ហើយដើម្បីដោះស្រាយវាអ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងតិចតួចបំផុតនៃប្រធានបទ។ មួយបន្ទាប់បញ្ចប់ ឆ្នាំសិក្សាអ្នកទាំងអស់គ្នាចង់ទៅវិស្សមកាល ហើយដើម្បីអោយពេលវេលាកាន់តែខិតជិត ខ្ញុំនឹងទៅដល់ចំនុចនេះភ្លាមៗ៖
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងតំបន់។ តំបន់ដែលសំដៅទៅលើលក្ខខណ្ឌគឺ មានកំណត់ បិទ សំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ។ ឧទាហរណ៍ សំណុំនៃចំណុចដែលចងដោយត្រីកោណ រួមទាំងត្រីកោណទាំងមូល (ប្រសិនបើពី ព្រំដែន"ចាក់ចេញ" យ៉ាងហោចណាស់ចំណុចមួយ បន្ទាប់មកតំបន់នឹងមិនត្រូវបានបិទទៀតទេ). នៅក្នុងការអនុវត្តក៏មានតំបន់ដែលមានរាងចតុកោណរាងជារង្វង់និងធំជាងបន្តិច។ ទម្រង់ស្មុគស្មាញ. វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងទ្រឹស្តី ការវិភាគគណិតវិទ្យានិយមន័យតឹងរឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែនកំណត់ ភាពឯកោ ព្រំដែន។ល។ប៉ុន្តែខ្ញុំគិតថាអ្នកគ្រប់គ្នាដឹងពីគោលគំនិតទាំងនេះក្នុងកម្រិតវិចារណញាណ ហើយឥឡូវនេះមិនត្រូវការអ្វីទៀតទេ។
តំបន់ផ្ទះល្វែងមួយត្រូវបានតំណាងជាស្តង់ដារដោយអក្សរ ហើយជាក្បួនត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការវិភាគ - ដោយសមីការជាច្រើន (មិនចាំបាច់លីនេអ៊ែរ); វិសមភាពតិចជាញឹកញាប់។ កិរិយាសព្ទធម្មតា៖ "តំបន់បិទជិតដោយបន្ទាត់។"
ផ្នែកសំខាន់មួយ។ភារកិច្ចនៅក្នុងសំណួរគឺការសាងសង់តំបន់មួយនៅក្នុងគំនូរ។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច? អ្នកត្រូវគូរបន្ទាត់ដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់ (ក្នុង ក្នុងករណីនេះ 3 ត្រង់) និងវិភាគអ្វីដែលបានកើតឡើង។ តំបន់ស្វែងរកជាធម្មតាមានស្រមោលស្រាលៗ ហើយព្រំដែនរបស់វាត្រូវបានសម្គាល់ដោយបន្ទាត់ក្រាស់៖ 
តំបន់ដូចគ្នាក៏អាចត្រូវបានកំណត់ផងដែរ។ វិសមភាពលីនេអ៊ែរ: ដែលសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនជារឿយៗត្រូវបានសរសេរជាបញ្ជីរាប់បញ្ចូលជាជាង ប្រព័ន្ធ.
ដោយសារព្រំដែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ នោះវិសមភាពទាំងអស់ ពិតណាស់ ធូររលុង.
ហើយឥឡូវនេះខ្លឹមសារនៃភារកិច្ច។ ស្រមៃថាអ័ក្សចេញមកត្រង់ឆ្ពោះទៅរកអ្នកពីប្រភពដើម។ ពិចារណាមុខងារមួយ។ បន្ត នៅក្នុងគ្នាចំណុចតំបន់។ ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះតំណាងឱ្យមួយចំនួន ផ្ទៃហើយសុភមង្គលតូចតាចគឺថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាសព្វថ្ងៃ យើងមិនចាំបាច់ដឹងថាផ្ទៃនេះមើលទៅដូចម្តេចនោះទេ។ វាអាចត្រូវបានកំណត់ទីតាំងខ្ពស់ជាង, ទាប, ប្រសព្វយន្តហោះ - ទាំងអស់នេះមិនមានបញ្ហាទេ។ ហើយខាងក្រោមគឺសំខាន់: យោងតាម ទ្រឹស្តីបទរបស់ Weierstrass, បន្តវ បិទមានកំណត់តំបន់ដែលមុខងារឈានដល់តម្លៃធំបំផុតរបស់វា។ (ខ្ពស់បំផុត")និងតិចបំផុត។ (ទាបបំផុត")តម្លៃដែលត្រូវស្វែងរក។ តម្លៃបែបនេះត្រូវបានសម្រេច ឬវ ចំណុចស្ថានី, ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ឃ , ឬនៅចំណុចដែលស្ថិតនៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ។ នេះនាំទៅរកដំណោះស្រាយសាមញ្ញ និងតម្លាភាព៖
ឧទាហរណ៍ ១
ក្នុងកម្រិត តំបន់បិទ
ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង អ្នកត្រូវពណ៌នាផ្ទៃក្នុងគំនូរ។ ជាអកុសល វាជាការលំបាកផ្នែកបច្ចេកទេសសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការបង្កើតគំរូអន្តរកម្មនៃបញ្ហា ហេតុដូច្នេះហើយ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញភ្លាមៗនូវរូបភាពចុងក្រោយ ដែលបង្ហាញពីចំណុច "គួរឱ្យសង្ស័យ" ទាំងអស់ដែលបានរកឃើញក្នុងអំឡុងពេលស្រាវជ្រាវ។ ពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានរាយបញ្ជីមួយបន្ទាប់ពីផ្សេងទៀតដូចដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញ: 
ដោយផ្អែកលើបុព្វកថា ការសម្រេចចិត្តអាចបែងចែកយ៉ាងងាយស្រួលជាពីរចំណុច៖
ខ្ញុំ) ស្វែងរកចំណុចនៅស្ថានី។ នេះគឺជាសកម្មភាពស្តង់ដារដែលយើងបានធ្វើម្តងហើយម្តងទៀតនៅក្នុងថ្នាក់។ អំពី extrema នៃអថេរជាច្រើន។:
បានរកឃើញចំណុចស្ថានី ជាកម្មសិទ្ធិតំបន់៖ (សម្គាល់វានៅលើគំនូរ)ដែលមានន័យថាយើងគួរគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
- ដូចនៅក្នុងអត្ថបទ តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។, លទ្ធផលសំខាន់ខ្ញុំនឹងគូសបញ្ជាក់ នៅក្នុងដិត. វាងាយស្រួលក្នុងការតាមដានពួកវានៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រាដោយប្រើខ្មៅដៃ។
យកចិត្តទុកដាក់ចំពោះសុភមង្គលទីពីររបស់យើង - មិនមានចំណុចណាមួយក្នុងការត្រួតពិនិត្យទេ។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពធ្ងន់ធ្ងរ. ហេតុអ្វី? បើទោះបីជានៅចំណុចមួយ មុខងារឈានដល់, ឧទាហរណ៍, អប្បបរមាក្នុងស្រុកបន្ទាប់មក នេះមិនមានន័យថាតម្លៃលទ្ធផលនឹងមាននោះទេ។ តិចតួចបំផុត។នៅទូទាំងតំបន់ (សូមមើលការចាប់ផ្តើមនៃមេរៀន អំពីភាពជ្រុលនិយមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ) .
អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើចំណុចស្ថានីមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់? ស្ទើរតែគ្មានអ្វីសោះ! វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាហើយបន្តទៅចំណុចបន្ទាប់។
II) យើងរុករកព្រំដែននៃតំបន់។
ដោយសារព្រំដែនមានជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ វាងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកការសិក្សាជា 3 ផ្នែករង។ ប៉ុន្តែវាប្រសើរជាងកុំធ្វើវា។ តាមទស្សនៈរបស់ខ្ញុំ វាជាការប្រសើរក្នុងការពិចារណាផ្នែកដែលស្របគ្នាជាមុនសិន សំរបសំរួលអ័ក្សហើយជាដំបូង អ្នកដែលដេកលើពូថៅខ្លួនឯង។ ដើម្បីចាប់យកលំដាប់ និងតក្កវិជ្ជានៃសកម្មភាពទាំងមូល សូមព្យាយាមសិក្សាការបញ្ចប់ "ក្នុងមួយដង្ហើម"៖
1) ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយផ្នែកខាងក្រោមនៃត្រីកោណ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ជំនួសដោយផ្ទាល់ទៅក្នុងមុខងារ៖
ម៉្យាងទៀត អ្នកអាចធ្វើវាបានដូចនេះ៖ 
ធរណីមាត្រនេះមានន័យថា សំរបសំរួលយន្តហោះ (ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការផងដែរ)"ឆ្លាក់" ចេញពី ផ្ទៃប៉ារ៉ាបូឡា "លំហ" មួយកំពូលដែលភ្លាមៗនោះស្ថិតនៅក្រោមការសង្ស័យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ តើនាងនៅឯណា:
- តម្លៃលទ្ធផល "ធ្លាក់" ចូលទៅក្នុងតំបន់ ហើយវាអាចប្រែថានៅចំណុចនោះ។ (សម្គាល់លើគំនូរ)មុខងារឈានដល់តម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៅក្នុងតំបន់ទាំងមូល។ វិធីមួយ ឬវិធីផ្សេងទៀត ចូរយើងធ្វើការគណនា៖
ជាការពិតណាស់ "បេក្ខជន" ផ្សេងទៀតគឺចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច 
(សម្គាល់លើគំនូរ):
នៅទីនេះ ដោយវិធីនេះ អ្នកអាចធ្វើការពិនិត្យផ្ទាល់មាត់ដោយប្រើកំណែ "ដកចេញ"៖ 
2) សម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ ផ្នែកខាងស្តាំយើងជំនួសត្រីកោណទៅក្នុងមុខងារហើយ "ដាក់អ្វីៗតាមលំដាប់លំដោយ"៖
នៅទីនេះយើងនឹងធ្វើការពិនិត្យរដុបភ្លាមៗ "រោទ៍" ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលបានដំណើរការរួចហើយ:
, អស្ចារ្យ។
ស្ថានភាពធរណីមាត្រគឺទាក់ទង ចំណុចមុន។:
- តម្លៃលទ្ធផលក៏ "ចូលមកក្នុងរង្វង់នៃផលប្រយោជន៍របស់យើង" ដែលមានន័យថាយើងត្រូវគណនាថាតើមុខងារនៅចំណុចដែលបានបង្ហាញខ្លួនគឺស្មើនឹង៖
តោះពិនិត្យមើលចុងទីពីរនៃផ្នែក៖
ការប្រើប្រាស់មុខងារ 
ចូរយើងធ្វើការត្រួតពិនិត្យការត្រួតពិនិត្យ៖ 
3) ប្រហែលជាមនុស្សគ្រប់គ្នាអាចទាយពីរបៀបដើម្បីរុករកផ្នែកដែលនៅសល់។ យើងជំនួសវាទៅក្នុងមុខងារ និងអនុវត្តភាពសាមញ្ញ៖
ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក 
ត្រូវបានស្រាវជ្រាវរួចហើយ ប៉ុន្តែនៅក្នុងសេចក្តីព្រាង យើងនៅតែពិនិត្យមើលថាតើយើងបានរកឃើញមុខងារត្រឹមត្រូវឬអត់ 
:
- ស្របគ្នានឹងលទ្ធផលនៃកថាខណ្ឌទី ១;
- ស្របគ្នានឹងលទ្ធផលនៃកថាខណ្ឌទី២។
វានៅសល់ដើម្បីរកមើលថាតើមានអ្វីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅក្នុងផ្នែកនេះ:
- មាន! ការជំនួសបន្ទាត់ត្រង់ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបានលំដាប់នៃ "ចំណាប់អារម្មណ៍" នេះ៖
យើងសម្គាល់ចំណុចមួយនៅលើគំនូរ ហើយស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារ៖
តោះពិនិត្យមើលការគណនាដោយប្រើកំណែ "ថវិកា" 
:
, បញ្ជា។
និងជំហានចុងក្រោយ៖ យើងពិនិត្យមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលេខ "ដិត" ទាំងអស់ ខ្ញុំសូមណែនាំថាអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងសូម្បីតែបង្កើតបញ្ជីតែមួយ៖ 
ដែលយើងជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។ ចម្លើយចូរយើងសរសេរនៅក្នុងរចនាប័ទ្មនៃបញ្ហានៃការស្វែងរក តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។:
ក្នុងករណីខ្ញុំនឹងផ្តល់យោបល់ម្តងទៀត អត្ថន័យធរណីមាត្រលទ្ធផល៖
- នៅទីនេះគឺច្រើនបំផុត ចំណុចខ្ពស់។ផ្ទៃក្នុងតំបន់;
- នៅទីនេះគឺច្រើនបំផុត ចំណុចទាបផ្ទៃក្នុងតំបន់។
នៅក្នុងកិច្ចការដែលបានវិភាគ យើងបានកំណត់ 7 ចំណុច "គួរឱ្យសង្ស័យ" ប៉ុន្តែចំនួនរបស់ពួកគេប្រែប្រួលពីកិច្ចការមួយទៅកិច្ចការមួយ។ សម្រាប់តំបន់ត្រីកោណ "សំណុំស្រាវជ្រាវ" អប្បបរមាមាន បីពិន្ទុ. វាកើតឡើងនៅពេលដែលមុខងារឧទាហរណ៍បញ្ជាក់ យន្តហោះ- វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានចំណុចស្ថានីទេ ហើយមុខងារអាចឈានដល់តម្លៃអតិបរមា/តូចបំផុតរបស់វាបានតែនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែមានឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាតែមួយឬពីរ - ជាធម្មតាអ្នកត្រូវដោះស្រាយជាមួយមួយចំនួន ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2.
ប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមដោះស្រាយកិច្ចការនេះបន្តិច នោះត្រីកោណអាចធ្វើឱ្យក្បាលរបស់អ្នកវិល ហើយនោះជាមូលហេតុដែលខ្ញុំរៀបចំសម្រាប់អ្នក ឧទាហរណ៍មិនធម្មតាដូច្នេះវាក្លាយជាការ៉េ :))
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ 
នៅក្នុងតំបន់បិទជិត, កំណត់ដោយបន្ទាត់
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយនៅក្នុងតំបន់បិទជិត។
ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសយកចិត្តទុកដាក់លើលំដាប់សមហេតុផល និងបច្ចេកទេសនៃការសិក្សាព្រំដែននៃតំបន់ ក៏ដូចជាខ្សែសង្វាក់នៃការត្រួតពិនិត្យកម្រិតមធ្យម ដែលនឹងជៀសវាងកំហុសក្នុងការគណនាស្ទើរតែទាំងស្រុង។ និយាយជាទូទៅ អ្នកអាចដោះស្រាយវាតាមវិធីណាមួយដែលអ្នកចូលចិត្ត ប៉ុន្តែនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 មានឱកាសធ្វើឱ្យជីវិតរបស់អ្នកកាន់តែលំបាក។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលបញ្ចប់កិច្ចការនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ចូររៀបចំក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយជាប្រព័ន្ធ បើមិនដូច្នេះទេ ដោយការឧស្សាហ៍ព្យាយាមរបស់ខ្ញុំជាសត្វពីងពាង វាបានបាត់បង់នៅក្នុងខ្សែវែងនៃមតិយោបល់នៃឧទាហរណ៍ទី 1៖
- នៅជំហានដំបូង យើងសាងសង់តំបន់មួយ គួរតែដាក់ស្រមោលវា ហើយរំលេចព្រំដែនដោយបន្ទាត់ដិត។ កំឡុងពេលដំណោះស្រាយ ចំនុចនឹងលេចឡើងដែលចាំបាច់ត្រូវសម្គាល់លើគំនូរ។
- ស្វែងរកចំណុចស្ថានី និងគណនាតម្លៃនៃមុខងារ មានតែនៅក្នុងពួកគេប៉ុណ្ណោះ។ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់។ យើងគូសបញ្ជាក់តម្លៃលទ្ធផលនៅក្នុងអត្ថបទ (ឧទាហរណ៍ គូសរង្វង់ពួកវាដោយខ្មៅដៃ)។ ប្រសិនបើចំណុចស្ថានីមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នោះ យើងសម្គាល់ការពិតនេះដោយរូបតំណាង ឬដោយពាក្យសំដី។ ប្រសិនបើមិនមានចំណុចនៅស្ថានីទាល់តែសោះ នោះយើងសន្និដ្ឋានជាលាយលក្ខណ៍អក្សរថាពួកគេអវត្តមាន។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយចំណុចនេះមិនអាចរំលងបានទេ!
- យើងកំពុងរុករកព្រំដែននៃតំបន់។ ជាដំបូង វាមានអត្ថប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ (ប្រសិនបើមានទាំងអស់). យើងក៏រំលេចតម្លៃមុខងារដែលបានគណនានៅចំណុច "គួរឱ្យសង្ស័យ"។ ជាច្រើនត្រូវបានគេនិយាយខាងលើអំពីបច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយ ហើយអ្វីផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបាននិយាយខាងក្រោម - អាន អានឡើងវិញ ស្វែងយល់ពីវា!
- ពីលេខដែលបានជ្រើសរើស ជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត ហើយផ្តល់ចម្លើយ។ ជួនកាលវាកើតមានឡើងថាមុខងារមួយឈានដល់តម្លៃបែបនេះនៅចំណុចជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ - ក្នុងករណីនេះចំណុចទាំងអស់នេះគួរតែត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងចម្លើយ។ អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ 
ហើយវាបានប្រែក្លាយថាវាគឺជា តម្លៃតូចបំផុត។. បន្ទាប់មកយើងសរសេរវាចុះ
ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយគឺឧទ្ទិសដល់អ្នកដទៃ គំនិតមានប្រយោជន៍ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការអនុវត្ត៖
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់បិទជិត 
.
ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថាជាមួយ មិនមែនលីនេអ៊ែរយើងបានជួបប្រទះវិសមភាពនៅលើ ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនយល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃសញ្ញាណនោះ សូមកុំពន្យារពេល និងបញ្ជាក់ស្ថានភាពឥឡូវនេះ ;-)
ដំណោះស្រាយដូចសព្វមួយដង ចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការសាងសង់តំបន់ដែលតំណាងឱ្យប្រភេទនៃ "តែមួយគត់"៖ 
ហឺ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវទំពាមិនត្រឹមតែថ្មក្រានីតនៃវិទ្យាសាស្ត្រទេ...
ខ្ញុំ) ស្វែងរកចំណុចនៅស្ថានី៖ 
ប្រព័ន្ធនេះគឺជាក្តីសុបិន្តរបស់មនុស្សឆ្កួត :) 
ចំណុចស្ថានីជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ ពោលគឺស្ថិតនៅលើព្រំដែនរបស់វា។
ដូច្នេះហើយ វាមិនអីទេ... មេរៀនបានដំណើរការល្អ - នេះគឺជាអត្ថន័យនៃការផឹកតែត្រឹមត្រូវ =)
II) យើងរុករកព្រំដែននៃតំបន់។ បើគ្មានការបន្ថែមទេ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយអ័ក្ស x៖
1) បើអញ្ចឹង
ចូរយើងស្វែងរកកន្លែងដែលចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺ៖
- ពេញចិត្តនឹងពេលវេលាបែបនេះ - អ្នកមានសិទ្ធិ "វាយ" ដល់ចំណុចដែលអ្វីៗទាំងអស់ច្បាស់រួចហើយ។ ប៉ុន្តែយើងនៅតែមិនភ្លេចអំពីការពិនិត្យ៖ 
ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក៖ 
២) គ បាតចូរយើងស្វែងយល់ពី "បាត" "ក្នុងមួយអង្គុយ" - ដោយគ្មានភាពស្មុគស្មាញណាមួយដែលយើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងមុខងារ ហើយយើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តែផ្នែកនេះប៉ុណ្ណោះ៖
គ្រប់គ្រង៖
នេះនាំមកនូវភាពរំភើបមួយចំនួនដល់ការបើកបរដ៏ឯកោនៅតាមបណ្តោយផ្លូវគន្លង។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ៖
តោះសម្រេចចិត្ត សមីការការ៉េតើអ្នកចាំអ្វីផ្សេងទៀតអំពីរឿងនេះទេ? ...ទោះជាយ៉ាងណា សូមចាំថា បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងមិនអានបន្ទាត់ទាំងនេះទេ =) ប្រសិនបើក្នុងឧទាហរណ៍ពីរមុន ការគណនាក្នុង ទសភាគ(ដែលតាមវិធីនេះគឺកម្រណាស់) បន្ទាប់មកអ្នកធម្មតាកំពុងរង់ចាំយើងនៅទីនេះ ប្រភាគទូទៅ. យើងរកឃើញឫស "X" ហើយប្រើសមីការដើម្បីកំណត់កូអរដោណេ "ហ្គេម" ដែលត្រូវគ្នានៃចំណុច "បេក្ខជន"៖ 
ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចដែលបានរកឃើញ៖ 
ពិនិត្យមុខងារដោយខ្លួនឯង។
ឥឡូវនេះ យើងសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវពានរង្វាន់ដែលបានឈ្នះ ហើយសរសេរចុះ ចម្លើយ:
ទាំងនេះគឺជា "បេក្ខជន" ទាំងនេះគឺជា "បេក្ខជន"!
ដើម្បីដោះស្រាយវាដោយខ្លួនឯង៖
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងារមួយ។ 
នៅក្នុងតំបន់បិទជិត 
ធាតុដែលមានដង្កៀបអង្កាញ់អានដូចនេះ៖ "សំណុំនៃចំណុចបែបនេះ"
ពេលខ្លះនៅក្នុង ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាប្រើ វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrangeប៉ុន្តែវាទំនងជាមិនមានតម្រូវការពិតប្រាកដក្នុងការប្រើប្រាស់វាទេ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើមុខងារដែលមានផ្ទៃដូចគ្នា "de" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះបន្ទាប់ពីការជំនួសវា - ជាមួយនឹងដេរីវេពីគ្មានការលំបាក។ លើសពីនេះទៅទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានគូសឡើងជា "មួយជួរ" (មានសញ្ញា) ដោយមិនចាំបាច់ពិចារណាលើពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ និងខាងក្រោមដោយឡែកពីគ្នា។ ប៉ុន្តែពិតណាស់មានច្រើនទៀត ករណីស្មុគស្មាញដែលជាកន្លែងដែលគ្មានមុខងារ Lagrange (ឧទាហរណ៍ ជាសមីការដូចគ្នានៃរង្វង់មួយ)ពិបាកទៅដល់ណាស់ គ្រាន់តែពិបាកទៅដោយមិនបានសម្រាកឲ្យបានល្អ!
រីករាយទាំងអស់គ្នា ហើយជួបគ្នាឆាប់ៗនារដូវកាលក្រោយ!
ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖
ឧទាហរណ៍ 2៖ ដំណោះស្រាយ៖ ចូរពណ៌នាផ្ទៃក្នុងគំនូរ៖
ការសិក្សាអំពីវត្ថុនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលជាមុខងារគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់។ អត្ថន័យនិងផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុង ការវិភាគសេដ្ឋកិច្ចអាកប្បកិរិយាត្រូវបានទាមទារជានិច្ចដើម្បីវាយតម្លៃ មុខងារប្រាក់ចំណេញ, ពោលគឺដើម្បីកំណត់ធំបំផុតរបស់ខ្លួន។ អត្ថន័យនិងបង្កើតយុទ្ធសាស្ត្រដើម្បីសម្រេចបាន។
ការណែនាំ
ការសិក្សាអំពីអាកប្បកិរិយាណាមួយគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរកដែននៃនិយមន័យជានិច្ច។ ជាធម្មតាតាមលក្ខខណ្ឌ ភារកិច្ចជាក់លាក់វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ធំបំផុត អត្ថន័យ មុខងារទាំងនៅលើតំបន់ទាំងមូលនេះ ឬលើសពីចន្លោះពេលជាក់លាក់របស់វាជាមួយនឹងព្រំដែនបើកចំហ ឬបិទ។
ដោយផ្អែកលើ, ធំបំផុតគឺ អត្ថន័យ មុខងារ y(x0) ដែលក្នុងនោះសម្រាប់ចំណុចណាមួយនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យវិសមភាព y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) រក្សា។ តាមក្រាហ្វិច ចំណុចនេះនឹងខ្ពស់បំផុត ប្រសិនបើតម្លៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានដាក់នៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស abscissa និងមុខងារខ្លួនវាតាមអ័ក្សតម្រៀប។
ដើម្បីកំណត់ភាពអស្ចារ្យបំផុត។ អត្ថន័យ មុខងារអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយបីជំហាន។ សូមចំណាំថាអ្នកត្រូវតែអាចធ្វើការជាមួយផ្នែកម្ខាង និង ក៏ដូចជាគណនាដេរីវេ។ ដូច្នេះ សូមឲ្យអនុគមន៍ y(x) មួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលអស្ចារ្យបំផុតរបស់វា។ អត្ថន័យនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់ជាមួយតម្លៃព្រំដែន A និង B ។
រកមើលថាតើចន្លោះពេលនេះគឺស្ថិតនៅក្នុងវិសាលភាពនៃនិយមន័យ មុខងារ. ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកវាដោយពិចារណាលើការរឹតបន្តឹងដែលអាចកើតមានទាំងអស់: វត្តមាននៃប្រភាគនៅក្នុងកន្សោម, ឫសការេល។ ដែននៃនិយមន័យគឺជាសំណុំនៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមុខងារធ្វើឱ្យយល់។ កំណត់ថាតើ ចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យសំណុំរងរបស់វា។ ប្រសិនបើបាទ / ចាសបន្ទាប់មកទៅ ដំណាក់កាលបន្ទាប់.
ស្វែងរកដេរីវេ មុខងារនិងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយសមីការដេរីវេទៅសូន្យ។ វិធីនេះអ្នកនឹងទទួលបានតម្លៃនៃចំណុចដែលហៅថាស្ថានី។ វាយតម្លៃថាតើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល A, B ។
នៅដំណាក់កាលទីបីពិចារណាចំណុចទាំងនេះហើយជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងមុខងារ។ អាស្រ័យលើប្រភេទចន្លោះពេល សូមអនុវត្តជំហានបន្ថែមខាងក្រោម។ ប្រសិនបើមានផ្នែកនៃទម្រង់ [A, B] ចំណុចព្រំដែនត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយតង្កៀប។ គណនាតម្លៃ មុខងារសម្រាប់ x = A និង x = B. ប្រសិនបើ ចន្លោះពេលបើក(A, B) តម្លៃព្រំដែនត្រូវបាន punctured, i.e. មិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវាទេ។ ដោះស្រាយដែនកំណត់ម្ខាងសម្រាប់ x → A និង x → B ។ ចន្លោះពេលរួមបញ្ចូលគ្នានៃទម្រង់ [A, B) ឬ (A, B) ដែលមួយក្នុងចំនោមព្រំដែនរបស់វាជាកម្មសិទ្ធិ មួយទៀតមិនស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាងដូច x ទំនោរទៅនឹងតម្លៃដែលបានវាយបញ្ចូល ហើយជំនួសមួយទៀតទៅក្នុង មុខងារ infinite រកមើលដែនកំណត់សម្រាប់ x →-∞ និង x →+∞ រៀងគ្នា។
ភារកិច្ចនៅដំណាក់កាលនេះ។
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ $z=f(x,y)$ ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិតមួយចំនួន $D$។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតំបន់នេះមានដេរីវេនៃផ្នែកកំណត់នៃលំដាប់ទីមួយ (លើកលែងតែ ប្រហែលជាសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃពិន្ទុ)។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៃអថេរពីរនៅក្នុងតំបន់បិទជិតដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ បីជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយត្រូវបានទាមទារ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ ក្នុងដែនបិទជិត $D$។
- ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែន $D$ ។ គណនាតម្លៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់។
- ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ នៅលើព្រំដែននៃតំបន់ $D$ ដោយស្វែងរកចំណុចនៃតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាដែលអាចធ្វើបាន។ គណនាតម្លៃអនុគមន៍នៅចំនុចដែលទទួលបាន។
- ពីតម្លៃមុខងារដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌពីរមុន សូមជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។
តើចំណុចសំខាន់អ្វីខ្លះ? បង្ហាញ\លាក់
នៅក្រោម ចំណុចសំខាន់បញ្ជាក់ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ (ឧ. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ និង $\frac(\partial z)(\partial y)=0$) ឬយ៉ាងហោចណាស់ដេរីវេផ្នែកមួយមិនមានទេ។
ជាញឹកញាប់ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចស្ថានី. ដូច្នេះចំនុចស្ថានីគឺជាសំណុំរង ចំណុចសំខាន់.
ឧទាហរណ៍លេខ 1
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ នៅក្នុងតំបន់បិទជិត ដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ $x=3$, $y=0$ និង $y=x +1$។
យើងនឹងធ្វើតាមចំណុចខាងលើ ប៉ុន្តែដំបូងយើងមើលគំនូរ តំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ $D$ ។ យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ សមីការនៃបីបន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់តំបន់នេះ។ បន្ទាត់ត្រង់ $x=3$ កាត់តាមចំណុច $(3;0)$ ស្របនឹងអ័ក្សតម្រៀប (អ័ក្ស Oy)។ បន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ គឺជាសមីការនៃអ័ក្ស abscissa (អ័ក្សអុក)។ ជាការប្រសើរណាស់ ដើម្បីបង្កើតបន្ទាត់ $y=x+1$ យើងនឹងរកឃើញចំណុចពីរដែលយើងនឹងគូរបន្ទាត់នេះ។ ជាការពិត អ្នកអាចជំនួស $x$ សម្រាប់គូស្នេហ៍ តម្លៃបំពាន. ឧទាហរណ៍ ការជំនួស $x=10$ យើងទទួលបាន៖ $y=x+1=10+1=11$។ យើងបានរកឃើញចំណុច $(10;11)$ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $y=x+1$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាជាការប្រសើរក្នុងការស្វែងរកចំណុចទាំងនោះ ដែលបន្ទាត់ត្រង់ $y=x+1$ កាត់បន្ទាត់ $x=3$ និង $y=0$។ ហេតុអ្វីបានជាវាប្រសើរជាងនេះ? ដោយសារតែយើងនឹងសម្លាប់សត្វស្លាបពីរបីក្បាលដោយថ្មមួយ៖ យើងនឹងទទួលបានពីរពិន្ទុដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ $y=x+1$ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានោះរកមើលថាតើចំនុចណាដែលបន្ទាត់នេះប្រសព្វនឹងបន្ទាត់ផ្សេងទៀតដែលកំណត់តំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាត់ $y=x+1$ កាត់បន្ទាត់ $x=3$ នៅចំណុច $(3;4)$ ហើយបន្ទាត់ $y=0$ ប្រសព្វនៅចំណុច $(-1;0)$ ។ ដើម្បីកុំឱ្យពង្រាយវឌ្ឍនភាពនៃដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់ជំនួយ ខ្ញុំនឹងដាក់សំណួរនៃការទទួលបានចំណុចទាំងពីរនេះនៅក្នុងកំណត់ចំណាំមួយ។
តើពិន្ទុ $(3;4)$ និង $(-1;0)$ ទទួលបានដោយរបៀបណា? បង្ហាញ\លាក់
ចូរចាប់ផ្តើមពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $x=3$។ កូអរដោនេនៃចំណុចដែលចង់បានជារបស់ទាំងបន្ទាត់ត្រង់ទីមួយ និងទីពីរ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធបែបនេះគឺតូចតាច៖ ការជំនួស $x=3$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងនឹងមាន៖ $y=3+1=4$។ ចំនុច $(3;4)$ គឺ ចំណុចដែលចង់បានចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $x=3$។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $y=0$។ ចូរយើងសរសេរ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការម្តងទៀត៖
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
ការជំនួស $y=0$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន៖ $0=x+1$, $x=-1$ ។ ចំនុច $(-1;0)$ គឺជាចំនុចប្រសព្វដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $y=0$ (x-axis)។
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីបង្កើតគំនូរដែលនឹងមើលទៅដូចនេះ:
សំណួរនៃចំណាំហាក់ដូចជាជាក់ស្តែងព្រោះអ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាព។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គួរចងចាំថា គំនូរមិនអាចធ្វើជាភស្តុតាងបានទេ។ គំនូរគឺសម្រាប់គោលបំណងគូរតែប៉ុណ្ណោះ។
តំបន់របស់យើងត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ដែលចងវា។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ទាំងនេះកំណត់ត្រីកោណមួយមែនទេ? ឬវាមិនច្បាស់ទាំងស្រុង? ឬប្រហែលជាយើងត្រូវបានផ្តល់តំបន់ផ្សេងគ្នា កំណត់ដោយបន្ទាត់ដូចគ្នា៖
ជាការពិតណាស់លក្ខខណ្ឌនិយាយថាតំបន់នេះត្រូវបានបិទដូច្នេះរូបភាពដែលបានបង្ហាញគឺមិនត្រឹមត្រូវ។ ប៉ុន្តែដើម្បីជៀសវាងភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការកំណត់តំបន់ដោយវិសមភាព។ តើយើងចាប់អារម្មណ៍លើផ្នែកនៃយន្តហោះដែលស្ថិតនៅក្រោមបន្ទាត់ត្រង់ $y=x+1$ ទេ? យល់ព្រម ដូច្នេះ $y ≤ x+1$ ។ តើតំបន់របស់យើងគួរតែស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ $y=0$? ល្អណាស់ មានន័យថា $y ≥ 0$ ។ ដោយវិធីនេះ វិសមភាពពីរចុងក្រោយអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាមួយ: $0 ≤ y ≤ x+1$ ។
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
វិសមភាពទាំងនេះកំណត់តំបន់ $D$ ហើយពួកគេកំណត់វាដោយមិនច្បាស់លាស់ ដោយមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានភាពមិនច្បាស់លាស់ណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែ តើនេះជួយយើងដោយរបៀបណាចំពោះសំណួរដែលមានចែងនៅដើមចំណាំ? វាក៏នឹងជួយផងដែរ :) យើងត្រូវពិនិត្យមើលថាតើចំនុច $M_1(1;1)$ ជារបស់តំបន់ $D$ ដែរឬទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួស $x=1$ និង $y=1$ ទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពដែលកំណត់តំបន់នេះ។ ប្រសិនបើវិសមភាពទាំងពីរត្រូវបានពេញចិត្ត នោះចំណុចស្ថិតនៅក្នុងតំបន់។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពមួយក្នុងចំណោមវិសមភាពមិនពេញចិត្ត នោះចំណុចមិនមែនជារបស់តំបន់ទេ។ ដូច្នេះ៖
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(តម្រឹម) \\right $$ ។
វិសមភាពទាំងពីរមានសុពលភាព។ ចំណុច $M_1(1;1)$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ $D$។
ឥឡូវនេះវាជាវេនដើម្បីសិក្សាឥរិយាបថនៃមុខងារនៅព្រំដែននៃតំបន់, i.e. តោះទៅ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ ។
បន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ (អ័ក្ស x) កំណត់តំបន់ $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ចូរជំនួស $y=0$ ចូលទៅក្នុង មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$។ យើងសម្គាល់មុខងារនៃអថេរមួយ $x$ ដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការជំនួសជា $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x ។ $$
ឥឡូវនេះសម្រាប់មុខងារ $f_1(x)$ យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចន្លោះ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ចូរស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \\; x=2. $$
តម្លៃ $x=2$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$ ដូច្នេះយើងក៏នឹងបន្ថែម $M_2(2;0)$ ទៅក្នុងបញ្ជីពិន្ទុផងដែរ។ លើសពីនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅខាងចុងនៃផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. នៅចំណុច $M_3(-1;0)$ និង $M_4(3;0)$ ។ ដោយវិធីនេះ ប្រសិនបើចំនុច $M_2$ មិនមែនជារបស់ផ្នែកដែលកំពុងពិចារណានោះ ពិតណាស់ វាមិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅក្នុងវានោះទេ។
ដូច្នេះ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុច $M_2$, $M_3$, $M_4$ ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះទៅក្នុងកន្សោមដើម $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ចំណុច $M_2$ យើងទទួលបាន៖
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការគណនាអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញបន្តិច។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះត្រូវចងចាំថានៅលើផ្នែក $M_3M_4$ យើងមាន $z(x,y)=f_1(x)$ ។ ខ្ញុំនឹងសរសេរវាយ៉ាងលម្អិត៖
\begin(aligned) &z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3។ \end(តម្រឹម)
ជាការពិតណាស់ ជាធម្មតាមិនចាំបាច់មានកំណត់ត្រាលម្អិតបែបនេះទេ ហើយនៅពេលអនាគត យើងនឹងសរសេរការគណនាទាំងអស់ដោយសង្ខេប៖
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
ឥឡូវយើងងាកទៅបន្ទាត់ត្រង់ $x=3$ ។ បន្ទាត់ត្រង់នេះកំណត់តំបន់ $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $0 ≤ y ≤ 4$ ។ ចូរជំនួស $x=3$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z$។ ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសនេះ យើងទទួលបានមុខងារ $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3។ $$
សម្រាប់មុខងារ $f_2(y)$ យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចន្លោះ $0 ≤ y ≤ 4$ ។ ចូរស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \\; y=3. $$
តម្លៃ $y=3$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក $0 ≤ y ≤ 4$ ដូច្នេះយើងក៏នឹងបន្ថែម $M_5(3;3)$ ទៅចំណុចដែលបានរកឃើញពីមុនផងដែរ។ លើសពីនេះទៀតអ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុចនៅចុងផ្នែក $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. នៅចំនុច $M_4(3;0)$ និង $M_6(3;4)$។ នៅចំណុច $M_4(3;0)$ យើងបានគណនាតម្លៃ $z$ រួចហើយ។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុច $M_5$ និង $M_6$ ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅលើផ្នែក $M_4M_6$ យើងមាន $z(x,y)=f_2(y)$ ដូច្នេះ៖
\begin(តម្រឹម) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5 ។ \end(តម្រឹម)
ហើយចុងក្រោយ ពិចារណាព្រំដែនចុងក្រោយនៃតំបន់ $D$, i.e. បន្ទាត់ត្រង់ $y=x+1$។ បន្ទាត់ត្រង់នេះកំណត់តំបន់ $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ការជំនួស $y=x+1$ ទៅក្នុងមុខងារ $z$ យើងនឹងមាន៖
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1។ $$
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងមានមុខងារនៃអថេរមួយ $x$ ។ ហើយម្តងទៀតយើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នេះនៅលើចន្លោះពេល $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ចូរស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f_(3)(x)$ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \\ x=1. $$
តម្លៃ $x=1$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ប្រសិនបើ $x=1$ នោះ $y=x+1=2$។ តោះបន្ថែម $M_7(1;2)$ ទៅក្នុងបញ្ជីពិន្ទុ ហើយរកមើលថាតើតម្លៃនៃមុខងារ $z$ ត្រង់ចំណុចនេះគឺជាអ្វី។ ពិន្ទុនៅចុងផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. ចំណុច $M_3(-1;0)$ និង $M_6(3;4)$ ត្រូវបានពិចារណាមុននេះ យើងបានរកឃើញតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងពួកវារួចហើយ។
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
ជំហានទីពីរនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានបញ្ចប់។ យើងទទួលបានតម្លៃប្រាំពីរ៖
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$
ចូរយើងងាកទៅ។ ការជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតពីលេខដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទីបី យើងនឹងមាន៖
$$z_(នាទី)=-4; \; z_(អតិបរមា)=6.$$
បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ នៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ។
ចម្លើយ៖ $z_(នាទី)=-4; \; z_(អតិបរមា)=6$។
ឧទាហរណ៍លេខ 2
ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ក្នុងតំបន់ $x^2+y^2 ≤ 25$។
ដំបូងយើងបង្កើតគំនូរ។ សមីការ $x^2+y^2=25$ (នេះគឺជាបន្ទាត់ព្រំដែននៃតំបន់ដែលបានផ្តល់ឲ្យ) កំណត់រង្វង់មួយដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម (ឧ. នៅចំណុច $(0;0)$) និងកាំនៃ 5. វិសមភាព $x^2 +y^2 ≤ $25 បំពេញគ្រប់ចំណុចទាំងខាងក្នុង និងនៅលើរង្វង់ដែលបានរៀបរាប់។
យើងនឹងចាត់ចែងតាម។ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក និងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ។
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16។ $$
មិនមានចំណុចណាដែលនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកដែលរកឃើញមិនមានទេ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីចំណុចណាខ្លះដែលនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកទាំងពីរត្រូវគ្នានឹងសូន្យ ឧ. ចូរយើងស្វែងរកចំណុចស្ថានី។
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8. \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ $$
យើងបានទទួលពិន្ទុថេរ $(6;-8)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណុចដែលបានរកឃើញមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ $D$ ទេ។ នេះគឺជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញដោយមិនសូម្បីតែងាកទៅគូរ។ តោះពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាព $x^2+y^2 ≤ 25$ កាន់កាប់ឬអត់ ដែលកំណត់តំបន់របស់យើង $D$។ ប្រសិនបើ $x=6$, $y=-8$, បន្ទាប់មក $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. វិសមភាព $x^2+y^2 ≤ 25$ មិនជាប់។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ចំណុច $(6;-8)$ មិនមែនជារបស់តំបន់ $D$ ទេ។
ដូច្នេះ មិនមានចំណុចសំខាន់នៅក្នុងតំបន់ $D$ ទេ។ តោះបន្តទៅ... យើងត្រូវសិក្សាពីឥរិយាបថនៃអនុគមន៍មួយនៅលើព្រំប្រទល់នៃតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយ, i.e. នៅលើរង្វង់ $x^2+y^2=25$ ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចបង្ហាញ $y$ ក្នុងន័យ $x$ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងមុខងាររបស់យើង $z$។ ពីសមីការនៃរង្វង់មួយ យើងទទួលបាន៖ $y=\sqrt(25-x^2)$ ឬ $y=-\sqrt(25-x^2)$ ។ ការជំនួសឧទាហរណ៍ $y=\sqrt(25-x^2)$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងមាន៖
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; −5≤ x ≤ 5. $$
ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនឹងដូចគ្នាទាំងស្រុងចំពោះការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារនៅព្រំដែននៃតំបន់ក្នុងឧទាហរណ៍មុនលេខ ១។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាហាក់ដូចជាខ្ញុំសមហេតុផលជាងក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Lagrange ក្នុងស្ថានភាពនេះ។ យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តែផ្នែកដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តនេះប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តផ្នែកដំបូងនៃវិធីសាស្ត្រ Lagrange យើងនឹងទទួលបានពិន្ទុដែលយើងនឹងពិនិត្យមើលមុខងារ $z$ សម្រាប់តម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមា។
យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange៖
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -២៥). $$
យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារ Lagrange ហើយបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវគ្នា៖
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \(\begin (តម្រឹម) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 ត្រឹមត្រូវ។ \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(aligned)\right.$ $
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ សូមបញ្ជាក់ភ្លាមៗថា $\lambda\neq -1$ ។ ហេតុអ្វី $\lambda\neq -1$? តោះព្យាយាមជំនួស $\lambda=-1$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; ០=៦។ $$
លទ្ធផលផ្ទុយ $0=6$ បង្ហាញថាតម្លៃ $\lambda=-1$ គឺមិនអាចទទួលយកបានទេ។ លទ្ធផល៖ $\lambda\neq -1$ ។ ចូរបង្ហាញពី $x$ និង $y$ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ $\lambda$៖
\begin(តម្រឹម) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda)។ \\ & y + \\ lambda y = -8; \\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda)។ \end(តម្រឹម)
ខ្ញុំជឿថាវាច្បាស់នៅទីនេះថាហេតុអ្វីបានជាយើងកំណត់លក្ខខណ្ឌ $\lambda\neq -1$ ។ នេះត្រូវបានធ្វើដើម្បីឱ្យសមនឹងកន្សោម $1+\lambda$ ទៅក្នុងភាគបែងដោយគ្មានការជ្រៀតជ្រែក។ នោះគឺ ដើម្បីប្រាកដថា ភាគបែង $1+\lambda\neq 0$។
ចូរយើងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ $x$ និង $y$ ទៅក្នុងសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ i.e. ក្នុង $x^2+y^2=25$៖
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda)\right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda)\right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4។ $$
ពីសមភាពលទ្ធផលវាដូចខាងក្រោម $1+\lambda=2$ ឬ $1+\lambda=-2$ ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានតម្លៃពីរនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda$ ពោលគឺ $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$ ។ ដូច្នោះហើយ យើងទទួលបានតម្លៃពីរគូ $x$ និង $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(តម្រឹម)
ដូច្នេះ យើងទទួលបានពីរចំណុចដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ, i.e. $M_1(3;-4)$ និង $M_2(-3;4)$ ។ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារ $z$ នៅចំនុច $M_1$ និង $M_2$៖
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125។ \end(តម្រឹម)
យើងគួរតែជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតពីតម្លៃដែលយើងទទួលបានក្នុងជំហានទីមួយ និងទីពីរ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះជម្រើសគឺតូច :) យើងមាន:
$$ z_(នាទី)=-75; \; z_(អតិបរមា)=125 ។ $$
ចម្លើយ៖ $z_(នាទី)=-75; \; z_(អតិបរមា)=125 ដុល្លារ។
នៅក្នុងអត្ថបទនេះខ្ញុំនឹងនិយាយអំពី ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។មុខងារ ពិន្ទុអប្បបរមា និងអតិបរមា។
តាមទ្រឹស្តី វាពិតជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើង តារាងដេរីវេនិង ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា. វាទាំងអស់នៅលើចាននេះ៖
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។
វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការពន្យល់ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់. ពិចារណា៖
ឧទាហរណ៍៖ស្វែងរក តម្លៃខ្ពស់បំផុតអនុគមន៍ y=x^5+20x^3–65x នៅចន្លោះ [–4;0]។
ជំហានទី 1 ។យើងយកដេរីវេ។
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
ជំហានទី 2ការស្វែងរកចំណុចខ្លាំង។
ចំណុចខ្លាំងយើងហៅចំណុចទាំងនោះដែលមុខងារឈានដល់តម្លៃធំបំផុត ឬអប្បបរមារបស់វា។
ដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំង អ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃអនុគមន៍ទៅសូន្យ (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយប៊ីនេះ សមីការការ៉េហើយឫសគល់ដែលបានរកឃើញគឺជាចំណុចខ្លាំងរបស់យើង។
ខ្ញុំដោះស្រាយសមីការបែបនេះដោយជំនួស t = x^2 បន្ទាប់មក 5t^2 + 60t - 65 = 0 ។
ចូរកាត់បន្ថយសមីការដោយ 5 យើងទទួលបាន: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាស x^2 = t:
X_(1 និង 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 និង 4) = ±sqrt(-13) (យើងដកចេញ មិនអាចមាន លេខអវិជ្ជមានលើកលែងតែយើងកំពុងនិយាយអំពីចំនួនកុំផ្លិច)
សរុប៖ x_(1) = 1 និង x_(2) = -1 - ទាំងនេះគឺជាចំណុចខ្លាំងរបស់យើង។
ជំហានទី 3កំណត់តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។
វិធីសាស្រ្តជំនួស។
នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ យើងត្រូវបានផ្តល់ផ្នែក [b][–4;0] ។ ចំនុច x=1 មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងផ្នែកនេះទេ។ ដូច្នេះយើងមិនពិចារណាទេ។ ប៉ុន្តែបន្ថែមពីលើចំនុច x=-1 យើងក៏ត្រូវពិចារណាពីព្រំដែនខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃផ្នែករបស់យើងផងដែរ នោះគឺចំនុច -4 និង 0។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសចំនុចទាំងបីនេះទៅក្នុងមុខងារដើម។ ចំណាំថាដើមគឺជាធាតុដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ (y=x^5+20x^3–65x) មនុស្សខ្លះចាប់ផ្ដើមជំនួសវាទៅជាដេរីវេ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
នេះមានន័យថាតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍គឺ [b]44 ហើយវាត្រូវបានសម្រេចនៅចំណុច [b]-1 ដែលត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក [-4; 0]។
យើងបានសម្រេចចិត្ត និងទទួលបានចម្លើយ យើងអស្ចារ្យណាស់ អ្នកអាចសម្រាកបាន។ តែឈប់! តើអ្នកមិនគិតថាការគណនា y (-4) ពិបាកពេកទេ? ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃពេលវេលាមានកំណត់ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើវិធីផ្សេងទៀត ខ្ញុំហៅវាថា៖
តាមរយៈចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ។
ចន្លោះពេលទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ ពោលគឺសម្រាប់សមីការ biquadratic របស់យើង។
ខ្ញុំកំពុងធ្វើវា តាមវិធីខាងក្រោម. ខ្ញុំគូរផ្នែកដែលដឹកនាំ។ ខ្ញុំដាក់ចំនុច៖ -4, -1, 0, 1. ទោះបីជាការពិតដែលថា 1 មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏ដោយ ក៏វានៅតែគួរកត់សម្គាល់ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលនៃសញ្ញា។ ចូរយកលេខមួយចំនួនធំជាង 1 ច្រើនដង និយាយថា 100 ហើយជំនួសវាដោយបញ្ញាស្មារតីរបស់យើង សមីការ biquadratic 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65។ ទោះបីជាមិនបានរាប់អ្វីក៏ដោយ វាច្បាស់ណាស់ថានៅចំណុច 100 មុខងារមានសញ្ញាបូក។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ចន្លោះពេលពី 1 ដល់ 100 វាមានសញ្ញាបូក។ នៅពេលឆ្លងកាត់លេខ 1 (យើងទៅពីស្តាំទៅឆ្វេង) មុខងារនឹងប្តូរសញ្ញាទៅដក។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច 0 មុខងារនឹងរក្សាសញ្ញារបស់វា ព្រោះនេះគ្រាន់តែជាព្រំដែននៃផ្នែកប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនោះទេ។ នៅពេលឆ្លងកាត់ -1 មុខងារនឹងប្តូរសញ្ញាទៅបូកម្តងទៀត។
តាមទ្រឹស្ដី យើងដឹងថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺនៅឯណា (ហើយយើងទាញវាយ៉ាងជាក់លាក់សម្រាប់វា) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (ចំណុច -1 ក្នុងករណីរបស់យើង)មុខងារឈានដល់ អតិបរមាក្នុងស្រុក (y(-1)=44 ដូចដែលបានគណនាពីមុន)នៅលើ ផ្នែកនេះ។(នេះគឺជាហេតុផលអាចយល់បានខ្លាំងណាស់ មុខងារបានឈប់កើនឡើងព្រោះវាបានឈានដល់កម្រិតអតិបរមា ហើយចាប់ផ្ដើមថយចុះ)។
ដូច្នោះហើយដែលជាកន្លែងដែលដេរីវេនៃមុខងារ ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក, ត្រូវបានសម្រេច អប្បបរមានៃមុខងារក្នុងតំបន់. បាទ/ចាស បាទ/ចាស យើងក៏បានរកឃើញចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់គឺ 1 ហើយ y(1) គឺ តម្លៃអប្បបរមាអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ ចូរនិយាយថាពី -1 ដល់ +∞ ។ សូមចំណាំថានេះគ្រាន់តែជាអប្បរមាក្នុងស្រុក ពោលគឺអប្បបរមានៅ ផ្នែកជាក់លាក់មួយ។. ចាប់តាំងពីអប្បបរមា (សកល) នៃមុខងារនឹងទៅដល់កន្លែងណាមួយនៅទីនោះ នៅ -∞។
តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ វិធីសាស្រ្តទីមួយគឺសាមញ្ញជាងតាមទ្រឹស្តី ហើយទីពីរគឺសាមញ្ញជាងតាមទស្សនៈ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធប៉ុន្តែមានភាពស្មុគស្មាញជាងពីទស្សនៈទ្រឹស្តី។ យ៉ាងណាមិញ ពេលខ្លះមានករណីជាច្រើននៅពេលដែលមុខងារមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ឫសនៃសមីការ ហើយជាទូទៅអ្នកអាចច្រឡំជាមួយនឹង maxima ក្នុងស្រុក សកល និង minima ទាំងនេះ ទោះបីជាអ្នកនឹងត្រូវធ្វើជាម្ចាស់វាយ៉ាងល្អក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នក ផែនការចុះឈ្មោះចូលរៀន សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស(ហេតុអ្វីបានជាអ្នកយកវាទៀត? ទម្រង់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមនិងដោះស្រាយបញ្ហានេះ)។ ប៉ុន្តែការអនុវត្តនិងការអនុវត្តតែមួយគត់នឹងបង្រៀនអ្នកឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ ហើយអ្នកអាចហ្វឹកហាត់នៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ នៅទីនេះ
ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរ ឬអ្វីមួយមិនច្បាស់លាស់ ត្រូវប្រាកដថាសួរ។ ខ្ញុំនឹងរីករាយក្នុងការឆ្លើយអ្នក ហើយធ្វើការកែប្រែ និងបន្ថែមលើអត្ថបទ។ សូមចងចាំថាយើងកំពុងបង្កើតគេហទំព័រនេះជាមួយគ្នា!
សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា 2:
ផ្តល់អនុគមន៍ដែលត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេលនេះ។
មូលដ្ឋានទ្រឹស្តី។
ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ទីពីរ៖
ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តក្នុងចន្លោះពេលបិទជិត នោះវាឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ។
មុខងារអាចឈានដល់តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតរបស់វាដោយ ចំណុចខាងក្នុងគម្លាតឬនៅព្រំដែនរបស់វា។ ចូរយើងបង្ហាញពីជម្រើសដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ 
ការពន្យល់៖
1) មុខងារឈានដល់តម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅលើព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេលនៅចំណុច ហើយតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅលើព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេលនៅចំណុច។
2) មុខងារឈានដល់តម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅចំណុច (នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា) និងតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេលនៅចំណុច។
3) មុខងារឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វានៅព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេលនៅចំណុច ហើយតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំណុច (នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា)។
4) មុខងារគឺថេរនៅលើចន្លោះពេល, i.e. វាឈានដល់តម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមារបស់វានៅចំណុចណាមួយក្នុងចន្លោះពេល ហើយតម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមាគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។
5) អនុគមន៍ឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់វានៅចំណុច និងតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំណុច (ទោះបីជាការពិតដែលថាមុខងារមានទាំងអតិបរមា និងអប្បបរមានៅចន្លោះពេលនេះក៏ដោយ)។
6) មុខងារឈានដល់តម្លៃធំបំផុតរបស់វានៅចំណុចមួយ (នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា) និងតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំណុចមួយ (នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា)។
មតិយោបល់៖
"តម្លៃអតិបរមា" និង "តម្លៃអតិបរមា" គឺខុសគ្នា។ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃអតិបរមា និងការយល់ដឹងវិចារណញាណនៃឃ្លា "តម្លៃអតិបរមា" ។
ក្បួនដោះស្រាយបញ្ហា ២.
4) ជ្រើសរើសធំបំផុត (តូចបំផុត) ពីតម្លៃដែលទទួលបាន ហើយសរសេរចម្លើយ។
ឧទាហរណ៍ទី ៤៖
កំណត់តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ 
នៅលើផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ៖
1) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។ 
2) ស្វែងរកចំណុចស្ថានី (និងចំណុចដែលសង្ស័យថាខ្លាំងបំផុត) ដោយដោះស្រាយសមីការ។ យកចិត្តទុកដាក់លើចំណុចដែលមិនមានដេរីវេកំណត់ពីរភាគី។ 
3) គណនាតម្លៃមុខងារនៅក្នុង ចំណុចស្ថានីនិងនៅព្រំដែននៃចន្លោះពេល។
4) ជ្រើសរើសធំបំផុត (តូចបំផុត) ពីតម្លៃដែលទទួលបាន ហើយសរសេរចម្លើយ។
មុខងារនៅលើផ្នែកនេះឈានដល់តម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅចំណុចជាមួយនឹងកូអរដោនេ។
មុខងារនៅលើផ្នែកនេះឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេ។
អ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដោយមើលក្រាហ្វនៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សា។ 
មតិយោបល់៖មុខងារឈានដល់តម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅព្រំដែននៃផ្នែក។
ករណីពិសេសមួយ។
ឧបមាថាអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារមួយចំនួននៅលើផ្នែកមួយ។ បន្ទាប់ពីបញ្ចប់ចំណុចដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយ i.e. ការគណនាដេរីវេវាច្បាស់ណាស់ថាឧទាហរណ៍វាគ្រាន់តែចំណាយពេល តម្លៃអវិជ្ជមានលើផ្នែកដែលបានពិចារណាទាំងមូល។ ចងចាំថាប្រសិនបើដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន នោះមុខងារនឹងថយចុះ។ យើងបានរកឃើញថាមុខងារថយចុះលើផ្នែកទាំងមូល។ ស្ថានភាពនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងក្រាហ្វលេខ 1 នៅដើមអត្ថបទ។
មុខងារថយចុះនៅលើផ្នែក, i.e. វាមិនមានចំណុចខ្លាំងទេ។ តាមរូបភាព អ្នកអាចមើលឃើញថាមុខងារនឹងយកតម្លៃតូចបំផុតនៅព្រំដែនខាងស្តាំនៃផ្នែក ហើយតម្លៃធំបំផុតនៅខាងឆ្វេង។ ប្រសិនបើដេរីវេនៅលើផ្នែកគឺវិជ្ជមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង នោះមុខងារនឹងកើនឡើង។ តម្លៃតូចបំផុតស្ថិតនៅលើស៊ុមខាងឆ្វេងនៃផ្នែក ដែលធំបំផុតគឺនៅខាងស្តាំ។