Podwójna helisa Archimedesa. Spirala Archimedesa i jej przejawy w otaczającym nas świecie

Projekt edukacyjno-badawczy „Spirala Archimedesa” bada teoretyczne i praktyczne cechy spirali Archimedesa. W pracy szczególną uwagę poświęcono analizie budowy spirali Archimedesa, powiązaniu ciągu liczb Fibonacciego ze spiralą Archimedesa oraz zastosowaniu spirali Archimedesa w przyrodzie i technologii.

Wyświetl zawartość dokumentu

Autonomia Miejska instytucja edukacyjna„Liceum nr 14 imienia Zasłużonego Nauczyciela Federacja Rosyjska JESTEM. Kuźmina »

Temat: „Spirala Archimedesa”

Zakończony:

Uczennica klasy 10 „A”

Zadoński Jarosław

Doradca naukowy:

Sukhnenko Irina Aleksandrowna

nauczyciel matematyki

Adekwatność tematu badań

Osoba rozróżnia otaczające go przedmioty według kształtu

Zainteresowanie kształtem przedmiotu może być podyktowane koniecznością życiową lub być spowodowane pięknem formy

Kształt w połączeniu z symetrią i złotym podziałem przyczynia się do najlepszej percepcji wzrokowej i pojawienia się poczucia piękna i harmonii

Williama Charltona

„Podoba nam się wygląd spirali, ponieważ wizualnie możemy ją łatwo zobaczyć”.

• Spirala Archimedesa
• Spirala Archimedesa

• cechy budowy spirali Archimedesa

• Charakterystyka spirali Archimedesa i metody jej zastosowania w technice

Obiekt badania

Przedmiot badań

Cel projektu

Koncepcja spirali

symbol złożony - używany od czasów paleolitu

płaska krzywa, która zwykle okrąża jeden (lub więcej) punktów, zbliżając się do niego lub oddalając od niego

Spirala to „krzywa życia”

Pojęcie spirali według Archimedesa

• „Spirala to trajektoria ruch jednolity punkty wzdłuż belki obracającej się równomiernie wokół jej początku.”

Związek spirali Archimedesa z ciągiem Fibonacciego

• Liczby Fibonacciego są elementami sekwencja liczb, w którym każda kolejna liczba jest równa sumie dwóch poprzednie numery. Seria liczb Wygląda Fibonacciego w następujący sposób: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 itd. A stosunek każdej kolejnej liczby do poprzedniej w tym szeregu liczb wynosi 1,618... Ta liczba nazywa się liczbą F.

Złoty podział

• „Geometria ma dwa skarby – twierdzenie Pitagorasa i złoty podział” Johannes Kepler
• Złoty podział (złoty podział) to proporcjonalny podział odcinka na nierówne części, w którym cały odcinek zostaje powiązany z większą częścią jako większość odnosi się do mniejszego.

złoty prostokąt

• Złoty prostokąt to prostokąt, w którym stosunek większa strona do mniejszego równa się złotemu podziałowi.
• Z tego prostokąta można zbudować złotą spiralę.

złoty prostokąt

• Z tego prostokąta odetnijmy kwadrat o boku równym mniejszemu bokowi prostokąta. Pozostały prostokąt również będzie złoty.
• Teoretycznie proces ten można kontynuować w nieskończoność (uzyskuje się prostokąty A, B, C, D, E, F, G itp.)
• Linie przerywane, które same w sobie są w złotym stosunku, przecinają prostokąty po przekątnej i wskazują teoretyczny środek spirali.
• W dowolnym momencie rozwoju złotej spirali stosunek długości łuku do jego średnicy wynosi 1,618.

• Krzywa łącząca punkty narożne te kwadraty, otrzymamy spiralę Archimedesa.

• Luca Pacioli zadzwonił: złoty podział» Boska proporcja

Szyszki sosnowe i kolce kaktusów mają również spirale zgodne z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Co więcej, liczba tych spiral będzie zawsze równa sąsiednim liczbom ciągu Fibonacciego. Na przykład szyszka ma 5 i 8 spiral, ananas ma 8 i 13.

W III w. n.e. Archimedes w oparciu o swoją spiralę wynalazł śrubę, którą z powodzeniem stosowano do przenoszenia wody do kanałów irygacyjnych ze znajdujących się poniżej zbiorników. Później powstał ślimak oparty na śrubie Archimedesa.

Wniosek

Spirala to sposób na życie

Spirala kojarzy się z obrazem nieskończoności i ucieleśnia idee rozwoju, ciągłości, kosmicznych rytmów

Spirala przedstawia schematyczny obraz ewolucji wszechświata

Dziękuję za uwagę !

Spirala, pomimo prostoty obrazu, jest symbolem złożonym i znaczącym. Nawet starożytni używali go jako symbolu dekoracyjnego, wzoru, który można łatwo zastosować na drewnie, kamieniach i glinie. Spiralny kształt łączy w sobie symetrię i percepcja wzrokowa wywołuje poczucie harmonii i piękna. Spirala, kojarzona z symboliką centrum, od dawna jest początkiem początków, od których zaczyna się ewolucja, rozwój i ruch życia. Swego czasu Archimedes zwrócił uwagę na jego kształt. Starożytny grecki naukowiec z Syrakuz zbadał kształt spiralnie skręconej muszli i wyprowadził równanie dla spirali. Cewka, którą narysował za pomocą tego równania, nosi jego imię – spirala Archimedesa.

Cewka Archimedesa

Krzywa opisana przez punkt poruszający się stała prędkość wzdłuż promienia obracającego się bez zmian wokół swego początku nazywa się „spiralą Archimedesa”. Jego konstrukcję przeprowadza się w następujący sposób: ustaw jego krok - a, narysuj okrąg ze środka O o promieniu równym skokowi spirali, podziel krok i zakreśl na kilka równe części, numerowanie punktów podziału.

Archimedes w swoim traktacie „Na spirali” badał właściwości tej formy, posługując się współrzędnymi biegunowymi, zapisał charakterystyczna właściwość jego punkty, dał konstrukcję stycznej do spirali i określił jej pole. Spiralę Archimedesa reprezentuje wzór r = a*theta. Naukowiec wiedział, że wzrost skoku spirali jest zawsze równomierny.

Symbolizm

Uderza niezwykła różnorodność znaczeń symbolu spirali. Postrzegany jest jako upływ i upływ czasu (cykliczne rytmy, zmiany słoneczne i bieg historii, życie człowieka). Spirala jest uważana za oznakę rozwoju, witalność dane nam przez naturę. To jest pragnienie nowych poziomów, swojego centrum, mądrości. Spirala często kojarzy się z wężem, który z kolei uosabia mądrość przodków. Przecież wiadomo, że węże uwielbiają zwijać się w pierścienie i wyglądać jak spirale.

W naturze spirala występuje w trzech głównych postaciach: zamrożonej (skorupa ślimaka), rozszerzającej się (zdjęcia galaktyki spiralne) lub kurczenie się (jak wir). Formy spiralne są reprezentowane od głębi ewolucyjnych po prawa dialektyki.

Spirala przypomina okrąg – najbardziej idealny kształt ze wszystkiego, co stworzyła natura. Rzeczywiście spontaniczne i naturalne elementy, mające kształt spiralny, są bardzo powszechne w przyrodzie. Są to mgławice spiralne, galaktyki, wiry, tornada i urządzenia roślinne. Nawet pająki tkają swoje sieci spiralnie, owijając nici spiralnie wokół środka. Natura uwielbia powtarzalność, w jej twórczości stosuje się te same zasady.

oraz ciąg Fibonacciego

Spirala Archimedesa ma ścisły związek z To prawo matematyka opisuje zasadę spirali Archimedesa i złotego podziału. Ich ścisłe powiązanie można zaobserwować w wielu zjawiskach i elementach przyrody - w budowie muszli mięczaków, kwiatostanów słonecznika i sukulentów, fraktalnej kapusty i szyszek sosny, człowieka i całych galaktyk.

Symetria spiralnaI

Czynnik czasu w połączeniu z obrotem i ruchem kierunkowym tworzy kształt spirali. Spirale obecne w strukturze dzieł sztuki mają związek z czasem, a nie przestrzenią. Występują głównie we wzorach, rzadziej w architekturze.

Są to iglice katedr i

Zastosowanie w technologii

Spirala Archimedesa jest obecnie szeroko stosowana w technologii. Jeden z wynalazków naukowca – śruba (prototyp spirali wolumetrycznej) – został wykorzystany jako mechanizm przenoszenia wody do kanałów irygacyjnych z nisko położonych zbiorników. stał się prototypem ślimaka („ślimaka”) – urządzenia szeroko stosowanego w różnych maszynach do mieszania materiałów płynnych, sypkich i ciastowatych. Jego najpopularniejszym typem jest rotor śrubowy w zwykłej maszynce do mięsa. Przykładem zastosowania spirali Archimedesa w technologii jest także wkład samocentrujący. Mechanizm ten stosowany jest w maszynach do szycia do równomiernego nawijania nici.

W dzisiejszych czasach spirala Archimedesa zasługuje specjalna uwaga podczas nauczania grafiki komputerowej.

Spirale Archimedesa są szeroko stosowane w konstruowaniu geometrii cewek indukcyjnych, spiralnych wymienników ciepła i urządzeń mikroprzepływowych. W tym poście pokażemy jak zbudować spiralę Archimedesa wykorzystując wyrażenia analityczne i ich pochodne w celu zdefiniowania niezbędnych krzywych. Najpierw utworzymy geometrię 2D, a następnie po ustawieniu żądanej grubości przekonwertujemy ją na 3D za pomocą operacji Wyciągnięcie.

Co to jest spirala Archimedesa?

W wielu przypadkach stosuje się szeroko rozpowszechnione w przyrodzie spirale lub okółki konstrukcje inżynierskie. Na przykład w elektrotechnice i elektronice cewki nawijane są za pomocą przewodników spiralnych lub projektuje się anteny helikoidalne. W inżynierii mechanicznej spirale są wykorzystywane do projektowania sprężyn, śrubowych kół zębatych czołowych, a nawet mechanizmów zegarowych, z których jeden pokazano poniżej.

Przykład spirali Archimedesa stosowanej w mechanizmie zegara. Zdjęcie dzięki uprzejmości Greubel Forsey. Dostępne na licencji CC BY-SA 3.0 z Wikimedia Commons.

W tym artykule przeanalizujemy tylko jeden rodzaj spirali, a mianowicie spiralę Archimedesa, która jest przedstawiona na powyższym mechanizmie. Spirala Archimedesa- Ten specjalny rodzaj spirale o stałej odległości między zwojami. Ze względu na tę właściwość jest szeroko stosowany w projektowaniu cewek i sprężyn.

Równanie spirali Archimedesa w biegunowym układzie współrzędnych zapisuje się jako:

gdzie aib są parametrami określającymi początkowy promień spirali i odległość między zwojami, która jest równa 2\pi b. Należy pamiętać, że czasami nazywana jest także spirala Archimedesa spirala arytmetyczna. Nazwa ta związana jest z arytmetyczną zależnością odległości od początku krzywej do punktów spirali znajdujących się na tej samej linii promieniowej.

Definiowanie sparametryzowanej geometrii spirali Archimedesa

Teraz, gdy już wiesz, czym jest spirala Archimedesa, zacznijmy parametryzować i tworzyć geometrię COMSOL Multifizyka.

Spiralę Archimedesa można określić zarówno we współrzędnych biegunowych, jak i kartezjańskich.

Najpierw musisz przekształcić równanie spiralne z układ polarny współrzędne na kartezjańskie i wyrażaj każde równanie w formie parametrycznej:

\begin(align*) x_(komponent)=rcos(\theta) \\ y_(component)=rsin(\theta) \end(align*)

Po przekształceniu równania spiralnego do postaci parametrycznej Układ kartezjański współrzędne przyjmą postać:

\begin(align*) x_(komponent)=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_(component)=(a+b\theta)sin(\theta) \end(align*)

W COMSOL Multiphysics musimy zdefiniować zestaw parametrów, które posłużą do zdefiniowania geometrii spirali. W naszym przypadku są to odpowiednio początkowy i końcowy promień spirali a_(początkowy) i a_(końcowy) oraz liczba zwojów n. Wskaźnik wzrostu helisy b można obliczyć jako:

b=\frac(a_(końcowa)-a_(początkowa))(2 \pi n)

Konieczne jest również określenie kąta początkowego i końcowego spirali - odpowiednio theta_0 i theta_f. Zacznijmy od nich - theta_0=0 i theta_f=2 \pi n . Na podstawie podanych informacji wyznaczamy parametry konstrukcji geometrii spirali.

Parametry używane do konstruowania geometrii spiralnej.

Zacznijmy naszą budowę od wyboru problem trójwymiarowy (komponent 3D) i twórz Płaszczyzna Robocza(Płaszczyzna robocza) w przekroju Geometria(Geometria). W geometrii dla Płaszczyzna Robocza dodać Krzywa parametryczna(Krzywa parametryczna) i zapisz równania parametryczne, opisane powyżej, w celu zdefiniowania dwuwymiarowej geometrii spirali Archimedesa. Równania te można od razu wpisać w odpowiednie pola w zakładce Wyrażenie lub możesz najpierw ustawić każde równanie osobno Analityczny Funkcja analityczna:

\begin(align*) X_(fun)=(a+bs)cos(s) \\ Y_(fun)=(a+bs)sin(s) \\ \end(align*)

Podane wyrażenie na składnik X równania spiralnego Archimedesa analityczny funkcjonować.

Analityczny funkcja może być następnie użyta jako wyrażenie w węźle Krzywa parametryczna. W zakładce Parametr ustaw parametr s od kąta początkowego theta_0 do wartości końcowej theta_f=2 \pi n.

Ustawienia krzywej parametrycznej.

Po ustawieniu wszystkich parametrów i kliknięciu przycisku „Buduj wybrane” zostanie zbudowana krzywa pokazana na powyższym zrzucie ekranu. Teraz ustawmy grubość spirali, aby uzyskać bryłę dwuwymiarową.

Do tego momentu parametrami naszej krzywej były promień początkowy (a_(initial)) i końcowy (a_(final)) oraz liczba zwojów n. Teraz chcemy dodać jeszcze jedną rzecz - grubość spirali.

Przypomnijmy jeszcze raz główną właściwość spirali - odległość między zwojami jest stała i równa 2\pi b. Co jest równoważne \frac(a_(końcowa)-a_(początkowa))(n). Aby dodać grubość do naszych równań, odległość między zwojami przedstawiamy jako sumę grubości spirali i grubości szczeliny+przerwy.

Odległość między zwojami zależy od grubości spirali i wielkości szczeliny.

\begin(align*) odległość=\frac(a_(initial)-a_(final))(n) \\ gap=grubość odległości \end(align*)

Następnie wyrażamy tempo wzrostu spirali w kategoriach grubości:

\begin(align*) odległość=2\pi b \\ b=\frac(gap+thick)(2\pi) \end(align*)

Musisz także wyrazić końcowy kąt spirali za pomocą kąta początkowego i promienia końcowego:

\begin(align*) \theta_(final)=2 \pi n \\ a_(final)=\text(całkowita odległość)+a_(initial) \\ a_(final)=2 \pi bn+a_(initial) \\ n=\frac(a_(końcowy)-a_(początkowy))(2 \pi b) \\ \theta_(końcowy)=\frac(2 \pi (a_(końcowy)-a_(początkowy)))( 2 \pi b) \\ \theta_(final)=\frac(a_(final)-a_(initial))(b) \end(align*)

Czy chcesz ustawić niezerowy kąt początkowy spirali? Jeśli tak, należy go dodać do wyrażenia, aby określić ostateczny kąt: theta_f=\frac(a_(końcowy)-a_(początkowy))(b)+theta_0.

Dwukrotne powielenie krzywej spiralnej z przesunięciem -\frac(thick)(2) i +\frac(thick)(2) względem krzywej początkowej pozwala na zbudowanie spirali o zadanej grubości. Aby prawidłowo ustawić spiralę wewnętrzną i zewnętrzną, należy upewnić się, że początki tych krzywych są prostopadłe do linii, na której znajdują się ich punkty początkowe. Można tego dokonać mnożąc odległość przesunięcia \pm\frac(thick)(2) przez wektor jednostkowy normalny do początkowej krzywej helisy. Równania wektorów normalnych w postaci parametrycznej:

n_x=-\frac(dy)(ds) \quad \text(and) \quad n_y=\frac(dx)(ds)

gdzie s jest parametrem używanym w węźle Krzywa parametryczna. Aby uzyskać normalizację wektory jednostkowe, konieczne jest podzielenie tych wyrażeń przez długość normalnej:

\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )

Zaktualizowane równania parametryczne dla przesuniętej spirali Archimedesa:

\begin(align*) x_(komponent)=(a+bs)cos(s)-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2))\ frac(gruby)(2) \\ y_(składnik)=(a+bs)sin(s)+\frac(dx/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 ))\frac(gruby)(2)\end(wyrównaj*)

Zapisywanie tak długich wyrażeń jest dość niewygodne, dlatego wprowadzamy następującą notację:

\begin(align*) N_x=-\frac(dy/ds)(\sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)) \\ N_y=\frac(dx/ds)(\ sqrt((dx/ds)^2+(dy/ds)^2 )) \end(align*)

gdzie zdefiniowano N_x i N_y analityczny funkcje w COMSOL Multiphysics, podobne do X_(zabawa) i Y_(zabawa) w pierwszym przykładzie. Wewnątrz funkcji zastosowano operator pochodnej d(f(x),x), jak pokazano na zrzucie ekranu poniżej.

Przykłady operatora pochodnego używanego w analityczny Funkcje

Funkcje X_(fun) , Y_(fun) , N_x i N_y mogą być używane w wyrażeniach do definiowania krzywej parametrycznej w jeden sposób:

\begin(align*) x_(dolny)=X_(zabawa)(s)+N_x(s)\frac(thick)(2) \\ y_(dolny)=Y_(zabawa)(s)+N_y(s) \frac(gruby)(2) \end(align*)

I tak z drugiej:

\begin(align*) x_(górny)=X_(zabawa)(s)-N_x(s)\frac(thick)(2) \\ y_(górny)=Y_(zabawa)(s)-N_y(s) \frac(gruby)(2) \end(align*)

Wyrażenia dla drugiej przesuniętej krzywej parametrycznej.

Aby połączyć końce, dodamy jeszcze dwie krzywe parametryczne za pomocą drobne zmiany równania powyżej. W przypadku krzywej, która połączy spiralę w środku, należy określić X_(fun) , Y_(fun) , N_x i N_y jako początkową wartość kąta, theta. Krzywej łączącej końce należy nadać końcową wartość theta. Na tej podstawie równania krzywej w środku są następujące:

\begin(align*) X_(zabawa)(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac(thick)(2) \\ Y_(zabawa)(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot \frac(gruby)(2) \end(align*)

Równania krzywej na końcu:

\begin(align*) X_(zabawa)(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac(thick)(2) \\ Y_(zabawa)(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot \frac(gruby)(2) \end(align*)

W tych równaniach parametr s zmienia się od -1 do 1, jak pokazano na zrzucie ekranu poniżej.

Równania krzywej łączącej spiralę w środku.

W rezultacie mamy pięć krzywych wyznaczających linię środkową spirali i jej cztery boki. Linia środkowa można wyłączyć (wyłączyć funkcję) lub nawet usunąć, ponieważ nie jest to konieczne. Dodając węzeł Konwertuj na bryłę, tworzymy singiel obiekt geometryczny. Ostatnim krokiem jest wyciągnięcie tego profilu za pomocą operacji Wyrzucać i stworzenie trójwymiarowego obiektu.

Pełny ciąg geometryczny oraz wydłużoną (wytłaczaną) trójwymiarową geometrię spirali.

Podsumowanie symulacji spirali Archimedesa w COMSOL Multiphysics

W tej notatce omówiliśmy główne etapy tworzenia parametrycznej spirali Archimedesa. Z tym modelem możesz eksperymentować różne znaczenia parametrów, a także spróbować rozwiązać problem optymalizacyjny za pomocą tej parametryzacji. Mamy nadzieję, że ten artykuł był przydatny i aplikujesz tę technikę w ich kolejnych modelach.

Dodatkowe zasoby na temat projektowania i obliczania spirali

• Aby udoskonalić swoje umiejętności modelowania spirali, zapoznaj się z następującymi modelami tutoriali:
• Sprawdź doświadczenia jednego z naszych użytkowników:

Archimedes (287 p.n.e. - 212 p.n.e.) – starożytny grecki matematyk, fizyk i inżynier pochodzący z Syrakuz (sycylia). Dokonał wielu odkryć w dziedzinie geometrii. Położył podwaliny pod mechanikę i hydrostatykę, był autorem szeregu ważnych wynalazków.

Spiralę Archimedesa odkrył Archimedes. Stało się to w III wieku p.n.e., kiedy eksperymentował z kompasem. Pociągnął igłę kompasu ze stałą prędkością, obracając sam kompas zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Powstała krzywa była spiralą, która przesunęła się o tę samą wartość, o którą obrócono kompas, przy czym między zwojami spirali została zachowana ta sama odległość.

Spirala Archimedesa była używana w czasach starożytnych jako Najlepszym sposobem określenie pola koła. Z jego pomocą udoskonalono starożytną grecką metodę znajdowania pola koła poprzez pomiar obwodu. Spirala umożliwiła więcej precyzyjny pomiar obwód, a co za tym idzie obszar koła.

W III w. n.e. Archimedes w oparciu o swoją spiralę wynalazł śrubę, którą z powodzeniem stosowano do przenoszenia wody do kanałów irygacyjnych ze znajdujących się poniżej zbiorników. Później powstał ślimak („ślimak”) oparty na śrubie Archimedesa. Bardzo znaną jego odmianą jest rotor śrubowy w maszynce do mięsa. Ślimak stosowany jest w mechanizmach mieszania materiałów o różnej konsystencji.

Definicja spirali Archimedesa

Krzywą można traktować jako ścieżkę punktu poruszającego się równomiernie wzdłuż promienia wychodzącego z bieguna, podczas gdy promień ten obraca się równomiernie wokół bieguna.

Wyobraźmy sobie tarczę zegarka z długą wskazówką. Strzałka porusza się po obwodzie tarczy. I w tym czasie mały błąd porusza się wzdłuż strzałki ze stałą prędkością. Trajektoria ruchu robaka to spirala Archimedesa.

Budowa spirali Archimedesa

Aby zrozumieć, w jaki sposób powstaje spirala Archimedesa, zaznaczmy na rysunku punkt będący środkiem spirali Archimedesa.

Ze środka spirali skonstruujmy okrąg, którego promień jest równy podziałowi spirali. Spirala Archimedesa równa odległości, podczas którego punkt przechodzi po powierzchni koła podczas jednego pełnego obrotu.

Podziel okrąg na kilka równych części za pomocą linii prostych. W pierwszym wierszu umieszczamy jeden podział, w drugim - dwa podziały, w trzecim - trzy podziały itp. Następnie losujemy odpowiedni numerłuki od środka okręgu przechodzące przez pierwszy podział, drugi itd.

Odległości zwojów prawej spirali, licząc wzdłuż belki, są równe i odległości sąsiednich zwojów są równe.

Równanie spirali Archimedesa to:

gdzie jest wektorem promienia, jest kątem obrotu, jest skokiem spirali.

Liczymy kąt biegunowy od osi biegunowej, uznając go za dodatni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Gdy wiązka obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, uzyskuje się spiralę prawoskrętną (linia niebieska); po obróceniu zgodnie z ruchem wskazówek zegara uzyskuje się spiralę lewoskrętną (linia czerwona).

Przyjmiemy wektor promienia biegunowego zarówno jako dodatni, jak i ujemny; w pierwszym przypadku układa się go w kierunku określonym przez kąt, a w drugim w kierunku przeciwnym.

I. Obliczmy pole opisane przez promień biegunowy spirali podczas jednego obrotu, jeśli początek ruchu odpowiada:

Jeśli znajdziemy obszar koła o promieniu, otrzymamy

Wyobraźmy sobie nieskończenie długą wskazówkę sekundową, po której zaczynając od środka tarczy mały robak niestrudzenie biegnie ze stałą prędkością v cm/s. Za minutę błąd będzie w odległości 60 V cm od środka, za dwie minuty - 120 V itd. Ogólnie rzecz biorąc, t sekund po rozpoczęciu biegu odległość robaka od środka będzie równa vt cm. W tym czasie strzałka obróci się o kąt zawierający 6 t° (w końcu w ciągu jednej sekundy to udaje mu się obrócić o kąt 360°: 60 = 6°). Dlatego położenie błędu na płaszczyźnie tarczy po dowolnej liczbie t sekund po rozpoczęciu ruchu znajduje się w ten sposób. Trzeba odłożyć pozycja początkowa strzałkę w kierunku jej obrotu, kąt a zawierający 6t° i zmierz od środka wzdłuż nowego położenia strzałki odległość r = vt cm. Tutaj wyprzedzimy błąd.

Oczywiście zależność między kątem obrotu a strzałki (w stopniach) a przebytą drogą r (w centymetrach) będzie następująca:

Innymi słowy, r jest wprost proporcjonalne do a, przy współczynniku proporcjonalności k = v/6.

Przymocujmy do naszej bieżnika mały, ale niewyczerpany słoiczek czarnej farby i załóżmy, że farba wypływająca przez maleńki otwór pozostawia na papierze ślad po robaku uniesionym wraz ze strzałką. Następnie krzywa badana po raz pierwszy przez Archimedesa (287 - 212 p.n.e.) będzie stopniowo pojawiać się na papierze. Na jego cześć nazwano ją spiralą Archimedesa. Trzeba tylko powiedzieć, że Archimedes nie mówił ani o sekundniku (wówczas nie było zegarów ze sprężyną: wynaleziono je dopiero w XVII wieku), ani o błędzie. Dla przejrzystości umieściliśmy je tutaj.

Spirala Archimedesa składa się z nieskończenie wielu zwojów. Zaczyna się od środka tarczy i oddala się od niej wraz ze wzrostem liczby obrotów. Pewnie słyszałeś, że za pomocą kompasu i linijki nie da się podzielić losowo wybranego kąta na trzy równe części (w szczególnych przypadkach, gdy kąt zawiera np. 180°, 135° czy 90°, problem ten można łatwo rozwiązać). Ale jeśli użyjesz starannie narysowanej spirali Archimedesa, wówczas dowolny kąt można podzielić na dowolną liczbę równych części.

Podzielmy na przykład kąt AOB na trzy równe części. Jeśli założymy, że strzałka obróciła się dokładnie pod tym kątem, to błąd będzie zlokalizowany w punkcie N po stronie kąta. Ale gdy kąt obrotu był trzykrotnie mniejszy, wówczas błąd znajdował się trzy razy bliżej środka O. Aby znaleźć tę pozycję, najpierw podziel odcinek ON na trzy równe części. Można to zrobić za pomocą kompasu i linijki. Otrzymujemy segment ON 1, którego długość jest trzy razy mniejsza niż ON. Aby przywrócić robaka do spirali, musisz zrobić nacięcie na tej krzywej o promieniu WŁĄCZONYM 1 (znowu kompas!). Otrzymujemy punkt M. Kąt AOM będzie trzy razy mniejszy niż kąt AON.

Sam Archimedes był jednak bardziej zajęty innymi trudne zadania, który sam ułożył i zdecydował: 1) znajdź obszar figury ograniczony pierwszym zwojem spirali (jest zacieniony na ryc. 11); 2) uzyskać metodę konstruowania stycznej do spirali w dowolnym punkcie N.

Godne uwagi jest to, że oba problemy reprezentują najwcześniejsze przykłady problemów z nimi związanych Analiza matematyczna. Od XVII wieku matematycy obliczali pola figur za pomocą całek, a linie styczne za pomocą pochodnych. Dlatego Archimedesa można nazwać prekursorem analizy matematycznej.

W przypadku pierwszego z tych problemów po prostu wskażemy wynik uzyskany przez Archimedesa: pole figury wynosi dokładnie 1/3 pola koła o promieniu 0 A. W przypadku drugiego problemu możemy pokazać postęp jego rozwiązania, nieco upraszczając rozumowanie samego Archimedesa. Rzecz w tym, że prędkość, z jaką robak opisuje spiralę w każdym punkcie N, jest skierowana stycznie do spirali w tym punkcie. Jeśli znamy kierunek tej prędkości, skonstruujemy styczną.

Ale ruch robaka w punkcie N składa się z dwóch różne ruchy(Rys. 13.): jeden jest w kierunku strzałki z prędkością v cm/s, a drugi obraca się po okręgu o środku w O i promieniu ON. Aby wyobrazić sobie to drugie, załóżmy, że robak zamarza na chwilę w punkcie N. Następnie zostanie uniesiony wraz ze strzałką po okręgu o promieniu ON. Ostatnia prędkość ruch obrotowy skierowany stycznie do okręgu. Jaki jest jego rozmiar? Jeśli błąd mógłby opisać Pełne koło promieniu ON, to w ciągu 60 sekund przebył odległość równą 2l ON [cm]. Ponieważ prędkość pozostanie stała, aby ją znaleźć, należy podzielić drogę przez czas. Otrzymujemy:

(2 l WŁ.)/60 = (l WŁ.)/30

Skoro znamy obie składowe prędkości w punkcie N: jedną w kierunku ON, równą v cm/s, i drugą prostopadłą do niego, równą

(l ON)/30 cm/s, pozostaje tylko dodać je zgodnie z zasadą równoległoboku. Przekątna będzie reprezentować prędkość ruchu złożonego k i jednocześnie wyznaczać kierunek stycznej NT do spirali w danym punkcie.