ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಗತಿಪರ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ಚಲನೆಗಳುದೇಹಗಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಗಳು ಸಹ ಗಮನಾರ್ಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪನಗಳು ಸಮಯದ ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು) ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ದೇಹಗಳ ಚಲನೆಗಳು. ದೇಹದ ಆಂದೋಲನದ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಸಮಯ X = f (ಟಿ). ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋರ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ.

ಸರಳವಾದ ಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಸಂತಕಾಲದ ಮೇಲೆ ಹೊರೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಲೋಲಕ(ಚಿತ್ರ 2.1.1).

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪನಗಳು, ಇತರ ಯಾವುದೇ ಆಂದೋಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತೆ ಭೌತಿಕ ಸ್ವಭಾವ, ಆಗಿರಬಹುದು ಉಚಿತಮತ್ತು ಬಲವಂತವಾಗಿ. ಉಚಿತ ಕಂಪನಗಳು ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಹೊರಬಂದ ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಅಥವಾ ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಉಚಿತ ಆಂದೋಲನಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಕಂಪನಗಳು ಬಾಹ್ಯನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲವಂತವಾಗಿ .

ಸರಳವಾದ ರೀತಿಯ ಆಂದೋಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳು , ಇವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

X = X mcos(ω ಟಿ + φ 0).

ಇಲ್ಲಿ X- ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೇಹದ ಸ್ಥಳಾಂತರ, X m - ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯ, ಅಂದರೆ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ω - ಆವರ್ತಕ ಅಥವಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನ ಹಿಂಜರಿಕೆ, ಟಿ- ಸಮಯ. ಕೊಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣ φ = ω ಟಿ+ φ 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಂತಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ನಲ್ಲಿ ಟಿ= 0 φ = φ 0, ಆದ್ದರಿಂದ φ 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ. ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿ ಟಿ. ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣ, ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಂಪನ ಆವರ್ತನ:

ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ f 1 ಸೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಆಂದೋಲನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನ ಘಟಕ - ಹರ್ಟ್ಜ್(Hz). ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನ fಆವರ್ತಕ ಆವರ್ತನ ω ಮತ್ತು ಆಂದೋಲನ ಅವಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಟಿಅನುಪಾತಗಳು:

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 2.1.2 ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಆವರ್ತಕ ಹೊಳಪಿನ ಬೆಳಕಿನೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನದ ದೇಹವನ್ನು ಬೆಳಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ( ಸ್ಟ್ರೋಬ್ ಲೈಟಿಂಗ್) ಬಾಣಗಳು ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ದೇಹದ ವೇಗ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2.1.3 ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಬದಲಾದರೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ Xಮೀ, ಅಥವಾ ಅವಧಿ ಟಿ(ಅಥವಾ ಆವರ್ತನ f), ಅಥವಾ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ φ 0 .

ದೇಹವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಂದೋಲನಗೊಂಡಾಗ (ಅಕ್ಷ OX) ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವೇಗ υ = υ Xದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, Δ ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ ಟಿ→ 0 ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X (ಟಿ) ಸಮಯದ ಮೂಲಕ ಟಿಮತ್ತು ಎಂದು ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X"(ಟಿ) ಅಥವಾ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಹಾಗೆ . ಚಲನೆಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ನಿಯಮಕ್ಕಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ಕೊಸೈನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ + π / 2 ಪದದ ನೋಟವು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಎಂದರ್ಥ. ವೇಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು υ = ω Xದೇಹವು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೀ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( X= 0). ವೇಗವರ್ಧಕವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ = ಎXಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹಗಳು:

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎυ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ( ಟಿ) ಸಮಯದ ಮೂಲಕ ಟಿ, ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ X (ಟಿ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರೆ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಎ (ಟಿ) ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳು X (ಟಿ), ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ದೇಹವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಗುವ ಶಕ್ತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ( X = 0).

ಒಂದೇ ದೇಹವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಸಮತಲಕ್ಕೆ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಸೆದ ಚೆಂಡಿನ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಚೆಂಡು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು: ಏಕರೂಪದ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಲಂಬವಾಗಿ. ಅದೇ ದೇಹ ( ವಸ್ತು ಬಿಂದು) ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಬಹುದು.

ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಆಂದೋಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ ಉಂಟಾಗುವ ಕಂಪನದ ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ - ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

2.1. ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

1. ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ಎರಡು ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ(ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಆಂದೋಲನಗಳು)

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಬದಲು ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಚಿತ್ರ 9) ಬಳಸಿ ಮಾಡಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2.1 ವೈಶಾಲ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಎ 1(ಟಿ) ಮತ್ತು ಎ 2 (t) ಈ ಆಂದೋಲನಗಳ ಹಂತಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವಾಗ t ಸಮಯದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ . ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೊತ್ತಈ ವಾಹಕಗಳು.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನ ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವೈಶಾಲ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಹಂತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.1 - ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣ ಎ(ಟಿ) ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಹಂತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

.

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ω 1 ಮತ್ತು ω 2 ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಂತ φ(t) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ ಎರಡೂ ಎ(ಟಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಏರಿಳಿತಗಳು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸಂಗತಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ.

2. ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳನ್ನು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುಸಂಬದ್ಧ, ಅವರ ಹಂತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ:

ಆದರೆ, ಈ ಎರಡು ಆಂದೋಲನಗಳ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, ಅವುಗಳ ಆವರ್ತಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು.

ಸಮಾನ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸುಸಂಬದ್ಧ ಆಂದೋಲನಗಳು) ಕೋಡೆರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನೀವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಎ 1 ಮತ್ತು ಎ 2 ರಂದು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು OX ಮತ್ತು OU (ಚಿತ್ರ 9 ನೋಡಿ):

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನವು ಸಹ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವಾಗಿದೆ.

3. ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, n ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ

(n = 0, 1, 2...), ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಇದ್ದವು ವಿರೋಧಿ ಹಂತ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ.

ಒಂದು ವೇಳೆ , ಅದು , ಅಂದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದವು. ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ , ಆ.

4. ಅಸಮಾನವಾದ ಆದರೆ ಒಂದೇ ತರಹದ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆವರ್ತನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ω 1 ಮತ್ತು ω 2 ಎರಡಕ್ಕಿಂತಲೂ ಕಡಿಮೆ. ಸೇರಿಸಿದ ಆವರ್ತನಗಳ ಸಾಮೀಪ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ದಿಕ್ಕಿನ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಮತಲದ ಚಲನೆ ವಸಂತ ಲೋಲಕ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಠೀವಿ ಕೆ 1 ಮತ್ತು ಕೆ 2 ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಲಿ , ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

, .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ , ಇತರ - ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ , ಅಲ್ಲಿ ω ಸೇರಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ (ω 1 ಅಥವಾ ω 2). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.ಅಂತಹ ಆಂದೋಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಎಂದು ಕರೆದರು ಬೀಟ್ಸ್. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಏರಿಳಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಷನ್ ಅಲ್ಲ.

ವೈಶಾಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬನೆಯ ಸ್ವರೂಪ x res. ಹೊಡೆಯುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 2.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.2 - ಸೋಲಿಸುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಅವಲಂಬನೆ.

ಬಡಿತಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ π ನಿಂದ ಬದಲಾದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರ τ b ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಟ್ ಅವಧಿ(ಚಿತ್ರ 12 ನೋಡಿ). ಬೀಟ್ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಮೌಲ್ಯವು ಸೋಲಿಸುವ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ.

ಪರಿಮಾಣ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2.4).

2.2 ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಕಂಪನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

1. ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಲೋಲಕ (ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ನ ವಸ್ತು ಬಿಂದು) ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ OX ಮತ್ತು OU ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2.3

ಮಡಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಆಂದೋಲನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು , , ಅಲ್ಲಿ , ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಠೀವಿ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

2. ಎರಡನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಒಂದೇ ತರಂಗಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದ ಆಂದೋಲನಗಳು , ಇದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ಒಂದೇ ಬುಗ್ಗೆಗಳು). ನಂತರ ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ಚಲನೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಾಗ, ಅದರ ಪಥವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾದವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ OXY ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಆಂದೋಲನಗಳ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಮಯ t ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಪಥದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು(§ 1.1.2 ನೋಡಿ). ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮತ್ತು ವೇಳೆ , ಅಲ್ಲಿ n = 0, 1, 2…, ಅಂದರೆ. ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಹಂತದಲ್ಲಿವೆ, ನಂತರ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

(ಚಿತ್ರ 2.3 ಎ).

ಚಿತ್ರ 2.3.a	ಚಿತ್ರ 2.3 ಬಿ

ಬಿ) ವೇಳೆ (n = 0, 1, 2...), ಅಂದರೆ. ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳು ಆಂಟಿಫೇಸ್‌ನಲ್ಲಿವೆ, ನಂತರ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಚಿತ್ರ 2.3 ಬಿ).

ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (a, b), ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚಲನೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ O ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಂದೋಲನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಆವರ್ತನವು ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ω 0, ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಬಂಧದಿಂದ.

ಎ) ದೇಹವು ಒಂದೇ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆಡಬ್ಲ್ಯೂ , ಆದರೆ ವಿವಿಧ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ.

ಈ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

x 1 = a 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

ಎಲ್ಲಿ x 1ಮತ್ತು x 2- ಸ್ಥಳಾಂತರ; a 1ಮತ್ತು a 2- ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಸ್; ಡಬ್ಲ್ಯೂ- ಎರಡೂ ಕಂಪನಗಳ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಆವರ್ತನ; j 1ಮತ್ತು j 2- ಆಂದೋಲನಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳು.

ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಾವು ಎರಡೂ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ವೈಶಾಲ್ಯ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಓಹ್, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದೆ X, ನಾವು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ j 1ಮತ್ತು j 2ಈ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಈ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು Xಆಫ್‌ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x 1ಮತ್ತು x 2ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರಕಾರ (2). ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಡಬ್ಲ್ಯೂಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು Xಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವುದರಿಂದ ಡಬ್ಲ್ಯೂ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ j=j 1 -j 2ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಮತ್ತು 2 ಎರಡನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿ, ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 2 ರಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ Xವಾಹಕಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ x=x 1 +x 2.ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ: x=a·cos(wt+jo).

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಮತ್ತು 2 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕೋನೀಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆಂದೋಲನಗಳ ಘಟಕಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ. ಇಲ್ಲಿ jo -ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ.

ಅಂಜೂರ 2 ರಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

a 2 = a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a = a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos(j 2 - j 1)(3)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ (3) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ( j 2 - j 1) ಕಂಪನಗಳ ಘಟಕಗಳು. ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ( j 2 = j 1), ನಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ (3) ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಎಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a 1ಮತ್ತು a 2. ಹಂತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದ್ದರೆ ( j 2 - j 1) ± 180 o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಎರಡೂ ಆಂದೋಲನಗಳು ಆಂಟಿಫೇಸ್‌ನಲ್ಲಿವೆ), ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಕಂಪನ ಪದಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ : a = |a 1 - a 2 |.

b) ದೇಹವು ಒಂದೇ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಆಂದೋಲನಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳು, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಆವರ್ತನಗಳು.

ಈ ಕಂಪನಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

x 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 ಟಿ.

ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ w 1ನಿಂದ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ w 2. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x=x 1 +x 2 =2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+ಪಾಪ[(w 1 +w 2)/2]t=

=2a cos[(w 1 -w 2)/2]ಟಿ ಪಾಪ wt (4)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಂದೋಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಟ್ಸ್(Fig.3) ಮೌಲ್ಯದಿಂದ w 1 -w 2ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ w 1 + w 2, ನಂತರ ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು w=(w 1 +w 2)/2, ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈಶಾಲ್ಯ.

(4) ರಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾನೂನುಕೊಸೈನ್. ಪೂರ್ಣ ಚಕ್ರಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ 360 0 ರಿಂದ ಬದಲಾದಾಗ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು +1 ರಿಂದ -1 ವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಬಾರಿ ಬಡಿಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳುಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (4) ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 180 0 ರಿಂದ ಸೂತ್ರ (4) ನಲ್ಲಿನ ಕೊಸೈನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆವರ್ತಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೀಟ್ ಚಕ್ರಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವಧಿ ಟಿ ಎಬೀಟ್ಸ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು (ಬೀಟ್ ಅವಧಿ) ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

T a = 2p/(w 1 - w 2).

ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ w=2pn,ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

T a = 2 p /2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2). (5)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಆವರ್ತನವು ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n=1/T a =n 1 -n 2.

ಸೇರ್ಪಡೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳುಒಂದು ದಿಕ್ಕು.

ಬೀಟ್ಸ್

ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಆಂದೋಲನವು ಒಂದೇ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಲಿ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳು, ಅಂದರೆ.

"ಆಫ್ಸೆಟ್" ರಿಂದ ಆಂದೋಲನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಒಂದೇ "ದಿಕ್ಕಿನ" ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೇರಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋನದಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6.1). ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು . ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

. (6.3)

ಹೀಗಾಗಿ, ಅದೇ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಅದೇ ಆವರ್ತನದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ(6.2), (6.3).

ಒಂದೇ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಹಂತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುಸಂಬದ್ಧ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸುಸಂಬದ್ಧ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ಅದೇ ಆವರ್ತನದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ, ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅಲ್ಲ.

ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹತ್ತಿರವಿರಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು . ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡು ಆವರ್ತನಗಳ ಬೀಟ್.

ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ , ಮತ್ತು , ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

. (6.5)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ (6.5) ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಾಸರಿ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅದರ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ (ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯ ಎಂದು ಕರೆದರು ಬೀಟ್ ಅವಧಿ, ಎ – ಬೀಟ್ ಆವರ್ತನ. ಬೀಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 6.2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ ಹೊಡೆಯುವುದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದೇ ನಾದದ ಎರಡು ಶ್ರುತಿ ಫೋರ್ಕ್‌ಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಧ್ವನಿ. ಒಂದೇ ಆವರ್ತನಕ್ಕೆ ಟ್ಯೂನ್ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್‌ಗಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಸಿಲ್ಲೋಸ್ಕೋಪ್ ಬಳಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಂಪನ ಮೂಲಗಳ ಆವರ್ತನಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೀಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಂದೋಲನಗಳು ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಆವರ್ತನಗಳು, ನಂತರ ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಹಂತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಂದೋಲನಗಳು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗಳ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಸಮಯದ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸೇರಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳ ಅಸಂಗತತೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳುಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ರೇಡಿಯೋ ಸಂವಹನ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಟೆರೊಡೈನ್ ರಿಸೀವರ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಂತರದ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರ ಆವರ್ತನ ಆಂದೋಲನವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಆಂದೋಲಕ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮಿಶ್ರಣ). ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉಪಯುಕ್ತ ಸಿಗ್ನಲ್ ಜೊತೆಗೆ, ಸಾಧನದ ಇನ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪ ಬಂದಾಗ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸಂಕೇತದ ಆಕಾರಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಎರಡು ಅಥವಾ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳು.

ಕಂಪನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಒಂದೇ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ ಶಬ್ದ ತರಂಗಗಳು, ಎರಡು ಮೂಲಗಳು ಒಂದೇ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಸ್ A ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ?. ನಾವು ಮೂಲಗಳಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪೊರೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ತರಂಗವು ಮೂಲದಿಂದ ಪೊರೆಯವರೆಗಿನ ಅಂತರವನ್ನು "ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದಾಗ", ಪೊರೆಯು ಬರುತ್ತದೆ ಆಂದೋಲಕ ಚಲನೆ. ಪೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ತರಂಗದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಆಂದೋಲಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1.27)

ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ (1.28), ನಾವು ಹೊಸ ಪ್ರಮಾಣಗಳ A0 ಮತ್ತು?0 ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಅದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

A0 = ?0 = (1.29)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (1.29) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ (1.28) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಅದೇ ಆವರ್ತನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಮೊತ್ತ? ಅದೇ ಆವರ್ತನದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವಿದೆಯೇ?. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಆಂದೋಲನ A0 ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ?0 ನ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (1.29).

ಒಂದೇ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೈಶಾಲ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ

ಈಗ ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನದ ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು (1.26). x1 (t) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವೈಶಾಲ್ಯ A ಅನ್ನು A1 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x2 (t) A ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ A2 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (1.26) ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

x1 (t) = A1 cos(?t + ?1), x2 (t) = A2 cos (?t + ?2); (1.31)

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1.32)

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮೊತ್ತ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (1.32) ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1.33)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ (1.33), ನಾವು ಹೊಸ ಪ್ರಮಾಣಗಳ A0 ಮತ್ತು?0 ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಅದು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ (1.34) ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು A0 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (1.35). ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಕಾಸ್(?1 - ?2) ರಿಂದ ? -1, ಅಂದರೆ ಇದು ಮೂಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಏಕೈಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ (A12 > 0, A22 > 0 ಮತ್ತು 2A1A2 > 0 (ಆಂಪ್ಲಿಟ್ಯೂಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ)). ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಕೊಸೈನ್ ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೊಸೈನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1.34) ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣ?0 ಗಾಗಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1.34) ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ (1.33) ಬದಲಿಸೋಣ

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1.37)

ಕೊಸೈನ್ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1.38)

ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಅದು ರೂಪದ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು (1.31) ಆಗಿದೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಅದೇ ರೀತಿಯ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಒಂದೇ ತರಂಗಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ? ಅದೇ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲನವಾಗಿದೆಯೇ?. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧದಿಂದ (1.35) ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ - ಸಂಬಂಧದಿಂದ (1.36).