Det rette linjesegmentet som forbinder midtpunktene til sidesidene av trapeset kalles midtlinjen til trapeset. Om hvordan du finner midtlinje trapes og hvordan det forholder seg til andre elementer i denne figuren, vil vi beskrive nedenfor.
Senterlinjeteorem
La oss tegne en trapes der AD - større base, BC - mindre base, EF - midtlinje. La oss forlenge grunnflaten AD forbi punkt D. Tegn en linje BF og fortsett den til den skjærer fortsettelsen av grunntall AD i punktet O. Tenk på trekantene ∆BCF og ∆DFO. Vinkler ∟BCF = ∟DFO som vertikal. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, fordi VS // JSC. Derfor er trekanter ∆BCF = ∆DFO. Derav sidene BF = FO.
Vurder nå ∆ABO og ∆EBF. ∟ABO er felles for begge trekantene. BE/AB = ½ etter betingelse, BF/BO = ½, siden ∆BCF = ∆DFO. Derfor er trekanter ABO og EFB like. Derav forholdet mellom partene EF/AO = ½, samt forholdet mellom de andre partiene.
Vi finner EF = ½ AO. Tegningen viser at AO = AD + DO. DO = BC som sider like trekanter, som betyr AO = AD + BC. Derfor EF = ½ AO = ½ (AD + BC). De. lengden på midtlinjen til en trapes er lik halvparten av summen av basene.
Er midtlinjen til en trapes alltid lik halve summen av basene?
Anta at det finnes en slik spesielt tilfelle, når EF ≠ ½ (AD + BC). Så BC ≠ DO, derfor ∆BCF ≠ ∆DCF. Men dette er umulig, siden de har to like vinkler og sider mellom seg. Derfor er teoremet sann under alle forhold.
Midtlinjeproblem
Anta, i vår trapes ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, diagonal AC er vinkelrett på siden. Finn midtlinjen til den trapesformede EF.
Hvis ∟A = 90°, så er ∟B = 90°, som betyr at ∆ABC er rektangulær.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° etter konvensjon, derfor er ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°. 
Hvis en vinkel i en rettvinklet trekant ∆ABC er lik 45°, er bena i den lik: AB = BC = 2 cm.
Hypotenus AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.
La oss vurdere ∆ACD. ∟ACD = 90° i henhold til tilstanden. ∟CAD = ∟BCA = 45° som vinklene dannet av transversalen av de parallelle basene til trapesen. Derfor er ben AC = CD = √8.
Hypotenus AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.
Midtlinje av trapes EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.
I denne artikkelen er et annet utvalg problemer med trapes laget for deg. Forholdene er på en eller annen måte relatert til midtlinjen. Oppgavetyper hentet fra åpen bank typiske oppgaver. Hvis du ønsker, kan du oppdatere din teoretisk kunnskap. Bloggen har allerede diskutert oppgaver hvis forhold er knyttet til, samt. Kort om midtlinjen:
Midtlinjen til trapesen forbinder midtpunktene på sidesidene. Den er parallell med basene og lik deres halvsum.
Før vi løser problemer, la oss se på et teoretisk eksempel.
Gitt en trapes ABCD. Diagonal AC som skjærer midtlinjen danner punkt K, diagonal BD danner punkt L. Bevis at segment KL lik halvparten grunnforskjeller.
La oss først legge merke til det faktum at midtlinjen til en trapes deler ethvert segment hvis ender ligger på basen. Denne konklusjonen tyder på seg selv. Se for deg et segment som forbinder to punkter på basene, det vil dele seg denne trapesen til de to andre. Det viser seg at segmentet parallelt med basene trapesformet og passerer gjennom midten av siden på den andre siden vil passere gjennom midten.
Dette er også basert på Thales' teorem:
Hvis vi plotter flere på en av to rette linjer like segmenter og gjennom endene tegne parallelle linjer som skjærer den andre linjen, så vil de kutte av like segmenter på den andre linjen.
Det vil si i i dette tilfellet K er midten av AC og L er midten av BD. Derfor er EK midtlinjen trekant ABC, LF er midtlinjen til trekanten DCB. I henhold til egenskapen til midtlinjen til en trekant:
Vi kan nå uttrykke segmentet KL i form av baser:
Bevist!
Dette eksemplet er gitt av en grunn. I oppgaver for uavhengig avgjørelse det er akkurat en slik oppgave. Bare det sier ikke at segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene ligger på midtlinjen. La oss vurdere oppgavene:
27819. Finn midtlinjen til trapesen hvis basene er 30 og 16.
Vi beregner ved hjelp av formelen:
27820. Midtlinjen til trapesen er 28 og den mindre basen er 18. Finn den største basen til trapesen.
La oss uttrykke den større basen:
Dermed:
27836. Vinkelrett falt fra toppunktet stump vinkel på et større grunnlag likebenet trapes, deler den inn i deler som har lengdene 10 og 4. Finn midtlinjen til denne trapesen.
For å finne midtlinjen må du kjenne til basene. Grunnlaget AB er lett å finne: 10+4=14. La oss finne DC.
La oss konstruere den andre perpendikulære DF:
Segmentene AF, FE og EB vil være lik henholdsvis 4, 6 og 4. Hvorfor?
I en likebenet trapes, deler perpendikulære senket til den større basen den i tre segmenter. To av dem, som er avskåret ben rette trekanter, er like med hverandre. Det tredje segmentet er lik den mindre basen, siden det dannes et rektangel når du konstruerer de angitte høydene, og i rektangelet motstående sider er like. I denne oppgaven:
Dermed DC=6. Vi beregner:
27839. Basene til trapesen er i forholdet 2:3, og midtlinjen er 5. Finn den mindre basen.
La oss introdusere proporsjonalitetskoeffisienten x. Så AB=3x, DC=2x. Vi kan skrive:
Derfor er den minste basen 2∙2=4.
27840. Omkretsen til en likebenet trapes er 80, midtlinjen er lik sidesiden. Finne side trapeser.
Basert på tilstanden kan vi skrive:
Hvis vi angir midtlinjen gjennom verdien x, får vi:
Den andre ligningen kan allerede skrives som:
27841. Midtlinjen til trapesen er 7, og den ene basen er 4 større enn den andre Finn den største basen til trapesen.
La oss betegne den mindre basen (DC) som x, da vil den større (AB) være lik x+4. Vi kan skrive det ned
Vi fant ut at den mindre basen er tidlig fem, noe som betyr at den største er lik 9.
27842. Midtlinjen til trapesen er 12. En av diagonalene deler den i to segmenter, forskjellen på disse er 2. Finn den største bunnen av trapesen.
Vi kan enkelt finne den større basen til trapesen hvis vi beregner segmentet EO. Det er midtlinjen i trekanten ADB, og AB=2∙EO.
Hva har vi? Det sies at midtlinjen er lik 12 og forskjellen mellom segmentene EO og ОF er lik 2. Vi kan skrive to likninger og løse systemet:
Det er klart at i dette tilfellet kan du velge et tallpar uten beregninger, disse er 5 og 7. Men la oss likevel løse systemet:
Så EO=12–5=7. Dermed er den større basen lik AB=2∙EO=14.
27844. I en likebenet trapes er diagonalene vinkelrette. Høyden på trapesen er 12. Finn midtlinjen.
La oss umiddelbart merke oss at høyden trukket gjennom skjæringspunktet til diagonalene i en likebenet trapes ligger på symmetriaksen og deler trapesen i to like. rektangulære trapeser, det vil si at basene til denne høyden er delt i to.
Det ser ut til at for å beregne midtlinjen må vi finne årsaker. Her oppstår en liten blindvei... Hvordan, å vite høyden, i dette tilfellet, beregne basene? Aldri! Du kan bygge mange slike trapeser med fast høyde og diagonaler som skjærer hverandre i en vinkel på 90 grader. Hva burde jeg gjøre?
Se på formelen for midtlinjen til en trapes. Tross alt trenger vi ikke å vite årsakene selv; det er nok å vite summen (eller halvsummen). Vi kan gjøre dette.
Siden diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, dannes likebenede rette trekanter med høyden EF:
Av ovenstående følger det at FO=DF=FC, og OE=AE=EB. La oss nå skrive ned hva høyden er lik, uttrykt gjennom segmentene DF og AE:
Så midtlinjen er 12.
*Generelt er dette en oppgave, som du forstår, for mental telling. Men jeg er sikker på at den presenterte detaljert forklaring nødvendig. Og så... Hvis du ser på figuren (forutsatt at vinkelen mellom diagonalene observeres under konstruksjon), fanger likheten FO=DF=FC, og OE=AE=EB umiddelbart oppmerksomheten din.
Prototypene inkluderer også typer oppgaver med trapeser. Den er bygget på et papirark i en firkant, og du må finne den midterste linjen på siden av cellen er vanligvis lik 1, men det kan være en annen verdi.
27848. Finn midtlinjen til trapesen ABCD, hvis sidene til kvadratiske celler er lik 1.
Det er enkelt, vi beregner basene etter celler og bruker formelen: (2+4)/2=3
Hvis basene er bygget i en vinkel til cellenettet, så er det to måter. For eksempel!
Midtlinjen til trapesen er lik halve summen begrunnelse. Den forbinder midtpunktene på sidene av trapesen og er alltid parallelt med basene.
Hvis basene til en trapes er lik a og b, da midtlinjen m er lik m=(a+b)/2.
Hvis området til trapeset er kjent, da midtlinjen kan bli funnet og på en annen måte, dividere arealet til trapeset S med høyden på trapeset h:
Det er, midtlinje av trapes m=S/t
Det er mange måter å finne lengden på midtlinjen til en trapes. Valget av metode avhenger av de første dataene.
Her formler for lengden på midtlinjen til en trapes:
For å finne midtlinjen til en trapes, kan du bruke en av fem formler (jeg vil ikke skrive dem ut, siden de allerede er i andre svar), men dette er bare i tilfeller der verdiene til de første dataene vi trenger er kjent.
I praksis må vi løse mange problemer når det ikke er nok data og rett størrelse trenger fortsatt å finne den.
Det finnes slike alternativer her
en trinn-for-trinn-løsning for å bringe alt under formelen;
ved hjelp av andre formler, komponer og løs de nødvendige ligningene.
finne lengden på midten av en trapes ved hjelp av formelen vi trenger ved hjelp av annen kunnskap om geometri og bruk algebraiske ligninger:
Vi har en likebenet trapes, diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, høyden er 9 cm.
Vi lager en tegning og ser at dette problemet ikke kan løses direkte (det er ikke nok data)
Derfor vil vi forenkle litt og tegne høyden gjennom skjæringspunktet til diagonalene.
Dette er den første viktig skritt, som fører til en rask løsning.
la oss angi høyden med to ukjente, vi vil se de vi trenger likebente trekanter med partene X Og på
og vi kan lett finne den summen av grunnlag trapeser
det er likt 2х+2у
Og først nå kan vi bruke formelen hvor
og det er likt x+y og i henhold til forholdene for problemet, er dette lengden på høyden lik 9 cm.
Og nå har vi utledet flere momenter for en likebenet trapes, hvis diagonaler skjærer hverandre i rette vinkler
i slike trapeser
midtlinjen er alltid lik høyden
arealet er alltid lik kvadratet av høyden.
Midtlinjen til en trapes er et segment som forbinder midtpunktene på sidene av trapesen.
Midtlinjen til en hvilken som helst trapes er lett å finne hvis du bruker formelen:
m = (a + b)/2
m er lengden på midtlinjen til trapes;
a, b lengder av basene til trapes.
Så, lengden på midtlinjen til en trapes er lik halve summen av lengdene til basene.
Den grunnleggende formelen for midtlinjen til en trapes: lengden på midtlinjen til en trapes er lik halve summen av basene a og b: MN=(a+b)2. Beviset for denne formelen er formel for midtlinjen til en trekant Enhver trapes kan representeres etter å ha tegnet en mindre base av høyden til en større base lett bevist.
For å finne midtlinjen til trapesen må vi kjenne verdiene til basene.
Etter at vi fant disse verdiene, eller kanskje de var kjent for oss, legger vi sammen disse tallene og deler dem ganske enkelt i to.
Dette er hva som vil skje midtlinje av trapes.
Så langt jeg husker skolegeometritimene mine, for å finne lengden på midtlinjen til en trapes, må du legge til lengdene på basene og dele med to. Dermed er lengden på midtlinjen til trapesen lik halvparten av summen av basene.