លោការីត ០ ដល់ គោល ៤. កន្សោមលោការីត

យើងបន្តសិក្សាលោការីត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពី ការគណនាលោការីតដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា លោការីត. ដំបូងយើងនឹងយល់ពីការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ។ បន្ទាប់ សូមមើលពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនេះយើងនឹងផ្តោតលើការគណនាលោការីតតាមរយៈដំបូង កំណត់តម្លៃលោការីតផ្សេងទៀត។ ជាចុងក្រោយ ចូរយើងរៀនពីរបៀបប្រើតារាងលោការីត។ ទ្រឹស្តីទាំងមូលត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ការរុករកទំព័រ។

ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត វាអាចធ្វើបានយ៉ាងលឿន និងងាយស្រួល ការស្វែងរកលោការីតតាមនិយមន័យ. ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបដែលដំណើរការនេះកើតឡើង។

ខ្លឹមសាររបស់វាគឺតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ដែលតាមនិយមន័យលោការីត លេខ c គឺជាតម្លៃនៃលោការីត។ នោះគឺតាមនិយមន័យ ខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពខាងក្រោមត្រូវគ្នានឹងការស្វែងរកលោការីត៖ log a b=log a a c =c ។

ដូច្នេះ ការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ គឺបានមករកលេខ c ដូចថា a c = b ហើយលេខ c ខ្លួនវាគឺជាតម្លៃដែលចង់បានរបស់លោការីត។

ដោយគិតគូរពីព័ត៌មានក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលលេខក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានផ្តល់ដោយថាមពលជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋានលោការីត នោះអ្នកអាចចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវអ្វីដែលលោការីតស្មើនឹង - វា ស្មើនឹងសូចនាករដឺក្រេ។ ចូរបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកកំណត់ហេតុ 2 2 −3 ហើយគណនាលោការីតធម្មជាតិនៃលេខ អ៊ី 5,3 ផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ។

និយមន័យនៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយភ្លាមៗថា log 2 2 −3 = −3 ។ ពិតប្រាកដណាស់ លេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាន 2 ទៅ −3 អំណាច។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញលោការីតទីពីរ៖ lne 5.3 = 5.3 ។

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 2 2 −3 = −3 និង lne 5,3 = 5,3 ។

ប្រសិនបើលេខ b នៅក្រោមសញ្ញាលោការីត មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ជាថាមពលនៃមូលដ្ឋាននៃលោការីតទេ នោះអ្នកត្រូវមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្នដើម្បីមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរឬទេក្នុងការតំណាងឱ្យលេខ b ក្នុងទម្រង់ a c ។ ជារឿយៗការតំណាងនេះគឺជាក់ស្តែង ជាពិសេសនៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានទៅនឹងអំណាចនៃ 1, ឬ 2, ឬ 3, ...

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត កំណត់ហេតុ 5 25 និង .

ដំណោះស្រាយ។

វាងាយស្រួលមើលថា 25=5 2 នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាលោការីតទីមួយ៖ log 5 25=log 5 5 2=2។

ចូរបន្តទៅការគណនាលោការីតទីពីរ។ លេខអាចត្រូវបានតំណាងជាអំណាចនៃ 7: (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ .

ចូរយើងសរសេរលោការីតទីបីឡើងវិញនៅក្នុង ទម្រង់ខាងក្រោម. ឥឡូវនេះអ្នកអាចឃើញវា។ ដែលយើងសន្និដ្ឋាន . ដូច្នេះតាមនិយមន័យលោការីត .

ដោយសង្ខេប ដំណោះស្រាយអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖ .

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 5 25=2 , និង .

នៅពេលដែលនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតមានធំគ្រប់គ្រាន់ លេខធម្មជាតិបន្ទាប់មកវានឹងមិនឈឺចាប់ក្នុងការបំបែកវាចូលទៅក្នុង កត្តាចម្បង. ជារឿយៗវាជួយតំណាងឱ្យចំនួនដូចជាអំណាចមួយចំនួននៃមូលដ្ឋាននៃលោការីត ហើយដូច្នេះគណនាលោការីតនេះតាមនិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ភ្លាមៗនូវតម្លៃនៃលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះរួមមានទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃឯកតា និងទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនៃលេខមួយ ស្មើនឹងមូលដ្ឋាន៖ log 1 1=log a 0 =0 និង log a=log a 1 =1 ។ នោះគឺនៅពេលដែលនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតមានលេខ 1 ឬលេខមួយស្មើនឹងមូលដ្ឋានរបស់លោការីត នោះក្នុងករណីទាំងនេះលោការីតគឺស្មើនឹង 0 និង 1 រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

តើលោការីត និង log10 ស្មើនឹងអ្វី?

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ពីនិយមន័យនៃលោការីត វាធ្វើតាម .

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ លេខ 10 នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតស្របគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា ដូច្នេះលោការីតទសភាគដប់ ស្មើនឹងមួយ។នោះគឺ log10=lg10 1 =1។

ចម្លើយ៖

និង lg10=1 ។

ចំណាំថាការគណនាលោការីតតាមនិយមន័យ (ដែលយើងបានពិភាក្សាក្នុង កថាខណ្ឌមុន។) បង្កប់ន័យការប្រើប្រាស់សមភាព log a p =p ដែលជាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលថាជាថាមពលនៃចំនួនជាក់លាក់មួយ វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្ត ដែលត្រូវនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃលោការីត។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកលោការីតដែលបង្ហាញពីការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីត។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដែលមិនបានរៀបរាប់ខាងលើក៏ត្រូវបានគេប្រើក្នុងការគណនាដែរ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោម។

ការស្វែងរកលោការីតតាមរយៈលោការីតដែលគេស្គាល់ផ្សេងទៀត។

ព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះបន្តប្រធានបទនៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតនៅពេលគណនាពួកគេ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាចំបងគឺថា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញលោការីតដើមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតមួយផ្សេងទៀត តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ការបំភ្លឺ។ ចូរនិយាយថាយើងដឹងថា log 2 3≈1.584963 បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញឧទាហរណ៍ log 2 6 ដោយធ្វើការបំប្លែងបន្តិចបន្តួចដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត៖ log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផលមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ច្រើនដងទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការប្រើឃ្លាំងអាវុធធំទូលាយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត ដើម្បីគណនាលោការីតដើមតាមរយៈវត្ថុដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាលោការីតពី 27 ទៅគោល 60 ប្រសិនបើអ្នកដឹងថា log 60 2=a និង log 60 5=b ។

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរកកំណត់ហេតុ ៦០ ២៧ ។ វាងាយមើលឃើញថា 27 = 3 3 ហើយលោការីតដើម ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតនៃអំណាច អាចសរសេរឡើងវិញជា 3·log 60 3 ។

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបបង្ហាញកំណត់ហេតុ 60 3 នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលោការីតដែលគេស្គាល់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកំណត់ហេតុសមភាព 60 60=1 ។ ម៉្យាងទៀត log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·កំណត់ហេតុ 60 2+កំណត់ហេតុ 60 3+កំណត់ហេតុ 60 5 . ដូច្នេះ 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. អាស្រ័យហេតុនេះ កំណត់ហេតុ 60 3=1−2·កំណត់ហេតុ 60 2−កំណត់ហេតុ 60 5=1−2·a−b.

ជាចុងក្រោយ យើងគណនាលោការីតដើម៖ log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ចម្លើយ៖

កំណត់ហេតុ 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ដោយឡែកវាមានតម្លៃនិយាយអំពីអត្ថន័យនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតនៃទម្រង់ . វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានណាមួយទៅលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានជាក់លាក់តម្លៃដែលត្រូវបានគេស្គាល់ឬវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកពួកគេ។ ជាធម្មតា ពីលោការីតដើម ដោយប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ ពួកវាផ្លាស់ទីទៅលោការីតក្នុងគោល 2, អ៊ី ឬ 10 ចាប់តាំងពីសម្រាប់មូលដ្ឋានទាំងនេះមានតារាងលោការីតដែលអនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃរបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាជាមួយនឹងកម្រិតជាក់លាក់នៃ ភាពត្រឹមត្រូវ។ IN ចំណុចបន្ទាប់យើងនឹងបង្ហាញអ្នកពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ។

តារាងលោការីត និងការប្រើប្រាស់របស់វា។

សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃតម្លៃលោការីតអាចត្រូវបានប្រើ តារាងលោការីត. តារាងលោការីតគោល ២ ដែលប្រើជាទូទៅបំផុតគឺតារាង លោការីតធម្មជាតិនិងតារាងលោការីតទសភាគ។ នៅពេលធ្វើការនៅក្នុង ប្រព័ន្ធទសភាគសម្រាប់ការគណនាវាងាយស្រួលប្រើតារាងលោការីតដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដប់។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងរៀនស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីត។

តារាងដែលបានបង្ហាញអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខពី 1,000 ដល់ 9,999 (មានខ្ទង់ទសភាគបី) ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃមួយដប់ពាន់។ យើងនឹងវិភាគគោលការណ៍នៃការស្វែងរកតម្លៃលោការីតដោយប្រើតារាងលោការីតទសភាគចូលទៅក្នុង ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់- វាច្បាស់ជាងនេះ។ ចូរយើងស្វែងរកកំណត់ហេតុ 1.256 ។

នៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញពីរខ្ទង់ដំបូងនៃលេខ 1.256 នោះគឺយើងរកឃើញ 1.2 (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ខៀវសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់)។ យើងរកឃើញខ្ទង់ទីបីនៃ 1.256 (ខ្ទង់ទី 5) នៅក្នុងទីមួយ ឬ បន្ទាត់ចុងក្រោយនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ពណ៌ក្រហម) ។ ខ្ទង់ទីបួននៃលេខដើម 1.256 (ខ្ទង់ទី 6) ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងបន្ទាត់ទីមួយ ឬចុងក្រោយនៅខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ទ្វេ (លេខនេះត្រូវបានគូសរង្វង់ដោយបន្ទាត់ពណ៌បៃតង)។ ឥឡូវនេះ យើងរកឃើញលេខក្នុងក្រឡាតារាងលោការីតនៅចំណុចប្រសព្វនៃជួរដេកដែលបានសម្គាល់ និងជួរឈរដែលបានសម្គាល់ (លេខទាំងនេះត្រូវបានបន្លិច ទឹកក្រូច) ផលបូកនៃលេខដែលបានសម្គាល់ផ្តល់តម្លៃដែលចង់បាន លោការីតទសភាគត្រឹមត្រូវទៅនឹងខ្ទង់ទសភាគទីបួន នោះគឺ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

តើវាអាចទៅរួចទេ ដោយប្រើតារាងខាងលើ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខដែលមានច្រើនជាងបីខ្ទង់បន្ទាប់ពីខ្ទង់ទសភាគ ក៏ដូចជាតម្លៃដែលលើសពីចន្លោះពី 1 ដល់ 9.999? បាទអ្នកអាចធ្វើបាន។ ចូរបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

តោះគណនា lg102.76332។ ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរ លេខនៅក្នុង ទម្រង់ស្តង់ដារ : 102.76332=1.0276332·10 ២. បន្ទាប់ពីនេះ mantissa គួរតែត្រូវបានបង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគទីបីយើងមាន 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2ខណៈពេលដែលលោការីតទសភាគដើមគឺប្រហែល ស្មើនឹងលោការីតលេខលទ្ធផល នោះគឺយើងយក log102.76332≈lg1.028·10 ២. ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត៖ lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ជាចុងក្រោយ យើងរកឃើញតម្លៃនៃលោការីត lg1.028 ពីតារាងលោការីតទសភាគ lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012។ ជាលទ្ធផល ដំណើរការទាំងមូលនៃការគណនាលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

សរុបសេចក្តីមក វាគួរអោយកត់សម្គាល់ថាការប្រើតារាងនៃលោការីតទសភាគ អ្នកអាចគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃលោការីតណាមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរដើម្បីទៅលោការីតទសភាគស្វែងរកតម្លៃរបស់ពួកគេនៅក្នុងតារាងនិងអនុវត្តការគណនាដែលនៅសល់។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាកំណត់ហេតុ 2 3 ។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត យើងមាន។ ពីតារាងលោការីតទសភាគ យើងរកឃើញ log3≈0.4771 និង log2≈0.3010។ ដូច្នេះ .

គន្ថនិទ្ទេស។

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។
Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

មូលដ្ឋានដូចគ្នា។

Log6 4 + log6 ៩.

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិច។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត

ចុះបើមូលដ្ឋាន ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាថាមពល? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ៖ a > 0, a ≠ 1, x >

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កំណត់ហេតុលោការីតពូថៅ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

សូមមើលផងដែរ:

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តស្មើនឹង 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Nikolaevich Tolstoy ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

ដោយដឹងច្បាប់នេះអ្នកនឹងដឹងហើយ តម្លៃពិតប្រាកដអ្នកតាំងពិព័រណ៍ និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

ឧទាហរណ៍ ១.
ក). x=10ac^2 (a>0,c>0)។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងគណនា

4. កន្លែងណា .

ឧទាហរណ៍ 2. រក x if

ឧទាហរណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនពិតប្រាកដ លេខធម្មតា។មានច្បាប់នៅទីនេះដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

អ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះ - បើគ្មានពួកគេទេ បញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរតែមួយមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។ បញ្ហាលោការីត. លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្នកអាចរៀនអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ លោការីត និងលោការីត។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃកូតា។ ចំណាំ៖ ពេលសំខាន់នៅទីនេះ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. បើហេតុផលខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយអ្នកគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគណនាដោយឡែកពីគ្នា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរពួកគេបានចេញយ៉ាងខ្លាំង លេខធម្មតា។. មនុស្សជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការពិតនេះ។ ឯកសារសាកល្បង. ចុះការគ្រប់គ្រងវិញ? កន្សោមស្រដៀងគ្នានៅក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាលស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សម្គាល់វា។ ច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយបន្ថែមទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ផ្ទុយមកវិញផងដែរ។ , i.e. អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនពេលចុះហត្ថលេខាលោការីតចូលទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

ចូរយើងកម្ចាត់សញ្ញាបត្រនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយប្រើរូបមន្តទីមួយ៖
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ចំណាំថាភាគបែងមានលោការីត មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ដែលជាអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 24; 49 = 72. យើងមាន៖

ខ្ញុំគិតថា ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយតម្រូវឱ្យមានការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយ យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។

រូបមន្តលោការីត។ ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍លោការីត។

យើងបានបង្ហាញមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាអំណាច ហើយយកនិទស្សន្តចេញ - យើងទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log2 7. ចាប់តាំងពី log2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគបាន - 2/4 នឹងនៅតែស្ថិតក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលជាអ្វីដែលបានធ្វើ។ លទ្ធផលបានជាចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើហេតុផលខុសគ្នា? ចុះបើពួកគេមិនមែនជាលេខដូចគ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយមកជួយសង្គ្រោះ។ ចូរយើងបង្កើតវាតាមទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

សូមឱ្យលោការីតលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងកំណត់ c = x យើងទទួលបាន៖

ពីរូបមន្តទីពីរ វាធ្វើតាមដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតអាចប្តូរបាន ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតលេចឡើងនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្ររកបានក្នុងសាមញ្ញណាស់ កន្សោមលេខ. វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកគេមានភាពងាយស្រួលដោយការសម្រេចចិត្ត សមីការលោការីតនិងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយ។ តោះមើលពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរមានអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលរៀបចំកត្តាឡើងវិញ យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយជាមួយលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទីមួយគឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករនេះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ក្នុងការតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តខាងក្រោមនឹងជួយយើង៖

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃលោការីត។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលហៅថា៖ ។

តាមពិតទៅ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកទៅជាថាមពលបែបនេះ ដែលលេខ b ទៅអំណាចនេះផ្តល់លេខ a? នោះជាការត្រឹមត្រូវ៖ លទ្ធផលគឺដូចគ្នាទៅនឹងលេខ a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើនជាប់គាំង។

ដូចជារូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី មេ អត្តសញ្ញាណលោការីតពេលខ្លះវាគឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ពិចារណាក្បួនសម្រាប់គុណអំណាចជាមួយ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។, យើងទទួលបាន:

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលស្ទើរតែមិនអាចហៅថាលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ពួកវាជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេតែងតែលេចឡើងក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយនៃមូលដ្ឋាននោះ គឺស្មើនឹងមួយ។
loga 1 = 0 គឺ។ មូលដ្ឋាន a អាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានមួយ - លោការីត ស្មើនឹងសូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវអនុវត្តឲ្យបានជាក់ជាមិនខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

សូមមើលផងដែរ:

លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a តំណាងឱ្យកន្សោម។ ដើម្បីគណនាលោការីតមានន័យថា ស្វែងរកអំណាច x () ដែលសមភាពពេញចិត្ត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

វាចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើព្រោះបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់និងឧទាហរណ៍ដែលទាក់ទងនឹងលោការីតត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានរបស់វា។ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រនិងអសកម្មដែលនៅសល់អាចទទួលបានតាមរយៈឧបាយកលគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងរូបមន្តទាំងនេះ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

នៅពេលគណនារូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃលោការីត (៣.៤) អ្នកមកញឹកញាប់ណាស់។ អ្វីដែលនៅសល់គឺស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែនៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួន ពួកគេមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការសម្រួលកន្សោមស្មុគស្មាញ និងគណនាតម្លៃរបស់វា។

ករណីទូទៅនៃលោការីត

លោការីតទូទៅមួយចំនួន គឺជាលោការីត ដែលគោលគឺដប់ និទស្សន្ត ឬពីរ។
លោការីតដល់គោលដប់ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលោការីតទសភាគ ហើយត្រូវបានតាងយ៉ាងសាមញ្ញដោយ lg(x)។

វាច្បាស់ណាស់ពីការថតដែលមូលដ្ឋានមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងការថត។ ឧទាហរណ៍

លោការីតធម្មជាតិគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋានជានិទស្សន្ត (តំណាងដោយ ln(x))។

និទស្សន្តគឺ 2.718281828…. ដើម្បីចងចាំនិទស្សន្ត អ្នកអាចសិក្សាក្បួន៖ និទស្សន្តស្មើនឹង 2.7 និងពីរដងនៃឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Nikolaevich Tolstoy ។ ដោយដឹងពីច្បាប់នេះ អ្នកនឹងដឹងទាំងតម្លៃពិតប្រាកដនៃនិទស្សន្ត និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់ Leo Tolstoy ។

ហើយលោការីតសំខាន់មួយទៀតទៅគោលពីរត្រូវបានតាងដោយ

ដេរីវេនៃលោការីតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងមួយបែងចែកដោយអថេរ

អាំងតេក្រាល ឬ លោការីតប្រឆាំងដេរីវេកំណត់ដោយភាពអាស្រ័យ

សម្ភារៈដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនទាក់ទងនឹងលោការីត និងលោការីត។ ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីសម្ភារៈ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួនពី កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលានិងសាកលវិទ្យាល័យ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លោការីត

កន្សោមលោការីត

ឧទាហរណ៍ ១.
ក). x=10ac^2 (a>0,c>0)។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងគណនា

2.
ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពខុសគ្នានៃលោការីតយើងមាន

3.
ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 3.5 យើងរកឃើញ

4. កន្លែងណា .

តាមរូបរាង កន្សោមស្មុគស្មាញការប្រើច្បាប់មួយចំនួនត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញក្នុងទម្រង់

ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត

ឧទាហរណ៍ 2. រក x if

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ការគណនា យើងអនុវត្តទៅលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ 5 និង 13

យើងបានដាក់វាក្នុងកំណត់ត្រា និងកាន់ទុក្ខ

ដោយសារមូលដ្ឋានស្មើគ្នា នោះយើងយកកន្សោម

លោការីត។ កម្រិតដំបូង។

អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

គណនា log(x) ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយកលោការីតនៃអថេរមកសរសេរលោការីតតាមរយៈផលបូកនៃពាក្យរបស់វា

នេះគ្រាន់តែជាការចាប់ផ្តើមនៃការស្គាល់គ្នារបស់យើងជាមួយនឹងលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ អនុវត្តការគណនា បង្កើនជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក - អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងដែលអ្នកទទួលបានក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលោការីត។ ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ យើងនឹងពង្រីកចំណេះដឹងរបស់អ្នកឱ្យកាន់តែទូលំទូលាយថែមទៀត ប្រធានបទសំខាន់- វិសមភាពលោការីត...

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

អ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះ - បើគ្មានពួកគេទេ បញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរតែមួយមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្នកអាចរៀនអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y) ។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃកូតា។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. បើហេតុផលខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log6 4 + log6 ៩.

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log2 48 − log2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log3 135 − log3 ៥.

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគណនាដោយឡែកពីគ្នា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការបំលែង លេខធម្មតាទាំងស្រុងត្រូវបានទទួល។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ កន្សោមដូចការធ្វើតេស្តត្រូវបានផ្តល់ជូនក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាលស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) នៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិច។ ចុះបើមូលដ្ឋាន ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាថាមពល? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

វិធីដោះស្រាយលោការីត

នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log7 496 ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយទាមទារឱ្យមានការបញ្ជាក់ខ្លះៗ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយ យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។ យើងបានបង្ហាញមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាអំណាច ហើយយកនិទស្សន្តចេញ - យើងទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងកំណត់ c = x យើងទទួលបាន៖

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log5 16 log2 25.

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log9 100 lg ៣.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលហៅថា៖ ។

ដូចជារូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖

ចំណាំថា log25 64 = log5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយគិតពីច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាកិច្ចការពិតពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

logaa = 1 គឺ។ ចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយនៃមូលដ្ឋាននោះ គឺស្មើនឹងមួយ។
loga 1 = 0 គឺ។ គោល a អាចជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានមួយ នោះលោការីតនឹងស្មើនឹងសូន្យ! ដោយសារតែ a0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

កន្សោមលោការីត, ដោះស្រាយឧទាហរណ៍។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាទាក់ទងនឹងការដោះស្រាយលោការីត។ កិច្ចការសួរសំណួរស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ។ គួរកត់សម្គាល់ថាគោលគំនិតលោការីតត្រូវបានប្រើក្នុងកិច្ចការជាច្រើន ហើយការយល់ដឹងអំពីអត្ថន័យរបស់វាគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ ចំពោះការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម លោការីតត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការក្នុង បញ្ហាដែលបានអនុវត្តផងដែរនៅក្នុងភារកិច្ចដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សាមុខងារ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃលោការីត៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត ដែលត្រូវតែចងចាំជានិច្ច៖

* លោការីតនៃផលិតផល ស្មើនឹងផលបូកលោការីតនៃកត្តា។

* * *

* លោការីតនៃប្រភាគ (ប្រភាគ) គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃកត្តា។

* * *

* លោការីតនៃសញ្ញាបត្រ ស្មើនឹងផលិតផលនិទស្សន្តដោយលោការីតនៃមូលដ្ឋានរបស់វា។

* * *

* ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

* * *

លក្ខណៈសម្បត្តិច្រើនទៀត៖

* * *

ការគណនាលោការីតគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិទស្សន្ត។

ចូរយើងរាយបញ្ជីពួកគេមួយចំនួន៖

ខ្លឹមសារ នៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថានៅពេលផ្ទេរភាគយកទៅភាគបែងនិងច្រាសមកវិញសញ្ញានៃនិទស្សន្តផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ។ ឧទាហរណ៍:

ខិត្តប័ណ្ណពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ៖

* * *

នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៅតែដដែល ប៉ុន្តែនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

* * *

ដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ គំនិតនៃលោការីតខ្លួនឯងគឺសាមញ្ញ។ រឿងចំបងគឺអ្វីដែលត្រូវការ ការអនុវត្តល្អ។ដែលផ្តល់នូវជំនាញជាក់លាក់មួយ។ ជាការពិតណាស់ចំណេះដឹងអំពីរូបមន្តត្រូវបានទាមទារ។ ប្រសិនបើជំនាញក្នុងការបំប្លែងលោការីតបឋមមិនទាន់ត្រូវបានបង្កើតឡើងទេ នោះនៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញ អ្នកអាចធ្វើខុសបានយ៉ាងងាយ។

អនុវត្ត ដោះស្រាយឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតពីវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាជាមុនសិន បន្ទាប់មកបន្តទៅស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ នៅពេលអនាគត ខ្ញុំនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលលោការីត "គួរឱ្យខ្លាច" ត្រូវបានដោះស្រាយ ពួកគេនឹងមិនបង្ហាញខ្លួននៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមទេ ប៉ុន្តែពួកគេចាប់អារម្មណ៍ សូមកុំខកខាន!

អស់ហើយ! ជូនពរអ្នកសំណាងល្អ!

សូមគោរព Alexander Krutitskikh

P.S: ខ្ញុំនឹងដឹងគុណប្រសិនបើអ្នកប្រាប់ខ្ញុំអំពីគេហទំព័រនៅលើបណ្តាញសង្គម។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពី រូបមន្តលោការីតហើយយើងនឹងផ្តល់សូចនាករ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.

ពួកគេផ្ទាល់បង្កប់ន័យលំនាំដំណោះស្រាយយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។ មុននឹងអនុវត្តរូបមន្តលោការីតដើម្បីដោះស្រាយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកអ្នកអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់៖

ឥឡូវនេះដោយផ្អែកលើរូបមន្តទាំងនេះ (លក្ខណៈសម្បត្តិ) យើងនឹងបង្ហាញ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីតដោយផ្អែកលើរូបមន្ត។

លោការីត លេខវិជ្ជមាន b ទៅមូលដ្ឋាន a (តាងដោយ log a b) គឺជានិទស្សន្តដែលត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបាន b ជាមួយនឹង b> 0, a > 0 និង 1 ។

តាមនិយមន័យ log a b = x ដែលស្មើនឹង a x = b ដូច្នេះ log a x = x ។

លោការីត, ឧទាហរណ៍:

កំណត់ហេតុ 2 8 = 3 ពីព្រោះ ២ ៣ = ៨

កំណត់ហេតុ 7 49 = 2, ដោយសារតែ ៧ ២ = ៤៩

កំណត់ហេតុ 5 1/5 = -1 ពីព្រោះ 5 -1 = 1/5

លោការីតទសភាគ- នេះគឺជាលោការីតធម្មតា មូលដ្ឋាននៃលេខ 10 វាត្រូវបានតំណាងថាជា lg ។

កំណត់ហេតុ 10 100 = 2 ពីព្រោះ 10 2 = 100

លោការីតធម្មជាតិ- ក៏ជាលោការីតលោការីតធម្មតាដែរ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន e (e = 2.71828... - លេខមិនសមហេតុផល) តំណាងឱ្យ ln ។

គួរតែទន្ទេញរូបមន្ត ឬលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត ពីព្រោះយើងនឹងត្រូវការវានៅពេលក្រោយ នៅពេលដោះស្រាយលោការីត សមីការលោការីត និងវិសមភាព។ ចូរយើងធ្វើការតាមរយៈរូបមន្តនីមួយៗម្តងទៀតជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
កំណត់ហេតុ a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
លោការីតនៃកូតាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចនៃលេខលោការីត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីត
និទស្សន្តនៃលេខលោការីត log a b m = mlog a b

និទស្សន្តនៃមូលដ្ឋានលោការីត កត់ត្រា a n b = 1/n*log a b

កំណត់ហេតុ a n b m = m / n * log a b,

ប្រសិនបើ m = n យើងទទួលបាន log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។
log a b = log c b/log c a,
ប្រសិនបើ c = b យើងទទួលបាន log b b = 1

បន្ទាប់មក log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញរូបមន្តសម្រាប់លោការីតមិនស្មុគស្មាញដូចដែលវាហាក់ដូចជា។ ឥឡូវនេះ ដោយបានមើលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយលោការីត យើងអាចបន្តទៅសមីការលោការីត។ យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការលោការីតដោយលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងអត្ថបទ៖ "" ។ កុំនឹក!

ប្រសិនបើអ្នកនៅតែមានសំណួរអំពីដំណោះស្រាយ សូមសរសេរពួកគេនៅក្នុងមតិយោបល់ទៅកាន់អត្ថបទ។

ចំណាំ៖ យើងបានសម្រេចចិត្តយកថ្នាក់ផ្សេងគ្នានៃការអប់រំ និងការសិក្សានៅបរទេសជាជម្រើសមួយ។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ ក xនិងកំណត់ហេតុ ក y. បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

កំណត់ហេតុ ក x+ កំណត់ហេតុ ក y=កំណត់ហេតុ ក (x · y);
កំណត់ហេតុ ក x- កំណត់ហេតុ ក y=កំណត់ហេតុ ក (x : y).

កំណត់ហេតុ ៦ ៤ + កំណត់ហេតុ ៦ ៩.

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានអង្កេត៖ ក > 0, ក ≠ 1, x> 0. ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់ មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញ i.e. អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនពេលចុះហត្ថលេខាលោការីតចូលទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖
[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

ចំណាំថាភាគបែងមានលោការីត មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ដែលជាអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧ ២. យើងមាន:

[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលជាអ្វីដែលបានធ្វើ។ លទ្ធផលបានជាចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

សូមឱ្យកំណត់ហេតុលោការីតត្រូវបានផ្តល់ ក x. បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ។ គបែបនោះ។ គ> 0 និង គ≠ ១, សមភាពគឺពិត៖
[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]
ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ គ = x, យើងទទួលបាន:
[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរមានអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.

[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ក្នុងករណីដំបូងលេខ នក្លាយជាសូចនាករនៃកម្រិតដែលឈរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ ចំនួន នវាអាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃលោការីត។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលគេហៅថា៖ អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

ជាការពិតតើនឹងមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើលេខ ខបង្កើនអំណាចបែបនេះដែលចំនួន ខអំណាចនេះផ្តល់លេខ ក? ត្រឹមត្រូវ៖ អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នានេះ។ ក. អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើនជាប់គាំង។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ៖
[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយគិតពីច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

[ចំណងជើងសម្រាប់រូបភាព]

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាភារកិច្ចពិតពីការប្រឡង Unified State :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

កំណត់ហេតុ ក ក= 1 គឺជាឯកតាលោការីត។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់: លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ។ កពីមូលដ្ឋាននេះគឺស្មើនឹងមួយ។
កំណត់ហេតុ ក 1 = 0 គឺ លោការីត សូន្យ. មូលដ្ឋាន កអាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានមួយ នោះលោការីតគឺស្មើនឹងសូន្យ! ដោយសារតែ ក 0 = 1 គឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។