Наоѓањето на координатите на вектор е прилично вообичаен услов за многу проблеми во математиката. Способноста да пронајдете векторски координати ќе ви помогне во други, повеќе сложени задачисо слични теми. Во оваа статија ќе ја разгледаме формулата за наоѓање векторски координати и неколку проблеми.
Наоѓање на координати на вектор во рамнина
Што е авион? Рамнината се смета за дводимензионален простор, простор со две димензии (димензијата x и димензијата y). На пример, хартијата е рамна. Површината на масата е рамна. Секоја неволуметриска фигура (квадрат, триаголник, трапез) е исто така рамнина. Така, ако во изјавата за проблемот треба да ги пронајдете координатите на векторот што лежи на рамнина, веднаш се сеќаваме на x и y. Можете да ги најдете координатите на таков вектор на следниот начин: AB векторски координати = (xB - xA; yB - xA). Од формулата е јасно дека од координатите крајна точкатреба да ги одземете координатите на почетната точка.
Пример:
- Векторското ЦД има почетни (5; 6) и завршни (7; 8) координати.
- Најдете ги координатите на самиот вектор.
- Користејќи ја горната формула, го добиваме следниот израз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Така, координатите на векторот ЦД = (2; 2).
- Според тоа, координатата x е еднаква на два, координатата y е исто така две.
Наоѓање на координати на вектор во просторот
Што е простор? Просторот е веќе тродимензионална димензија, каде што се дадени 3 координати: x, y, z. Ако треба да пронајдете вектор што лежи во просторот, формулата практично не се менува. Се додава само една координата. За да пронајдете вектор, треба да ги одземете координатите на почетокот од крајните координати. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Пример:
- Векторот DF има почетна (2; 3; 1) и конечна (1; 5; 2).
- Применувајќи ја горната формула, добиваме: Векторски координати DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Запомнете, вредноста на координатите може да биде негативна, нема проблем.
Како да најдете векторски координати на интернет?
Ако поради некоја причина не сакате сами да ги најдете координатите, можете да користите онлајн калкулатор. За почеток, изберете ја векторската димензија. За неговите димензии е одговорна димензијата на векторот. Димензијата 3 значи дека векторот е во просторот, димензијата 2 значи дека е на рамнината. Следно, вметнете ги координатите на точките во соодветните полиња и програмата ќе ви ги одреди координатите на самиот вектор. Сè е многу едноставно.
Со кликнување на копчето, страницата автоматски ќе се движи надолу и ќе ви го даде точниот одговор заедно со чекорите за решение.
Се препорачува добро да се учи оваа тема, бидејќи концептот на вектор се наоѓа не само во математиката, туку и во физиката. Студенти на факултет Информатички технологииЈа проучуваат и темата вектори, но на покомплексно ниво.
Ако се дадени две точки од рамнината, тогаш векторот ги има следните координати:
Ако се дадени две точки во просторот, тогаш векторот ги има следните координати:
Тоа е, од координатите на крајот на вектороттреба да ги одземете соодветните координати почеток на векторот.
Вежба:За истите точки запишете ги формулите за наоѓање на координатите на векторот. Формули на крајот од лекцијата.
Пример 1
Дадени се две точки на рамнината и . Најдете векторски координати
Решение:според соодветната формула:
Алтернативно, може да се користи следниов запис:
Естетите ќе одлучат за ова:
Лично, навикнат сум на првата верзија на снимката.
Одговор:
Според условот, не беше потребно да се изгради цртеж (што е типично за задачи аналитичка геометрија), но за да разјаснам некои точки за кукли, нема да бидам премногу мрзлив:
Дефинитивно треба да разберете разлика помеѓу координати на точки и векторски координати:
Точка координати– тоа се обични координати во правоаголен координатен систем. Ставете поени координатна рамнинаМислам дека секој може од 5-6 одделение. Секоја точка има строго место во авионот и тие не можат да се преместат никаде.
Координатите на вектороте нејзиното проширување во однос на основата, во во овој случај. Секој вектор е слободен, па ако е потребно, лесно можеме да го оддалечиме од некоја друга точка во рамнината. Интересно е што за вектори воопшто не треба да се градат оски, правоаголен системкоординати, потребна ви е само основа, во овој случај ортонормална основа на рамнината.
Записите на координати на точки и координати на вектори се чини дека се слични: , и значење на координатитеапсолутно различни, и треба добро да ја знаете оваа разлика. Оваа разлика, се разбира, важи и за вселената.
Дами и господа, да ги наполниме рацете:
Пример 2
а) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
б) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
в) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
г) Дадени се бодови. Најдете вектори.
Можеби тоа е доволно. Ова се примери за независна одлука, потрудете се да не ги запоставите, ќе ви се исплати ;-). Нема потреба да се прават цртежи. Решенија и одговори на крајот од часот.
Што е важно при решавање на аналитички геометриски задачи?Важно е да бидете ИСКЛУЧНО ВНИМАТЕЛНИ за да избегнете да ја направите маестралната грешка „два плус два е еднакво на нула“. Веднаш се извинувам ако згрешив некаде =)
Како да се најде должината на сегментот?
Должината, како што веќе беше забележано, е означена со знакот за модул.
Ако се дадени две точки од рамнината и , тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата
Ако се дадени две точки во просторот, тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата
Забелешка: Формулите ќе останат точни ако се заменат соодветните координати: И , но првата опција е постандардна
Пример 3
Решение:според соодветната формула:
Одговор:
За јасност, ќе направам цртеж 
Линиски сегмент - ова не е вектор, и, се разбира, не можете да го преместите никаде. Дополнително, ако цртате на скала: 1 единица. = 1 cm (две ќелии од тетратка), тогаш добиениот одговор може да се провери со обичен линијар со директно мерење на должината на сегментот.
Да, решението е кратко, но има уште неколку во него важни точкишто би сакал да појаснам:
Прво, во одговорот ја ставаме димензијата: „единици“. Состојбата не кажува ШТО е тоа, милиметри, сантиметри, метри или километри. Затоа, математички точно решение би било општата формулација: „единици“ - скратено како „единици“.
Второ, да повториме училишен материјал, што е корисно не само за разгледуваниот проблем:
Обрни внимание на важно техничка техника – отстранување на мултипликаторот од под коренот. Како резултат на пресметките, имаме резултат и добриот математички стил вклучува отстранување на факторот од под коренот (ако е можно). Подетално процесот изгледа вака: . Се разбира, не би било грешка да се остави одговорот каков што е - но секако би бил недостаток и тежок аргумент за преговарање од страна на наставникот.
Еве други вообичаени случаи: 
Често има доволно во коренот голем број, На пример . Што да се прави во такви случаи? Со помош на калкулаторот проверуваме дали бројот е делив со 4: . Да, тоа беше целосно поделено, така што: 
. Или можеби бројот може повторно да се подели со 4? . Така: 
. Последната цифра од бројот е непарна, па делењето со 4 по трет пат очигледно нема да работи. Ајде да се обидеме да поделиме со девет: . Како резултат:
Подготвени.
Заклучок:ако под коренот добиеме број што не може да се извлече како целина, тогаш се обидуваме да го отстраниме факторот од под коренот - со помош на калкулатор проверуваме дали бројот е делив со: 4, 9, 16, 25, 36, 49, итн.
Во текот на одлуката различни задачикорените се вообичаени, секогаш обидувајте се да извлечете фактори од под коренот за да избегнете пониска оценка и непотребни проблеми со финализирањето на вашите решенија врз основа на коментарите на наставникот.
Ајде, исто така, да го повториме квадратирањето на корените и другите моќи:
Правила за дејствија со степени во општ погледможе да се најде во училишен учебникво алгебра, но мислам дека од дадените примери се или скоро се е веќе јасно.
Задача за независно решение со отсечка во просторот:
Пример 4
Поени и се дадени. Најдете ја должината на сегментот.
Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.
Како да се најде должината на векторот?
Ако е даден рамен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата.
Ако е даден просторен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата 
.
Овие формули (како и формулите за должина на отсечка) лесно се изведуваат со помош на добро познатата Питагорова теорема.
Пример 5
Поени и се дадени. Најдете ја должината на векторот.
Ги земав истите точки како во Пример 3.
Решение:Прво, да го најдеме векторот:
Користејќи ја формулата, ја пресметуваме должината на векторот:
Одговор:
Не заборавајте да ја наведете димензијата - „единици“! Патем, дали е секогаш потребно да се пресмета приближна вредност (во во овој пример 8.94), ако тоа не е потребно во состојбата? Од моја гледна точка, тоа нема да биде излишно; недостатокот на приближна вредност води до собирање гниди. Препорачливо е да се заокружи на 2-3 децимални места.
Ајде да направиме цртеж за задачата:
Која е основната разлика од Пример 3? Разликата е во тоа што овде зборуваме за вектор, а не за сегмент. Векторот може да се премести во која било точка во рамнината.
Кои се сличностите помеѓу Пример 3 и Пример 5? Геометриски е очигледно дека должината на отсечката е еднаква на должината на векторот. Исто така, очигледно е дека должината на векторот ќе биде иста. Како резултат: 
.
б) Со оглед на векторите , и . Најдете ги нивните должини.
Решенија и одговори на крајот од часот.
Во оваа статија, ќе започнеме да разговараме за едно „магично стапче“ кое ќе ви овозможи да намалите многу геометриски проблеми на едноставна аритметика. Овој „стап“ може многу да ви го олесни животот, особено кога не сте сигурни за градење просторни фигури, делови итн. Сето ова бара одредена имагинација и практични вештини. Методот што ќе почнеме да го разгледуваме овде ќе ви овозможи речиси целосно да се апстрахирате од секаков вид геометриски конструкциии расудување. Методот се нарекува „Координатен метод“. Во оваа статија ќе ги разгледаме следниве прашања:
- Координатен авион
- Точки и вектори на рамнината
- Конструирање на вектор од две точки
- Векторска должина (растојание помеѓу две точки).
- Координати на средината на сегментот
- Точка производ на вектори
- Агол помеѓу два вектори
Мислам дека веќе погодивте зошто методот на координати се нарекува така? Така е, го доби тоа име затоа што не работи геометриски објекти, и со нив нумерички карактеристики(координати). И самата трансформација, која ни овозможува да преминеме од геометријата во алгебра, се состои во воведување на координатен систем. Ако првобитната фигура била рамна, тогаш координатите се дводимензионални, а ако фигурата е тродимензионална, тогаш координатите се тридимензионални. Во оваа статија ќе го разгледаме само дводимензионалниот случај. И главната цел на статијата е да ве научи како да користите некои основни техникикоординатен метод (некогаш испаѓаат корисни при решавање на проблеми на планиметрија во Дел Б од Обединетиот државен испит). Следните два дела на оваа тема се посветени на дискусија за методите за решавање на проблемите C2 (проблемот на стереометријата).
Каде би било логично да се започне со дискусија за методот на координати? Веројатно од концептот на координатен систем. Запомнете кога првпат се сретнавте со неа. Ми се чини дека во 7 одделение, кога научи за постоењето линеарна функција, На пример. Дозволете ми да ве потсетам дека го изградивте точка по точка. Дали се сеќаваш? Вие избравте произволен број, го замени во формулата и го пресмета на овој начин. На пример, ако, тогаш, ако, тогаш итн. Што добивте на крајот? И добивте поени со координати: и. Потоа, нацртавте „крст“ (координатен систем), избравте скала на неа (колку ќелии ќе имате како единичен сегмент) и ги означивте точките што сте ги добиле на него, кои потоа ги поврзавте со права линија; линијата е графикот на функцијата.
Овде има неколку точки што треба да ви се објаснат малку подетално:
1. Избирате еден сегмент од погодност, за се убаво и компактно да се вклопи во цртежот.
2. Прифатено е дека оската оди од лево кон десно, а оската оди од дното кон врвот
3. Тие се сечат под прав агол, а точката на нивното вкрстување се нарекува почеток. Тоа е означено со буква.
4. При пишувањето на координатите на точката, на пример, лево во загради стои координатата на точката по оската, а десно по оската. Конкретно, тоа едноставно значи дека во точката
5. Со цел да се постави која било точка на координатна оска, треба да ги наведете неговите координати (2 броја)
6. За која било точка што лежи на оската,
7. За која било точка што лежи на оската,
8. Оската се нарекува х-оска
9. Оската се нарекува y-оска
Сега ајде да го направиме тоа со вас следен чекор: Да одбележиме две точки. Ајде да ги поврземе овие две точки со отсечка. И ќе ја ставиме стрелката како да цртаме сегмент од точка до точка: односно, ќе го направиме нашиот сегмент насочен!
Запомнете како се нарекува друг насочен сегмент? Така е, се вика вектор!
Значи, ако поврземе точка со точка, и почетокот ќе биде точка А, а крајот ќе биде точка Б,тогаш добиваме вектор. Оваа конструкција ја правевте и во 8 одделение, се сеќавате?
Излегува дека векторите, како и точките, може да се означат со два броја: овие броеви се нарекуваат векторски координати. Прашање: Дали мислите дека е доволно да ги знаеме координатите на почетокот и крајот на векторот за да ги најдеме неговите координати? Излегува дека да! И ова е направено многу едноставно:
Така, бидејќи во векторот точката е почеток, а точката е крај, векторот ги има следните координати:
На пример, ако, тогаш координатите на векторот
Сега да го направиме спротивното, да ги пронајдеме координатите на векторот. Што треба да промениме за ова? Да, треба да го замените почетокот и крајот: сега почетокот на векторот ќе биде во точката, а крајот ќе биде во точката. Потоа:
Погледнете внимателно, која е разликата помеѓу вектори и? Нивната единствена разлика се знаците во координатите. Тие се спротивни. Овој факт обично се пишува вака:
Понекогаш, ако конкретно не е наведено која точка е почеток на векторот, а која е крај, тогаш векторите се означуваат со повеќе од два со големи букви, и една мала буква, на пример: , итн.
Сега малку вежбањесами и пронајдете ги координатите на следните вектори:
Испитување:
Сега реши малку потежок проблем:
Вектор со почеток во точка има co-or-di-na-you. Најдете ги точките abs-cis-su.
Сеедно е сосема прозаично: Нека се координатите на точката. Потоа
Системот го составив врз основа на дефиницијата што се векторски координати. Тогаш точката има координати. Ние сме заинтересирани за апсцисата. Потоа
Одговор:
Што друго можете да направите со вектори? Да, речиси сè е исто како и со обични броеви(освен што не можете да делите, но можете да множите на два начина, од кои едниот ќе разговараме овде малку подоцна)
- Векторите може да се додадат еден на друг
- Векторите може да се одземат еден од друг
- Векторите може да се помножат (или поделат) со произволен број што не е нула
- Векторите можат да се множат еден со друг
Сите овие операции имаат многу јасна геометриска претстава. На пример, правилото за триаголник (или паралелограм) за собирање и одземање:
Вектор се протега или се собира или ја менува насоката кога се множи или дели со број:
Меѓутоа, овде ќе не интересира прашањето што се случува со координатите.
1. При собирање (одземање) два вектори, ги додаваме (одземаме) нивните координати елемент по елемент. Тоа е:
2. При множење (делење) на вектор со број, сите негови координати се множат (поделат) со овој број:
На пример:
· Најдете ја количината на ко-ор-ди-нат век-до-ра.
Ајде прво да ги најдеме координатите на секој од векторите. И двајцата имаат исто потекло - точка на потекло. Нивните краеви се различни. Потоа,. Сега да ги пресметаме координатите на векторот.Тогаш збирот на координатите на добиениот вектор е еднаков.
Одговор:
Сега сами решете го следниот проблем:
· Најдете го збирот на векторските координати
Проверуваме:
Ајде сега да го разгледаме следниот проблем: имаме две точки на координатната рамнина. Како да се најде растојанието меѓу нив? Нека биде првата точка, а втората. Да го означиме растојанието меѓу нив со. Ајде да го направиме следниот цртеж за јасност:
Што направив? Прво, се поврзав точки и, аисто така повлече линија од точката, паралелно со оската, и од точката нацртав права паралелна на оската. Дали тие се пресекле во точка, формирајќи извонредна фигура? Што е толку посебно за неа? Да, јас и ти знаеме речиси сè за правоаголен триаголник. Па, Питагоровата теорема сигурно. Потребниот сегмент е хипотенузата на овој триаголник, а отсечките се катетите. Кои се координатите на точката? Да, тие се лесно да се најдат од сликата: Бидејќи отсечките се паралелни со оските и, соодветно, лесно се наоѓаат нивните должини: ако должините на отсечките ги означуваме со, соодветно, тогаш
Сега да ја користиме Питагоровата теорема. Ги знаеме должините на нозете, ќе ја најдеме хипотенузата:
Така, растојанието помеѓу две точки е коренот на збирот на квадратните разлики од координатите. Или - растојанието помеѓу две точки е должината на сегментот што ги поврзува. Лесно е да се види дека растојанието помеѓу точките не зависи од насоката. Потоа:
Од тука извлекуваме три заклучоци:
Ајде да вежбаме малку за пресметување на растојанието помеѓу две точки:
На пример, ако, тогаш растојанието помеѓу и е еднакво на
Или да одиме на друг начин: пронајдете ги координатите на векторот
И пронајдете ја должината на векторот:
Како што можете да видите, тоа е истото!
Сега вежбајте малку сами:
Задача: најдете го растојанието помеѓу наведените точки:
Проверуваме:
Еве уште неколку проблеми со користење на истата формула, иако звучат малку поинаку:
1. Најдете го квадратот на должината на очниот капак.
2. Најдете го квадратот на должината на очниот капак
Мислам дека се справивте со нив без тешкотии? Проверуваме:
1. И ова е за внимание) Координатите на векторите веќе ги најдовме порано: . Тогаш векторот има координати. Квадратот на неговата должина ќе биде еднаков на:
2. Најдете ги координатите на векторот
Тогаш квадратот на неговата должина е
Ништо комплицирано, нели? Едноставна аритметика, ништо повеќе.
Следниве проблеми не можат да се класифицираат недвосмислено; тие се повеќе за општата ерудиција и способноста за цртање едноставни слики.
1. Најдете го синусот на аголот од сечењето, поврзувајќи ја точката, со оската на апсцисата.
И
Како ќе продолжиме овде? Треба да го најдеме синусот на аголот помеѓу и оската. Каде можеме да бараме синус? Така е, во правоаголен триаголник. Значи, што треба да правиме? Изградете го овој триаголник!
Бидејќи координатите на точката се и, тогаш отсечката е еднаква на, и отсечката. Треба да го најдеме синусот на аголот. Да ве потсетам дека синусот е сооднос спротивна странадо хипотенузата, тогаш
Што ни останува да направиме? Најдете ја хипотенузата. Можете да го направите ова на два начина: користејќи ја Питагоровата теорема (нозете се познати!) или користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки (всушност, исто како и првиот метод!). Ќе одам по вториот пат:
Одговор:
Следната задача ќе ви изгледа уште полесна. Таа е на координатите на точката.
Задача 2.Од точката per-pen-di-ku-lyar се спушта на оската ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Ајде да направиме цртеж:
Основата на нормалната е точката во која ја сече оската x (оската), за мене ова е точка. На сликата се гледа дека има координати: . Ние сме заинтересирани за апсцисата - односно компонентата „x“. Таа е еднаква.
Одговор: .
Задача 3.Во услови претходна задачанајдете го збирот на растојанијата од точката до координатните оски.
Задачата е генерално елементарна ако знаете колку е растојанието од точка до оските. Знаеш? Се надевам, но сепак ќе ве потсетам:
Значи, на мојот цртеж веднаш погоре, дали веќе нацртав една таква нормална? На која оска е? До оската. И колкава е неговата должина тогаш? Таа е еднаква. Сега сами нацртајте нормална на оската и пронајдете ја нејзината должина. Ќе биде еднакво, нели? Тогаш нивниот збир е еднаков.
Одговор: .
Задача 4.Во услови на задача 2, најдете ја ординатата на точката, симетрична точкаво однос на оската на апсцисата.
Мислам дека интуитивно ти е јасно што е симетрија? Многу предмети го имаат: многу згради, маси, авиони, многу геометриски фигури: топка, цилиндар, квадрат, ромб итн. Грубо кажано, симетријата може да се разбере на следниов начин: фигурата се состои од две (или повеќе) идентични половини. Оваа симетрија се нарекува аксијална симетрија. Што е тогаш оска? Ова е токму линијата по која фигурата може, релативно кажано, да се „пресече“ на еднакви половини (на оваа слика оската на симетријата е права):
Сега да се вратиме на нашата задача. Знаеме дека бараме точка која е симетрична во однос на оската. Тогаш оваа оска е оската на симетрија. Тоа значи дека треба да означиме точка така што оската ќе го пресече сегментот на два еднакви дела. Обидете се сами да означите таква точка. Сега споредете со моето решение:
Дали ти успеа на ист начин? Добро! Ние сме заинтересирани за ординатата на пронајдената точка. Тоа е еднакво
Одговор:
Сега кажи ми, откако ќе размислам неколку секунди, колкава ќе биде апсцисата на точката симетрична на точката А во однос на ординатата? Кој е вашиот одговор? Точен одговор: .
ВО општ случајправилото може да се напише вака:
Точка симетрична на точка во однос на оската на апсцисата ги има координатите:
Точка симетрична на точка во однос на оската на ординатите има координати:
Па, сега е сосема страшно задача: најдете координати на точка симетрична на точката во однос на потеклото. Прво размислете сами, а потоа погледнете го мојот цртеж!
Одговор:
Сега проблем на паралелограм:
Задача 5: Точките се појавуваат вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.
Овој проблем можете да го решите на два начина: логика и метод на координати. Прво ќе го користам методот на координати, а потоа ќе ви кажам како можете да го решите поинаку.
Сосема е јасно дека апсцисата на точката е еднаква. (тоа лежи на нормалната нацртана од точката до оската на апсцисата). Треба да ја најдеме ординатата. Ајде да го искористиме фактот дека нашата фигура е паралелограм, тоа значи. Ајде да ја најдеме должината на отсечката користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки:
Ние го спуштаме нормалното поврзување на точката со оската. Пресечната точка ќе ја означам со буква.
Должината на сегментот е еднаква. (најдете го проблемот сами каде што разговаравме за оваа точка), тогаш ќе ја најдеме должината на сегментот користејќи ја Питагоровата теорема:
Должината на отсечката точно се совпаѓа со нејзината ордината.
Одговор: .
Друго решение (само ќе дадам слика што го илустрира тоа)
Напредокот на решението:
1. Спроведување
2. Најдете ги координатите на точката и должината
3. Докажете го тоа.
Друг проблем со должина на сегментот:
Точките се појавуваат на врвот на триаголникот. Најдете ја должината на нејзината средна линија, паралелна.
Дали се сеќавате што е тоа средна линијатријаголник? Тогаш оваа задача е елементарна за вас. Ако не се сеќавате, тогаш ќе ве потсетам: средната линија на триаголникот е линијата што ги поврзува средните точки спротивни страни. Таа е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.
Основата е сегмент. Должината требаше да ја бараме порано, еднаква е. Тогаш должината на средната линија е половина поголема и еднаква.
Одговор: .
Коментар: овој проблем може да се реши на друг начин, на кој ќе се осврнеме малку подоцна.
Во меѓувреме, еве неколку проблеми за вас, вежбајте на нив, тие се многу едноставни, но ви помагаат да се подобрите во користењето на методот на координати!
1. Точките се врвот на тра-пе-циите. Најдете ја должината на нејзината средна линија.
2. Поени и појави вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.
3. Најдете ја должината од сечењето, поврзувајќи ја точката и
4. Најдете ја областа зад обоената фигура на координативната рамнина.
5. Низ точката поминува круг со центар во na-cha-le ko-or-di-nat. Најди ја ра-ди-нас.
6. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за прав-агол-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или -ди-на-толку си одговорен.
Решенија:
1. Познато е дека средната линија на трапезот е еднаква на половина од збирот на неговите основи. Основата е еднаква, а основата. Потоа
Одговор:
2. Најлесен начин да се реши овој проблем е да се забележи тоа (паралелограм правило). Пресметувањето на координатите на векторите не е тешко: . Кога се собираат вектори, се додаваат координатите. Потоа има координати. Точката исто така ги има овие координати, бидејќи потеклото на векторот е точката со координатите. Ние сме заинтересирани за ординатата. Таа е еднаква.
Одговор:
3. Веднаш постапуваме според формулата за растојание помеѓу две точки:
Одговор:
4. Погледни ја сликата и кажи ми меѓу кои две фигури се наоѓа засенчената област? Сендвич е помеѓу два квадрати. Тогаш површината на саканата фигура е еднаква на површината на големиот квадрат минус плоштината на малиот. Страна мал плоштаде отсечка што поврзува точки и Неговата должина е
Тогаш површината на малиот плоштад е
Ние го правиме истото со голем квадрат: неговата страна е сегмент што ги поврзува точките, а неговата должина е
Тогаш површината на големиот плоштад е
Ја наоѓаме областа на саканата фигура користејќи ја формулата:
Одговор:
5. Ако кругот го има потеклото како центар и минува низ точка, тогаш неговиот радиус ќе биде точно еднаква на должинатасегмент (направете цртеж и ќе разберете зошто е тоа очигледно). Ајде да ја најдеме должината на овој сегмент:
Одговор:
6. Познато е дека радиусот на кругот опкружен со правоаголник еднакво на половинанеговите дијагонали. Ајде да ја најдеме должината на која било од двете дијагонали (на крајот на краиштата, во правоаголник тие се еднакви!)
Одговор:
Па, дали се справивте со се? Не беше многу тешко да се сфати, нели? Тука има само едно правило - бидете во можност да направите визуелна слика и едноставно да ги „прочитате“ сите податоци од неа.
Ни остана многу малку. Има буквално уште две точки за кои би сакал да разговарам.
Ајде да се обидеме да го решиме овој едноставен проблем. Дозволете два поени и се дадени. Најдете ги координатите на средната точка на отсечката. Решението за овој проблем е следново: нека точката е посакуваната средина, тогаш таа има координати:
Тоа е: координати на средината на отсечката = аритметичка средина на соодветните координати на краевите на отсечката.
Ова правило е многу едноставно и обично не предизвикува потешкотии за учениците. Ајде да видиме во какви проблеми и како се користи:
1. Најди-ди-те или-ди-на-ту се-ре-ди-ни од-сече, поврзи-точка и
2. Се чини дека бодовите се врвот на светот. Најди-ди-те или-ди-на-ту поени пер-ре-се-че-нија на неговата дија-го-на-леј.
3. Најди-ди-те апс-цис-су центарот на кругот, опише-сан-ној за правоаголното-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или-ди-на-ти толку-одговорно-но.
Решенија:
1. Првиот проблем е едноставно класичен. Продолжуваме веднаш да ја одредиме средината на сегментот. Има координати. Ординатата е еднаква.
Одговор:
2. Лесно е да се види дека овој четириаголник е паралелограм (дури и ромб!). Можете да го докажете тоа сами со пресметување на должините на страните и споредувајќи ги едни со други. Што знам за паралелограмите? Неговите дијагонали се поделени на половина со точката на пресек! Да! Значи, која е точката на пресек на дијагоналите? Ова е средината на која било од дијагоналите! Ќе изберам, особено, дијагоналата. Тогаш точката има координати Ординатата на точката е еднаква на.
Одговор:
3. Со што се совпаѓа центарот на кругот опишан околу правоаголникот? Се совпаѓа со пресечната точка на неговите дијагонали. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот? Тие се еднакви и точката на пресек ги дели на половина. Задачата беше сведена на претходната. Да ја земеме, на пример, дијагоналата. Тогаш, ако е центарот на кружниот круг, тогаш е средната точка. Барам координати: Апсцисата е еднаква.
Одговор:
Сега вежбајте малку сами, само ќе ги дадам одговорите на секој проблем за да можете да се тестирате.
1. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за триаголникот-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-ор-ди -нема господари
2. Најдете-ди-те или-ди-на-оној центар на кругот, опишете-сан-ној за триаголникот-но-ка, чии врвови имаат координати
3. Каква ра-ди-у-са треба да има круг со центар во точка така што ќе ја допира оската ab-ciss?
4. Најди-ди-тие или-ди-на-таа точка на повторно пресекување на оската и од-пресечете, поврзете ја-точката и
Одговори:
Дали сè беше успешно? Навистина се надевам на тоа! Сега - последниот притисок. Сега бидете особено внимателни. Материјалот што сега ќе го објаснам е директно поврзан не само со едноставни задачидо методот на координати од делот Б, но се среќава и насекаде во задачата C2.
Кое од моите ветувања сè уште не сум го исполнил? Запомнете кои операции на вектори ветив дека ќе ги воведам и кои на крајот ги воведов? Дали си сигурен дека ништо не заборавив? Заборави! Заборавив да објаснам што значи векторско множење.
Постојат два начина да се множи вектор со вектор. Во зависност од избраниот метод, ќе добиеме предмети од различна природа:
Вкрстениот производ е направен доста паметно. Како да го направиме тоа и зошто е потребно, ќе разговараме во следната статија. И во овој ќе се фокусираме на скаларниот производ.
Постојат два начини кои ни овозможуваат да го пресметаме:
Како што претпоставувате, резултатот треба да биде ист! Значи, прво да го погледнеме првиот метод:
Производ со точки преку координати
Најдете: - општо прифатена нотација за скаларен производ
Формулата за пресметка е како што следува:
Тоа е скаларен производ= збир на производи од векторски координати!
Пример:
Најди-ди-те
Решение:
Ајде да ги најдеме координатите на секој од векторите:
Ние го пресметуваме скаларниот производ користејќи ја формулата:
Одговор:
Видете, апсолутно ништо комплицирано!
Па, сега пробајте сами:
· Најдете скаларен про-из-ве-де-ние од векови и
Дали се снајде? Можеби забележавте мал улов? Ајде да провериме:
Векторски координати како во последна задача! Одговор:.
Покрај координатниот, постои уште еден начин за пресметување на скаларниот производ, имено, преку должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив:
Го означува аголот помеѓу векторите и.
Односно, скаларниот производ е еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.
Зошто ни е потребна оваа втора формула, ако ја имаме првата, која е многу поедноставна, барем во неа нема косинуси. И тоа е потребно за од првата и втората формула да можеме јас и ти да заклучиме како да го најдеме аголот помеѓу векторите!
Нека Потоа запомнете ја формулата за должината на векторот!
Потоа, ако ги заменам овие податоци во формулата за скаларен производ, добивам:
Но, на друг начин:
Па, што добивме јас и ти? Сега имаме формула која ни овозможува да го пресметаме аголот помеѓу два вектори! Понекогаш за кратко се пишува и вака:
Односно, алгоритмот за пресметување на аголот помеѓу векторите е како што следува:
- Пресметајте го скаларниот производ преку координати
- Најдете ги должините на векторите и помножете ги
- Поделете го резултатот од точка 1 со резултатот од точка 2
Ајде да вежбаме со примери:
1. Најдете го аголот помеѓу очните капаци и. Дајте го одговорот во град-ду-сах.
2. Во услови на претходната задача, најди го косинусот меѓу векторите
Ајде да го направиме ова: ќе ти помогнам да го решиш првиот проблем, а вториот обиди се да го направиш самиот! Се согласувам? Тогаш да почнеме!
1. Овие вектори се нашите стари пријатели. Веќе го пресметавме нивниот скаларен производ и беше еднаков. Нивните координати се: , . Потоа ги наоѓаме нивните должини:
Потоа го бараме косинусот помеѓу векторите:
Колку изнесува косинусот на аголот? Ова е аголот.
Одговор:
Па, сега сами решете го вториот проблем, па споредете! Ќе дадам само многу кратко решение:
2. има координати, има координати.
Нека е аголот помеѓу векторите и тогаш
Одговор:
Треба да се забележи дека проблемите директно на вектори и методот на координати во делот Б испитен труддоста ретко. Сепак, огромното мнозинство на C2 проблеми може лесно да се решат со воведување на координатен систем. Така, можете да го сметате овој напис за основата врз основа на која ќе направиме доста паметни конструкции што ќе ни требаат за решавање на сложени проблеми.