli:

Ogólnie rzecz biorąc, niech funkcja będzie dana wzorem
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdzie x jest zmienną, a x 1, x 2, ..., x n to liczby, które nie są sobie równe. Liczby x 1 , x 2 , ..., x n są zerami funkcji. W każdym z przedziałów, na które dzieli się dziedzinę definicji przez zera funkcji, znak funkcji zostaje zachowany, a przy przejściu przez zero zmienia się jej znak.

Właściwość ta służy do rozwiązywania nierówności postaci
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdzie x 1, x 2, ..., x n są liczbami, które nie są sobie równe

Rozważana metoda rozwiązywanie nierówności nazywa się metodą przedziałową.

Podajmy przykłady rozwiązywania nierówności metodą przedziałową.

Rozwiąż nierówność:

\(x(0,5-x)(x+4) Oczywiście zera funkcji f(x) = x(0,5-x)(x+4) to punkty \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Wykreślamy zera funkcji na osi liczb i obliczamy znak na każdym przedziale:

Wybieramy te przedziały, w których funkcja jest mniejsza lub równa zero i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Nierówności i systemy nierówności są jednym z tematów poruszanych w tym artykule Liceum w algebrze. Pod względem poziomu trudności nie jest ona najtrudniejsza, gdyż ma proste zasady (więcej o nich nieco później). Z reguły uczniowie dość łatwo uczą się rozwiązywania systemów nierówności. Dzieje się tak również dlatego, że nauczyciele po prostu „trenują” swoich uczniów w tym temacie. I nie mogą tego powstrzymać, ponieważ w przyszłości będą się tego uczyć przy użyciu innych wielkości matematyczne i jest również testowany na egzaminie OGE i Unified State Exam. W podręczniki szkolne Temat nierówności i systemów nierówności jest omówiony bardzo szczegółowo, więc jeśli zamierzasz się go uczyć, najlepiej się do nich odwołać. Ten artykuł tylko przypomina duże materiały i mogą pojawić się pewne pominięcia.

Pojęcie układu nierówności

Jeśli zwrócisz się do język naukowy, wówczas możemy zdefiniować pojęcie „systemu nierówności”. Jest to model matematyczny reprezentujący kilka nierówności. Model ten oczywiście wymaga rozwiązania i będzie to ogólna odpowiedź na wszystkie nierówności układu zaproponowanego w zadaniu (zwykle jest to w nim zapisane, na przykład: „Rozwiąż układ nierówności 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6..."). Zanim jednak przejdziemy do rodzajów i metod rozwiązań, trzeba zrozumieć coś innego.

Układy nierówności i układy równań

W trakcie studiów nowy temat bardzo często powstają nieporozumienia. Z jednej strony wszystko jest jasne i chce się jak najszybciej przystąpić do rozwiązywania zadań, z drugiej strony pewne momenty pozostają w „cieniu” i nie są do końca zrozumiałe. Również pewne elementy już zdobytej wiedzy mogą zostać przeplatane z nowymi. W wyniku tego „nałożenia się” często pojawiają się błędy.

Dlatego zanim zaczniemy analizować nasz temat, powinniśmy pamiętać o różnicach między równaniami i nierównościami oraz ich układami. Aby to zrobić, musimy jeszcze raz wyjaśnić, co reprezentują dane. pojęcia matematyczne. Równanie jest zawsze równością i zawsze jest czemuś równe (w matematyce słowo to oznacza się znakiem „="). Nierówność to model, w którym jedna wartość jest większa lub mniejsza od drugiej lub zawiera stwierdzenie, że nie są one takie same. Zatem w pierwszym przypadku należy mówić o równości, a w drugim, niezależnie od tego, jak oczywiste może to brzmieć na podstawie samej nazwy, o nierówności danych początkowych. Układy równań i nierówności praktycznie nie różnią się od siebie, a metody ich rozwiązywania są takie same. Jedyna różnica polega na tym, że w pierwszym przypadku stosuje się równości, a w drugim nierówności.

Rodzaje nierówności

Istnieją dwa rodzaje nierówności: numeryczne i z nieznaną zmienną. Pierwszy typ reprezentuje podane wartości (liczby), które nie są sobie równe, np. 8 > 10. Drugi typ to nierówności zawierające nieznaną zmienną (oznaczoną jakąś literą Alfabet łaciński, najczęściej X). Trzeba znaleźć tę zmienną. W zależności od tego, ile ich jest, model matematyczny rozróżnia nierówności z jedną (tworzą one system nierówności z jedną zmienną) lub kilkoma zmiennymi (tworzą system nierówności z kilkoma zmiennymi).

Dwa ostatnie typy, ze względu na stopień ich konstrukcji i stopień złożoności rozwiązania, dzielimy na proste i złożone. Proste nazywane są także nierównościami liniowymi. Te z kolei dzielą się na ścisłe i nierygorystyczne. Ścisłe wyraźnie „mówią”, że jedna ilość musi koniecznie być mniejsza lub większa, więc to jest modne czysta forma nierówność. Można podać kilka przykładów: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Nieścisłe obejmują również równość. Oznacza to, że jedna wartość może być większa lub równa innej wartości (znak „≥”) lub mniejsza lub równa innej wartości (znak „≤”). Nawet w nierównościach liniowych zmienna nie jest pierwiastkowa, kwadratowa ani przez nic podzielna, dlatego nazywa się je „prostymi”. Złożone obejmują nieznane zmienne, których znalezienie wymaga wykonania. więcej operacje matematyczne. Często znajdują się one w kwadracie, sześcianie lub pod pierwiastkiem, mogą być modułowe, logarytmiczne, ułamkowe itp. Ponieważ jednak naszym zadaniem jest zrozumienie rozwiązania systemów nierówności, porozmawiamy o systemie nierówności liniowych . Zanim jednak to nastąpi, warto powiedzieć kilka słów o ich właściwościach.

Właściwości nierówności

Właściwości nierówności obejmują:

  1. Znak nierówności zostaje odwrócony, jeśli zostanie zastosowana operacja zmiany kolejności boków (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 2 ≥ t 1).
  2. Obie strony nierówności pozwalają dodać do siebie tę samą liczbę (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 1 + liczba ≤ t 2 + liczba).
  3. Dwie lub więcej nierówności ze znakiem skierowanym w tym samym kierunku umożliwiają dodanie ich lewej i prawej strony (np. jeśli t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, to t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
  4. Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią (np. jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
  5. Posiadanie dwóch lub więcej nierówności pozytywnych członków i znak tego samego kierunku, pozwalają się mnożyć przez siebie (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 to t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
  6. Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, ale w tym przypadku zmienia się znak nierówności (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
  7. Wszystkie nierówności mają właściwość przechodniości (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, to t 1 ≤ t 3).

Teraz, po przestudiowaniu podstawowych zasad teorii nierówności, możemy przejść bezpośrednio do rozważenia zasad rozwiązywania ich układów.

Rozwiązywanie układów nierówności. Informacje ogólne. Rozwiązania

Jak wspomniano powyżej, rozwiązaniem są wartości zmiennej, które są odpowiednie dla wszystkich nierówności danego układu. Implementacją jest rozwiązywanie układów nierówności operacje matematyczne, które ostatecznie prowadzą do rozwiązania całego układu lub udowadniają, że nie ma on rozwiązań. W tym przypadku mówi się, że zmienna odnosi się do pustej zestaw numeryczny(napisane tak: litera oznaczająca zmienną∈ (znak „należy”) ø (znak „zbiór pusty”), np. x ∈ ø (czytaj: „Zmienna „x” należy pusty zestaw"). Istnieje kilka sposobów rozwiązywania układów nierówności: graficzna, algebraiczna, metoda podstawieniowa. Warto zauważyć, że należą do nich modele matematyczne, które mają kilka nieznanych zmiennych. W przypadku, gdy jest tylko jeden, odpowiednia jest metoda interwałowa.

Metoda graficzna

Pozwala rozwiązać układ nierówności z kilkoma nieznanymi wielkościami (od dwóch i więcej). Dzięki tej metodzie układ nierówności liniowych można rozwiązać dość łatwo i szybko, dlatego jest to metoda najpowszechniejsza. Wyjaśnia to fakt, że wykreślenie wykresu zmniejsza ilość zapisywania operacji matematycznych. Szczególnie miło jest zrobić sobie krótką przerwę od pióra, wziąć do ręki ołówek za pomocą linijki i za ich pomocą rozpocząć dalsze działania, gdy jest już dużo pracy i chcesz trochę urozmaicenia. Jednakże Ta metoda niektórym osobom się to nie podoba, ponieważ muszą oderwać się od zadania i zmienić swoje aktywność psychiczna do rysowania. Jest to jednak bardzo skuteczna metoda.

Aby rozwiązać układ nierówności za pomocą metoda graficzna, konieczne jest przeniesienie wszystkich wyrazów każdej nierówności na ich lewa strona. Znaki zostaną odwrócone, po prawej stronie należy wpisać zero, następnie każdą nierówność należy zapisać osobno. W rezultacie funkcje zostaną otrzymane z nierówności. Następnie możesz wyjąć ołówek i linijkę: teraz musisz narysować wykres każdej uzyskanej funkcji. Cały zbiór liczb, który znajdzie się w przedziale ich przecięcia, będzie rozwiązaniem układu nierówności.

Sposób algebraiczny

Pozwala rozwiązać układ nierówności z dwiema nieznanymi zmiennymi. Nierówności też muszą mieć z tym samym znakiem nierówności (tj. muszą zawierać tylko znak „większy niż” lub tylko znak „mniejszy niż” itp.) Pomimo swoich ograniczeń metoda ta jest również bardziej złożona. Nakłada się go w dwóch etapach.

Pierwsza polega na działaniach mających na celu pozbycie się jednej z nieznanych zmiennych. Najpierw musisz go wybrać, a następnie sprawdzić obecność liczb przed tą zmienną. Jeśli ich nie ma (wtedy zmienna będzie wyglądać jak pojedyncza litera), to nic nie zmieniamy, jeśli są (typ zmiennej będzie np. 5y lub 12y), to należy dokonać upewnij się, że w każdej nierówności liczba przed wybraną zmienną jest taka sama. Aby to zrobić, należy pomnożyć każdy wyraz nierówności przez wspólny mnożnik na przykład, jeśli w pierwszej nierówności zapisano 3y, a w drugiej 5y, wówczas wszystkie wyrazy pierwszej nierówności należy pomnożyć przez 5, a drugiej przez 3. Wynik to odpowiednio 15y i 15y.

Drugi etap rozwiązania. Konieczne jest przeniesienie lewej strony każdej nierówności na prawą stronę, zmianę znaku każdego wyrazu na przeciwny i wpisanie zera po prawej stronie. Potem przychodzi zabawna część: pozbycie się wybranej zmiennej (znanej również jako „redukcja”) podczas dodawania nierówności. Powoduje to nierówność z jedną zmienną, którą należy rozwiązać. Następnie powinieneś zrobić to samo, tylko z inną nieznaną zmienną. Uzyskane wyniki będą rozwiązaniem układu.

Metoda substytucyjna

Pozwala rozwiązać układ nierówności, jeżeli istnieje możliwość wprowadzenia nowej zmiennej. Zazwyczaj metodę tę stosuje się, gdy nieznaną zmienną w jednym wyrazie nierówności podnosi się do czwartej potęgi, a w drugim członie podwyższa do kwadratu. Metoda ta ma zatem na celu zmniejszenie stopnia nierówności w systemie. W ten sposób rozwiązuje się przykładową nierówność x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Wprowadzana jest nowa zmienna, na przykład t. Piszą: „Niech t = x 2”, wówczas model zostaje przepisany w nowej formie. W naszym przypadku otrzymujemy t 2 - t - 1 ≤0. Nierówność tę należy rozwiązać metodą przedziałową (więcej o tym później), następnie wrócić do zmiennej X i zrobić to samo z drugą nierównością. Otrzymane odpowiedzi będą stanowić rozwiązanie systemu.

Metoda interwałowa

Jest to najprostszy sposób rozwiązywania układów nierówności, a jednocześnie uniwersalny i powszechny. Jest stosowany w szkołach średnich, a nawet w szkołach wyższych. Jego istota polega na tym, że uczeń szuka przedziałów nierówności na narysowanej w zeszycie osi liczbowej (nie jest to wykres, a zwykła linia z liczbami). Tam, gdzie przecinają się przedziały nierówności, znajduje się rozwiązanie układu. Aby skorzystać z metody interwałowej, wykonaj następujące kroki:

  1. Wszystkie wyrazy każdej nierówności są przenoszone na lewą stronę ze zmianą znaku na przeciwny (zero jest zapisane po prawej stronie).
  2. Nierówności są wypisywane osobno i określane jest rozwiązanie każdej z nich.
  3. Znaleziono przecięcia nierówności na osi liczbowej. Rozwiązaniem będą wszystkie numery znajdujące się na tych skrzyżowaniach.

Jakiej metody powinienem użyć?

Oczywiście ten, który wydaje się najłatwiejszy i najwygodniejszy, ale zdarzają się przypadki, gdy zadania wymagają określonej metody. Najczęściej mówią, że trzeba rozwiązać albo za pomocą wykresu, albo metodą interwałową. Metoda algebraiczna i podstawienie są stosowane niezwykle rzadko lub wcale, ponieważ są dość złożone i mylące, a poza tym są bardziej używane do rozwiązywania układów równań niż nierówności, dlatego należy uciekać się do rysowania wykresów i przedziałów. Przynoszą przejrzystość, która nie może nie przyczynić się do sprawnego i szybkiego wykonywania operacji matematycznych.

Jeśli coś nie wyjdzie

Ucząc się określonego tematu z algebry, naturalnie mogą pojawić się problemy z jego zrozumieniem. I to jest normalne, bo nasz mózg jest tak skonstruowany, że nie jest w stanie za jednym razem zrozumieć złożonego materiału. Często musisz ponownie przeczytać akapit, zwrócić się o pomoc do nauczyciela lub przećwiczyć rozwiązywanie problemu. typowe zadania. W naszym przypadku wyglądają one np. tak: „Rozwiąż układ nierówności 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1 > 3.” Zatem osobiste pragnienia, pomoc od osób z zewnątrz i praktyka pomagają w zrozumieniu każdego złożonego tematu.

Solver?

Książka z rozwiązaniami jest również bardzo odpowiednia, ale nie do kopiowania zadań domowych, ale do samopomocy. Można w nich znaleźć układy nierówności z rozwiązaniami, przyjrzeć się im (jako szablonom), spróbować dokładnie zrozumieć, jak autor rozwiązania poradził sobie z zadaniem, a następnie spróbować zrobić to samo samodzielnie.

wnioski

Algebra jest jedną z najbardziej złożone tematy W szkole. Cóż, co możesz zrobić? Matematyka zawsze taka była: dla niektórych jest łatwa, dla innych trudna. Ale w każdym razie należy o tym pamiętać program edukacji ogólnej Jest zbudowany w taki sposób, że poradzi sobie z nim każdy uczeń. Poza tym trzeba mieć na uwadze ogromną liczbę asystentów. Niektóre z nich zostały wspomniane powyżej.