Rozkłady statystyczne
Podczas ruchu termicznego położenie cząstek, wielkość i kierunek ich prędkości zmieniają się losowo. Ze względu na gigantyczną liczbę cząstek losowy charakter ich ruchu objawia się istnieniem pewnych statystycznych wzorców rozkładu cząstek układu według współrzędnych, wartości prędkości itp. Rozkłady takie charakteryzują się odpowiednimi funkcjami rozkładu. Funkcja rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa) charakteryzuje rozkład cząstek według odpowiedniej zmiennej (współrzędne, prędkości itp.). Statystyka klasyczna opiera się na następujących zasadach:
Wszystkie cząstki układu klasycznego są rozróżnialne (to znaczy można je ponumerować i każdą cząstkę można śledzić);
Wszystkie zmienne dynamiczne charakteryzujące stan cząstki zmieniają się w sposób ciągły;
W danym stanie może istnieć nieograniczona liczba cząstek.
W stanie równowagi termicznej, niezależnie od tego, jak zmienia się prędkość cząsteczek podczas zderzeń, średnia kwadratowa prędkość cząsteczek w gazie, przy T = const, pozostaje stała i równa
Wyjaśnia to fakt, że w gazie ustala się pewien stacjonarny rozkład statystyczny cząsteczek względem wartości prędkości, zwany rozkładem Maxwella. Rozkład Maxwella opisuje pewna funkcja f(u), zwaną funkcją rozkładu prędkości molekularnej.
,
gdzie N to całkowita liczba cząsteczek, dN(u) to liczba cząsteczek, których prędkości należą do zakresu prędkości od u do u + du.
Zatem funkcja Maxwella f(u) jest równa prawdopodobieństwu, że wartość prędkości losowo wybranej cząsteczki należy do jednostkowego przedziału prędkości w pobliżu wartości u. Lub jest równa ułamkowi cząsteczek, których prędkości należą do jednostkowego przedziału prędkości w pobliżu wartości u.
Jawną postać funkcji f(u) otrzymał teoretycznie Maxwell:
.
Wykres funkcji rozkładu pokazano na ryc. 12. Z wykresu wynika, że dystrybuanta dąży do zera w punktach u®0 i u®¥ i przechodzi przez maksimum przy określonej prędkości u B, zwanej najprawdopodobniej prędkość. Największa liczba cząsteczek ma tę prędkość i te, które są jej bliskie. Krzywa jest asymetryczna względem u B. Wartość najbardziej prawdopodobnej prędkości można wyznaczyć korzystając z warunku na maksimum funkcji f(u).
.
Na ryc. Na rysunku 13 przedstawiono przemieszczenie uB wraz ze zmianą temperatury, natomiast pole pod wykresem pozostaje stałe i równe 1, co wynika z warunki normalizacyjne Funkcje Maxwella
Ze znaczenia tej całki wynika warunek normalizacji - określa prawdopodobieństwo, że prędkość cząsteczki będzie mieściła się w zakresie prędkości od 0 do ¥. Jest to zdarzenie wiarygodne, którego prawdopodobieństwo z definicji przyjmuje się jako równe 1.
Wykład 5
W wyniku licznych zderzeń cząsteczek gazu ze sobą (~10 9 zderzeń na 1 sekundę) oraz ze ściankami naczynia ustala się pewien statystyczny rozkład cząsteczek ze względu na prędkość. W tym przypadku wszystkie kierunki wektorów prędkości molekularnej okazują się jednakowo prawdopodobne, a moduły prędkości i ich rzuty na osie współrzędnych podlegają pewnym prawom.
Podczas zderzeń prędkości cząsteczek zmieniają się losowo. Może się okazać, że jedna z cząsteczek w serii zderzeń otrzyma energię od innych cząsteczek i jej energia będzie znacznie większa od średniej wartości energii w danej temperaturze. Prędkość takiej cząsteczki będzie duża, ale nadal będzie miała wartość skończoną, gdyż maksymalną możliwą prędkością jest prędkość światła - 3,10 8 m/s. W związku z tym prędkość cząsteczki może ogólnie przyjmować wartości od 0 do niektórych υ maks. Można argumentować, że bardzo duże prędkości w porównaniu do wartości średnich są rzadkie, podobnie jak bardzo małe.
Jak pokazuje teoria i eksperymenty, rozkład cząsteczek ze względu na prędkość nie jest przypadkowy, ale całkiem określony. Określmy, ile cząsteczek lub jaka część cząsteczek ma prędkości mieszczące się w pewnym przedziale w pobliżu danej prędkości.
Niech dana masa gazu zawiera N cząsteczki, podczas gdy dN cząsteczki mają prędkości w zakresie od υ zanim υ +dυ. Oczywiście jest to liczba cząsteczek dN proporcjonalna do całkowitej liczby cząsteczek N oraz wartość określonego przedziału prędkości dυ
Gdzie A- współczynnik proporcjonalności.
To też oczywiste dN zależy od prędkości υ , ponieważ w odstępach o tej samej wielkości, ale przy różnych bezwzględnych wartościach prędkości, liczba cząsteczek będzie różna (przykład: porównaj liczbę osób żyjących w wieku 20–21 lat i 99–100 lat). Oznacza to, że współczynnik A we wzorze (1) musi być funkcją prędkości.
Biorąc to pod uwagę, przepisujemy (1) w formularzu
(2)
Z (2) otrzymujemy
(3)
Funkcjonować F(υ ) nazywa się funkcją dystrybucji. Jego znaczenie fizyczne wynika ze wzoru (3)
jeśli (4)
Stąd, F(υ ) jest równa względnemu ułamkowi cząsteczek, których prędkości zawarte są w jednostkowym przedziale prędkości w pobliżu prędkości υ . Dokładniej, funkcja dystrybucji ma znaczenie prawdopodobieństwa, że dowolna cząsteczka gazu będzie miała prędkość zawartą w odstęp jednostkowy prawie prędkość υ . Dlatego ją nazywają gęstości prawdopodobieństwa.
Całkując (2) po wszystkich wartościach prędkości od 0 do otrzymujemy
(5)
Z (5) wynika, że
(6)
Równanie (6) nazywa się warunek normalizacji Funkcje. Określa prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała jedną z wartości prędkości od 0 do . Prędkość cząsteczki ma pewne znaczenie: zdarzenie to jest wiarygodne, a jego prawdopodobieństwo wynosi jeden.
Funkcjonować F(υ ) został znaleziony przez Maxwella w 1859 roku. Została nazwana Dystrybucja Maxwella:
(7)
Gdzie A– współczynnik niezależny od prędkości, M- masa cząsteczkowa, T– temperatura gazu. Korzystając z warunku normalizacji (6) możemy wyznaczyć współczynnik A:
Biorąc tę całkę, otrzymujemy A:
Biorąc pod uwagę współczynnik A Funkcja rozkładu Maxwella ma postać:
(8)
Kiedy wzrasta υ współczynnik w (8) zmienia się szybciej niż rośnie υ 2. Zatem rozkład (8) zaczyna się od początku, osiąga maksimum przy określonej wartości prędkości, po czym maleje, asymptotycznie zbliżając się do zera (rys. 1).
Ryc.1. Makswellowski rozkład cząsteczek
szybkością. T 2 > T 1
Korzystając z krzywej rozkładu Maxwella, można graficznie znaleźć względną liczbę cząsteczek, których prędkości mieszczą się w danym zakresie prędkości od υ zanim dυ(Ryc. 1, obszar zacieniowanego paska).
Oczywiście całe pole pod krzywą daje całkowitą liczbę cząsteczek N. Z równania (2) uwzględniając (8) znajdujemy liczbę cząsteczek, których prędkości mieszczą się w przedziale od υ zanim dυ
(9)
Z (8) wynika również, że konkretna postać funkcji rozkładu zależy od rodzaju gazu (masa cząsteczki M) i temperatury i nie zależy od ciśnienia i objętości gazu.
Jeśli izolowany układ zostanie wytrącony z równowagi i pozostawiony samemu sobie, to po pewnym czasie powróci do równowagi. Ten okres czasu nazywa się czas relaksu. Różnie to wygląda w przypadku różnych systemów. Jeśli gaz znajduje się w stanie równowagi, wówczas rozkład cząsteczek według prędkości nie zmienia się w czasie. Prędkości poszczególnych cząsteczek stale się zmieniają, ale liczba cząsteczek dN, których prędkości mieszczą się w przedziale od υ zanim dυ pozostaje stała przez cały czas.
Maxwellowski rozkład prędkości cząsteczek ustala się zawsze, gdy układ osiąga stan równowagi. Ruch cząsteczek gazu jest chaotyczny. Dokładna definicja losowości ruchu termicznego jest następująca: ruch cząsteczek jest całkowicie chaotyczny, jeśli prędkości cząsteczek są rozłożone według Maxwella. Wynika z tego, że temperaturę wyznacza się na podstawie średniej energii kinetycznej mianowicie ruchy chaotyczne. Niezależnie od tego, jak duża będzie prędkość silnego wiatru, nie spowoduje on, że będzie on „gorący”. Nawet najsilniejszy wiatr może być zarówno zimny, jak i ciepły, ponieważ o temperaturze gazu nie decyduje prędkość kierunkowa wiatru, ale prędkość chaotycznego ruchu cząsteczek.
Z wykresu funkcji rozkładu (ryc. 1) widać, że liczba cząsteczek, których prędkości leżą w tych samych przedziałach d υ , ale przy różnych prędkościach υ , więcej, jeśli prędkość υ zbliża się do prędkości odpowiadającej maksimum funkcji F(υ ). Ta prędkość υ n nazywa się najbardziej prawdopodobnym (najbardziej prawdopodobnym).
Zróżniczkujmy (8) i przyrównajmy pochodną do zera:
Ponieważ 
,
wówczas ostatnia równość jest spełniona, gdy:
(10)
Równanie (10) jest spełnione, gdy:
I 
Pierwsze dwa pierwiastki odpowiadają minimalnym wartościom funkcji. Następnie znajdujemy prędkość odpowiadającą maksimum funkcji rozkładu z warunku:
Z ostatniego równania:
(11)
Gdzie R– uniwersalna stała gazowa, μ - masa cząsteczkowa.
Biorąc pod uwagę (11) z (8) możemy otrzymać maksymalną wartość funkcji rozkładu
(12)
Z (11) i (12) wynika, że wraz ze wzrostem T lub gdy maleje M krzywa maksymalna F(υ ) przesuwa się w prawo i zmniejsza się, ale pole pod krzywą pozostaje stałe (ryc. 1).
Aby rozwiązać wiele problemów, wygodnie jest zastosować rozkład Maxwella w jego zredukowanej formie. Przedstawmy prędkość względną:
Gdzie υ – podana prędkość, υ rz- najbardziej prawdopodobna prędkość. Biorąc to pod uwagę, równanie (9) przyjmuje postać:
(13)
(13) jest równaniem uniwersalnym. W tej postaci funkcja rozkładu nie zależy od rodzaju gazu ani temperatury.
Krzywa F(υ ) jest asymetryczny. Z wykresu (ryc. 1) jasno wynika, że większość cząsteczek ma prędkości większe niż υ rz. Asymetria krzywej oznacza, że średnia arytmetyczna prędkości cząsteczek nie jest równa υ rz. Średnia arytmetyczna prędkość jest równa sumie prędkości wszystkich cząsteczek podzielonej przez ich liczbę:
Weźmy pod uwagę, że zgodnie z (2)
(14)
Podstawiając do (14) wartość F(υ ) z (8) otrzymujemy średnią arytmetyczną prędkość:
(15)
Średni kwadrat prędkości cząsteczek oblicza się, obliczając stosunek sumy kwadratów prędkości wszystkich cząsteczek do ich liczby:
Po podstawieniu F(υ ) z (8) otrzymujemy:
Z ostatniego wyrażenia znajdujemy średnią prędkość kwadratową:
(16)
Porównując (11), (15) i (16) można stwierdzić, że i w równym stopniu zależą od temperatury i różnią się jedynie wartościami liczbowymi: (rys. 2).
Ryc.2. Rozkład Maxwella na wartościach prędkości bezwzględnych
Rozkład Maxwella obowiązuje dla gazów znajdujących się w stanie równowagi, liczba rozważanych cząsteczek musi być odpowiednio duża. Dla małej liczby cząsteczek można zaobserwować znaczne odchylenia od rozkładu Maxwella (fluktuacje).
Pierwsze eksperymentalne określenie prędkości molekularnych przeprowadził: rufa w 1920 r. Urządzenie Sterna składało się z dwóch cylindrów o różnych promieniach zamontowanych na tej samej osi. Powietrze z cylindrów zostało wypompowane do głębokiej próżni. Wzdłuż osi naciągnięto platynową nić pokrytą cienką warstwą srebra. Gdy przez włókno przepływał prąd elektryczny, nagrzewał się on do wysokiej temperatury (~1200 o C), co powodowało odparowanie atomów srebra.
W ściance wewnętrznego cylindra wykonano wąską podłużną szczelinę, przez którą przechodziły poruszające się atomy srebra. Osadzone na wewnętrznej powierzchni zewnętrznego cylindra tworzyły wyraźnie widoczny cienki pasek bezpośrednio naprzeciw szczeliny.
Cylindry zaczęły się obracać ze stałą prędkością kątową ω. Teraz atomy, które przeszły przez szczelinę, nie osiadały już bezpośrednio naprzeciw szczeliny, ale zostały przesunięte na pewną odległość, ponieważ podczas lotu zewnętrzny cylinder miał czas obrócić się o pewien kąt. Kiedy cylindry obracały się ze stałą prędkością, położenie paska utworzonego przez atomy na zewnętrznym cylindrze przesunęło się o pewną odległość l.
Cząsteczki osiadają w punkcie 1, gdy instalacja jest nieruchoma; gdy instalacja się obraca, cząstki osiadają w punkcie 2.
Uzyskane wartości prędkości potwierdziły teorię Maxwella. Jednakże metoda ta dostarczyła przybliżonych informacji o naturze rozkładu prędkości cząsteczek.
Rozkład Maxwella został dokładniej zweryfikowany eksperymentalnie Lammerta, Eastermana, Eldridge’a i Costę. Eksperymenty te dość dokładnie potwierdziły teorię Maxwella.
Bezpośrednie pomiary prędkości atomów rtęci w wiązce przeprowadzono w 1929 roku Lammerta. Uproszczony schemat tego eksperymentu pokazano na ryc. 3.
Ryc.3. Schemat eksperymentu Lammerta
1 - szybko wirujące dyski, 2 - wąskie szczeliny, 3 - piec, 4 - kolimator, 5 - trajektoria cząsteczek, 6 - detektor
Dwie tarcze 1, osadzone na wspólnej osi, miały promieniowe szczeliny 2, przesunięte względem siebie pod kątem φ . Naprzeciwko szczelin znajdował się piec nr 3, w którym nagrzewano topliwy metal do wysokiej temperatury. Ogrzane atomy metalu, w tym przypadku rtęci, wyleciały z pieca i za pomocą kolimatora 4 zostały skierowane w wymaganym kierunku. Obecność dwóch szczelin w kolimatorze zapewniała ruch cząstek pomiędzy dyskami po prostej drodze 5. Następnie za pomocą detektora 6 rejestrowano atomy przechodzące przez szczeliny w dyskach. Całą opisaną instalację umieszczono w głębokiej próżni .
Kiedy dyski obracały się ze stałą prędkością kątową ω, przez ich szczeliny swobodnie przechodziły tylko atomy, które miały określoną prędkość υ . Dla atomów przechodzących przez obie szczeliny musi być spełniona równość:
gdzie Δ T 1 - czas lotu cząsteczek pomiędzy dyskami, Δ T 2 - czas obrócić dyski pod kątem φ . Następnie:
Zmieniając prędkość kątową obrotu dysków, możliwe było wyizolowanie cząsteczek o określonej prędkości od wiązki υ i na podstawie intensywności zarejestrowanej przez detektor ocenić ich względną zawartość w wiązce.
W ten sposób możliwa była eksperymentalna weryfikacja prawa Maxwella dotyczącego rozkładu prędkości molekularnych.
Ruch cząsteczek gazu podlega prawom fizyki statystycznej. Średnio prędkości i energie wszystkich cząsteczek są takie same. Jednak w dowolnym momencie energia i prędkość poszczególnych cząsteczek mogą znacznie różnić się od wartości średniej.
Używając teoria prawdopodobieństwa Maxwellowi udało się wyprowadzić wzór na względną częstotliwość, z jaką cząsteczki o prędkościach w określonym zakresie wartości występują w gazie w danej temperaturze.
Prawo dystrybucji Maxwella określa względną liczbę cząsteczek dN/N, których prędkości leżą w przedziale ( ty, ty + du).
To wygląda jak:
Gdzie N- całkowita liczba cząsteczek gazu; - liczba cząsteczek, których prędkości mieszczą się w pewnym zakresie; u jest dolną granicą przedziału prędkości; D u jest wartością przedziału prędkości; T- temperatura gazu; mi= 2,718… - podstawa logarytmów naturalnych;
k= 1,38×10 -23 J/K – stała Boltzmanna; M 0 to masa cząsteczki.
Otrzymując ten wzór, Maxwell oparł się na następujących założeniach:
1. Gaz składa się z dużej liczby N identyczne cząsteczki.
2. Temperatura gazu jest stała.
3. Cząsteczki gazu ulegają chaotycznemu ruchowi termicznemu.
4. Pola siłowe nie wpływają na gaz.
Notatka, że pod znakiem wykładniczym we wzorze (8.29) jest stosunek energii kinetycznej cząsteczki do ilości kT, który charakteryzuje średnią (nad cząsteczkami) wartość tej energii.
Rozkład Maxwella pokazuje, jaki ułamek dN/N całkowitej liczby cząsteczek danego gazu ma prędkość z zakresu od u do u + du.
Wykres funkcji rozkładu (ryc. 8.5) asymetryczny. Położenie maksymalne charakteryzuje najczęściej występującą prędkość, tzw najbardziej prawdopodobna prędkość u m. Prędkości przekraczające u m, są częstsze niż przy niższych prędkościach. Wraz ze wzrostem temperatury maksimum rozkładu przesuwa się w kierunku większych prędkości.
Jednocześnie krzywa staje się bardziej płaska (pole pod krzywą nie może się zmienić, ponieważ liczba cząsteczek). N pozostaje stała).
Ryż. 8,5
Aby określić najbardziej prawdopodobną prędkość, należy zbadać funkcję rozkładu Maxwella do jej maksimum (przyrównać pierwszą pochodną do zera i obliczyć u). W rezultacie otrzymujemy:
.
Pominęliśmy czynniki niezależne od Ciebie. Po przeprowadzeniu różniczkowania dochodzimy do równania:
.
Pierwszy czynnik (wykładnik) zanika przy u = ¥, a trzeci czynnik (u) przy u =
0. Jednak z wykresu (ryc. 8.5) widać, że wartości u =
0 i u = ¥ odpowiadają minimom funkcji (8.29). Dlatego wartość ty, odpowiadające maksimum, otrzymuje się z równości drugiego nawiasu do zera: 
. Stąd
. (8.30)
Wprowadźmy zapis funkcji rozkładu prędkości cząsteczek (8.29):
. (8.31)
Wiadomo, że średnia wartość pewnej wielkości fizycznej j( X) można obliczyć ze wzoru:
Kiedy się zderzają, cząsteczki gazu zmieniają swoją prędkość. Prędkość cząsteczek zmienia się losowo. Nie da się z góry przewidzieć, jaką prędkość liczbową będzie miała dana cząsteczka: prędkość ta jest losowa.
Rozkład cząsteczek na modułach prędkości opisuje się za pomocą funkcji rozkładu f(v):
gdzie stosunek jest równy ułamkowi cząsteczek, których prędkości mieszczą się w zakresie od w zanim v+dw. dv- szerokość interwału (ryc. 2).
Ryż. 2. Przedział prędkości
Znając widok f(v), możesz znaleźć liczbę cząsteczek Δ N.V z tych cząsteczek N, których prędkości mieszczą się w przedziale prędkości od w zanim v + Δv. Postawa
(14)
daje prawdopodobieństwo, że prędkość cząsteczki będzie miała wartość w danym przedziale prędkości dw.
Funkcjonować f(v) musi spełniać warunek normalizacji, czyli musi być spełniony warunek:
(15)
Lewa strona wyrażenia (17.3) podaje prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość w zakresie od 0 do ∞. Ponieważ prędkość cząsteczki z konieczności ma jakieś znaczenie, wskazane prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem określonego zdarzenia i dlatego jest równe 1.
Dystrybuantę odkrył teoretycznie Maxwell. To wygląda tak:
(16)
Gdzie t 0 - masa cząsteczkowa.
Wywołuje się wyrażenie (16). Funkcja rozkładu Maxwella.
Z (16) wynika, że rodzaj rozkładu prędkości molekularnej zależy od charakteru gazu (masy cząsteczki) i temperatury T. Ciśnienie i objętość nie wpływają na rozkład prędkości cząsteczek.
Ryc.3. Wykres funkcji rozkładu Maxwella
Schematyczny wykres funkcji rozkładu Maxwella pokazano na ryc. 3. Przeanalizujmy wykres.
1. Przy prędkościach zmierzających do zera (v->0) i do nieskończoności (v -> ∞) funkcja dystrybucji również dąży do zera. Oznacza to, że bardzo duże i bardzo małe prędkości molekularne są mało prawdopodobne.
2. Prędkość vB, odpowiadająca maksimum funkcji rozkładu będzie najbardziej prawdopodobna. Oznacza to, że większość cząsteczek ma prędkości bliskie prawdopodobne.
Możesz uzyskać wzór na obliczenie najbardziej prawdopodobnej prędkości:
(17)
gdzie k — stała Boltzmanna; t 0 - masa cząsteczkowa.
3. Zgodnie z warunkiem normalizacyjnym (15) obszar ograniczony krzywą f(v) a oś x jest równa jeden.
4. Krzywa rozkładu jest asymetryczna. Oznacza to, że frakcja cząsteczek mających prędkości większe od najbardziej prawdopodobnej jest większa od frakcji cząsteczek mających prędkości mniejsze od najbardziej prawdopodobnej.
5. Kształt krzywej zależy od temperatury i charakteru gazu. Na ryc. Rysunek 4 przedstawia funkcję rozkładu dla tego samego gazu w różnych temperaturach. Po podgrzaniu maksimum krzywej maleje i przesuwa się w prawo, ponieważ zwiększa się proporcja „szybkich” cząsteczek, a maleje proporcja „powolnych” cząsteczek. Pole pod obiema krzywymi pozostaje stałe i równe jedności.
Ustalone przez Maxwella prawo rozkładu prędkości molekularnej i wynikające z niego konsekwencje obowiązują tylko dla gazu w stanie równowagi. Prawo Maxwella ma charakter statystyczny, można je zastosować tylko do dużej liczby cząstek
Ryż. 4. Rozkłady Maxwella w różnych temperaturach
Korzystanie z funkcji rozkładu Maxwella f(v), można znaleźć szereg średnich wartości charakteryzujących stan cząsteczek.
Średnia arytmetyczna prędkość - suma prędkości wszystkich cząsteczek podzielona przez liczbę cząsteczek:
. (18)
średnia prędkość kwadratowa, która określa średnią energię kinetyczną cząsteczek (patrz wzór (10)), z definicji jest równa
<przeciwko HF> = 
(19)
Rozkład Maxwella (rozkład cząsteczek gazuwedług prędkości). W stanie równowagi parametry gazu (ciśnienie, objętość i temperatura) pozostają niezmienione, natomiast mikrostany – względne rozmieszczenie cząsteczek, ich prędkości – ulegają ciągłym zmianom. Ze względu na ogromną liczbę cząsteczek praktycznie niemożliwe jest określenie w dowolnym momencie wartości ich prędkości, natomiast możliwe jest, uznając prędkość cząsteczek za ciągłą zmienną losową, wskazanie rozkładu cząsteczek ze względu na prędkość .
Wybierzmy osobną cząsteczkę. Losowość ruchu pozwala na przykład na projekcję prędkości X cząsteczki akceptują prawo rozkładu normalnego. W tym przypadku, jak pokazał J. C. Maxwell, gęstość prawdopodobieństwa zapisuje się w następujący sposób:
Gdzie T 0 - masa cząsteczki, T- termodynamiczna temperatura gazu, k - Stała Boltzmanna.
Podobne wyrażenia można uzyskać dla F( Na ) I F( z ).
Na podstawie wzoru (2.15) możemy zapisać prawdopodobieństwo, że cząsteczka ma rzut prędkości mieszczący się w przedziale od X zanim X + D X :
podobnie dla pozostałych osi
Każdy z warunków (2.29) i (2.30) odzwierciedla niezależne zdarzenie. Dlatego prawdopodobieństwo, że cząsteczka ma prędkość, której rzuty spełniają jednocześnie wszystkie warunki, można znaleźć korzystając z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa [patrz (2.6)]:
Korzystając z (2.28) z (2.31) otrzymujemy:
Należy zauważyć, że z (2.32) możemy otrzymać funkcję rozkładu prawdopodobieństwa Maxwella dla bezwzględnych wartości prędkości (rozkład prędkości Maxwella):
(2.33)
oraz prawdopodobieństwo, że prędkość cząsteczki mieści się pomiędzy zanim + D :
Wykres funkcji (2.33) pokazano na rysunku 2.5. Prędkość,odpowiadająca maksimum krzywej Maxwellanajprawdopodobniej V. Można to wyznaczyć wykorzystując maksymalny warunek funkcji:
Lub
Średnią prędkość cząsteczki (oczekiwanie matematyczne) można znaleźć zgodnie z ogólną zasadą [patrz. (2.20)]. Ponieważ wyznaczana jest średnia wartość prędkości, przyjmuje się granice całkowania od 0 do (pomijam szczegóły matematyczne):
Gdzie M = t 0 N A jest masą molową gazu, R = k N A - uniwersalna stała gazowa, N A jest liczbą Avogadro.
Wraz ze wzrostem temperatury maksimum krzywej Maxwella przesuwa się w kierunku większych prędkości i rozkładu cząsteczek zmiany (ryc. 2.6; T 1 < Т 2 ). Rozkład Maxwella pozwala obliczyć liczbę cząsteczek, których prędkości mieszczą się w określonym przedziale . Otrzymujemy odpowiedni wzór.
Od całkowitej liczby N cząsteczki w gazie są zwykle duże, wówczas prawdopodobieństwo d P można wyrazić jako stosunek liczby d N cząsteczki, których prędkości mieszczą się w pewnym zakresie D , do całkowitej liczby N Cząsteczki:
Z (2.34) i (2.37) wynika, że
Wzór (2.38) pozwala wyznaczyć liczbę cząsteczek, których prędkości mieszczą się w przedziale od i: do i> 2. Aby to zrobić, musisz zintegrować (2.38):
lub graficznie oblicz obszar zakrzywionego trapezu w zakresie od 1 zanim 2 (ryc. 2.7).
Jeśli przedział prędkości D jest wystarczająco mała, wówczas liczbę cząsteczek, których prędkości odpowiadają temu przedziałowi, można w przybliżeniu obliczyć ze wzoru (2.38) lub graficznie jako pole prostokąta o podstawie D .
Na pytanie, ile cząsteczek ma prędkość równą dowolnej określonej wartości, na pierwszy rzut oka dziwna odpowiedź brzmi: jeśli prędkość jest absolutnie precyzyjnie określona, to przedział prędkości wynosi zero (D = 0) i z (2.38) otrzymujemy zero, czyli żadna pojedyncza cząsteczka nie ma prędkości dokładnie równej zadanej. Odpowiada to jednemu z założeń teorii prawdopodobieństwa: dla ciągłej zmiennej losowej, takiej jak prędkość, nie da się „odgadnąć” absolutnie dokładnie jej wartości, jaką ma co najmniej jedna cząsteczka w gazie.
Rozkład cząsteczek według prędkości został potwierdzony różnymi eksperymentami.
Rozkład Maxwella można uznać za rozkład cząsteczek nie tylko ze względu na prędkość, ale także na energię kinetyczną (ponieważ pojęcia te są ze sobą powiązane).
Rozkład Boltzmanna. Jeśli cząsteczki znajdują się w jakimś zewnętrznym polu sił, na przykład w polu grawitacyjnym Ziemi, wówczas można znaleźć rozkład ich energii potencjalnej, to znaczy ustalić koncentrację cząstek o określonej określonej wartości energii potencjalnej .
Rozkład cząstek według energii potencjalnych w sipola rybackie-grawitacyjne, elektryczne itp.-zwany rozkładem Boltzmanna.
W odniesieniu do pola grawitacyjnego rozkład ten można zapisać jako zależność stężenia P cząsteczki z wysokości H nad poziomem Ziemi lub z energii potencjalnej cząsteczki mgh:
Wyrażenie (2.40) obowiązuje dla cząstek gazu doskonałego. Graficznie tę wykładniczą zależność pokazano na ryc. 2.8.
To rozmieszczenie cząsteczek w polu grawitacyjnym Ziemi można jakościowo wyjaśnić w ramach koncepcji kinetyki molekularnej faktem, że na cząsteczki wpływają dwa przeciwstawne czynniki: pole grawitacyjne, pod wpływem którego wszystkie cząsteczki są przyciągane do Ziemi oraz ruch molekularno-chaotyczny, który ma tendencję do równomiernego rozpraszania cząsteczek w możliwie najszerszym zakresie.
Podsumowując, warto zauważyć pewne podobieństwa między wyrazami wykładniczymi w rozkładach Maxwella i Boltzmanna:
W pierwszym rozkładzie, w wykładniku, stosunek energii kinetycznej cząsteczki do kT, w drugim - stosunek energii potencjalnej do kT.