Jak wyznaczyć całkę nieoznaczoną. Całka nieoznaczona online

Znalezienie całki nieoznaczonej (zbiór funkcji pierwotnych lub „pierwszych pochodnych”) oznacza rekonstrukcję funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. Odrestaurowany zestaw funkcji pierwotnych F(X) + Z dla funkcji F(X) uwzględnia stałą całkowania C. Według szybkości ruchu punkt materialny(pochodna) można przywrócić prawo ruchu tego punktu (pierwotna pochodna); w zależności od przyspieszenia ruchu punktu – jego prędkości i prawa ruchu. Jak widać, integracja to szerokie pole działań fizyków Sherlocka Holmesa. W ekonomii wiele pojęć jest reprezentowanych za pomocą funkcji i ich pochodnych, dlatego na przykład możliwe jest przywrócenie wielkości produktów wytworzonych w odpowiednim czasie przy użyciu wydajności pracy w określonym momencie (pochodna).

Znalezienie całki nieoznaczonej wymaga dość małej liczby podstawowych wzorów całkowych. Ale proces znalezienia tego jest znacznie trudniejszy niż samo zastosowanie tych formuł. Cała złożoność nie dotyczy całkowania, ale doprowadzenia wyrażenia całkowalnego do postaci umożliwiającej znalezienie całki nieoznaczonej za pomocą powyższych podstawowych wzorów. Oznacza to, że aby rozpocząć praktykę integracji, musisz aktywować to, czego się nauczyłeś Liceum umiejętności transformacji ekspresji.

Nauczymy się znajdować całki za pomocą własności i tablica całek nieoznaczonych z lekcji dotyczącej podstawowych pojęć z tego tematu (otwiera się w nowym oknie).

Istnieje kilka metod znajdowania całki, z których metoda zastępowania zmiennych I całkowanie metodą części- obowiązkowy zestaw dżentelmena dla każdego, kto pomyślnie zdał matematykę wyższą. Jednak bardziej przydatne i przyjemne jest rozpoczęcie nauki całkowania metodą rozwinięcia, w oparciu o dwa poniższe twierdzenia o własnościach całki nieoznaczonej, które tutaj powtarzamy dla wygody.

Twierdzenie 3.Stały mnożnik w całce można wyjąć jako znak całki nieoznaczonej, tj.

Twierdzenie 4. Całka nieoznaczona sumy algebraicznej skończoną liczbą funkcje są równe suma algebraiczna Całki nieoznaczone tych funkcji, tj.

(2)

Dodatkowo przy całkowaniu może się przydać zasada: jeżeli wyrażenie całki zawiera czynnik stały, to wyrażenie funkcji pierwotnej mnoży się przez odwrotność współczynnika stałego, czyli

(3)

Ponieważ ta lekcja jest wprowadzeniem do rozwiązywania problemów związanych z integracją, ważne jest, aby zwrócić uwagę na dwie rzeczy, które albo już istnieją etap początkowy lub nieco później mogą Cię zaskoczyć. Zaskoczenie wynika z faktu, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania, a całkę nieoznaczoną słusznie można nazwać „pierwotną”.

Pierwsza rzecz, która nie powinna Cię dziwić podczas integracji. W tabeli całek istnieją wzory, które nie mają odpowiedników wśród wzorów tabeli pochodnych . Ten następujące formuły:

Można jednak upewnić się, że pochodne wyrażeń po prawej stronie tych wzorów pokrywają się z odpowiednimi całkami.

Druga rzecz, która nie powinna dziwić przy integracji. Chociaż pochodna dowolnej funkcji elementarnej jest również funkcją elementarną, to Całki nieoznaczone niektórych funkcje elementarne nie są już funkcjami elementarnymi . Przykładami takich całek mogą być następujące:

Do rozwijania technik całkowania przydadzą się umiejętności: skracania ułamków, dzielenia wielomianu w liczniku ułamka przez jednomian w mianowniku (aby otrzymać sumę całek nieoznaczonych), zamieniania pierwiastków na potęgi, mnożenia jednomianu przez wielomian, podnosząc do potęgi. Umiejętności te potrzebne są do przekształceń całki, w wyniku których powinna powstać suma całek znajdujących się w tabeli całek.

Łączne znajdowanie całek nieoznaczonych

Przykład 1. Znajdź całkę nieoznaczoną

.

Rozwiązanie. W mianowniku całki widzimy wielomian, w którym x jest kwadratem. Jest to prawie pewny znak, że można zastosować całkę tablicową 21 (w rezultacie arcus tangens). Z mianownika usuwamy współczynnik dwa (istnieje taka właściwość całki - współczynnik stały można wyjąć poza znak całki; wspomniano o tym powyżej jako Twierdzenie 3). Rezultat tego wszystkiego:

Teraz mianownikiem jest suma kwadratów, co oznacza, że ​​możemy zastosować wspomnianą całkę tabelarską. Wreszcie otrzymujemy odpowiedź:

.

Przykład 2. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Ponownie stosujemy Twierdzenie 3 - właściwość całki, na podstawie której ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:

Do funkcji całkowej stosujemy wzór 7 z tabeli całek (zmiennej do potęgi):

.

Redukujemy powstałe ułamki i mamy ostateczną odpowiedź:

Przykład 3. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Stosując najpierw Twierdzenie 4, a następnie Twierdzenie 3 o właściwościach, otrzymujemy tę całkę jako sumę trzech całek:

Wszystkie trzy otrzymane całki są tabelaryczne. Korzystamy ze wzoru (7) z tabeli całek dla N = 1/2, N= 2 i N= 1/5, a następnie

łączy wszystkie trzy dowolne stałe, które zostały wprowadzone podczas znajdowania trzech całek. Dlatego w podobnych sytuacjach należy wprowadzić tylko jedną dowolną stałą całkowania.

Przykład 4. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Gdy mianownik całki zawiera jednomian, możemy podzielić licznik przez mianownik wyraz po wyrazie. Oryginalna całka została zamieniona na sumę dwóch całek:

.

Aby zastosować całkę stołową, przekształcamy pierwiastki w potęgi i oto ostateczna odpowiedź:

Kontynuujemy wspólne znajdowanie całek nieoznaczonych

Przykład 7. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Jeśli przekształcimy całkę, podnosząc dwumian do kwadratu i dzieląc licznik przez mianownik, wyraz po wyrazie, wówczas całka pierwotna stanie się sumą trzech całek.

Czy można podciągnąć funkcję nieliniową pod znak różniczkowy? Tak, jeśli całka jest iloczynem dwóch czynników: jeden czynnik jest funkcją zespoloną jakiejś funkcji nieliniowej, a drugi czynnik jest pochodną tej funkcji nieliniowej. Spójrzmy na to, co zostało powiedziane, na przykładach.

Znajdź całki nieoznaczone.

Przykład 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Co reprezentuje ta całka? Iloczyn funkcji potęgowej (x 2 + x + 2) i współczynnika (2x + 1), który jest równy pochodnej podstawy potęgi: (x 2 + x + 2)" = 2x + 1 .

To pozwoliło nam umieścić (2x + 1) pod znakiem różniczkowym:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Wzór 1). )

Badanie. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 6 (x 2 + x + 2) 5 (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = fa (x).

Przykład 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6+C

A czym ten przykład różni się od przykładu 1? Nic! Tę samą piątą potęgę o podstawie (x 3 – x 2 + 3x + 1) mnożymy przez trójmian (3x 2 – 2x + 3), który jest pochodną podstawy potęgi: (x 3 – x 2 + 3x + 1)" = 3x 2 – 2x + 3. Podstawę stopnia sprowadziliśmy pod znak różniczkowy, od którego wartość całki się nie zmieniła, a następnie zastosowaliśmy ten sam wzór 1 (). Całki)

Przykład 3.

Tutaj pochodna (2x 3 – 3x) da (6x 2 – 3), a u nas

istnieje (12x 2 – 6), czyli wyrażenie w 2 razy większe, czyli podstawiamy (2x 3 – 3x) pod znak różniczkowy, a przed całką stawiamy współczynnik 2 . Zastosujmy formułę 2) ( arkusz ).

Oto, co się dzieje:

Sprawdźmy, biorąc pod uwagę, że:

Przykłady. Znajdź całki nieoznaczone.

1. ∫(6x+5) 3 dx. Jak podejmiemy decyzję? Patrząc na prześcieradło i rozumujemy mniej więcej tak: całka reprezentuje stopień i mamy wzór na całkę stopnia (wzór 1) ), ale w nim podstawa stopnia ty i zmienna całkująca ty

I mamy zmienną całkującą X i podstawa stopnia (6x+5). Zmieńmy zmienną całkującą: zamiast dx napiszemy d (6x+5). Co się zmieniło? Ponieważ to, co następuje po znaku różniczkowym d, jest domyślnie różniczkowane,

wtedy d (6x+5)=6dx, tj. zastępując zmienną x zmienną (6x+5), funkcja całkowa wzrosła 6-krotnie, dlatego przed znakiem całki stawiamy współczynnik 1/6. Argumenty te można zapisać w następujący sposób:

Rozwiązaliśmy więc ten przykład wprowadzając nową zmienną (zmienną x zastąpiono zmienną 6x+5). Gdzie napisałeś nową zmienną (6x+5)? Pod znakiem różniczkowym. Dlatego, Ta metoda wprowadzenie nowej zmiennej jest często nazywane metoda ( lub sposób ) Podsumowując(nowa zmienna ) pod znakiem różniczkowym.

W drugim przykładzie najpierw otrzymaliśmy dyplom z wskaźnik negatywny, a następnie umieść go pod znakiem różniczkowym (7x-2) i skorzystaj ze wzoru na całkę stopnia 1) (Całki ).

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie 3.

Całkę poprzedza współczynnik 1/5. Dlaczego? Ponieważ d (5x-2) = 5dx, zatem podstawiając funkcję u = 5x-2 pod znak różniczkowy, zwiększyliśmy zatem całkę 5-krotnie, tak że wartość dany wyraz nie uległo zmianie - należało podzielić przez 5, tj. pomnóż przez 1/5. Następnie zastosowano formułę 2) (Całki) .

Wszystkie najprostsze formuły całkowe będą wyglądać następująco:

∫f (x) dx=F (x)+C, i musi być spełniona równość:

(F(x)+C)"=f(x).

Wzory na całkowanie można otrzymać poprzez odwrócenie odpowiednich wzorów na różniczkowanie.

Naprawdę,

Wykładnik potęgowy N może być ułamkowy. Często trzeba znaleźć określona całka z funkcji y=√x. Obliczmy całkę funkcji f (x)=√x korzystając ze wzoru 1) .

Zapiszmy ten przykład jako formułę 2) .

Ponieważ (x+C)"=1, to ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Zastępując 1/x² x -2, obliczamy całkę z 1/x².

Czy możesz uzyskać tę odpowiedź, kontaktując się słynna formuła różnicowanie:

Zapiszmy nasze rozumowanie w formie wzoru 4).

Mnożąc obie strony powstałej równości przez 2, otrzymujemy wzór 5).

Znajdźmy całki z głównych funkcje trygonometryczne, znając ich pochodne: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Otrzymujemy wzory na całkowanie 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Po przestudiowaniu demonstracyjnych i funkcje logarytmiczne, dodajmy jeszcze kilka formuł.

Podstawowe własności całki nieoznaczonej.

I. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce .

(∫f (x) dx)”=f (x).

II. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Całka nieoznaczona z różniczki (pochodnej) jakiejś funkcji równa sumie tę funkcję i dowolną stałą C.

∫dF (x)=F (x)+C Lub ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Uwaga: w I, II i Właściwości III znaki różniczki i całki (całkowej i różniczkowej) „zjadają” się nawzajem!

IV. Stały współczynnik całki można odjąć od znaku całki.

∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx, Gdzie k - stały, nierówny zero.

V. Całka z sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej całek tych funkcji.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Jeśli F (x) jest funkcją pierwotną f (x), i k I B są wartościami stałymi, oraz k≠0, wtedy (1/k)·F (kx+b) jest funkcją pierwotną f (kx+b). Rzeczywiście, zgodnie z regułą obliczania pochodnej złożona funkcja mamy:

Możesz pisać:

Dla każdego działanie matematyczne jest efekt odwrotny. Dla działania różniczkowania (znajdowania pochodnych funkcji) również istnieje działanie odwrotne- integracja. Całkowanie polega na znalezieniu (rekonstruowaniu) funkcji na podstawie podanej pochodnej lub różniczki. Wywoływana jest znaleziona funkcja funkcja pierwotna.

Definicja. Funkcja różniczkowalna F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji k(x) w danym przedziale czasu, jeśli dla wszystkich X z tego przedziału zachodzi równość: F′(x)=f(x).

Przykłady. Znajdź funkcje pierwotne dla funkcji: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Ponieważ (x²)′=2x, to z definicji funkcja F(x)=x² będzie funkcją pierwotną funkcji f(x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Jeśli oznaczymy f (x)=3cos3x i F (x)=sin3x, to z definicji funkcji pierwotnej mamy: F′(x)=f (x), a zatem F (x)=sin3x wynosi funkcja pierwotna dla f ( x)=3cos3x.

Zauważ, że (sin3x +5 )′= 3cos3x i (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V ogólna perspektywa można zapisać: (sin3x +C)′= 3cos3x, Gdzie Z- jakaś stała wartość. Przykłady te wskazują na niejednoznaczność działania całkowania, w przeciwieństwie do działania różniczkowania, gdy dowolna funkcja różniczkowalna ma jedną pochodną.

Definicja. Jeśli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną k(x) w pewnym przedziale wówczas zbiór wszystkich funkcji pierwotnych tej funkcji ma postać:

F(x)+C, gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych F (x) + C funkcji f (x) na rozpatrywanym przedziale nazywa się całką nieoznaczoną i oznacza się symbolem ∫ (znak całkowy). Zanotować: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Wyrażenie ∫f(x)dx czytać: „całka ef od x do de x”.

f(x)dx- wyrażenie całkowe,

k(x)— funkcja całkowa,

X jest zmienną całkującą.

F(x)- funkcja pierwotna funkcji k(x),

Z- jakaś stała wartość.

Teraz rozważane przykłady można zapisać w następujący sposób:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Co oznacza znak d?

D- znak różniczkowy - ma podwójne znaczenie: po pierwsze, znak ten oddziela całkę od zmiennej całkującej; po drugie, wszystko, co następuje po tym znaku, jest domyślnie różniczkowane i mnożone przez całkę.

Przykłady. Znajdź całki: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Po ikonie mechanizmu różnicowego D koszty XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Porównaj z przykładem 1).

Zróbmy kontrolę. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Po ikonie mechanizmu różnicowego D koszty R. Oznacza to, że zmienna całkująca R i mnożnik X należy uznać za pewną wartość stałą.

∫ 2хрдр=р²х+С. Porównaj z przykładami 1) I 3).

Zróbmy kontrolę. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Strona 1 z 1 1

Rachunek całkowy.

Funkcja pierwotna.

Definicja: Wywołuje się funkcję F(x). funkcja pierwotna funkcja f(x) na segmencie, jeśli równość jest prawdziwa w dowolnym punkcie tego odcinka:

Należy zauważyć, że dla tej samej funkcji może istnieć nieskończona liczba funkcji pierwotnych. Będą się one różnić od siebie jakąś stałą liczbą.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Całka nieoznaczona.

Definicja: Całka nieoznaczona funkcjaf(x) jest zbiorem funkcji pierwotnych zdefiniowanych zależnością:

Zanotować:

Warunkiem istnienia całki nieoznaczonej na pewnym odcinku jest ciągłość funkcji na tym odcinku.

Nieruchomości:

1.

2.

3.

4.

Przykład:

Znalezienie wartości całki nieoznaczonej wiąże się głównie ze znalezieniem funkcji pierwotnej. Dla niektórych funkcji jest to dość trudne zadanie. Poniżej rozważymy metody znajdowania całek nieoznaczonych dla głównych klas funkcji - wymiernych, irracjonalnych, trygonometrycznych, wykładniczych itp.

Dla wygody wartości całek nieoznaczonych większości funkcji elementarnych zebrano w specjalnych tabelach całek, które czasami są dość obszerne. Obejmują one różne powszechnie używane kombinacje funkcji. Ale większość wzorów przedstawionych w tych tabelach jest wzajemną konsekwencją, dlatego poniżej przedstawiamy tabelę całek podstawowych, za pomocą których można otrzymać wartości całek nieoznaczonych różnych funkcji.

Całka		Oznaczający	Całka		Oznaczający
		lnsinx+ C
		ln

Metody integracji.

Rozważmy trzy główne metody integracji.

Integracja bezpośrednia.

Metoda całkowania bezpośredniego opiera się na założeniu, że możliwe znaczenie funkcja pierwotna z dalszą weryfikacją tej wartości poprzez różniczkowanie. Ogólnie rzecz biorąc, zauważamy, że różniczkowanie jest potężnym narzędziem sprawdzania wyników całkowania.

Przyjrzyjmy się zastosowaniu tej metody na przykładzie:

Musimy znaleźć wartość całki . Na podstawie dobrze znanego wzoru różniczkowego
możemy stwierdzić, że szukana całka jest równa
, gdzie C jest pewną liczbą stałą. Jednak z drugiej strony
. Zatem możemy ostatecznie stwierdzić:

Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do różniczkowania, gdzie zastosowano jasne techniki i metody znajdowania pochodnej, zasady znajdowania pochodnej i wreszcie definicję pochodnej, metody takie nie są dostępne dla integracji. Jeżeli przy znajdywaniu pochodnej stosowaliśmy, że tak powiem, metody konstrukcyjne, które w oparciu o pewne reguły prowadziły do ​​wyniku, to przy znajdywaniu funkcji pierwotnej musimy opierać się głównie na znajomości tablic pochodnych i funkcji pierwotnych.

Jeśli chodzi o metodę bezpośredniego całkowania, ma ona zastosowanie tylko dla niektórych bardzo ograniczonych klas funkcji. Istnieje bardzo niewiele funkcji, dla których można od razu znaleźć funkcję pierwotną. Dlatego w większości przypadków stosuje się metody opisane poniżej.

Metoda podstawienia (zastępowania zmiennych).

Twierdzenie: Jeśli chcesz znaleźć całkę
, ale trudno jest znaleźć funkcję pierwotną, wówczas stosując podstawienie x =  (t) i dx =  (t) dt okazuje się:

Dowód : Zróżniczkujmy proponowaną równość:

Zgodnie z własnością nr 2 całki nieoznaczonej omówionej powyżej:

F(X) dx = F[  (T)]  (T) dt

co, biorąc pod uwagę wprowadzoną notację, jest założeniem wyjściowym. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Znajdować Całka nieoznaczona
.

Zróbmy zamiennik T = grzech, dt = cosxdt.

Przykład.

Wymiana
Otrzymujemy:

Poniżej rozważymy inne przykłady zastosowania metody podstawienia dla różnych typów funkcji.

Całkowanie przez części.

Metoda opiera się na dobrze znanym wzorze na pochodną produktu:

(uv)=uv+vu

gdzie uiv są niektórymi funkcjami x.

W formie różniczkowej: d(uv) =udv+vdu

Całkując otrzymujemy:
, oraz zgodnie z powyższymi własnościami całki nieoznaczonej:

Lub
;

Otrzymaliśmy wzór na całkowanie przez części, który pozwala nam znaleźć całki wielu funkcji elementarnych.

Przykład.

Jak widać konsekwentne stosowanie wzoru na całkowanie przez części pozwala na stopniowe upraszczanie funkcji i doprowadzenie całki do postaci tabelarycznej.

Przykład.

Można zauważyć, że w wyniku wielokrotnego stosowania całkowania przez części, funkcji nie udało się uprościć do postaci tabelarycznej. Ostatnia otrzymana całka nie różni się jednak od pierwotnej. Dlatego przesuwamy go na lewą stronę równości.

Zatem całkę znaleziono bez korzystania z tablic całek.

Zanim szczegółowo omówimy metody całkowania różnych klas funkcji, podajemy jeszcze kilka przykładów znajdowania całek nieoznaczonych poprzez redukcję ich do tabelarycznych.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Przykład.

Całkowanie ułamków elementarnych.

Definicja: Podstawowy Nazywa się następujące cztery rodzaje ułamków:

I.
III.

II.
IV.

m, n– liczby całkowite(m2,n2) i b 2 – 4ac<0.

Pierwsze dwa rodzaje całek ułamków elementarnych można po prostu sprowadzić do tabel, podstawiając t=ax+b.

Rozważmy metodę całkowania ułamków elementarnych typu III.

Całkę ułamka typu III można przedstawić jako:

Tutaj w ogólnej formie pokazano redukcję całki ułamkowej typu III do dwóch całek tabelarycznych.

Przyjrzyjmy się zastosowaniu powyższego wzoru na przykładach.

Przykład.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli oś trójmianu 2 +bx+c ma wyrażenie b 2 – 4ac>0, to ułamek z definicji nie jest elementarny, niemniej jednak można go całkować w sposób wskazany powyżej.

Przykład.

Przykład.

Rozważmy teraz metody całkowania ułamków prostych typu IV.

Najpierw rozważmy szczególny przypadek, w którym M = 0, N = 1.

Następnie całka postaci
można przedstawić w formie, wybierając cały kwadrat w mianowniku
. Dokonajmy następującej transformacji:

Drugą całkę uwzględnioną w tej równości weźmiemy na części.

Oznaczmy:

Dla całki pierwotnej otrzymujemy:

Powstała formuła nazywa się nawracający. Jeśli zastosujesz to n-1 razy, otrzymasz całkę tabelaryczną
.

Wróćmy teraz do całki ułamka elementarnego typu IV w ogólnym przypadku.

W powstałej równości pierwsza całka z wykorzystaniem podstawienia T = ty 2 + S zredukowane do tabeli , a omówiony powyżej wzór na powtarzanie stosuje się do drugiej całki.

Pomimo pozornej złożoności całkowania ułamka elementarnego typu IV, w praktyce dość łatwo jest go zastosować w przypadku ułamków o niewielkim stopniu N, a uniwersalność i ogólność podejścia umożliwia bardzo prostą implementację tej metody na komputerze.

Przykład:

Całkowanie funkcji wymiernych.

Całkowanie ułamków wymiernych.

Aby scalić ułamek wymierny, należy go rozłożyć na ułamki elementarne.

Twierdzenie: Jeśli
- właściwy ułamek wymierny, którego mianownik P(x) jest przedstawiony jako iloczyn czynników liniowych i kwadratowych (należy pamiętać, że każdy wielomian o rzeczywistych współczynnikach można przedstawić w postaci: P(X) = (X - A)  …(X - B)  (X 2 + pikseli + Q)  …(X 2 + odp + S)  ), wówczas ułamek ten można rozłożyć na elementarne według następującego schematu:

gdzie A i , B i , M i , N i , R i , S i są wielkościami stałymi.

Całkując ułamki wymierne, uciekają się do rozkładu ułamka pierwotnego na ułamki elementarne. Aby znaleźć wielkości A i , B i , M i , N i , R i , S i , tzw. metoda niepewne współczynniki , którego istota polega na tym, że aby dwa wielomiany były jednakowo równe, konieczne i wystarczające jest, aby współczynniki przy tych samych potęgach x były równe.

Rozważmy zastosowanie tej metody na konkretnym przykładzie.

Przykład.

Sprowadzając do wspólnego mianownika i przyrównując odpowiednie liczniki, otrzymujemy:

Przykład.

Ponieważ Jeśli ułamek jest niewłaściwy, musisz najpierw wybrać całą jego część:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Rozłóżmy mianownik powstałego ułamka na czynniki. Można zauważyć, że przy x = 3 mianownik ułamka zmienia się na zero. Następnie:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Zatem 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Następnie:

Aby uniknąć otwierania nawiasów, grupowania i rozwiązywania układu równań (który w niektórych przypadkach może okazać się dość duży) przy znajdowaniu niepewnych współczynników stosuje się tzw. metoda dowolne wartości . Istota metody polega na tym, że do powyższego wyrażenia podstawionych jest kilka (w zależności od liczby nieokreślonych współczynników) dowolnych wartości x. Aby uprościć obliczenia, zwykle przyjmuje się jako dowolne wartości punkty, w których mianownik ułamka jest równy zero, tj. w naszym przypadku – 3, -2, 1/3. Otrzymujemy:

Wreszcie otrzymujemy:

=

Przykład.

Znajdźmy nieokreślone współczynniki:

Następnie wartość danej całki:

Całkowanie niektórych trygonometrii

Funkcje.

Z funkcji trygonometrycznych może wynikać nieskończona liczba całek. Większości z tych całek w ogóle nie da się obliczyć analitycznie, więc rozważmy niektóre główne rodzaje funkcje, które zawsze można zintegrować.

Całka postaci
.

Tutaj R jest oznaczeniem jakiejś wymiernej funkcji zmiennych sinx i cosx.

Całki tego typu oblicza się metodą podstawienia
. To podstawienie pozwala na konwersję funkcji trygonometrycznej na wymierną.

,

Następnie

Zatem:

Opisana powyżej transformacja nazywa się uniwersalne podstawienie trygonometryczne.

Przykład.

Niewątpliwą zaletą tego podstawienia jest to, że za jego pomocą zawsze można przekształcić funkcję trygonometryczną w wymierną i obliczyć odpowiednią całkę. Wady obejmują fakt, że transformacja może skutkować dość skomplikowanym procesem funkcja wymierna, których integracja będzie wymagała dużo czasu i wysiłku.

Jeśli jednak nie da się zastosować bardziej racjonalnego zastąpienia zmiennej, metoda ta jest jedyną skuteczną.

Przykład.

Całka postaci
Jeśli

funkcjonowaćRcosx.

Pomimo możliwości obliczenia takiej całki za pomocą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego, bardziej racjonalne jest skorzystanie z podstawienia T = grzech.

Funkcjonować
może zawierać cosx tylko w potęgach parzystych i dlatego można go przekształcić w funkcję wymierną w odniesieniu do sinx.

Przykład.

Ogólnie rzecz biorąc, aby zastosować tę metodę, konieczna jest jedynie nieparzystość funkcji względem cosinusa, a stopień sinusa zawartego w funkcji może być dowolny, zarówno całkowity, jak i ułamkowy.

Całka postaci
Jeśli

funkcjonowaćRjest dziwne w stosunku dogrzech.

Analogicznie do przypadku rozpatrywanego powyżej dokonuje się podstawienia T = cosx.

Przykład.

Całka postaci

funkcjonowaćRnawet stosunkowogrzechIcosx.

Aby przekształcić funkcję R w funkcję wymierną, należy zastosować podstawienie

t = tgx.

Przykład.

Całka iloczynu sinusów i cosinusów

różne argumenty.

W zależności od rodzaju pracy stosowana będzie jedna z trzech formuł:

Przykład.

Przykład.

Czasami podczas całkowania funkcji trygonometrycznych wygodnie jest użyć dobrze znanych wzorów trygonometrycznych, aby zmniejszyć rząd funkcji.

Przykład.

Przykład.

Czasami stosowane są niestandardowe techniki.

Przykład.

Całkowanie niektórych funkcji niewymiernych.

Nie każda funkcja niewymierna może mieć całkę wyrażoną funkcjami elementarnymi. Aby znaleźć całkę funkcji niewymiernej, należy zastosować podstawienie, które pozwoli przekształcić funkcję w funkcję wymierną, której całkę zawsze można znaleźć, jak zawsze wiadomo.

Przyjrzyjmy się niektórym technikom integrowania różnych typów funkcje irracjonalne.

Całka postaci
GdzieN- Liczba naturalna.

Stosowanie podstawienia
funkcja jest zracjonalizowana.

Przykład.

Jeżeli w skład funkcji niewymiernej wchodzą pierwiastki różnych stopni, to jako nową zmienną racjonalne jest przyjęcie pierwiastka stopnia równego najmniejszej wspólnej wielokrotności stopni pierwiastków zawartych w wyrażeniu.

Zilustrujmy to przykładem.

Przykład.

Całkowanie różniczków dwumianowych.

Definicja: Różnica dwumianowa zwane ekspresją

X M (A + bx N ) P dx

Gdzie M, N, I P– liczby wymierne.

Jak udowodnił akademik P.L. Czebyszew. (1821-1894) całkę z różniczki dwumianowej można wyrazić w postaci funkcji elementarnych tylko w trzech następujących przypadkach:

Jeśli R jest liczbą całkowitą, wówczas całkę racjonalizuje się za pomocą podstawienia

, gdzie- wspólny mianownikM I N.

Proces rozwiązywania całek w nauce zwanej matematyką nazywa się integracją. Korzystając z integracji, możemy je znaleźć wielkości fizyczne: powierzchnia, objętość, masa ciał i wiele więcej.

Całki mogą być nieokreślone lub określone. Rozważmy postać całki oznaczonej i spróbujmy ją zrozumieć znaczenie fizyczne. Jest reprezentowany w postaci: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Osobliwość Zapisanie całki oznaczonej całki nieoznaczonej polega na tym, że istnieją granice całkowania a i b. Teraz dowiemy się, dlaczego są potrzebne i co właściwie oznacza całka oznaczona. W zmysł geometryczny taka całka równa powierzchni figura ograniczona krzywą f(x), liniami aib oraz osią Wółu.

Z ryc. 1 jasno wynika, że ​​całką oznaczoną jest ten sam obszar, który jest zacieniony szary. Sprawdźmy to na prostym przykładzie. Znajdźmy obszar figury na obrazku poniżej za pomocą całkowania, a następnie obliczmy go w zwykły sposób, mnożąc długość przez szerokość.

Z rys. 2 jasno wynika, że ​​$ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Teraz podstawimy je do definicji całki i otrzymamy, że $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Sprawdźmy to w zwykły sposób. W naszym przypadku długość = 3, szerokość figury = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Jak możesz widzisz, wszystko pasuje idealnie.

Powstaje pytanie: jak rozwiązywać całki nieoznaczone i jakie jest ich znaczenie? Rozwiązywanie takich całek polega na znajdowaniu funkcji pierwotnych. Ten proces przeciwieństwo bycia pochodna. Aby znaleźć funkcję pierwotną, możesz skorzystać z naszej pomocy przy rozwiązywaniu problemów matematycznych lub musisz samodzielnie zapamiętać własności całek i tablicę całkowania najprostszych funkcji elementarnych. Wynik wygląda następująco: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ jest funkcją pierwotną $ f(x), C = const $.

Aby rozwiązać całkę, należy całkować funkcję $ f(x) $ po zmiennej. Jeśli funkcja jest tabelaryczna, odpowiedź jest zapisywana w odpowiedniej formie. Jeśli nie, to proces sprowadza się do uzyskania funkcja stołu z funkcji $ f(x) $ poprzez skomplikowane przekształcenia matematyczne. Do tego istnieje różne metody i właściwości, które rozważymy dalej.

Stwórzmy teraz algorytm rozwiązywania całek dla manekinów?

Algorytm obliczania całek

1. Dowiedzmy się o całce oznaczonej, czy nie.
2. Jeśli nieokreślony, musisz znaleźć funkcja pierwotna$ F(x) $ z całki $ f(x) $ za pomocą przekształceń matematycznych prowadzących do postaci tabelarycznej funkcji $ f(x) $.
3. Jeśli zdefiniowano, należy wykonać krok 2, a następnie podstawić granice $ a $ i $ b $ do funkcji pierwotnej $ F(x) $. Jakiego wzoru użyć, aby to zrobić, dowiesz się z artykułu „Wzór Newtona-Leibniza”.

Przykłady rozwiązań

Nauczyłeś się więc rozwiązywać całki dla manekinów, uporządkowano przykłady rozwiązywania całek. Poznaliśmy ich znaczenie fizyczne i geometryczne. Metody rozwiązania zostaną opisane w innych artykułach.

W artykule przedstawiono przegląd metod obliczania całek nieoznaczonych. Rozważane są główne metody całkowania, które obejmują całkowanie sumy i różnicy, umieszczanie stałej poza znakiem całki, zastępowanie zmiennej i całkowanie przez części. Również brane pod uwagę specjalne metody oraz techniki całkowania ułamków zwykłych, pierwiastków, funkcji trygonometrycznych i funkcje wykładnicze.

Całka pierwotna i całka nieoznaczona

Funkcja pierwotna F(x) funkcji f(x) to funkcja, której pochodna jest równa f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Gdzie Δ - okres, w którym jest wykonywany dane równanie.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych nazywamy całką nieoznaczoną:
,
gdzie C jest stałą niezależną od zmiennej x.

Podstawowe wzory i metody całkowania

Tabela całek

Ostateczny cel obliczanie całek nieoznaczonych - za pomocą przekształceń sprowadzić daną całkę do wyrażenia zawierającego całki najprostsze lub tabelaryczne.
Zobacz Tabelę całek >>>

Reguła całkowania sum (różnic)

Przesunięcie stałej poza znak całki

Niech c będzie stałą niezależną od x. Następnie można go wyjąć ze znaku całki:

Zmienna wymiana

Niech x będzie zatem funkcją zmiennej t, x = φ(t).
.
Lub odwrotnie, t = φ(x) ,
.

Za pomocą zmiany zmiennej można nie tylko obliczyć proste całki, ale także uprościć obliczenia bardziej złożonych.

Całkowanie według reguły części

Całkowanie ułamków (funkcje wymierne)

Wprowadźmy notację. Niech P k (x), Q m (x), R n (x) oznaczają wielomiany stopni odpowiednio k, m, n względem zmiennej x.

Rozważmy całkę składającą się z ułamka wielomianów (tzw. funkcję wymierną):

Jeśli k ≥ n, to najpierw musisz wybrać całą część ułamka:
.
Całkę wielomianu S k-n (x) oblicza się korzystając z tabeli całek.

Całka pozostaje:
, gdzie m< n .
Aby to obliczyć, całkę należy rozłożyć na ułamki proste.

Aby to zrobić, musisz znaleźć pierwiastki równania:
Q n (x) = 0 .
Korzystając z uzyskanych pierwiastków, musisz przedstawić mianownik jako iloczyn czynników:
Q n (x) = s (x-a) n za (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n mi (x 2 +gx+k) n g ....
Tutaj s jest współczynnikiem dla x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Następnie rozbij ułamek na najprostszą postać:

Całkując otrzymujemy wyrażenie składające się z więcej całki proste.
Całki postaci

są zredukowane do podstawienia tabelarycznego t = x - a.

Rozważ całkę:

Przekształćmy licznik:
.
Podstawiając pod całkę otrzymujemy wyrażenie zawierające dwie całki:
,
.
Pierwsza, przez podstawienie t = x 2 + ex + f, sprowadza się do postaci tabelarycznej.
Po drugie, zgodnie ze wzorem redukcyjnym:

sprowadza się do całki

Sprowadźmy jego mianownik do sumy kwadratów:
.
Następnie przez podstawienie całkę

jest również tabelaryczne.

Całkowanie funkcji niewymiernych

Wprowadźmy notację. Niech R(u 1, u 2, ..., u n) oznacza wymierną funkcję zmiennych u 1, u 2, ..., u n. To jest
,
gdzie P, Q są wielomianami zmiennych u 1, u 2, ..., u n.

Ułamkowa irracjonalność liniowa

Rozważmy całki postaci:
,
gdzie są liczbami wymiernymi, m 1, n 1, ..., m s, n s są liczbami całkowitymi.
Niech n będzie wspólnym mianownikiem liczb r 1, ..., r s.
Następnie całkę sprowadza się do całki funkcji wymiernych przez podstawienie:
.

Całki z dwumianów różniczkowych

Rozważ całkę:
,
gdzie m, n, p są liczbami wymiernymi, a, b - liczby rzeczywiste.
Takie całki sprowadzają się do całek funkcji wymiernych w trzech przypadkach.

1) Jeśli p jest liczbą całkowitą. Podstawienie x = t N, gdzie N jest wspólnym mianownikiem ułamków m i n.
2) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a x n + b = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.
3) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a + b x - n = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.

Jeżeli żadna z trzech liczb nie jest liczbą całkowitą, to zgodnie z twierdzeniem Czebyszewa całki tego typu nie można wyrazić za pomocą skończonej kombinacji funkcji elementarnych.

W niektórych przypadkach warto najpierw zredukować całkę do wygodniejszych wartości m i p. Można to zrobić za pomocą wzorów redukcyjnych:
;
.

Całki zawierające pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego

Rozważamy tutaj całki postaci:
,

Podstawienia Eulera

Takie całki można sprowadzić do całek funkcji wymiernych jednego z trzech podstawień Eulera:
, dla > 0;
, dla c > 0;
, gdzie x 1 jest pierwiastkiem równania a x 2 + b x + c = 0. Jeśli to równanie ma prawdziwe korzenie.

Podstawienia trygonometryczne i hiperboliczne

Metody bezpośrednie

W większości przypadków podstawienia Eulera skutkują dłuższymi obliczeniami niż metody bezpośrednie. Stosując metody bezpośrednie, całkę redukuje się do jednej z postaci wymienionych poniżej.

Typ I

Całka postaci:
,
gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n.

Całki takie wyznacza się metodą współczynników nieoznaczonych wykorzystując tożsamość:

Różniczkując to równanie i przyrównując lewą i prawą stronę, znajdujemy współczynniki A i.

Typ II

Całka postaci:
,
gdzie P m (x) jest wielomianem stopnia m.

Podstawienie t = (x - α) -1 całka ta jest zredukowana do poprzedniego typu. Jeśli m ≥ n, to ułamek powinien mieć część całkowitą.

Typ III

Trzeci i najbardziej złożony typ:
.

Tutaj musisz dokonać podstawienia:
.
Po czym całka przyjmie postać:
.
Następnie należy tak dobrać stałe α, β, aby współczynniki dla t wyniosły zero:
B = 0, B 1 = 0.
Następnie całka rozkłada się na sumę całek dwóch typów:
;
,
które są całkowane odpowiednio przez podstawienia:
z 2 = ZA 1 t 2 + do 1 ;
r 2 = ZA 1 + do 1 t -2 .

Sprawa ogólna

Całkowanie funkcji przestępnych (trygonometrycznych i wykładniczych).

Zauważmy z góry, że metody, które mają zastosowanie do funkcji trygonometrycznych, mają również zastosowanie funkcje hiperboliczne. Z tego powodu nie będziemy osobno rozważać całkowania funkcji hiperbolicznych.

Całkowanie wymiernych funkcji trygonometrycznych cos x i sin x

Rozważmy całki funkcji trygonometrycznych postaci:
,
gdzie R jest funkcją wymierną. Może to również obejmować styczne i cotangensy, które należy przekształcić za pomocą sinusów i cosinusów.

Integrując takie funkcje warto pamiętać o trzech zasadach:
1) jeśli R( cos x, grzech x) pomnożona przez -1 ze zmiany znaku przed jedną z wielkości bo x Lub grzech x, to warto oznaczyć drugi z nich przez t.
2) jeśli R( cos x, grzech x) nie ulega zmianie ze względu na wcześniejszą zmianę znaku bo x I grzech x, wtedy warto umieścić tg x = t Lub łóżeczko x = t.
3) podstawienie we wszystkich przypadkach prowadzi do całki ułamek racjonalny. Niestety, to podstawienie skutkuje dłuższymi obliczeniami niż poprzednie, jeśli ma to zastosowanie.

Iloczyn funkcji potęgowych cos x i sin x

Rozważmy całki postaci:

Jeśli m i n są liczbami wymiernymi, to jedno z podstawień t = grzech x lub t = bo x całka jest zredukowana do całki z dwumianu różniczkowego.

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, wówczas całki oblicza się przez całkowanie przez części. Daje to następujące wzory redukcyjne:

;
;
;
.

Całkowanie przez części

Zastosowanie wzoru Eulera

Jeśli całka jest liniowa względem jednej z funkcji
bo topór Lub grzech, wówczas wygodnie jest zastosować wzór Eulera:
e iax = topór cos + topór isin(gdzie i 2 = - 1 ),
zastępując tę ​​funkcję przez e iax i podświetlanie prawdziwego (podczas wymiany bo topór) lub część urojona (przy wymianie grzech) z otrzymanego wyniku.

Bibliografia:
N.M. Gunther, RO Kuźmin, Zbiór problemów nt wyższa matematyka, „Lan”, 2003.