Które były ci w takim czy innym stopniu znane. Zaznaczono tam także, że zasób właściwości funkcjonalnych będzie sukcesywnie uzupełniany. W tej sekcji zostaną omówione dwie nowe właściwości.
Definicja 1.
Funkcja y = f(x), x є X, jest wywoływana nawet wtedy, gdy dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = f (x).
Definicja 2.
Funkcję y = f(x), x є X nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = -f (x).
Udowodnić, że y = x 4 jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale(-x) 4 = x 4. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f(-x) = f(x), tj. funkcja jest parzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y – x 2, y = x 6, y – x 8 są parzyste.
Udowodnić, że y = x 3 ~ funkcja nieparzysta.
Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f (-x) = -f (x), tj. funkcja jest nieparzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y = x, y = x 5, y = x 7 są nieparzyste.
Niejednokrotnie byliśmy już przekonani, że nowe terminy w matematyce mają najczęściej „ziemskie” pochodzenie, tj. można je jakoś wytłumaczyć. Dzieje się tak zarówno w przypadku funkcji parzystych, jak i nieparzystych. Zobacz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 to funkcje nieparzyste, natomiast y = x 2, y = x 4, y = x 6 to funkcje parzyste. I ogólnie dla dowolnej funkcji postaci y = x” (poniżej szczegółowo przeanalizujemy te funkcje), gdzie n jest liczbą naturalną, możemy stwierdzić: jeśli n jest liczbą nieparzystą, wówczas funkcja y = x” wynosi dziwne; jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja y = xn jest parzysta.
Istnieją również funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Taka jest na przykład funkcja y = 2x + 3. Rzeczywiście f(1) = 5 i f (-1) = 1. Jak więc widać, tutaj zatem ani tożsamość f(-x) = f ( x), ani tożsamość f(-x) = -f(x).
Zatem funkcja może być parzysta, nieparzysta lub żadna z nich.
Badanie, czy dana funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się zwykle badaniem parzystości.
Definicje 1 i 2 odnoszą się do wartości funkcji w punktach x i -x. Zakłada się, że funkcja jest zdefiniowana zarówno w punkcie x, jak i w punkcie -x. Oznacza to, że punkt -x należy do dziedziny definicji funkcji jednocześnie z punktem x. Jeśli zbiór liczbowy X wraz z każdym jego elementem x zawiera także element przeciwny -x, to X nazywa się zbiorem symetrycznym. Powiedzmy, że (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) są zbiorami symetrycznymi, podczas gdy ; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są zbiorami asymetrycznymi.
– Czy nawet funkcje mają dziedzinę definicji, która jest zbiorem symetrycznym? Dziwne?
– Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Zatem, jeśli funkcja Na = F(X) – parzysty lub nieparzysty, wówczas jego dziedziną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Czy prawdziwe jest stwierdzenie odwrotne: jeśli dziedziną definicji funkcji jest zbiór symetryczny, to czy jest ona parzysta czy nieparzysta?
– Oznacza to, że obecność zbioru symetrycznego dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak zatem zbadać funkcję pod kątem parzystości? Spróbujmy stworzyć algorytm.
Slajd
Algorytm badania funkcji parzystości
1. Ustalić, czy dziedzina definicji funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.
2. Napisz wyrażenie dla F(–X).
3. Porównaj F(–X).I F(X):
- Jeśli F(–X).= F(X), to funkcja jest parzysta;
- Jeśli F(–X).= – F(X), to funkcja jest nieparzysta;
- Jeśli F(–X) ≠ F(X) I F(–X) ≠ –F(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Przykłady:
Zbadaj funkcję a) pod kątem parzystości Na= x 5 +; B) Na= ; V) Na= .
Rozwiązanie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcja h(x)= x 5 + nieparzyste.
b) y =,
Na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, co oznacza, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
V) F(X) = , y = fa (x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcja 2
1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją parzystą.
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją nieparzystą.
Wzajemne sprawdzenie slajd.
6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;
Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.
***(Przypisanie opcji Unified State Examination).
1. Funkcja nieparzysta y = f(x) jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = o godz X = 3.
7. Podsumowanie
Hide Show
Metody określania funkcji
Niech funkcję będzie dana wzorem: y=2x^(2)-3. Przypisując dowolne wartości zmiennej niezależnej x, można za pomocą tego wzoru obliczyć odpowiadające wartości zmiennej zależnej y. Na przykład, jeśli x=-0,5, to korzystając ze wzoru stwierdzamy, że odpowiadająca wartość y wynosi y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Biorąc dowolną wartość przyjmowaną przez argument x we wzorze y=2x^(2)-3, można obliczyć tylko jedną wartość funkcji, która jej odpowiada. Funkcję można przedstawić w postaci tabeli:
| X | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Korzystając z tej tabeli, możesz zobaczyć, że wartości argumentu -1 odpowiada wartość funkcji -3; a wartość x=2 będzie odpowiadać y=0 itd. Ważne jest również, aby wiedzieć, że każda wartość argumentu w tabeli odpowiada tylko jednej wartości funkcji.
Więcej funkcji można określić za pomocą wykresów. Za pomocą wykresu ustala się, która wartość funkcji koreluje z określoną wartością x. Najczęściej będzie to przybliżona wartość funkcji.
Funkcja parzysta i nieparzysta
Funkcja jest nawet funkcjonować, gdy f(-x)=f(x) dla dowolnego x z dziedziny definicji. Taka funkcja będzie symetryczna względem osi Oy.
Funkcja jest dziwna funkcja, gdy f(-x)=-f(x) dla dowolnego x z dziedziny definicji. Taka funkcja będzie symetryczna względem początku O (0;0).
Funkcja jest nawet nie, ani dziwne i nazywa się funkcja ogólna, gdy nie ma symetrii względem osi lub początku.
Przeanalizujmy następującą funkcję parzystości:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) z symetryczną dziedziną definicji względem początku. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Oznacza to, że funkcja f(x)=3x^(3)-7x^(7) jest nieparzysta.
Funkcja okresowa
Funkcja y=f(x) , w dziedzinie której zachodzi równość f(x+T)=f(x-T)=f(x) dla dowolnego x, nazywa się funkcja okresowa z okresem T \neq 0 .
Powtórzenie wykresu funkcji na dowolnym odcinku osi x o długości T.
Przedziały, w których funkcja jest dodatnia, czyli f(x) > 0, są odcinkami osi odciętych odpowiadającymi punktom wykresu funkcji leżącym nad osią odciętych.
f(x) > 0 włączone (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Przedziały, w których funkcja jest ujemna, czyli f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
k(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Ograniczona funkcja
Ograniczone od dołu Zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba A, dla której nierówność f(x) \geq A zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej od dołu: y=\sqrt(1+x^(2)) ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 dla dowolnego x .
Ograniczone od góry funkcja y=f(x), x \in X jest wywoływana, gdy istnieje liczba B, dla której nierówność f(x) \neq B zachodzi dla dowolnego x \in X .
Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 dla dowolnego x \in [-1;1] .
Ograniczony Zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba K > 0, dla której nierówność \left | f(x)\prawo | \neq K dla dowolnego x \in X .
Przykład ograniczonej funkcji: y=\sin x jest ograniczone na całej osi liczbowej, ponieważ \w lewo | \sin x \right | \neq 1.
Funkcja rosnąca i malejąca
Zwyczajowo mówi się o funkcji, która rośnie w rozpatrywanym przedziale jako funkcja rosnąca wtedy, gdy większa wartość x odpowiada większej wartości funkcji y=f(x) . Wynika z tego, że biorąc dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) z rozważanego przedziału, przy x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1)) > y(x_(2)).
Nazywa się funkcję, która maleje w rozpatrywanym przedziale funkcja malejąca gdy większa wartość x odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x) . Wynika z tego, że biorąc z rozpatrywanego przedziału dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) oraz x_(1) > x_(2) , wynikiem będzie y(x_(1))< y(x_{2}) .
Korzenie funkcji Zwyczajowo nazywa się punkty, w których funkcja F=y(x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je rozwiązując równanie y(x)=0).
a) Jeżeli dla x > 0 funkcja parzysta rośnie, to dla x maleje< 0
b) Gdy funkcja parzysta maleje dla x > 0, to wzrasta dla x< 0
.png)
c) Gdy funkcja nieparzysta rośnie przy x > 0, to również rośnie przy x< 0
d) Gdy funkcja nieparzysta maleje dla x > 0, to zmniejsza się również dla x< 0
.png)
Ekstrema funkcji
Minimalny punkt funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), którego sąsiedztwo będzie miało inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), i dla nich nierówność f(x) > f będzie wówczas wynosić zadowolony (x_(0)) . y_(min) - oznaczenie funkcji w punkcie min.
Maksymalny punkt funkcji y=f(x) nazywa się zwykle punktem x=x_(0), którego sąsiedztwo będzie miało inne punkty (z wyjątkiem punktu x=x_(0)), i dla nich nierówność f(x) będzie wtedy spełniona< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Warunek wstępny
Zgodnie z twierdzeniem Fermata: f"(x)=0, gdy funkcja f(x) różniczkowalna w punkcie x_(0) będzie miała w tym punkcie ekstremum.
Stan wystarczający
- Gdy pochodna zmieni znak z plusa na minus, wówczas x_(0) będzie punktem minimalnym;
- x_(0) - będzie punktem maksymalnym tylko wtedy, gdy pochodna zmieni znak z minus na plus przy przejściu przez punkt stacjonarny x_(0) .
Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
Kroki obliczeniowe:
- Poszukuje się pochodnej f”(x);
- Znaleziono punkty stacjonarne i krytyczne funkcji oraz wybrano te, które należą do odcinka;
- Wartości funkcji f(x) znajdują się w punktach stacjonarnych i krytycznych oraz na końcach odcinka. Mniejszy z uzyskanych wyników będzie najmniejsza wartość funkcji, i więcej - największy.
Funkcjonować jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja - zależność zmiennej Na ze zmiennej X, jeśli każda wartość X pasuje do jednej wartości Na. Zmienny X nazywaną zmienną niezależną lub argumentem. Zmienny Na zwaną zmienną zależną. Wszystkie wartości zmiennej niezależnej (zmienna X) tworzą dziedzinę definicji funkcji. Wszystkie wartości, jakie przyjmuje zmienna zależna (variable y), tworzą zakres wartości funkcji.
Wykres funkcji wywołaj zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji, to znaczy wartościom zmienne są wykreślane wzdłuż osi odciętych X, a wartości zmiennej są wykreślane wzdłuż osi rzędnych y. Aby narysować wykres funkcji, musisz znać jej właściwości. Główne właściwości funkcji zostaną omówione poniżej!
Do zbudowania wykresu funkcji polecamy skorzystać z naszego programu - Grafowanie funkcji online. Jeśli podczas studiowania materiałów na tej stronie będziesz miał jakieś pytania, zawsze możesz je zadać na naszym forum. Również na forum pomogą Ci rozwiązać problemy z matematyki, chemii, geometrii, teorii prawdopodobieństwa i wielu innych przedmiotów!
Podstawowe własności funkcji.
1) Dziedzina funkcji i zakres funkcji.
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentów X(zmienny X), dla której funkcja y = f(x) określony.
Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych y, co funkcja akceptuje.
W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.
2) Zera funkcji.
Wartości X, w którym y=0, zwany zera funkcji. Są to odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z osią Wół.
3) Przedziały stałego znaku funkcji.
Takimi przedziałami wartości są przedziały znaku stałego funkcji X, na którym znajdują się wartości funkcji y wywoływane są albo tylko dodatnie, albo tylko ujemne przedziały stałego znaku funkcji.
4) Monotoniczność funkcji.
Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.
Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.
5) Funkcja parzysta (nieparzysta)..
Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem rzędnej.
Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość jest prawdziwa f(-x) = - f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.
Nawet funkcjonować
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0), to znaczy, jeśli punkt A należy do dziedziny definicji, a następnie do punktu -A również należy do domeny definicji.
2) Dla dowolnej wartości X f(-x)=f(x)
3) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.
Dziwna funkcja ma następujące właściwości:
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0).
2) dla dowolnej wartości X, należący do dziedziny definicji, równość f(-x)=-f(x)
3) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (0; 0).
Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólna perspektywa nie są ani parzyste, ani nieparzyste.
6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.
Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że |f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to funkcja jest nieograniczona.
7) Okresowość funkcji.
Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji zachodzi: f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).
Funkcjonować F nazywa się okresowym, jeśli istnieje taka liczba, że dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji.
Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy okres dodatni.
Wartości funkcji okresowej powtarzają się po odstępie równym okresowi. Jest to wykorzystywane podczas konstruowania wykresów.
Definicja 1. Funkcja zostaje wywołana nawet
(dziwne
), jeśli razem z każdą wartością zmiennej 
oznaczający - X również należy 
i zachodzi równość
Zatem funkcja może być parzysta lub nieparzysta tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji jest symetryczna względem początku współrzędnych na osi liczbowej (liczba X I - X należeć jednocześnie 
). Na przykład funkcja 
nie jest ani parzysty, ani nieparzysty, ponieważ jest to dziedzina definicji 
nie symetryczny względem początku.
Funkcjonować 
nawet, ponieważ 
symetryczny względem początku i.
Funkcjonować 
dziwne, ponieważ 
I 
.
Funkcjonować 
nie jest parzyste i nieparzyste, ponieważ chociaż 
i jest symetryczny względem początku, równości (11.1) nie są spełnione. Na przykład,.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Jednostka organizacyjna, bo jeśli o to chodzi 
również należy do harmonogramu. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku, ponieważ jeśli 
należy do wykresu, a następnie do punktu 
również należy do harmonogramu.
Przy dowodzie, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, przydatne są następujące stwierdzenia.
Twierdzenie 1. a) Suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą (nieparzystą).
b) Iloczyn dwóch parzystych (nieparzystych) funkcji jest funkcją parzystą.
c) Iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą.
d) Jeśli F– nawet działa na planie X i funkcja G
zdefiniowany na planie 
, a następnie funkcja 
- nawet.
d) Jeśli F– dziwna funkcja na zestawie X i funkcja G
zdefiniowany na planie 
i parzysty (nieparzysty), to funkcja 
- nawet dziwne).
Dowód. Udowodnimy na przykład b) i d).
b) Niech 
I 
– nawet funkcje. Zatem zatem. Przypadek funkcji nieparzystych jest traktowany podobnie 
I 
.
d) Niech F jest funkcją parzystą. Następnie.
Pozostałe twierdzenia twierdzenia można udowodnić w podobny sposób. Twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie 2. Dowolna funkcja 
, zdefiniowany na planie X, symetryczny względem początku, można przedstawić jako sumę funkcji parzystych i nieparzystych.
Dowód. Funkcjonować 
można zapisać w postaci
.
Funkcjonować 
– nawet, ponieważ 
i funkcja 
– dziwne, ponieważ. Zatem, 
, Gdzie 
– nawet i 
– dziwne funkcje. Twierdzenie zostało udowodnione.
Definicja 2. Funkcja 
zwany okresowy
, jeśli istnieje liczba 
, tak że dla dowolnego 
liczby 
I 
również należą do domeny definicji 
i równości są spełnione
Taki numer T zwany okres
Funkcje 
.
Z definicji 1 wynika, że jeśli T– okres funkcji 
, następnie liczba – T To samo
jest okresem funkcji
(od czasu wymiany T NA - T zachowana jest równość). Korzystając z metody indukcji matematycznej można wykazać, że jeśli T– okres funkcji F, Następnie 
, to także kropka. Wynika z tego, że jeśli funkcja ma okres, to ma nieskończenie wiele okresów.
Definicja 3. Najmniejszy z dodatnich okresów funkcji nazywa się jej główny okres.
Twierdzenie 3. Jeśli T– główny okres funkcji F, to pozostałe okresy są jego wielokrotnościami.
Dowód. Załóżmy odwrotnie, to znaczy, że istnieje kropka 
Funkcje F
(
> 0), a nie wielokrotność T. Potem dzielenie 
NA T z resztą otrzymujemy 
, Gdzie 
. Dlatego
to jest 
– okres funkcji F, I 
, a to jest sprzeczne z faktem, że T– główny okres funkcji F. Stwierdzenie twierdzenia wynika z powstałej sprzeczności. Twierdzenie zostało udowodnione.
Powszechnie wiadomo, że funkcje trygonometryczne są okresowe. Główny okres 
I 
równa się 
,
I 
. Znajdźmy okres funkcji 
. Pozwalać 
- okres tej funkcji. Następnie
(ponieważ 
.
albo albo 
.
Oznaczający T, określone na podstawie pierwszej równości, nie może być okresem, ponieważ zależy od X, tj. jest funkcją X, a nie liczba stała. Okres wyznacza się z drugiej równości: 
. Jest nieskończenie wiele okresów, z 
najmniejszy dodatni okres uzyskuje się przy 
:
. Jest to główny okres funkcji 
.
Przykładem bardziej złożonej funkcji okresowej jest funkcja Dirichleta
Zauważ, że jeśli T jest zatem liczbą wymierną 
I 
są liczbami wymiernymi dla wymiernych X i irracjonalne, gdy irracjonalne X. Dlatego
dla dowolnej liczby wymiernej T. Zatem dowolna liczba wymierna T jest okresem funkcji Dirichleta. Oczywiste jest, że ta funkcja nie ma głównego okresu, ponieważ istnieją dodatnie liczby wymierne, które są dowolnie bliskie zera (na przykład liczbę wymierną można utworzyć, wybierając N arbitralnie bliskie zeru).
Twierdzenie 4. Jeśli funkcja F
zdefiniowany na planie X i ma okres T i funkcja G
zdefiniowany na planie 
, to funkcja złożona 
też ma okres T.
Dowód. Mamy zatem
to znaczy, stwierdzenie twierdzenia zostało udowodnione.
Na przykład od sałata
X
ma okres 
, a następnie funkcje 
mieć okres 
.
Definicja 4. Wywołuje się funkcje, które nie są okresowe nieokresowe .