KOMMUNAL UTDANNINGSINSTITUSJON

GYMNASIUM nr. 6

om emnet "Klassisk definisjon av sannsynlighet."

Fullført av en elev av klasse 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Matematikklærer: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Mange spill bruker terninger. Terningen har 6 sider, hver side har et forskjellig antall prikker markert på seg - fra 1 til 6. Spilleren kaster terningen og ser på hvor mange prikker det er på den droppede siden (på siden som er plassert på toppen) . Ganske ofte blir punktene på forsiden av kuben erstattet med det tilsvarende tallet og så snakker de om å kaste en 1, 2 eller 6. Å kaste en terning kan betraktes som et eksperiment, et eksperiment, en test, og resultatet er utfallet av en test eller en elementær begivenhet. Folk er interessert i å gjette forekomsten av denne eller den hendelsen og forutsi utfallet. Hvilke spådommer kan de komme med når de kaster terningen? For eksempel disse:

1. hendelse A—tallet 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 kastes;
2. hendelse B—tallet 7, 8 eller 9 kastes;
3. hendelse C—tallet 1 vises.

Hendelse A, forutsagt i det første tilfellet, vil definitivt inntreffe. Generelt kalles en hendelse som sikkert vil oppstå i en gitt opplevelse pålitelig hendelse.

Hendelse B, forutsagt i det andre tilfellet, vil aldri skje, det er rett og slett umulig. Generelt kalles en hendelse som ikke kan oppstå i en gitt opplevelse umulig hendelse.

Og vil hendelse C, forutsagt i det tredje tilfellet, inntreffe eller ikke skje? Vi er ikke i stand til å svare på dette spørsmålet med full sikkerhet, siden 1 kan falle ut eller ikke. En hendelse som kanskje eller ikke kan oppstå i en gitt opplevelse kalles tilfeldig hendelse.

Når vi tenker på forekomsten av en pålitelig hendelse, vil vi mest sannsynlig ikke bruke ordet "sannsynligvis". For eksempel, hvis i dag er onsdag, så er det torsdag i morgen, dette er en pålitelig begivenhet. På onsdag vil vi ikke si: "Sannsynligvis er det torsdag i morgen," vi vil si kort og tydelig: "I morgen er det torsdag." Riktignok, hvis vi er tilbøyelige til vakre fraser, kan vi si dette: "Med hundre prosent sannsynlighet sier jeg at i morgen er det torsdag." Tvert imot, hvis i dag er onsdag, så er begynnelsen av fredag ​​i morgen en umulig hendelse. Ved å vurdere denne begivenheten på onsdag kan vi si dette: "Jeg er sikker på at i morgen ikke er fredag." Eller dette: "Det er utrolig at det er fredag ​​i morgen." Vel, hvis vi er utsatt for vakre fraser, kan vi si dette: "Sannsynligheten for at i morgen er fredag ​​er null." Så en pålitelig hendelse er en hendelse som skjer under gitte forhold med hundre prosent sannsynlighet(dvs. forekommer i 10 tilfeller av 10, i 100 tilfeller av 100 osv.). En umulig hendelse er en hendelse som aldri inntreffer under gitte forhold, en hendelse med null sannsynlighet.

Men dessverre (og kanskje heldigvis), er ikke alt i livet så klart og presist: det vil alltid være (viss hendelse), det vil aldri være (umulig hendelse). Oftest står vi overfor tilfeldige hendelser, hvorav noen er mer sannsynlige, andre mindre sannsynlige. Vanligvis bruker folk ordene "mer sannsynlig" eller "mindre sannsynlig", som de sier, på et innfall, og stoler på det som kalles sunn fornuft. Men veldig ofte viser slike estimater seg å være utilstrekkelige, siden det er viktig å vite hvor lenge prosent sannsynligvis en tilfeldig hendelse eller hvor mange ganger en tilfeldig hendelse er mer sannsynlig enn en annen. Med andre ord, vi trenger nøyaktig kvantitativ egenskaper, må du kunne karakterisere sannsynlighet med et tall.

Vi har allerede tatt de første skritt i denne retningen. Vi sa at sannsynligheten for at en viss hendelse inntreffer karakteriseres som ett hundre prosent, og sannsynligheten for at en umulig hendelse inntreffer er som null. Gitt at 100 % tilsvarer 1, ble folk enige om følgende:

1. sannsynligheten for en pålitelig hendelse anses som lik 1;
2. sannsynligheten for en umulig hendelse anses som lik 0.

Hvordan beregne sannsynligheten for en tilfeldig hendelse? Tross alt skjedde det ved et uhell, som betyr at den ikke overholder lover, algoritmer eller formler. Det viser seg at i tilfeldighetens verden gjelder visse lover som lar en beregne sannsynligheter. Dette er grenen av matematikk som kalles - sannsynlighetsteori.

Matematikk omhandler modell et eller annet fenomen av virkeligheten rundt oss. Av alle modellene som brukes i sannsynlighetsteori, vil vi begrense oss til de enkleste.

Klassisk sannsynlighetsskjema

For å finne sannsynligheten for hendelse A når du utfører et eksperiment, bør du:

1) finn tallet N av alle mulige utfall av dette eksperimentet;

2) akseptere antagelsen om lik sannsynlighet (lik mulighet) for alle disse utfallene;

3) finn antallet N(A) av de eksperimentelle resultatene der hendelse A inntreffer;

4) finne kvotienten ; det vil være lik sannsynligheten for hendelse A.

Det er vanlig å betegne sannsynligheten for hendelse A: P(A). Forklaringen på denne betegnelsen er veldig enkel: ordet "sannsynlighet" på fransk er sannsynlighet, på engelsk- sannsynlighet.Betegnelsen bruker den første bokstaven i ordet.

Ved å bruke denne notasjonen kan sannsynligheten for hendelse A i henhold til det klassiske skjemaet bli funnet ved å bruke formelen

P(A)=.

Ofte er alle punktene i det ovennevnte klassiske sannsynlighetsskjemaet uttrykt i en ganske lang setning.

Klassisk definisjon av sannsynlighet

Sannsynligheten for hendelse A under en bestemt test er forholdet mellom antall utfall som følge av hvilken hendelse A inntreffer og det totale antallet av alle like mulige utfall av denne testen.

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for at med ett kast av en terning vil resultatet være: a) 4; b) 5; c) et partall poeng; d) antall poeng større enn 4; e) antall poeng ikke delelig med tre.

Løsning. Totalt er det N=6 mulige utfall: å falle ut av en kubeflate med et antall poeng lik 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi mener at ingen av dem har noen fordeler fremfor de andre, dvs. vi akseptere antakelsen om at likesannsynligheten for disse resultatene.

a) I nøyaktig ett av utfallene vil hendelsen vi er interessert i, A, inntreffe – tallet 4 vil dukke opp. Dette betyr at N(A)=1 og

P(EN)= =.

b) Løsningen og svaret er de samme som i forrige avsnitt.

c) Hendelsen B vi er interessert i vil inntreffe i nøyaktig tre tilfeller når antall poeng er 2, 4 eller 6. Dette betyr

N(B)=3 ogP(B)==.

d) Hendelsen C vi er interessert i vil inntreffe i nøyaktig to tilfeller når antall poeng er 5 eller 6. Dette betyr

N(C) =2 og Р(С)=.

e) Av de seks mulige tallene som trekkes, er fire (1, 2, 4 og 5) ikke et multiplum av tre, og de resterende to (3 og 6) er delelige med tre. Dette betyr at hendelsen av interesse for oss inntreffer i nøyaktig fire av seks mulige og like sannsynlige og like sannsynlige utfall av eksperimentet. Derfor viser svaret seg å være .

Svar: a) ; b) ; V); G); d).

En ekte terning kan godt avvike fra en ideell (modell) terning, derfor, for å beskrive dens oppførsel, kreves det en mer nøyaktig og detaljert modell, som tar hensyn til fordelene med ett ansikt fremfor et annet, mulig tilstedeværelse av magneter, etc. Men "djevelen er i detaljene," og mer nøyaktighet har en tendens til å føre til større kompleksitet, og å få svar blir et problem. Vi begrenser oss til å vurdere den enkleste probabilistiske modellen, der alle mulige utfall er like sannsynlige.

Merknad 1. La oss se på et annet eksempel. Spørsmålet ble stilt: "Hva er sannsynligheten for å få tre på én terningkast?" Studenten svarte: "Sannsynligheten er 0,5." Og han forklarte svaret sitt: «Enten vil tre komme opp eller ikke. Dette betyr at det er to utfall totalt, og i nøyaktig ett av dem inntreffer hendelsen av interesse for oss. Ved å bruke det klassiske sannsynlighetsskjemaet får vi svaret 0,5." Er det feil i dette resonnementet? Ved første øyekast, nei. Imidlertid eksisterer den fortsatt, og på en grunnleggende måte. Ja, faktisk, en treer vil enten komme opp eller ikke, dvs. med denne definisjonen av utfallet av kastet N=2. Det er også sant at N(A) = 1 og selvfølgelig er det sant at =0,5, dvs. tre punkter av sannsynlighetsskjemaet er tatt i betraktning, men oppfyllelsen av punkt 2) er i tvil. Selvfølgelig, fra et rent juridisk synspunkt, har vi rett til å tro at det er like sannsynlig at det ikke faller en treer. Men kan vi tenke det uten å krenke våre egne naturlige forutsetninger om "likheten" i kantene? Selvfølgelig ikke! Her har vi å gjøre med korrekt resonnement innenfor en bestemt modell. Men denne modellen i seg selv er "feil", og svarer ikke til det virkelige fenomenet.

Notat 2. Når du diskuterer sannsynlighet, må du ikke miste av syne følgende viktige forhold. Hvis vi sier at når du kaster en terning er sannsynligheten for å få ett poeng lik ganger, vil du få ett poeng nøyaktig tre ganger osv. Ordet er sannsynligvis spekulativt. Vi antar hva som mest sannsynlig vil skje. Sannsynligvis hvis vi kaster terningen 600 ganger, vil ett poeng komme opp 100 ganger, eller omtrent 100.

Sannsynsteorien oppsto på 1600-tallet da man analyserte ulike sjansespill. Det er derfor ikke overraskende at de første eksemplene er av leken karakter. Fra eksempler med terninger, la oss gå videre til å trekke spillekort tilfeldig fra en kortstokk.

Eksempel 2. Fra en kortstokk på 36 kort trekkes 3 kort tilfeldig samtidig. Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen spardame blant dem?

Løsning. Vi har et sett med 36 elementer. Vi velger tre elementer, hvor rekkefølgen ikke er viktig. Dette betyr at det er mulig å oppnå N=C-utfall. Vi vil handle i henhold til det klassiske sannsynlighetsskjemaet, dvs. vi vil anta at alle disse utfallene er like sannsynlige.

Det gjenstår å beregne den nødvendige sannsynligheten i henhold til den klassiske definisjonen:

Hva er sannsynligheten for at det blant de valgte tre kortene er en spardame? Antallet av alle slike utfall er ikke vanskelig å beregne; du trenger bare å trekke fra alle utfall N alle de utfallene der det ikke er spardame, dvs. trekke fra tallet N(A) i eksempel 3. Så, i samsvar med det klassiske sannsynlighetsskjemaet, skal denne forskjellen N-N(A) deles på N. Dette er hva vi får:

Vi ser at det er en viss sammenheng mellom sannsynlighetene for to hendelser. Hvis hendelse A er fraværet av spardamen, og hendelse B er dens tilstedeværelse blant de tre valgte kortene,

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Dessverre er det i likheten P(A)+P(B)=1 ingen informasjon om sammenhengen mellom hendelser A og B; vi må huske på denne sammenhengen. Det ville være mer hensiktsmessig å gi hendelse B et navn og en betegnelse på forhånd som tydelig indikerer dens forbindelse med A.

Definisjon 1. Hendelse B kalt i motsetning til hendelse A og angi B=Ā hvis hendelse B inntreffer hvis og bare hvis hendelse A ikke inntreffer.

TTeorem 1. For å finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen trekker du sannsynligheten for selve hendelsen fra enhet: P(Ā)= 1—P(A). Faktisk,

I praksis regner de ut hva som er lettere å finne: enten P(A) eller P(Ā). Etter dette bruker du formelen fra teoremet og finner henholdsvis enten P(Ā) = 1 - P(A), eller P(A) = 1 - P(Ā).

Metoden for å løse et bestemt problem brukes ofte av "oppregning av tilfeller", når betingelsene for problemet er delt inn i gjensidig utelukkende tilfeller, som hver vurderes separat. For eksempel, "hvis du går til høyre, vil du miste hesten din, hvis du går rett, vil du løse et problem i sannsynlighetsteori, hvis du går til venstre, ...." Eller når du konstruerer en graf for funksjonen y=│x+1│—│2x—5│vurder tilfeller x

Eksempel 3. Av de 50 poengene er 17 farget blå og 13 er farget oransje. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt punkt blir skyggelagt.

Løsning. Totalt 30 poeng av 50 er skravert. Dette betyr at sannsynligheten er = 0,6.

Svar: 0,6.

La oss imidlertid se nærmere på dette enkle eksemplet. La hendelse A være at det valgte punktet er blått, og hendelse B være at det valgte punktet er oransje. Etter betingelse kan ikke hendelser A og B oppstå samtidig.

La oss angi hendelsen av interesse for oss med bokstaven C. Hendelse C oppstår hvis og bare hvis den inntreffer minst en av hendelsene A eller B. Det er klart at N(C)= N(A)+N(B).

La oss dele begge sider av denne likheten med N – antallet av alle mulige utfall av dette eksperimentet; vi får

Ved å bruke et enkelt eksempel analyserte vi en viktig og ofte oppstått situasjon. Det er et spesielt navn på den.

Definisjon 2. Hendelser A og B kalles uforenlig, hvis de ikke kan forekomme samtidig.

Teorem 2. Sannsynligheten for forekomsten av minst én av to uforenlige hendelser er lik summen av deres sannsynligheter.

Når du oversetter dette teoremet til matematisk språk, er det behov for på en eller annen måte å navngi og betegne en hendelse som består av forekomsten av minst én av to gitte hendelser A og B. En slik hendelse kalles summen av hendelser A og B og betegnes A + B.

Hvis A og B er inkompatible, så er P(A+B)= P(A)+P(B).

Faktisk,

Det er praktisk å illustrere inkompatibiliteten til hendelser A og B med en tegning. Hvis alle utfallene av eksperimentet er et visst sett med punkter i figuren, så er hendelsene A og B noen delmengder av et gitt sett. Inkompatibiliteten til A og B betyr at disse to delmengdene ikke krysser hverandre. Et typisk eksempel på inkompatible hendelser er enhver hendelse A og den motsatte hendelsen Â.

Selvfølgelig er dette teoremet sant for tre, fire og et hvilket som helst begrenset antall parvise inkompatible hendelser. Sannsynligheten for summen av et hvilket som helst antall parvise inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Denne viktige uttalelsen tilsvarer nøyaktig metoden "sak til sak" for å løse problemer.

Det kan være noen sammenhenger, avhengigheter, forbindelser osv. mellom hendelser som oppstår som et resultat av en eller annen erfaring og mellom sannsynlighetene for disse hendelsene. For eksempel kan hendelser "legges til", og sannsynligheten for summen av inkompatible hendelser er lik til summen av sannsynlighetene deres.

Avslutningsvis, la oss diskutere følgende grunnleggende spørsmål: er det mulig bevise at sannsynligheten for å få hoder i ett myntkast er

Svaret er negativt. Generelt sett er ikke spørsmålet i seg selv korrekt. Tross alt beviser vi alltid noe innenfor en viss modeller, der reglene, lovene, aksiomer, formler, teoremer osv. allerede er kjent. Hvis vi snakker om en imaginær, "ideell" mynt, anses den som ideell fordi, a-priory, er sannsynligheten for å få "haler" lik sannsynligheten for å få "hoder". Og i prinsippet kan vi vurdere en modell der sannsynligheten for å falle "haler" er to ganger større enn sannsynligheten for å falle "hoder" eller tre ganger mindre osv. Da oppstår spørsmålet: av hvilken grunn velger vi fra ulike mulige myntkastmodeller der begge utfallene av kastet er like sannsynlige?

Det veldig enkle svaret er: "Men det er enklere, klarere og mer naturlig for oss!" Men det er også mer materielle argumenter. De kommer fra praksis. Det overveldende flertallet av lærebøker om sannsynlighetsteori gir eksempler på den franske naturforskeren J. Buffon (1700-tallet) og den engelske matematikeren og statistikeren K. Pearson (slutten av 1800-tallet), som kastet en mynt henholdsvis 4040 og 24000 ganger, og telte antall hoder som kom opp " eller "haler". De landet hoder henholdsvis 1992 og 11998 ganger. Hvis du teller tapsfrekvens"haler", så viser det seg = = 0,493069... for Buffon og = 0,4995 for Pearson. Naturlig oppstår antagelse, at med en ubegrenset økning i antall myntkast, vil frekvensen av "haler" som faller ut, samt frekvensen av "hoder" som faller ut, nærme seg 0,5 mer og mer. Det er denne antakelsen, basert på praktiske data, som er grunnlaget for å velge en modell med like sannsynlige utfall.

Nå kan vi oppsummere. Grunnleggende konsept— sannsynligheten for en tilfeldig hendelse, som er beregnet innenfor den enkleste modellen— klassisk sannsynlighetsskjema. Konseptet er viktig både i teorien og i praksis motsatt hendelse og formelen P(Ā)= 1—P(A) for å finne sannsynligheten for en slik hendelse.

Endelig møttes vi uforenlige hendelser og med formler.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

slik at du kan finne sannsynligheter beløp slike hendelser.

Bibliografi

1.Hendelser. Sannsynligheter. Statistisk databehandling: Tillegg. avsnitt for algebrakurset 7-9 karakterer. utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 4. utgave - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 s.: ill.

2. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Algebra. Elementer av statistikk og sannsynlighetsteori." - Moskva, "Prosveshchenie", 2006.

Klassisk definisjon av sannsynlighet.

Som nevnt ovenfor, med et stort antall n testfrekvens P*(A)=m/ n forekomst av en hendelse EN er stabil og gir en omtrentlig verdi av sannsynligheten for en hendelse EN , dvs. .

Denne omstendigheten lar oss finne den omtrentlige sannsynligheten for en hendelse eksperimentelt. I praksis er denne metoden for å finne sannsynligheten for en hendelse ikke alltid praktisk. Tross alt må vi på forhånd vite sannsynligheten for en hendelse, selv før eksperimentet. Dette er vitenskapens heuristiske, prediktive rolle. I en rekke tilfeller kan sannsynligheten for en hendelse bestemmes før eksperimentering ved å bruke konseptet likesannsynlighet for hendelser (eller ekvipossibilitet).

De to hendelsene kalles like sannsynlig (eller like mulig ), hvis det ikke er objektive grunner til å tro at en av dem kan forekomme oftere enn den andre.

Så, for eksempel, utseendet til et våpenskjold eller en inskripsjon når du kaster en mynt er like sannsynlige hendelser.

La oss se på et annet eksempel. La dem kaste terningene. På grunn av symmetrien til kuben, kan vi anta at utseendet til noen av tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 like mulig (like sannsynlig).

arrangementer i dette eksperimentet danner de hel gruppe , hvis minst én av dem skulle oppstå som et resultat av eksperimentet. Så i det siste eksemplet består den komplette gruppen av hendelser av seks hendelser - utseendet til tall 1, 2, 3, 4, 5 Og 6.

Selvfølgelig, enhver hendelse EN og dens motsatte hendelse utgjør en komplett gruppe.

Begivenhet B kalt gunstig begivenhet EN , hvis forekomsten av en hendelse B innebærer at en hendelse inntreffer EN . Så hvis EN - utseendet til et partall poeng når du kaster en terning, deretter utseendet til tallet 4 representerer en begivenhet som favoriserer en begivenhet EN.

La hendelser i dette eksperimentet danne en komplett gruppe av like sannsynlige og parvise uforenlige hendelser. La oss ringe dem utfall tester. La oss anta at hendelsen EN favoriserer prøveresultater. Deretter sannsynligheten for hendelsen EN i dette eksperimentet kalles holdning. Så vi kommer til følgende definisjon.

Sannsynligheten P(A) for en hendelse i et gitt eksperiment er forholdet mellom antall eksperimentelle utfall som er gunstige for hendelse A og det totale antallet mulige eksperimentelle utfall som danner en komplett gruppe av like sannsynlige parvise inkompatible hendelser: .

Denne definisjonen av sannsynlighet kalles ofte klassisk. Det kan vises at den klassiske definisjonen tilfredsstiller sannsynlighetsaksiomene.

Eksempel 1.1. Et parti fra 1000 lagre. Jeg kom inn i denne gruppen ved et uhell 30 lagre som ikke oppfyller standarden. Bestem sannsynlighet P(A) at en tilfeldig peiling vil vise seg å være standard.

Løsning: Antall standard lagre er 1000-30=970 . Vi vil anta at hvert lager har samme sannsynlighet for å bli valgt. Da består hele gruppen av hendelser av like sannsynlige utfall, hvorav hendelsen EN favorisere resultater. Derfor .

Eksempel 1.2. I urnen 10 baller: 3 hvit og 7 svart. To kuler tas fra urnen på en gang. Hva er sannsynligheten R at begge kulene viser seg å være hvite?

Løsning: Antallet av alle like sannsynlige testresultater er lik antall måter som 10 ta ut to kuler, dvs. antall kombinasjoner fra 10 elementer av 2 (full arrangementsgruppe):

Antall gunstige utfall (på hvor mange måter kan man velge mellom 3 velge baller 2) : . Derfor den nødvendige sannsynligheten .

Ser vi fremover kan dette problemet løses på en annen måte.

Løsning: Sannsynligheten for at en hvit ball vil bli trukket ved den første prøven (å trekke ut en ball) er lik (totalt baller 10 , av dem 3 hvit). Sannsynligheten for at den hvite ballen i løpet av den andre prøven vil bli trukket igjen er lik (totalt antall baller er nå 9, fordi de tok en ut, den ble hvit 2, fordi De tok ut den hvite). Følgelig er sannsynligheten for å kombinere hendelser lik produktet av deres sannsynligheter, dvs. .

Eksempel 1.3. I urnen 2 grønn, 7 rød, 5 brun og 10 hvite kuler. Hva er sannsynligheten for at en farget ball dukker opp?

Løsning: Vi finner henholdsvis sannsynlighetene for utseendet til grønne, røde og brune kuler: ; ; . Siden hendelsene som vurderes åpenbart er uforenlige, finner vi, ved å bruke addisjonsaksiomet, sannsynligheten for utseendet til en farget ball:

Eller på en annen måte. Sannsynligheten for at en hvit ball dukker opp er . Da er sannsynligheten for utseendet til en ikke-hvit ball (dvs. farget), dvs. sannsynligheten for den motsatte hendelsen er lik .

Geometrisk definisjon av sannsynlighet. For å overvinne ulempen med den klassiske definisjonen av sannsynlighet (den er ikke aktuelt for tester med et uendelig antall utfall), introduseres en geometrisk definisjon av sannsynlighet - sannsynligheten for at et punkt faller inn i en region (segment, del av et plan, etc.).

La segmentet være en del av segmentet. Et punkt er plassert tilfeldig på et segment, noe som betyr at følgende forutsetninger er oppfylt: det plasserte punktet kan være på et hvilket som helst punkt på segmentet, sannsynligheten for at et punkt faller på segmentet er proporsjonal med lengden på dette segmentet og ikke avhenger av plasseringen i forhold til segmentet. Under disse forutsetningene bestemmes sannsynligheten for at et punkt faller på et segment av likheten

Klassisk og statistisk definisjon av sannsynlighet

For praktiske aktiviteter er det nødvendig å kunne sammenligne hendelser i henhold til graden av mulighet for at de inntreffer. La oss vurdere en klassisk sak. Det er 10 kuler i urnen, 8 av dem er hvite, 2 er svarte. Det er klart at hendelsen "en hvit ball vil bli trukket fra urnen" og begivenheten "en svart ball vil bli trukket fra urnen" har forskjellige grader av mulighet for at de inntreffer. Derfor, for å sammenligne hendelser, er det nødvendig med et visst kvantitativt mål.

Et kvantitativt mål på muligheten for at en hendelse skal inntreffe er sannsynlighet . De mest brukte definisjonene av sannsynligheten for en hendelse er klassiske og statistiske.

Klassisk definisjon sannsynlighet er assosiert med konseptet om et gunstig resultat. La oss se på dette mer detaljert.

La utfallet av en test danne en komplett gruppe av hendelser og er like mulige, dvs. unikt mulig, uforenlig og like mulig. Slike utfall kalles elementære resultater, eller saker. Det sies at testen koker ned til saksordning eller " urneordning", fordi Ethvert sannsynlighetsproblem for en slik test kan erstattes av et tilsvarende problem med urner og kuler i forskjellige farger.

Utfallet kalles gunstig begivenhet EN, hvis forekomsten av denne saken medfører at hendelsen inntreffer EN.

Etter den klassiske definisjonen sannsynlighet for hendelse A er lik forholdet mellom antall utfall som er gunstige for denne hendelsen og det totale antallet utfall, dvs.

,

(1.1)

Hvor P(A)– sannsynlighet for hendelse EN; m– antall saker som er gunstige for arrangementet EN; n– totalt antall saker.

Eksempel 1.1. Når du kaster en terning, er det seks mulige utfall: 1, 2, 3, 4, 5, 6 poeng. Hva er sannsynligheten for å få et partall poeng?

Løsning. Alle n= 6 utfall utgjør en komplett gruppe av hendelser og er like mulige, dvs. unikt mulig, uforenlig og like mulig. Hendelse A - "utseendet til et jevnt antall poeng" - favoriseres av 3 utfall (tilfeller) - tap av 2, 4 eller 6 poeng. Ved å bruke den klassiske formelen for sannsynligheten for en hendelse får vi

P(A) = = . ◄

Basert på den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse, noterer vi dens egenskaper:

1. Sannsynligheten for enhver hendelse ligger mellom null og én, dvs.

0 ≤ R(EN) ≤ 1.

2. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

3. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Som det ble sagt tidligere, er den klassiske definisjonen av sannsynlighet kun anvendelig for de hendelsene som kan oppstå som et resultat av tester som har symmetri av mulige utfall, dvs. reduserbar til et mønster av saker. Imidlertid er det en stor klasse av hendelser hvis sannsynligheter ikke kan beregnes ved å bruke den klassiske definisjonen.

For eksempel, hvis vi antar at mynten er flatet ut, er det åpenbart at hendelsene "utseendet til et våpenskjold" og "utseendet til hodet" ikke kan anses som like mulige. Derfor er formelen for å bestemme sannsynligheten i henhold til den klassiske ordningen ikke aktuelt i dette tilfellet.

Det er imidlertid en annen tilnærming til å estimere sannsynligheten for hendelser, basert på hvor ofte en gitt hendelse vil inntreffe i forsøkene som utføres. I dette tilfellet brukes den statistiske definisjonen av sannsynlighet.

Statistisk sannsynlighethendelse A er den relative frekvensen (frekvensen) for forekomsten av denne hendelsen i n utførte forsøk, dvs.

,

(1.2)

Hvor P*(A)– statistisk sannsynlighet for en hendelse EN; w(A)– relativ hyppighet av hendelsen EN; m– antall forsøk der hendelsen fant sted EN; n– totalt antall prøver.

I motsetning til matematisk sannsynlighet P(A), vurdert i den klassiske definisjonen, statistisk sannsynlighet P*(A) er en egenskap opplevde, eksperimentell. Med andre ord, den statistiske sannsynligheten for en hendelse EN er tallet som den relative frekvensen er stabilisert rundt (sett) w(A) med en ubegrenset økning i antall tester utført under samme sett med betingelser.

For eksempel, når de sier om en skytter at han treffer målet med en sannsynlighet på 0,95, betyr dette at av hundrevis av skudd avfyrt av ham under visse forhold (samme skive på samme avstand, samme rifle, etc. . ), i gjennomsnitt er det omtrent 95 vellykkede. Naturligvis vil ikke hvert hundre ha 95 vellykkede skudd, noen ganger vil det være færre, noen ganger flere, men i gjennomsnitt, når skyting gjentas mange ganger under de samme forholdene, vil denne prosentandelen av treff forbli uendret. Tallet 0,95, som fungerer som en indikator på skytterens ferdigheter, er vanligvis veldig stabil, dvs. Prosentandelen av treff i de fleste skytinger vil være nesten den samme for en gitt skytter, bare i sjeldne tilfeller vil den avvike betydelig fra gjennomsnittsverdien.

En annen ulempe med den klassiske definisjonen av sannsynlighet ( 1.1 ) som begrenser bruken er at den antar et begrenset antall mulige testresultater. I noen tilfeller kan denne ulempen overvinnes ved å bruke en geometrisk definisjon av sannsynlighet, dvs. finne sannsynligheten for at et punkt faller inn i et bestemt område (segment, del av et plan osv.).

La den flate figuren g utgjør en del av en flat figur G(Fig. 1.1). Passe G en prikk kastes tilfeldig. Dette betyr at alle punkter i regionen G«like rettigheter» med hensyn til om et kastet tilfeldig punkt treffer det. Forutsatt at sannsynligheten for en hendelse EN– det kastede punktet treffer figuren g– er proporsjonal med arealet til denne figuren og er ikke avhengig av plasseringen i forhold til G, verken fra skjemaet g, finner vi

Problemer med den klassiske sannsynlighetsbestemmelsen.
Eksempler på løsninger

I den tredje leksjonen skal vi se på ulike problemer som involverer direkte anvendelse av den klassiske definisjonen av sannsynlighet. For å effektivt studere materialene i denne artikkelen, anbefaler jeg at du gjør deg kjent med de grunnleggende konseptene sannsynlighetsteori Og grunnleggende kombinatorikk. Oppgaven med å klassisk bestemme sannsynlighet med en sannsynlighet mot en vil være til stede i ditt uavhengige/kontrollarbeid på terver, så la oss gjøre oss klare for seriøst arbeid. Du kan spørre, hva er så alvorlig med dette? ...bare en primitiv formel. Jeg advarer deg mot lettsindighet - tematiske oppgaver er ganske forskjellige, og mange av dem kan lett forvirre deg. I denne forbindelse, i tillegg til å jobbe gjennom hovedleksjonen, prøv å studere tilleggsoppgaver om emnet som er i sparegrisen ferdige løsninger for høyere matematikk. Løsningsteknikker er løsningsteknikker, men "venner" må fortsatt "kjennes av synet", fordi selv en rik fantasi er begrenset, og det er også nok standardoppgaver. Vel, jeg skal prøve å sortere ut så mange av dem som mulig i god kvalitet.

La oss huske klassikerne i sjangeren:

Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i en bestemt test er lik forholdet , hvor:

– totalt antall av alle like mulig, elementært resultater av denne testen, som danner hele gruppen av arrangementer;

- mengde elementært gunstige resultater for arrangementet.

Og umiddelbart en umiddelbar pit-stopp. Forstår du de understrekede begrepene? Dette betyr klar, ikke intuitiv forståelse. Hvis ikke, er det fortsatt bedre å gå tilbake til den første artikkelen om sannsynlighetsteori og bare etter det gå videre.

Ikke hopp over de første eksemplene - i dem vil jeg gjenta et grunnleggende viktig punkt, og også fortelle deg hvordan du formaterer en løsning riktig og på hvilke måter dette kan gjøres:

Oppgave 1

En urne inneholder 15 hvite, 5 røde og 10 sorte kuler. 1 kule trekkes tilfeldig, finn sannsynligheten for at den blir: a) hvit, b) rød, c) svart.

Løsning: Den viktigste forutsetningen for å bruke den klassiske definisjonen av sannsynlighet er evne til å telle totalt antall utfall.

Det er totalt 15 + 5 + 10 = 30 kuler i urnen, og åpenbart er følgende fakta sanne:

– Å hente hvilken som helst ball er like mulig (like muligheter utfall), mens resultatene elementært og form hele gruppen av arrangementer (dvs. som et resultat av testen, vil en av de 30 ballene definitivt bli fjernet).

Dermed er det totale antallet utfall:

Tenk på hendelsen: – en hvit ball vil bli trukket fra urnen. Denne begivenheten er foretrukket elementært utfall, derfor i henhold til den klassiske definisjonen:
– sannsynligheten for at en hvit kule vil bli trukket fra urnen.

Merkelig nok, selv i en så enkel oppgave kan man gjøre en alvorlig unøyaktighet, som jeg allerede fokuserte på i den første artikkelen om sannsynlighetsteori. Hvor er fallgruven her? Det er feil å hevde det her "siden halve ballene er hvite, er sannsynligheten for å tegne en hvit ball» . Den klassiske definisjonen av sannsynlighet refererer til ELEMENTARY utfall, og brøken må skrives ned!

Med andre punkter bør du vurdere følgende hendelser:

– en rød ball vil bli trukket fra urnen;
– en svart ball vil bli trukket fra urnen.

En begivenhet favoriseres av 5 elementære utfall, og en begivenhet favoriseres av 10 elementære utfall. Så de tilsvarende sannsynlighetene er:

En typisk sjekk av mange serveroppgaver utføres vha teoremer om summen av sannsynligheter for hendelser som danner en komplett gruppe. I vårt tilfelle utgjør hendelsene en komplett gruppe, noe som betyr at summen av de tilsvarende sannsynlighetene nødvendigvis må være lik én: .

La oss sjekke om dette stemmer: det var det jeg ville forsikre meg om.

Svar:

I prinsippet kan svaret skrives ned mer detaljert, men personlig er jeg vant til å bare sette tall der - av den grunn at når du begynner å "stemple ut" problemer i hundrevis og tusenvis, prøver du å redusere skrivingen av løsningen så mye som mulig. Forresten, om korthet: i praksis er "høyhastighets" designalternativet vanlig løsninger:

Totalt: 15 + 5 + 10 = 30 kuler i urnen. I følge den klassiske definisjonen:
– sannsynligheten for at en hvit ball vil bli trukket fra urnen;
– sannsynligheten for at en rød ball vil bli trukket fra urnen;
– sannsynligheten for at en svart kule vil bli trukket fra urnen.

Svar:

Men hvis det er flere punkter i tilstanden, er det ofte mer praktisk å formulere løsningen på den første måten, som tar litt mer tid, men samtidig "legger alt ut i hyllene" og gjør det lettere for å navigere i problemet.

La oss varme opp:

Oppgave 2

Butikken mottok 30 kjøleskap, hvorav fem har en produksjonsfeil. Ett kjøleskap velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den blir feilfri?

Velg riktig designalternativ og sjekk prøven nederst på siden.

I de enkleste eksemplene ligger antall vanlige og antall gunstige utfall på overflaten, men i de fleste tilfeller må du grave opp potetene selv. En kanonisk serie med problemer om en glemsom abonnent:

Oppgave 3

Når du ringer et telefonnummer, glemte abonnenten de to siste sifrene, men husker at ett av dem er null og det andre er oddetall. Finn sannsynligheten for at han slår riktig nummer.

Merk : null er et partall (delelig med 2 uten en rest)

Løsning: Først finner vi det totale antallet utfall. Ved betingelse husker abonnenten at ett av sifrene er null, og det andre sifferet er oddetall. Her er det mer rasjonelt å ikke være vanskelig med kombinatorikk og bruk metode for direkte liste over utfall . Det vil si at når vi lager en løsning, skriver vi ganske enkelt ned alle kombinasjonene:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Og vi teller dem - totalt: 10 utfall.

Det er bare ett gunstig resultat: det riktige tallet.

I følge den klassiske definisjonen:
– sannsynlighet for at abonnenten slår riktig nummer

Svar: 0,1

Desimalbrøker ser ganske passende ut i sannsynlighetsteori, men du kan også følge den tradisjonelle Vyshmatov-stilen, som bare opererer med vanlige brøker.

Avansert oppgave for uavhengig løsning:

Oppgave 4

Abonnenten har glemt PIN-koden til SIM-kortet sitt, men husker at det inneholder tre "femere", og ett av tallene er enten en "syv" eller en "åtte". Hva er sannsynligheten for vellykket autorisasjon ved første forsøk?

Her kan du også utvikle ideen om sannsynligheten for at abonnenten vil møte straff i form av en puk-kode, men dessverre vil resonnementet allerede gå utover omfanget av denne leksjonen

Løsningen og svaret er nedenfor.

Noen ganger viser kombinasjoner seg å være en veldig møysommelig oppgave. Spesielt er dette tilfellet i den neste, ikke mindre populære problemgruppen, der 2 terninger kastes (sjeldnere - større mengder):

Oppgave 5

Finn sannsynligheten for at når du kaster to terninger vil det totale antallet være:

a) fem poeng;
b) ikke mer enn fire poeng;
c) fra 3 til 9 poeng inkludert.

Løsning: finn det totale antallet utfall:

Måter siden av den første terningen kan falle ut Og på forskjellige måter kan siden av den andre kuben falle ut; Av regel for å multiplisere kombinasjoner, Total: mulige kombinasjoner. Med andre ord, Hver ansiktet til 1. kuben kan være bestilt et par med hver kanten av 2. terning. La oss bli enige om å skrive et slikt par i formen , hvor er tallet kastet på den 1. terningen, er tallet kastet på den andre terningen. For eksempel:

– den første terningen fikk 3 poeng, den andre terningen fikk 5 poeng, totalt poeng: 3 + 5 = 8;
– den første terningen fikk 6 poeng, den andre terningen fikk 1 poeng, totalt poeng: 6 + 1 = 7;
– 2 poeng kastet på begge terningene, sum: 2 + 2 = 4.

Det minste beløpet er åpenbart gitt av et par, og det største av to "seksere".

a) Tenk på hendelsen: – når du kaster to terninger, vises 5 poeng. La oss skrive ned og telle antall utfall som favoriserer denne hendelsen:

Totalt: 4 gunstige utfall. I følge den klassiske definisjonen:
– ønsket sannsynlighet.

b) Vurder hendelsen: – ikke mer enn 4 poeng vil bli kastet. Det vil si enten 2, eller 3 eller 4 poeng. Igjen lister og teller vi de gunstige kombinasjonene, til venstre vil jeg skrive ned det totale antallet poeng, og etter kolon - de passende parene:

Totalt: 6 gunstige kombinasjoner. Dermed:
– sannsynligheten for at ikke mer enn 4 poeng blir kastet.

c) Vurder hendelsen: – 3 til 9 poeng vil rulle, inkludert. Her kan du ta den rette veien, men... av en eller annen grunn vil du ikke det. Ja, noen par er allerede oppført i de forrige avsnittene, men det gjenstår fortsatt mye arbeid.

Hva er den beste måten å gå frem på? I slike tilfeller viser en rundkjøring seg å være rasjonell. La oss vurdere motsatt hendelse: – 2 eller 10 eller 11 eller 12 poeng vil bli kastet.

Hva er poenget? Den motsatte hendelsen favoriseres av et betydelig mindre antall par:

Totalt: 7 gunstige utfall.

I følge den klassiske definisjonen:
– sannsynligheten for at du kaster mindre enn tre eller mer enn 9 poeng.

I tillegg til direkte notering og telling av utfall, div kombinatoriske formler. Og igjen et episk problem om heisen:

Oppgave 7

3 personer gikk inn i heisen til en 20-etasjers bygning i første etasje. Og la oss gå. Finn sannsynligheten for at:

a) de vil gå ut i forskjellige etasjer
b) to vil gå ut i samme etasje;
c) alle går av i samme etasje.

Vår spennende leksjon har kommet til slutten, og til slutt, jeg anbefaler nok en gang på det sterkeste at hvis ikke løser, så i det minste finne ut tilleggsproblemer ved den klassiske sannsynlighetsbestemmelsen. Som jeg allerede har merket, er "håndpolstring" også viktig!

Videre langs banen - Geometrisk definisjon av sannsynlighet Og Sannsynlighetsaddisjons- og multiplikasjonsteoremer og... lykke i hovedsaken!

Løsninger og svar:

Oppgave 2: Løsning: 30 – 5 = 25 kjøleskap har ingen defekt.

– sannsynligheten for at et tilfeldig valgt kjøleskap ikke har en defekt.
Svar :

Oppgave 4: Løsning: finn det totale antallet utfall:
måter du kan velge stedet der det tvilsomme tallet er plassert og på hver Av disse 4 stedene kan 2 sifre lokaliseres (sju eller åtte). I henhold til regelen for multiplikasjon av kombinasjoner, er det totale antallet utfall: .
Alternativt kan løsningen ganske enkelt liste opp alle resultatene (heldigvis er det få av dem):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Det er bare ett gunstig resultat (riktig pinkode).
Således, i henhold til den klassiske definisjonen:
– sannsynlighet for at abonnenten logger på ved 1. forsøk
Svar :

Oppgave 6: Løsning: finn det totale antallet utfall:
tall på 2 terninger kan vises på forskjellige måter.

a) Tenk på hendelsen: – når du kaster to terninger, vil produktet av poengene være lik syv. Det er ingen gunstige utfall for en gitt hendelse, i henhold til den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
, dvs. denne hendelsen er umulig.

b) Vurder hendelsen: – når du kaster to terninger, vil produktet av poengene være minst 20. Følgende utfall er gunstige for denne begivenheten:

Totalt: 8
I følge den klassiske definisjonen:
– ønsket sannsynlighet.

c) Tenk på de motsatte hendelsene:
– produktet av poeng vil være jevnt;
– produktet av poeng vil være oddetall.
La oss liste opp alle resultatene som er gunstige for arrangementet:

Totalt: 9 gunstige utfall.
I følge den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
Motsatte hendelser utgjør en komplett gruppe, derfor:
– ønsket sannsynlighet.

Svar :

Oppgave 8: Løsning: la oss beregne det totale antallet utfall: 10 mynter kan falle på forskjellige måter.
En annen måte: måter den første mynten kan falle på Og måter den andre mynten kan falle på Og … Og måter den 10. mynten kan falle på. I henhold til regelen om å multiplisere kombinasjoner kan 10 mynter falle måter.
a) Tenk på hendelsen: – hoder vil vises på alle mynter. Denne hendelsen favoriseres av et enkelt utfall, i henhold til den klassiske definisjonen av sannsynlighet: .
b) Tenk på hendelsen: – 9 mynter vil lande hoder, og en mynt vil lande haler.
Det er mynter som kan lande på hoder. I følge den klassiske definisjonen av sannsynlighet: .
c) Tenk på hendelsen: – hoder vil vises på halvparten av myntene.
Finnes unike kombinasjoner av fem mynter som kan lande hoder. I følge den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
Svar :

Sannsynligheten for en hendelse forstås som en viss numerisk karakteristikk av muligheten for at denne hendelsen skal inntreffe. Det er flere tilnærminger til å bestemme sannsynlighet.

Sannsynlighet for hendelsen EN kalles forholdet mellom antall utfall som er gunstige for denne hendelsen og det totale antallet av alle like mulige inkompatible elementære utfall som utgjør hele gruppen. Så sannsynligheten for hendelsen EN bestemmes av formelen

Hvor m– antall elementære utfall gunstige EN, n– antall mulige elementære testresultater.

Eksempel 3.1. I et eksperiment som involverer å kaste en terning, antallet av alle utfall n er lik 6 og de er alle like mulige. La arrangementet EN betyr utseendet til et partall. Så for denne hendelsen vil gunstige utfall være utseendet til tallene 2, 4, 6. Tallet deres er 3. Derfor er sannsynligheten for hendelsen EN lik

Eksempel 3.2. Hva er sannsynligheten for at et tosifret tall valgt tilfeldig har de samme sifrene?

Tosifrede tall er tall fra 10 til 99, det er 90 slike tall totalt 9 tall har identiske sifre (disse er tallene 11, 22, ..., 99). Siden i dette tilfellet m=9, n=90, da

Hvor EN– hendelse, "et tall med de samme sifrene."

Eksempel 3.3. I en batch på 10 deler er 7 standard. Finn sannsynligheten for at blant seks deler tatt tilfeldig, er 4 standard.

Det totale antallet mulige elementære testresultater er lik antall måter 6 deler kan trekkes ut på fra 10, dvs. antall kombinasjoner av 10 elementer med 6 elementer hver. La oss bestemme antall utfall som er gunstige for hendelsen av interesse for oss EN(blant de seks delene er det 4 standard). Fire standarddeler kan tas fra syv standarddeler på forskjellige måter; samtidig må de resterende 6-4=2 delene være ikke-standard, men du kan ta to ikke-standarddeler fra 10-7=3 ikke-standarddeler på forskjellige måter. Derfor er antallet gunstige utfall lik .

Da er den nødvendige sannsynligheten lik

Følgende egenskaper følger av definisjonen av sannsynlighet:

1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

Faktisk, hvis hendelsen er pålitelig, favoriserer hvert elementært resultat av testen hendelsen. I dette tilfellet er derfor m=n

2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Faktisk, hvis en hendelse er umulig, favoriserer ingen av de grunnleggende resultatene av testen hendelsen. I dette tilfellet betyr det

3. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et positivt tall mellom null og én.

Faktisk er det bare en del av det totale antallet elementære utfall av testen som favoriseres av en tilfeldig hendelse. I dette tilfellet< m< n, betyr 0 < m/n < 1, dvs. 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruksjonen av en logisk fullstendig sannsynlighetsteori er basert på den aksiomatiske definisjonen av en tilfeldig hendelse og dens sannsynlighet. I systemet med aksiomer foreslått av A. N. Kolmogorov, er de udefinerte konseptene en elementær hendelse og sannsynlighet. Her er aksiomene som definerer sannsynlighet:

1. Hvert arrangement EN tildelt et ikke-negativt reelt tall P(A). Dette tallet kalles sannsynligheten for hendelsen EN.

2. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

3. Sannsynligheten for at minst én av de parvise inkompatible hendelsene skal inntreffe er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Basert på disse aksiomene er egenskapene til sannsynligheter og avhengighetene mellom dem utledet som teoremer.

Selvtest spørsmål

1. Hva er navnet på den numeriske egenskapen til muligheten for at en hendelse skal inntreffe?

2. Hva er sannsynligheten for en hendelse?

3. Hva er sannsynligheten for en pålitelig hendelse?

4. Hva er sannsynligheten for en umulig hendelse?

5. Hva er grensene for sannsynligheten for en tilfeldig hendelse?

6. Hva er grensene for sannsynligheten for en hendelse?

7. Hvilken definisjon av sannsynlighet kalles klassisk?