ಅಧ್ಯಾಯ ಮೂರು

ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ

II ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಆಫ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್

82. ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಊಹೆಗಳು.ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಜಾಗದ ಪ್ರಮಾಣ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೇಹ, ಈ ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆ - ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳು:

1) ಸಮಾನ ದೇಹಗಳುಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

2) ದೇಹದ ಪರಿಮಾಣ(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 87 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್), ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ(ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ), ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಭಾಗಗಳ ಸಂಪುಟಗಳು.

ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ದೇಹಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

83. ಪರಿಮಾಣದ ಘಟಕ.ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ, ಪರಿಮಾಣದ ಘಟಕವನ್ನು ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ರೇಖೀಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಘನ ಮೀಟರ್ (ಮೀ 3), ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ (ಸೆಂ 3), ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಪರಿಮಾಣ

84. ಪ್ರಮೇಯ.ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಪರಿಮಾಣ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅದರ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳು.

ಅಂತಹದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಘನ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಚಿನ ಘನ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಘನ ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಳೆ Xಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ಗಳು, ಮತ್ತು a, bಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆರೇಖೀಯ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ x = abc.

ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಅಳತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಳತೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 88): ಎಬಿ = ಎ, ಸೂರ್ಯ = ಬಿಮತ್ತು ಬಿಡಿ = ಸಿ,
ಎಲ್ಲಿ a, bಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ- ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ: ಎ = 4, ಬಿ= 2 ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ= 5). ನಂತರ ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ನ ಬೇಸ್ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ abಅಂತಹ ಚೌಕಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಚದರ ಘಟಕ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದು ಘನ ಘಟಕವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ ನೀವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದರವನ್ನು (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ abಘನ ಘಟಕಗಳು. ಈ ಪದರದ ಎತ್ತರವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆಅಂತಹ ಘಟಕಗಳು, ನಂತರ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಒಳಗೆ ನಾವು ಇರಿಸಬಹುದು ಜೊತೆಗೆಅಂತಹ ಪದರಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿಸಿಘನ ಘಟಕಗಳು.

2) ಅಳತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು . ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಆಯಾಮಗಳು ಹೀಗಿರಲಿ:

ಮೀ / ಎನ್ , ಪ / q , ಆರ್ / ರು

. (ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದು). ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅದೇ ಛೇದ, ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

1/ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ nqsಉದ್ದದ ಹೊಸ (ಸಹಾಯಕ) ಘಟಕಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯ ಘಟಕದ ಪಾಲು. ನಂತರ ಈ ಸಮಾನಾಂತರದ ಮಾಪನದ ಈ ಹೊಸ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: mqs, pnsಮತ್ತು rnq, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಕಾರ (ಪ್ರಕರಣ 1 ರಲ್ಲಿ), ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( mqs) (pns) (rnq), ನಾವು ಈ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಸ ಘನ ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಹೊಸ ರೇಖೀಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ರೇಖೀಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ಘನ ಘಟಕ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ( nqs) 3; ಇದರರ್ಥ ಹೊಸ ಘನ ಘಟಕವು 1/( nqs) 3 ಮಾಜಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

3) ಅಳತೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದ Q ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುವ ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ (ಚಿತ್ರ 89), ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:

AB = α; AC = β; AD = γ,

ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು α, β ಮತ್ತು γ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಾತ್ರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು α, β ಮತ್ತು γ ಅನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ದಶಮಾಂಶ. ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಪದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲು ಕೊರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ. ಅನನುಕೂಲತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು α ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ , β ಎನ್ , γ ಎನ್, ಹೆಚ್ಚುವರಿ α" ಹೊಂದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎನ್ , β" ಎನ್ , γ" ಎನ್. A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ AB ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗೋಣ, AB 1 = α ಎಂಬ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳು ಎನ್ಮತ್ತು AB 2 = α" ಎನ್.
ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ AC ಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ನಾವು AC 1 = β ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಎನ್ಮತ್ತು AC 2 = β" ಎನ್ಮತ್ತು ಅದೇ ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ AD 1 = γ ನಿಂದ AD ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಎನ್ಮತ್ತು AD 2 = γ" ಎನ್.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಎಬಿ 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಸಹಾಯಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪೆಡ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ; ಒಂದು (ಅದನ್ನು Q 1 ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) AB 1, AC 1 ಮತ್ತು AD 1 ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು (ಇದನ್ನು Q 2 ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) AB 2, AC 2 ಮತ್ತು AD 2 ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಪ್ಯಾರಲೆಲಿಪಿಪ್ಡ್ ಕ್ಯೂ 1 ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ಕ್ಯೂ ಒಳಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ಕ್ಯೂ 2 ಅದರೊಳಗೆ ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಏನು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ (ಪ್ರಕರಣ 2 ರಲ್ಲಿ) ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಮಾಣ Q 1 = α ಎನ್ β ಎನ್ γ ಎನ್ (1)

ಪರಿಮಾಣ Q 2 = α" ಎನ್ β" ಎನ್ γ" ಎನ್ (2)

ಪರಿಮಾಣ Q 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ< объёма Q 2 .

ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ಪ. ಇದರರ್ಥ ನಾವು α, β, γ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟಿಗೆನಿಖರತೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪೆಡ್‌ಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು Q 1 ಮತ್ತು Q 2 ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಪಪರಿಮಾಣ Q 1 ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (1) ಅನಂತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ (α ಎನ್ β ಎನ್ γ ಎನ್) ಪರಿಮಾಣ Q 2 ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ (2) ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (α" ಎನ್ β" ಎನ್ γ" ಎನ್) ಆದರೆ ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ
α ಎನ್ β ಎನ್ γ ಎನ್ಮತ್ತು α" ಎನ್ β" ಎನ್ γ" ಎನ್ಅನಿಯಮಿತ ವರ್ಧನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ, ಅದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು αβγ.

ನಾವು ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ Q ನ ಪರಿಮಾಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಪರಿಮಾಣ Q = αβγ.

ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ಪರಿಮಾಣವು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (§ 82). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರಿಮಾಣದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಗಳು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಷರತ್ತು (§ 82) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಈಗ ಅದನ್ನು ಒಡೆಯೋಣ ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಅದರ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ Q, ಎರಡರಲ್ಲಿ: Q 1 ಮತ್ತು Q 2 (Fig. 90).

ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಮಾಣ Q = AB AC AD,
ಸಂಪುಟ Q 1 = AB AA 1 AD,
ಪರಿಮಾಣ Q 2 = A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಯ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು A 1 B 1 = AB ಮತ್ತು A 1 D 1 = AD ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಮಾಣ Q 1 + ಪರಿಮಾಣ Q 2 = AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC, ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಮಾಣ Q 1 + ಪರಿಮಾಣ Q 2 = ಪರಿಮಾಣ Q.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಮುಖಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಅನ್ನು ಮಡಚಿದರೆ § 82 ರ ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

85. ಪರಿಣಾಮ.ಅದರ ತಳಹದಿಯ ಬದಿಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಆಯಾಮ (ಎತ್ತರ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಜೊತೆಗೆ. ನಂತರ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಘನ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ V ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ವಿ= ಎಬಿಸಿ.

ಕೆಲಸದಿಂದ abಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಎರಡು ಘನ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತ ವಿವಿಧ ಹೆಸರುಗಳುಈ ಘನ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅಂಚುಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆ ರೇಖೀಯ ಘಟಕಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೌದು, ವರ್ತನೆ ಘನ ಮೀಟರ್ಘನ ಡೆಸಿಮೀಟರ್‌ಗೆ 10 3, ಅಂದರೆ 1000. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರೇಖೀಯ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಅಂಚಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಘನ 3 ಎರೇಖೀಯ ಘಟಕಗಳು, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತವು 3 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 27, ಇದು ರೇಖಾಚಿತ್ರ 91 ರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

86. ಲೆಮ್ಮಾ. ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ನೇರ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲವು ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಅದರ ಬದಿಯ ಅಂಚಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 92).

ಅದನ್ನೆಲ್ಲ ಮುಂದುವರಿಸೋಣ ಅಡ್ಡ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳುಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳುಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ.

ಮುಂದುವರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಂಚನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಎಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ನಡೆಯೋಣ ಲಂಬ ವಿಭಾಗ abcde. ನಂತರ, ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹಾಕುವುದು ಆಹ್ 1 = AA 1, ಮೂಲಕ ಸೆಳೆಯೋಣ ಎ 1 ಲಂಬ ವಿಭಾಗ ಎ 1 ಬಿ 1 ಸಿ 1 ಡಿ 1 ಇ 1 . ಎರಡೂ ವಿಭಾಗಗಳ ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ bb 1 = ಎಸ್ಎಸ್ 1 =ಡಿಡಿ 1 = ಅವಳು 1 = aa 1 = AA 1 (§17). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎ 1 ಡಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನೇರ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಎಡಿ ಮತ್ತು ಎ 1 ಡಿ 1 ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವರ ಕಾರಣಗಳು abcdeಮತ್ತು ಎ 1 ಬಿ 1 ಸಿ 1 ಡಿ 1 ಇ 1 ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಆಧಾರಗಳಂತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ 1 ಡಿ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, A 1 A = ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಎ 1 ಎಅದೇ ಸಾಲಿನ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ ಎ 1 ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಎಎ = ಎ 1 ಎ 1; ಹೀಗೆ ಬಿಬಿ = ಬಿ 1 ರಲ್ಲಿ 1, ಜೊತೆಗೆಸಿ = ಜೊತೆಗೆ 1 ಸಿ 1, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಈಗ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ ಎಡಿ ಬಹುಮುಖಿಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿದೆ ಎ 1 ಡಿ 1 ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನೆಲೆಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ನಂತರ ಪಕ್ಕದ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು, ಬೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಹ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಮುಖಿ ಎಡಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎ 1 ಡಿ 1; ಇದರರ್ಥ ಈ ದೇಹಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ನೇರ ಪ್ರಿಸ್ಮ್‌ಗೆ ಇದ್ದರೆ ಈಗ ಗಮನಿಸಿ ಎ 1 ಡಿಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸೇರಿಸಿ ಎಡಿ, ಮತ್ತು ಗೆ ಇಳಿಜಾರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಎ 1 ಡಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಎ 1 ಡಿ 1 ಸಮಾನ ಎಡಿ, ನಂತರ ನಾವು ಅದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎ 1 D. ಇದರಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು A 1 D ಮತ್ತು ಎ 1 ಡಿಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

87. ಪ್ರಮೇಯ. ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದೆ, ನಾವು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಈಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೇರವಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇಳಿಜಾರಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ.

1) (ಚಿತ್ರ 93) AC 1 ಬಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ABCD ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಆಯತಗಳಾಗಿವೆ.

ನಾವು ಸೈಡ್ ಫೇಸ್ AA 1 B 1 B ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ; ನಂತರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಓರೆಯಾದ. ಹಾಗೆ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಇಳಿಜಾರಿನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ ಬಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಆಧಾರವು ಲಂಬವಾದ ವಿಭಾಗ MNPQ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಚತುರ್ಭುಜ MNPQ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಕೋನಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ರೇಖೀಯ ಕೋನಗಳುನೇರ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನಗಳು; ಆದ್ದರಿಂದ, MNPQ ಆಯತದ ತಳಹದಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಬಲಭಾಗವು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಅದರ ಅಳತೆಗಳು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ MN, MQ ಮತ್ತು BC ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ,

ಪರಿಮಾಣ AC 1 = MN MQ BC = MN (MQ BC).

ಆದರೆ MQ BC ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ

ಪರಿಮಾಣ ACX = (ಪ್ರದೇಶ ABCD) MN = (ಪ್ರದೇಶ ABCD) BB 1.

2) (ಚಿತ್ರ 94) AC 1 ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಆಗಿರಲಿ.

ಇದು ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಧಾರವು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗ MNPQ (ಅಂದರೆ, AD, BC, ... ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು BC ಯ ಅಂಚಿನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಸಾಬೀತಾದ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಪುಟ ಬಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ,

ಪರಿಮಾಣ AC 1 = (ಪ್ರದೇಶ MNPQ) BC.

RS ಎಂಬುದು ವಿಭಾಗದ MNPQ ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ MNPQ = MQ RS ಪ್ರದೇಶವು

ಪರಿಮಾಣ AC 1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS.

ಉತ್ಪನ್ನ BC MQ ಎಬಿಸಿಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಮಾಣ AC 1 = (ಪ್ರದೇಶ ABCOD) RS.

ಆರ್ಎಸ್ ವಿಭಾಗವು ಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈಗ ಉಳಿದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಭಾಗ MNPQ, ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ BC, B 1 C 1, .. . , ABCD, BB 1 C 1 C, .... ಈ ಅಂಚುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು (§ 43). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ S ನಿಂದ ABCD ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ MNPQ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿ (§ 44) ಇರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮತ್ತು MQ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ RS ನೊಂದಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳಬೇಕು. . ಇದರರ್ಥ SR ವಿಭಾಗವು ಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಗಳುಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. V, B ಮತ್ತು H ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣ, ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸಂಪುಟ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಂಪುಟಗಳು ಸರಳ ದೇಹಗಳು. ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಪಿರಮಿಡ್, ಕೋನ್, ಗೋಳ, ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ಡ್.

ನಿಯಮಿತ ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ದೇಹಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಆಕೃತಿಯ ಹೆಸರು	ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಎಸ್	ಆಕೃತಿಯ ಹೆಸರು	ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ ಎಸ್
ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ		ಸಿಲಿಂಡರ್
ಗೋಳ		ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ಡ್

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಆಯತಾಕಾರದ ತೊಟ್ಟಿಯ ಪರಿಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ನೀರಿನ ತೊಟ್ಟಿಯು 1 ಮೀ ಉದ್ದ, 65 ಸೆಂ ಅಗಲ ಮತ್ತು 30 ಸೆಂ ಎತ್ತರದ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೀ 3, ಸೆಂ 3, ಲೀಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಂಕ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವು l*b*h ಆಗಿದೆ

a) V ಟ್ಯಾಂಕ್ = 1 * 0.65 * 03 = 0.195 m 3

b) 1 m 315000 mm 2 =315000/100=3150 cm 2

1 m 3 =10 6 cm 3, ಅಂದರೆ 0.195 m 3 =0.195*10 6 =195000 cm 3

c) 1 ಲೀಟರ್ = 1000 cm 3, ಅಂದರೆ 195000 cm 3 = 195 l

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಪ್ರದೇಶಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ದೇಹ. - ಇದು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಮಾಣ = ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗ* ನಂತರ ಎತ್ತರ

V=1/2*(10+5)*4*20=30*20=600 cm 3

ಎರಡು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

S=(2*30)+3(5*20)+(10*20)=560 cm 2

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಚದರ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಅದರ ಎತ್ತರವು 15 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣ = 1/3 (ಬೇಸ್ ಏರಿಯಾ) * ಎತ್ತರದಿಂದ, ನಂತರ

V=1/3*(5*5)*15=125 cm 3

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಚದರ ಬೇಸ್ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶ.

ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ADE=1/2*ಬೇಸ್*(ಪಾರ್ಶ್ವದ ಎತ್ತರ).

AC ಮುಖದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನ ABC, ಇಲ್ಲಿ AB=15 cm, BC=1/2*3=1.5 cm, ಮತ್ತು AC 2 =AB 2 +BC 2 =225+2.25=227.25

ಆದ್ದರಿಂದ, ADE ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

S ADE =1/2*3*15.07=22.605 cm 2

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ S=(3*3)+4*22.605=99.42 cm 2.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕೋನ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

4 ಸೆಂ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು 10 ಸೆಂ ಎತ್ತರದ ಕೋನ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಕೋನ್ ಪರಿಮಾಣ V=1/3πr 2 h =1/3*π4 2 *10=167.5cm 3

ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಪ್ರದೇಶದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈಮತ್ತು ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ, ಅಂದರೆ. S=πrl+πr 2

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜೆನೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಚಿತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

l 2 =10 2 +4 2 =116 ಸೆಂ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

S=π*4*10.8)+(π*4 2 =185.89 cm 2

ಉದಾಹರಣೆ 5. ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಮರದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: a) m3 ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಪರಿಮಾಣ

ಬಿ) ಅದರ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಒಂದು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಅಡ್ಡ ವಿಭಾಗವು ಒಂದು ಆಯತ ಮತ್ತು ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 6 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯಾಸವು 12 ಸೆಂ.ಮೀ.

ನಂತರ ಆಯತದ ಆಯಾಮಗಳು 12 * 11 ಸೆಂ

ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ ಎಸ್. =(11*12)+1/2* π 6 2 =188.52 cm 2

ಮರದ ಭಾಗದ ಪರಿಮಾಣವು ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ

a) V=188.52*200=37704 cm 3 =37704 cm 3 /10 6 = 0.037704 m 3

ಬಿ) ಒಟ್ಟು ಪ್ರದೇಶವು ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶವು 188.52 ಸೆಂ 2), ಮೂರು ಆಯತಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಗಿದ ಮೇಲ್ಮೈ (ಇದು ಅರ್ಧ-ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

S=(2*188.52)+2*(11*200)+(12*200)+1/2*(2π*6*200)=377.04+4400+2400+3768=10945.04 cm 2 =1.094504 m2.

ಉದಾಹರಣೆ 6. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಾಯ್ಲರ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಬಾಯ್ಲರ್ 9 ಮೀ ಉದ್ದ ಮತ್ತು 5 ಮೀ ವ್ಯಾಸದ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಒಂದು ತುದಿಗೆ 5 ಮೀ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಗೆ 3 ಮೀ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 5 ಬೇಸ್ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. m. ಬಾಯ್ಲರ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

V ಅರ್ಧಗೋಳ P =2/3*πr 3 =2/3*π*2.5 3 =10.42 π m 3

V ಸಿಲಿಂಡರ್ Q = π r 2 h=π*2.5 2 *9=56.25 π m 3

V ಕೋನ್ R =1/3 π r 2 =1/3*π*2.5 2 *3=6.25π m 3

ಒಟ್ಟು ಬಾಯ್ಲರ್ ಪರಿಮಾಣ V= 10.42 π m 3 +56.25 π m 3 +6.25π m 3 =72.92π=228.97 m 3

S ಅರ್ಧಗೋಳಗಳು P. =2*(πr 2)=2*π*2.5 2 =12.5π ಮೀ 2

ಎಸ್ ಕಡೆ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ Q. =2πrh=2*π*2.5*9=45π m 2 (ಈ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಬೇಸ್ ಇಲ್ಲದ ಪೈಪ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ)

ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಿಂದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನ್ ಜೆನೆರಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ l ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ;

l=(3 2 +2.5 2) 1/2 =3.9 ಮೀ.

S ಕೋನ್ R. =πrl=π*2.5*3.9=9.75 π ಮೀ 2

ಬಾಯ್ಲರ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

S= 12.5π+45π+9.75 π=67.25π=211.2 m2

ಎಲ್ಲರೂ ಶುಭ ದಿನ! ನನ್ನ ಹೆಸರು ಇವಾನ್, ಮತ್ತು ನಾನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಚೆನ್ನಾಗಿರದ ಶಾಲಾ ಹುಡುಗನ ತಂದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ನನ್ನ ಮಗನಿಗೆ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು - ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಟಿಂಕರ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದೆ, ಅವನು ನನ್ನ ಕಡೆಗೆ ತಿರುಗಿದನು. ಶಾಲೆಯ ಜ್ಞಾನನನ್ನ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಉಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿತ್ತು, ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಓದಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ನಂತರ ನನ್ನ ಮಗನಿಗೆ ನಾನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನನ್ನ ಅನುಭವವು ಇತರ ಪೋಷಕರಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾನು ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ, ಇದು ಈ ಪರಿಮಾಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುವ ಮೊದಲು, ಅದು ಏನೆಂದು ಒಟ್ಟಿಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯು ಮೂರು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ ಎಂಬುದು 6 ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.
2. ಪದವು 3 ಜೋಡಿ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅದು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಪ್ಯಾರೆಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ನಾನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳುಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ.

ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ

ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಈ ರೀತಿಯ ಆಕೃತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವೂ ಒಂದು ಆಯತವಾಗಿದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಶೂಬಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಆಕೃತಿಯ ತಳಹದಿಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಪಕ್ಷಗಳು ಹೊಂದಿವೆ ಲಂಬವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: P-AxB, ಅಲ್ಲಿ A ಉದ್ದ ಮತ್ತು B ಅಗಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ತದನಂತರ ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ: V = PxH, ಅಂದರೆ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೀವು ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎತ್ತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು - ಇಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಆಕೃತಿಯ ಅಂಚನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬಲ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಿ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದರ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಯತಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎತ್ತರವು ಆಕೃತಿಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮುಖಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ: P=AxBxsin(a). A, B ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ, ಮತ್ತು "a" ಎಂಬುದು ಛೇದಿಸುವಾಗ ಅವು ರೂಪಿಸುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಪರಿಮಾಣ

ಇಳಿಜಾರಾದ ರೀತಿಯ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಈ ರೀತಿಯ ಆಕೃತಿಯ ಮುಖಗಳು ಅದರ ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು. ನಾವು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ಕಾಣುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: V=PxN.

ಬದಿಗಳು ಚೌಕವಾಗಿರುವ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಈ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಘನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು ಚೌಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನೀವು ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 3 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ನಂತಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಾನು ಬರೆದ ಶಾರ್ಟ್ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪೋಷಕರಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಲಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕೆಟ್ಟ ದರ್ಜೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ!