Eksploruj funkcje i twórz ich wykresy. Kompletny przykład badania funkcji online

Aby w pełni przestudiować funkcję i wykreślić jej wykres, zaleca się skorzystanie z następującego schematu:

1) znaleźć dziedzinę definicji funkcji;

2) znaleźć punkty nieciągłości funkcji i asymptoty pionowe(jeśli istnieją);

3) zbadać zachowanie funkcji w nieskończoności, znaleźć asymptoty poziome i ukośne;

4) zbadać funkcję parzystości (parzystości nieparzystej) i okresowości (dla funkcje trygonometryczne);

5) znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji;

6) wyznaczać przedziały wypukłości i punkty przegięcia;

7) znaleźć punkty przecięcia z osiami współrzędnych i, jeśli to możliwe, kilka dodatkowych punktów wyjaśniających wykres.

Badanie funkcji odbywa się jednocześnie z konstrukcją jej wykresu.

Przykład 9 Zbadaj funkcję i zbuduj wykres.

1. Zakres definicji: ;

2. Funkcja ma nieciągłość punktową
,
;

Badamy funkcję obecności asymptot pionowych.

;
,
─ asymptota pionowa.

;
,
─ asymptota pionowa.

3. Badamy funkcję obecności asymptot ukośnych i poziomych.

Prosty
─ asymptota ukośna, jeśli
,
.

,
.

Prosty
─ asymptota pozioma.

4. Funkcja jest parzysta, ponieważ
. Parzystość funkcji wskazuje na symetrię wykresu względem rzędnej.

5. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne, tj. punkty, w których pochodna wynosi 0 lub nie istnieje:
;
. Mamy trzy punkty
;

. Punkty te dzielą całą oś rzeczywistą na cztery przedziały. Zdefiniujmy znaki na każdym z nich.

Na przedziałach (-∞; -1) i (-1; 0) funkcja rośnie, na przedziałach (0; 1) i (1; +∞) ─ maleje. Podczas przechodzenia przez punkt
pochodna zmienia znak z plusa na minus, dlatego w tym momencie funkcja ma maksimum
.

6. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia.

Znajdźmy punkty, w których wynosi 0 lub nie istnieje.

nie ma prawdziwych korzeni.
,
,

Zwrotnica
I
podzielić oś rzeczywistą na trzy przedziały. Zdefiniujmy znak w każdym odstępie czasu.

Zatem krzywa na interwałach
I
wypukły w dół, na przedziale (-1;1) wypukły w górę; nie ma punktów przegięcia, ponieważ funkcja jest w punktach
I
niezdeterminowany.

7. Znajdź punkty przecięcia z osiami.

Z osią
wykres funkcji przecina się w punkcie (0; -1) i z osią
wykres się nie przecina, ponieważ licznik tej funkcji nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wykres danej funkcji pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1 ─ Wykres funkcji

Zastosowanie pojęcia pochodnej w ekonomii. Funkcja sprężystości

Aby badać procesy gospodarcze i rozwiązywać inne stosowane problemy Często używa się pojęcia elastyczności funkcji.

Definicja. Funkcja sprężystości
nazywa się granicą stosunku względnego przyrostu funkcji do względnego przyrostu zmiennej Na
, . (VII)

Elastyczność funkcji pokazuje w przybliżeniu, o ile procent funkcja się zmieni
gdy zmienia się zmienna niezależna o 1%.

Funkcja elastyczności wykorzystywana jest w analizie popytu i konsumpcji. Jeżeli elastyczność popytu (w wartości bezwzględnej)
, to popyt uważa się za elastyczny, jeśli
─ neutralny jeśli
─ nieelastyczny w stosunku do ceny (lub dochodu).

Przykład 10 Oblicz elastyczność funkcji
i znajdź wartość wskaźnika elastyczności dla = 3.

Rozwiązanie: zgodnie ze wzorem (VII) elastyczność funkcji wynosi:

Niech więc x=3
Oznacza to, że jeśli zmienna niezależna wzrośnie o 1%, to wartość zmiennej zależnej wzrośnie o 1,42%.

Przykład 11 Niech popyt działa odnośnie ceny wygląda jak
, Gdzie ─ stały współczynnik. Znajdź wartość wskaźnika elastyczności funkcji popytu przy cenie x = 3 den. jednostki

Rozwiązanie: oblicz elastyczność funkcji popytu korzystając ze wzoru (VII)

Wierzyć
jednostek pieniężnych, otrzymujemy
. Oznacza to, że po cenie
jednostki monetarne wzrost ceny o 1% spowoduje spadek popytu o 6%, tj. popyt jest elastyczny.

Dziś zapraszamy Cię do eksploracji i zbudowania z nami wykresu funkcji. Po dokładnym przestudiowaniu tego artykułu nie będziesz musiał długo się pocić, aby wykonać tego typu zadanie. Badanie i skonstruowanie wykresu funkcji nie jest łatwe; jest to obszerna praca wymagająca maksymalnej uwagi i dokładności obliczeń. Aby ułatwić zrozumienie materiału, przestudiujemy krok po kroku tę samą funkcję i wyjaśnimy wszystkie nasze działania i obliczenia. Witamy w niesamowitym i fascynujący świat matematyka! Iść!

Domena

Aby zbadać i wykreślić funkcję, musisz znać kilka definicji. Funkcja jest jednym z głównych (podstawowych) pojęć w matematyce. Odzwierciedla zależność pomiędzy kilkoma zmiennymi (dwiema, trzema lub więcej) podczas zmian. Funkcja pokazuje także zależność zbiorów.

Wyobraź sobie, że mamy dwie zmienne, które mają określony zakres zmian. Zatem y jest funkcją x, pod warunkiem, że każda wartość drugiej zmiennej odpowiada jednej wartości drugiej. W tym przypadku zmienna y jest zależna i nazywa się ją funkcją. Zwyczajowo mówi się, że zmienne x i y są w. Dla większej przejrzystości tej zależności budowany jest wykres funkcji. Co to jest wykres funkcji? To jest zestaw punktów płaszczyzna współrzędnych, gdzie każda wartość x odpowiada jednej wartości y. Wykresy mogą być różne - linia prosta, hiperbola, parabola, fala sinusoidalna i tak dalej.

Nie da się wykreślić funkcji bez badań. Dzisiaj dowiemy się jak przeprowadzić badania i zbudować wykres funkcji. Bardzo ważne jest robienie notatek podczas nauki. Dzięki temu znacznie łatwiej będzie sprostać temu zadaniu. Najwygodniejszy plan badawczy:

  1. Domena.
  2. Ciągłość.
  3. Parzyste czy nieparzyste.
  4. Okresowość.
  5. Asymptoty.
  6. Zera.
  7. Znak stałości.
  8. Rosnące i malejące.
  9. Skrajności.
  10. Wypukłość i wklęsłość.

Zacznijmy od pierwszego punktu. Znajdźmy dziedzinę definicji, czyli w jakich przedziałach istnieje nasza funkcja: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). W naszym przypadku funkcja istnieje dla dowolnych wartości x, czyli dziedzina definicji jest równa R. Można to zapisać w następujący sposób xÎR.

Ciągłość

Teraz zbadamy funkcję nieciągłości. W matematyce termin „ciągłość” pojawił się w wyniku badań praw ruchu. Co jest nieskończone? Przestrzeń, czas, niektóre zależności (przykładem jest zależność zmiennych S i t w zagadnieniach ruchowych), temperatura podgrzewanego obiektu (woda, patelnia, termometr itp.), linia ciągła (czyli taka, która można rysować bez odrywania go od arkusza ołówka).

Wykres uważa się za ciągły, jeśli w pewnym momencie nie ulega przerwaniu. Jeden z najbardziej ilustrujące przykłady taki wykres to sinusoida, którą widać na obrazku w ta sekcja. Funkcja jest ciągła w pewnym punkcie x0, jeśli spełnionych jest kilka warunków:

  • funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie;
  • prawa i lewa granica w punkcie są równe;
  • granica jest równa wartości funkcji w punkcie x0.

Jeśli przynajmniej jeden warunek nie jest spełniony, mówimy, że funkcja nie działa. A punkty, w których funkcja się załamuje, nazywane są zwykle punktami przerwania. Przykładem funkcji, która „załamie się” podczas wyświetlania graficznego, jest: y=(x+4)/(x-3). Co więcej, y nie istnieje w punkcie x = 3 (ponieważ nie da się podzielić przez zero).

W funkcji, którą badamy (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) wszystko okazało się proste, ponieważ wykres będzie ciągły.

Nawet dziwne

Teraz sprawdź funkcję pod kątem parzystości. Na początek trochę teorii. Funkcja parzysta to taka, która spełnia warunek f(-x)=f(x) dla dowolnej wartości zmiennej x (z zakresu wartości). Przykłady obejmują:

  • moduł x (wykres wygląda jak świt, dwusieczna pierwszej i drugiej ćwiartki wykresu);
  • x kwadrat (parabola);
  • cosinus x (cosinus).

Należy zauważyć, że wszystkie te wykresy są symetryczne, patrząc względem osi Y.

Co w takim razie nazywa się funkcją nieparzystą? Są to funkcje spełniające warunek: f(-x)=-f(x) dla dowolnej wartości zmiennej x. Przykłady:

  • hiperbola;
  • parabola sześcienna;
  • sinusoida;
  • styczna i tak dalej.

Należy pamiętać, że funkcje te są symetryczne względem punktu (0:0), czyli początku układu współrzędnych. Opierając się na tym, co powiedziano w tej części artykułu, nawet i dziwna funkcja musi mieć właściwość: x należy do zbioru definicji i -x również.

Zbadajmy funkcję parzystości. Widzimy, że nie pasuje do żadnego z opisów. Zatem nasza funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Asymptoty

Zacznijmy od definicji. Asymptota to krzywa znajdująca się jak najbliżej wykresu, to znaczy odległość od określonego punktu dąży do zera. W sumie istnieją trzy typy asymptot:

Jeśli chodzi o pierwszy typ, tych linii należy szukać w niektórych punktach:

  • luka;
  • krańce dziedziny definicji.

W naszym przypadku funkcja jest ciągła, a dziedzina definicji równa się R. W związku z tym nie ma asymptot pionowych.

Wykres funkcji ma asymptotę poziomą, która spełnia warunek: jeśli x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, a granica jest równa pewnej liczbie (na przykład a). W w tym przypadku y=a - jest to asymptota pozioma. W funkcji, którą badamy, nie ma asymptot poziomych.

Asymptota ukośna istnieje tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

  • lim(f(x))/x=k;
  • lim f(x)-kx=b.

Wtedy można to znaleźć korzystając ze wzoru: y=kx+b. Ponownie w naszym przypadku nie ma asymptot ukośnych.

Zera funkcji

Następnym krokiem jest sprawdzenie wykresu funkcji dla zer. Bardzo ważne jest również, aby pamiętać, że zadanie związane ze znalezieniem zer funkcji występuje nie tylko podczas badania i konstruowania wykresu funkcji, ale także w jaki sposób niezależne zadanie i jako sposób rozwiązywania nierówności. Może być konieczne znalezienie zer funkcji na wykresie lub użycie notacji matematycznej.

Znalezienie tych wartości pomoże Ci dokładniej wykreślić funkcję. Jeśli porozmawiamy w prostym języku, to zero funkcji jest wartością zmiennej x, przy której y = 0. Jeśli szukasz zer funkcji na wykresie, to powinieneś zwrócić uwagę na punkty, w których wykres przecina się z osią x.

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, należy rozwiązać następujące równanie: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń otrzymujemy następującą odpowiedź:

Znak stałości

Kolejnym etapem badań i konstrukcji funkcji (wykresu) jest znalezienie przedziałów znaku stałego. Oznacza to, że musimy określić, w jakich odstępach czasu przyjmuje się tę funkcję wartość dodatnia, a na niektórych - negatywne. Pomogą nam w tym funkcje zerowe znalezione w ostatniej sekcji. Musimy więc zbudować linię prostą (oddzielną od wykresu) i w we właściwej kolejności rozłóż po niej zera funkcji od najmniejszego do największego. Teraz musisz określić, który z powstałych przedziałów ma znak „+”, a który „-”.

W naszym przypadku funkcja przyjmuje wartość dodatnią na przedziałach:

  • od 1 do 4;
  • od 9 do nieskończoności.

Negatywne znaczenie:

  • od minus nieskończoności do 1;
  • od 4 do 9.

Jest to dość łatwe do ustalenia. Podstaw dowolną liczbę z przedziału do funkcji i zobacz, jaki znak będzie miała odpowiedź (minus lub plus).

Funkcja rosnąca i malejąca

Aby zbadać i skonstruować funkcję, musimy wiedzieć, gdzie wykres będzie rósł (w górę wzdłuż osi Oy), a gdzie spadnie (pełzanie w dół wzdłuż osi y).

Funkcja wzrasta tylko wtedy, gdy odpowiada większej wartości zmiennej x wyższa wartość ty Oznacza to, że x2 jest większe niż x1, a f(x2) jest większe niż f(x1). A zupełnie odwrotne zjawisko obserwujemy z funkcją malejącą (im więcej x, tym mniej y). Aby określić przedziały wzrostu i spadku, musisz znaleźć następujące elementy:

  • dziedzina definicji (już mamy);
  • pochodna (w naszym przypadku: 1/3(3x^2-28x+49);
  • rozwiąż równanie 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Po obliczeniach otrzymujemy wynik:

Otrzymujemy: funkcja rośnie na przedziałach od minus nieskończoności do 7/3 i od 7 do nieskończoności, a maleje na przedziale od 7/3 do 7.

Skrajności

Badana funkcja y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) jest ciągła i istnieje dla dowolnej wartości zmiennej x. Punkt ekstremalny pokazuje maksimum i minimum danej funkcji. W naszym przypadku ich nie ma, co znacznie ułatwia zadanie konstrukcyjne. W W przeciwnym razie można również znaleźć za pomocą funkcji pochodnej. Po znalezieniu nie zapomnij zaznaczyć ich na mapie.

Wypukłość i wklęsłość

Kontynuujemy dalsze badanie funkcji y(x). Teraz musimy sprawdzić go pod kątem wypukłości i wklęsłości. Definicje tych pojęć są dość trudne do zrozumienia; lepiej wszystko przeanalizować na przykładach. Do testu: funkcja jest wypukła, jeśli jest funkcją niemalejącą. Zgadzam się, to jest niezrozumiałe!

Musimy znaleźć pochodną funkcji drugiego rzędu. Otrzymujemy: y=1/3(6x-28). Przyrównajmy teraz prawą stronę do zera i rozwiążmy równanie. Odpowiedź: x=14/3. Znaleźliśmy punkt przegięcia, czyli miejsce, w którym wykres zmienia się z wypukłego na wklęsły lub odwrotnie. Na przedziale od minus nieskończoności do 14/3 funkcja jest wypukła, a od 14/3 do plus nieskończoności – wklęsła. Bardzo ważne jest również, aby pamiętać, że punkt przegięcia na wykresie powinien być gładki i miękki, nie ostre rogi nie powinien być obecny.

Definiowanie dodatkowych punktów

Naszym zadaniem jest zbadanie i skonstruowanie wykresu tej funkcji. Zakończyliśmy badanie; skonstruowanie wykresu funkcji nie jest już trudne. Aby uzyskać dokładniejsze i bardziej szczegółowe odwzorowanie krzywej lub linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych, można znaleźć kilka punktów pomocniczych. Można je dość łatwo obliczyć. Na przykład bierzemy x=3, rozwiązujemy powstałe równanie i znajdujemy y=4. Lub x=5, y=-5 i tak dalej. Możesz zdobyć tyle dodatkowych punktów, ile potrzebujesz na budowę. Znaleziono ich co najmniej 3–5.

Rysowanie wykresu

Musieliśmy zbadać funkcję (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Wszystkie niezbędne oznaczenia podczas obliczeń wykonano na płaszczyźnie współrzędnych. Pozostało jeszcze tylko zbudować wykres, czyli połączyć wszystkie kropki. Łączenie kropek powinno przebiegać płynnie i dokładnie, jest to kwestia umiejętności – trochę praktyki, a Twój plan będzie idealny.

Instrukcje

Znajdź dziedzinę funkcji. Przykładowo funkcja sin(x) jest definiowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest definiowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.

Identyfikacja obszarów ciągłości i punktów nieciągłości. Zazwyczaj funkcja jest ciągła w tym samym obszarze, w którym jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, należy obliczyć, gdy argument zbliża się do izolowanych punktów w dziedzinie definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x → 0+ i do minus nieskończoności, gdy x → 0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma on nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeśli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli są one równe, wówczas funkcję uważa się za ciągłą, chociaż nie jest ona zdefiniowana w izolowanym punkcie.

Znajdź asymptoty pionowe, jeśli takie istnieją. Pomogą Ci w tym obliczenia z poprzedniego kroku, ponieważ asymptota pionowa prawie zawsze leży w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z dziedziny definicji wyłączone są nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów i wówczas na krawędziach tych przedziałów można zlokalizować asymptoty pionowe.

Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie parzysta jeśli dla dowolnego x z dziedziny f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 - nawet funkcje.

Okresowość to właściwość mówiąca, że ​​istnieje pewna liczba T, zwana okresem, dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie podstawowe funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens) są okresowe.

Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną dana funkcja i znajdź te wartości x, gdzie staje się zerem. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.

Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, śledź zmianę znaków pochodnej przy znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa w punkcie x = -6, a w punkcie x = 0 z powrotem z minusa na plus. W konsekwencji funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.

W ten sposób znalazłeś również obszary monotoniczności: f(x) monotonicznie rośnie w przedziale -∞;-6, monotonicznie maleje w -6;0 i ponownie rośnie w przedziale 0;+∞.

Znajdź drugą pochodną. Jej pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład druga pochodna funkcji f(x) będzie wynosić h(x) = 6x + 18. Przy x = -3 dochodzi do zera, zmieniając znak z minus na plus. W konsekwencji wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.

Funkcja może mieć inne asymptoty oprócz pionowych, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x → ∞ lub x → ​​-∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptotę poziomą.

Asymptota ukośna jest linią prostą w postaci kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x → ∞. Znalezienie b - granicy (f(x) – kx) dla tego samego x→∞.

Nauka funkcji odbywa się według przejrzystego schematu i wymaga od studenta posiadania solidnej wiedzy z zakresu podstaw pojęcia matematyczne takie jak dziedzina definicji i wartości, ciągłość funkcji, asymptota, punkty ekstremalne, parzystość, okresowość itp. Student musi umieć swobodnie różniczkować funkcje i rozwiązywać równania, które czasami mogą być bardzo złożone.

Oznacza to, że to zadanie testuje znaczną warstwę wiedzy, a każda luka stanie się przeszkodą w zdobyciu dobra decyzja. Szczególnie często trudności pojawiają się przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ten błąd jest natychmiast zauważalny dla nauczyciela i może znacznie zaszkodzić Twojej ocenie, nawet jeśli wszystko inne zostało zrobione poprawnie. Tutaj możesz znaleźć Problemy z badaniem funkcji online: przykłady badań, rozwiązania do pobrania, zadania zamówień.

Przeglądaj funkcję i kreśl wykres: przykłady i rozwiązania online

Przygotowaliśmy dla Ciebie wiele gotowych badań funkcyjnych, zarówno płatnych w książce rozwiązań, jak i bezpłatnych w dziale Przykłady badań funkcyjnych. Na podstawie rozwiązanych zadań będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z metodyką ich wykonania podobne zadania, przeprowadź swoje badania przez analogię.

Oferujemy gotowe przykłady kompleksowe badanie i wykreślanie funkcji najpowszechniejszych typów: wielomianów, funkcji ułamkowo-wymiernych, niewymiernych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych. Do każdego rozwiązanego problemu dołączony jest gotowy wykres z wyróżnionymi kluczowymi punktami, asymptotami, maksimami i minimami. Rozwiązanie przeprowadza się za pomocą algorytmu badania funkcji;

W każdym razie rozwiązane przykłady będą dla Ciebie bardzo pomocne, ponieważ obejmują najpopularniejsze typy funkcji. Oferujemy setki już rozwiązanych problemów, ale jak wiadomo, funkcje matematyczne na świecie - nieskończona liczba, a nauczyciele są świetnymi ekspertami w wymyślaniu coraz trudniejszych zadań dla biednych uczniów. Tak więc, drodzy studenci, wykwalifikowana pomoc wam nie zaszkodzi.

Rozwiązywanie problemów związanych z badaniem funkcji niestandardowych

W takim przypadku nasi partnerzy zaoferują Ci inną usługę - pełne badanie funkcji online zamówić. Zadanie zostanie dla Ciebie wykonane zgodnie ze wszystkimi wymaganiami dotyczącymi algorytmu rozwiązywania takich problemów, co bardzo ucieszy Twojego nauczyciela.

Wykonamy dla Ciebie pełne badanie funkcji: znajdziemy dziedzinę definicji i dziedzinę wartości, zbadamy ciągłość i nieciągłość, ustalimy parzystość, sprawdzimy okresowość funkcji oraz znajdziemy punkty przecięcia z osiami współrzędnych . I oczywiście dalej z pomocą rachunek różniczkowy: znajdziemy asymptoty, obliczymy ekstrema, punkty przegięcia i skonstruujemy sam wykres.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu udoskonalenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.