Badanie drgań wahadła odbywa się za pomocą układu, którego schemat pokazano na rys. 5. Instalacja składa się z wahadła sprężynowego, układu rejestracji drgań opartego na czujniku piezoelektrycznym, układu wzbudzenia drgań wymuszonych oraz układu przetwarzania informacji na komputerze osobistym. Badane wahadło sprężynowe składa się ze stalowej sprężyny o współczynniku sztywności k i korpusy wahadłowe M, w środku którego zamontowany jest magnes trwały. Ruch wahadła odbywa się w cieczy i przy małych prędkościach oscylacji powstałą siłę tarcia można z wystarczającą dokładnością przybliżyć za pomocą prawa liniowego, tj.
Rys.5 Schemat blokowy układu doświadczalnego
Aby zwiększyć siłę oporu podczas poruszania się w cieczy, korpus wahadła wykonany jest w postaci podkładki z otworami. Do rejestracji drgań wykorzystuje się czujnik piezoelektryczny, do którego zawieszona jest sprężyna wahadłowa. Podczas ruchu wahadła siła sprężystości jest proporcjonalna do przemieszczenia X,
Ponieważ pole elektromagnetyczne powstające w czujniku piezoelektrycznym jest z kolei proporcjonalne do siły nacisku, sygnał otrzymany z czujnika będzie proporcjonalny do przemieszczenia korpusu wahadła z położenia równowagi.
Oscylacje są wzbudzane za pomocą pola magnetycznego. Sygnał harmoniczny wytwarzany przez komputer PC jest wzmacniany i doprowadzany do cewki wzbudzenia umieszczonej pod korpusem wahadła. W wyniku działania tej cewki powstaje pole magnetyczne zmienne w czasie i nierównomierne w przestrzeni. Pole to oddziałuje na magnes trwały zamontowany w korpusie wahadła i wytwarza zewnętrzną siłę okresową. Kiedy ciało się porusza, siłę napędową można przedstawić jako superpozycję funkcji harmonicznych, a oscylacje wahadła będą superpozycją oscylacji o częstotliwościach mw. Jednak tylko składowa siły o częstotliwości będzie miała zauważalny wpływ na ruch wahadła w, ponieważ jest ona najbliższa częstotliwości rezonansowej. Dlatego amplitudy składowych wahadła wahadła przy częstotliwościach mw będzie mały. Oznacza to, że w przypadku dowolnego wpływu okresowego oscylacje z dużą dokładnością można uznać za harmoniczne przy częstotliwości w.
System przetwarzania informacji składa się z przetwornika analogowo-cyfrowego i komputera osobistego. Sygnał analogowy z czujnika piezoelektrycznego jest reprezentowany w postaci cyfrowej za pomocą przetwornika analogowo-cyfrowego i podawany do komputera osobistego.
Sterowanie układem doświadczalnym za pomocą komputera
Po włączeniu komputera i załadowaniu programu na ekranie monitora pojawia się menu główne, którego ogólny wygląd pokazano na rys. 5. Za pomocą klawiszy kursora , , , można wybrać jedną z pozycji menu. Po naciśnięciu przycisku WCHODZIĆ komputer zaczyna wykonywać wybrany tryb pracy. Najprostsze podpowiedzi dotyczące wybranego trybu pracy zawarte są w podświetlonej linii u dołu ekranu.
Rozważmy możliwe tryby pracy programu:
Statyka- ta pozycja menu służy do przetwarzania wyników pierwszego ćwiczenia (patrz rys. 5) Po naciśnięciu przycisku WCHODZIĆ komputer żąda masy wahadła. Po kolejnym naciśnięciu przycisku WCHODZIĆ na ekranie pojawi się nowy obraz z migającym kursorem. Kolejno zapisz na ekranie masę ładunku w gramach i po naciśnięciu spacji wielkość napięcia sprężyny. Pilny WCHODZIĆ przejdź do nowej linii i ponownie zapisz masę ładunku i wielkość napięcia sprężyny. Dozwolona jest edycja danych w ostatniej linii. W tym celu należy nacisnąć klawisz Backspace usuń błędną wartość masy lub rozciągnięcia sprężyny i wpisz nową wartość. Aby zmienić dane w innych wierszach należy sukcesywnie naciskać wyjście I WCHODZIĆ, a następnie powtórz zestaw wyników.
Po wprowadzeniu danych należy nacisnąć klawisz funkcyjny F2. Na ekranie pojawiają się wartości współczynnika sztywności sprężyny oraz częstotliwość drgań swobodnych wahadła, obliczone metodą najmniejszych kwadratów. Po kliknięciu WCHODZIĆ Na ekranie monitora pojawia się wykres siły sprężystości w funkcji stopnia wydłużenia sprężyny. Powrót do menu głównego następuje po naciśnięciu dowolnego klawisza.
Eksperyment- pozycja ta ma kilka podpunktów (ryc. 6). Przyjrzyjmy się cechom każdego z nich.
Częstotliwość- w tym trybie za pomocą klawiszy kursora ustawia się częstotliwość siły napędowej. W przypadku przeprowadzenia eksperymentu ze swobodnymi oscylacjami konieczne jest ustawienie wartości częstotliwości równej 0
.
Początek- w tym trybie po naciśnięciu przycisku WCHODZIĆ program zaczyna usuwać eksperymentalną zależność odchylenia wahadła od czasu. W przypadku, gdy częstotliwość siły napędowej wynosi zero, na ekranie pojawia się obraz tłumionych oscylacji. Wartości częstotliwości oscylacji i stałej tłumienia rejestrowane są w osobnym oknie. Jeżeli częstotliwość siły wymuszającej nie jest równa zero, to wraz z wykresami zależności odchylenia wahadła i siły napędowej od czasu wartości częstotliwości siły wymuszającej i jej amplitudy, a także zmierzona częstotliwość i amplituda drgań wahadła rejestrowana jest na ekranie w oddzielnych oknach. Naciśnięcie klawisza wyjście możesz wyjść do menu głównego.
Ratować- jeżeli wynik eksperymentu jest zadowalający, można go zapisać naciskając odpowiedni klawisz menu.
Nowy Seria- ta pozycja menu wykorzystywana jest w przypadku konieczności porzucenia danych bieżącego eksperymentu. Po naciśnięciu klawisza WCHODZIĆ w tym trybie wyniki wszystkich poprzednich eksperymentów zostają usunięte z pamięci maszyny i można rozpocząć nową serię pomiarów.
Po eksperymencie przełączają się w tryb Pomiary. Ta pozycja menu ma kilka podpunktów (ryc. 7)
Wykres odpowiedzi częstotliwościowej- ta pozycja menu jest używana po zakończeniu eksperymentu do badania wymuszonych oscylacji. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa oscylacji wymuszonych jest wykreślana na ekranie monitora.
Harmonogram FFC- W tym trybie, po zakończeniu eksperymentu mającego na celu badanie oscylacji wymuszonych, na ekranie monitora wykreślana jest charakterystyka fazowo-częstotliwościowa.
Tabela- ta pozycja menu umożliwia wyświetlenie na ekranie monitora wartości amplitudy i fazy oscylacji w zależności od częstotliwości siły napędowej. Dane te zapisuje się do notatnika służącego do sprawozdania z tej pracy.
Pozycja menu komputera Wyjście- koniec programu (patrz np. rys. 7)
Ćwiczenie 1. Wyznaczanie współczynnika sztywności sprężyny metodą statyczną.
Pomiary przeprowadza się poprzez określenie wydłużenia sprężyny pod wpływem obciążeń o znanych masach. Zaleca się wydać przynajmniej 7-10 pomiary wydłużenia sprężyny poprzez stopniowe podwieszanie ciężarków i tym samym zmianę obciążenia 20 zanim 150 d. Korzystanie z pozycji menu obsługi programu Statystyka wyniki tych pomiarów zapisywane są w pamięci komputera, a współczynnik sztywności sprężyny wyznaczany jest metodą najmniejszych kwadratów. Podczas ćwiczenia należy obliczyć wartość częstotliwości drgań własnych wahadła
Działanie większości mechanizmów opiera się na najprostszych prawach fizyki i matematyki. Koncepcja wahadła sprężynowego stała się dość powszechna. Taki mechanizm stał się bardzo powszechny, ponieważ sprężyna zapewnia wymaganą funkcjonalność i może być elementem urządzeń automatycznych. Przyjrzyjmy się bliżej takiemu urządzeniu, jego zasadzie działania i wielu innym punktom bardziej szczegółowo.
Definicje wahadła sprężystego
Jak wspomniano wcześniej, wahadło wiosenne stało się bardzo powszechne. Wśród funkcji są następujące:
- Urządzenie jest reprezentowane przez kombinację obciążenia i sprężyny, których masa nie może być brana pod uwagę. Różnorodne przedmioty mogą pełnić rolę ładunku. Jednocześnie może na nie oddziaływać siła zewnętrzna. Typowym przykładem jest utworzenie zaworu bezpieczeństwa instalowanego w systemie rurociągów. Obciążenie jest mocowane do sprężyny na różne sposoby. W tym przypadku stosowana jest wyłącznie klasyczna wersja śrubowa, która jest najczęściej stosowana. Podstawowe właściwości w dużej mierze zależą od rodzaju materiału użytego do produkcji, średnicy cewki, prawidłowego ustawienia i wielu innych czynników. Zwoje zewnętrzne są często wykonane w taki sposób, aby mogły wytrzymać duże obciążenie podczas pracy.
- Zanim rozpocznie się odkształcenie, nie ma całkowitej energii mechanicznej. W tym przypadku na ciało nie działa siła sprężystości. Każda sprężyna ma położenie początkowe, które utrzymuje przez długi czas. Jednak ze względu na pewną sztywność korpus jest unieruchomiony w pozycji wyjściowej. Ważne jest, w jaki sposób siła jest przyłożona. Przykładem jest to, że powinien być skierowany wzdłuż osi sprężyny, ponieważ w przeciwnym razie istnieje możliwość odkształcenia i wielu innych problemów. Każda sprężyna ma swoje własne limity ściskania i rozciągania. W tym przypadku maksymalne ściskanie jest reprezentowane przez brak odstępu między poszczególnymi zwojami, podczas rozciągania następuje moment, w którym następuje nieodwracalne odkształcenie produktu. Jeżeli drut zostanie zbyt mocno rozciągnięty, następuje zmiana podstawowych właściwości, po czym wyrób nie wraca do swojego pierwotnego położenia.
- W rozpatrywanym przypadku drgania powstają na skutek działania siły sprężystej. Charakteryzuje się dość dużą liczbą cech, na które trzeba zwrócić uwagę. Efekt elastyczności uzyskuje się dzięki pewnemu ułożeniu zwojów i rodzajowi materiału użytego podczas produkcji. W tym przypadku siła sprężystości może działać w obu kierunkach. Najczęściej występuje kompresja, ale można również przeprowadzić rozciąganie - wszystko zależy od cech konkretnego przypadku.
- Prędkość ruchu ciała może zmieniać się w dość szerokim zakresie, wszystko zależy od uderzenia. Na przykład wahadło sprężynowe może przesuwać zawieszony ładunek w płaszczyźnie poziomej i pionowej. Efekt skierowanej siły zależy w dużej mierze od montażu pionowego lub poziomego.
Ogólnie można powiedzieć, że definicja wahadła sprężystego jest dość ogólna. W tym przypadku prędkość ruchu obiektu zależy od różnych parametrów, na przykład wielkości przyłożonej siły i innych momentów. Przed właściwymi obliczeniami tworzony jest diagram:
- Wskazano wspornik, do którego przymocowana jest sprężyna. Często rysowana jest linia z kreskowaniem, aby to pokazać.
- Sprężynę pokazano schematycznie. Często jest reprezentowany przez falistą linię. Na schemacie długość i wskaźnik średnicy nie mają znaczenia.
- Przedstawione jest także ciało. Nie musi odpowiadać wymiarom, ważne jest jednak miejsce bezpośredniego mocowania.
Aby schematycznie pokazać wszystkie siły działające na urządzenie, wymagany jest diagram. Tylko w tym przypadku możemy wziąć pod uwagę wszystko, co wpływa na prędkość ruchu, bezwładność i wiele innych aspektów.
Wahadła sprężyste znajdują zastosowanie nie tylko w obliczeniach czy rozwiązywaniu różnych problemów, ale także w praktyce. Jednak nie wszystkie właściwości takiego mechanizmu mają zastosowanie.
Przykładem jest sytuacja, gdy nie są wymagane ruchy oscylacyjne:
- Tworzenie elementów blokujących.
- Mechanizmy sprężynowe związane z transportem różnych materiałów i przedmiotów.
Obliczenia wahadła sprężynowego pozwalają wybrać najbardziej odpowiednią masę ciała, a także rodzaj sprężyny. Charakteryzuje się następującymi cechami:
- Średnica zwojów. Może być bardzo różnie. Średnica w dużej mierze decyduje o tym, ile materiału potrzeba do produkcji. Średnica cewek określa również, jaką siłę należy przyłożyć, aby uzyskać pełne ściskanie lub częściowe rozciągnięcie. Jednakże zwiększenie rozmiaru może spowodować znaczne trudności w montażu produktu.
- Średnica drutu. Kolejnym ważnym parametrem jest średnica drutu. Może zmieniać się w szerokim zakresie, w zależności od wytrzymałości i stopnia elastyczności.
- Długość produktu. Wskaźnik ten określa, ile siły potrzeba do całkowitego ściągnięcia, a także jaką elastyczność może mieć produkt.
- Rodzaj użytego materiału determinuje również podstawowe właściwości. Najczęściej sprężyna wykonywana jest ze specjalnego stopu, który posiada odpowiednie właściwości.
W obliczeniach matematycznych wiele punktów nie jest branych pod uwagę. Siłę sprężystą i wiele innych wskaźników określa się na podstawie obliczeń.
Rodzaje wahadeł sprężynowych
Istnieje kilka różnych typów wahadeł sprężynowych. Warto wziąć pod uwagę, że klasyfikację można przeprowadzić w zależności od rodzaju zamontowanej sprężyny. Wśród funkcji zauważamy:
- Wibracje pionowe stały się dość powszechne, ponieważ w tym przypadku nie ma siły tarcia ani innego wpływu na obciążenie. Gdy ładunek jest ustawiony pionowo, stopień oddziaływania siły ciężkości znacznie wzrasta. Ta opcja wykonania jest powszechna podczas przeprowadzania szerokiej gamy obliczeń. Ze względu na siłę ciężkości istnieje możliwość, że ciało w punkcie startu wykona dużą liczbę ruchów bezwładnościowych. Ułatwia to również elastyczność i bezwładność ciała pod koniec skoku.
- Stosowane jest również poziome wahadło sprężynowe. W tym przypadku obciążenie spoczywa na powierzchni nośnej, a tarcie występuje również w momencie ruchu. W pozycji poziomej grawitacja działa nieco inaczej. Pozioma pozycja ciała stała się powszechna w różnych zadaniach.
Ruch wahadła sprężynowego można obliczyć za pomocą odpowiednio dużej liczby różnych wzorów, które muszą uwzględniać wpływ wszystkich sił. W większości przypadków instalowana jest klasyczna sprężyna. Wśród funkcji zwracamy uwagę na następujące:
- Klasyczna zwinięta sprężyna naciskowa stała się dziś bardzo rozpowszechniona. W tym przypadku pomiędzy zwojami występuje odstęp, który nazywa się skokiem. Sprężyna dociskowa może się rozciągać, ale często nie jest do tego instalowana. Charakterystyczną cechą jest to, że ostatnie zwoje wykonane są w formie płaszczyzny, co zapewnia równomierny rozkład siły.
- Można zainstalować wersję rozciągliwą. Przeznaczony jest do montażu w przypadkach, gdy przyłożona siła powoduje zwiększenie długości. Do mocowania umieszczone są haczyki.
Rezultatem jest oscylacja, która może trwać przez długi czas. Powyższy wzór pozwala na przeprowadzenie obliczeń z uwzględnieniem wszystkich punktów.
Wzory na okres i częstotliwość drgań wahadła sprężystego
Projektując i obliczając główne wskaźniki, sporo uwagi poświęca się także częstotliwości i okresowi oscylacji. Cosinus to funkcja okresowa, która wykorzystuje wartość, która nie zmienia się po pewnym czasie. Wskaźnik ten nazywany jest okresem oscylacji wahadła sprężynowego. Do oznaczenia tego wskaźnika używa się litery T, często stosuje się także pojęcie charakteryzujące wartość odwrotną do okresu oscylacji (v). W większości przypadków w obliczeniach stosuje się wzór T=1/v.
Okres oscylacji oblicza się za pomocą nieco skomplikowanego wzoru. Jest ona następująca: T=2√m/k. Do określenia częstotliwości drgań stosuje się wzór: v=1/2п√k/m.
Rozważana cykliczna częstotliwość drgań wahadła sprężynowego zależy od następujących punktów:
- Masa ładunku przymocowanego do sprężyny. Wskaźnik ten jest uważany za najważniejszy, ponieważ wpływa na wiele parametrów. Siła bezwładności, prędkość i wiele innych wskaźników zależy od masy. Ponadto masa ładunku jest wielkością, której pomiar nie nastręcza żadnych problemów ze względu na obecność specjalistycznej aparatury pomiarowej.
- Współczynnik elastyczności. Dla każdej wiosny wskaźnik ten jest znacząco inny. Współczynnik sprężystości jest wskazany w celu określenia głównych parametrów sprężyny. Parametr ten zależy od liczby zwojów, długości produktu, odległości między zwojami, ich średnicy i wielu innych. Określa się go na różne sposoby, często przy użyciu specjalnego sprzętu.
Nie zapominaj, że gdy sprężyna jest mocno rozciągnięta, prawo Hooke'a przestaje obowiązywać. W tym przypadku okres drgań sprężyny zaczyna zależeć od amplitudy.
Do pomiaru okresu używa się uniwersalnej jednostki czasu, w większości przypadków sekund. W większości przypadków amplitudę oscylacji oblicza się przy rozwiązywaniu różnych problemów. Aby uprościć proces, konstruuje się uproszczony diagram przedstawiający główne siły.
Wzory na amplitudę i fazę początkową wahadła sprężystego
Ustaliwszy cechy zachodzących procesów i znając równanie drgań wahadła sprężystego oraz wartości początkowe, można obliczyć amplitudę i fazę początkową wahadła sprężystego. Wartość f służy do określenia fazy początkowej, a amplituda jest oznaczona symbolem A.
Do określenia amplitudy można zastosować wzór: A = √x 2 +v 2 /w 2. Fazę początkową oblicza się ze wzoru: tgf=-v/xw.
Za pomocą tych wzorów można określić główne parametry używane w obliczeniach.
Energia drgań wahadła sprężynowego
Rozważając drgania obciążenia na sprężynie, należy wziąć pod uwagę fakt, że ruch wahadła można opisać dwoma punktami, czyli ma on charakter prostoliniowy. Moment ten decyduje o spełnieniu warunków dotyczących danej siły. Można powiedzieć, że energia całkowita jest potencjalna.
Energię drgań wahadła sprężynowego można obliczyć, biorąc pod uwagę wszystkie jego cechy. Główne punkty są następujące:
- Oscylacje mogą odbywać się w płaszczyźnie poziomej i pionowej.
- Jako położenie równowagi wybrano energię potencjalną zerową. To w tym miejscu ustala się początek współrzędnych. Z reguły w tym położeniu sprężyna zachowuje swój kształt pod warunkiem, że nie występuje siła odkształcająca.
- W rozpatrywanym przypadku obliczona energia wahadła sprężystego nie uwzględnia siły tarcia. Gdy obciążenie jest ustawione pionowo, siła tarcia jest niewielka, gdy obciążenie jest poziome, ciało znajduje się na powierzchni i podczas ruchu może wystąpić tarcie.
- Do obliczenia energii drgań stosuje się wzór: E=-dF/dx.
Z powyższych informacji wynika, że zasada zachowania energii jest następująca: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Zastosowana formuła brzmi następująco:
Możliwe jest określenie energii oscylacji wahadła sprężynowego podczas rozwiązywania różnych problemów.
Drgania swobodne wahadła sprężystego
Rozważając przyczyny drgań swobodnych wahadła sprężystego należy zwrócić uwagę na działanie sił wewnętrznych. Zaczynają się formować niemal natychmiast po przeniesieniu ruchu na ciało. Cechy oscylacji harmonicznych obejmują następujące punkty:
- Mogą powstawać także inne rodzaje sił o charakterze oddziaływającym, które spełniają wszystkie normy prawa, zwane quasi-sprężystymi.
- Głównymi przyczynami działania prawa mogą być siły wewnętrzne, które powstają natychmiast w momencie zmiany położenia ciała w przestrzeni. W tym przypadku ładunek ma określoną masę, siłę wytwarza się poprzez przymocowanie jednego końca do nieruchomego obiektu o wystarczającej wytrzymałości, drugiego do samego ładunku. W przypadku braku tarcia ciało może wykonywać ruchy oscylacyjne. W tym przypadku obciążenie stałe nazywa się liniowym.
Nie powinniśmy zapominać, że istnieje po prostu ogromna liczba różnych typów układów, w których zachodzi ruch oscylacyjny. Występuje w nich również odkształcenie sprężyste, co staje się przyczyną ich wykorzystania do wykonywania dowolnej pracy.
Definicja
Wahadło sprężynowe nazywany układem składającym się ze sprężystej sprężyny, do której przymocowane jest obciążenie.
Załóżmy, że masa ładunku wynosi $m$, a współczynnik sprężystości sprężyny wynosi $k$. Masa sprężyny w takim wahadle zwykle nie jest brana pod uwagę. Jeśli weźmiemy pod uwagę pionowe ruchy ładunku (rys. 1), to porusza się ono pod wpływem grawitacji i siły sprężystości, jeśli układ zostanie wytrącony z równowagi i pozostawiony samemu sobie.
Równania drgań wahadła sprężystego
Przykładem oscylatora harmonicznego jest wahadło sprężynowe, które swobodnie oscyluje. Załóżmy, że wahadło drga wzdłuż osi X. Jeżeli oscylacje są małe, to spełnione jest prawo Hooke’a, to równanie ruchu obciążenia ma postać:
\[\ddot(x)+(\omega)^2_0x=0\lewo(1\prawo),\]
gdzie $(нu)^2_0=\frac(k)(m)$ jest cykliczną częstotliwością drgań wahadła sprężystego. Rozwiązaniem równania (1) jest funkcja:
gdzie $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ jest częstotliwością cykliczną oscylacji wahadła, $A$ jest amplitudą oscylacji; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza oscylacji; $\varphi $ i $(\varphi )_1$ to początkowe fazy oscylacji.
W formie wykładniczej drgania wahadła sprężystego można zapisać jako:
Wzory na okres i częstotliwość drgań wahadła sprężystego
Jeżeli w drganiach sprężystych spełnione jest prawo Hooke’a, to okres drgań wahadła sprężystego oblicza się ze wzoru:
Ponieważ częstotliwość oscylacji ($\nu $) jest odwrotnością okresu, to:
\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\left(5\right).\]
Wzory na amplitudę i fazę początkową wahadła sprężystego
Znając równanie drgań wahadła sprężystego (1 lub 2) oraz warunki początkowe, można w pełni opisać drgania harmoniczne wahadła sprężystego. Warunki początkowe są określone przez amplitudę ($A$) i początkową fazę oscylacji ($\varphi $).
Amplitudę można znaleźć jako:
faza początkowa w tym przypadku:
gdzie $v_0$ jest prędkością obciążenia w chwili $t=0\c$, gdy współrzędna obciążenia wynosi $x_0$.
Energia drgań wahadła sprężynowego
W jednowymiarowym ruchu wahadła sprężystego pomiędzy dwoma punktami jego ruchu istnieje tylko jedna droga, zatem spełniony jest warunek potencjalności siły (potencjalną można uznać dowolną siłę, jeśli zależy ona tylko od współrzędnych). Ponieważ siły działające na wahadło sprężyste są potencjalne, możemy mówić o energii potencjalnej.
Niech wahadło sprężynowe oscyluje w płaszczyźnie poziomej (rys. 2). Przyjmijmy położenie jego równowagi jako zerową energię potencjalną wahadła, w której umieszczamy początek współrzędnych. Nie uwzględniamy sił tarcia. Korzystając ze wzoru na siłę potencjalną i energię potencjalną dla przypadku jednowymiarowego:
biorąc pod uwagę, że dla wahadła sprężystego $F=-kx$,
wówczas energia potencjalna ($E_p$) wahadła sprężystego jest równa:
Prawo zachowania energii dla wahadła sprężystego zapisujemy jako:
\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \left(10\right), \]
gdzie $\dot(x)=v$ jest prędkością obciążenia; $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ to energia kinetyczna wahadła.
Ze wzoru (10) można wyciągnąć następujące wnioski:
- Maksymalna energia kinetyczna wahadła jest równa jego maksymalnej energii potencjalnej.
- Średnia w czasie energia kinetyczna oscylatora jest równa jego średniej w czasie energii potencjalnej.
Przykłady problemów z rozwiązaniami
Przykład 1
Ćwiczenia. Mała kulka o masie $m=0,36$ kg jest przymocowana do poziomej sprężyny, której współczynnik sprężystości jest równy $k=1600\\frac(N)(m)$. Jakie było początkowe przemieszczenie piłki z położenia równowagi ($x_0$), jeśli porusza się ona w nim z prędkością $v=1\ \frac(m)(s)$?
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek.
Zgodnie z prawem zachowania energii mechanicznej (ponieważ zakładamy, że nie ma sił tarcia) piszemy:
gdzie $E_(pmax)$ jest energią potencjalną piłki przy jej maksymalnym przemieszczeniu z położenia równowagi; $E_(kmax\ )$ to energia kinetyczna piłki w chwili przejścia przez położenie równowagi.
Energia potencjalna jest równa:
Zgodnie z (1.1) przyrównujemy prawe strony (1.2) i (1.3) i mamy:
\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\lewo(1.4\prawo).\]
Z (1.4) wyrażamy wymaganą wartość:
Obliczmy początkowe (maksymalne) przemieszczenie ładunku z położenia równowagi:
Odpowiedź.$x_0 = 1,5 $ mm
Przykład 2
Ćwiczenia. Wahadło sprężyste oscyluje według prawa: $x=A(\cos \left(\omega t\right),\ \ )\ $gdzie $A$ i $\omega $ są stałymi. Kiedy siła przywracająca po raz pierwszy osiągnie $F_0,$, energia potencjalna obciążenia wynosi $E_(p0)$. W jakim momencie to nastąpi?
Rozwiązanie. Siłą przywracającą wahadło sprężyste jest siła sprężystości równa:
Energię potencjalną drgań obciążenia wyznaczamy jako:
W tym momencie należy znaleźć $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$, oznacza:
\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \left(\omega t\right)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ ).\]
Odpowiedź.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ )$
Rozważmy najprostszy układ, w którym można zrealizować drgania mechaniczne. Załóżmy, że ładunek o masie $m$ zawieszony jest na sprężystej sprężynie o sztywności $k,$. Obciążenie porusza się pod wpływem grawitacji i sprężystości, jeśli układ zostanie wytrącony z równowagi i pozostawiony samemu sobie. Uważamy, że masa sprężyny jest mała w porównaniu z masą ładunku.
Równanie ruchu ładunku podczas takich oscylacji ma postać:
\[\ddot(x)+(\omega)^2_0x=0\lewo(1\prawo),\]
gdzie $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ jest cykliczną częstotliwością drgań wahadła sprężystego. Rozwiązaniem równania (1) jest funkcja:
gdzie $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ to cykliczna częstotliwość drgań wahadła, $A$ i $B$ to amplituda oscylacji; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza oscylacji; $\varphi $ i $(\varphi )_1$ to początkowe fazy oscylacji.
Częstotliwość i okres drgań wahadła sprężystego
Cosinus (sinus) jest funkcją okresową, przemieszczenie $x$ będzie przyjmowało te same wartości w pewnych równych odstępach czasu, które nazywane są okresem oscylacji. Okres ten oznaczony jest literą T.
Inną wielkością charakteryzującą oscylacje jest odwrotność okresu oscylacji, nazywa się to częstotliwością ($\nu $):
Okres jest powiązany z cykliczną częstotliwością oscylacji jako:
Wiedząc, że dla wahadła sprężystego $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ definiujemy okres jego drgań jako:
Z wyrażenia (5) wynika, że okres drgań wahadła sprężystego zależy od masy obciążenia umieszczonego na sprężynie i współczynnika sprężystości sprężyny, ale nie zależy od amplitudy drgań (A). Ta właściwość oscylacji nazywa się izochroną. Izochronia obowiązuje tak długo, jak obowiązuje prawo Hooke'a. Przy dużych odcinkach sprężyny zostaje naruszone prawo Hooke'a i pojawia się zależność drgań od amplitudy. Należy zauważyć, że wzór (5) na obliczenie okresu drgań wahadła sprężynowego obowiązuje dla małych oscylacji.
Jednostką miary okresu jest czas, w międzynarodowym układzie jednostek jest to sekunda:
\[\lewy=с.\]
Przykładowe zadania dla okresu drgań wahadła sprężystego
Przykład 1
Ćwiczenia. Do sprężystej sprężyny przymocowano mały ładunek, a sprężynę rozciągnięto o $\Delta x$=0,09 m. Jaki będzie okres drgań tego wahadła sprężystego, jeśli zostanie wytrącone z równowagi?
Rozwiązanie. Zróbmy rysunek.
Rozważmy stan równowagi wahadła sprężystego. Mocuje się ciężarek, po czym sprężynę rozciąga się o wartość $\Delta x$, wahadło znajduje się w stanie równowagi. Na ładunek działają dwie siły: grawitacja i siła sprężystości. Zapiszmy drugie prawo Newtona dotyczące stanu równowagi obciążenia:
Zapiszmy rzut równania (1.1) na oś Y:
Ponieważ obciążenie zgodnie z warunkami problemu jest małe, sprężyna nie rozciągnęła się zbytnio, dlatego prawo Hooke'a jest spełnione, wielkość siły sprężystości znajdujemy jako:
Używając wyrażeń (1.2) i (1.3) znajdujemy stosunek $\frac(m)(k)$:
Okres drgań wahadła sprężynowego dla małych oscylacji można obliczyć za pomocą wyrażenia:
Zastępując stosunek masy obciążenia do sztywności sprężyny prawą stroną wyrażenia (1.4), otrzymujemy:
Obliczmy okres drgań naszego wahadła, jeśli $g=9,8\ \frac(m)(s^2)$:
Odpowiedź.$T$=0,6 s
Przykład 2
Ćwiczenia. Dwie sprężyny o sztywnościach $k_1$ i $k_2$ połączono szeregowo (rys. 2), na końcu drugiej sprężyny zamocowano ciężar o masie $m$. Jaki jest okres drgań tego wahadła sprężystego, jeżeli masy sprężyn można pominąć, siła sprężystości działająca na obciążenie jest zgodna z prawem Hooke'a.
Rozwiązanie. Okres drgań wahadła sprężystego jest równy:
Jeżeli dwie sprężyny są połączone szeregowo, to ich sztywność ($k$) oblicza się jako:
\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)\to k=\frac(k_1k_2)(k_1(+k)_2)\left(2.2\ Prawidłowy).\]
Zamiast $k$ we wzorze na obliczenie okresu wahadła sprężystego podstawiamy prawą stronę wyrażenia (2.2) i mamy:
Odpowiedź.$T=2\pi \sqrt(\frac(m(k_1(+k)_2))(k_1k_2))$
), którego jeden koniec jest sztywno zamocowany, a na drugim znajduje się obciążenie o masie m.
Kiedy na masywne ciało działa siła sprężystości, przywracając je do położenia równowagi, wówczas ono oscyluje wokół tego położenia.Takie ciało nazywa się wahadłem sprężystym. Oscylacje powstają pod wpływem siły zewnętrznej. Oscylacje trwające po ustaniu działania siły zewnętrznej nazywane są swobodnymi. Drgania wywołane działaniem siły zewnętrznej nazywane są wymuszonymi. W tym przypadku sama siła nazywana jest wymuszaniem.
W najprostszym przypadku wahadło sprężynowe to sztywny korpus poruszający się w płaszczyźnie poziomej, przymocowany sprężyną do ściany.
Drugie prawo Newtona dla takiego układu, pod warunkiem, że nie działają siły zewnętrzne i siły tarcia, ma postać:
Jeżeli na układ działają siły zewnętrzne, wówczas równanie drgań zostanie przepisane w następujący sposób:
, Gdzie k(x)- jest to wypadkowa sił zewnętrznych odniesionych do masy jednostkowej ładunku.W przypadku tłumienia proporcjonalnego do prędkości oscylacji ze współczynnikiem C:
Zobacz też
Spinki do mankietów
Fundacja Wikimedia. 2010.
Zobacz, czym jest „wahadło wiosenne” w innych słownikach:
Termin ten ma inne znaczenia, patrz Wahadło (znaczenia). Oscylacje wahadła: strzałki wskazują wektory prędkości (v) i przyspieszenia (a) ... Wikipedia
Wahadło- urządzenie, które poprzez oscylację reguluje ruch mechanizmu zegarka. Wahadło sprężynowe. Część regulacyjna zegara składająca się z wahadła i jego sprężyny. Przed wynalezieniem sprężyny wahadłowej zegarki napędzane były jednym wahadłem.... ...Słownik zegarków
WAHADŁO- (1) matematyczny (lub prosty) (ryc. 6) ciało o małych rozmiarach, swobodnie zawieszone w ustalonym punkcie na nierozciągliwej nitce (lub pręcie), którego masa jest znikoma w porównaniu z masą ciała wykonującego harmoniczną (Widzieć) ... ... Wielka encyklopedia politechniczna
Solidne ciało, które działa pod działaniem aplikacji. siły wibracji ok. stały punkt lub oś. Matematyka matematyczna nazywa się punkt materialny zawieszony w stałym punkcie na nieważkiej, nierozciągliwej nici (lub pręcie) i pod wpływem siły... ... Wielki encyklopedyczny słownik politechniczny
Wiosenny zegar wahadłowy- wahadło sprężynowe - część regulacyjna zegara, stosowana także w zegarach średniej i małej wielkości (zegary przenośne, stołowe itp.) ... Słownik zegarowy - mała spiralna sprężyna przymocowana na końcach do wahadła i jego młotka. Wahadło sprężynowe reguluje zegar, którego dokładność zależy częściowo od jakości sprężyny wahadła... Słownik zegarów
GOST R 52334-2005: Badanie grawitacji. Warunki i definicje- Terminologia GOST R 52334 2005: Badanie grawitacji. Terminy i definicje Dokument oryginalny: Badanie (grawimetryczne) Badanie grawimetryczne przeprowadzane na lądzie. Definicje terminu z różnych dokumentów: badanie (grawimetryczne) 95... ... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej