កំណត់ហេតុឧទាហរណ៍។ និយមន័យលោការីត អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ធាតុមួយនៃពិជគណិតកម្រិតបឋមគឺលោការីត។ ឈ្មោះនេះមកពីភាសាក្រិចពីពាក្យ "លេខ" ឬ "អំណាច" ហើយមានន័យថាអំណាចដែលលេខនៅក្នុងមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីស្វែងរកលេខចុងក្រោយ។

ប្រភេទនៃលោការីត

• កត់ត្រា a b - លោការីតនៃលេខ b ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
• log b – លោការីតទសភាគ (លោការីតដល់គោល ១០, a = ១០);
• ln b – លោការីតធម្មជាតិ (លោការីតដល់គោល e, a = e) ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយលោការីត?

លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលតម្រូវឱ្យ b ត្រូវបានលើកឡើងទៅមូលដ្ឋាន a ។ លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានប្រកាសដូចនេះ៖ "លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a" ។ ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាលោការីតគឺថាអ្នកត្រូវកំណត់ថាមពលដែលបានផ្តល់ឱ្យជាលេខពីលេខដែលបានបញ្ជាក់។ មានច្បាប់ជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនដើម្បីកំណត់ ឬដោះស្រាយលោការីត ក៏ដូចជាបំប្លែងសញ្ញាណដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ដោយប្រើពួកវា សមីការលោការីតត្រូវបានដោះស្រាយ ដេរីវេត្រូវបានរកឃើញ អាំងតេក្រាលត្រូវបានដោះស្រាយ និងប្រតិបត្តិការផ្សេងទៀតជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាទូទៅ ដំណោះស្រាយចំពោះលោការីតខ្លួនវាគឺជាការសម្គាល់សាមញ្ញរបស់វា។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្ត និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាន៖

សម្រាប់ណាមួយ a ; a > 0; a ≠ 1 និងសម្រាប់ x ណាមួយ; y > 0 ។

• កំណត់ហេតុ a b = b – អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
• កំណត់ហេតុ a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• កត់ត្រា x/ y = កត់ត្រា x – កត់ត្រា y
• កំណត់ហេតុ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x សម្រាប់ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី។
• log a x = 1/log x a

វិធីដោះស្រាយលោការីត - ការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ដោះស្រាយ

• ដំបូងសរសេរសមីការដែលត្រូវការ។

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើលោការីតគោលគឺ 10 នោះការបញ្ចូលត្រូវបានបង្រួមជាលទ្ធផលជាលោការីតគោលដប់។ ប្រសិនបើមានលេខធម្មជាតិ e នោះយើងសរសេរវាចុះ ដោយបន្ថយវាទៅជាលោការីតធម្មជាតិ។ នេះមានន័យថាលទ្ធផលនៃលោការីតទាំងអស់គឺជាអំណាចដែលលេខគោលត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ ខ។

ដោយផ្ទាល់ ដំណោះស្រាយស្ថិតនៅក្នុងការគណនាសញ្ញាបត្រនេះ។ មុននឹងដោះស្រាយកន្សោមជាមួយលោការីត ត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅតាមច្បាប់ ពោលគឺប្រើរូបមន្ត។ អ្នកអាចស្វែងរកអត្តសញ្ញាណសំខាន់ៗដោយត្រឡប់ទៅក្រោយបន្តិចក្នុងអត្ថបទ។

នៅពេលបន្ថែម និងដកលោការីតដែលមានចំនួនពីរផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា ជំនួសដោយលោការីតមួយជាមួយនឹងផលិតផល ឬការបែងចែកលេខ b និង c រៀងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត (សូមមើលខាងលើ) ។

ប្រសិនបើអ្នកប្រើកន្សោមដើម្បីសម្រួលលោការីត វាមានដែនកំណត់មួយចំនួនដែលត្រូវពិចារណា។ ហើយនោះគឺ៖ មូលដ្ឋាននៃលោការីត a គឺគ្រាន់តែជាចំនួនវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងមួយទេ។ លេខ b ដូចជា a ត្រូវតែធំជាងសូន្យ។

មានករណីដែលតាមរយៈការធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ អ្នកនឹងមិនអាចគណនាលោការីតជាលេខបានទេ។ វាកើតឡើងថាការបញ្ចេញមតិបែបនេះមិនសមហេតុផលទេព្រោះអំណាចជាច្រើនគឺជាលេខមិនសមហេតុផល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ ទុកអំណាចនៃលេខជាលោការីត។

លោការីតនៃលេខ b (b> 0) ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a ≠ 1)- និទស្សន្តដែលចំនួន a ត្រូវតែលើកដើម្បីទទួលបាន b ។

លោការីតគោល ១០ នៃ ខ អាចត្រូវបានសរសេរជា កំណត់ហេតុ(ខ)ហើយលោការីតទៅមូលដ្ឋានអ៊ី (លោការីតធម្មជាតិ) គឺ ln(b).

ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលោការីត៖

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត

មានបួនសំខាន់ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត.

អនុញ្ញាតឱ្យ a > 0, a ≠ 1, x > 0 និង y > 0 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1. លោការីតនៃផលិតផល

លោការីតនៃផលិតផលស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត៖

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

អចលនៈទ្រព្យ 2. លោការីតនៃចំណោត

លោការីតនៃកូតាតស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត៖

log a (x / y) = log a x – log a y

ទ្រព្យសម្បត្តិ 3. លោការីតនៃអំណាច

លោការីតនៃដឺក្រេស្មើនឹងផលគុណនៃអំណាច និងលោការីត៖

ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីតស្ថិតនៅក្នុងដឺក្រេ នោះរូបមន្តផ្សេងទៀតត្រូវបានអនុវត្ត៖

ទ្រព្យសម្បត្តិ 4. លោការីតនៃឫស

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចទទួលបានពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃអំណាចមួយ ចាប់តាំងពីឫសទី n នៃអំណាចស្មើនឹងអំណាចនៃ 1/n:

រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងពីលោការីតក្នុងគោលមួយទៅលោការីតក្នុងគោលមួយទៀត

រូបមន្តនេះក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការផ្សេងៗលើលោការីត៖

ករណីពិសេស៖

ការប្រៀបធៀបលោការីត (វិសមភាព)

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានអនុគមន៍ 2 f(x) និង g(x) នៅក្រោមលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយរវាងពួកវាមានសញ្ញាវិសមភាព៖

ដើម្បីប្រៀបធៀបពួកវា ដំបូងអ្នកត្រូវមើលមូលដ្ឋាននៃលោការីត a:

• ប្រសិនបើ a > 0 នោះ f(x) > g(x) > 0
• ប្រសិនបើ 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

វិធីដោះស្រាយបញ្ហាលោការីត៖ ឧទាហរណ៍

បញ្ហាជាមួយលោការីតរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 11 នៅក្នុងកិច្ចការទី 5 និងកិច្ចការទី 7 អ្នកអាចស្វែងរកភារកិច្ចជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនៅក្នុងផ្នែកដែលសមស្រប។ ដូចគ្នានេះផងដែរ កិច្ចការដែលមានលោការីត ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងធនាគារកិច្ចការគណិតវិទ្យា។ អ្នកអាចស្វែងរកឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដោយស្វែងរកគេហទំព័រ។

តើលោការីតគឺជាអ្វី

លោការីតតែងតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រធានបទដ៏លំបាកមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ មាននិយមន័យផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលោការីត ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន សៀវភៅសិក្សាភាគច្រើនប្រើភាពស្មុគស្មាញបំផុត និងមិនជោគជ័យ។

យើងនឹងកំណត់លោការីតយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្កើតតារាង៖

ដូច្នេះ យើងមានអំណាចពីរ។

លោការីត - លក្ខណៈសម្បត្តិ, រូបមន្ត, របៀបដោះស្រាយ

ប្រសិនបើអ្នកយកលេខចេញពីបន្ទាត់ខាងក្រោម អ្នកអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវថាមពលដែលអ្នកនឹងត្រូវលើកពីរដើម្បីទទួលបានលេខនេះ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីទទួលបាន 16 អ្នកត្រូវបង្កើនថាមពលពី 2 ទៅ 4 ។ ហើយដើម្បីទទួលបាន 64 អ្នកត្រូវបង្កើនពីរទៅថាមពលទីប្រាំមួយ។ នេះអាចមើលឃើញពីតារាង។

ហើយឥឡូវនេះ - តាមពិតនិយមន័យនៃលោការីត៖

មូលដ្ឋាន a នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាអំណាចដែលលេខ a ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបានចំនួន x ។

ការរចនា៖ កំណត់ហេតុ a x = b ដែល a ជាមូលដ្ឋាន x ជាអាគុយម៉ង់ b គឺជាអ្វីដែលលោការីតពិតជាស្មើនឹង។

ឧទាហរណ៍ 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (លោការីតគោល 2 នៃ 8 គឺបីព្រោះ 2 3 = 8) ។ ជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា កំណត់ហេតុ 2 64 = 6 ចាប់តាំងពី 2 6 = 64 ។

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនមួយទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា។ ដូច្នេះ ចូរយើងបន្ថែមបន្ទាត់ថ្មីទៅក្នុងតារាងរបស់យើង៖

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
កំណត់ហេតុ 2 2 = 1	កំណត់ហេតុ 2 4 = 2	កំណត់ហេតុ 2 8 = 3	កំណត់ហេតុ ២ ១៦ = ៤	កំណត់ហេតុ 2 32 = 5	កំណត់ហេតុ 2 64 = 6

ជាអកុសល មិនមែនលោការីតទាំងអស់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ព្យាយាមស្វែងរកកំណត់ហេតុទី 2 5 ព្រោះ ២ ២< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល៖ លេខបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគអាចត្រូវបានសរសេរផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់ ហើយពួកគេមិនដែលធ្វើម្តងទៀតទេ។ ប្រសិនបើលោការីតប្រែជាមិនសមហេតុផល វាជាការប្រសើរក្នុងការទុកវាចោលតាមវិធីនោះ៖ កំណត់ហេតុ 2 5, កំណត់ហេតុ 3 8, កំណត់ហេតុ 5 100 ។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថាលោការីតគឺជាកន្សោមដែលមានអថេរពីរ (មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់)។ ដំបូង​ឡើយ មនុស្ស​ជា​ច្រើន​យល់​ច្រឡំ​ថា​តើ​មូលដ្ឋាន​នៅ​ទីណា និង​កន្លែង​ណា​ដែល​ការ​ជជែក​វែកញែក​នោះ​។ ដើម្បី​កុំ​ឲ្យ​មានការ​យល់​ច្រលំ​នោះ សូម​ទស្សនា​រូបភាព៖

មុនពេលយើងគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីនិយមន័យនៃលោការីតនោះទេ។ ចងចាំ៖ លោការីតគឺជាថាមពលដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែត្រូវបានសាងសង់ ដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់។ វាគឺជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពល - វាត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហមនៅក្នុងរូបភាព។ វាប្រែថាមូលដ្ឋានគឺតែងតែនៅខាងក្រោម! ខ្ញុំប្រាប់សិស្សរបស់ខ្ញុំនូវច្បាប់ដ៏អស្ចារ្យនេះនៅមេរៀនដំបូង - ហើយគ្មានការភាន់ច្រលំកើតឡើងទេ។

របៀបរាប់លោការីត

យើងបានស្វែងរកនិយមន័យ - អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវរៀនពីរបៀបរាប់លោការីត ពោលគឺឧ។ កម្ចាត់សញ្ញា "កំណត់ហេតុ" ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ការពិតសំខាន់ៗចំនួនពីរកើតឡើងពីនិយមន័យ៖

1. អាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋានត្រូវតែធំជាងសូន្យជានិច្ច។ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃដឺក្រេដោយនិទស្សន្តសមហេតុផល ដែលនិយមន័យនៃលោការីតត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
2. មូលដ្ឋានត្រូវតែខុសគ្នាពីមួយ ចាប់តាំងពីមួយទៅកម្រិតណាមួយនៅតែមួយដដែល។ ដោយ​សារ​តែ​បញ្ហា​នេះ សំណួរ​ដែល​ថា “តើ​អ្នក​ត្រូវ​លើក​ឡើង​ទៅ​កាន់​អំណាច​អ្វី​ដើម្បី​បាន​ពីរ” គឺ​គ្មាន​ន័យ​ទេ។ មិនមានសញ្ញាបត្របែបនេះទេ!

ការរឹតបន្តឹងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។(ODZ) ។ វាប្រែថា ODZ នៃលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ កំណត់ហេតុ a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1 ។

ចំណាំថាមិនមានការរឹតបន្តឹងលើលេខ b (តម្លៃនៃលោការីត) ទេ។ ឧទាហរណ៍ លោការីតប្រហែលជាអវិជ្ជមាន៖ log 2 0.5 = −1 ព្រោះ 0.5 = 2 −1 ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឥឡូវនេះយើងកំពុងពិចារណាតែកន្សោមលេខប៉ុណ្ណោះ ដែលវាមិនតម្រូវឱ្យដឹងពី VA នៃលោការីតនោះទេ។ ការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ត្រូវបានគិតរួចហើយដោយអ្នកនិពន្ធនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលសមីការលោការីត និងវិសមភាពចូលដំណើរការ តម្រូវការ DL នឹងក្លាយជាកាតព្វកិច្ច។ យ៉ាងណាមិញ មូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងអាចមានសំណង់រឹងមាំខ្លាំង ដែលមិនចាំបាច់ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរឹតបន្តឹងខាងលើ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលគ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការគណនាលោការីត។ វាមានបីជំហាន៖

1. បង្ហាញមូលដ្ឋាន a និងអាគុយម៉ង់ x ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានអប្បបរមាដែលអាចធ្វើបានធំជាងមួយ។ នៅតាមផ្លូវ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីកម្ចាត់ទសភាគ;
2. ដោះស្រាយសមីការសម្រាប់អថេរ b: x = a b ;
3. លេខលទ្ធផល b នឹងជាចម្លើយ។

ហ្នឹងហើយ! ប្រសិនបើលោការីតប្រែជាមិនសមហេតុផល វានឹងអាចមើលឃើញរួចហើយនៅក្នុងជំហានដំបូង។ តម្រូវការដែលមូលដ្ឋានធំជាងមួយគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់៖ នេះកាត់បន្ថយលទ្ធភាពនៃកំហុស និងជួយសម្រួលដល់ការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។ វាដូចគ្នាជាមួយនឹងប្រភាគទសភាគ៖ ប្រសិនបើអ្នកបំប្លែងពួកវាភ្លាមៗទៅជាប្រភាគធម្មតា វានឹងមានកំហុសតិចជាងច្រើន។

តោះមើលពីរបៀបដែលគ្រោងការណ៍នេះដំណើរការដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖

កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ log 5 25

1. ចូរស្រមៃមើលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃប្រាំ: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

តោះបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. យើងបានទទួលចម្លើយ៖ ២.

កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖

កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ log 4 64

1. ចូរស្រមៃមើលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃពីរ៖ 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. តោះបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. យើងបានទទួលចម្លើយ៖ ៣.

កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ កំណត់ហេតុ ១៦ ១

1. ចូរស្រមៃមើលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃពីរ៖ 16 = 2 4 ; 1 = 20 ;
2. តោះបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
   កំណត់ហេតុ 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. យើងបានទទួលចម្លើយ៖ ០ ។

កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ កំណត់ហេតុ ៧ ១៤

1. ចូរស្រមៃមើលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃប្រាំពីរ: 7 = 7 1 ; 14 មិនអាចត្រូវបានតំណាងជាអំណាចនៃប្រាំពីរចាប់តាំងពី 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ពីកថាខណ្ឌមុនវាដូចខាងក្រោមថាលោការីតមិនរាប់បញ្ចូល;
3. ចំលើយគឺគ្មានការផ្លាស់ប្តូរទេ៖ កំណត់ហេតុ ៧ ១៤.

កំណត់ចំណាំតូចមួយនៅលើឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ។ តើ​អ្នក​អាច​ប្រាកដ​ថា​លេខ​មួយ​មិន​មែន​ជា​ថាមពល​ពិតប្រាកដ​នៃ​លេខ​ផ្សេង​ដោយ​របៀប​ណា? វាសាមញ្ញណាស់ - គ្រាន់តែបញ្ចូលវាទៅជាកត្តាសំខាន់។ ប្រសិនបើការពង្រីកមានកត្តាពីរផ្សេងគ្នា នោះចំនួនមិនមែនជាថាមពលពិតប្រាកដទេ។

កិច្ចការ។ រកមើលថាតើលេខគឺជាអំណាចពិតប្រាកដ: 8; ៤៨; ៨១; ៣៥; ១៤.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ដឺក្រេពិតប្រាកដ, ដោយសារតែ មានមេគុណតែមួយ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - មិនមែនជាអំណាចពិតប្រាកដទេ ព្រោះមានកត្តាពីរគឺ 3 និង 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ដឺក្រេពិតប្រាកដ;
35 = 7 · 5 - ជាថ្មីម្តងទៀតមិនមែនជាអំណាចពិតប្រាកដ;
14 = 7 · 2 - ជាថ្មីម្តងទៀតមិនមែនជាសញ្ញាបត្រពិតប្រាកដ;

ចំណាំផងដែរថាលេខបឋមខ្លួនឯងតែងតែជាអំណាចពិតប្រាកដរបស់ខ្លួនឯង។

លោការីតទសភាគ

លោការីតខ្លះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ដែលពួកគេមានឈ្មោះ និងនិមិត្តសញ្ញាពិសេស។

នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាលោការីតដល់គោល 10 ពោលគឺឧ។ អំណាចដែលលេខ 10 ត្រូវតែលើកឡើង ដើម្បីទទួលបានលេខ x ។ ការដាក់ឈ្មោះ៖ lg x ។

ឧទាហរណ៍ log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - ល។

ចាប់ពីពេលនេះតទៅ នៅពេលដែលឃ្លាដូចជា "Find lg 0.01" លេចឡើងក្នុងសៀវភៅសិក្សា សូមដឹងថា៖ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរនោះទេ។ នេះគឺជាលោការីតទសភាគ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងសញ្ញាណនេះទេ អ្នកអាចសរសេរវាឡើងវិញបានជានិច្ច៖
log x = log 10 x

អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលពិតសម្រាប់លោការីតធម្មតាក៏ពិតសម្រាប់លោការីតទសភាគផងដែរ។

លោការីតធម្មជាតិ

មានលោការីតមួយទៀតដែលមានការកំណត់របស់វា។ តាមវិធីខ្លះ វាសំខាន់ជាងលេខទសភាគ។ យើងកំពុងនិយាយអំពីលោការីតធម្មជាតិ។

នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាន e, i.e. អំណាចដែលលេខ e ត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើង ដើម្បីទទួលបានលេខ x ។ ការដាក់ឈ្មោះ៖ ln x ។

មនុស្សជាច្រើននឹងសួរថា អ៊ី ជាអ្វី? នេះ​ជា​ចំនួន​មិន​សម​ហេតុ​ផល​មិន​អាច​រក​ឃើញ​និង​សរសេរ​ចុះ។ ខ្ញុំនឹងផ្តល់តែតួលេខដំបូងប៉ុណ្ណោះ៖
e = 2.718281828459…

យើង​នឹង​មិន​ចូល​ទៅ​ក្នុង​លម្អិត​អំពី​ចំនួន​នេះ​ជា​អ្វី និង​មូលហេតុ​ដែល​វា​ត្រូវ​ការ។ គ្រាន់តែចាំថា អ៊ី គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ៖
ln x = log e x

ដូច្នេះ ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ល។ ម៉្យាងវិញទៀត ln 2 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ជាទូទៅលោការីតធម្មជាតិនៃចំនួនសនិទានណាមួយគឺមិនសមហេតុផល។ លើកលែងតែសម្រាប់មួយ៖ ln 1 = 0 ។

សម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ ច្បាប់ទាំងអស់ដែលពិតសម្រាប់លោការីតធម្មតាមានសុពលភាព។

សូមមើលផងដែរ៖

លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត (អំណាចនៃលោការីត) ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីត?

យើងប្រើនិយមន័យលោការីត។

លោការីត​ជា​និទស្សន្ត​ដែល​គោល​ត្រូវ​តែ​លើក​ឡើង​ដើម្បី​ទទួល​បាន​លេខ​ក្រោម​សញ្ញា​លោការីត។

ដូច្នេះ ដើម្បីតំណាងឱ្យចំនួនជាក់លាក់ c ជាលោការីតដល់គោល a អ្នកត្រូវដាក់ថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងគោលនៃលោការីតនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត ហើយសរសេរលេខនេះ c ជានិទស្សន្ត៖

លេខណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាលោការីត - វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ចំនួនគត់ ប្រភាគ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល៖

ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ a និង c នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌស្ត្រេសនៃការធ្វើតេស្ត ឬការប្រឡង អ្នកអាចប្រើក្បួនទន្ទេញចាំខាងក្រោម៖

អ្វី​ដែល​នៅ​ខាង​ក្រោម​ធ្លាក់​ចុះ អ្វី​ដែល​នៅ​ខាង​លើ​ឡើង​ទៅ។

ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវតំណាងឱ្យលេខ 2 ជាលោការីតដល់គោល 3 ។

យើងមានលេខពីរ - 2 និង 3. លេខទាំងនេះគឺជាគោល និងនិទស្សន្តដែលយើងនឹងសរសេរនៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត។ វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ថាតើលេខណាខ្លះដែលគួរសរសេរចុះ ដល់មូលដ្ឋានដឺក្រេ និងមួយណា - ឡើងដល់និទស្សន្ត។

គោល 3 ក្នុងសញ្ញាណលោការីតគឺនៅខាងក្រោម ដែលមានន័យថានៅពេលដែលយើងតំណាងពីរជាលោការីតដល់គោល 3 យើងក៏នឹងសរសេរលេខ 3 ចុះទៅមូលដ្ឋានផងដែរ។

2 គឺខ្ពស់ជាងបី។ ហើយនៅក្នុងសញ្ញាប័ត្រទី 2 យើងសរសេរខាងលើទាំងបី នោះគឺជានិទស្សន្តមួយ៖

លោការីត។ កម្រិតចូល។

លោការីត

លោការីតលេខវិជ្ជមាន ខផ្អែកលើ ក, កន្លែងណា a > 0, a ≠ 1ត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបាន ខ.

និយមន័យលោការីតអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លីដូចនេះ៖

សមភាពនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ b> 0, a> 0, a ≠ 1 ។វាត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតា អត្តសញ្ញាណលោការីត។
សកម្មភាពនៃការស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនមួយត្រូវបានគេហៅថា ដោយលោការីត។

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត៖

លោការីតនៃផលិតផល៖

លោការីត​នៃ​កូតា៖

ការជំនួសមូលដ្ឋានលោការីត៖

លោការីតដឺក្រេ៖

លោការីតនៃឫស៖

លោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថាមពល៖

លោការីតទសភាគ និងធម្មជាតិ។

លោការីតទសភាគលេខហៅលោការីតនៃលេខនេះទៅមូលដ្ឋាន 10 ហើយសរសេរ   lg ខ
លោការីតធម្មជាតិលេខត្រូវបានគេហៅថាលោការីតនៃលេខនោះទៅមូលដ្ឋាន អ៊ី, កន្លែងណា អ៊ី- ចំនួនមិនសមហេតុផលប្រហែលស្មើនឹង 2.7 ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នាពួកគេសរសេរ ln ខ.

កំណត់ចំណាំផ្សេងទៀតអំពីពិជគណិត និងធរណីមាត្រ

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បង.

អ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះ - មិនមែនបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរតែមួយអាចដោះស្រាយបានដោយគ្មានពួកវានោះទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្នកអាចរៀនអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កត់ត្រា a x និងកត់ត្រា y ។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក ហើយ៖

1. log a x + log a y = log a(x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y) ។

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងលោការីតនៃកូតា។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. បើហេតុផលខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយអ្នកគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖

កំណត់ហេតុ ៦ ៤ + កំណត់ហេតុ ៦ ៩.

ដោយសារលោការីតមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគណនាដោយឡែកពីគ្នា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការបំលែង លេខធម្មតាទាំងស្រុងត្រូវបានទទួល។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ កន្សោម​ដូច​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ជូន​ក្នុង​ភាព​ធ្ងន់ធ្ងរ​ទាំងអស់ (ជួនកាល​ស្ទើរតែ​គ្មាន​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ) នៅ​លើ​ការ​ប្រឡង​រដ្ឋ​បង្រួបបង្រួម។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការបន្តិច។ ចុះបើមូលដ្ឋាន ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីតជាថាមពល? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូង។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើ ODZ នៃលោការីតត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយបន្ថែមទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ផ្ទុយមកវិញផងដែរ។ , i.e. អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនពេលចុះហត្ថលេខាលោការីតចូលទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។

វិធីដោះស្រាយលោការីត

នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .

ចូរយើងកម្ចាត់សញ្ញាបត្រនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយប្រើរូបមន្តទីមួយ៖
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃកន្សោម៖

ចំណាំថាភាគបែងមានលោការីត មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ដែលជាអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧ ២. យើងមាន៖

ខ្ញុំ​គិត​ថា​ឧទាហរណ៍​ចុង​ក្រោយ​នេះ​ទាមទារ​ឱ្យ​មាន​ការ​បញ្ជាក់​ខ្លះៗ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយ យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។ យើងបានបង្ហាញមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតដែលឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់នៃអំណាច ហើយយកនិទស្សន្តចេញ - យើងទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ ទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយក ដែលជាអ្វីដែលបានធ្វើ។ លទ្ធផល​បាន​ជា​ចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើហេតុផលខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយមកជួយសង្គ្រោះ។ ចូរយើងបង្កើតវានៅក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

អនុញ្ញាតឱ្យលោការីតកត់ត្រា a x ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងកំណត់ c = x យើងទទួលបាន៖

ពីរូបមន្តទីពីរ វាធ្វើតាមដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតអាចប្តូរបាន ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតលេចឡើងនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មីមួយ។ តោះ​មើល​ពីរ​បី​ចំណុច​នេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរមានអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

ឥឡូវនេះសូម "បញ្ច្រាស" លោការីតទីពីរ៖

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលរៀបចំកត្តាឡើងវិញ យើងបានគុណបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយជាមួយលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតទីមួយ គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ក្នុងការតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តខាងក្រោមនឹងជួយយើង៖

ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃលោការីត។

រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបកស្រាយ។ នោះហើយជាអ្វីដែលហៅថា៖ ។

តាមពិតទៅ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកទៅជាថាមពលបែបនេះ ដែលលេខ b ទៅអំណាចនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ លទ្ធផលគឺដូចគ្នា ក. អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើនជាប់គាំង។

ដូចជារូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកអត្ថន័យនៃកន្សោម៖

ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយគិតពីច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

បើអ្នកណាមិនដឹង នេះជាភារកិច្ចពិតពីការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ :)

ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលស្ទើរតែមិនអាចហៅថាលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ពួកវាជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេតែងតែលេចឡើងក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

1. កំណត់ហេតុ a = 1 គឺ។ ចងចាំម្តង និងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយនៃមូលដ្ឋាននោះ គឺស្មើនឹងមួយ។
2. កំណត់ហេតុ a 1 = 0 គឺ។ គោល a អាច​ជា​អ្វី​ក៏​ដោយ ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អាគុយម៉ង់​មាន​មួយ នោះ​លោការីត​នឹង​ស្មើ​នឹង​សូន្យ! ដោយសារតែ 0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។

នៅពេលដែលសង្គមរីកចម្រើន ហើយការផលិតកាន់តែស្មុគស្មាញ គណិតវិទ្យាក៏រីកចម្រើនផងដែរ។ ចលនាពីសាមញ្ញទៅស្មុគស្មាញ។ ពីគណនេយ្យធម្មតាដោយប្រើវិធីបូក និងដក ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ យើងបានមកដល់គោលគំនិតនៃគុណ និងចែក។ ការកាត់បន្ថយប្រតិបត្តិការដដែលៗនៃគុណបានក្លាយជាគោលគំនិតនៃនិទស្សន្ត។ តារាងទីមួយនៃការពឹងផ្អែកនៃលេខនៅលើមូលដ្ឋាន និងចំនួននៃនិទស្សន្តត្រូវបានចងក្រងត្រឡប់មកវិញនៅក្នុងសតវត្សទី 8 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា Varasena ។ ពីពួកវាអ្នកអាចរាប់ពេលវេលានៃការកើតឡើងនៃលោការីត។

គំនូសព្រាងប្រវត្តិសាស្ត្រ

ការរស់ឡើងវិញនៃទ្វីបអឺរ៉ុបក្នុងសតវត្សទី 16 ក៏ជំរុញឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍ផ្នែកមេកានិចផងដែរ។ ធ តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ចំនួន​ដ៏​ច្រើន​នៃ​ការ​គណនា​ទាក់ទងនឹងការគុណ និងចែកលេខច្រើនខ្ទង់។ តុបុរាណមានសេវាកម្មល្អណាស់។ ពួកគេបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសប្រតិបត្តិការស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញជាង - បូកនិងដក។ ជំហានដ៏ធំមួយឆ្ពោះទៅមុខគឺជាស្នាដៃរបស់គណិតវិទូ Michael Stiefel ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1544 ដែលក្នុងនោះគាត់បានដឹងពីគំនិតរបស់គណិតវិទូជាច្រើន។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចប្រើតារាងមិនត្រឹមតែសម្រាប់អំណាចក្នុងទម្រង់ជាលេខបឋមប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ហេតុផលដែលបំពានផងដែរ។

នៅឆ្នាំ 1614 ជនជាតិស្កុតឡេនលោក John Napier បានបង្កើតគំនិតទាំងនេះជាលើកដំបូងបានណែនាំពាក្យថ្មី "លោការីតនៃចំនួនមួយ" ។ តារាងស្មុគស្មាញថ្មីត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់គណនាលោការីតនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ក៏ដូចជាតង់សង់។ នេះបានកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូយ៉ាងខ្លាំង។

តារាងថ្មីបានចាប់ផ្តើមលេចឡើងដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអស់រយៈពេលបីសតវត្ស។ ពេលវេលាជាច្រើនបានកន្លងផុតទៅ មុនពេលប្រតិបត្តិការថ្មីនៅក្នុងពិជគណិតបានទទួលទម្រង់ដែលបានបញ្ចប់របស់វា។ និយមន័យនៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាត្រូវបានសិក្សា។

មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ជាមួយនឹងការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខនិងកុំព្យូទ័រទេដែលមនុស្សជាតិបានបោះបង់ចោលតារាងបុរាណដែលបានដំណើរការដោយជោគជ័យពេញមួយសតវត្សទី 13 ។

សព្វថ្ងៃនេះយើងហៅលោការីតរបស់ b ទៅជាលេខ x ដែលជាអំណាចនៃ a ដើម្បីបង្កើត b ។ នេះត្រូវបានសរសេរជារូបមន្ត៖ x = log a(b) ។

ឧទាហរណ៍ កំណត់ហេតុ 3(9) នឹងស្មើនឹង 2។ វាច្បាស់ណាស់ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមនិយមន័យ។ ប្រសិនបើយើងបង្កើន 3 ដល់កម្លាំង 2 យើងទទួលបាន 9 ។

ដូច្នេះ និយមន័យដែលបានបង្កើតកំណត់ការរឹតបន្តឹងតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ លេខ a និង b ត្រូវតែពិតប្រាកដ។

ប្រភេទនៃលោការីត

និយមន័យបុរាណត្រូវបានគេហៅថា លោការីតពិត ហើយជាការពិតជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ a x = b ។ ជម្រើស a = 1 គឺជាបន្ទាត់ព្រំដែន ហើយមិនចាប់អារម្មណ៍។ យកចិត្តទុកដាក់៖ ១ ចំពោះអំណាចណាមួយគឺស្មើនឹង ១ ។

តម្លៃពិតនៃលោការីតកំណត់តែនៅពេលដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ធំជាង 0 ហើយមូលដ្ឋានមិនត្រូវស្មើនឹង 1 ។

កន្លែងពិសេសក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាលេងលោការីត ដែលនឹងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះអាស្រ័យលើទំហំនៃមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ៖

ច្បាប់ និងការរឹតបន្តឹង

ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺជាច្បាប់៖ លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកលោការីត។ log abp = log a(b) + log a(p)។

ជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ នឹងមានៈ log c(b/p) = log c(b) - log c(p) អនុគមន៍ quotient គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍។

ពីច្បាប់ពីរមុន វាងាយស្រួលមើលថា: log a(b p) = p * log a(b) ។

ទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងទៀតរួមមាន:

មតិយោបល់។ មិនចាំបាច់មានកំហុសធម្មតាទេ - លោការីតនៃផលបូកមិនស្មើនឹងផលបូកលោការីត។

អស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ ប្រតិបត្តិការស្វែងរកលោការីត គឺជាកិច្ចការដែលចំណាយពេលវេលាច្រើន។ គណិតវិទូបានប្រើរូបមន្តដ៏ល្បីនៃទ្រឹស្តីលោការីតនៃការពង្រីកពហុនាម៖

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n) ដែល n ជាលេខធម្មជាតិធំជាង 1 ដែលកំណត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។

លោការីតជាមួយមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតត្រូវបានគណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទអំពីការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផល។

ចាប់តាំងពីវិធីសាស្រ្តនេះគឺពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្មនិង នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងការលំបាកក្នុងការអនុវត្ត យើងបានប្រើតារាងដែលចងក្រងជាមុននៃលោការីត ដែលបង្កើនល្បឿនការងារទាំងអស់។

ក្នុងករណីខ្លះ ក្រាហ្វដែលចងក្រងជាពិសេសនៃលោការីតត្រូវបានប្រើ ដែលផ្តល់ភាពត្រឹមត្រូវតិច ប៉ុន្តែបានបង្កើនល្បឿនយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាន។ ខ្សែកោងនៃអនុគមន៍ y = log a(x) ដែលសាងសង់លើចំណុចជាច្រើន អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើបន្ទាត់ធម្មតាដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចផ្សេងទៀត។ វិស្វករ​បាន​ប្រើ​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​ក្រដាស​ក្រាហ្វ​សម្រាប់​គោល​បំណង​ទាំងនេះ​ជា​យូរ​មក​ហើយ។

នៅសតវត្សទី 17 លក្ខខណ្ឌគណនាអាណាឡូកជំនួយដំបូងបានលេចឡើងដែលនៅសតវត្សទី 19 ទទួលបានទម្រង់ពេញលេញ។ ឧបករណ៍ដែលទទួលបានជោគជ័យបំផុតត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ស្លាយ។ ថ្វីបើមានភាពសាមញ្ញនៃឧបករណ៍ក៏ដោយ រូបរាងរបស់វាបានបង្កើនល្បឿនដំណើរការនៃការគណនាវិស្វកម្មទាំងអស់យ៉ាងខ្លាំង ហើយនេះជាការពិបាកក្នុងការប៉ាន់ស្មានលើស។ បច្ចុប្បន្ននេះមានមនុស្សតិចណាស់ដែលស្គាល់ឧបករណ៍នេះ។

ការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខ និងកុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍ផ្សេងទៀតគ្មានន័យអ្វីទាំងអស់។

សមីការ និងវិសមភាព

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពផ្សេងៗដោយប្រើលោការីត រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់៖

• ការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត៖ log a(b) = log c(b) / log c(a);
• ជាលទ្ធផលនៃជម្រើសមុន៖ log a(b) = 1 / log b(a) ។

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹង៖

• តម្លៃនៃលោការីតនឹងមានភាពវិជ្ជមានលុះត្រាតែមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់គឺធំជាង ឬតិចជាងមួយ; ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានបំពាន តម្លៃលោការីតនឹងអវិជ្ជមាន។
• ប្រសិនបើអនុគមន៍លោការីតត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព ហើយមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺធំជាងមួយ នោះសញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក។ បើមិនដូច្នោះទេវាផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា

ចូរយើងពិចារណាជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការ៖

ពិចារណាជម្រើសនៃការដាក់លោការីតក្នុងថាមពល៖

• បញ្ហា 3. គណនា 25^log 5(3)។ ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ធាតុចូលគឺស្រដៀងនឹងខាងក្រោម (5^2)^log5(3) ឬ 5^(2 * log 5(3))។ តោះសរសេរវាខុសគ្នា៖ 5^log 5(3*2) ឬការ៉េនៃលេខដែលជាអាគុយម៉ង់មុខងារអាចត្រូវបានសរសេរជាការ៉េនៃអនុគមន៍ខ្លួនវា (5^log 5(3))^2។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិរបស់លោការីត កន្សោមនេះគឺស្មើនឹង 3^2 ។ ចម្លើយ៖ ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបាន ៩ ។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែង

ក្នុងនាមជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ វាហាក់ដូចជានៅឆ្ងាយពីជីវិតពិត ដែលលោការីតភ្លាមៗទទួលបានសារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុនៅក្នុងពិភពពិត។ វាពិបាកក្នុងការស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រដែលវាមិនត្រូវបានប្រើ។ នេះអនុវត្តយ៉ាងពេញលេញមិនត្រឹមតែចំពោះធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងលើវិស័យមនុស្សធម៌នៃចំណេះដឹងផងដែរ។

ភាពអាស្រ័យលោការីត

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃភាពអាស្រ័យលេខ៖

មេកានិច និងរូបវិទ្យា

តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ មេកានិច និងរូបវិទ្យាតែងតែបង្កើតដោយប្រើវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា ហើយក្នុងពេលតែមួយបានបម្រើជាការលើកទឹកចិត្តសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍគណិតវិទ្យា រួមទាំងលោការីត។ ទ្រឹស្តីនៃច្បាប់រូបវិទ្យាភាគច្រើនត្រូវបានសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ពីរនៃការពិពណ៌នាអំពីច្បាប់រូបវន្តដោយប្រើលោការីត។

បញ្ហានៃការគណនាបរិមាណស្មុគ្រស្មាញដូចជាល្បឿនរ៉ុក្កែតអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Tsiolkovsky ដែលដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការរុករកអវកាស៖

V = I * ln (M1/M2), កន្លែងណា

• V គឺជាល្បឿនចុងក្រោយរបស់យន្តហោះ។
• ខ្ញុំ - កម្លាំងជាក់លាក់នៃម៉ាស៊ីន។
• M 1 - ម៉ាស់ដំបូងនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត។
• ម ២ - ម៉ាស់ចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍សំខាន់មួយទៀត- នេះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ក្នុង​រូបមន្ត​របស់​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ដ៏​អស្ចារ្យ​ម្នាក់​ទៀត Max Planck ដែល​បម្រើ​ការ​វាយ​តម្លៃ​ស្ថានភាព​លំនឹង​ក្នុង​ទែរម៉ូឌីណាមិក។

S = k * ln (Ω), ដែលជាកន្លែងដែល

• អេស - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃទែរម៉ូឌីណាមិក។
• k - Boltzmann ថេរ។
• Ω គឺជាទម្ងន់ស្ថិតិនៃរដ្ឋផ្សេងៗគ្នា។

គីមីវិទ្យា

មិនសូវច្បាស់គឺការប្រើរូបមន្តក្នុងគីមីសាស្ត្រដែលមានសមាមាត្រលោការីត។ សូមលើកឧទាហរណ៍ពីរ៖

• សមីការ Nernst លក្ខខណ្ឌនៃសក្ដានុពល redox នៃមធ្យម ទាក់ទងនឹងសកម្មភាពនៃសារធាតុ និងលំនឹងថេរ។
• ការគណនានៃថេរដូចជាសន្ទស្សន៍ autolysis និងអាស៊ីតនៃដំណោះស្រាយក៏មិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានមុខងាររបស់យើងដែរ។

ចិត្តវិទ្យា និងជីវវិទ្យា

ហើយ​វា​មិន​ច្បាស់​ថា​តើ​ចិត្តវិទ្យា​ទាក់ទង​នឹង​អ្វី​នោះ​ទេ។ វាប្រែថាភាពខ្លាំងនៃអារម្មណ៍ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អដោយមុខងារនេះថាជាសមាមាត្របញ្ច្រាសនៃតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេរំញោចទៅនឹងតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេទាប។

បន្ទាប់​ពី​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ​នេះ វា​លែង​មាន​ការ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ទៀត​ហើយ​ដែល​ប្រធាន​បទ​លោការីត​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ជីវវិទ្យា។ បរិមាណទាំងមូលអាចត្រូវបានសរសេរអំពីទម្រង់ជីវសាស្រ្តដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងវង់លោការីត។

តំបន់ផ្សេងទៀត។

វាហាក់ដូចជាថាអត្ថិភាពនៃពិភពលោកគឺមិនអាចទៅរួចទេបើគ្មានទំនាក់ទំនងជាមួយមុខងារនេះ ហើយវាគ្រប់គ្រងច្បាប់ទាំងអស់។ ជាពិសេសនៅពេលដែលច្បាប់នៃធម្មជាតិត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ វាមានតម្លៃក្នុងការងាកទៅគេហទំព័រ MatProfi ហើយមានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោមនៃសកម្មភាព៖

បញ្ជីអាចគ្មានទីបញ្ចប់។ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃមុខងារនេះ អ្នកអាចចូលទៅក្នុងពិភពនៃប្រាជ្ញាគ្មានកំណត់។

សេចក្តីណែនាំ

សរសេរកន្សោមលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើកន្សោមប្រើលោការីត ១០ នោះសញ្ញាណរបស់វាត្រូវបានខ្លី ហើយមើលទៅដូចនេះ៖ lg b គឺជាលោការីតទសភាគ។ ប្រសិនបើលោការីតមានលេខ e ជាមូលដ្ឋានរបស់វា បន្ទាប់មកសរសេរកន្សោម៖ ln b – លោការីតធម្មជាតិ។ វាត្រូវបានគេយល់ថាលទ្ធផលនៃណាមួយគឺជាអំណាចដែលលេខមូលដ្ឋានត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

នៅពេលស្វែងរកផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកពួកវាពីមួយទៅមួយ ហើយបន្ថែមលទ្ធផល៖ (u+v)" = u"+v";

នៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរគុណនឹងអនុគមន៍ទីមួយ៖ (u*v)" = u"*v +v"*u;

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ ចាំបាច់ត្រូវដកពីផលគុណនៃដេរីវេនៃភាគលាភគុណនឹងអនុគមន៍ចែកផលផលនៃដេរីវេនៃផលចែកគុណនឹងអនុគមន៍នៃភាគលាភ និងចែក ទាំងអស់នេះដោយអនុគមន៍ចែកការ៉េ។ (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ប្រសិនបើអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចាំបាច់ត្រូវគុណដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង និងដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ y=u(v(x)) បន្ទាប់មក y"(x)=y"(u)*v"(x)។

ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានខាងលើអ្នកអាចបែងចែកមុខងារស្ទើរតែទាំងអស់។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
វាក៏មានបញ្ហាទាក់ទងនឹងការគណនាដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=e^(x^2+6x+5) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x=1។
១) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)។

2) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ y"(1)=8*e^0=8

វីដេអូលើប្រធានបទ

ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍

រៀនតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុបឋម។ នេះនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាយ៉ាងច្រើន។

ប្រភព៖

• ដេរីវេនៃថេរមួយ។

ដូច្នេះ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងសមីការមិនសមហេតុផល និងសមីការសមហេតុផល? ប្រសិនបើអថេរដែលមិនស្គាល់គឺស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េ នោះសមីការត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនសមហេតុផល។

សេចក្តីណែនាំ

វិធីសាស្រ្តសំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ភាគីទាំងពីរ សមីការចូលទៅក្នុងការ៉េមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ នេះគឺជាធម្មជាតិ រឿងដំបូងដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺកម្ចាត់សញ្ញា។ វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ពិបាក​តាម​បច្ចេកទេស​ទេ ប៉ុន្តែ​ពេល​ខ្លះ​វា​អាច​នាំ​ឱ្យ​មាន​បញ្ហា។ ឧទាហរណ៍ សមីការគឺ v(2x-5)=v(4x-7)។ ដោយ​ការ​កាត់​ទាំង​សងខាង អ្នក​នឹង​ទទួល​បាន 2x-5=4x-7 ។ ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះមិនពិបាកទេ។ x=1. ប៉ុន្តែលេខ 1 នឹងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ សមីការ. ហេតុអ្វី? ជំនួសមួយទៅក្នុងសមីការជំនួសឱ្យតម្លៃនៃ x ហើយផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនឹងមានកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល។ តម្លៃនេះមិនត្រឹមត្រូវសម្រាប់ឫសការ៉េទេ។ ដូច្នេះ 1 គឺ​ជា root extraneous ដូច្នេះ​ហើយ​សមីការ​នេះ​មិន​មាន​ឬស​ទេ។

ដូច្នេះ សមីការមិនសមហេតុផលមួយត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបំបែកភាគីទាំងពីររបស់វា។ ហើយ​ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ហើយ នោះ​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​កាត់​ឫស​ខាងក្រៅ​ចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម។

ពិចារណាមួយទៀត។
2х+vх−3=0
ជា​ការ​ពិត​ណាស់ សមីការ​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​ដោយ​ប្រើ​សមីការ​ដូច​គ្នា​នឹង​សមីការ​មុន។ ផ្លាស់ទីសមាសធាតុ សមីការដែល​មិន​មាន​ឫស​ការ៉េ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ប្រើ​វិធី​ការ៉េ។ ដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផល និងឫសគល់។ ប៉ុន្តែ​ក៏​មួយ​ទៀត​ដែល​ស្រស់​ស្អាត​ជាង​។ បញ្ចូលអថេរថ្មី; vx=y. ដូច្នោះហើយ អ្នកនឹងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ 2y2+y-3=0។ នោះគឺសមីការការ៉េធម្មតា។ ស្វែងរកឫសរបស់វា; y1=1 និង y2=-3/2 ។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយពីរ សមីការ vх=1; vх=-3/2 ។ សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ ពីដំបូងយើងរកឃើញថា x=1។ កុំភ្លេចពិនិត្យមើលឫស។

ការដោះស្រាយអត្តសញ្ញាណគឺសាមញ្ញណាស់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងដូចគ្នារហូតដល់គោលដៅដែលបានកំណត់។ ដូច្នេះ ដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញ កិច្ចការនៅនឹងដៃនឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។

អ្នកនឹងត្រូវការ

• - ក្រដាស;
• - ប៊ិច។

សេចក្តីណែនាំ

ភាពសាមញ្ញបំផុតនៃការបំប្លែងបែបនេះគឺគុណលេខអក្សរកាត់ពិជគណិត (ដូចជាការេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) គូបនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា)) ។ លើសពីនេះទៀតមានរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាច្រើនដែលសំខាន់គឺអត្តសញ្ញាណដូចគ្នា។

ជាការពិតណាស់ ការេនៃផលបូកនៃពាក្យទាំងពីរគឺស្មើនឹងការេនៃទីមួយបូកពីរដងនៃផលគុណទីមួយដោយទីពីរ និងបូកការេនៃទីពីរ នោះគឺ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab+ba+b ^2=a^2+2ab+b^2។

សម្រួលទាំងពីរ

គោលការណ៍ទូទៅនៃដំណោះស្រាយ

ធ្វើម្តងទៀតពីសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង ថាតើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាអ្វី។ ដូចដែលគេដឹង ដំណោះស្រាយចំពោះអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាមុខងារដែលដេរីវេនៃនឹងផ្តល់អាំងតេក្រាលមួយ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នេះ អាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋានត្រូវបានសាងសង់។
កំណត់ដោយប្រភេទនៃអាំងតេក្រាលមួយណានៃអាំងតេក្រាលតារាងគឺសមរម្យក្នុងករណីនេះ។ វាមិនតែងតែអាចកំណត់បានភ្លាមៗនោះទេ។ ជាញឹកញយ ទម្រង់តារាងអាចកត់សម្គាល់បាន លុះត្រាតែមានការផ្លាស់ប្តូរជាច្រើន ដើម្បីសម្រួលដល់ការរួមបញ្ចូល។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអាគុយម៉ង់ជាពហុធា នោះសាកល្បងប្រើវិធីផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន សូមជំនួសពហុនាមនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងអថេរថ្មីមួយចំនួន។ ដោយផ្អែកលើទំនាក់ទំនងរវាងអថេរថ្មី និងចាស់ កំណត់ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល។ តាមរយៈការបែងចែកកន្សោមនេះ ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលថ្មីនៅក្នុង . ដូច្នេះ អ្នកនឹងទទួលបានទម្រង់ថ្មីនៃអាំងតេក្រាលមុន បិទ ឬសូម្បីតែត្រូវគ្នាទៅនឹងតារាងមួយចំនួន។

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលគឺជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីពីរ ដែលជាទម្រង់វ៉ិចទ័រនៃអាំងតេក្រាល នោះអ្នកនឹងត្រូវប្រើច្បាប់សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរពីអាំងតេក្រាលទាំងនេះទៅជាមាត្រដ្ឋាន។ ច្បាប់មួយគឺទំនាក់ទំនង Ostrogradsky-Gauss ។ ច្បាប់នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីលំហូរ rotor នៃមុខងារវ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយទៅអាំងតេក្រាលបីដងលើភាពខុសគ្នានៃវាលវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល

បន្ទាប់ពីរកឃើញ antiderivative វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដំបូង ជំនួសតម្លៃនៃដែនកំណត់ខាងលើទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ antiderivative ។ អ្នកនឹងទទួលបានលេខមួយចំនួន។ បន្ទាប់មក ដកពីលេខលទ្ធផល លេខមួយទៀតដែលទទួលបានពីដែនកំណត់ទាប ទៅជា antiderivative។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មួយនៃការរួមបញ្ចូលគឺគ្មានកំណត់ នោះនៅពេលជំនួសវាទៅក្នុងអនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី វាចាំបាច់ក្នុងការចូលទៅកាន់ដែនកំណត់ ហើយស្វែងរកអ្វីដែលកន្សោមមាននិន្នាការ។
ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានពីរវិមាត្រ ឬបីវិមាត្រ នោះអ្នកនឹងត្រូវតំណាងឱ្យដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលធរណីមាត្រ ដើម្បីយល់ពីរបៀបវាយតម្លៃអាំងតេក្រាល។ ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងករណីនៃការនិយាយថា អាំងតេក្រាលបីវិមាត្រ ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចជាយន្តហោះទាំងមូលដែលកំណត់បរិមាណដែលត្រូវបានដាក់បញ្ចូល។

លោការីតនៃចំនួនមួយ។ ន ផ្អែកលើ ក ហៅថានិទស្សន្ត X ដែលអ្នកចាំបាច់ត្រូវសាងសង់ ក ដើម្បីទទួលបានលេខ ន

បានផ្តល់ថា
,
,

ពីនិយមន័យលោការីត វាធ្វើតាមនោះ។
, i.e.
- សមភាពនេះគឺជាអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

លោការីតដល់គោល ១០ ត្រូវបានគេហៅថាលោការីតទសភាគ។ ជំនួសឱ្យ
សរសេរ
.

លោការីតទៅមូលដ្ឋាន អ៊ី ត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិនិងត្រូវបានកំណត់
.

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

លោការីតនៃការរួបរួមគឺស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយ។

លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃកត្តា។

3) លោការីតនៃកូតាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត

កត្តា
ហៅថាម៉ូឌុលនៃការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតទៅមូលដ្ឋាន ក ទៅលោការីតនៅមូលដ្ឋាន ខ .

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 2-5 ជាញឹកញាប់អាចកាត់បន្ថយលោការីតនៃកន្សោមស្មុគស្មាញទៅនឹងលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញលើលោការីត។

ឧ.

ការបំប្លែងលោការីតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាលោការីត។ ការបំប្លែងបញ្ច្រាស់ទៅជាលោការីត ត្រូវបានគេហៅថាសក្តានុពល។

ជំពូកទី 2. ធាតុនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។

1. ដែនកំណត់

ដែនកំណត់នៃមុខងារ
គឺជាចំនួនកំណត់ A ប្រសិនបើ xx 0 សម្រាប់នីមួយៗដែលបានកំណត់ទុកជាមុន
មានលេខបែបនេះ
នោះភ្លាមៗ
, នោះ។
.

អនុគមន៍​ដែល​មាន​កម្រិត​ខុស​ពី​វា​ដោយ​ចំនួន​មិន​កំណត់៖
, ដែលជាកន្លែងដែល- b.m.v. , i.e.
.

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាមុខងារ
.

ពេលខំប្រឹង
, មុខងារ y ទំនោរទៅសូន្យ៖

១.១. ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានអំពីដែនកំណត់។

ដែនកំណត់នៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃថេរនេះ។

.

ដែនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ដែនកំណត់នៃ quotient នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹង quotient នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃភាគបែងមិនសូន្យ។

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ

,
, កន្លែងណា

១.២. កំណត់ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនដែនកំណត់ទាំងអស់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលនោះទេ។ ជាញឹកញាប់ជាងនេះទៅទៀត ការគណនាដែនកំណត់ចុះមកដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ៖ ឬ។

.

2. ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។

សូមឱ្យយើងមានមុខងារ
បន្តនៅលើផ្នែក
.

អាគុយម៉ង់ ទទួលបានការកើនឡើងខ្លះ
. បន្ទាប់មកមុខងារនឹងទទួលបានការកើនឡើង
.

តម្លៃអាគុយម៉ង់ ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមុខងារ
.

តម្លៃអាគុយម៉ង់
ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមុខងារ។

ដូច្នេះ, ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនេះនៅ
. ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន នោះវាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ 3 ដេរីវេនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ដោយអាគុយម៉ង់ ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។
អាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ

; ; ; .

និយមន័យ 4 ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។

២.១. អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។

ចូរយើងពិចារណាចលនា rectilinear នៃរាងកាយរឹងមួយចំនួនឬចំណុចសម្ភារៈ។

អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងពេលវេលា ចំណុចផ្លាស់ទី
គឺនៅចម្ងាយ ពីទីតាំងចាប់ផ្តើម
.

បន្ទាប់ពីមួយរយៈ
នាងបានផ្លាស់ប្តូរចម្ងាយ
. អាកប្បកិរិយា =- ល្បឿនមធ្យមនៃចំណុចសម្ភារៈ
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនេះដោយគិតគូរពីនោះ។
.

អាស្រ័យហេតុនេះ ការកំណត់ល្បឿនភ្លាមៗនៃចលនានៃចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃផ្លូវដោយគោរពតាមពេលវេលា។

២.២. តម្លៃធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានមុខងារដែលបានកំណត់ក្រាហ្វិក
.

អង្ករ។ 1. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកចំណុច
នឹងផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង ខិតជិតចំណុច
.

ដូច្នេះ
, i.e. តម្លៃនៃដេរីវេសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់ ជាលេខស្មើនឹងតង់ហ្សង់នៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស
.

២.៣. តារាងនៃរូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋាន។

មុខងារថាមពល

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មុខងារលោការីត

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

២.៤. ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ដេរីវេនៃ

ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ

ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

២.៥. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
ដែលវាអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់

និង
ដែលជាកន្លែងដែលអថេរ នោះគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម និងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹង x ។

ឧទាហរណ៍ ១.

ឧទាហរណ៍ ២.

3. មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សូមឱ្យមាន
ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។
និងអនុញ្ញាតឱ្យ នៅ មុខងារនេះមានដេរីវេ

,

បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរបាន។

(1),

កន្លែងណា - បរិមាណមិនកំណត់,

តាំងពីពេលណា

គុណគ្រប់លក្ខខណ្ឌនៃសមភាព (១) ដោយ
យើងមាន៖

កន្លែងណា
- b.m.v. លំដាប់ខ្ពស់ជាង។

មាត្រដ្ឋាន
ហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ
និងត្រូវបានកំណត់

.

៣.១. តម្លៃធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
.

រូប ២. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

.

ជាក់ស្តែងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ
គឺស្មើនឹងការបង្កើនចំនួនតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

៣.២. ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗ។

ប្រសិនបើមាន
, បន្ទាប់មក
ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 1 ។

ដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 2 ហើយត្រូវបានសរសេរ
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ទី n នៃអនុគមន៍
ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃលំដាប់ទី (n-1) ហើយត្រូវបានសរសេរ៖

.

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។

.

.

3.3 ការដោះស្រាយបញ្ហាជីវសាស្រ្តដោយប្រើភាពខុសគ្នា។

កិច្ចការទី 1 ។ ការសិក្សាបានបង្ហាញថាការរីកលូតលាស់នៃអាណានិគមនៃ microorganisms គោរពច្បាប់
, កន្លែងណា ន - ចំនួនអតិសុខុមប្រាណ (គិតជាពាន់), t - ពេលវេលា (ថ្ងៃ) ។

ខ) តើចំនួនប្រជាជននៃអាណានិគមនឹងកើនឡើង ឬថយចុះក្នុងអំឡុងពេលនេះដែរឬទេ?

ចម្លើយ។ ទំហំនៃអាណានិគមនឹងកើនឡើង។

កិច្ចការទី 2. ទឹកនៅក្នុងបឹងត្រូវបានធ្វើតេស្តជាទៀងទាត់ ដើម្បីតាមដានមាតិកានៃបាក់តេរីបង្កជំងឺ។ តាមរយៈ t ប៉ុន្មានថ្ងៃបន្ទាប់ពីការធ្វើតេស្ត ការប្រមូលផ្តុំបាក់តេរីត្រូវបានកំណត់ដោយសមាមាត្រ

.

តើនៅពេលណាដែលបឹងមានកំហាប់បាក់តេរីអប្បបរមា ហើយតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការហែលនៅក្នុងវា?

ដំណោះ​ស្រាយ៖ អនុគមន៍​មួយ​ឡើង​ដល់​អតិបរិមា ឬ​នាទី​នៅ​ពេល​ដេរីវេ​របស់​វា​គឺ​សូន្យ។

,

ចូរ​កំណត់​អតិបរមា ឬ​អប្បបរមា​នឹង​មាន​ក្នុង​រយៈពេល 6 ថ្ងៃ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ចូរយើងយកដេរីវេទី 2 ។

ចម្លើយ៖ បន្ទាប់ពី 6 ថ្ងៃវានឹងមានកំហាប់បាក់តេរីអប្បបរមា។