"ಪ್ರೊಫೆಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಟ್ಯೂಟರ್" ವೆಬ್‌ಸೈಟ್ ಬೋಧನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೇಖನಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದೆ. ನಾನು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ನನ್ನ ಕೆಲಸದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುತ್ತೇನೆ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಷಯಗಳುಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ಈ ವಸ್ತು 8-11 ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರಗತಿಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ.
ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಯಾವಾಗಲೂ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅಂತಹ ವಿಷಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಆಗುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ಕೈಪಿಡಿಗಳ ಲೇಖಕರನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ದೋಷಗಳನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಅರೆಕಾಲಿಕ ಬೋಧಕರಿಗೆ (ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಬೋಧಕರು) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನುಭವಿ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಅನುಭವ ಮತ್ತು ಅರ್ಹತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮರ್ಥ ಒರಟುತನ ಸರಿಪಡಿಸುವವರ ಪ್ರತಿಭೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳುಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ಇದನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳು (ಅಥವಾ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು) ಅಗತ್ಯವೆಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮಕ್ಕಳಿಂದ ಅದರ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಕ್ಕಳು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು, ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ಲೇಖಕರು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮೂಹಿಕವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುವ ಸಮಯ ಕಳೆದಿದೆ. ಹಿಂದೆ, ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಗಂಭೀರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿಸಲು ಶ್ರಮಿಸುವ ಹವ್ಯಾಸಿಗಳಿಗೆ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲವಾದ ಗಣಿತ ತರಗತಿಗಳ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.
ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಓಟವು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ನಿಜವಾದ ಜ್ಞಾನಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಆದರೆ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರೂ ಗಮನ ಹರಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮಕ್ಕಳು ಈಗಾಗಲೇ 8 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಏನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಉನ್ನತ ಪದವಿಗಳುಮತ್ತು ಬೇರೆ ಏನಾದರೂ. ಮಗುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಗ್ರಹಿಕೆಗಾಗಿ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪಾಂತರವು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಇದನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ನಿಭಾಯಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಯಸ್ಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ "ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು" ಅಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯವನ್ನು ಕಲಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಅಷ್ಟೊಂದು ಒತ್ತುವಿರಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ. ಈಗ ಟೆಲ್ಯಾಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಲೇಖಕರು, ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಾಳು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅನಗತ್ಯ ಚಿಂತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತದ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಶಾಲೆಗಳು ಮತ್ತು ತರಗತಿಗಳ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಲೇಖಕರ ನಾವೀನ್ಯತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ, ತಮ್ಮ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ಯಾರಾಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಸುಂದರವಾದ ಪುಟಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. ಬೋಧಕ: “ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗ ಏನು? ನಾವು ಇದರ ಮೂಲಕ ಹೋಗುತ್ತೇವೆಯೇ? ಮೂಲೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಇನ್ನು ಇಂತಹ ನೇರ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಂದ ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೋಧಕನು ಮಗುವಿಗೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೇಳಬೇಕು.
ಆದರೆ ಹಾಗೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾನು ಬಹುಶಃ ವಿವರಿಸುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲವೂ ನಮ್ಮೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ? ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಬರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ದೂರುತ್ತಾರೆಯೇ? ಗೆ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆಯೇ? ಗ್ರೇಟ್! ಕೆಲವು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಏಕೆ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ? ಕೆಲವನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡೋಣ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮೂಲೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಅದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುವವರಿಗೆ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಬೋಧಕರು? ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕರ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ? ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರೂ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೇ? ನಾವು ವಸ್ತುವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರಳವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷಯದ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದರ ತರ್ಕವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಲೇಖಕರ ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. . ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಮಂಜು ಇರುತ್ತದೆ. ಲೇಖಕರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿದ್ದರೆ ಬಲವಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು(ಆದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು), ನಂತರ ನೀವು ಕಮಾಂಡ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಾರದು. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಾವು ಏನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ? ಮಕ್ಕಳೇ, ನಾವು ಈ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಜಿಸಬೇಕು. ಕೋನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂಲೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಹುಪದದಿಂದ ಏಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶೇಷದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು ಏಕೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಮರ್ಥ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಹಾಕುತ್ತಾನೆ ದಪ್ಪ ಚಿಹ್ನೆಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ವಿವರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಶ್ನೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನನ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾನು ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರ ಗಮನಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು x-a, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯಿಂದ. ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಬೋಧನಾ ವಿಧಾನ ಎಂದರೇನು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗಣಿತದ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಷಯಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿ ಅಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಮಗುವನ್ನು ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೊದಲು. ಇದು ಅತೀ ಮುಖ್ಯವಾದುದು! ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ. ಆಯ್ದ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು 7 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ. ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿವರಣೆಗಳು, ಒತ್ತು ಮತ್ತು ಸಲಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸಲಹೆ- ಮೊದಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ಅದರ X ಬದಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x=1 ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪದಗಳಾಗಿ ಕೊಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಮತ್ತು ಕೆಲವು ಏಕಪದೀಯ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ
ನಾವು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ದುರ್ಬಲನಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವನು ಗಣಿತದ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮರ್ಥನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ: . ಅದನ್ನು ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬೋಧಕರನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕೇಳಬೇಕು. ಈ ವರ್ಚುವಲ್ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಾಣಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಸ್ವಲ್ಪ ಫೋಟೋ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಸಹಿ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಬಣ್ಣದಿಂದ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಲಿ. ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಕಲನದ ಮೂಲಕ ಈ ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲು ನಾನು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ (1 ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕು. ಮೊದಲ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಹ ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಾವು "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಮೂಲ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅದನ್ನು ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ, ಅದರಿಂದ ಅದೇ ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ. ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಮುಂದೆ ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ತುಂಬಲು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ.
ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕೆಂಪು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಏಕಪದವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅದು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬಹುಪದದ ಪ್ರಮುಖ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಫ್ರೇಮ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ, ತಕ್ಷಣವೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮಡಿಸುವ ಒಂದರಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿ
ನಾವು ಅದನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಈಗ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು "x ಮೈನಸ್ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ."
ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಯೋಚಿಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು, ಗಣಿತ ಬೋಧಕನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಎಲ್ಲಾ ಹಸಿರು ಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶೇಷಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ, ನಾವು ರೂಟ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕೊಳೆಯುತ್ತದೆ.
ಇದರ ನಂತರ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕೆಲಸಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತ ಬೋಧಕರಿಗೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಂದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯದೆ. ರೇಖೀಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಮೂಲೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಯ್ದ ಕೆಂಪು ಮೊನೊಮಿಯಲ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈಗ ಅವರು ಏಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ), “ನೀಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು” ಪಡೆಯಲು, “ಕೆಂಪು "ಅವುಗಳನ್ನು x-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದಾಗ ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಗಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಕ್ಕೆ ಸಾದೃಶ್ಯವಿದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ಹಸಿರು ಅವಶೇಷಗಳು" ಹೊಸ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ ಮತ್ತು "ಕೆಂಪು ಮಾನೋಮಿಯಲ್ಸ್" ಆಯ್ಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನೀವು ಶೂನ್ಯ "ಹಸಿರು ಸಮತೋಲನ" ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅದೃಷ್ಟಕೋನದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನ ಕೆಲಸದ ಮುಂದಿನ ಹಂತವೆಂದರೆ ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೋಧಕರ ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು , ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲದಿಂದ ಮೂರು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. :
- ನೇರ ವಿಭಜನೆ (ಗುಂಪು ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸದೃಶವಾಗಿ)
- ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ)
- ಹಾರ್ನರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಮೂಲಕ
ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರೂ ಅಲ್ಲ ಶಾಲೆಯ ಶಿಕ್ಷಕರು(ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಬೋಧಕರಿಗೆ) ಅವರು ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ತುಂಬಾ ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಗಣಿತ ತರಗತಿದೀರ್ಘ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ನನಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರಣವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿಕೊಳೆಯುವ ತಂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಗುವಿಗೆ ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹಸಿರು ಅವಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನೋಟವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಾಕು. ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಮೊದಲ "ಕೆಂಪು ಏಕಪದ" ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ"ಕೆಂಪು ಮಾನೋಮಿಯಲ್" ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಸೇರಿಸಿಗುಣಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಿಶ್ಚಿತಗಳ ಮೇಲೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಗಮನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡದೆಯೇ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಆದ್ಯತೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದವಿ ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕೆಂಪು ಬಹುಪದಗಳ" ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು "ಕೊಕ್ಕೆ" ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: 
ಮೂಲವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಕೆಂಪು ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೊನೆಯ "ಹಸಿರು ಶೇಷ" ದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಶೇಷದ ನಡುವೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆಎರಡನೇ (ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ.
a ಮೂಲವು ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್‌ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಮೂಲದ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಹಾರ್ನರ್ನ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಮೇಯ ಇದ್ದರೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಈ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಎಡದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ, ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಅಪವರ್ತನದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ತುಂಬಾ ಆರಾಮದಾಯಕ.
ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಗಣಿತದ ಬೋಧಕನು ತನ್ನ ಇತ್ಯರ್ಥಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. "ವಾರಕ್ಕೊಮ್ಮೆ" ಆಡಳಿತದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬೋಧಕನು ಮೂಲೆಯ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಬಾರದು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ರಾಜ್ಯ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬೋಧಕನು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಮಗುವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂಕಲನಕಾರರಂತಲ್ಲದೆ, ಅರ್ಜಿದಾರರ ಜ್ಞಾನದ ಆಳವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ.
ಕೋಲ್ಪಕೋವ್ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್, ಗಣಿತ ಬೋಧಕ ಮಾಸ್ಕೋ, ಸ್ಟ್ರೋಗಿನೊ
ಹಿಂದೆ ಮುಂದೆ
ಗಮನ! ಸ್ಲೈಡ್ ಪೂರ್ವವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಮಾಹಿತಿ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ ಈ ಕೆಲಸ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪೂರ್ಣ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ.
ಪಾಠದ ಪ್ರಕಾರ: ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸುವ ಪಾಠ.
ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶ:
- ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಸಿ. ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿ.
- ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯಿರಿ.
- ಅಮೂರ್ತ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
- ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
- ಅಂತರಶಿಸ್ತೀಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ.
ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.
ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ತಿಳಿಸಿ, ಗುರಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.
2. ಮನೆಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.
3. ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು.
Fn(x) ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - ಡಿಗ್ರಿ n ನ x ಗಾಗಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ, ಅಲ್ಲಿ a 0 , a 1 ,..., a n ಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ದ್ವಿಪದ x-a, ನಂತರ ಅಂಶವು (ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶ) n-1 ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೀಯ Q n-1 (x) ಆಗಿದೆ, ಉಳಿದ R ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು R=0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-a) ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ: ಬಹುಪದೀಯ F n (x) ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-a) ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಉಳಿದ R x=a ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ F n (x) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. R=Pn(a).
ಸ್ವಲ್ಪ ಇತಿಹಾಸ. ಬೆಝೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಬಹುಪದೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಇದು ನಮಗೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು(ಇದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ). ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ಮಾಡುವುದು. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಎಂಬ ಕೋಷ್ಟಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂಶವು ದ್ವಿಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ x–a.
ಹಾರ್ನರ್ ವಿಲಿಯಂ ಜಾರ್ಜ್ (1786 - 1837), ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಮೂಲಭೂತ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 1819 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x - a (ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು.
ತೀರ್ಮಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಗಾಗಿ.
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ f(x) ಅನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-c) ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ q(x) ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಂದರೆ f(x)=(x-c)q(x)+r
ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾರ್ನರ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್‌ನ ಪ್ರದರ್ಶನ.
ವ್ಯಾಯಾಮ 1.ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಬಹುಪದೀಯ f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-2 ನಿಂದ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ಅಲ್ಲಿ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 ಶೇಷ.
ದ್ವಿಪದದ ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ವಿಸ್ತರಣೆ.
ಹಾರ್ನರ್ಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ದ್ವಿಪದದ (x+2) ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
ಮೂರನೆಯ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-a ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದಾಗ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಬಹುಪದದ ಮೂಲ F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ವೇಳೆ x=aಬಹುಪದೀಯ F n (x) ನ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: F n (a)=0, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ x-a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಬಹುಪದದ F 3 (x)=3x 3 -2x-20 ನ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ F 3 (2)=0. ಎಂದರೆ. ಈ ಬಹುಪದದ ಅಪವರ್ತನವು x-2 ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ F n(x). ಎನ್ 1 ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು ಎನ್ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು.
ಯಾವುದಾದರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೂಲಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.
ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೇರುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಬಲವರ್ಧನೆ.
ಹೊಸ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 2.41 ಮತ್ತು 2.42 (ಪು. 65) ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
(2 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವರು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ).
ಸಾರಾಂಶ.
ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್‌ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಬೈನರಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಆಧಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ
ಪ್ರಮೇಯ.ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು Apನಿಂದ ಪ-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಡಿಅಗತ್ಯ Apಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿ ಡಿ, ಅದೇ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಪಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗುವವರೆಗೆ -ary ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ವಿಭಾಗದಿಂದ ಉಳಿದವು ಇರುತ್ತದೆ ಡಿ- ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಕೆಗಳು ಜಾಹೀರಾತು, ಕಿರಿಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಅತ್ಯಂತ ಹಿರಿಯರವರೆಗೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು ಪ-ಅರಿ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ಈ ನಿಯಮವು ಯಾವಾಗ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ= 10, ಅಂದರೆ. ಅನುವಾದಿಸುವಾಗ ನಿಂದದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಇದು "ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ" ಬೈನರಿ ಸಿಸ್ಟಮ್. ಆದ್ದರಿಂದ, "2 ರಿಂದ 10" ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು, ಬೈನರಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ ಹತ್ತರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು "10 ರಿಂದ 2" ಹತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ. "10 ಇನ್ 2" ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹಾರ್ನರ್ನ ಆರ್ಥಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.
ಮನೆಕೆಲಸ. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
1 ನೇ. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬಹುಪದವನ್ನು f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ (x-3) ಭಾಗಿಸಿ.
2 ನೇ. ಬಹುಪದದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೂಲವು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ)
ಸಾಹಿತ್ಯ.
- ಕುರೋಶ್ ಎ.ಜಿ. "ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್."
- ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ S.M., ಪೊಟಾಪೋವ್ M.K. ಮತ್ತು ಇತರರು ಗ್ರೇಡ್ 10 "ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
ಸ್ಲೈಡ್ 3
ಹಾರ್ನರ್ ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ ಜಾರ್ಜ್ (1786-22.9.1837) - ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಬ್ರಿಸ್ಟಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು, ನಂತರ ಬಾತ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಕೃತಿಗಳು. 1819 ರಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗ ರುಫಿನಿ-ಹಾರ್ನರ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ವಿಧಾನವು 13 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಚೀನೀಯರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು) ದ್ವಿಪದ x-a ನಿಂದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಹಾರ್ನರ್ ನಂತರ.
ಸ್ಲೈಡ್ 4
ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ
ವಿಭಾಗ ವಿಧಾನ n ನೇ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿರೇಖೀಯ ದ್ವಿಪದದ ಮೇಲೆ ಪದವಿ - a, ಅಪೂರ್ಣ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳು ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ:
ಸ್ಲೈಡ್ 5
ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಭಾಗಿಸಿ ಆಂಶಿಕ ಅಂಶವು x3-x2+3x - 13 ಮತ್ತು ಶೇಷವು 42=f(-3).
ಸ್ಲೈಡ್ 6
ಈ ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಾಂದ್ರತೆ ವೇಗದ ವಿಭಜನೆಬಹುಪದದಿಂದ ದ್ವಿಪದಕ್ಕೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೃಶ್ಯವಲ್ಲ. ಉತ್ತರವನ್ನು (ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್) ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವತಃ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್‌ನ ಕಠಿಣವಾದ ಸಮರ್ಥನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸ್ಲೈಡ್ 7
ಉದಾಹರಣೆ 2.
P(x)=x4-6x3+7x-392 ಬಹುಪದವನ್ನು x-7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಪರಿಹಾರ. ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು P(7) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು P(7)=0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು x-7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದೀಯ P(x) ಎಂಬುದು (x-7) ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ, ಕೋಷ್ಟಕದ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು P(x) ನ ಅಂಶದ ಗುಣಾಂಕಗಳು (x-7) ಆದ್ದರಿಂದ P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
ಸ್ಲೈಡ್ 8
ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x3 – 5x2 – 2x + 16 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.
ಈ ಬಹುಪದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು 16 ರ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, y ವೇಳೆ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಇವು ಕೇವಲ ± 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು; ± 2; ± 4; ± 8; ±16. ನೇರ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲಕ, ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ಇಲ್ಲಿ Q(x) ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಲೈಡ್ 9
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, -3, -8 ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಮೂಲ ಬಹುಪದವನ್ನು x – 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವಿಭಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಬಹುಪದದ ಪದವಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲ ಪದವಿಗಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆ - ಬಹುಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನ
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
ದ್ವಿಪದದ ಮೇಲೆ $x-a$. ನೀವು ಟೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶವು $a$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ದ್ವಿಪದ $x-a$ ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:
nth ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದ $x-a$ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪದವಿ ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $n-1$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $5x^4+5x^3+x^2-11$ ಅನ್ನು $x-1$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ನಾವು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡೋಣ: ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು $5x^4+5x^3+x^2-11$ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ $5x^4+5x^3+x^2-11$, ವೇರಿಯಬಲ್ $x$ನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಹುಪದವು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ $x$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಮೊದಲ ಪವರ್‌ಗೆ $x$ ಗುಣಾಂಕ 0 ಆಗಿದೆ. ನಾವು $x-1$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಕೋಶಗಳನ್ನು ತುಂಬಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು $ 5 $ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಶದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದಿನ ಕೋಶವನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡೋಣ: $1\cdot 5+5=10$:
ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ನಾಲ್ಕನೇ ಕೋಶವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭರ್ತಿ ಮಾಡೋಣ: $1\cdot 10+1=11$:
ಐದನೇ ಕೋಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $1\cdot 11+0=11$:
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ, ಆರನೇ ಕೋಶಕ್ಕೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: $1\cdot 11+(-11)=0$:
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (ಒಂದು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದ ನಡುವೆ) ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $5x^4+5x^3+x^2-11$ ಅನ್ನು $x-1$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಮೂಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $5x^4+5x^3+x^2-11$ನ ಪದವಿಯು ನಾಲ್ಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಬಹುಪದದ $5x^3+10x^2+11x+11$ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ, ಅಂದರೆ. ಮೂರು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (ಶೂನ್ಯ) ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ $5x^4+5x^3+x^2-11$ ಅನ್ನು $x-1$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಶೇಷವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉಳಿದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಬಹುಪದಗಳು ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: $x=1$ ಗೆ ಬಹುಪದದ $5x^4+5x^3+x^2-11$ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೂಡ ರೂಪಿಸಬಹುದು: $5x^4+5x^3+x^2-11$ನ $x=1$ ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಏಕತೆಯು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ಬಹುಪದವನ್ನು $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ರಿಂದ $x+3$ ರಿಂದ ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬಳಸಿ ಭಾಗಿಸಿ.
$x+3$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $x-(-3)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಷರತ್ತು ಹಾಕೋಣ. ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ $-3$ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಪದವಿ $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ನಾಲ್ಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಫಲಿತಾಂಶ ಎಂದರೆ ಅದು
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ರಿಂದ $x+3$ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷವು $4$ ಆಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಅದೇ ಏನೆಂದರೆ, $x=-3$ ಗಾಗಿ ಬಹುಪದದ $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ಮೌಲ್ಯವು $4$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ, ನೀಡಿರುವ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ $x=-3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
ಆ. ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಸೆಟ್ ಮೌಲ್ಯವೇರಿಯಬಲ್. ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡುವವರೆಗೆ ಹಾರ್ನರ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3
ಹಾರ್ನರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಗುಣಾಂಕ ಹಿರಿಯ ಪದವಿವೇರಿಯಬಲ್ (ಅಂದರೆ $x^6$ ಮೊದಲು) ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಹುಪದದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 45 ರ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಪದಕ್ಕೆ, ಅಂತಹ ಬೇರುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $45 ಆಗಿರಬಹುದು; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ ಮತ್ತು $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ $1$:
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ಜೊತೆಗೆ $x=1$ $192$ (ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು $0 $ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕತೆಯು ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಲ್ಲ. ಒಂದು ಚೆಕ್ ವಿಫಲವಾದ ಕಾರಣ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ $x=-1$. ಹೊಸ ಟೇಬಲ್ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 1, ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಸ (ಮೂರನೇ) ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, $1$ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಚರ್ಚೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನೀವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಶೀಲನೆಯು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. "ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಕೆಂಪು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ದಾಟಬಹುದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವು $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ನಲ್ಲಿ $x=-1$ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ $-1$ ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಬಹುಪದವನ್ನು $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ನಂತರ $x-(-1)=x+1$ ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ಇವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್‌ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 2 (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ನೋಡಿ). ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\ಅಂತ್ಯ(ಸಮೀಕರಣ)
ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬೇರುಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ಈಗ ನಾವು $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಈ ಬಹುಪದದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ವಿಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $45$. $-1$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 2, ಅಂದರೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ $-1$ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \ಅಂತ್ಯ(ಸಮೀಕರಣ)
ಸಮಾನತೆ (2), ಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)\ಅಂತ್ಯ(ಸಮೀಕರಣ)
ಈಗ ನಾವು ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ $x^4-22x^2+24x+45$ - ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅದರ ಮುಕ್ತ ಪದದ ಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $45$). $-1$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಸಂಖ್ಯೆ $-1$ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ $x^4-22x^2+24x+45$. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(ಸಮೀಕರಣ)
ಸಮಾನತೆ (4) ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (3) ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)\ಅಂತ್ಯ(ಸಮೀಕರಣ)
ಈಗ ನಾವು $x^3-x^2-21x+45$ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. $-1$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
ಚೆಕ್ ವಿಫಲವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು. ಆರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ $3$:
ಉಳಿದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $3$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. ಈಗ ಸಮಾನತೆ (5) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು.