Co musisz wiedzieć o ikonach nierówności? Nierówności z ikoną więcej (> ), Lub mniej (< ) są nazywane ścisły. Z ikonami więcej lub równe (≥ ), mniejszy lub równy (≤ ) są nazywane nie ścisłe. Ikona nie równe (≠ ) wyróżnia się, ale trzeba też cały czas rozwiązywać przykłady z tą ikoną. I my zdecydujemy.)
Sama ikona nie ma większego wpływu na proces rozwiązania. Ale pod koniec decyzji, przy wyborze ostatecznej odpowiedzi, pojawia się znaczenie ikony cała siła! To właśnie zobaczymy poniżej na przykładach. Jest tam trochę żartów...
Nierówności, podobnie jak równości, istnieją wierny i niewierny. Tutaj wszystko jest proste, bez żadnych sztuczek. Powiedzmy 5 > 2 - prawdziwa nierówność. 5 < 2 – nieprawidłowe.
To przygotowanie działa w przypadku nierówności jakikolwiek i proste aż do zgrozy.) Wystarczy poprawnie wykonać dwie (tylko dwie!) podstawowe czynności. Te działania są znane każdemu. Ale charakterystyczne jest to, że błędy w tych działaniach są głównym błędem w rozwiązywaniu nierówności, tak... Dlatego te działania trzeba powtarzać. Działania te nazywane są następująco:
Identyczne przekształcenia nierówności.
Identyczne przekształcenia nierówności są bardzo podobne do identycznych przekształceń równań. Właściwie to jest główny problem. Różnice przechodzą przez głowę i... proszę bardzo.) Dlatego szczególnie te różnice podkreślę. Zatem pierwsza identyczna transformacja nierówności:
1. Tę samą liczbę lub wyrażenie można dodać (odjąć) po obu stronach nierówności. Każdy. Nie zmieni to znaku nierówności.
W praktyce regułę tę stosuje się jako przeniesienie wyrazów z lewej strony nierówności na prawą (i odwrotnie) ze zmianą znaku. Ze zmianą znaku wyrazu, a nie nierówności! Reguła „jeden do jednego” jest taka sama, jak reguła dotycząca równań. Oto kolejne przemiany tożsamości w nierównościach znacznie różni się od tych w równaniach. Dlatego zaznaczam je na czerwono:
2. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samopozytywnynumer. Dla każdegopozytywny Nie zmieni się.
3. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samonegatywny numer. Dla każdegonegatywnynumer. Znak nierówności z tegozmieni się na odwrotne.
Pamiętasz (mam nadzieję...), że równanie można pomnożyć/dzielić przez wszystko. I dla dowolnej liczby oraz dla wyrażenia z X. Gdyby tylko nie było zera. To czyni go, w równaniu, ani gorącym, ani zimnym.) To się nie zmienia. Ale nierówności są bardziej wrażliwe na mnożenie/dzielenie.
Dobry przykład za długą pamięć. Napiszmy nierówność, która nie budzi wątpliwości:
5 > 2
Pomnóż obie strony przez +3, otrzymujemy:
15 > 6
Wszelkie sprzeciwy? Nie ma zastrzeżeń.) A jeśli pomnożymy obie strony pierwotnej nierówności przez -3, otrzymujemy:
15 > -6
I to jest jawne kłamstwo.) Kompletne kłamstwo! Oszukiwanie narodu! Ale gdy tylko zmienisz znak nierówności na przeciwny, wszystko się ułoży:
15 < -6
Nie przeklinam tylko kłamstw i oszustw.) „Zapomniałem zmienić znak równości…”- Ten dom błąd w rozwiązywaniu nierówności. Ta trywialna i prosta zasada skrzywdziła tak wiele osób! O czym zapomnieli...) Więc przysięgam. Może przypomnę...)
Szczególnie uważne osoby zauważą, że nierówności nie można pomnożyć przez wyrażenie z X. Szacunek dla tych, którzy są uważni!) Dlaczego nie? Odpowiedź jest prosta. Nie znamy znaku tego wyrażenia za pomocą X. Może być dodatnia, ujemna... Dlatego nie wiemy, jaki znak nierówności postawić po mnożeniu. Mam to zmienić czy nie? Nieznany. Oczywiście to ograniczenie (zakaz mnożenia/dzielenia nierówności przez wyrażenie z x) można obejść. Jeśli naprawdę tego potrzebujesz. Ale to już temat na inne lekcje.
To wszystko identyczne przekształcenia nierówności. Jeszcze raz przypomnę, że dla nich pracują każdy nierówności Teraz możesz przejść do konkretnych typów.
Nierówności liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Nierówności liniowe to nierówności, w których x jest wyrażone w pierwszej potędze i nie ma dzielenia przez x. Typ:
x+3 > 5x-5
Jak rozwiązuje się takie nierówności? Są bardzo łatwe do rozwiązania! Mianowicie: za pomocą zmniejszamy najbardziej zagmatwaną nierówność liniową prosto do odpowiedzi. To jest rozwiązanie. Podkreślę główne punkty decyzji. Aby uniknąć głupich błędów.)
Rozwiążmy tę nierówność:
x+3 > 5x-5
Rozwiązujemy to dokładnie w taki sam sposób, jak równanie liniowe. Z jedyną różnicą:
Ściśle monitorujemy znak nierówności!
Pierwszy krok jest najczęstszy. Z X - w lewo, bez X - w prawo... Jest to pierwsze identyczne przekształcenie, proste i bezproblemowe.) Tylko nie zapomnij zmienić znaków przenoszonych wyrazów.
Znak nierówności pozostaje:
x-5x > -5-3
Oto podobne.
Znak nierówności pozostaje:
4x > -8
Pozostaje zastosować ostatnią identyczną transformację: podzielić obie strony przez -4.
Dzielić przez negatywny numer.
Znak nierówności zmieni się na przeciwny:
X < 2
To jest odpowiedź.
W ten sposób rozwiązuje się wszystkie nierówności liniowe.
Uwaga! Punkt 2 jest narysowany na biało, tj. niepomalowany. Pusty w środku. Oznacza to, że nie jest ona uwzględniona w odpowiedzi! Celowo narysowałem ją tak zdrową. Taki punkt (pusty, nie zdrowy!)) w matematyce nazywa się przebity punkt.
Pozostałe liczby na osi można zaznaczyć, ale nie jest to konieczne. Obce liczby niezwiązane z naszą nierównością mogą być mylące, tak... Trzeba tylko pamiętać, że liczby rosną w kierunku strzałki, tj. cyfry 3, 4, 5 itd. Czy w prawo to dwójki, a liczby to 1, 0, -1 itd. - w lewo.
Nierówność x < 2 - ścisły. X jest ściśle mniejsze niż dwa. W razie wątpliwości sprawdzenie jest proste. Podstawiamy wątpliwą liczbę do nierówności i myślimy: "Dwa to mniej niż dwa? Nie, oczywiście!" Dokładnie. Nierówność 2 < 2 błędny. Dwójka w zamian nie jest właściwa.
Czy jeden jest w porządku? Z pewnością. Mniej... A zero jest dobre, a -17 i 0,34... Tak, wszystkie liczby mniejsze niż dwa są dobre! A nawet 1,9999.... Przynajmniej trochę, ale mniej!
Zaznaczmy więc wszystkie te liczby na osi liczb. Jak? Tutaj są opcje. Opcja pierwsza to cieniowanie. Najeżdżamy myszką na obrazek (lub dotykamy obrazka na tablecie) i widzimy, że obszar wszystkich x spełniających warunek x jest zacieniony < 2 . To wszystko.
Przyjrzyjmy się drugiej opcji na drugim przykładzie:
X ≥ -0,5
Narysuj oś i zaznacz liczbę -0,5. Lubię to:
Zauważasz różnicę?) No tak, trudno nie zauważyć… Ta kropka jest czarna! Zamalowany. Oznacza to -0,5 jest zawarte w odpowiedzi. Nawiasem mówiąc, weryfikacja może kogoś zdezorientować. Zastąpmy:
-0,5 ≥ -0,5
Jak to? -0,5 to nie więcej niż -0,5! I jest więcej ikon...
W porządku. W słabej nierówności odpowiednie jest wszystko, co pasuje do ikony. I równa się dobry i więcej Dobry. Dlatego w odpowiedzi uwzględniono -0,5.
Zaznaczyliśmy więc na osi -0,5, pozostaje zaznaczyć wszystkie liczby większe od -0,5. Tym razem zaznaczam obszar odpowiednie wartości X ukłon(od słowa łuk), zamiast cieniowania. Najedźmy kursorem na rysunek i zobaczmy ten łuk.
Nie ma szczególnej różnicy między cieniowaniem a ramionami. Zrób tak, jak mówi nauczyciel. Jeśli nie ma nauczyciela, narysuj łuki. W więcej trudne zadania cieniowanie jest mniej oczywiste. Można się pomylić.
W ten sposób nierówności liniowe są rysowane na osi. Przejdźmy dalej następującą funkcję nierówności
Zapisanie odpowiedzi na nierówności.
Równania były dobre.) Znaleźliśmy x i zapisaliśmy odpowiedź, na przykład: x=3. W nierównościach istnieją dwie formy zapisu odpowiedzi. Jedna z nich ma postać końcowej nierówności. Dobry do prostych przypadków. Na przykład:
X< 2.
To jest pełna odpowiedź.
Czasami trzeba zapisać to samo, ale w innej formie, używając przedziały numeryczne. Wtedy nagranie zaczyna wyglądać bardzo naukowo):
x ∈ (-∞; 2)
Pod ikoną ∈ słowo jest ukryte "należy".
Wpis brzmi następująco: x należy do przedziału od minus nieskończoności do dwóch nie licząc. Całkiem logiczne. X może być dowolną liczbą spośród wszystkich możliwych liczb od minus nieskończoności do dwóch. Nie może być podwójnego X, o czym mówi nam to słowo "nie licząc".
A gdzie w odpowiedzi jest to jasne "nie licząc"? Fakt ten został odnotowany w odpowiedzi okrągły nawias bezpośrednio po dwójce. Gdyby te dwa elementy zostały uwzględnione, nawias byłby kwadrat. Oto on:]. W poniższym przykładzie zastosowano taki nawias.
Zapiszmy odpowiedź: x ≥ -0,5 w przerwach:
x ∈ [-0,5; +∞)
czyta: x należy do przedziału od minus 0,5, w tym, do plus nieskończoności.
Nieskończoności nigdy nie można włączyć. To nie jest liczba, to jest symbol. Dlatego w takich zapisach nieskończoność zawsze sąsiaduje z nawiasem.
Ta forma zapisu jest wygodna w przypadku złożonych odpowiedzi składających się z kilku spacji. Ale - tylko dla ostatecznych odpowiedzi. W wynikach pośrednich, gdzie oczekuje się dalszego rozwiązania, lepiej zastosować zwykłą formę, w postaci prostej nierówności. Zajmiemy się tym w odpowiednich tematach.
Popularne zadania z nierównościami.
Same nierówności liniowe są proste. Dlatego zadania często stają się trudniejsze. Trzeba było więc pomyśleć. To, jeśli nie jesteś do tego przyzwyczajony, nie jest zbyt przyjemne.) Ale jest przydatne. Pokażę przykłady takich zadań. Nie po to, żebyś się ich uczył, to niepotrzebne. I żeby się nie bać podczas spotkania podobne przykłady. Pomyśl trochę - i to proste!)
1. Znajdź dwa dowolne rozwiązania nierówności 3x - 3< 0
Jeśli nie jest jasne, co zrobić, pamiętaj o głównej zasadzie matematyki:
Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób, co możesz!)
X < 1
I co? Nic specjalnego. O co nas pytają? Mamy znaleźć dwie konkretne liczby będące rozwiązaniem nierówności. Te. pasuje do odpowiedzi. Dwa każdy liczby. Właściwie jest to mylące.) Odpowiednie są kilka wartości 0 i 0,5. Kilka -3 i -8. Tak, te pary nieskończony zestaw! Która odpowiedź jest prawidłowa?!
Odpowiadam: wszystko! Dowolna para liczb, z których każda jest mniejsza niż jeden, będzie poprawną odpowiedzią. Napisz który chcesz. Przejdźmy dalej.
2. Rozwiąż nierówność:
4x - 3 ≠ 0
Zadania w tej formie są rzadkie. Natomiast jako nierówności pomocnicze, np. przy znalezieniu ODZ, czy przy znalezieniu dziedziny definicji funkcji, występują one cały czas. Taką nierówność liniową można rozwiązać jako zwykłe równanie liniowe. Tylko wszędzie oprócz znaku „=” ( równa się) umieść znak „ ≠ " (nie równe). Oto jak podchodzisz do odpowiedzi ze znakiem nierówności:
X ≠ 0,75
W więcej złożone przykłady, lepiej zrobić coś inaczej. Z równości zrób nierówność. Lubię to:
4x - 3 = 0
Spokojnie rozwiąż to zgodnie z instrukcją i uzyskaj odpowiedź:
x = 0,75
Najważniejsze, żeby na samym końcu zapisując ostateczną odpowiedź nie zapomnieć, że znaleźliśmy x, co daje równość. I potrzebujemy - nierówność. Dlatego tak naprawdę nie potrzebujemy tego X.) I musimy to zapisać za pomocą odpowiedniego symbolu:
X ≠ 0,75
Okazuje się, że przy takim podejściu mniej błędów. Ci, którzy rozwiązują równania automatycznie. A dla tych, którzy nie rozwiązują równań, nierówności są właściwie bezużyteczne...) Kolejny przykład popularnego zadania:
3. Znajdź najmniejsze rozwiązanie całkowite nierówności:
3(x - 1) < 5x + 9
Najpierw po prostu rozwiązujemy nierówność. Otwieramy nawiasy, przesuwamy je, przynosimy podobne... Otrzymujemy:
X > - 6
Czyż to nie tak wyszło!? Czy postępowałeś zgodnie ze znakami!? A za znakami członków i za znakiem nierówności...
Pomyślmy jeszcze raz. Musimy znaleźć konkretny numer, odpowiednie zarówno dla odpowiedzi, jak i warunku „najmniejsza liczba całkowita”. Jeśli nie przyjdzie ci to od razu do głowy, możesz po prostu wziąć dowolną liczbę i to rozgryźć. Dwa powyżej minus sześć? Z pewnością! Czy istnieje odpowiednia mniejsza liczba? Oczywiście. Na przykład zero jest większe niż -6. A jeszcze mniej? Potrzebujemy najmniejszej możliwej rzeczy! Minus trzy to więcej niż minus sześć! Można już złapać wzór i przestać głupio przeglądać liczby, prawda?)
Przyjmijmy liczbę bliżej -6. Na przykład -5. Odpowiedź jest spełniona, -5 > - 6. Czy można znaleźć inną liczbę mniejszą niż -5, ale większą niż -6? Możesz na przykład -5,5... Stop! Powiedziano nam cały rozwiązanie! Nie rzuca -5,5! A co z minusem sześć? Uch-uch! Nierówność jest ścisła, minus 6 nie jest w żaden sposób mniejsze niż minus 6!
Zatem prawidłowa odpowiedź to -5.
Mam nadzieję, że z wyborem wartości z rozwiązanie ogólne wszystko jasne. Inny przykład:
4. Rozwiąż nierówność:
7 < 3x+1 < 13
Wow! To wyrażenie nazywa się potrójna nierówność.Ściśle mówiąc, jest to skrócona forma systemu nierówności. Ale takie potrójne nierówności nadal wymagają rozwiązania w niektórych zadaniach... Można je rozwiązać bez żadnych systemów. Według tych samych identycznych przekształceń.
Musimy uprościć, sprowadzić tę nierówność do czystego X. Ale... Co gdzie przenieść?! W tym miejscu należy pamiętać, że poruszanie się w lewo i w prawo jest koniecznością skrócona forma pierwsza transformacja tożsamości.
A pełna forma brzmi tak: Do obu stron równania można dodać/odjąć dowolną liczbę lub wyrażenie (nierówność).
Są tu trzy części. Zastosujemy więc identyczne przekształcenia do wszystkich trzech części!
Pozbądźmy się więc tego w środkowej części nierówności. Odejmijmy jeden od całej środkowej części. Aby nierówność się nie zmieniła, od pozostałych dwóch części odejmujemy jeden. Lubię to:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Tak jest lepiej, prawda?) Pozostaje tylko podzielić wszystkie trzy części na trzy:
2 < X < 4
To wszystko. To jest odpowiedź. X może być dowolną liczbą od dwóch (bez uwzględnienia) do czterech (bez uwzględnienia). Ta odpowiedź jest również zapisywana w odstępach; takie wpisy będą w nierównościach kwadratowych. Tam są najczęstsze.
Na koniec lekcji powtórzę najważniejszą rzecz. Sukces w rozwiązaniu nierówności liniowe zależy od umiejętności przekształcania i upraszczania równań liniowych. Jeśli jednocześnie uważaj na znak nierówności, nie będzie żadnych problemów. Tego Ci życzę. Bez problemów.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Slajd 2
1). Definicja 2). Typy 3). Własności nierówności numerycznych 4). Podstawowe własności nierówności 4). Typy 5). Rozwiązania
Slajd 3
Zapis postaci a>b lub a
Slajd 4
Nierówności postaci a≥b, a≤b nazywane są...... Nierówności postaci a>b, a
Slajd 5
1). Jeśli a>b, to bb, b>c, to a>c. 3). Jeśli a>b, c jest dowolną liczbą, to a+c>b+c. 4). Jeśli a>b, c>x, to a+c>b+x. 5). Jeśli a>b, c>0, to a>c. 6). Jeśli a>b, co, c>0, to > . 8). Jeżeli a>o, c>0, a>c, to >
Slajd 6
1). Dowolny wyraz nierówności można przenieść z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając jego znak na przeciwny, ale znak nierówności się nie zmienia.
Slajd 7
2) Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez to samo Liczba dodatnia, a znak nierówności nie ulegnie zmianie. Jeśli liczba ta jest ujemna, znak nierówności zmieni się na przeciwny.
Slajd 8
NIERÓWNOŚCI LINIOWE KWADRATOWE Racjonalne irracjonalne
Slajd 9
I).Nierówność liniowa. 1). x+4
Slajd 10
1. Rozwiązuj nierówności.
1). x+2≥2,5x-1; 2).x- 0,25(x+4)+0,5(3x-1)>3; 3). 4).x²+x
Slajd 11
2.Znajdź najmniejsze liczby całkowite będące rozwiązaniami nierówności
1,2(x-3)-1-3(x-2)-4(x+1)>0; 2,0,2(2x+2)-0,5(x-1)
Slajd 12
II). Nierówności kwadratowe. Metody rozwiązywania: Graficzne Wykorzystanie układów nierówności Metoda przedziałowa
Slajd 13
1.1). Metoda interwałowa (do rozwiązania równanie kwadratowe) ax²+in+c>0 1). Rozłóżmy się dany wielomian przez czynniki, tj. Przedstawmy to w postaci a(x-)(x-)>0. 2).Umieść pierwiastki wielomianu na osi liczbowej; 3). Określ znaki funkcji w każdym z przedziałów; 4). Wybierz odpowiednie przedziały i zapisz odpowiedź.
Slajd 14
x²+x-6=0; (x-2)(x+3)=0; Odpowiedź: (-∞;-3)v(2;+∞). x + 2 -3 +
Slajd 15
1. Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową.
1). x(x+7)≥0; 2).(x-1)(x+2)≤0; 3).x-x²+2 0; 5).x(x+2)
Slajd 16
Zadanie domowe: Kolekcja 1).str. 109 nr 128-131 Zbiór 2. s. 111 nr 3.8-3.10; 3,22;3,37-3,4
Slajd 17
1.2). Graficzne rozwiązywanie nierówności kwadratowych
1). Określ kierunek gałęzi paraboli poprzez znak pierwszego współczynnika funkcji kwadratowej. 2).Znajdź pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego; 3) Skonstruuj szkic wykresu i na jego podstawie określ przedziały, w jakich funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.
Slajd 18
Przykład:
x²+5x-6≤0 y= x²+5x-6 (funkcja kwadratowa, wykres paraboliczny, a=1, gałęzie skierowane w górę) x²+5x-6=0; Pierwiastkami tego równania są 1 i -6. y + + -6 1 x Odpowiedź: [-6;1]. -
Slajd 19
Rozwiąż graficznie nierówności:
1).x²-3x 0; 3).x²+2x≥0; 4). -2x²+x+1≤0; (0;3) (-∞;0)U(4;+∞) (-∞;-2]UU (0) (0) Składa się ze zbioru liczb umieszczonych na osi współrzędnych i znajdujących się pomiędzy -7 i 7, łącznie z granicami. W tym przypadku punkty na wykresie są przedstawiane jako wypełnione koła, a odstęp jest rejestrowany za pomocą
Drugi rysunek to Reprezentacja graficzna ścisła nierówność. W tym przypadku liczby graniczne -7 i 7, oznaczone przebitymi (niewypełnionymi) kropkami, nie są uwzględnione w określonym zestawie. A sam przedział jest zapisany w nawiasach w następujący sposób: (-7; 7).
Oznacza to, że po zorientowaniu się, jak rozwiązywać nierówności tego typu i otrzymaniu podobnej odpowiedzi, możemy stwierdzić, że składa się on z liczb znajdujących się pomiędzy rozpatrywanymi granicami, z wyjątkiem -7 i 7. Kolejne dwa przypadki należy ocenić w sposób podobny sposób. Trzeci rysunek przedstawia obrazy przedziałów (-∞; -7] U)