Се мери со една единица, а потоа квадратот на бројот што ја изразува хипотенузата еднаков на збиротквадрати на броеви, висина притискање на нозете.
Оваа теорема обично се изразува скратено на следниов начин:
Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.
Оваа врска првпат ја забележал грчкиот геометар Питагора (VI век п.н.е.) и затоа го носи неговото име - Питагорова теорема .
Теорема.
остар агол, еднаков на збирот на квадратите на другите две страни без двојно поголем производ од која било од овие страни според неговиот сегмент од темето остар аголдо висина.
Нека БСО- страна на триаголникот АБСО(Сл. 1 и Сл. 2), лежејќи спроти акутниот агол А, И БД- висината спуштена на која било од другите страни, на пример, на АСО(или неговото продолжение) Потребно е да се докаже дека:
п.н.е. 2 = АБ 2 + АC 2 - 2АС.АД.
Од правоаголни триаголници BDCИ АБДние излегуваме:
п.н.е. 2= БД 2+DСО 2 [ 1 ] ;
БД 2= АБ 2 - АД 2 [ 2] .
На другата страна: ДСО= AC-AД(сл. 1) или ДСО= АД-АС(сл. 2). Во двата случаи за ДСО 2 го добиваме истиот израз:
ДСО 2 = (АСО-АГ) 2 = АСО 2 - 2АСО . АД + АД 2 ;
ДСО 2 = (АД-АСО) 2 = АД 2 - 2АД . АСО + АСО 2 .
Наместо тоа, замена во еднаквост БД 2И ДC 2нивните изрази од еднаквостите и , добиваме:
п.н.е. 2= AB 2 - А Д 2 + АСО 2 - 2 АСО . АД + А Д 2 .
Ова е еднаквост, по намалувањето на членовите -АД 2 И + АД 2 , и е токму она што требаше да се докаже.
Коментар.Докажаната теорема останува вистинита дури и кога аголот СОдиректно. Тогаш сегментот ЦД ќе оди на нула, т.е. AC ќе стане еднаков на AD, и ќе имаме:
п.н.е. 2= АБ 2+ АСО 2 - 2АСО 2 = АБ 2 - АСО 2 .
Што е во согласност со теоремата за квадратна хипотенуза.
Теорема.
Во триаголник, квадратот на страната спроти тапиот агол е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни, додаден на двојно од производот на која било од овие страни со сегментот на неговото продолжение од темето на тапиот агол до надморска височина.Доказот е сличен на претходниот.
Последица.
Од последните три теореми заклучуваме дека квадратот на страната на триаголникот е еднаков на, помал од или повеќе од износотквадрати на другите страни, во зависност од тоа дали спротивниот агол е прав, остар или тап.
ова имплицира обратна понуда: Аголот на триаголникот ќе биде правилен, остар или тап, во зависност од тоа дали е квадрат спротивната странаеднаков на, помал или поголем од збирот на квадратите на другите страни.
Пресметување на висината на триаголникот врз основа на неговите страни.
Да ја означиме висината спуштена на страната a од триаголникот АБСО, преку ч а. За да го пресметате, прво од равенката:
б 2 = а 2 + од 2 - 2аСо’ .
Најдете ја основната отсечка c’:
.
Потоа од DABD ја одредуваме висината како крак:
.
На ист начин, можете да ги одредите висините h b и h c, спуштени на страните b и c.
Пресметување на медијаните на триаголник врз основа на неговите страни.
Нека се дадени страните на триаголникот АБСОи треба да ја пресметате неговата медијана БД. За да го направите ова, ајде да го прошириме на далечина ДЕ = БДи период Еповрзете се со АИ СО. Потоа добиваме паралелограм ABCE.
Применувајќи ја претходната теорема на него, наоѓаме: БИДИ 2 = 2 АБ 2 + 2 БC 2 -АC 2.
Најчесто поставувани прашања
Дали е можно да се направи печат на документ според дадениот примерок? Одговори Да, можно е. Испратете на нашите и-мејл адресаскенирана копија или фотографија добар квалитет, и ќе го направиме потребниот дупликат.
Какви видови на плаќање прифаќате?
Одговори Документот можете да го платите по приемот на курир, откако ќе ја проверите исправноста на комплетирањето и квалитетот на извршувањето на дипломата. Ова може да се направи и во канцеларијата на поштенските компании кои нудат услуги за готовина при испорака.
Сите услови за испорака и плаќање на документи се опишани во делот „Плаќање и испорака“. Подготвени сме да ги слушнеме и вашите предлози во однос на условите за испорака и плаќање на документот.
Може ли да бидам сигурен дека по нарачката нема да исчезнеш со моите пари? Одговори Имаме доста долго искуство во областа на изработка на дипломи. Имаме неколку веб-страници кои постојано се ажурираат. Нашите специјалисти работат во различни аглиземји, произведувајќи над 10 документи дневно. Со текот на годините, нашите документи им помогнаа на многу луѓе да ги решат проблемите со вработувањето или да се преселат на повисоко платени работни места. Заработивме доверба и признание кај клиентите, така што нема апсолутно никаква причина да го правиме тоа. На сличен начин. Покрај тоа, ова е едноставно невозможно физички да се направи: плаќате за вашата нарачка во моментот кога ќе ја добиете во ваши раце, нема претплата.
Може ли да нарачам диплома од кој било универзитет? Одговори Во принцип, да. Работиме на ова поле скоро 12 години. За ова време беше формирана речиси целосна база на документи издадени од речиси сите универзитети во земјава и пошироко. различни годинииздавање. Се што ви треба е да изберете универзитет, специјалност, документ и да го пополните формуларот за нарачка.
Што да направите ако најдете печатни грешки и грешки во документот?
Одговори Кога добивате документ од нашата курирска или поштенска компанија, препорачуваме внимателно да ги проверите сите детали. Доколку се открие печатна грешка, грешка или неточност, имате право да не ја подигнете дипломата, а откриените дефекти мора да ги наведете лично на курирот или на во писмена формасо испраќање писмо до е-пошта.
ВО што е можно поскороЌе го исправиме документот и повторно ќе го испратиме на наведената адреса. Се разбира, испораката ќе ја плати нашата компанија.
За да избегнете такви недоразбирања, пред да го пополните оригиналниот формулар, му испраќаме е-пошта на клиентот макет на идниот документ за проверка и одобрување на конечната верзија. Пред да го испратиме документот по курир или пошта, ние исто така правиме дополнителни фотографии и видеа (вклучително и ултравиолетова светлина) за да имате визуелна претставаза тоа што ќе добиете на крајот.
Што треба да направам за да нарачам диплома од вашата компанија?
Одговори За да нарачате документ (сертификат, диплома, академски сертификатитн.) треба да го пополните формуларот за нарачка преку Интернет на нашата веб-локација или да ја дадете вашата е-пошта за да можеме да ви испратиме формулар за апликација што треба да го пополните и да ни го испратите назад.
Ако не знаете што да наведете во кое било поле од формуларот/прашалникот за нарачка, оставете ги празни. Затоа, телефонски ќе ги разјасниме сите информации што недостасуваат.
Најнови прегледи
Алексеј:
Требаше да стекнам диплома за да се вработам како менаџер. И најважно е што имам и искуство и вештини, но не можам да се вработам без документ. Откако наидов на вашата страница, конечно решив да купам диплома. Дипломата е завршена за 2 дена!! Сега имам работа за која не сонував порано!! Ви благодарам!
Како по правило, два триаголници се сметаат за слични ако имаат иста форма, дури и ако се со различни големини, ротирани или дури и наопаку.
Математичкото претставување на два слични триаголници A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 прикажано на сликата е напишано на следниов начин:
ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2
Два триаголници се слични ако:
1. Секој агол на еден триаголник е еднаков на соодветниот агол на друг триаголник:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2И ∠C 1 = ∠C 2
2. Односите на страните на еден триаголник со соодветните страни на друг триаголник се еднакви еден со друг:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$
3. Врски две страниеден триаголник до соодветните страни на друг триаголник се еднакви еден на друг и во исто време
аглите меѓу овие страни се еднакви:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ и $\агол A_1 = \агол A_2$
или
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ и $\агол B_1 = \агол B_2$
или
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ и $\агол C_1 = \агол C_2$
Не мешајте слични триаголници со еднакви триаголници. Еднаквите триаголници имаат еднакви соодветни должини на страните. Затоа, за складни триаголници:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$
Од ова произлегува дека сè еднакви триаголницисе слични. Сепак, не се сите слични триаголници еднакви.
Иако горната нотација покажува дека за да откриеме дали два триаголници се слични или не, мора да ги знаеме вредностите на трите агли или должините на трите страни на секој триаголник, за да решиме проблеми со слични триаголници, доволно е да се знае кои било три од вредностите споменати погоре за секој триаголник. Овие количини можат да бидат во различни комбинации:
1) три агли на секој триаголник (не треба да ги знаете должините на страните на триаголниците).
Или барем 2 агли на еден триаголник мора да бидат еднакви на 2 агли на друг триаголник.
Бидејќи ако 2 агли се еднакви, тогаш и третиот агол ќе биде еднаков (Вредноста на третиот агол е 180 - агол 1 - агол 2).
2) должините на страните на секој триаголник (не треба да ги знаете аглите);
3) должините на двете страни и аголот меѓу нив.
Следно ќе разгледаме решавање на некои проблеми со слични триаголници. Прво ќе ги разгледаме проблемите што можат да се решат директна употребагоренаведените правила, а потоа разговарајте за некои практични проблеми, кои се решаваат со методот на слични триаголници.
Вежбајте проблеми со слични триаголници
Пример #1:
Покажете дека двата триаголници на сликата подолу се слични. 
Решение:
Бидејќи се познати должините на страните на двата триаголници, овде може да се примени второто правило:
$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$
Пример #2:
Покажете дека два дадени триаголници се слични и определете ги должините на страните PQИ ПР.
Решение:
∠A = ∠ПИ ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(бидејќи ∠C = 180 - ∠A - ∠B и ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)
Од ова произлегува дека триаголниците ΔABC и ΔPQR се слични. Оттука:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Десна стрелка PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ и
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Десна стрелка PR=\frac(7\times12)(6) = 14 долари
Пример #3:
Одреди ја должината АБво овој триаголник. 
Решение:
∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDИ ∠Аопшти => триаголници ΔABCИ ΔADEсе слични.
$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$
Пример #4:
Одреди ја должината AD (x) геометриска фигурана сликата. 
Триаголниците ΔABC и ΔCDE се слични бидејќи AB || DE и тие имаат едно заедничко горниот аголВ.
Гледаме дека едниот триаголник е намалена верзија на другиот. Сепак, ова треба математички да го докажеме.
AB || DE, CD || AC и BC || Е.Ц.
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠ДЕК
Врз основа на горенаведеното и земајќи ја предвид достапноста вкупен агол В, можеме да тврдиме дека триаголниците ΔABC и ΔCDE се слични.
Оттука:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57
Практични примери
Пример #5:
Фабриката користи наклонета подвижна лента за транспорт на производи од ниво 1 до ниво 2, што е 3 метри повисоко од нивото 1, како што е прикажано на сликата. Наклонетиот транспортер се сервисира од едниот крај до ниво 1 и од другиот крај до работното место кое се наоѓа на растојание од 8 метри од работната точка на ниво 1. 
Фабриката сака да го надгради транспортерот за пристап до новото ниво, кое е 9 метри над нивото 1, притоа задржувајќи го аголот на наклон на транспортерот.
Одредете го растојанието на кое треба да се инсталира новата работна станица за да се осигурате дека транспортерот ќе работи на својот нов крај на ниво 2. Исто така, пресметајте го дополнителното растојание што производот ќе го помине кога ќе се пресели на новото ниво.
Решение:
Прво, да ја означиме секоја пресечна точка со одредена буква, како што е прикажано на сликата.
Врз основа на образложението дадено погоре во претходните примери, можеме да заклучиме дека триаголниците ΔABC и ΔADE се слични. Оттука,
$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m
Така, нова ставкатреба да се инсталира на растојание од 16 метри од постоечка точка.
И бидејќи структурата се состои од правоаголни триаголници, можеме да го пресметаме растојанието на движење на производот на следниов начин:
$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$
Слично, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
што е растојанието низ кое поминува производот овој моментпо достигнување на постојното ниво.
y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
ова е дополнителното растојание што производот мора да го помине за да достигне ново ниво.
Пример #6:
Стив сака да го посети својот пријател кој неодамна се преселил во нова куќа. Патна картанасоките до куќата на Стив и неговиот пријател, заедно со растојанијата познати на Стив, се прикажани на сликата. Помогнете му на Стив да стигне до куќата на неговиот пријател на најкраток можен начин. 
Решение:
Патоказот може да биде претставен геометриски во следната форма, како што е прикажано на сликата. 
Гледаме дека триаголниците ΔABC и ΔCDE се слични, затоа:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$
Во изјавата за проблемот се вели дека:
AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km и DE = 5 km
Користејќи ги овие информации, можеме да ги пресметаме следните растојанија:
$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$
Стив може да стигне до куќата на својот пријател користејќи ги следните правци:
A -> B -> C -> E -> G, вкупното растојание е 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km
F -> B -> C -> D -> G, вкупното растојание е 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km
F -> A -> C -> E -> G, вкупното растојание е 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km
F -> A -> C -> D -> G, вкупното растојание е 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km
Затоа, рутата бр. 3 е најкратката и може да му се понуди на Стив.
Пример 7:
Триша сака да ја измери висината на куќата, но ја нема вистинските алатки. Забележала дека пред куќата расте дрво и решила да ја искористи својата снаодливост и познавање на геометријата стекнати на училиште за да ја одреди висината на зградата. Таа го измери растојанието од дрвото до куќата, резултатот беше 30 m Таа потоа застана пред дрвото и почна да се движи назад додека горниот раб на зградата не стана видлив над врвот на дрвото. Триша го означи ова место и го измери растојанието од него до дрвото. Ова растојание беше 5 m.
Висината на дрвото е 2,8 m, а висината на нивото на очите на Триша е 1,6 m Помогнете ѝ на Триша да ја одреди висината на зградата. 
Решение:
Геометрискиот приказ на проблемот е прикажан на сликата. 
Прво ја користиме сличноста на триаголниците ΔABC и ΔADE.
$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \пати AC = 1,6 \пати (5 + AC) = 8 + 1,6 \ пати AC$
$(2,8 - 1,6) \пати AC = 8 \ Десна стрелка AC = \frac (8) (1,2) = 6,67 $
Потоа можеме да ја користиме сличноста на триаголниците ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Ајде да ја избереме првата опција.
$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Десна стрелка H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$
228. Во ова поглавје главно ќе ги разбереме според ознаките на отсечките AB, AC итн., броевите што ги изразуваат.
Знаеме (точка 226) дека ако две отсечки a и b се дадени геометриски, тогаш можеме да изградиме просечна пропорционална меѓу нив. Нека сега отсечките не се дадени геометриски, туку со броеви, т.е. со a и b подразбираме броеви кои изразуваат 2 дадени отсечки. Потоа наоѓање на просекот пропорционален сегментќе се сведе на наоѓање на бројот x од пропорцијата a/x = x/b, каде што a, b и x се броеви. Од оваа пропорција имаме:
x 2 = ab
x = √ab
229. Да имаме правоаголен триаголник ABC (цртеж 224).
Да го спуштиме одозгора прав агол(∠B права линија) нормална BD на хипотенузата AC. Тогаш од став 225 знаеме:
1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.
Од тука добиваме:
AB 2 = AC AD и BC 2 = AC DC.
Додавајќи ги добиените еднаквости дел по дел, добиваме:
AB 2 + BC 2 = AC AD + AC DC = AC(AD + DC).
т.е. квадратот на бројот што ја изразува хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на броевите што ги изразуваат катетите правоаголен триаголник .
Накратко велат: Квадратот на хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаков на збирот на квадратите на катетите.
Ако на добиената формула и дадеме геометриска интерпретација, ќе ја добиеме Питагоровата теорема веќе позната нам (точка 161):
квадрат изграден на хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаков на збирот на квадратите изградени на катетите.
Од равенката AB 2 + BC 2 = AC 2, понекогаш треба да пронајдете крак на правоаголен триаголник, користејќи ја хипотенузата и друга катета. Добиваме, на пример:
AB 2 = AC 2 – BC 2 и така натаму
230. Пронајден нумерички односпомеѓу страните на правоаголен триаголник ви овозможува да решите многу пресметковни проблеми. Ајде да решиме некои од нив:
1. Пресметајте површина рамностран триаголникод оваа страна.
Нека ∆ABC (цртеж 225) е рамностран и секоја страна изразена со број a (AB = BC = AC = a). За да ја пресметате плоштината на овој триаголник, прво мора да ја дознаете неговата висина BD, која ќе ја наречеме h. Знаеме дека во рамностран триаголник, висината BD ја преполовува основата AC, т.е. AD = DC = a/2. Според тоа, од правоаголен триаголник DBC имаме:
BD 2 = BC 2 – DC 2,
h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (изведете одземање).
Од тука имаме:
(мултипликаторот го вадиме од под коренот).
Затоа, повикувајќи го бројот што ја изразува плоштината на нашиот триаголник во однос на Q и знаејќи дека областа ∆ABC = (AC BD)/2, наоѓаме:
Можеме да ја погледнеме оваа формула како еден од начините за мерење на плоштината на рамностран триаголник: треба да ја измериме неговата страна во линеарни единици, да го квадратиме пронајдениот број, да го помножиме добиениот број со √3 и да го поделиме со 4 - ние добие израз за плоштината во квадратни (соодветни) единици.
2. Страните на триаголникот се 10, 17 и 21 права. единица Пресметајте ја неговата површина.
Да ја спуштиме висината h во нашиот триаголник (цртеж 226) на поголемата страна - таа сигурно ќе помине внатре во триаголникот, бидејќи во триаголникот тап аголможе да се позиционира само против поголема страна. Тогаш поголемата страна, = 21, ќе се подели на 2 отсечки, од кои едната ја означуваме со x (види цртеж) - потоа другата = 21 – x. Добиваме два правоаголни триаголници од кои имаме:
h 2 = 10 2 - x 2 и h 2 = 17 2 - (21 - x) 2
Бидејќи левите страни на овие равенки се исти, тогаш
10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2
Извршувајќи ги дејствата што ги добиваме:
10 2 - x 2 = 289 - 441 + 42x - x 2
Поедноставувајќи ја оваа равенка, наоѓаме:
Тогаш од равенката h 2 = 10 2 – x 2, добиваме:
h 2 = 10 2 – 6 2 = 64
а со тоа и
Потоа ќе се најде потребната област:
Q = (21 8)/2 кв. единица = 84 кв. единица
3. Можете да решите општ проблем:
како да се пресмета плоштината на триаголник врз основа на неговите страни?
Нека страните на триаголникот ABC се изразени со броевите BC = a, AC = b и AB = c (цртеж 227). Да претпоставиме дека AC е поголемата страна; тогаш висината BD ќе влезе во ∆ABC. Да повикаме: BD = h, DC = x и потоа AD = b – x.
Од ∆BDC имаме: h 2 = a 2 – x 2 .
Од ∆ABD имаме: h 2 = c 2 – (b – x) 2,
од каде a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2.
Решавајќи ја оваа равенка, постојано добиваме:
2bx = a 2 + b 2 – c 2 и x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.
(Последното е напишано врз основа на тоа што броителот 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 може да се смета за еднаквост на квадрати, кои ги разложуваме на производ од збирот и разликата).
Оваа формула се трансформира со воведување на периметарот на триаголникот, кој го означуваме со 2p, т.е.
Одземајќи 2c од двете страни на еднаквоста, добиваме:
a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):
Ќе најдеме и:
c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).
Тогаш добиваме:
(p ја изразува полупериметарот на триаголникот).
Оваа формула може да се користи за пресметување на плоштината на триаголникот врз основа на неговите три страни.
231. Вежби.
232. Во став 229 го најдовме односот меѓу страните на правоаголен триаголник. Можете да најдете сличен однос за страните (со додавање на друг сегмент) на кос триаголник.
Прво да имаме ∆ABC (цртеж 228) така што ∠A е акутен. Ајде да се обидеме да најдеме израз за квадратот на страната BC што лежи спроти овој остар агол (слично како во став 229 го најдовме изразот за квадратот на хипотенузата).
Со конструирање BD ⊥ AC, добиваме од правоаголен триаголник BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Да го замениме BD2 со тоа што ќе го дефинираме од ABD, од каде имаме:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
и заменете го сегментот DC преку AC – AD (очигледно, DC = AC – AD). Тогаш добиваме:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC AD + AD 2
Откако ги намаливме сличните термини, наоѓаме:
BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC AD.
Оваа формула гласи: квадратот на страната на триаголникот спроти акутниот агол е еднаков на збирот на квадратите на неговите две други страни, минус двапати од производот на една од овие страни според неговиот сегмент од темето на акутниот агол до висината.
233. Сега нека ∠A и ∆ABC (цртеж 229) се тапи. Да најдеме израз за квадратот на страната BC што лежи спроти тапиот агол.
Откако ја конструиравме висината BD, таа сега ќе биде лоцирана малку поинаку: на 228 каде што ∠A е акутна, точките D и C се наоѓаат на едната страна од A, а овде, каде што ∠A е тап, точките D и C ќе бидат лоцирани. заедно различни страниод A. Потоа од правоаголната ∆BDC добиваме:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Можеме да го замениме BD2 со тоа што ќе го дефинираме од правоаголната ∆BDA:
BD 2 = AB 2 – AD 2,
и отсечката DC = AC + AD, што е очигледно. Заменувајќи, добиваме:
BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Извршувајќи го намалувањето на сличните термини наоѓаме:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
т.е. квадратот на страната на триаголникот што се наоѓа спроти тапиот агол е еднаков на збирот на квадратите на неговите две други страни, плус двапати од производот на едната од нив според неговиот сегмент од темето на тапиот агол до висината.
Оваа формула, како и формулата од став 232, признаваат геометриска интерпретација, која е лесно да се најде.
234. Користење на својствата на параграфите. 229, 232, 233, можеме, ако ги дадеме страните на триаголникот во бројки, да откриеме дали триаголникот има прав или тап агол.
Правилен или тап агол во триаголник може да се наоѓа само спроти поголемата страна кој е аголот спроти него, лесно може да се открие: овој агол е остар, правилен или тап, во зависност од тоа дали квадратот на поголемата страна е помал од; , еднаков или поголем од збирот на квадратите на другите две страни .
Откријте дали следните триаголници, дефинирани според нивните страни, имаат правоаголен или тап агол:
1) 15 dm., 13 dm. и 14 инчи; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.
235. Да имаме паралелограм ABCD(нацрт 230); Да ги конструираме неговите дијагонали AC и BD и неговите височини BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.
Тогаш, ако ∠A (∠BAD) е остар, тогаш ∠D (∠ADC) е секако тап (бидејќи нивниот збир = 2d). Од ∆ABD, каде што ∠A се смета за акутна, имаме:
BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD AK,
и од ∆ACD, каде што ∠D е тап, имаме:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Во последната формула, да ја замениме отсечката AD со отсечката BC еднаква на неа и DL со отсечката AK еднаква на неа (DL = AK, бидејќи ∆ABK = ∆DCL, што е лесно да се види). Тогаш добиваме:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.
Додавање на изразот за BD2 со последен изразза AC 2, наоѓаме:
BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
бидејќи термините –2AD · AK и +2AD · AK се поништуваат едни со други. Можеме да ја прочитаме добиената еднаквост:
Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на збирот на квадратите на неговите страни.
236. Пресметување на средина и симетрала на триаголник од неговите страни. Пушти внатре триаголник ABC(цртеж 231) конструирана е медијаната BM (т.е. AM = MC). Знаејќи ги страните ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, пресметајте ја средната вредност BM.
Да продолжиме со BM и да го оставиме настрана отсечката MD = BM. Со поврзување на D со A и D со C, добиваме паралелограм ABCD (ова е лесно да се открие, бидејќи ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).
Повикувајќи ја медијаната BM во однос на m, добиваме BD = 2m и потоа, користејќи го претходниот пасус, имаме:
237. Пресметување на радиусот ограничен околу триаголник од круг. Нека е опишана кружница O околу ∆ABC (цртеж 233 Да го конструираме дијаметарот на кругот BD, акордот AD и висината на триаголникот BH).
Тогаш ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - аголот A е прав агол, бидејќи е впишан, врз основа на дијаметарот BD и ∠D = ∠C, како што е впишано, врз основа на еден лак AB). Затоа имаме:
или, нарекувајќи го радиусот OB со R, висината BH за h, и страните AB и BC, како и досега, соодветно со c и a:
но област ∆ABC = Q = bh/2, од каде h = 2Q/b.
Затоа, R = (abc) / (4Q).
Можеме (точка 230 од задача 3) да ја пресметаме плоштината на триаголникот Q врз основа на неговите страни. Од тука можеме да го пресметаме R од трите страни на триаголникот.
238. Пресметување на радиусот на круг впишан во триаголник. Да запишеме во ∆ABC чии страни се дадени (цртеж 234), кружница O. Поврзувајќи го нејзиниот центар O со темињата на триаголникот и со тангентните точки D, E и F на страните на кружницата, ние најдете дека радиусите на кружницата OD, OE и OF служат како височини на триаголниците BOC, COA и AOB.
Повикувајќи го радиусот на впишаниот круг низ r, имаме:
