ಬೇಸ್ ಇಲ್ಲದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಫಂಕ್ಷನ್ ln x

a (a>0, a 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ c ಅಂದರೆ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಜೊತೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಇರಬೇಕು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು -2 ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ 4 ರ ಬೇಸ್ -2 ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ.

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಒಂದು ಲಾಗ್ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ. ಎಡಬದಿ b>0, a>0 ಮತ್ತು a ≠ 1 ಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ b ಗೆ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a ವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ "ಗುರುತಿನ" ಅನ್ವಯವು OD ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಎರಡು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮಗಳು

ಲಾಗ್ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
ಲಾಗ್ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವಾಗ ಶೂನ್ಯ ಪದವಿ- ಒಂದು.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ ಸಿ = ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ - ಲಾಗ್ ಎ ಸಿ (ಎ > 0, ಎ ≠ 1, ಬಿ > 0, ಸಿ > 0) (6)

ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಲೋಚನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರ ವಿರುದ್ಧ ನಾನು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು. ಅವುಗಳನ್ನು "ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ" ಬಳಸುವಾಗ, ODZ ಕಿರಿದಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ODZ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಾಗ್ a (f (x) g (x)) ಅನ್ನು ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಾಗ ಅಥವಾ f(x) ಮತ್ತು g(x) ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವಾಗ.

ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಮೊತ್ತದ ಲಾಗ್‌ಗೆ a f (x) + ಲಾಗ್ a g (x) , f(x)>0 ಮತ್ತು g(x)>0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮನ್ನು ನಾವು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರದೇಶದ ಕಿರಿದಾಗುವಿಕೆ ಇದೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಇದು ವರ್ಗೀಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರಿಹಾರಗಳ ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಇದೇ ಸಮಸ್ಯೆಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (6).

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾನು ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಕರೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಲಾಗ್ a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಫ್ (x) ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗವು f(x)>0 ಗೆ ಮಾತ್ರ! ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಪದವಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ODZ ಅನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಟೀಕೆಗಳು ಅಧಿಕಾರ 2 ಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಸಮಬಲಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರ

ಲಾಗ್ a b = ಲಾಗ್ c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ಅದು ಅಪರೂಪದ ಪ್ರಕರಣ, ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ODZ ಬದಲಾಗದಿದ್ದಾಗ. ನೀವು ಬೇಸ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯಿಂದ ಆರಿಸಿದ್ದರೆ (ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ), ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ.

ನಾವು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಸ ಆಧಾರವಾಗಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಮುಖವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಸೂತ್ರಗಳು (8):

ಲಾಗ್ a b = 1 ಲಾಗ್ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: log2 + log50.
ಪರಿಹಾರ. log2 + log50 = log100 = 2. ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಸೂತ್ರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು (5) ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: lg125/lg5.
ಪರಿಹಾರ. log125/log5 = ಲಾಗ್ 5 125 = 3. ನಾವು ಹೊಸ ಬೇಸ್ (8) ಗೆ ತೆರಳಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

ಲಾಗ್ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

ಲಾಗ್ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ ಸಿ = ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ - ಲಾಗ್ ಎ ಸಿ (ಎ > 0, ಎ ≠ 1, ಬಿ > 0, ಸಿ > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ಲಾಗ್ a b = ಲಾಗ್ c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

ಲಾಗ್ a b = 1 ಲಾಗ್ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಘಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ(ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ).

ಈ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಅದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ x=log a b, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a x =b.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 8 = 3ಏಕೆಂದರೆ 8 = 2 3 . ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ b=a c, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಿಆಧಾರಿತ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರ. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು.

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಲಾಗ್ ಎ xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ಲಾಗ್ a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ಲಾಗ್ ಎ(X 1 . X 2 . X 3 ... x ಕೆ) = ಲಾಗ್ ಎ x 1 + ಲಾಗ್ ಎ x 2 + ಲಾಗ್ ಎ x 3 + ... + ಲಾಗ್ ಎ x ಕೆ.

ಇಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಂಶ ಪ್ರಮೇಯಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲಗ್ಗೆ ಇಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನ ಎ 1= 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಲಾಗ್ ಎ 1 /ಬಿ= ಲಾಗ್ ಎ 1 - ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ= - ಲಾಗ್ ಒಂದು ಬಿ.

ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ:

ಲಾಗ್ ಎ 1 / ಬಿ = - ಲಾಗ್ ಎ ಬಿ.

ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳುಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಲಾಗ್ 3 9= - ಲಾಗ್ 3 1 / 9 ; ಲಾಗ್ 5 1 / 125 = -ಲಾಗ್ 5 125.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x >

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ನೀಡಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ಕೊಡಲಿ ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಸಹ ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆಪ್ರದರ್ಶಕರು, ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲೋಗಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಗೇ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಚನೆ: ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷಣಇಲ್ಲಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಎಂಬ ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಅವರು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಾರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸತ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು. ನಿಯಂತ್ರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳುಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. , ಅಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 24; 49 = 72. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸೂತ್ರಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: log2 7. ಲಾಗ್2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲೋಗ್ಯಾಕ್ಸ್ ನೀಡಲಿ. ನಂತರ c > 0 ಮತ್ತು c ≠ 1 ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, n ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾದದಲ್ಲಿ ಘಾತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಶಕ್ತಿಗೆ b ಸಂಖ್ಯೆಯು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ: ಫಲಿತಾಂಶವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮುಖ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತುಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅದೇ ಆಧಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ: ಆ ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ.
ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ - ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಸಹ ನೋಡಿ:

a ಬೇಸ್ ಮಾಡಲು b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಶಕ್ತಿ x () ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ (3.4) ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣುತ್ತೀರಿ. ಉಳಿದವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮೂಲವು ಹತ್ತು, ಘಾತೀಯ ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹತ್ತರ ತಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ lg(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಘಾತವನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ (ln(x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಘಾತವು 2.718281828 ಆಗಿದೆ…. ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು: ಘಾತವು 2.7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ನಿಕೋಲೇವಿಚ್ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಾರಿ. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಘಾತಾಂಕದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಲಿಯೋ ಟಾಲ್ಸ್ಟಾಯ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ನೀವು ತಿಳಿಯುವಿರಿ.

ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯಾಪಕ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ನೀಡಿದ ವಸ್ತುವು ಸಾಕು. ವಸ್ತುವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಎ) x=10ac^2 (a>0,c>0).

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

2.
ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ

3.
ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ 3.5 ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

4. ಎಲ್ಲಿ .

ನೋಟದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2. ವೇಳೆ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಪದ 5 ಮತ್ತು 13 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅದನ್ನು ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ದುಃಖಿಸುತ್ತೇವೆ

ಆಧಾರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್. ಮೊದಲ ಹಂತ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ವೇಳೆ ಲಾಗ್ (x) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ

ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಚಯದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಕೃಷ್ಟಗೊಳಿಸಿ - ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮಗೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯ- ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು...

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಲೋಗಾಕ್ಸ್ + ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ(x y);
ಲೋಗಾಕ್ಸ್ - ಲೋಗೇ = ಲೋಗಾ (x: y).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log6 4 + log6 9.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log2 48 - log2 3.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log3 135 - log3 5.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಗಳಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವು ಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log7 496.

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು c = x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log5 16 log2 25.

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: log9 100 lg 3.

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಹೊಸ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

log25 64 = log5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದದಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಲೋಗಾ = 1 ಆಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಆ ಬೇಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಲೋಗಾ 1 = 0 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ a0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಮೊದಲು ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿಇತರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ.

ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು a c ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಇದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ c ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ a b=log a a c =c.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಿ = ಬಿ, ಮತ್ತು ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬೇಸ್‌ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ನೀಡಿದಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಸೂಚಿಸಬಹುದು - ಅದು ಸೂಚಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಪದವಿಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗ್ 2 2 −3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಮತ್ತು ಇ 5,3 ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಲಾಗ್ 2 2 −3 =-3 ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು −3 ಪವರ್‌ಗೆ ಬೇಸ್ 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: lne 5.3 =5.3.

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 2 2 −3 =-3 ಮತ್ತು lne 5,3 =5,3.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿದಮ್‌ನ ಬೇಸ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೀವು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಬೇಕು a c . ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1, ಅಥವಾ 2, ಅಥವಾ 3 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ...

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಲಾಗ್ 5 25 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಮತ್ತು .

ಪರಿಹಾರ.

25=5 2 ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಇದು ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 5 25=ಲಾಗ್ 5 5 2 =2.

ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೋಗೋಣ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 7 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಮೂರನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ. ಈಗ ನೀವು ಅದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು , ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ .

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 5 25=2 , ಮತ್ತು .

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕೊಳೆಯಲು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಶಕ್ತಿಯಂತೆ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸೂಚಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಘಟಕದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 1 1=ಲಾಗ್ a a 0 =0 ಮತ್ತು ಲಾಗ್ a = log a a 1 =1 . ಅಂದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಾಗ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 0 ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು log10 ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ.

ರಿಂದ, ನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ .

ಎರಡನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿದಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅದರ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹತ್ತರ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, lg10=lg10 1 =1.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತು lg10=1.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್) ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ a a p =p ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. , ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಉತ್ತರ:

ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಇತರ ತಿಳಿದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಲಾಗ್ 2 3≈1.584963 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ನಂತರ ನಾವು ಲಾಗ್ 2 6 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ: ಲಾಗ್ 2 6=ಲಾಗ್ 2 (2 3)=ಲಾಗ್ 2 2+ಲಾಗ್ 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಸಾಕಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪದಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಲಾಗ್ 60 2=a ಮತ್ತು ಲಾಗ್ 60 5=b ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ 27 ರಿಂದ ಬೇಸ್ 60 ರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಲಾಗ್ 60 27 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. 27 = 3 3 , ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು 3 · ಲಾಗ್ 60 3 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗ್ 60 3 ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಗ್ 60 60=1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಲಾಗ್ 60 60=log60(2 2 3 5)= ಲಾಗ್ 60 2 2 + ಲಾಗ್ 60 3+ ಲಾಗ್ 60 5= 2·ಲಾಗ್ 60 2+ಲಾಗ್ 60 3+ಲಾಗ್ 60 5 . ಹೀಗಾಗಿ, 2 ಲಾಗ್ 60 2+ಲಾಗ್ 60 3+ಲಾಗ್ 60 5=1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗ್ 60 3=1−2·ಲಾಗ್ 60 2−ಲಾಗ್ 60 5=1−2·a−b.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 60 27=3 ಲಾಗ್ 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ಉತ್ತರ:

ಲಾಗ್ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ರೂಪದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ . ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವು 2, ಇ ಅಥವಾ 10 ಬೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿವೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ನಿಖರತೆ. IN ಮುಂದಿನ ಪಾಯಿಂಟ್ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉಪಯೋಗಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಬೇಸ್ 2 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಟೇಬಲ್, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ ಟೇಬಲ್, ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು. ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಮೂಲ ಹತ್ತರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕೋಷ್ಟಕವು 1,000 ರಿಂದ 9,999 ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು (ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳೊಂದಿಗೆ) ಹತ್ತು ಸಾವಿರದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವವನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ- ಇದು ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. log1.256 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಎಡ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು 1.256 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು 1.2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗಿದೆ). ನಾವು ಮೊದಲ ಅಥವಾ 1.256 (ಅಂಕಿಯ 5) ನ ಮೂರನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಡಬಲ್ ಲೈನ್ನ ಎಡಕ್ಕೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗಿದೆ). ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆ 1.256 (ಅಂಕಿ 6) ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಿಯು ಡಬಲ್ ಲೈನ್ನ ಬಲಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಸಿರು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ). ಈಗ ನಾವು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಕಿತ್ತಳೆ) ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 1 ರಿಂದ 9.999 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದು, ನೀನು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸೋಣ.

lg102.76332 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಮೊದಲು ನೀವು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪ : 102.76332=1.0276332·10 2. ಇದರ ನಂತರ, ಮಂಟಿಸಾವನ್ನು ಮೂರನೇ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ದುಂಡಾದ ಮಾಡಬೇಕು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ಮೂಲ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸರಿಸುಮಾರು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು log102.76332≈lg1.028·10 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ lg1.028 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಪರಿವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಹೊಸ ಬೇಸ್ಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು log3≈0.4771 ಮತ್ತು log2≈0.3010 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, .

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಎ.ಎನ್., ಅಬ್ರಮೊವ್ ಎ.ಎಮ್., ಡಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಯು.ಪಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಗಳು: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ 10 - 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
ಗುಸೆವ್ ವಿ.ಎ., ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಗಣಿತ (ತಾಂತ್ರಿಕ ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವವರಿಗೆ ಕೈಪಿಡಿ).

ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (x) ಲಾಗ್ ಬಿ ⁡ (ಎ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ:
- ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾವುದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ ⁡ (− 3) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(-3))ಅಥವಾ ಲಾಗ್ 4 ⁡ (− 5) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(4)(-5))) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
- ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಸೊನ್ನೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದರೆ ln ⁡ (0) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \ln(0)), "ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
- ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ( ಲಾಗ್ ⁡ (1) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log(1))) ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x 0 = 1 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(0)=1)ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ X. ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬದಲಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಡಿ.
- ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ವಿವಿಧ ಕಾರಣಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವಿಶೇಷ ಸಂಧರ್ಭಗಳು, ಇದನ್ನು ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ: ಲಾಗ್ ಬೌ log_(a)(x)).
- ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ ⁡ 16 ಲಾಗ್ ⁡ 2 = ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log (16))(\log (2))=\log _(2)(16)).
- ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ "ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ" ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.
ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.ಹುಡುಕಲು ಲಾಗ್ a ⁡ (x) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(a)(x)), ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ " ಒಂದು? = x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ a^(?)=x)", ಅಂದರೆ, ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳಿ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆ: "ನಾವು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಬೇಕು ಎ, ಹೊಂದಲು X?. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬೇಕಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ನೀವು ಅದೃಷ್ಟವಂತರಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
- ಉದಾಹರಣೆ 1 (ಮುಂದುವರಿದಿದೆ): ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ 2? = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(?)=16). "?" ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಲ್ಲಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ದೋಷದಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 2^(4)=8*2=16)
  ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ 4: ಲಾಗ್ 2 ⁡ (16) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(2)(16)) = 4 .
ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ.ಅನೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಿಮಗೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಉತ್ತರದಿಂದ ತೃಪ್ತರಾಗುತ್ತಾರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪ. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಉದಾಹರಣೆ 2: ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: ಲಾಗ್ 3 ⁡ (58) ಲಾಗ್ 3 ⁡ (7) = ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ ಲಾಗ್_(7)(58)). ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬೇಸ್ 3 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಯಾವುದೇ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಇದು ನಿಜ.
- ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ 7? = 58 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(?)=58)ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣವೇ?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ 7^(3)=49*7=343)
  58 ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
- ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ: ಲಾಗ್ 7 ⁡ (58) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \log _(7)(58)).