Dynamika ruchu oscylacyjnego na przykładzie wahadła sprężystego. Prezentacja z fizyki na temat „Drgania swobodne i wymuszone

Wahadło matematyczne jest modelem wahadła zwykłego. Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Wysuńmy piłkę z pozycji równowagi i puśćmy ją. Na kulkę będą działać dwie siły: grawitacja i napięcie nici. Kiedy wahadło się porusza, siła tarcia powietrza nadal będzie na nie oddziaływać. Ale uznamy to za bardzo małe.

Rozłóżmy siłę ciężkości na dwie składowe: siłę skierowaną wzdłuż nici i siłę skierowaną prostopadle do stycznej do toru piłki.

Te dwie siły sumują się, tworząc siłę grawitacji. Siły sprężystości nici i składnik ciężkości Fn oddziałują na kulkę przyspieszenie dośrodkowe. Praca wykonana przez te siły wyniesie zero, a zatem zmienią jedynie kierunek wektora prędkości. W dowolnym momencie będzie skierowany stycznie do łuku okręgu.

Pod wpływem składowej grawitacyjnej Fτ piłka będzie poruszać się po okręgu ze wzrastającą prędkością. Wartość tej siły zawsze zmienia się pod względem wielkości, przy przejściu przez położenie równowagi jest równa zeru.

Dynamika ruchu oscylacyjnego

Równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej.

Ogólne równanie ruchu:

Drgania w układzie zachodzą pod wpływem siły sprężystości, która zgodnie z prawem Hooke’a jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia obciążenia

Wówczas równanie ruchu kuli przyjmie postać:

Dzieląc to równanie przez m, otrzymujemy następujący wzór:

A ponieważ współczynnik masy i sprężystości są wielkościami stałymi, stosunek (-k/m) również będzie stały. Otrzymaliśmy równanie opisujące drgania ciała pod działaniem siły sprężystej.

Rzut przyspieszenia ciała będzie wprost proporcjonalny do jego współrzędnej, przyjętej z przeciwnym znakiem.

Równanie ruchu wahadła matematycznego

Równanie ruchu wahadło matematyczne opisuje się następującym wzorem:

Równanie to ma taką samą postać jak równanie ruchu masy na sprężynie. W rezultacie oscylacje wahadła i ruchy kulki na sprężynie zachodzą w ten sam sposób.

Przemieszczenie kulki na sprężynie i przemieszczenie korpusu wahadła z położenia równowagi zmieniają się w czasie według tych samych praw.

WYKŁAD nr 8

Mechanika

Oscylacje

Ruch oscylacyjny. Charakterystyki kinematyczne i dynamiczne Ruch oscylacyjny. Wahadło matematyczne, fizyczne i sprężyste.

Żyjemy w świecie, w którym procesy oscylacyjne są integralną częścią naszego świata i można je znaleźć wszędzie.

Proces oscylacyjny lub oscylacja to proces charakteryzujący się różnym stopniem powtarzalności.

Jeśli wielkość oscylacyjna powtarza swoje wartości w równych odstępach czasu, wówczas takie oscylacje nazywane są okresowymi, a te przedziały czasu nazywane są okresem oscylacji.

W zależności od natury fizycznej zjawiska wyróżnia się drgania: mechaniczne, elektromechaniczne, elektromagnetyczne itp.

Oscylacje są szeroko rozpowszechnione w przyrodzie i technologii. Procesy oscylacyjne leżą u podstaw niektórych gałęzi mechaniki. W tym toku wykładów będziemy rozmawiać wyłącznie o drganiach mechanicznych.

W zależności od charakteru oddziaływania na układ oscylacyjny wyróżnia się drgania: 1. swobodne lub naturalne, 2. drgania wymuszone, 3. samooscylacje, 4. drgania parametryczne.

Drgania swobodne to wibracje powstające bez wpływu zewnętrznego i spowodowane początkowym „pchnięciem”.

Wymuszone oscylacje powstają pod wpływem okresowej siły zewnętrznej

Samooscylacje zachodzą również pod wpływem siły zewnętrznej, jednak moment oddziaływania siły na układ wyznacza sam układ oscylacyjny.

Przy oscylacjach parametrycznych pod wpływem wpływów zewnętrznych następuje okresowa zmiana parametrów układu, co powoduje tego typu oscylacje.

Najprostszą formą są wibracje harmoniczne

Drgania harmoniczne to drgania występujące zgodnie z prawemgrzech Lubsałata . Przykładem oscylacji harmonicznych są oscylacje wahadła matematycznego

Nazywa się maksymalne odchylenie wielkości oscylacyjnej podczas procesu oscylacji amplituda oscylacji(A) . Nazywa się czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego oscylacji okres oscylacji(T) . Nazywa się odwrotnością okresu oscylacji częstotliwość wibracji(). Często nazywane są wibracje pomnożone przez 2 częstotliwość cykliczna(). Zatem drgania harmoniczne opisuje się wyrażeniem

Tutaj ( T+  0 ) faza oscylacji oraz  0 – faza początkowa

Najprostszymi mechanicznymi układami oscylacyjnymi są tzw. wahadła matematyczne, sprężyste i fizyczne. Przyjrzyjmy się tym wahadłom bardziej szczegółowo

8.1. Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to układ oscylacyjny składający się z masywnego ciała punktowego zawieszonego w polu grawitacyjnym na nierozciągliwej, nieważkiej nici.

W najniższym punkcie wahadło ma minimalną energię potencjalną. Odchylmy wahadło o kąt . Środek ciężkości masywnego ciała punktowego wzrośnie do pewnej wysokości  H i jednocześnie energia potencjalna wahadła wzrośnie o tę kwotę mg H. Ponadto w pozycji odchylonej na obciążenie wpływa grawitacja i napięcie nici. Linie działania tych sił nie pokrywają się, a wypadkowa siła działa na ładunek, dążąc do przywrócenia go do położenia równowagi. Jeśli ładunek nie zostanie utrzymany, to pod wpływem tej siły zacznie przemieszczać się do pierwotnego położenia równowagi, jego energia kinetyczna wzrośnie w wyniku wzrostu prędkości, podczas gdy energia potencjalna spadnie. Po osiągnięciu punktu równowagi powstała siła nie będzie już działać na ciało (siła ciężkości w tym punkcie jest kompensowana przez siłę naciągu nici). Energia potencjalna ciała w tym momencie będzie minimalna, a energia kinetyczna, wręcz przeciwnie, będzie miała swoją maksymalna wartość. Ciało poruszając się na zasadzie bezwładności przejdzie przez położenie równowagi i zacznie się od niego oddalać, co doprowadzi do pojawienia się siły wypadkowej (od siły napięcia i grawitacji), która będzie skierowana przeciw ruchowi ciała , hamując. W tym samym czasie energia kinetyczna ładunku zaczyna spadać i jej energia potencjalna. Proces ten będzie trwał aż do całkowitego wyczerpania się zapasów energii kinetycznej i przekształcenia jej w energię potencjalną. W takim przypadku odchylenie obciążenia od położenia równowagi osiągnie wartość maksymalną i proces się powtórzy. Jeśli w układzie nie ma tarcia, obciążenie będzie oscylować w nieskończoność.

Zatem oscylacyjne układy mechaniczne charakteryzują się tym, że w przypadku odchylenia od położenia równowagi w układzie powstaje siła przywracająca, dążąca do przywrócenia układu do położenia równowagi. W tym przypadku występują wibracje, którym towarzyszą okresowe przejście energię potencjalną układu na jego energię kinetyczną i odwrotnie.

Obliczmy proces oscylacyjny. moment siły M działanie na wahadło jest oczywiście równe - mglsin Znak minus odzwierciedla fakt, że moment siły ma tendencję do przywracania obciążenia do położenia równowagi. Natomiast zgodnie z podstawowym prawem ruchu obrotowego M=ID 2  / dt 2 . W ten sposób otrzymujemy równość

B
Rozważymy tylko małe kąty odchylenia wahadła od położenia równowagi. Następnie grzech ≈  . A nasza równość będzie miała postać:

D
W przypadku wahadła matematycznego jest to prawdą I= ml 2 . Podstawiając tę ​​równość do otrzymanego wyrażenia, otrzymujemy równanie opisujące proces drgań wahadła matematycznego:

To równanie różniczkowe opisuje proces oscylacyjny. Rozwiązaniem tego równania jest funkcje harmoniczne grzech( T+  0 ) Lub sałata ( T+  0 ) Rzeczywiście, podstawiamy dowolną z tych funkcji do równania i otrzymujemy:  2 = G/ l. Zatem jeśli ten warunek jest spełniony, to funkcje grzech( T+  0 ) Lub sałata( T+  0 ) przekształcić równanie różniczkowe oscylacji w tożsamość.

O
Tutaj częstotliwość cykliczna i okres oscylacji wahadła harmonicznego wyraża się jako:

Amplituda oscylacji znajduje się z warunki początkowe zadania.

Jak widać częstotliwość i okres drgań wahadła matematycznego nie zależy od masy ładunku, a jedynie od przyspieszenia swobodnego spadania i długości gwintu zawieszenia, co pozwala na wykorzystanie wahadła jako wahadła proste, ale bardzo dokładne urządzenie do wyznaczania przyspieszenia swobodnego spadania.

Innym rodzajem wahadła jest każde ciało fizyczne zawieszone w jakimś punkcie ciała i posiadające zdolność wykonywania ruchu oscylacyjnego.

8.2. Wahadło fizyczne

W Weźmy dowolne ciało, przebijmy je w pewnym miejscu osią nie pokrywającą się z jego środkiem masy, wokół którego ciało może się swobodnie obracać. Zawieśmy ciało na tej osi i odchylmy je od położenia równowagi o określony kąt  .

T
gdy znajduje się na ciele z momentem bezwładności I względem osi O nastąpi chwila powrotu do pozycji równowagi M = - mglsin i fluktuacje wahadło fizyczne podobnie jak matematyczne, będą one opisane równaniem różniczkowym:

Ponieważ dla różnych wahadeł fizycznych moment bezwładności będzie wyrażony inaczej, nie będziemy go opisywać jak w przypadku wahadła matematycznego. Równanie to ma także postać równania oscylacyjnego, którego rozwiązaniem są funkcje opisujące oscylacje harmoniczne. W tym przypadku częstotliwość cykliczna ( ) , okres oscylacji (T) są zdefiniowane jako:

Widzimy, że w przypadku wahadła fizycznego okres drgań zależy od geometrii korpusu wahadła, a nie od jego masy, jak w przypadku wahadła matematycznego. Rzeczywiście, wyrażenie na moment bezwładności obejmuje masę wahadła do pierwszej potęgi. Moment bezwładności w wyrażeniu na okres drgań jest podany w liczniku, natomiast masa wahadła w mianowniku i także do pierwszej potęgi. Zatem masa w liczniku znosi się z masą w mianowniku.

Wahadło fizyczne ma jeszcze jedną cechę: zmniejszoną długość.

Skrócona długość wahadła fizycznego to długość wahadła matematycznego, którego okres pokrywa się z okresem wahadła fizycznego.

Definicja ta ułatwia zdefiniowanie wyrażenia dla danej długości.

Porównując te wyrażenia, które otrzymujemy

Jeśli na linii poprowadzonej od punktu zawieszenia przez środek masy wahadła fizycznego wykreślimy (począwszy od punktu zawieszenia) skróconą długość wahadła fizycznego, to na końcu tego odcinka znajdzie się punkt, który ma niezwykła nieruchomość. Jeżeli wahadło fizyczne zostanie zawieszone w tym punkcie, to okres jego drgań będzie taki sam, jak w przypadku zawieszenia wahadła w poprzednim punkcie zawieszenia. Punkty te nazywane są środkami wahań wahadła fizycznego.

Rozważmy inny prosty układ oscylacyjny, który wykonuje oscylacje harmoniczne

8.3. Wahadło sprężynowe

P Wyobraźmy sobie, że na końcu znajduje się sprężyna o współczynniku sztywności k dołączona masa M.

Jeśli przesuniemy obciążenie wzdłuż osi x poprzez naciągnięcie sprężyny, wówczas na obciążenie zadziała siła powracająca do położenia równowagi F powrót = - kx. Jeśli obciążenie zostanie zwolnione, siła ta spowoduje przyspieszenie D 2 X / dt 2 . Zgodnie z drugim prawem Newtona otrzymujemy:

md 2 X / dt 2 = - kx z tego równania otrzymujemy równanie na drgania obciążenia sprężyny w jego ostatecznej postaci: D 2 X / dt 2 + (k/ M) X = 0

mi
wówczas równanie oscylacji ma taką samą postać jak równania oscylacji w rozważanych już przypadkach, co oznacza, że ​​rozwiązaniem tego równania będą te same funkcje harmoniczne. Częstotliwość i okres oscylacji będą odpowiednio równe

Co więcej, grawitacja w żaden sposób nie wpływa na wibracje wahadło sprężynowe. Ponieważ w tym przypadku jest to czynnik stale działający, działający cały czas w jednym kierunku i nie mający nic wspólnego z siłą przywracającą.

Zatem, jak widzimy proces oscylacyjny w mechanicznym układzie oscylacyjnym, charakteryzuje się on przede wszystkim obecnością w układzie siła regeneracji działające na układ, a same oscylacje charakteryzują się: amplituda drgań, ich okres, częstotliwość i faza drgań.

płuca

serce

Temat lekcji: „Bezpłatne i wymuszone oscylacje. Dynamika ruchu oscylacyjnego”.

• Wibracje mechaniczne – są to ruchy, które powtarzają się dokładnie lub w przybliżeniu w określonych odstępach czasu.

Główne rodzaje wibracji

wymuszony

bezpłatny

zwane drganiami ciał pod wpływem zewnętrznych okresowo zmieniających się sił.

zwane oscylacjami w układzie pod wpływem siły wewnętrzne, po wyprowadzeniu układu ze stanu równowagi i pozostawieniu go samemu sobie.

Wahadło - ciało zawieszone na nitce lub przymocowane do osi, która może drgać pod wpływem siły ciężkości

Rodzaje wahadeł

Wiosna- ciało zawieszone na sprężynie i drgające pod działaniem siły sprężystej sprężyny.

Matematyczne (wątek) jest punktem materialnym zawieszonym na nieważkiej i nierozciągliwej nici.

Warunki występowania oscylacji

• Po wyjęciu ciała z położenia równowagi w układzie powstaje siła skierowana w stronę położenia równowagi, a zatem dążąca do przywrócenia ciała do położenia równowagi.

• Tarcie w układzie powinno być dość niskie.

• Amplituda – moduł największego przemieszczenia ciała z położenia równowagi.

X maks Lub A

Mierzone w metrach

• Okres T – czas jednego pełnego oscylacji.

Mierzone w sekundach

Okres oscylacji

Do matematyki

wahadło

Na wiosnę

wahadło

(wzór Huygensa)

Częstotliwość - liczba pełnych oscylacji w jednostce czasu.

Mierzone w hercach

• Cykliczna (okrągła) częstotliwość drgań – częstotliwość, równa liczbie wykonane oscylacje punkt materialny za

Mierzona w radianach na sekundę

Świat fluktuacji

• Oscylacje są jednym z najczęstszych procesów w przyrodzie i technologii.
• skrzydła owadów i ptaków w locie,
• wysokie budynki i przewody wysokiego napięcia narażone na działanie wiatru,
• wahadło zegara rany i samochodu na sprężynach podczas jazdy
• poziom rzeki w ciągu roku i temperatura Ludzkie ciało w przypadku choroby.

Trochę historii...

Galileo Galilei (1564-1642)

Wielki włoski naukowiec jest jednym z twórców nauk ścisłych i przyrodniczych.

Któregoś dnia w kościele on Patrzyłem, jak ogromny żyrandol się kołysze, i odmierzałem czas na podstawie pulsu. Później odkrył, że czas potrzebny na jednokrotne zamachnięcie zależy od długości wahadła – czas ten skraca się o połowę, jeśli wahadło zostanie skrócone o trzy czwarte.

Trochę historii...

Najbardziej znany praktyczne użycie Zastosowanie wahadła w zegarze do pomiaru czasu. Po raz pierwszy dokonał tego holenderski fizyk H. Huygens. Naukowiec pracował nad stworzeniem i udoskonaleniem zegarów, przede wszystkim wahadłowych, przez prawie czterdzieści lat: od 1656 do 1693 roku Huygens wyprowadził wzór na określenie okresu drgań wahadła matematycznego. Wcześniej czas mierzono przepływem wody, paleniem pochodni lub świecy.

Wahadło Foucaulta

W 1850 r. J. Foucault zawiesił pod kopułą wahadło wysoki budynek tak, aby czubek wahadła podczas kołysania pozostawiał ślad na piasku rozsypanym na podłogę. Okazało się, że przy każdym przewróceniu końcówka pozostawia nowy ślad na piasku.

Zatem eksperyment Foucaulta wykazał, że Ziemia obraca się wokół własnej osi.

Początkowo eksperyment przeprowadzono w wąskie koło, ale Napoleon był bardzo zainteresowany III, cesarza francuskiego, że zasugerował Foucaultowi, aby powtórzono to publicznie na wielką skalę pod kopułą Panteonu w Paryżu. Tę publiczną demonstrację nazywa się zwykle eksperymentem Foucaulta.

W geologii używa się wahadła eksperymentalne ustalenie wartość numeryczna G V różne punkty powierzchnia ziemi. Wystarczy na to duża liczba drgania wahadła w miejscu ich pomiaru G , znajdź okres jego oscylacji T i G obliczone ze wzoru:

Zauważalne odchylenie wartości G od normy dla dowolnego obszaru nazywa się anomalią grawitacyjną. Wykrywanie anomalii pomaga zlokalizować złoża minerałów.

Praca laboratoryjna„Definicja przyspieszenia swobodny spadek za pomocą wahadła”

Cel pracy: Naucz się eksperymentalnie mierzyć przyspieszenie swobodnego spadania za pomocą wahadła matematycznego.

Sprzęt: statyw, piłka na sznurku, zegar, linijka.

Spośród trzech proponowanych wersetów wybierz ten, który charakteryzuje twój stan na koniec lekcji .

1. Oczy błyszczą Dusza się śmieje A mój umysł śpiewa: „Naprzód ku wiedzy”!

2. Nie jestem dzisiaj szczęśliwy W ciszy zrobiło mi się smutno, Wszystko o wahaniach błysnęło w oddali.

3. Pamiętanie o wszystkim Twoja wiedza, A fizycy rozumieją świat, Jestem wdzięczny matce losowi, Że na świecie są wahania

i nie jesteśmy w stanie ich wszystkich zliczyć!

>> Dynamika ruchu oscylacyjnego

§21 DYNAMIKA RUCHU WIBRACYJNEGO

Aby ilościowo opisać drgania ciała pod działaniem siły sprężystej sprężyny lub drgań kulki zawieszonej na nitce, posługujemy się prawami mechaniki Newtona.

Równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej. Zgodnie z drugim prawem Newtona iloczyn masy ciała m i jego przyspieszenia jest równy wypadkowej wszystkich sił przyłożonych do ciała:

Dzieląc lewą i prawą stronę tego równania przez m, otrzymujemy

Wcześniej zakładano, że kąty odchylenia gwintu wahadła od pionu mogą być dowolne. W przyszłości będziemy uważać je za małe. W przypadku małych kątów, jeśli kąt jest mierzony w radianach,

Jeżeli kąt jest mały, wówczas rzut przyspieszenia jest w przybliżeniu równy rzutowi przyspieszenia na oś OX: (patrz ryc. 3.5). Z trójkąta ABO dla małego kąta a mamy:

Podstawiając to wyrażenie na równość (3.8) zamiast kąta , otrzymujemy

Równanie to ma taką samą postać jak równanie (3.4) dla przyspieszenia kuli przymocowanej do sprężyny. W konsekwencji rozwiązanie tego równania będzie miało taką samą postać jak rozwiązanie równania (3.4). Oznacza to, że ruch kuli i oscylacje wahadła zachodzą w ten sam sposób. Przemieszczenia kulki na sprężynie i korpusie wahadła z położeń równowagi zmieniają się w czasie według tego samego prawa, mimo że siły wywołujące drgania mają różny charakter charakter fizyczny. Mnożąc równania (3.4) i (3.10) przez m i pamiętając o drugim prawie Newtona max = Fх res, możemy stwierdzić, że oscylacje w tych dwóch przypadkach zachodzą pod wpływem sił, których wypadkowa jest wprost proporcjonalna do przemieszczenia ciało oscylacyjne z położenia równowagi i skierowane jest w stronę przeciwną do tego przemieszczenia.

Równanie (3.4), podobnie jak (3.10), jest pozornie bardzo proste: przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do współrzędnej (przemieszczenia z położenia równowagi).

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia warsztaty autotestowe, szkolenia, case'y, zadania domowe kontrowersyjne kwestie pytanie retoryczne od studentów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje planie kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane Lekcje

Aby ilościowo opisać drgania ciała pod działaniem siły sprężystej sprężyny lub drgań kulki zawieszonej na nitce, skorzystamy z praw mechaniki Newtona. Równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem sił sprężystych. Zgodnie z drugim prawem Newtona iloczyn masy ciała m i przyspieszenia a jest równy wypadkowej F wszystkich sił przyłożonych do ciała: Zapiszmy równanie ruchu kuli poruszającej się prostoliniowo po poziomie pod działaniem sprężystości siła F sprężyny (patrz rys. 56). Skierujmy oś Wołu w prawo. Niech początek współrzędnych odpowiada położeniu równowagi (patrz ryc. 56, a). W rzutach na oś Ox równanie (3.1) zostanie zapisane następująco: max = Fxynp, gdzie ax i Fxyn są odpowiednio rzutami przyspieszenia i siły sprężystości. Zgodnie z prawem Hooke'a rzut Fx jest wprost proporcjonalny do przemieszczenia piłki z położenia równowagi. Przemieszczenie jest równe współrzędnej x piłki, a rzut siły i współrzędna mają przeciwne znaki(patrz ryc. 56, b, c). W konsekwencji Fx m=~kx, (3.2) gdzie k jest sztywnością sprężyny. Równanie ruchu kuli będzie wówczas miało postać: max=~kx. (3.3) Dzieląc lewą i prawą stronę równania (3.3) przez m, otrzymujemy a = - - x. + (3,4) x m v " Ponieważ masa m i sztywność k są wielkościami stałymi, ich stosunek - " k stosunek jest również stały. t Otrzymaliśmy równanie ruchu ciała drgającego pod działaniem siły sprężystej. To bardzo proste: oś rzutu przyspieszenia ciała jest wprost proporcjonalna do jego współrzędnej x, przyjętej ze znakiem przeciwnym. Równanie ruchu wahadła matematycznego. Kiedy kulka drga na nierozciągliwej nici, porusza się ona stale po łuku koła, którego promień wynosi równa długości wątki/. Dlatego położenie kuli w dowolnym momencie jest określone przez jedną wielkość - kąt a odchylenia nici od pionu. Kąt a uznamy za dodatni, jeśli wahadło zostanie wychylone w prawo od położenia równowagi, a za ujemny, jeśli wahadło zostanie przechylone w lewo (patrz rys. 58). Rozważana będzie styczna do trajektorii skierowana w stronę dodatniego kąta odniesienia. Oznaczmy rzut grawitacji na styczną do trajektorii wahadła przez Fz. Rzut ten w chwili odchylenia nici wahadła od położenia równowagi o kąt a wyraża się następująco: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Tutaj znak „-” oznacza, że ​​Fx i a mają przeciwne znaki.Przy wychyleniu wahadła w prawo (a>0) składowa Fx siły ciężkości jest skierowana w lewo i jej rzut jest ujemny: Fx 0. Oznaczmy rzut przyspieszenia wahadła wahadło na styczną do jego trajektorii przez aT Rzut ten charakteryzuje szybkość zmiany modułu prędkości wahadła.Zgodnie z drugim prawem Newtona, dzieląc lewą i prawą stronę tego równania przez m, otrzymujemy jf.ax ~-g sin a. (3.7) Do tej pory zakładano, że kąty odchylenia gwintu wahadła od pionu mogą być dowolne.W dalszej części będziemy je uważać za małe.Przy małych kątach, jeśli kąt mierzy się w radianach , sin a~a. Dlatego możemy przyjąć a=~ga.(3.8) Oznaczając długość łuku OA przez s (patrz rys. 58), możemy napisać s=al, skąd a=y.(3.9 ) Podstawiając to wyrażenie do równości (3.8) zamiast kąta a, otrzymujemy ax = - js (3.10) Równanie to ma taką samą postać jak równanie (3.4) ruchu kuli umocowanej na sprężynie. Tutaj tylko zamiast osi rzutu przyspieszenia jest rzut aT przyspieszenia, a zamiast współrzędnej x jest wartość s. A współczynnik proporcjonalności nie zależy już od sztywności sprężyny i masy kuli, ale od przyspieszenia swobodnego opadania i długości nici. Ale tak jak poprzednio, przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do przemieszczenia (wyznaczonego przez łuk) kuli z położenia równowagi. Doszliśmy do niezwykłego wniosku: równań ruchu opisujących drgania m.in różne systemy, jak piłka na sprężynie i wahadło, są tym samym. Oznacza to, że ruch kuli i oscylacje wahadła zachodzą w ten sam sposób. Przemieszczenia kulki na sprężynie i kuli wahadła z położeń równowagi zmieniają się w czasie według tego samego prawa, mimo że siły powodujące drgania mają różną naturę fizyczną. W pierwszym przypadku jest to siła sprężystości sprężyny, w drugim – składowa ciężkości. Równanie ruchu (3.4), podobnie jak równanie (3.10), jest pozornie bardzo proste: przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do współrzędnej. Jednak jego rozwiązanie, czyli określenie, jak zmienia się w czasie położenie ciała oscylującego w przestrzeni, nie jest łatwe.