Problem 1

Ciało o masie porusza się wzdłuż osi WołuM=1 kg przy prędkościV 0 = 2 m/s. Działa wzdłuż kierunku ruchuwytrzymałośćF = 4 N przez pewien czast = 2 s. Wyznacz prędkość ciała po ustaniu działania tej siły.

Aby rozwiązać ten problem, należy przede wszystkim pamiętać, czym jest impuls ciała.

Ryż. 1. Wybór układu odniesienia

Pamiętając o tym impuls siły jest zmianą pędu ciała, piszemy następujące wyrażenie: .

Skoordynujmy teraz równanie z wybranym układem odniesienia. Siła F rzutowana na oś X będzie miała znak dodatni, co oznacza: .

Następnie po przekształceniu tego równania, wyodrębniając z niego prędkość, którą należy wyznaczyć, piszemy następujące wyrażenie: .

Odpowiedź: 10 m/s.

Problem 2

Wózek z osobą na nim porusza się po linii prostej z prędkością 2 m/s. Mężczyzna skacze z wózka w kierunku poziomym, przeciwnym kierunku ruch wózka z prędkością 1 m/s. Oblicz prędkość wózka po zeskoczeniu z niego osoby. Masa człowieka jest 1,5 razy większa od masy wózka.

Ryż. 2. Rzuty pędu ciał na oś X

W pierwszym przypadku zwróć uwagę, że zarówno wózek, jak i osoba podróżują razem, co oznacza, że ​​ich prędkość jest taka sama, dla tego układu odniesienia związanego z osią Wołu możemy napisać następujące wyrażenie: .

Następnie, gdy osoba zeskoczy z wózka, można zapisać te dwa ciała następująco: .

Znak minus wskazuje, że prędkość osoby jest skierowana w stronę przeciwna strona, a prędkość wózka ze znakiem plus będzie skierowana w tym samym kierunku, co prędkość początkowa, tj. wzdłuż osi Wołu.

Po zapisaniu tych wyrażeń dla stanu początkowego i stanu po interakcji skorzystamy z prawa zachowania pędu.

Przez prawo zachowania pędu impuls w pierwszym przypadku będzie równy impulsowi w drugim przypadku: P 0x = P x. .

Po zapisaniu tej zależności przepisujemy ją i otwieramy nawiasy wyrażeń: (m 1 +m 2) .V 1 =-m2.V2+m 1.V¢ 1.

Należy wyznaczyć prędkość V¢ 1. Wyraźmy masę osoby poprzez masę wózka, ale tak, aby masa była wyrażona w tych samych jednostkach: (m 1 +1,5m 1) .V1 = -1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1.

Możemy wyjąć masę m 1 z nawiasu i zmniejszyć ją: 2,5 m 1.V1 = -1,5m 1.V2+m 1.V¢ 1. Kiedy podstawimy wartości za prędkości, otrzymamy odpowiedź: .

M Ten problem dobrze ilustruje napęd odrzutowy. Osoba, która zeskoczyła z wózka w przeciwnym kierunku, zwiększyła prędkość samego wózka. Czyż nie jest to prawda, pasuje to do sposobu, w jaki gazy ulatniają się z rakiety z określoną prędkością i nadają pociskowi dodatkową prędkość, tj. samą rakietę.

Problem 3

Masa kulkowa m 1 = 1 kg. sunie z dużą prędkością po idealnie gładkiej powierzchni v 1 = 4 SM i absolutnie sprężyście zderza się z kulką o tej samej masie m 2 = 3 kg. Wyznacz prędkość piłek po uderzeniu?
Rozwiązanie:
Zgodnie z prawem zachowania pędu podczas uderzenia całkowicie niesprężystego.

OH:

Odpowiedź: 1 SM

Problem 4

Piłka o wadze 70 G. spada na podłogę pod kątem 60° do normalnej i odbija się pod tym samym kątem bez utraty prędkości. Zdefiniuj pęd całkowita siła, działając na piłkę podczas uderzenia, jeśli jej prędkość wynosi 30 SM.
Rozwiązanie:
Pokażmy na rysunku zmiany prędkości piłki podczas uderzenia:
Zapiszmy drugie prawo Newtona
Na podstawie konstrukcji określamy to. Wielkość impulsu całkowitej siły działającej na piłkę podczas uderzenia jest równa
Odpowiedź:

Problem 5

Chłopiec ważący 40 lat kg stojąc na łyżwach rzuca kamieniem o masie 1 kg z prędkością 8 SM. pod kątem 60 0 do poziomu. Określ prędkość, z jaką chłopiec w wyniku rzutu zacznie poruszać się po lodzie?

Rozwiązanie:
Na układ chłopiec-kamień nie działają żadne siły poziome. W układ inercyjny raport podłączony do ziemi, rzut całkowitego impulsu układu na oś poziomą musi pozostać niezmieniony:
Szybkość chłopca po rzucie
Odpowiedź: 0,1 SM

Problem 6 0,04 m/s

Problem 7

Pocisk w najwyższym punkcie swojej trajektorii eksplodował na dwa fragmenty o masachM 1 = 3 kg i M 2 = 5 kg. Prędkość pocisku bezpośrednio przed eksplozją była równaw 0 =600 m/s, prędkość większego fragmentu bezpośrednio po pęknięciu była równaw 2 =800 m/s, a jego kierunek pokrywał się z kierunkiem ruchu pocisku przed eksplozją. Wyznacz prędkość małego fragmentu bezpośrednio po zerwaniu.

Rozwiązanie:
Wybierzmy dodatni kierunek prędkości pociskuw 0 i zapisz prawo zachowania pędu.




Oznacza to, że mniejszy fragment leciał w tym samym kierunku.
Odpowiedź:

Nazywa się impuls układu ciał suma wektorowa impulsy wszystkich ciał wchodzących w skład układu. Jeżeli układ składa się z N ciał, to pęd tego układu jest równy:

p~ = p~1 + p~2 + : : : + p~N :

Następnie wszystko odbywa się dokładnie w taki sam sposób jak powyżej (tylko technicznie wygląda to trochę bardziej skomplikowanie). Jeśli dla każdego ciała napiszemy równości podobne do (71) i (72), a następnie dodamy wszystkie te równości, to po lewej stronie ponownie otrzymamy pochodną pędu układu, a po prawej tylko sumę pozostają siły zewnętrzne ( siły wewnętrzne, dodawanie parami da zero zgodnie z trzecim prawem Newtona). Zatem równość (73) pozostanie obowiązująca w ogólnym przypadku.

15.4 Prawo zachowania pędu

Układ ciał nazywa się zamkniętym, jeżeli zachodzą w nim działania ciała zewnętrzne na ciałach danego układu są albo znikome, albo się kompensują. Zatem w przypadku zamkniętego układu ciał istotne jest jedynie oddziaływanie tych ciał między sobą, a nie z jakimikolwiek innymi ciałami.

Wypadkowa sił zewnętrznych przyłożonych do układu zamkniętego jest równa zeru: ~ zew

W tym przypadku z (73) otrzymujemy:

dt = 0:

Ale jeśli pochodna wektora wynosi zero (szybkość zmiany wektora wynosi zero), to sam wektor nie zmienia się w czasie:

Prawo zachowania pędu. Pęd zamkniętego układu ciał pozostaje stały w czasie dla wszelkich interakcji ciał w tym układzie.

Najprostsze problemy dotyczące prawa zachowania pędu rozwiązuje się zgodnie ze standardowym schematem, który teraz pokażemy.

Zadanie. Ciało o masie m1 = 800 g porusza się po gładkiej powierzchni z prędkością v1 = 3 m/s powierzchnia pozioma. Ciało o masie m2 = 200 g porusza się w jego stronę z prędkością v2 = 13 m/s. Następuje uderzenie absolutnie niesprężyste (ciała sklejają się). Znajdź prędkość ciał po zderzeniu.

Rozwiązanie. Sytuacja jest pokazana na ryc. 45. Skierujmy oś X w kierunku ruchu pierwszego korpusu.

	m2 ~g
m1 ~g
	Ryż. 45. Do zadania

Ponieważ powierzchnia jest gładka, nie ma tarcia. Ponieważ powierzchnia jest pozioma i wzdłuż niej następuje ruch, siła ciężkości i reakcja podpory równoważą się:

Impuls układu przed uderzeniem jest sumą impulsów ciał:

p~ przed uderzeniem= m 1~v 1+ m 2~v 2:

Po uderzeniu niesprężystym powstaje jedno ciało o masie m1 + m2, które porusza się z zadaną prędkością ~v:

p~ po uderzeniu= (m 1+ m 2)~v:

Z prawa zachowania pędu (74) mamy:

m1 ~v1 + m2 ~v2 = (m1 + m2 )~v:

Stąd wyznaczamy prędkość ciała powstałego po uderzeniu:

~v = m1 ~v1 + m2 ~v2: m 1 + m 2

Przejdźmy do rzutów na oś X:

v x = m 1v 1x+ m 2v 2x: m 1 + m 2

Według warunku mamy: v1x = 3 m/s, v2x = 13 m/s, więc

Znak minus oznacza, że ​​sklejone ze sobą ciała poruszają się w kierunku przeciwnym do osi X. Pożądana prędkość: v = 0,2 m/s.

15.5 Prawo zachowania rzutowania pędu

W przypadku problemów często występuje następująca sytuacja. Układ ciał nie jest zamknięty (suma wektorów sił zewnętrznych działających na układ nie jest równa zeru), ale istnieje oś X taka, że ​​suma rzutów sił zewnętrznych na oś X w dowolnym momencie wynosi zero. Można wtedy powiedzieć, że wzdłuż tej osi nasz układ ciał zachowuje się jak zamknięty i zachowany jest rzut pędu układu na oś X.

Pokażmy to ściślej. Rzućmy równość (73) na oś X:

dt = F zew; X:

Jeżeli rzut wypadkowej sił zewnętrznych wyniesie zero, Fext; x = 0, zatem

dp dt x = 0:

Dlatego projekcja px jest stałą:

px = stała:

Prawo zachowania rzutowania pędu. Jeżeli rzut na oś X sumy sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to rzut pędu układu na oś X nie zmienia się w czasie.

Spójrzmy na przykład konkretne zadanie Jak działa prawo zachowania projekcji pędu?

Zadanie. Chłopiec o masie M stojący na łyżwach gładki lód, rzuca kamień o masie m z prędkością v pod kątem do poziomu. Znajdź prędkość u, z jaką chłopiec cofa się po rzucie.

Rozwiązanie. Sytuację pokazano schematycznie na ryc. 46. Chłopiec jest przedstawiany jako wyprostowany.

Ryż. 46. ​​​​Do zadania

Pęd układu „chłopiec + kamień” nie jest zachowany. Widać to po tym, że po rzucie pojawia się pionowa składowa pędu układu (czyli pionowa składowa pędu kamienia), której przed rzutem nie było.

Dlatego system, który tworzą chłopiec i kamień, nie jest zamknięty. Dlaczego? Rzecz w tym, że

że suma wektorów sił zewnętrznych ~ podczas rzutu nie jest równa zeru. Ogrom

większa od sumy Mg + mg i wskutek tego nadmiaru pojawia się składowa pionowa pędu układu.

Jednakże siły zewnętrzne działać tylko pionowo (bez tarcia). Zatem zachowany jest rzut impulsu na poziomą oś X. Przed rzutem rzut ten był równy zeru. Kierując oś X w kierunku rzutu (a więc chłopiec poszedł w stronę ujemnej półosi) otrzymujemy:

Mu + mv0 cos = 0;

u = mv 0 cos :M

Niech masa ciała M przez jakiś krótki okres czasu Δ T siła działała Pod wpływem tej siły prędkość ciała zmieniała się o Dlatego w czasie Δ T ciało poruszało się z przyspieszeniem

Z podstawowej zasady dynamiki ( Drugie prawo Newtona) następuje:

wielkość fizyczna, równy produktowi nazywa się masa ciała zależna od prędkości jego ruchu impuls ciała(Lub ilość ruchu). Impuls ciała - ilość wektorów. Jednostką impulsu w SI jest kilogram metr na sekundę (kg m/s).

Nazywa się wielkość fizyczną równą iloczynowi siły i czasu jej działania impuls siły . Impuls siły jest również wielkością wektorową.

W nowych terminach Drugie prawo Newtona można sformułować następująco:

IZmiana pędu ciała (wielkości ruchu) jest równa impulsowi siły.

Oznaczając pęd ciała za pomocą litery, drugie prawo Newtona można zapisać w postaci

Dokładnie w tym widok ogólny Sam Newton sformułował drugie prawo. Siła w tym wyrażeniu reprezentuje wypadkową wszystkich sił przyłożonych do ciała. Tę równość wektorów można zapisać w rzutach na osie współrzędnych:

Zatem zmiana rzutu pędu ciała na którykolwiek z trzech jest wzajemna osie prostopadłe równy rzutowi impulsu siły na tę samą oś. Weźmy jako przykład jednowymiarowy ruch, czyli ruch ciała wzdłuż jednego z osie współrzędnych(na przykład osie OJ). Pozwól ciału swobodnie opaść prędkość początkowaυ 0 pod wpływem grawitacji; jest czas opadania T. Skierujmy oś OJ pionowo w dół. Impuls grawitacyjny F t = mg punktualnie T równa się mgt. Ten impuls równa się zmianie impuls ciała

Ten prosty wynik pokrywa się z kinematykąformuładla prędkości ruch jednostajnie przyspieszony . W tym przykładzie siła pozostała niezmieniona pod względem wielkości przez cały przedział czasu T. Jeśli siła zmienia się pod względem wielkości, wówczas do wyrażenia impulsu siły należy podstawić średnią wartość siły F por. przez okres jego działania. Ryż. 1.16.1 ilustruje metodę wyznaczania impulsu siły zależnego od czasu.

Wybierzmy mały przedział Δ na osi czasu T, podczas którego siła F (T) pozostaje praktycznie niezmieniona. Siła impulsu F (T) Δ T w czasie Δ T będzie równa powierzchni zacieniona kolumna. Jeżeli cała oś czasu mieści się w przedziale od 0 do T podzielone na małe przedziały Δ TI, a następnie zsumuj impulsy siły we wszystkich odstępach Δ TI, wtedy będzie całkowity impuls siły równa powierzchni, który jest utworzony przez krzywą schodkową z osią czasu. W granicy (Δ TI→ 0) to pole jest równe polu ograniczone harmonogramem F (T) i oś T. Ta metoda wyznaczania impulsu siły z wykresu F (T) jest ogólne i ma zastosowanie do wszelkich praw siły zmieniających się w czasie. Matematycznie problem sprowadza się do integracja funkcje F (T) w przedziale .

Impuls siły, którego wykres przedstawiono na rys. 1.16.1, w przedziale od T 1 = 0 s do T 2 = 10 s równa się:

W tym prostym przykładzie

W niektórych przypadkach średnia siła F cp można określić, jeśli znany jest czas jego działania i impuls, jaki działa na organizm. Przykładowo mocne uderzenie przez piłkarza piłki o masie 0,415 kg może nadać mu prędkość υ = 30 m/s. Czas uderzenia wynosi około 8,10 -3 s.

Puls P, zdobyta przez piłkę w wyniku uderzenia, to:

Stąd, średnia siła Fśrednie oddziaływanie stopy piłkarza na piłkę podczas kopnięcia wynosi:

To bardzo duża moc. Jest w przybliżeniu równy masie ciała o masie 160 kg.

Jeśli według niektórych nastąpi ruch ciała podczas działania siły krzywoliniowa trajektoria, wówczas początkowe i końcowe impulsy ciała mogą różnić się nie tylko wielkością, ale także kierunkiem. W takim przypadku wygodne jest użycie, aby określić zmianę pędu schemat pulsu , który przedstawia wektory i , a także wektor zbudowany zgodnie z zasadą równoległoboku. Jako przykład na ryc. Rysunek 1.16.2 przedstawia schemat impulsów piłki odbijającej się od szorstkiej ściany. Masa kulkowa M uderzył w ścianę z prędkością pod kątem α do normalnej (oś WÓŁ) i odbiła się od niego z prędkością pod kątem β. Podczas kontaktu ze ścianą na kulkę działała pewna siła, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora

Podczas normalnego upadku piłki z masą M na elastycznej ścianie z dużą prędkością, po odbiciu piłka będzie miała prędkość. Dlatego zmiana pędu piłki podczas odbicia jest równa

W rzutach na oś WÓŁ wynik ten można zapisać postać skalarna Δ PX = -2Mυ X. Oś WÓŁ skierowany od ściany (jak na rys. 1.16.2), zatem υ X < 0 и ΔPX> 0. Zatem moduł Δ P zmiana pędu jest powiązana z modułem υ prędkości piłki zależnością Δ P = 2Mυ.

Moment pędu cząstki L względem pochodzenia O V mechanika klasyczna określony przez iloczyn wektorowy [g, r, te.

Ta definicja w mechanika kwantowa nie ma sensu, gdyż nie ma stanu, w którym oba wektory się znajdą G I R miał określone znaczenie.

Rozważmy moment pędu cząstka kwantowa. W mechanice kwantowej iloczyn wektorowy [g, r] odpowiada operatorowi [r, r] Ujawnianie tego produkt wektorowy, znajdź operatory rzutów momentu pędu na osie współrzędnych X, U, Z, na przykład na osi Z:

Poprzez te rzuty operator wektora pędu jest wyrażony jako

W dalszej części będziemy korzystać z operatora rzutowania momentu pędu na oś Z, ale nie w układzie kartezjańskim, ale w sferycznym układzie współrzędnych (G, 0, środa):

Operator momentu pędu zależy tylko od kierunku osi współrzędnych. Dlatego też jest to tzw operator momentu pędu. Wartości własne operatorów rzutowania pędu również nie zależą od wyboru pochodzenia.

Można sprawdzić i upewnić się, że operatory rzutowania momentu pędu Lx, L y I Lz nie dojeżdżajcie ze sobą: L x L y y>^ L y L x y). Dlatego nie ma stanu, w którym wszystkie trzy lub nawet dowolne dwie z trzech projekcji Lx, Lv, L, miał pewne wartości inne niż zero. Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do momentu pędu impuls ma trzy jednocześnie mierzalne składowe: r x, r y, r,.

Nie ma więc stanu cząstki kwantowej, w którym wektor pędu miałby określoną wartość, tj. byłby całkowicie określony zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy L- 0 i wszystkie trzy rzuty są jednocześnie równe zeru: L x = L v = L, = 0.

Moduł momentu pędu. Aby wyznaczyć kwadrat pędu cząstki w stanie φ, należy rozwiązać równanie postaci (27.5):

gdzie jest kwadratowym operatorem momentu pędu L = Lx + L y + Lz. Na razie jest to możliwe

Zauważ, że dla wartości własnych operatora L sprawiedliwy

Gdzie / - orbitalny (azymutalny) liczba kwantowa. Stąd moduł momentu pędu poruszającej się mikrocząstki

Można zauważyć, że wielkość ta jest dyskretna (kwantowana).

Operatorzy Lx, L y I Lz(27.10) dojeżdżać z L. Stąd,

możliwe jest jednoczesne określenie wielkości momentu pędu L(lub jego kwadrat L 2) i jeden z jego występów ( Lx , L y Lub L,). Zwykle uwzględniany jest rzut na oś Z, ponieważ w tym przypadku jest to operator Lz podaje się prostszym wzorem (27.10).

Rzut momentu pędu L z. Aby wyznaczyć wartości własne i funkcje własne operatora momentu pędu cząstki, zgodnie z wyrażeniem (27.5) należy rozwiązać Równanie L-ph= 1.f, tj.

Gdzie funkcja falowa jest funkcją współrzędnych sferycznych: φ = φ(/*, 0, φ). Podstawienie φ = Ce af (C = C(/%0)) prowadzi po redukcji do wspólny mnożnik Morze f do równań

Oznacza to, że rozwiązaniem równania (27.12) jest:

Ze względu na wymaganą jednoznaczność φ, przy obrocie wokół osi Z o kąt azymutalny ср równy 2φ, funkcja falowa nie powinna się zmieniać: φ(φ + 2φ) = φ(φ). Ponieważ funkcja w'a jest okresowy z okresem 2n, to zgodnie z (27.13) równość ta może być spełniona tylko pod warunkiem

gdzie jest numer T zwany magnetyczna liczba kwantowa. Zatem, Stała Plancka Liczba pi można postrzegać jako jednostka naturalna moment pędu. Należy zauważyć, że równanie (27.13) określa widmo dopuszczalnych wartości rzutu momentu pędu na wybrany ocbZ

Ryż. 27.1. Możliwa orientacja wektora pędu, np. elektronu, w stanie o liczbie kwantowej 1 = 2

Równość (27.13) oznacza, że ​​skoro kierunek osi Z jest wybierany arbitralnie, to rzut momentu pędu na dowolny kierunek jest kwantyzowany (rys. 27.1). Oczywiście schematycznego obrazu nie należy rozumieć dosłownie, ponieważ „wektor” L zasadniczo nie ma określonych kierunków w przestrzeni. Dla pewnej wartości modułu momentu pędu i pewnej wartości rzutu L, projekcje Lx I L y nie mam pewne wartości(z wyjątkiem przypadku, gdy wszystkie trzy składowe momentu pędu są jednocześnie zerowe). Wartości L I poz różni się od (27.11a) i (27.13) nie można zaobserwować w żadnych warunkach.

Rzut dowolnego wektora nie może być większy niż moduł tego wektora, tj. | L z Zatem zgodnie ze wzorami (27.11a) i (27.13) warunek jest spełniony

zatem wartość maksymalna T równa się / i możemy to zapisać

Podany / numer T akceptuje (21 + 1) wartości:

tworząc widmo projekcyjne Lz = mb do dowolnej wybranej osi Z (rys. 27.1).

Zatem liczba kwantowa / określa zarówno moduł momentu pędu, jak i wszystko możliwe wartości jego rzut na oś Z. Na przykład, jeśli orbitalna liczba kwantowa / = 2 (ryc. 27.1), to

Uzyskane wyniki, określające możliwe wartości L I poz zwane kwantyzacją przestrzenną. Dla przejrzystości kwantyzacja przestrzenna jest zwykle przedstawiana graficznie (ryc. 27.1): wzdłuż osi Z możliwe odroczenie wartości MB, uważając je za rzuty na oś Z wektora L długość th L //(/ + 1).