Matematyka jest nauką, która buduje świat. Zarówno naukowiec, jak i zwykły człowiek - nikt nie może się bez tego obejść. Najpierw małe dzieci uczy się liczyć, potem dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić; w gimnazjum symbole literowe wchodzą w grę, a w szkole średniej nie da się już ich uniknąć.
Ale dzisiaj porozmawiamy o tym, na czym opiera się cała znana matematyka. O wspólnocie liczb zwanej „ograniczeniami sekwencji”.
Co to są ciągi i gdzie jest ich granica?
Znaczenie słowa „sekwencja” nie jest trudne do zinterpretowania. Jest to układ rzeczy, w którym ktoś lub coś znajduje się w określonej kolejności lub kolejce. Przykładowo kolejka po bilety do zoo to ciąg. A może być tylko jeden! Jeśli na przykład spojrzeć na kolejkę w sklepie, jest to jedna sekwencja. A jeśli jedna osoba z tej kolejki nagle wyjdzie, to jest to inna kolejka, inna kolejność.
Słowo „limit” również można łatwo zinterpretować – oznacza to koniec czegoś. Jednak w matematyce granicami ciągów są te wartości na osi liczbowej, do których zmierza ciąg liczb. Dlaczego dąży i się nie kończy? To proste, oś liczbowa nie ma końca, a większość ciągów, podobnie jak promienie, ma tylko początek i wygląda tak:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Zatem definicja ciągu jest funkcją argumentu naturalnego. Mówiąc prościej, jest to seria elementów pewnego zbioru.
Jak zbudowany jest ciąg liczb?
Prosty przykład sekwencji liczb może wyglądać następująco: 1, 2, 3, 4, …n…
W większości przypadków, dla celów praktycznych, ciągi buduje się z liczb, a każdy kolejny element ciągu, oznaczmy go X, ma swoją nazwę. Na przykład:
x 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;
x 2 to drugi wyraz ciągu;
x 3 to trzeci wyraz;
x n jest n-tym wyrazem.
W praktycznych metodach sekwencję podaje się za pomocą ogólnego wzoru, w którym występuje pewna zmienna. Na przykład:
X n = 3n, wówczas sam ciąg liczb będzie wyglądał następująco:
Warto pamiętać, że pisząc ciągi w ogóle można używać dowolnych liter łacińskich, a nie tylko X. Na przykład: y, z, k itd.
Postęp arytmetyczny jako część ciągu
Zanim zaczniemy szukać granic ciągów, warto zagłębić się w samo pojęcie takiego ciągu liczbowego, z którym każdy zetknął się w gimnazjum. Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.
Zadanie: „Niech a 1 = 15 i krok progresji szeregu liczbowego d = 4. Skonstruuj pierwsze 4 wyrazy tego ciągu”
Rozwiązanie: a 1 = 15 (według warunku) jest pierwszym wyrazem ciągu liczbowego.
a 2 = 15+4=19 to drugi wyraz progresji.
a 3 =19+4=23 to trzeci wyraz.
a 4 =23+4=27 to czwarty wyraz.
Jednak stosując tę metodę trudno jest osiągnąć duże wartości, np. do 125. . Specjalnie dla takich przypadków wyprowadzono wygodny w praktyce wzór: a n =a 1 +d(n-1). W tym przypadku a 125 =15+4(125-1)=511.
Rodzaje sekwencji
Większość sekwencji nie ma końca, warto o tym pamiętać do końca życia. Istnieją dwa interesujące typy szeregów liczbowych. Pierwsze wyraża się wzorem a n =(-1) n. Matematycy często nazywają tę sekwencję flasherem. Dlaczego? Sprawdźmy jego szereg liczbowy.
1, 1, -1, 1, -1, 1 itd. Na takim przykładzie staje się jasne, że liczby w sekwencjach można łatwo powtórzyć.
Sekwencja silni. Łatwo się domyślić – wzór określający ciąg zawiera silnię. Na przykład: a n = (n+1)!
Wtedy sekwencja będzie wyglądać następująco:
za 2 = 1x2x3 = 6;
i 3 = 1x2x3x4 = 24 itd.
Ciąg określony przez postęp arytmetyczny nazywamy nieskończenie malejącym, jeśli nierówność -1 jest spełniona dla wszystkich jego wyrazów i 3 = - 1/8 itd. Istnieje nawet ciąg składający się z tej samej liczby. Zatem n = 6 składa się z nieskończonej liczby szóstek. Granice sekwencji istnieją w matematyce od dawna. Oczywiście zasługują na własny, kompetentny projekt. Czas więc poznać definicję granic ciągu. Najpierw przyjrzyjmy się szczegółowo granicy funkcji liniowej: Łatwo zrozumieć, że definicję granicy ciągu można sformułować następująco: jest to pewna liczba, do której wszyscy członkowie ciągu nieskończenie się zbliżają. Prosty przykład: a x = 4x+1. Wtedy sama sekwencja będzie wyglądać następująco. 5, 9, 13, 17, 21…x… Zatem ciąg ten będzie wzrastał w nieskończoność, co oznacza, że jego granica jest równa nieskończoności jako x → ∞ i należy to zapisać w następujący sposób: Jeśli weźmiemy podobny ciąg, ale x dąży do 1, otrzymamy: A seria liczb będzie następująca: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Za każdym razem musisz zastąpić liczbę bliższą jedności (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tego szeregu jasno wynika, że granica funkcji wynosi pięć. Z tej części warto przypomnieć sobie, jaka jest granica ciągu liczbowego, definicja i sposób rozwiązywania prostych problemów. Po zbadaniu granicy ciągu liczbowego, jego definicji i przykładów możesz przejść do bardziej złożonego tematu. Absolutnie wszystkie granice ciągów można sformułować za pomocą jednego wzoru, który jest zwykle analizowany w pierwszym semestrze. Co zatem oznacza ten zestaw liter, modułów i znaków nierówności? ∀ jest kwantyfikatorem uniwersalnym, zastępującym wyrażenia „dla wszystkich”, „dla wszystkiego” itp. ∃ jest kwantyfikatorem egzystencjalnym, w tym przypadku oznacza, że istnieje pewna wartość N należąca do zbioru liczb naturalnych. Długi pionowy drążek następujący po N oznacza, że dany zbiór N jest „taki, że”. W praktyce może oznaczać „takie, że”, „takie, że” itp. Aby wzmocnić materiał, przeczytaj na głos formułę. Omówiony powyżej sposób wyznaczania granicy ciągów, choć prosty w zastosowaniu, w praktyce nie jest już tak racjonalny. Spróbuj znaleźć granicę tej funkcji: Jeśli podstawimy różne wartości „x” (za każdym razem zwiększając: 10, 100, 1000 itd.), to otrzymamy ∞ w liczniku, ale także ∞ w mianowniku. Daje to dość dziwny ułamek: Ale czy tak jest naprawdę? Obliczenie granicy ciągu liczbowego w tym przypadku wydaje się dość proste. Można by wszystko pozostawić tak, jak jest, ponieważ odpowiedź jest gotowa i otrzymano ją w rozsądnych warunkach, ale istnieje inny sposób, specjalnie dla takich przypadków. Najpierw znajdźmy najwyższy stopień w liczniku ułamka - jest to 1, ponieważ x można przedstawić jako x 1. Teraz znajdźmy najwyższy stopień w mianowniku. Również 1. Podzielmy licznik i mianownik przez zmienną w najwyższym stopniu. W takim przypadku podziel ułamek przez x 1. Następnie dowiemy się, do jakiej wartości dąży każdy termin zawierający zmienną. W tym przypadku brane są pod uwagę ułamki. Gdy x → ∞, wartość każdego ułamka dąży do zera. Przesyłając pracę w formie pisemnej, należy zamieścić następujące przypisy: Wynikiem tego jest następujące wyrażenie: Oczywiście ułamki zawierające x nie stały się zerami! Ale ich wartość jest tak mała, że całkowicie dopuszczalne jest nieuwzględnianie jej w obliczeniach. W rzeczywistości x w tym przypadku nigdy nie będzie równe 0, ponieważ nie można dzielić przez zero. Załóżmy, że profesor ma do dyspozycji ciąg złożony, dany oczywiście za pomocą równie złożonego wzoru. Profesor znalazł odpowiedź, ale czy jest ona właściwa? W końcu wszyscy ludzie popełniają błędy. Auguste Cauchy wymyślił kiedyś doskonały sposób na udowodnienie granic ciągów. Jego metodę nazwano manipulacją sąsiedzką. Załóżmy, że istnieje pewien punkt a, którego sąsiedztwo w obu kierunkach na osi liczbowej jest równe ε („epsilon”). Ponieważ ostatnią zmienną jest odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia. Zdefiniujmy teraz pewien ciąg x n i załóżmy, że dziesiąty wyraz ciągu (x 10) mieści się w sąsiedztwie a. Jak zapisać ten fakt w języku matematycznym? Powiedzmy, że x 10 znajduje się na prawo od punktu a, a następnie odległość x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Teraz czas na praktyczne wyjaśnienie omawianej powyżej formuły. Można pewną liczbę nazwać punktem końcowym ciągu, jeżeli dla którejkolwiek z jej granic jest spełniona nierówność ε>0, a całe sąsiedztwo ma swoją liczbę naturalną N, taką, że wszyscy członkowie ciągu o liczbach większych będzie wewnątrz ciągu |x n - a|< ε. Mając taką wiedzę łatwo jest rozwiązać granice ciągu, udowodnić lub obalić gotową odpowiedź. Twierdzenia o granicach ciągów są ważnym elementem teorii, bez którego praktyka nie jest możliwa. Istnieją tylko cztery główne twierdzenia, których zapamiętanie może znacznie ułatwić rozwiązanie lub dowód: Czasami trzeba rozwiązać zadanie odwrotne, aby udowodnić daną granicę ciągu liczbowego. Spójrzmy na przykład. Udowodnić, że granica ciągu podanego we wzorze wynosi zero. Zgodnie z regułą omówioną powyżej, dla dowolnego ciągu nierówność |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Wyraźmy n poprzez „epsilon”, aby pokazać istnienie pewnej liczby i udowodnić istnienie granicy ciągu. W tym miejscu należy pamiętać, że „epsilon” i „en” są liczbami dodatnimi i nie są równe zero. Teraz można kontynuować dalsze przemiany, wykorzystując wiedzę o nierównościach zdobytą w szkole średniej. Jak się okazuje, że n > -3 + 1/ε. Ponieważ warto pamiętać, że mówimy o liczbach naturalnych, wynik można zaokrąglić wstawiając go w nawiasy kwadratowe. Udowodniono zatem, że dla dowolnej wartości otoczenia „epsilon” punktu a = 0 znaleziono taką wartość, która spełnia początkową nierówność. Stąd możemy śmiało powiedzieć, że liczba a jest granicą danego ciągu. co było do okazania Tę wygodną metodę można zastosować do udowodnienia granicy ciągu liczbowego, niezależnie od tego, jak skomplikowany może on być na pierwszy rzut oka. Najważniejsze to nie wpadać w panikę, gdy zobaczysz zadanie. Istnienie granicy konsystencji nie jest w praktyce konieczne. Łatwo można natknąć się na ciągi liczb, które tak naprawdę nie mają końca. Na przykład to samo „migające światło” x n = (-1) n. oczywiste jest, że ciąg składający się tylko z dwóch cyfr, powtarzanych cyklicznie, nie może mieć granicy. Ta sama historia powtarza się z ciągami składającymi się z jednej liczby, ułamkowych, o niepewności dowolnego rzędu podczas obliczeń (0/0, ∞/∞, ∞/0 itd.). Należy jednak pamiętać, że zdarzają się również błędne obliczenia. Czasami ponowne sprawdzenie własnego rozwiązania pomoże znaleźć limit sekwencji. Kilka przykładów ciągów i metod ich rozwiązywania omówiliśmy powyżej, a teraz spróbujmy wziąć bardziej konkretny przypadek i nazwać go „ciągiem monotonicznym”. Definicja: Każdy ciąg można słusznie nazwać monotonicznym rosnącym, jeśli zachodzi dla niego ścisła nierówność x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Oprócz tych dwóch warunków istnieją również podobne nieścisłe nierówności. Odpowiednio, x n ≤ x n +1 (sekwencja niemalejąca) i x n ≥ x n +1 (sekwencja nierosnąca). Ale łatwiej to zrozumieć na przykładach. Ciąg określony wzorem x n = 2+n tworzy następujący ciąg liczb: 4, 5, 6 itd. Jest to ciąg rosnący monotonicznie. A jeśli weźmiemy x n =1/n, otrzymamy szereg: 1/3, ¼, 1/5 itd. Jest to ciąg monotonicznie malejący. Ciąg ograniczony to ciąg, który ma granicę. Ciąg zbieżny to ciąg liczb, który ma nieskończenie małą granicę. Zatem granicą ograniczonego ciągu jest dowolna liczba rzeczywista lub zespolona. Pamiętaj, że granica może być tylko jedna. Granica ciągu zbieżnego jest wielkością nieskończenie małą (rzeczywistą lub zespoloną). Jeśli narysujesz diagram sekwencji, wówczas w pewnym momencie będzie się on zbiegać, będzie miał tendencję do zmiany w określoną wartość. Stąd nazwa - ciąg zbieżny. Może istnieć ograniczenie takiej sekwencji lub nie. Po pierwsze, warto zrozumieć, kiedy granica istnieje; od tego możesz zacząć od udowodnienia braku granicy. Wśród ciągów monotonicznych wyróżnia się zbieżne i rozbieżne. Zbieżny to ciąg utworzony przez zbiór x i mający w tym zbiorze granicę rzeczywistą lub zespoloną. Rozbieżny to ciąg, który nie ma ograniczenia w swoim zbiorze (ani rzeczywisty, ani złożony). Co więcej, ciąg jest zbieżny, jeśli w reprezentacji geometrycznej zbiegają się jego górna i dolna granica. W wielu przypadkach granica ciągu zbieżnego może wynosić zero, ponieważ każdy nieskończenie mały ciąg ma znaną granicę (zero). Niezależnie od tego, jaką sekwencję zbieżną wybierzesz, wszystkie są ograniczone, ale nie wszystkie sekwencje ograniczone są zbieżne. Suma, różnica, iloczyn dwóch ciągów zbieżnych jest również ciągiem zbieżnym. Jednak iloraz może być również zbieżny, jeśli jest zdefiniowany! Granice sekwencji są tak samo istotne (w większości przypadków), jak cyfry i liczby: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Okazuje się, że niektóre operacje można wykonać z limitami. Po pierwsze, podobnie jak cyfry i liczby, granice dowolnej sekwencji można dodawać i odejmować. Na podstawie trzeciego twierdzenia o granicach ciągów zachodzi równość: granica sumy ciągów jest równa sumie ich granic. Po drugie, bazując na czwartym twierdzeniu o granicach ciągów, prawdziwa jest równość: granica iloczynu n-tej liczby ciągów jest równa iloczynowi ich granic. To samo dotyczy dzielenia: granica ilorazu dwóch ciągów jest równa ilorazowi ich granic, pod warunkiem, że granica ta nie wynosi zero. Przecież jeśli granica ciągów jest równa zeru, to nastąpi dzielenie przez zero, co jest niemożliwe. Wydawać by się mogło, że granicę ciągu liczbowego omówiono już dość szczegółowo, jednak wyrażenia takie jak liczby „nieskończenie małe” i „nieskończenie duże” pojawiają się nie raz. Oczywiście, jeśli istnieje ciąg 1/x, gdzie x → ∞, to taki ułamek jest nieskończenie mały, a jeśli jest ten sam ciąg, ale granica dąży do zera (x → 0), to ułamek staje się wartością nieskończenie dużą. I takie ilości mają swoje własne cechy. Właściwości granicy ciągu o dowolnych małych lub dużych wartościach są następujące: W rzeczywistości obliczenie granicy ciągu nie jest takim trudnym zadaniem, jeśli znasz prosty algorytm. Ale granice spójności to temat wymagający maksymalnej uwagi i wytrwałości. Oczywiście wystarczy po prostu uchwycić istotę rozwiązania takich wyrażeń. Zaczynając od małych rzeczy, z czasem możesz osiągnąć duże wysokości. Na tej lekcji dowiemy się wielu ciekawych rzeczy z życia członków dużej społeczności zwanej Vkontakte ciągi liczbowe. Rozważana tematyka dotyczy nie tylko przebiegu analizy matematycznej, ale dotyka także podstaw Matematyka dyskretna. Ponadto materiał będzie wymagany do opanowania innych sekcji wieży, w szczególności podczas studiów seria liczb I seria funkcjonalna. Można banalnie powiedzieć, że to ważne, można powiedzieć zachęcająco, że to proste, można powiedzieć o wiele więcej rutynowych zwrotów, ale dziś pierwszy, wyjątkowo leniwy tydzień w szkole, więc strasznie mnie łamie pisanie pierwszego akapitu =) Ja zapisałem już plik w sercu i szykowałem się do snu, gdy nagle... w głowie rozjaśniła mi się myśl o szczerej spowiedzi, która niesamowicie rozjaśniła moją duszę i popchnęła mnie do dalszego stukania palcami w klawiaturę . Zróbmy sobie przerwę od letnich wspomnień i przyjrzyjmy się temu fascynującemu i pozytywnemu światu nowej sieci społecznościowej: Najpierw pomyślmy o samym słowie: czym jest sekwencja? Sekwencja ma miejsce wtedy, gdy coś następuje po czymś. Na przykład sekwencja działań, sekwencja pór roku. Lub gdy ktoś znajduje się za kimś. Na przykład sekwencja ludzi w kolejce, sekwencja słoni na ścieżce do wodopoju. Wyjaśnijmy od razu charakterystyczne cechy ciągu. Po pierwsze, członkowie sekwencji są położone ściśle w określonej kolejności. Jeśli więc dwie osoby w kolejce zostaną zamienione, to już tak będzie Inny podsekwencja. Po drugie, wszyscy członek sekwencji Możesz przypisać numer seryjny: Podobnie jest z liczbami. Pozwalać do każdego wartość przyrodnicza według jakiejś zasady dopasowane do liczby rzeczywistej. Mówią wtedy, że podany jest ciąg liczbowy. Tak, w problemach matematycznych, w przeciwieństwie do sytuacji życiowych, sekwencja prawie zawsze zawiera nieskończenie wiele liczby. W której: W praktyce zwykle podaje się kolejność wspólna formuła terminów, Na przykład: Tym samym zapis jednoznacznie określa wszystkich członków ciągu – jest to reguła (wzór), według której ustalane są wartości przyrodnicze Sekwencja dodatnich liczb nieparzystych: Inna częsta sekwencja: Jak wielu zapewne zauważyło, zmienna „en” pełni rolę swego rodzaju licznika. Tak naprawdę ciągami liczbowymi zajmowaliśmy się już w gimnazjum. Zapamiętajmy postęp arytmetyczny. Nie będę przepisywać definicji, dotknijmy istoty na konkretnym przykładzie. Niech będzie pierwszym terminem i – krok postęp arytmetyczny. Następnie: Notatka
: w formule powtarzalnej każdy kolejny wyraz wyraża się w kategoriach poprzedniego członu lub nawet w kategoriach całego zestawu poprzednich terminów. Powstała formuła jest mało przydatna w praktyce - aby uzyskać, powiedzmy, , musisz przejść przez wszystkie poprzednie warunki. Natomiast w matematyce wyprowadzono wygodniejsze wyrażenie na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: Podstaw do wzoru liczby naturalne i sprawdź poprawność skonstruowanego powyżej ciągu liczbowego. Podobne obliczenia można wykonać dla postęp geometryczny, którego n-ty wyraz jest określony wzorem , gdzie jest pierwszym wyrazem, oraz – mianownik postęp. W zadaniach matematycznych pierwszy wyraz jest często równy jeden. progresja ustala kolejność Mam nadzieję, że wszyscy wiedzą, że –1 do potęgi nieparzystej równa się –1, a do potęgi parzystej – jeden. Nazywa się postęp nieskończenie maleje, if (dwa ostatnie przypadki). Dodajmy do naszej listy dwóch nowych znajomych, z których jeden właśnie zapukał w matrycę monitora: Sekwencja w żargonie matematycznym nazywa się „migaczem”: Zatem, elementy sekwencji mogą się powtarzać. Zatem w rozważanym przykładzie sekwencja składa się z dwóch nieskończenie naprzemiennych liczb. Czy zdarza się, że ciąg składa się z identycznych liczb? Z pewnością. Na przykład ustawia nieskończoną liczbę „trójek”. Dla estetów zdarza się, że we wzorze nadal formalnie pojawia się „en”: Zaprośmy do tańca prostego przyjaciela: Co się stanie, gdy „en” wzrośnie do nieskończoności? Oczywiście, członkowie sekwencji będą nieskończenie blisko zbliżać się do zera. Jest to granica tego ciągu, która jest zapisana w następujący sposób: Jeśli granica ciągu wynosi zero, wówczas jest on wywoływany nieskończenie mały. W teorii analizy matematycznej jest to dane ścisła definicja granicy ciągu poprzez tak zwane sąsiedztwo epsilon. Następny artykuł będzie poświęcony tej definicji, ale na razie spójrzmy na jej znaczenie: Przedstawmy na osi liczbowej wyrazy ciągu i sąsiedztwo symetryczne względem zera (granica): Sekwencja jest również nieskończenie mała: z tą różnicą, że jej elementy nie skaczą tam i z powrotem, ale zbliżają się do granicy wyłącznie z prawej strony. Naturalnie granica może być równa dowolnej innej liczbie skończonej, elementarny przykład: Tutaj ułamek zmierza do zera, a zatem granica jest równa „dwa”. Jeżeli sekwencja istnieje skończona granica, wtedy to się nazywa zbieżny(w szczególności, nieskończenie mały Na ). W przeciwnym razie - rozbieżny, w tym przypadku możliwe są dwie opcje: albo granica w ogóle nie istnieje, albo jest nieskończona. W tym drugim przypadku sekwencja jest wywoływana nieskończenie duży. Przejdźmy przez przykłady z pierwszego akapitu: Sekwencje Postęp arytmetyczny z pierwszym wyrazem i krokiem jest również nieskończenie duży: Nawiasem mówiąc, każdy postęp arytmetyczny również jest rozbieżny, z wyjątkiem przypadku z krokiem zerowym - kiedy . Granica takiego ciągu istnieje i pokrywa się z pierwszym wyrazem. Sekwencje mają podobny los: Dowolny nieskończenie malejący postęp geometryczny, jak wynika z nazwy, nieskończenie mały: Jeśli mianownikiem postępu geometrycznego jest , to ciąg jest nieskończenie duży: Jeśli na przykład granica w ogóle nie istnieje, ponieważ członkowie niestrudzenie skaczą albo do „plus nieskończoności”, albo do „minus nieskończoności”. A zdrowy rozsądek i twierdzenia Matana podpowiadają, że jeśli coś gdzieś dąży, to jest to jedyne cenione miejsce. Po małej rewelacji Silnia jest nieskończenie duży sekwencja: Co więcej, rośnie ona skokowo, więc jest to liczba, która ma więcej niż 100 cyfr (cyfr)! Dlaczego dokładnie 70? Na nim mój mikrokalkulator inżynieryjny błaga o litość. Przy strzale kontrolnym wszystko jest trochę bardziej skomplikowane i właśnie doszliśmy do praktycznej części wykładu, w której przeanalizujemy przykłady walki: Ale teraz musisz umieć rozwiązać granice funkcji, przynajmniej na poziomie dwóch podstawowych lekcji: Limity. Przykłady rozwiązań I Cudowne Granice. Ponieważ wiele metod rozwiązania będzie podobnych. Ale przede wszystkim przeanalizujmy podstawowe różnice między granicą ciągu a granicą funkcji: W granicy ciągu zmienna „dynamiczna” „en” może dążyć tylko do „plus nieskończoności”– w kierunku zwiększania liczb naturalnych Podciąg oddzielny(nieciągły), to znaczy składa się z pojedynczych izolowanych elementów. Raz, dwa, trzy, cztery, pięć, króliczek wyszedł na spacer. Argument funkcji charakteryzuje się ciągłością, to znaczy „X” płynnie, bez incydentów, dąży do tej lub innej wartości. W związku z tym wartości funkcji będą również stale zbliżać się do swojego limitu. Z powodu dyskrecja w obrębie sekwencji znajdują się charakterystyczne dla nich elementy, takie jak silnia, „migające światła”, progresje itp. A teraz spróbuję przeanalizować granice specyficzne dla ciągów. Zacznijmy od progresji: Przykład 1 Znajdź granicę ciągu Rozwiązanie: coś w rodzaju nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, ale czy na pewno tak jest? Dla jasności zapiszmy kilka pierwszych terminów: Od tego czasu mówimy kwota w kategoriach nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, który oblicza się ze wzoru. Podejmijmy decyzję: Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego: . W tym przypadku: – pierwszy wyraz, – mianownik progresji. Przykład 2 Zapisz pierwsze cztery wyrazy ciągu i znajdź jego granicę To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Aby wyeliminować niepewność licznika, należy zastosować wzór na sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego: Ponieważ w ciągach „en” zawsze dąży do „plus nieskończoności”, nie jest zaskakujące, że niepewność jest jedną z najpopularniejszych. A może coś bardziej skomplikowanego, np Z formalnego punktu widzenia różnica będzie dotyczyć tylko jednej litery – „x” tutaj i „en” tutaj. Również niepewność w ciągu jest dość powszechna. Jak rozwiązać limity, takie jak Aby zrozumieć granicę, zapoznaj się z przykładem nr 7 z lekcji Cudowne Granice(druga niezwykła granica obowiązuje również w przypadku dyskretnym). Rozwiązanie będzie znowu jak kopia z różnicą jednej litery. Kolejne cztery przykłady (nr 3-6) również są „dwulicowe”, ale w praktyce z jakiegoś powodu są bardziej charakterystyczne dla granic sekwencji niż granic funkcji: Przykład 3 Znajdź granicę ciągu Rozwiązanie: najpierw kompletne rozwiązanie, potem komentarze krok po kroku: (1) W liczniku używamy wzoru dwukrotnie. (2) Podobne wyrazy prezentujemy w liczniku. (3) Aby wyeliminować niepewność, podziel licznik i mianownik przez („en” w najwyższym stopniu). Jak widać nic skomplikowanego. Przykład 4 Znajdź granicę ciągu To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, skrócone wzory na mnożenie pomóc. W ciągu s orientacyjny W ciągach stosuje się podobną metodę dzielenia licznika i mianownika: Przykład 5 Znajdź granicę ciągu Rozwiązanie Uporządkujmy to według tego samego schematu: Nawiasem mówiąc, podobne twierdzenie jest prawdziwe w przypadku funkcji: iloczyn funkcji ograniczonej i funkcji nieskończenie małej jest funkcją nieskończenie małą. Przykład 9 Znajdź granicę ciągu Funkcja a n =f (n) argumentu naturalnego n (n=1; 2; 3; 4;...) nazywana jest ciągiem liczbowym. Liczby 1; 2; 3; a 4 ;… tworzące ciąg nazywane są elementami ciągu numerycznego. Zatem a 1 = f (1); za 2 = f (2); za 3 = f (3); za 4 = f (4);… Zatem członkowie ciągu są oznaczeni literami wskazującymi indeksy - numery seryjne ich członków: a 1 ; 2; 3; a 4 ;… zatem 1 jest pierwszym elementem ciągu; a 2 jest drugim wyrazem ciągu; a 3 jest trzecim elementem ciągu; 4 jest czwartym wyrazem ciągu itd. W skrócie ciąg liczbowy zapisuje się w następujący sposób: a n = f (n) lub (an). Istnieją następujące sposoby określenia sekwencji numerów: 1)
Metoda werbalna. Reprezentuje wzorzec lub regułę rozmieszczenia elementów sekwencji, opisaną słownie. Przykład 1. Zapisz ciąg wszystkich liczb nieujemnych, które są wielokrotnościami 5. Rozwiązanie. Ponieważ wszystkie liczby kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5, sekwencja zostanie zapisana w następujący sposób: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... Przykład 2. Biorąc pod uwagę sekwencję: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Zapytaj o to ustnie. Rozwiązanie. Zauważamy, że 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Wnioskujemy: biorąc pod uwagę ciąg składający się z kwadratów liczb naturalnych. 2)
Metoda analityczna. Sekwencję podaje wzór na n-ty wyraz: a n =f (n). Korzystając z tej formuły, możesz znaleźć dowolnego członka sekwencji. Przykład 3. Znane jest wyrażenie na k-ty wyraz ciągu liczbowego: a k = 3+2·(k+1). Oblicz pierwsze cztery wyrazy tego ciągu. za 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7; za 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9; za 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11; a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13. Przykład 4. Określ regułę komponowania ciągu liczbowego z kilku jego pierwszych członków i wyraź wyraz ogólny ciągu za pomocą prostszego wzoru: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Rozwiązanie. Zauważamy, że dany jest ciąg liczb nieparzystych. Dowolną liczbę nieparzystą można zapisać w postaci: 2k-1, gdzie k jest liczbą naturalną, tj. k=1; 2; 3; 4; ... . Odpowiedź: a k =2k-1. 3)
Metoda powtarzalna. Sekwencję również podaje się za pomocą wzoru, ale nie za pomocą ogólnego wzoru terminowego, który zależy tylko od liczby wyrazu. Określona jest formuła, za pomocą której każdy kolejny termin znajduje się na podstawie poprzednich terminów. W przypadku rekurencyjnego sposobu podawania funkcji zawsze dodatkowo określany jest jeden lub kilka pierwszych członków ciągu. Przykład 5. Zapisz pierwsze cztery wyrazy ciągu (an ), jeśli a 1 = 7; za n+1 = 5+za n . za 2 =5+za 1 =5+7=12; za 3 =5+za 2 =5+12=17; za 4 =5+za 3 =5+17=22. Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; ... . Przykład 6. Zapisz pierwsze pięć wyrazów ciągu (b n), jeśli b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 . b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1; b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5; b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Odpowiedź: -2; 3; -1; 5; 3; ... . 4)
Metoda graficzna. Sekwencję liczbową podaje wykres przedstawiający izolowane punkty. Odcięte tych punktów są liczbami naturalnymi: n=1; 2; 3; 4; ... . Rzędne to wartości elementów sekwencji: a 1 ; 2; 3; 4;… . Przykład 7. Zapisz wszystkie pięć wyrazów ciągu liczbowego podanego graficznie. Każdy punkt w tej płaszczyźnie współrzędnych ma współrzędne (n; an). Zapiszmy współrzędne zaznaczonych punktów w porządku rosnącym odciętej n. Otrzymujemy: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7). Dlatego a 1 = -3; a2 = 1; a3 =4; a4=6; 5 = 7. Odpowiedź: -3; 1; 4; 6; 7. Rozważany ciąg liczbowy jako funkcja (w przykładzie 7) jest dany na zbiorze pierwszych pięciu liczb naturalnych (n=1; 2; 3; 4; 5), zatem wynosi skończony ciąg liczb(składa się z pięciu członków). Jeśli na całym zbiorze liczb naturalnych podany jest ciąg liczb jako funkcja, to taki ciąg będzie nieskończony ciąg liczb.Wyznaczanie limitu sekwencji
Ogólne oznaczenie granicy ciągów
Niepewność i pewność granicy
Co to jest sąsiedztwo?
Twierdzenia
Dowód ciągów
A może go tam nie ma?
Sekwencja monotoniczna
Granica ciągu zbieżnego i ograniczonego
Granica ciągu monotonicznego
Różne działania z ograniczeniami
Własności wielkości sekwencyjnych
Sekwencja numerów.
Jak ?Pojęcie ciągu liczbowego
zwany pierwszy członek sekwencje;
– drugi członek sekwencje;
– trzeci członek sekwencje;
…
– n-ty Lub wspólny członek sekwencje;
…
– ciąg liczb parzystych dodatnich: 
numery są umieszczane w korespondencji. Dlatego ciąg często jest krótko oznaczony wspólnym terminem, a zamiast „x” można użyć innych liter łacińskich, na przykład:
– drugi termin tej progresji;
– trzeci termin tej progresji;
- czwarty; 
- piąty;
…
I oczywiście podany jest n-ty wyraz nawracający formuła
. W naszym przypadku: 
;
postęp 
ustawia sekwencję;
postęp 
ustala kolejność 
;
postęp 
ustala kolejność 
.
Teraz ściśnij niebieski obszar krawędziami dłoni i zacznij go zmniejszać, pociągając go w stronę granicy (czerwony punkt). Liczba jest granicą sekwencji, jeśli DLA DOWOLNEGO wcześniej wybranego sąsiedztwa (tak mały, jak chcesz) będzie w nim nieskończenie wiele członkowie sekwencji, a POZA nią - tylko finał liczba członków (lub wcale). Oznacza to, że sąsiedztwo epsilon może być mikroskopijne, a nawet mniejsze, ale „nieskończony ogon” sekwencji prędzej czy później musi w pełni wejdź na ten obszar.
Czy nieskończenie duży, gdy ich członkowie pewnie zmierzają w stronę „plus nieskończoności”: 
staje się jasne, że „migające światło” jest winne niekontrolowanego rzucania, które, nawiasem mówiąc, samo w sobie się różni.
Rzeczywiście, dla sekwencji łatwo jest wybrać otoczenie, które, powiedzmy, ogranicza tylko liczbę –1. W rezultacie nieskończona liczba członków sekwencji („plus”) pozostanie poza tym sąsiedztwem. Ale z definicji „nieskończony ogon” ciągu od pewnego momentu (liczba naturalna) musi w pełni wejdź w DOWOLNE okolice swojego limitu. Wniosek: niebo jest granicą.
.
W granicy funkcji „x” można skierować w dowolne miejsce – na „plus/minus nieskończoność” lub na dowolną liczbę rzeczywistą.
, gdzie jest pierwszym, a a jest n-tym wyrazem progresji.
Wiele przykładów rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak granice funkcji!
? Sprawdź przykład nr 3 artykułu Metody rozwiązywania granic.
Technika jest ta sama - licznik i mianownik należy podzielić przez „en” w najwyższym stopniu.
można znaleźć w przykładach nr 11-13 tego samego artykułu.
