ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಆಯ್ಕೆ 1.

ಆಯ್ಕೆ 2.

ನಲ್ಲಿ = 2X + 5.

ನಲ್ಲಿ = 2X – 5.

ನಲ್ಲಿ= 4ಕೋಸ್ X.

ನಲ್ಲಿ= 3 ಪಾಪ X.

ನಲ್ಲಿ= ಟಿಜಿ X+ಸಿಟಿಜಿ X.

ನಲ್ಲಿ= ಟಿಜಿ X-ಸಿಟಿಜಿ X.

ನಲ್ಲಿ= ಪಾಪ 3 X.

ನಲ್ಲಿ= ಕಾಸ್ 4 X.

ಉತ್ತರ ಆಯ್ಕೆಗಳು.

- 4 ಪಾಪ X

- 3 ಕಾಸ್ X

1/ಕಾಸ್ 2 X+ 1/ಪಾಪ 2 X

1/ಕಾಸ್ 2 X–1/ಪಾಪ 2 X

1/ಪಾಪ 2 X–1/ಕಾಸ್ 2 X

- 4 ಪಾಪ 4 X

- 3 ಕೋಸ್ 3 X

f(X) = ಪಾಪ X+ cos X

f(X) = ಪಾಪ 2 X – X

f(X) = 2X+cos (4 X – )

ಆಯ್ಕೆ 1

ಆಯ್ಕೆ 2

ವೈ = 2X 3

ವೈ = 3X 2

ವೈ = 1/4 X 4 + 2X 2 – 7

ವೈ = 1/2 X 4 + 4X + 5

ವೈ = X 3 + 4X 2 – 3X.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ವೈ " = 0

ವೈ = 2X 3 – 9X 2 + 12X + 7.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ವೈ " = 0.

ವೈ= ಪಾಪ 2 X- ಕಾಸ್ 3 X.

ವೈ= ಕಾಸ್ 2 X- ಪಾಪ 3 X.

ವೈ= ಟಿಜಿ X-ಸಿಟಿಜಿ ( X + /4).

ವೈ=ಸಿಟಿಜಿ X+ ಟಿಜಿ( X – /4).

ವೈ= ಪಾಪ 2 X.

ವೈ= ಕಾಸ್ 2 X.

ಉತ್ತರ ಆಯ್ಕೆಗಳು.

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ, ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತಾರೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಕೋನದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, y = f(x) ಅಮೂರ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯು ಪ್ರವಾಸಿ ಮಾರ್ಗದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸೋಣ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ∆x (ಡೆಲ್ಟಾ x) ಪಥದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ∆y ಎಂಬುದು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ಮಾರ್ಗದ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ.
ನಂತರ ∆x/∆y ಅನುಪಾತವು ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಲಿತ ನಂತರ, ಆರೋಹಣ / ಇಳಿಯುವಿಕೆ ಕಡಿದಾದದ್ದಾಗಿದೆಯೇ, ನಿಮಗೆ ಕ್ಲೈಂಬಿಂಗ್ ಉಪಕರಣಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಸಿಗರಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಹೇಳಬಹುದು ದೈಹಿಕ ತರಬೇತಿ. ಆದರೆ ಈ ಸೂಚಕವು ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಣ್ಣ ಅಂತರ∆x.

ಪ್ರವಾಸದ ಸಂಘಟಕರು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳುಮಾರ್ಗಗಳು, ಅಂದರೆ, ∆x - ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮಾರ್ಗ, ಪ್ರವಾಸದ ತೊಂದರೆಯ ಹಂತದ ಬಗ್ಗೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ವೇಗ ಮತ್ತು "ಗುಣಮಟ್ಟ" ವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿ "ಮೀಟರ್" ಗೆ ∆x/∆y ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಈ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ದೃಶ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿಯ ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥ x ಮತ್ತು y. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷ Y = f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ - ನೀಲಿ ಕರ್ವ್.

ಕೆ (x0; f (x0)) - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು, x0 + ∆x ಎಂಬುದು OX ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು f (x0 + ∆x) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ L ನಲ್ಲಿ OY ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ.

K ಮತ್ತು L ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಕೆ.ಎಲ್.ಎನ್. ನೀವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ LN ವಿಭಾಗವನ್ನು Y = f (x) ಗ್ರಾಫ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಿದರೆ, L ಮತ್ತು N ಅಂಕಗಳು K (x0; f (x0)) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ಈ ಹಂತವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಆರಂಭ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ - ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಾದರೂ, ಈ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಈ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಬಿಂದು y = kx + b ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ಅಥವಾ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ dy - ಹಸಿರು ನೇರ ರೇಖೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?! ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ KLN ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು K ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಕೋನ α ಅಥವಾ ∠K ನ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ:

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ದೋಷವಲ್ಲ, ಸರಳವಾದ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಹೋಲಿಕೆ ಕೋಷ್ಟಕಸೈನಸ್, ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ:

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಆರ್ಕೋಸಿನ್, ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಯಶಸ್ವಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳುಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ, ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಏನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮ: ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು π/4 ಗಾಗಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ಪರಿಹಾರ: y' ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ.

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುಟಗಳಿಗೆ ಲಿಂಕ್‌ಗಳು ವಿವರವಾದ ಹೇಳಿಕೆಔಟ್ಪುಟ್ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವಕಾಶ
y = ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x.
ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಸೈನ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ
.
ಇಲ್ಲಿ y ಎಂಬುದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:
.
ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.

ಏಕೆಂದರೆ , ಆಗ . ನಂತರ
.
ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
. ಇಲ್ಲಿಂದ
.

ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:
.
ನಂತರ
.

"ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ.

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಅವಕಾಶ
y = ಆರ್ಕ್ಟಾನ್ x.
ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪರ್ಶದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:
.
ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ:
.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.

ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ:
.

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಅವಕಾಶ
.
ಆರ್ಕ್ಸೈನ್‌ನ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
;
.
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು:
.
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆದೇಶಗಳ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ:
.

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

n ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಆರ್ಡರ್ ಆಫ್ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ n ಹೊಂದಿದೆ ಮುಂದಿನ ನೋಟ:
,
ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
;
.
ಇಲ್ಲಿ .

ಬಹುಪದವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:
.

n ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರ್ಕೋಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
.

ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಅವಕಾಶ . ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್‌ನ ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.

ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:

.
ಇಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, .

ನಾವು ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:

.

ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

n ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಹೀಗಾಗಿ, n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
;
.

ಆರ್ಕ್ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಅದು ಈಗ ಇರಲಿ. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
.
ನಂತರ ಆರ್ಕ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆರ್ಕ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಥರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.

ಹುಡುಕಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬಳಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 6-13.

ನೀವು ಹುಡುಕಿದಾಗ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು:

• ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಅಥವಾ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಸ್ಥಿರ), ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ;
• ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ ಎರಡು ಕೋನಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಜೊತೆ ಹೇಳೋಣ ಕೊಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಅನೇಕರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸೈನ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಹನ್ನೆರಡು ಪೈನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ಉತ್ತರ: ಎಣಿಕೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ! ಇಲ್ಲಿ ಸೈನ್ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ!) ಒಂದು ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಾದವು ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೈನ್ ಕೂಡ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಸ್ಥಿರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು X ನ ಮೈನಸ್ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ: ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ x ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ "ಫೈ" ಅಕ್ಷರವು ಹಿಂದಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ "x" ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಲ) - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿದಾಗ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ "ಫೈ" ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಘೋಷಿಸಲು ನಾವು ಹೊರದಬ್ಬುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಆದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಲ್ಲಿಗೆ ಮುಗಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ (ಸರಳಗೊಳಿಸುವ) ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಸೆಕೆಂಟ್ - ಮತ್ತು ಅದರ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೊಸೈನ್ ಮೂಲಕ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 6.ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:

,

(ಇದು ಡಬಲ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರ)