V-6-2014 (alle 56 prototyper fra Unified State Exam bank)
Kunne bygge og utforske det enkleste matematiske modeller(sannsynlighetsteori)
1.I et tilfeldig eksperiment blir to kastet terning. Finn sannsynligheten for at totalen blir 8 poeng. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning: Antall utfall der 8 poeng vil vises som et resultat av å kaste terningen er 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Hver terning har seks mulige kast, så det totale antallet utfall er 6·6 = 36. Derfor er sannsynligheten for å kaste totalt 8 5: 36=0,138…=0,14
2. I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at hoder vises nøyaktig én gang. Løsning: Det er 4 like mulige utfall av eksperimentet: hode-hoder, hode-haler, hale-hoder, hale-haler. Hoder vises nøyaktig én gang i to tilfeller: hode-haler og hale-hoder. Derfor er sannsynligheten for at hoder vises nøyaktig 1 gang 2: 4 = 0,5.
3. 20 utøvere deltar i turnmesterskapet: 8 fra Russland, 7 fra USA, resten fra Kina. Rekkefølgen gymnastene opptrer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer først er fra Kina. Løsning: Deltar i mesterskapetidrettsutøvere fra Kina. Da er sannsynligheten for at den første idrettsutøveren kommer fra Kina 5:20 = 0,25
4. I gjennomsnitt, av 1000 solgte hagepumper, lekker 5. Finn sannsynligheten for at én tilfeldig valgt pumpe for kontroll ikke lekker. Løsning: I gjennomsnitt, av 1000 solgte hagepumper, lekker ikke 1000 − 5 = 995. Dette betyr at sannsynligheten for at én tilfeldig valgt pumpe for kontroll ikke lekker er lik 995: 1000 = 0,995
5. Fabrikken produserer poser. I gjennomsnitt, for hver 100 kvalitetsposer, er det åtte poser med skjulte feil. Finn sannsynligheten for at den kjøpte vesken vil være av høy kvalitet. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning: I henhold til betingelsen, for hver 100 + 8 = 108 poser er det 100 kvalitetsposer. Dette betyr at sannsynligheten for at den kjøpte vesken vil være av høy kvalitet er 100: 108 =0,925925...= 0,93
6. 4 utøvere fra Finland, 7 utøvere fra Danmark, 9 utøvere fra Sverige og 5 fra Norge deltar i kulekonkurransen. Rekkefølgen utøverne konkurrerer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer sist er fra Sverige. Løsning: Totalt deltar 4 + 7 + 9 + 5 = 25 utøvere i konkurransen. Dette betyr at sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer sist kommer fra Sverige er 9:25 = 0,36
7.Vitenskapelig konferanse gjennomføres på 5 dager. Totalt er det planlagt 75 rapporter - de tre første dagene inneholder 17 rapporter, resten er fordelt likt mellom fjerde og femte dag. Rekkefølgen på rapporter fastsettes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at professor M.s rapport blir planlagt til konferansens siste dag? Løsning: De tre første dagene skal 51 rapporter leses, og det er planlagt 24 rapporter de to siste dagene. Det er derfor planlagt 12 rapporter siste dag. Dette betyr at sannsynligheten for at professor M.s rapport blir planlagt til konferansens siste dag er 12:75 = 0,16
8. Konkurransen av utøvere avholdes over 5 dager. Totalt er det annonsert 80 forestillinger – en fra hvert land. Det er 8 forestillinger den første dagen, resten fordeles likt mellom de resterende dagene. Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at en russisk representant vil opptre den tredje dagen av konkurransen? Løsning: Planlagt for tredje dagtaler. Dette betyr at sannsynligheten for at ytelsen til en representant fra Russland vil bli planlagt på den tredje dagen av konkurransen er 18:80 = 0,225
9. 3 forskere fra Norge, 3 fra Russland og 4 fra Spania kom til seminaret. Rekkefølgen på rapporter fastsettes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at den åttende rapporten vil være en rapport fra en vitenskapsmann fra Russland. Løsning: Totalt deltar 3 + 3 + 4 = 10 forskere på seminaret, noe som betyr at sannsynligheten for at forskeren som snakker åttende kommer fra Russland er 3:10 = 0,3.
10.Før starten av første runde i badmintonmesterskapet deles deltakerne inn i spillende par tilfeldig ved loddtrekning. Totalt deltar 26 badmintonspillere i mesterskapet, inkludert 10 deltakere fra Russland, inkludert Ruslan Orlov. Finne sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde vil spille med en hvilken som helst badmintonspiller fra Russland? Løsning: I første runde kan Ruslan Orlov spille med 26 − 1 = 25 badmintonspillere, hvorav 10 − 1 = 9 er fra Russland. Dette betyr at sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde vil spille med en hvilken som helst badmintonspiller fra Russland er 9:25 = 0,36
11. I samlingen av billetter til biologi er det bare 55 billetter, 11 av dem inneholder et spørsmål om botanikk. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om botanikk på en tilfeldig valgt eksamensbillett. Løsning: 11:55 = 0,2
12. 25 utøvere stiller på dykkermesterskapet, blant dem 8 hoppere fra Russland og 9 hoppere fra Paraguay. Rekkefølgen på forestillingene bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at en paraguayansk hopper blir nummer seks.
13.To fabrikker produserer det samme glasset for billykter. Den første fabrikken produserer 30% av disse glassene, den andre - 70%. Den første fabrikken produserer 3% av defekt glass, og den andre - 4%. Finn sannsynligheten for at glass som er kjøpt ved et uhell i en butikk viser seg å være defekt.
Løsning. Konverter %% til brøker.
Hendelse A - "Glass fra den første fabrikken ble kjøpt." P(A)=0,3
Event B - "Glass fra den andre fabrikken ble kjøpt." P(B)=0,7
Event X - "Defekt glass".
P(A og X) = 0,3*0,03=0,009
P(B og X) = 0,7*0,04=0,028 Ifølge formelen full sannsynlighet:P = 0,009+0,028 = 0.037
14.Hvis stormester A. spiller hvit, vinner han mot stormester B. med sannsynlighet 0,52. Hvis A. spiller svart, vinner A. mot B. med sannsynlighet 0,3. Stormestre A. og B. spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at A. vinner begge gangene. Løsning: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya og Lyosha kaster lodd om hvem som skal starte spillet. Finn sannsynligheten for at Petya må starte spillet.
Løsning: Tilfeldig eksperiment - loddkasting.
I dette eksperimentet er den elementære begivenheten deltakeren som vinner partiet.
La oss liste opp mulige elementære hendelser:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Det blir 4 av dem, dvs. N=4. Partiet innebærer at alle elementære arrangementer er like mulige.
Begivenheten A= (Petya vant partiet) favoriseres av bare én elementær begivenhet (Petya). Derfor N(A)=1.
Da er P(A)=0,25 Svar: 0,25.
16. 16 lag deltar i verdensmesterskapet. Ved å bruke lodd må de deles inn i fire grupper med fire lag hver. Det er kort med gruppenummer blandet i boksen: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Lagkapteiner trekker ett kort hver. Hva er sannsynligheten for at det russiske laget blir i den andre gruppen? Løsning: Totale utfall - 16. Av disse er gunstige, dvs. med nummer 2 blir det 4. Så 4: 16=0,25
17. På en geometrieksamen får en student ett spørsmål fra listen eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et spørsmål om emnet "Parallelogram" er 0,15. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.
= (spørsmål om emnet "Innskrevet sirkel"),
= (spørsmål om emnet "Parallelogram").
arrangementer Og er inkompatible, siden listen etter betingelse ikke inneholder spørsmål knyttet til disse to emnene samtidig.
Begivenhet= (spørsmål om ett av disse to emnene) er en kombinasjon av dem:.
La oss bruke formelen for å legge til sannsynlighetene for inkompatible hendelser:
.
18.B kjøpesenter to identiske maskiner selger kaffe. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,3. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,12. Finn sannsynligheten for at det på slutten av dagen er kaffe igjen i begge maskinene.
La oss definere hendelser
= (kaffen tar slutt i den første maskinen),
= (kaffen tar slutt i den andre maskinen).
I henhold til forholdene for problemet Og .
Ved å bruke formelen for å legge til sannsynligheter finner vi sannsynligheten for en hendelse
Og = (kaffen vil ta slutt i minst én av maskinene):
.
Derfor er sannsynligheten for den motsatte hendelsen (kaffe vil forbli i begge maskinene) lik
.
19. En skiskytter skyter på skiver fem ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første tre gangene og bommer de to siste. Avrund resultatet til hundredeler.
I denne oppgaven antas det at resultatet av hvert neste skudd ikke avhenger av de forrige. Derfor vil hendelsene "treffe på første skudd", "treffe på andre skudd", etc. uavhengig.
Sannsynligheten for hvert treff er lik. Dette betyr at sannsynligheten for hver miss er lik. La oss bruke formelen for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser. Vi finner at sekvensen
= (treff, treff, treff, bommet, bommet) har en sannsynlighet
=
= . Svar: .
20. Det er to betalingsautomater i butikken. Hver av dem kan være feil med sannsynlighet 0,05, uavhengig av den andre maskinen. Finn sannsynligheten for at minst én maskin fungerer.
Dette problemet forutsetter også at automatene opererer uavhengig.
La oss finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen
= (begge maskinene er defekte).
For å gjøre dette bruker vi formelen for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser:
.
Dette betyr sannsynligheten for hendelsen= (minst én maskin fungerer) er lik. Svar: .
21. Rommet er opplyst av en lykt med to lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,3. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut i løpet av året. Løsning: Begge vil brenne ut (hendelsene er uavhengige og vi bruker formelen for produktet av sannsynligheter) med sannsynlighet p1=0,3⋅0,3=0,09
Motsatt hendelse(IKKE begge vil brenne ut = minst EN vil ikke brenne ut)
vil skje med sannsynlighet p=1-p1=1-0,09=0,91
SVAR: 0,91
22. Sannsynligheten for at en ny vannkoker holder mer enn ett år er 0,97. Sannsynligheten for at den varer mer enn to år er 0,89. Finn sannsynligheten for at det vil vare mindre enn to år, men mer enn ett år
Løsning.
La A = "kjelen vil vare mer enn ett år, men mindre enn to år", B = "kjelen vil vare mer enn to år", så A + B = "kjelen vil vare mer enn ett år".
Hendelser A og B er felles, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene, redusert med sannsynligheten for at de inntreffer. Sannsynligheten for at disse hendelsene inntreffer, som består i det faktum at kjelen vil svikte om nøyaktig to år - nøyaktig samme dag, time og sekund - er null. Deretter:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),
hvorfra vi ved å bruke data fra betingelsen får 0,97 = P(A) + 0,89.
For ønsket sannsynlighet har vi altså: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.
23. En landbruksbedrift kjøper kyllingegg fra to husstander. 40 % av eggene fra den første gården er egg av den høyeste kategorien, og fra den andre gården - 20 % av eggene i den høyeste kategorien. Total høyeste kategori mottar 35 % av eggene. Finn sannsynligheten for at et egg kjøpt fra dette landbruksbedriften kommer fra den første gården. Løsning: La landbruksbedriften kjøpe fra den første gården egg, inkludert egg av høyeste kategori, og i den andre gården - egg, inkludert egg av høyeste kategori. Altså det totale beløpet agroformen kjøper egg, inkludert egg av høyeste kategori. I følge tilstanden har 35 % av eggene den høyeste kategorien, da:
Derfor er sannsynligheten for at det kjøpte egget kommer fra den første gården lik =0,75
24. Det er 10 sifre på telefontastaturet, fra 0 til 9. Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig trykket siffer blir partall?
25.Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt naturlig tall fra 10 til 19 er delelig med tre?
26.Cowboy John slår en flue på veggen med en sannsynlighet på 0,9 hvis han skyter fra en nullstilt revolver. Hvis John avfyrer en uavfyrt revolver, treffer han flua med sannsynlighet 0,2. Det er 10 revolvere på bordet, bare 4 av dem er skutt. Cowboy John ser en flue på veggen, griper tilfeldig den første revolveren han kommer over og skyter fluen. Finn sannsynligheten for at John bommer. Løsning: John treffer en flue hvis han griper en nullstilt revolver og treffer med den, eller hvis han griper en unshot revolver og treffer med den. I henhold til formelen betinget sannsynlighet, er sannsynlighetene for disse hendelsene henholdsvis 0,4·0,9 = 0,36 og 0,6·0,2 = 0,12. Disse hendelsene er inkompatible, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,36 + 0,12 = 0,48. Begivenheten som John går glipp av er det motsatte. Sannsynligheten er 1 − 0,48 = 0,52.
27. Det er 5 personer i gruppen av turister. Ved hjelp av lodd velger de ut to personer som må gå til landsbyen for å kjøpe mat. Turist A. vil gjerne gå til butikken, men han adlyder partiet. Hva er sannsynligheten for at A. går i butikken? Løsning: Det er fem turister totalt, to av dem er valgt tilfeldig. Sannsynligheten for å bli valgt er 2:5 = 0,4. Svar: 0,4.
28.Før starten av en fotballkamp kaster dommeren en mynt for å bestemme hvilket lag som skal starte kampen med ballen. Fizik-laget spiller tre kamper med forskjellige lag. Finn sannsynligheten for at "Physicist" i disse spillene vil vinne partiet nøyaktig to ganger. Løsning: La oss betegne "1" siden av mynten som er ansvarlig for at "fysikeren" vant partiet, og la oss betegne den andre siden av mynten "0". Så er det tre gunstige kombinasjoner: 110, 101, 011, og det er 2 kombinasjoner totalt 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Dermed er den nødvendige sannsynligheten lik:
29. Terningene kastes to ganger. Hvor mange elementære utfall av eksperimentet favoriserer hendelsen "A = summen av poeng er 5"? Løsning: Summen av poeng kan være lik 5 i fire tilfeller: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Svar: 4.
30. I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at OP-utfallet vil skje (hoder første gang, haler andre gang). Løsning: Det er fire mulige utfall: hode-hoder, hode-haler, hale-hoder, hale-haler. En er gunstig: hoder og haler. Derfor er den ønskede sannsynligheten 1:4 = 0,25. Svar: 0,25.
31. Band opptrer på rockefestivalen – ett fra hvert av de erklærte landene. Rekkefølgen av ytelsen bestemmes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at en gruppe fra Danmark vil opptre etter en gruppe fra Sverige og etter en gruppe fra Norge? Avrund resultatet til hundredeler. Løsning: Det totale antallet grupper som opptrer på festivalen er ikke viktig for å svare på spørsmålet. Uansett hvor mange det er, er det 6 måter for disse landene relativ posisjon blant foredragsholderne (D - Danmark, W - Sverige, N - Norge):
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...
Danmark er rangert bak Sverige og Norge i to tilfeller. Derfor er sannsynligheten for at gruppene blir tilfeldig fordelt på denne måten lik Svar: 0,33.
32. Under artilleriskyting avfyrer det automatiske systemet et skudd mot målet. Hvis målet ikke blir ødelagt, skyter systemet et andre skudd. Skuddene gjentas til målet er ødelagt. Sannsynligheten for å ødelegge et bestemt mål med det første skuddet er 0,4, og for hvert påfølgende skudd er det 0,6. Hvor mange skudd vil kreves for å sikre at sannsynligheten for å ødelegge målet er minst 0,98? Løsning: Du kan løse problemet "ved handling", ved å beregne sannsynligheten for å overleve etter en rekke påfølgende feil: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Sistnevnte sannsynlighet er mindre enn 0,02, så fem skudd mot målet er nok.
33.For å gå videre til neste konkurranserunde, fotballag du må score minst 4 poeng på to kamper. Hvis et lag vinner, får det 3 poeng, i tilfelle uavgjort - 1 poeng, hvis det taper - 0 poeng. Finn sannsynligheten for at laget går videre til neste runde i konkurransen. Tenk på at i hvert spill er sannsynligheten for å vinne og tape den samme og lik 0,4. Løsning : Et lag kan få minst 4 poeng på to kamper på tre måter: 3+1, 1+3, 3+3. Disse hendelsene er uforenlige; sannsynligheten for deres sum er lik summen av deres sannsynligheter. Hver av disse hendelsene er et produkt av to uavhengige hendelser - resultatet i det første og det andre spillet. Herfra har vi:
34. I en bestemt by, av 5000 fødte babyer, er 2512 gutter. Finn hyppigheten av fødsler av jenter i denne byen. Avrund resultatet til nærmeste tusen. Løsning: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. Om bord i flyet er det 12 seter ved siden av nødutgangene og 18 seter bak skilleveggene som skiller kabinene. De resterende setene er ubeleilig for passasjeren høy. Passasjer V. er høy. Finn sannsynligheten for at ved påmelding kl tilfeldig utvalg passasjer V. vil få seter komfortabelt sted, hvis det bare er 300 seter på flyet. Løsning : Det er 12 + 18 = 30 seter på flyet som er komfortable for passasjer B, og det er totalt 300 seter på flyet. Derfor er sannsynligheten for at passasjer B får et komfortabelt sete 30:300 = 0,1 Svar: 0,1.
36. Ved en olympiade ved et universitet sitter deltakerne i tre klasserom. I de to første er det 120 personer hver, de resterende blir tatt med til et reserveauditorium i en annen bygning. Ved telling viste det seg at det var 250 deltakere totalt. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt deltaker skrev konkurransen i et ekstra klasserom. Løsning: Totalt ble 250 − 120 − 120 = 10 personer sendt til reservepublikummet. Derfor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt deltaker skrev olympiaden i et ekstra klasserom 10:250 = 0,04. Svar: 0,04.
37. Det er 26 personer i klassen, blant dem to tvillinger - Andrey og Sergey. Klassen er tilfeldig delt inn i to grupper på 13 personer hver. Finn sannsynligheten for at Andrey og Sergey vil være i samme gruppe. Løsning: La en av tvillingene være i en gruppe. Sammen med ham i gruppen vil det være 12 personer fra de 25 gjenværende klassekameratene. Sannsynligheten for at den andre tvillingen vil være blant disse 12 personene er 12:25 = 0,48.
38. Et taxiselskap har 50 biler; 27 av dem er svarte med gule inskripsjoner på sidene, resten er gule med svarte inskripsjoner. Finn sannsynligheten for at en bil vil svare på et tilfeldig anrop gul farge med svarte inskripsjoner. Løsning: 23:50=0,46
39. Det er 30 personer i gruppen av turister. De slippes med helikopter inn i et vanskelig tilgjengelig område i flere etapper, 6 personer per flytur. Rekkefølgen helikopteret frakter turister i er tilfeldig. Finn sannsynligheten for at turist P. tar den første helikopterflyvningen. Løsning: Det er 6 seter på første flyvning, 30 seter totalt. Da er sannsynligheten for at turist P. vil fly på første helikopterflyvning: 6:30 = 0,2.
40. Sannsynligheten for at en ny DVD-spiller vil bli reparert under garantien innen et år er 0,045. I en bestemt by, av 1000 DVD-spillere solgt i løpet av året, ble 51 enheter mottatt av garantiverkstedet. Hvor forskjellig er hyppigheten av "garantireparasjons"-hendelsen fra sannsynligheten i denne byen? Løsning: Frekvensen (relativ frekvens) av "garantireparasjon"-hendelsen er 51: 1000 = 0,051. Den skiller seg fra den anslåtte sannsynligheten med 0,006.
41. Ved produksjon av lagre med en diameter på 67 mm, er sannsynligheten for at diameteren vil avvike fra den spesifiserte med ikke mer enn 0,01 mm 0,965. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig lager vil ha en diameter mindre enn 66,99 mm eller større enn 67,01 mm. Løsning. I henhold til tilstanden vil lagerdiameteren ligge i området fra 66,99 til 67,01 mm med en sannsynlighet på 0,965. Derfor er den ønskede sannsynligheten for den motsatte hendelsen 1 − 0,965 = 0,035.
42. Sannsynligheten for at elev O. løser mer enn 11 oppgaver riktig på en biologiprøve er 0,67. Sannsynligheten for at O. løser mer enn 10 oppgaver riktig er 0,74. Finn sannsynligheten for at O. løser nøyaktig 11 oppgaver riktig. Løsning: Tenk på hendelsene A = "eleven skal løse 11 problemer" og B = "eleven vil løse mer enn 11 problemer." Summen deres er hendelse A + B = "eleven vil løse mer enn 10 oppgaver." Hendelser A og B er inkompatible, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: P(A + B) = P(A) + P(B). Ved å bruke disse oppgavene får vi: 0,74 = P(A) + 0,67, hvorav P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
43. For å gå inn på instituttet for spesialiteten "Lingvistikk", må søkeren score minst 70 poeng på Unified State Exam i hver av tre elementer- matematikk, russisk språk og fremmed språk. For å melde deg på spesialiteten "Commerce", må du score minst 70 poeng i hvert av tre fag - matematikk, russisk språk og samfunnsfag. Sannsynligheten for at søker Z. får minst 70 poeng i matematikk er 0,6, i russisk - 0,8, i fremmedspråk - 0,7 og i samfunnsfag - 0,5 Finn sannsynligheten for at Z. kan melde seg på minst ett av de to nevnte spesialitetene. Løsning: For å melde seg på hvor som helst, må Z. bestå både russisk og matematikk med minst 70 poeng, og i tillegg til dette også bestå et fremmedspråk eller samfunnsfag med minst 70 poeng. La A, B, C og D - dette er arrangementer der Z. består henholdsvis matematikk, russisk, utenriksfag og samfunnsfag med minst 70 poeng. Så siden
For sannsynligheten for ankomst har vi:
44. På en keramisk servisefabrikk er 10 % av platene som produseres defekte. Under produktkvalitetskontrollen blir 80 % av defekte platene identifisert. De resterende platene er på salg. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt plate ved kjøp ikke har noen defekter. Avrund svaret til nærmeste hundredel. Løsning : La fabrikken produsereplater. Alle kvalitetsplater og 20 % av uoppdagede defekte plater kommer i salg:plater. Fordi kvaliteten seg, er sannsynligheten for å kjøpe en plate av høy kvalitet 0,9p:0,92p=0,978 Svar: 0,978.
45. Det er tre selgere i butikken. Hver av dem er opptatt med en klient med sannsynlighet 0,3. Finn sannsynligheten for at i tilfeldig øyeblikk gang er alle tre selgerne opptatt samtidig (tenk at kundene kommer inn uavhengig av hverandre). Løsning : Sannsynligheten for et produkt av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene. Derfor er sannsynligheten lik for at alle tre selgerne er opptatt
46.Basert på kundeanmeldelser vurderte Ivan Ivanovich påliteligheten til to nettbutikker. Sannsynligheten for at ønsket produkt blir levert fra butikk A er 0,8. Sannsynligheten for at dette produktet blir levert fra butikk B er 0,9. Ivan Ivanovich bestilte varer fra begge butikkene samtidig. Forutsatt at nettbutikker opererer uavhengig av hverandre, finn sannsynligheten for at ingen butikk vil levere produktet. Løsning: Sannsynligheten for at den første butikken ikke vil levere varene er 1 − 0,9 = 0,1. Sannsynligheten for at den andre butikken ikke vil levere varene er 1 − 0,8 = 0,2. Siden disse hendelsene er uavhengige, er sannsynligheten for at de inntreffer (begge butikkene vil ikke levere varene) lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,1 · 0,2 = 0,02
47.Fra distriktssenter Det går daglig buss til landsbyen. Sannsynligheten for at det blir færre enn 20 passasjerer på bussen mandag er 0,94. Sannsynligheten for at det blir færre enn 15 passasjerer er 0,56. Finn sannsynligheten for at antall passasjerer vil være mellom 15 og 19. Løsning: Tenk på hendelsene A = "det er mindre enn 15 passasjerer på bussen" og B = "det er fra 15 til 19 passasjerer på bussen." Summen deres er hendelse A + B = "det er mindre enn 20 passasjerer på bussen." Hendelser A og B er inkompatible, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: P(A + B) = P(A) + P(B). Deretter, ved å bruke disse problemene, får vi: 0,94 = 0,56 + P(B), hvorav P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Svar: 0,38.
48. Før starten av en volleyballkamp trekker lagkapteiner rettferdig loddtrekning for å avgjøre hvilket lag som skal starte kampen med ballen. "Stator"-laget bytter på å spille med "Rotor", "Motor" og "Starter"-lagene. Finn sannsynligheten for at Stator starter kun det første og siste spillet. Løsning. Du må finne sannsynligheten for at tre hendelser skjer: "Stator" starter det første spillet, starter ikke det andre spillet, og starter det tredje spillet. Sannsynligheten for et produkt av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene. Sannsynligheten for hver av dem er 0,5, hvorfra vi finner: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Svar: 0,125.
49. I Eventyrland Det er to typer vær: bra og utmerket, og været, når det først er etablert om morgenen, forblir uendret hele dagen. Det er kjent at med sannsynlighet 0,8 vil været i morgen være det samme som i dag. I dag er det 3. juli, været i Magic Land er bra. Finn sannsynligheten for at været blir flott i Eventyrland 6. juli. Løsning. For været 4., 5. og 6. juli er det 4 alternativer: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (her er X bra, O er utmerket vær). La oss finne sannsynlighetene for at slikt vær oppstår: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Spesifiserte hendelser inkonsistent, er sannsynligheten for summen deres lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
50. Alle pasienter med mistanke om hepatitt gjennomgår en blodprøve. Hvis testen avdekker hepatitt, kalles testresultatet positivt . Hos pasienter med hepatitt gir analysen positivt resultat med sannsynlighet 0,9. Hvis pasienten ikke har hepatitt, kan testen gi et falskt positivt resultat med en sannsynlighet på 0,01. Det er kjent at 5 % av pasienter innlagt med mistanke om hepatitt faktisk har hepatitt. Finn sannsynligheten for at en pasient innlagt på klinikken med mistanke om hepatitt vil teste positivt. Løsning . En pasients analyse kan være positiv av to grunner: A) pasienten har hepatitt, analysen hans er korrekt; B) pasienten har ikke hepatitt, analysen hans er falsk. Dette uforenlige hendelser, er sannsynligheten for summen deres lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Vi har: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.
51. Misha hadde fire godteri i lommen - "Grilyazh", "Squirrel", "Korovka" og "Swallow", samt nøklene til leiligheten. Mens han tok ut nøklene, mistet Misha ved et uhell ett stykke godteri fra lommen. Finn sannsynligheten for at "Grillage"-godteriet gikk tapt.
52. En mekanisk klokke med en tolvtimers urskive brøt sammen på et tidspunkt og sluttet å gå. Finn sannsynligheten for at timeviser frøs, nådde 10-merket, men nådde ikke 1 time-merket. Løsning: 3: 12=0,25
53. Sannsynligheten for at batteriet er defekt er 0,06. En kjøper i en butikk velger en tilfeldig pakke som inneholder to av disse batteriene. Finn sannsynligheten for at begge batteriene er gode. Løsning: Sannsynligheten for at batteriet er bra er 0,94. Sannsynligheten for at uavhengige hendelser inntreffer (begge batteriene vil være gode) er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,94·0,94 = 0,8836.
54. En automatisk linje produserer batterier. Sannsynligheten for at et ferdig batteri er defekt er 0,02. Før pakking går hvert batteri gjennom et kontrollsystem. Sannsynligheten for at systemet vil avvise et defekt batteri er 0,99. Sannsynligheten for at systemet feilaktig vil avvise et fungerende batteri er 0,01. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt produsert batteri vil bli avvist av inspeksjonssystemet. Løsning. En situasjon der batteriet vil bli avvist kan oppstå som et resultat av følgende hendelser: A = batteriet er virkelig defekt og ble korrekt avvist, eller B = batteriet fungerer, men ble feilaktig avvist. Dette er uforenlige hendelser, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Vi har:
55. Bildet viser en labyrint. Edderkoppen kryper inn i labyrinten ved inngangspunktet. Edderkoppen kan ikke snu og krype tilbake, så ved hver gren velger edderkoppen en av stiene som den ennå ikke har krøpet. Å tro at valget videre vei rent tilfeldig, avgjør med hvilken sannsynlighet edderkoppen vil komme til utgangen.
Løsning.
Ved hver av de fire merkede gaflene kan edderkoppen velge enten stien som fører til avkjørsel D eller en annen sti med sannsynlighet 0,5. Dette uavhengige arrangementer, sannsynligheten for produktet deres (edderkoppen når utgang D) er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene. Derfor er sannsynligheten for å ankomme avkjørsel D (0,5) 4 = 0,0625.
Problemer i sannsynlighetsteori med løsninger
1. Kombinatorikk
Oppgave 1 . Det er 30 elever i gruppen. Det er nødvendig å velge en leder, en nestleder og en fagforeningsarrangør. Hvor mange måter er det å gjøre dette på?
Løsning. Enhver av de 30 studentene kan velges som rektor, hvilken som helst av de resterende 29 studentene kan velges som vara, og enhver av de resterende 28 studentene kan velges som fagforeningsarrangør, dvs. n1=30, n2=29, n3=28. I henhold til multiplikasjonsregelen er det totale antallet N måter å velge en leder, hans stedfortreder og en fagforeningsleder på N=n1´n2´n3=30´29´28=24360.
Oppgave 2 . To postbud skal levere 10 brev til 10 adresser. På hvor mange måter kan de fordele arbeidet?
Løsning. Det første brevet har n1=2 alternativer - enten tas det til adressaten av den første postmannen, eller av den andre. For den andre bokstaven er det også n2=2 alternativer osv., dvs. n1=n2=…=n10=2. Derfor, i kraft av multiplikasjonsregelen, er det totale antallet måter å fordele brev mellom to postbud på lik
Oppgave 3. Det er 100 deler i esken, hvorav 30 er 1. klasse deler, 50 er 2. klasse, resten er 3. klasse. Hvor mange måter er det å fjerne en grad 1 eller grad 2 del fra en boks?
Løsning. En del av 1. klasse kan trekkes ut på n1=30 måter, en del av 2. klasse kan trekkes ut på n2=50 måter. I følge sumregelen er det N=n1+n2=30+50=80 måter å trekke ut én del av 1. eller 2. klasse.
Oppgave 5 . Rekkefølgen på de 7 deltakerne i konkurransen bestemmes ved loddtrekning. Hvor mange ulike alternativer Er det mulig å trekke lodd i dette tilfellet?
Løsning. Hver variant av trekningen er bare forskjellig i rekkefølgen til deltakerne i konkurransen, det vil si at det er en permutasjon av 7 elementer. Antallet deres er likt
Oppgave 6 . 10 filmer deltar i konkurransen fordelt på 5 nominasjoner. Hvor mange muligheter for premiefordeling er det hvis følgende regler er etablert for alle kategorier? diverse priser?
Løsning. Hvert av premieutdelingsalternativene er en kombinasjon av 5 filmer av 10, som skiller seg fra andre kombinasjoner både i komposisjon og rekkefølge. Siden hver film kan motta priser i én eller flere kategorier, kan de samme filmene gjentas. Derfor er antallet slike kombinasjoner lik antall plasseringer med repetisjoner av 10 elementer av 5:
Oppgave 7 . 16 personer deltar i en sjakkturnering. Hvor mange kamper må spilles i en turnering hvis ett spill må spilles mellom to deltakere?
Løsning. Hvert spill spilles av to deltakere av 16 og skiller seg fra de andre kun i sammensetningen av deltakerparene, det vil si at det er en kombinasjon av 16 elementer av 2. Antallet deres er lik 
Oppgave 8 . I betingelsene for oppgave 6, bestemme hvor mange alternativer for utdeling av premier som finnes hvis for alle nominasjoner det samme premier?
Løsning. Hvis de samme premiene er etablert for hver nominasjon, betyr ikke rekkefølgen av filmer i en kombinasjon av 5 premier, og antall alternativer er antall kombinasjoner med repetisjoner av 10 elementer av 5, bestemt av formelen
Oppgave 9. Gartneren må plante 6 trær innen tre dager. På hvor mange måter kan han fordele arbeidet sitt over dagene hvis han planter minst ett tre om dagen?
Løsning. Anta at en gartner planter trær på rad og kan ta ulike løsninger om hvilket tre som skal stoppes den første dagen og hvilket tre som skal stoppes den andre. Dermed kan man tenke seg at trærne er adskilt av to skillevegger som hver kan stå på ett av 5 steder (mellom trærne). Skilleveggene må være der en om gangen, for ellers blir det ikke plantet et eneste tre en dag. Dermed må du velge 2 elementer av 5 (ingen repetisjoner). Derfor er antall måter .
Oppgave 10. Hvor mange firesifrede tall (eventuelt starter med null) er det hvis sifre summerer til 5?
Løsning. La oss forestille oss tallet 5 som en sum av påfølgende, delt inn i grupper etter partisjoner (hver gruppe totalt utgjør det neste sifferet i tallet). Det er klart at det vil være behov for 3 slike partisjoner. Det er 6 plasser for partisjoner (før alle enheter, mellom dem og etter). Hver plass kan okkuperes av en eller flere partisjoner (i sistnevnte tilfelle det er ingen enheter mellom dem, og den tilsvarende summen er null). La oss betrakte disse stedene som elementer i et sett. Dermed må du velge 3 elementer av 6 (med repetisjoner). Derfor er det nødvendige antall tall 
Oppgave 11 . På hvor mange måter kan en gruppe på 25 elever deles inn i tre undergrupper A, B og C på henholdsvis 6, 9 og 10 personer?
Løsning. Her er n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">
Oppgave 1 . Det er 5 appelsiner og 4 epler i en boks. 3 frukter er valgt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at alle tre fruktene er appelsiner?
Løsning. De elementære resultatene her er sett som inkluderer 3 frukter. Siden rekkefølgen på fruktene er likegyldig, vil vi vurdere valget deres som uordnet (og ikke-repetitivt)..gif" width="21" height="25 src=">. Antall gunstige utfall er lik antall måter å velge 3 appelsiner på fra de 5 tilgjengelige, dvs. gif" width="161 height=83" height="83">.
Oppgave 2 . Læreren ber hver av de tre elevene tenke på et hvilket som helst tall fra 1 til 10. Forutsatt at hver elevs valg av et gitt tall er like mulig, finn sannsynligheten for at en av dem vil ha samme tall.
Løsning. La oss først beregne det totale antallet utfall. Den første eleven velger ett av 10 tall og har n1=10 muligheter, den andre har også n2=10 muligheter, og til slutt har den tredje også n3=10 muligheter. I kraft av multiplikasjonsregelen er det totale antallet måter lik: n= n1´n2´n3=103 = 1000, dvs. hele rommet inneholder 1000 elementære utfall. For å beregne sannsynligheten for hendelse A, er det praktisk å gå videre til den motsatte hendelsen, dvs. telle antall tilfeller når alle tre elevene tenker forskjellige tall. Den første har fortsatt m1=10 måter å velge et tall på. Den andre eleven har nå bare m2=9 muligheter, siden han må passe på at nummeret hans ikke faller sammen med det tiltenkte antallet til den første eleven. Den tredje eleven er enda mer begrenset i valg - han har bare m3=8 muligheter. Derfor er det totale antallet kombinasjoner av unnfangede tall der det ikke er treff m=10×9×8=720. Det er 280 tilfeller der det er treff. Derfor er den ønskede sannsynligheten lik P = 280/1000 = 0,28.
Oppgave 3 . Finn sannsynligheten for at i et 8-sifret tall er nøyaktig 4 sifre like og resten er forskjellige.
Løsning. Hendelse A=(et åttesifret tall inneholder 4 samme tall). Av betingelsene for oppgaven følger det at nummeret inneholder fem forskjellige sifre, ett av dem gjentas. Antall måter å velge det på er lik antall måter å velge ett siffer fra 10 sifre..gif" width="21" height="25 src="> . Deretter antall gunstige utfall. Totalt antall måter å komponere 8-sifrede tall på er |W|=108. Den nødvendige sannsynligheten er
Oppgave 4 . Seks kunder kontakter 5 firmaer tilfeldig. Finn sannsynligheten for at ingen vil kontakte minst ett selskap.
Løsning. Tenk på den motsatte hendelsen https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">. Totalt antall måter å distribuere 6 kunder på 5 selskaper. Derfor 
. Derfor,.
Oppgave 5 . La det være N kuler i en urne, hvorav M er hvite og N–M er svarte. n kuler trekkes fra urnen. Finn sannsynligheten for at det vil være nøyaktig m hvite kuler blant dem.
Løsning. Siden rekkefølgen på elementene er uviktig her, er antallet av alle mulige sett med volum n av N elementer lik antall kombinasjoner av m hvite kuler, n–m svarte, og derfor er den nødvendige sannsynligheten lik P(A) = https://pandia ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">.
Oppgave 7 (møteproblem) . To personer A og B avtalte å møte kl bestemt sted mellom 12 og 13.00. Den første personen som ankommer venter på den andre personen i 20 minutter og går så. Hva er sannsynligheten for et møte mellom person A og B, hvis ankomsten til hver av dem kan skje tilfeldig innen den angitte timen og ankomstøyeblikkene er uavhengige?
Løsning. La oss betegne tidspunktet for ankomst til person A med x og person B med y. For at møtet skal finne sted, er det nødvendig og tilstrekkelig at x-yô £20. La oss avbilde x og y som koordinater på et plan, og velge minuttet som skalaenhet. Alle mulige utfall er representert av punktene i en firkant med en side på 60, og de som er gunstige for møtet er plassert i det skyggelagte området. Den ønskede sannsynligheten er lik forholdet mellom arealet til den skraverte figuren (fig. 2.1) og arealet av hele kvadratet: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
3. Grunnleggende formler for sannsynlighetsteori
Oppgave 1 . Det er 10 røde og 5 blå knapper i en boks. To knapper trekkes ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at knappene har samme farge ?
Løsning. Hendelsen A=(knapper av samme farge tas ut) kan representeres som en sum , hvor hendelsene og betyr valg av knapper rød og av blå farge hhv. Sannsynligheten for å trekke ut to røde knapper er lik, og sannsynligheten for å trekke ut to blå knapper https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" width="249" height="83">
Oppgave 2 . Blant selskapets ansatte snakker 28 % engelsk, 30 % snakker tysk, 42 % kan fransk; Engelsk og tysk – 8 %, engelsk og fransk – 10 %, tysk og fransk – 5 %, alle tre språkene – 3 %. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ansatt i selskapet: a) kan engelsk eller tysk; b) kan engelsk, tysk eller fransk; c) kan ikke noen av de oppførte språkene.
Løsning. La oss betegne med A, B og C hendelsene at en tilfeldig valgt ansatt i selskapet snakker henholdsvis engelsk, tysk eller fransk. Det er klart at andelen bedriftsansatte som snakker visse språk bestemmer sannsynlighetene for disse hendelsene. Vi får:
a) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;
b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0, 3+ 0,42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P(AÈBÈC)=0,2.
Oppgave 3 . Familien har to barn. Hva er sannsynligheten for at det eldste barnet er en gutt hvis det er kjent at familien har barn av begge kjønn?
Løsning. La A=(det eldste barnet er en gutt), B=(familien har barn av begge kjønn). La oss anta at fødselen av en gutt og fødselen av en jente er like sannsynlige hendelser. Hvis fødselen til en gutt er betegnet med bokstaven M, og fødselen av en jente med D, består rommet av alle elementære utfall av fire par: . I dette rommet tilsvarer kun to utfall (MD og DM) hendelse B. Event AB betyr at familien har barn av begge kjønn. Det eldste barnet er en gutt, derfor er det nest (yngste) barnet en jente. Denne hendelsen AB tilsvarer ett utfall – MD. Således, |AB|=1, |B|=2 og
Oppgave 4 . Mesteren, som har 10 deler, hvorav 3 er ikke-standard, sjekker delene en etter en til han kommer over en standard. Hva er sannsynligheten for at han vil sjekke nøyaktig to detaljer?
Løsning. Hendelse A=(mesteren sjekket nøyaktig to deler) betyr at under en slik kontroll viste den første delen seg å være ikke-standard, og den andre var standard. Dette betyr, hvor =(den første delen viste seg å være ikke-standard) og =(den andre delen var standard). Åpenbart er sannsynligheten for hendelse A1 også lik 
, siden før han tok den andre delen hadde mesteren 9 deler igjen, hvorav bare 2 var ikke-standard og 7 var standard. Ved multiplikasjonsteoremet
Oppgave 5 . En boks inneholder 3 hvite og 5 svarte kuler, en annen boks inneholder 6 hvite og 4 svarte kuler. Finn sannsynligheten for at en hvit ball blir trukket fra minst én boks hvis én ball trekkes fra hver boks.
Løsning. Hendelsen A=(en hvit ball tas ut av minst én boks) kan representeres som en sum , der hendelser betyr forekomsten hvit ball fra henholdsvis første og andre boks..gif" width="91" height="23">..gif" width="20" height="23 src=">.gif" width="480" height= "23 ">.
Oppgave 6 . Tre sensorer tar en eksamen i et bestemt emne fra en gruppe på 30 personer, hvor den første undersøker 6 studenter, den andre - 3 studenter, og den tredje - 21 studenter (studenter velges tilfeldig fra en liste). Holdningen til de tre sensorene til de som er dårlig forberedt er forskjellig: Sjansen for at slike studenter består eksamen med den første læreren er 40 %, med den andre - bare 10 %, og med den tredje - 70 %. Finn sannsynligheten for at en dårlig forberedt student vil bestå eksamen .
Løsning. La oss betegne med hypotesene at den dårlig forberedte studenten besvarte henholdsvis første, andre og tredje sensor. I henhold til forholdene for problemet
, 
, 
.
La hendelse A=(dårlig forberedt student bestått eksamen). Så igjen, på grunn av forholdene til problemet
, 
, 
.
Ved å bruke total sannsynlighetsformelen får vi:
Oppgave 7 . Selskapet har tre kilder til forsyning av komponenter - selskap A, B, C. Bedrift A står for 50 % av den totale forsyningen, B - 30 % og C - 20 %. Det er kjent fra praksis at blant delene levert av firma A er 10 % defekte, av firma B - 5% og av firma C - 6%. Hva er sannsynligheten for at en del tatt tilfeldig vil passe?
Løsning. La hendelse G være utseendet til en passende del. Sannsynlighetene for hypotesene for at delen ble levert av selskapene A, B, C er lik henholdsvis P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2. De betingede sannsynlighetene for utseendet til en god del er lik P(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (som sannsynlighetene for motsatte hendelser til utseendet til en defekt del). Ved å bruke total sannsynlighetsformelen får vi:
P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.
Oppgave 8 (se oppgave 6). Gi beskjed om at studenten ikke besto eksamen, dvs. fikk en "ikke tilfredsstillende" karakter. Hvilken av de tre lærerne var det mest sannsynlig at han ville svare? ?
Løsning. Sannsynligheten for å få en "feil" er lik . Du må beregne betingede sannsynligheter. Ved å bruke Bayes' formler får vi:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" height="44 src=">, 
.
Det følger av det mest sannsynlig at den dårlig forberedte studenten tok eksamen til en tredje sensor.
4. Gjentatte uavhengige tester. Bernoullis teorem
Oppgave 1 . Terningen kastes 6 ganger. Finn sannsynligheten for at en sekser blir kastet nøyaktig 3 ganger.
Løsning.Å kaste en terning seks ganger kan betraktes som en sekvens uavhengige tester med en sannsynlighet for suksess ("seksere") lik 1/6 og en sannsynlighet for å mislykkes på 5/6. Vi beregner den nødvendige sannsynligheten ved å bruke formelen 
.
Oppgave 2 . Mynten kastes 6 ganger. Finn sannsynligheten for at våpenskjoldet ikke vises mer enn 2 ganger.
Løsning. Den nødvendige sannsynligheten er lik summen av sannsynlighetene for tre hendelser, bestående av det faktum at våpenskjoldet ikke vil vises en gang, eller en gang eller to ganger:
P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24">.
Oppgave 4 . Mynten kastes 3 ganger. Finn det mest sannsynlige antallet suksesser (våpenskjold).
Løsning. Mulige verdier for antall suksesser i de tre forsøkene som vurderes er m = 0, 1, 2 eller 3. La Am være hendelsen at våpenskjoldet vises m ganger i tre myntkast. Ved å bruke Bernoullis formel er det lett å finne sannsynlighetene for hendelser Am (se tabell):
Fra denne tabellen kan det sees at de mest sannsynlige verdiene er tallene 1 og 2 (sannsynlighetene deres er 3/8). Det samme resultatet kan fås fra setning 2. Faktisk, n=3, p=1/2, q=1/2. Deretter
, dvs. .
Oppgave 5. Som et resultat av hvert besøk av forsikringsagenten inngås kontrakten med sannsynlighet 0,1. Finn det mest sannsynlige antallet inngåtte kontrakter etter 25 besøk.
Løsning. Vi har n=10, p=0,1, q=0,9. Ulikheten for det mest sannsynlige antallet suksesser har formen: 25×0,1–0,9£m*£25×0,1+0,1 eller 1,6£m*£2,6. Denne ulikheten har bare én heltallsløsning, nemlig m*=2.
Oppgave 6 . Det er kjent at feilraten for en viss del er 0,5 %. Inspektøren kontrollerer 1000 deler. Hva er sannsynligheten for å finne nøyaktig tre defekte deler? Hva er sannsynligheten for å finne minst tre defekte deler?
Løsning. Vi har 1000 Bernoulli-tester med en sannsynlighet for "suksess" p=0,005. Ved å bruke Poisson-tilnærmingen med λ=np=5 får vi
2) P1000(m³3)=1-P1000(m<3)=1-»1-,
og P1000(3)"0,14; Р1000(m³3)»0,875.
Oppgave 7 . Sannsynligheten for et kjøp når en kunde besøker en butikk er p=0,75. Finn sannsynligheten for at kunden med 100 besøk vil foreta et kjøp nøyaktig 80 ganger.
Løsning. I i dette tilfellet n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Vi finner 
, og bestem j(x)=0,2036, så er den nødvendige sannsynligheten lik Р100(80)= 
.
Oppgave 8. Forsikringsselskapet inngikk 40.000 kontrakter. Sannsynligheten for en forsikringstilfelle for hver av dem i løpet av året er 2 %. Finn sannsynligheten for at det ikke vil være mer enn 870 slike tilfeller.
Løsning. I henhold til oppgavebetingelsene, n=40000, p=0,02. Vi finner np=800,. For å beregne P(m £ 870) bruker vi Moivre-Laplace integralsetningen:
P(0
Vi finner fra verditabellen til Laplace-funksjonen:
P(0 Oppgave 9
.
Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i hver av 400 uavhengige forsøk er 0,8. Finn et positivt tall e slik at, med sannsynlighet 0,99, absoluttverdien av avviket til den relative frekvensen av forekomst av en hendelse fra sannsynligheten ikke overstiger e. Løsning. I henhold til betingelsene for problemet, p=0,8, n=400. Vi bruker en konsekvens fra Moivre-Laplace integralsetningen: 5.
Diskrete tilfeldige variabler Oppgave 1
.
I et sett med 3 nøkler passer kun én nøkkel til døren. Nøklene søkes til en passende nøkkel er funnet. Konstruere en distribusjonslov for tilfeldig variabel x – antall testede nøkler .
Løsning. Antall nøkler som ble prøvd kan være 1, 2 eller 3. Hvis bare én nøkkel ble prøvd, betyr dette at denne første nøkkelen umiddelbart matchet døren, og sannsynligheten for en slik hendelse er 1/3. Så, deretter, hvis det var 2 testede nøkler, det vil si x=2, betyr dette at den første nøkkelen ikke fungerte, men den andre gjorde det. Sannsynligheten for denne hendelsen er 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21"> Resultatet er følgende distribusjonsserie: Oppgave 2
.
Konstruer fordelingsfunksjonen Fx(x) for den tilfeldige variabelen x fra oppgave 1. Løsning. Den tilfeldige variabelen x har tre verdier 1, 2, 3, som deler hele den numeriske aksen i fire intervaller: . Hvis x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. Hvis 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. Hvis 2 £x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x Og til slutt, i tilfelle av x³3 gjelder ulikheten x£x for alle verdiene av den tilfeldige variabelen x, så P(x Så vi fikk følgende funksjon: Oppgave 3.
Fellesfordelingsloven for stokastiske variable x og h er gitt ved hjelp av tabellen Beregn de spesielle lovene for fordeling av komponentmengdene x og h. Bestem om de er avhengige..gif" width="423" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width="376" height="23 src=">. Delfordelingen for h oppnås på samme måte: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width="229" height="23 src=">. De oppnådde sannsynlighetene kan skrives i samme tabell overfor de tilsvarende verdiene til tilfeldige variabler: La oss nå svare på spørsmålet om uavhengigheten til tilfeldige variabler x og h..gif" width="108" height="25 src="> i denne cellen. For eksempel i cellen for verdiene x=-1 og h=1 er det en sannsynlighet på 1/16, og produktet av de tilsvarende partielle sannsynlighetene 1/4×1/4 er lik 1/16, dvs. sammenfaller med felles sannsynlighet. Denne tilstanden er også testet i de resterende fem cellene, og det viser seg å være sant i alle. Derfor er de tilfeldige variablene x og h uavhengige. Merk at hvis tilstanden vår ble brutt i minst én celle, bør mengdene anerkjennes som avhengige. For å beregne sannsynligheten La oss merke cellene som betingelsen for https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src="> Oppgave 4
.
La den tilfeldige variabelen ξ ha følgende fordelingslov: Regne ut forventet verdi Mx, varians Dx og gjennomsnitt standardavvik s. Løsning. Per definisjon er den matematiske forventningen til x lik Standardavvik https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21">. Løsning. La oss bruke formelen Oppgave 6
.
For et par tilfeldige variabler fra oppgave 3, regn ut kovariansen cov(x, h). Løsning. I forrige oppgave var den matematiske forventningen allerede beregnet .
Det gjenstår å beregne Og .
Ved å bruke de partielle fordelingslovene oppnådd ved å løse oppgave 3, får vi ; ;
og det betyr som var å forvente på grunn av de tilfeldige variablenes uavhengighet. Oppgave 7.
Den tilfeldige vektoren (x, h) tar verdiene (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) og (0,–1) like sannsynlige. Beregn kovariansen til tilfeldige variable x og h. Vis at de er avhengige. Løsning. Siden P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, deretter Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5´(–1)=0 og Мh=0; М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0. Vi får cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0, og de tilfeldige variablene er ukorrelerte. Imidlertid er de avhengige. La x=1, da er den betingede sannsynligheten for hendelsen (h=0) lik P(h=0|x=1)=1 og er ikke lik den ubetingede sannsynligheten P(h=0)=3/5 , eller sannsynligheten (ξ=0,η =0) er ikke lik produktet av sannsynligheter: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/ 25. Derfor er x og h avhengige. Oppgave 8
. Tilfeldige økninger i aksjekursene til to selskaper på dag x og h har felles distribusjon, gitt av tabellen: Finn korrelasjonskoeffisienten. Løsning. Først og fremst beregner vi Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4. Deretter finner vi de spesielle lovene for fordeling av x og h: Vi definerer Mx=0,5-0,5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,22=0,96; cov(x, h)=0,4. Vi får Oppgave 9.
Tilfeldige økninger i aksjekursene til to selskaper per dag har varianser Dx=1 og Dh=2, og deres korrelasjonskoeffisient r=0,7. Finn variansen til prisøkningen for en portefølje med 5 aksjer i det første selskapet og 3 aksjer i det andre selskapet. Løsning. Ved å bruke egenskapene til spredning, kovarians og definisjonen av korrelasjonskoeffisienten får vi: Oppgave 10
.
Fordelingen av en todimensjonal tilfeldig variabel er gitt av tabellen: Finn den betingede fordelingen og den betingede forventningen h ved x=1. Løsning. Den betingede matematiske forventningen er Fra betingelsene for problemet finner vi fordelingen av komponentene h og x (siste kolonne og siste linje tabeller). Brakt inn til dags dato åpen krukke Unified State Examination-problemer i matematikk (mathege.ru), hvis løsning er basert på bare én formel, som er klassisk definisjon sannsynligheter. Den enkleste måten å forstå formelen på er med eksempler. En kommentar. I problemer i sannsynlighetsteori skjer det noe (i dette tilfellet vår handling med å trekke ut ballen) som kan ha et annet resultat - et utfall. Det skal bemerkes at resultatet kan sees på på forskjellige måter. "Vi trakk ut en slags ball" er også et resultat. "Vi trakk ut den blå ballen" - resultatet. "Vi trakk ut akkurat denne ballen fra alle mulige baller" - dette minst generaliserte synet på resultatet kalles et elementært utfall. Det er de elementære utfallene som er ment i formelen for beregning av sannsynligheten. Løsning. La oss nå beregne sannsynligheten for å velge den blå ballen. For det samme problemet, la oss beregne sannsynligheten for å velge en rød ball. Sannsynligheten for enhver hendelse ligger alltid mellom 0 og 1. Vi har anmeldt klassisk eksempel, som illustrerer definisjonen av sannsynlighet. Alle like Unified State Examination oppgaver I følge sannsynlighetsteori løses de ved å bruke denne formelen. De er litt forskjellige i formuleringen av problemet med sannsynlighetsteorien for Unified State Examination, der du må beregne sannsynligheten for at en hendelse skal skje på en bestemt dag. ( , ) Som i tidligere oppgaver du må finne ut hva som er det elementære resultatet, og deretter bruke samme formel. Eksempel 2. Konferansen varer i tre dager. På første og andre dag er det 15 foredragsholdere, på tredje dag - 20. Hva er sannsynligheten for at professor M.s rapport faller på tredje dag hvis rekkefølgen på rapportene bestemmes ved loddtrekning? Hva er det elementære resultatet her? – Å tildele en professorrapport en av alle mulige serienummer for en forestilling. 15+15+20=50 personer deltar i trekningen. Dermed kan professor M.s rapport få en av 50 utgaver. Dette betyr at det bare er 50 elementære utfall. Lodtrekningen her representerer etableringen av en tilfeldig korrespondanse mellom personer og bestilte plasser. I eksempel 2 ble etablering av korrespondanse vurdert ut fra hvilke av plassene som kunne tas spesiell person. Du kan nærme deg den samme situasjonen fra den andre siden: hvem av personene med stor sannsynlighet kan bli tatt? bestemt sted(prototyper , , , ): Eksempel 3. Trekningen inkluderer 5 tyskere, 8 franskmenn og 3 estere. Hva er sannsynligheten for at den første (/andre/syvende/siste – det spiller ingen rolle) vil være en franskmann. Antall elementære utfall – antall av alle mulige mennesker, som ved loddtrekning kunne komme til dette stedet. 5+8+3=16 personer. Prototypen er litt annerledes. Det er fortsatt problemer med mynter () og terninger (), som er noe mer kreative. Løsningen på disse problemene finner du på prototypesidene. Her er noen eksempler på å kaste en mynt eller terning. Eksempel 4. Når vi kaster en mynt, hva er sannsynligheten for å lande på hodet? Eksempel 5. Hva om vi kaster en mynt to ganger? Hva er sannsynligheten for at det kommer opp begge gangene? Hva er sannsynligheten for at to myntkast vil resultere i haler? I slike problemer kan en annen formel være nyttig. Så du kan finne sannsynligheten for å få 5 hoder av 5 myntkast. Det samme gjelder for terninger. Med ett kast er det 6 mulige resultater, så for to kast: 6 6 = 36, for tre 6 6 = 216, osv. Eksempel 6. Vi kaster terningene. Hva er sannsynligheten for at et partall blir kastet? Totale utfall: 6, i henhold til antall sider. Eksempel 7. Vi kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at totalen blir 10? (avrund til nærmeste hundredel) For én terning er det 6 mulige utfall. Dette betyr at for to, i henhold til regelen ovenfor, 6·6=36. Andre typer B6-problemer vil bli diskutert i en fremtidig How to Solve-artikkel. Sannsynlighet. Oppgaver profil Unified State Examination matematikk. Utarbeidet av læreren matematikere MBOU"Lyceum nr. 4" Ruzaevka Ovchinnikova T.V. Definisjon av sannsynlighet Sannsynlighet
hendelser A kalles tallforhold m
gunstige resultater for dette arrangementet totalt antall
n
alle like mulige uforenlige hendelser som kan oppstå som et resultat av én test eller observasjon: m
n
La k
– antall myntkast, deretter antall mulige utfall: n=2
k
.
La k
– antall terningkast, deretter antall mulige utfall: n=6
k
.
I et tilfeldig eksperiment kastes en symmetrisk mynt to ganger. Finn sannsynligheten for at hoder vises nøyaktig én gang. Løsning.
Det er bare 4 alternativer: O; o o; p p; p p; O .
Gunstig 2: O; R Og R; O .
Sannsynligheten er 2/4 = 1/2 = 0,5
.
Svar: 0,5. I et tilfeldig eksperiment kastes to terninger. Finn sannsynligheten for at totalen blir 8 poeng. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning.
Terninger er terninger med 6 sider. Den første terningen kan kaste 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 poeng. Hvert scoringsalternativ tilsvarer 6 scoringsalternativer på den andre terningen. De. totalt forskjellige alternativer 6×6 = 36. Alternativene (eksperimentresultatene) vil være som følger: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
etc. ................................... 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
La oss telle antall utfall (alternativer) der summen av poengene til to terninger er 8. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Det er 5 alternativer totalt. La oss finne sannsynligheten: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. Svar: 0,14. Det er kun 55 billetter i samlingen av billetter til biologi, 11 av dem inneholder et spørsmål om botanikk. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om botanikk på en tilfeldig valgt eksamensbillett. Løsning:
Sannsynligheten for at en student får et spørsmål om botanikk på en tilfeldig valgt eksamensbillett er 11/55 = 1/5 = 0,2. Svar: 0,2. 20 utøvere deltar i turnmesterskapet: 8 fra Russland, 7 fra USA, resten fra Kina. Rekkefølgen gymnastene opptrer i bestemmes ved loddtrekning. Finn sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer først er fra Kina. Løsning.
Totalt 20 utøvere deltar, hvorav 20 – 8 – 7 = 5 utøvere fra Kina. Sannsynligheten for at utøveren som konkurrerer først vil være fra Kina er 5/20 = 1/4 = 0,25. Svar: 0,25. Den vitenskapelige konferansen holdes over 5 dager. Totalt er det planlagt 75 rapporter - de tre første dagene inneholder 17 rapporter, resten er fordelt likt mellom fjerde og femte dag. Rekkefølgen på rapporter fastsettes ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at professor M.s rapport blir planlagt til konferansens siste dag? Løsning:
På konferansens siste dag er det planlagt (75 – 17 × 3): 2 = 12 rapporter. Sannsynligheten for at professor M.s rapport blir planlagt til konferansens siste dag er 12/75 = 4/25 = 0,16. Svar: 0,16. Før starten av første runde av badmintonmesterskapet blir deltakerne tilfeldig delt inn i spillepar ved bruk av lodd. Totalt deltar 26 badmintonspillere i mesterskapet, inkludert 10 deltakere fra Russland, inkludert Ruslan Orlov. Finne sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde vil spille med en hvilken som helst badmintonspiller fra Russland? Løsning:
Det må tas i betraktning at Ruslan Orlov må spille med en eller annen badmintonspiller fra Russland. Og selveste Ruslan Orlov er også fra Russland. Sannsynligheten for at Ruslan Orlov i første runde vil spille med en hvilken som helst badmintonspiller fra Russland er 9/25 = 36/100 = 0,36. Svar: 0,36. Dasha kaster terningene to ganger. Hun fikk totalt 8 poeng. Finn sannsynligheten for at du på første kast får 2 poeng. Løsning.
Totalt 8 poeng skal vises på de to terningene. Dette er mulig hvis det er følgende kombinasjoner: Det er 5 alternativer totalt. La oss telle antall utfall (alternativer) der 2 poeng ble oppnådd på det første kastet. Dette er alternativ 1. La oss finne sannsynligheten: 1/5 = 0,2. Svar: 0,2. Det er 20 lag som deltar i verdensmesterskapet. Ved å bruke lodd må de deles inn i fem grupper med fire lag hver. Det er kort med gruppenummer blandet i boksen: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Lagkapteiner trekker ett kort hver. Hva er sannsynligheten for at det russiske laget blir i tredje gruppe. Løsning:
Det er totalt 20 lag, 5 grupper. Hver gruppe har 4 lag. Så det er 20 totale utfall, de vi trenger er 4, noe som betyr at sannsynligheten for å få ønsket utfall er 4/20 = 0,2. Svar: 0,2. To fabrikker produserer det samme glasset for billykter. Den første fabrikken produserer 45% av disse glassene, den andre - 55%. Den første fabrikken produserer 3% av defekt glass, og den andre - 1%. Finn sannsynligheten for at glass kjøpt ved et uhell i en butikk vil være defekt. Løsning:
Sannsynligheten for at glasset ble kjøpt på den første fabrikken og er defekt: R 1
= 0,45 · 0,03 = 0,0135. Sannsynligheten for at glasset ble kjøpt fra en annen fabrikk og er defekt: R 2
=
0,55 · 0,01 = 0,0055. Derfor, i henhold til totalsannsynlighetsformelen, er sannsynligheten for at glass kjøpt ved et uhell i en butikk vil være defekt lik p = p 1
+ s 2
= 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Svar: 0,019. Hvis stormester A. spiller hvit, vinner han mot stormester B. med sannsynlighet 0,52. Hvis A. spiller svart, vinner A. mot B. med sannsynlighet 0,3. Stormestre A. og B. spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at A. vinner begge gangene. Løsning:
Muligheten for å vinne det første og andre spillet avhenger ikke av hverandre. Sannsynligheten for et produkt av uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter: p = 0,52 · 0,3 = 0,156. Svar: 0,156. En skiskytter skyter på mål fem ganger. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8. Finn sannsynligheten for at skiskytteren treffer målene de første tre gangene og bommer de to siste gangene. Avrund resultatet til hundredeler. Løsning:
Resultatet av hvert neste skudd avhenger ikke av de forrige. Derfor vil hendelsene "treffe på første skudd", "treffe på andre skudd", etc. uavhengig. Sannsynligheten for hvert treff er 0,8. Dette betyr at sannsynligheten for en glipp er 1 – 0,8 = 0,2. 1 skudd: 0,8 2 skudd: 0,8 3 skudd: 0,8 4 skudd: 0,2 5 skudd: 0,2 Ved å bruke formelen for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser, finner vi at den ønskede sannsynligheten er lik: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Svar: 0,02. Det er to betalingsautomater i butikken. Hver av dem kan være feil med sannsynlighet 0,05, uavhengig av den andre maskinen. Finn sannsynligheten for at minst én maskin fungerer. Løsning:
La oss finne sannsynligheten for at begge maskinene er defekte. Disse hendelsene er uavhengige, sannsynligheten for at de inntreffer er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,05 · 0,05 = 0,0025. En hendelse som består i at minst én maskin fungerer, det motsatte. Derfor er sannsynligheten lik 1 − 0,0025 = 0,9975.
Svar: 0,9975. Cowboy John har en sjanse på 0,9 til å treffe en flue på veggen hvis han avfyrer en nullstilt revolver. Hvis John avfyrer en uavfyrt revolver, treffer han flua med sannsynlighet 0,2. Det er 10 revolvere på bordet, bare 4 av dem er skutt. Cowboy John ser en flue på veggen, griper tilfeldig den første revolveren han kommer over og skyter fluen. Finn sannsynligheten for at John bommer. Løsning:
Sannsynligheten for at John vil bomme hvis han griper en nullstilt revolver er: 0,4 (1 − 0,9) = 0,04 Sannsynligheten for at John vil bomme hvis han griper en uavfyrt revolver er: 0,6 · (1 - 0,2) = 0,48 Disse hendelsene er inkompatible, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Svar: 0,52. Under artilleriskyting avfyrer det automatiske systemet et skudd mot målet. Hvis målet ikke blir ødelagt, skyter systemet et andre skudd. Skuddene gjentas til målet er ødelagt. Sannsynligheten for å ødelegge et bestemt mål med det første skuddet er 0,4, og for hvert påfølgende skudd er det 0,6. Hvor mange skudd vil kreves for å sikre at sannsynligheten for å ødelegge målet er minst 0,98? Løsning:
Du kan løse problemet "ved handling", og beregne sannsynligheten for å overleve etter en rekke påfølgende feil: P(1) = 0,6; P(2) = P(1) 0,4 = 0,24; P(3) = P(2) 0,4 = 0,096; P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Sistnevnte sannsynlighet er mindre enn 0,02, så fem skudd mot målet er nok. Svar: 5. Det er 26 personer i klassen, blant dem to tvillinger - Andrey og Sergey. Klassen er tilfeldig delt inn i to grupper på 13 personer hver. Finn sannsynligheten for at Andrey og Sergey vil være i samme gruppe. Løsning:
La en av tvillingene være i en gruppe. Sammen med ham i gruppen vil det være 12 personer fra de 25 gjenværende klassekameratene. Sannsynligheten for at den andre tvillingen vil være blant disse 12 personene er P = 12: 25 = 0,48. Svar: 0,48. Bildet viser en labyrint. Edderkoppen kryper inn i labyrinten ved inngangspunktet. Edderkoppen kan ikke snu og krype tilbake, så ved hver gren velger edderkoppen en av stiene som den ennå ikke har krøpet. Forutsatt at valget av den videre veien er rent tilfeldig, avgjør med hvilken sannsynlighet edderkoppen kommer til å gå ut av D. Løsning:
Ved hver av de fire merkede gaflene kan edderkoppen velge enten stien som fører til avkjørsel D eller en annen sti med sannsynlighet 0,5. Dette er uavhengige hendelser, sannsynligheten for at de inntreffer (edderkoppen når utgang D) er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene. Derfor er sannsynligheten for å ankomme avkjørsel D (0,5) 4
= 0,0625.
. Derfor, 
..gif" width="587" height="41">
. Nemlig, i hver celle i tabellen multipliserer vi de tilsvarende verdiene og , multipliserer resultatet med sannsynligheten pij, og summerer det hele over alle cellene i tabellen. Som et resultat får vi:
.
Eksempel 1. Det er 9 røde baller og 3 blå baller i kurven. Kulene er bare forskjellige i farge. Vi tar ut en av dem tilfeldig (uten å se). Hva er sannsynligheten for at ballen valgt på denne måten blir blå?
Hendelse A: "den valgte ballen viste seg å være blå"
Totalt antall av alle mulige utfall: 9+3=12 (antallet av alle kuler vi kunne trekke)
Antall gunstige utfall for hendelse A: 3 (antall slike utfall der hendelse A skjedde - det vil si antall blå kuler)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Svar: 0,25
Det totale antallet mulige utfall vil forbli det samme, 12. Antall gunstige utfall: 9. Sannsynlighet søkt: 9/12=3/4=0,75
Noen ganger i dagligtale (men ikke i sannsynlighetsteori!) estimeres sannsynligheten for hendelser i prosent. Overgangen mellom matematikk og samtalepoeng oppnås ved å multiplisere (eller dele) med 100 %.
Så,
Dessuten er sannsynligheten null for hendelser som ikke kan skje - utrolig. For eksempel, i vårt eksempel vil dette være sannsynligheten for å trekke en grønn ball fra kurven. (Antall gunstige utfall er 0, P(A)=0/12=0, hvis beregnet ved hjelp av formelen)
Sannsynlighet 1 har hendelser som er helt sikre på å skje, uten alternativer. For eksempel er sannsynligheten for at "den valgte ballen vil være enten rød eller blå" for vår oppgave. (Antall gunstige utfall: 12, P(A)=12/12=1)
I stedet for de røde og blå kulene kan det være epler og pærer, gutter og jenter, lærte og ulærde billetter, billetter som inneholder og ikke inneholder et spørsmål om et bestemt emne (prototyper,), defekte vesker av høy kvalitet eller hagepumper ( prototyper) - prinsippet forblir det samme.
Hva er de gunstige resultatene? – De der det viser seg at professoren skal tale den tredje dagen. Det vil si de siste 20 tallene.
I følge formelen er sannsynlighet P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Svar: 0,4
Gunstige resultater - fransk. 8 personer.
Nødvendig sannsynlighet: 8/16=1/2=0,5
Svar: 0,5
Det er 2 utfall - hode eller haler. (det antas at mynten aldri lander på kanten) Et gunstig resultat er haler, 1.
Sannsynlighet 1/2=0,5
Svar: 0,5.
Det viktigste er å finne ut hvilke elementære utfall vi vil vurdere når vi kaster to mynter. Etter å ha kastet to mynter, kan ett av følgende resultater oppstå:
1) PP – begge gangene kom det opp
2) PO – første gang hoder, andre gang hoder
3) OP – heads første gang, tails andre gang
4) OO – hoder kom opp begge gangene
Det er ingen andre alternativer. Dette betyr at det er 4 elementære utfall. Bare det første, 1, er gunstig.
Sannsynlighet: 1/4=0,25
Svar: 0,25
Antall elementære utfall er det samme, 4. Gunstige utfall er andre og tredje, 2.
Sannsynlighet for å få én hale: 2/4=0,5
Hvis under ett kast med en mynt mulige alternativer vi har 2 resultater, for to kast vil resultatene være 2 2 = 2 2 = 4 (som i eksempel 5), for tre kast 2 2 2 = 2 3 = 8, for fire: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... for N kast mulige resultater vil være 2·2·...·2=2 N .
Totalt antall elementære utfall: 2 5 =32.
Gunstige resultater: 1. (RRRRRR – header alle 5 ganger)
Sannsynlighet: 1/32=0,03125
Gunstig: 3 utfall. (2, 4, 6)
Sannsynlighet: 3/6=0,5
Hvilke utfall vil være gunstige for totalen til kast 10?
10 må dekomponeres i summen av to tall fra 1 til 6. Dette kan gjøres på to måter: 10=6+4 og 10=5+5. Dette betyr at følgende alternativer er mulige for kubene:
(6 på den første og 4 på den andre)
(4 på den første og 6 på den andre)
(5 på den første og 5 på den andre)
Totalt 3 alternativer. Nødvendig sannsynlighet: 3/36=1/12=0,08
Svar: 0,08
