\(\blacktriangleright\) Sirge ja tasandi vaheline nurk on nurk sirge ja selle projektsiooni vahel sellele tasapinnale (st see on nurk \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) Sirge \(a\) ja tasapinna \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) vahelise nurga leidmiseks vajate:
1. samm: tõmmake mingist punktist \(A\in a\) rist \(AO\) tasapinnaga \(\phi\) (\(O\) on risti alus);
2. samm: siis \(BO\) on kalde \(AB\) projektsioon tasapinnale \(\phi\) ;
3. samm: siis on sirge \(a\) ja tasapinna \(\phi\) vaheline nurk võrdne \(\angle ABO\) .
Ülesanne 1 #2850
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Sirge \(l\) lõikub tasapinnaga \(\alpha\) . Sirgele \(l\) on märgitud lõik \(AB=25\) ja on teada, et selle lõigu projektsioon tasapinnale \(\alpha\) võrdub \(24\) . Leidke sirge \(l\) ja tasandi \(\alpha\) vahelise nurga siinus
Vaatame pilti:
Olgu \(A_1B_1=24\) \(AB\) projektsioon tasapinnale \(\alpha\), mis tähendab \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Kuna kaks tasapinnaga risti asetsevat sirget asuvad samal tasapinnal, siis \(A_1ABB_1\) – ristkülikukujuline trapets. Teeme \(AH\perp BB_1\) . Seejärel \(AH=A_1B_1=24\) . Seetõttu märgime Pythagorase teoreemi järgi ka, et sirge ja tasapinna vaheline nurk on nurk sirge ja selle projektsiooni vahel tasapinnale, seega on soovitud nurk nurk \(AB\) ja \(A_1B_1 \) . Kuna \(AH\paralleel A_1B_1\) , siis nurk \(AB\) ja \(A_1B_1\) on võrdne nurgaga \(AB\) ja \(AH\) vahel.
Siis \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Vastus: 0,28
Ülesanne 2 #2851
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
\(ABC\) – korrapärane kolmnurk küljega \(3\) on \(O\) punkt, mis asub väljaspool kolmnurga tasapinda ja \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Leidke nurk, mille moodustavad sirged \(OA, OB, OC\) kolmnurga tasapinnaga. Esitage oma vastus kraadides.
Joonistame kolmnurga tasapinnaga risti \(OH\).
Mõelgem \(\kolmnurk OAH, \kolmnurk OBH, \kolmnurk OCH\). Need on ristkülikukujulised ning jala ja hüpotenuusiga võrdsed. Seetõttu \(AH=BH=CH\) . See tähendab, et \(H\) on punkt, mis asub kolmnurga \(ABC\) tippudest samal kaugusel. Järelikult on \(H\) selle ümber piiritletud ringi keskpunkt. Kuna \(\kolmnurk ABC\) on õige, siis \(H\) on mediaanide (need on ka kõrgused ja poolitajad) lõikepunkt.
Kuna sirge ja tasapinna vaheline nurk on nurk sirge ja selle projektsiooni vahel sellele tasapinnale ning \(AH\) on \(AO\) projektsioon kolmnurga tasapinnale, siis nurk \( AO\) ja kolmnurga tasapind on võrdne \( \angle OAH\) .
Olgu \(AA_1\) \(\kolmnurga ABC\) mediaan, seega \
Kuna mediaanid jagatakse lõikepunktiga suhtega \(2:1\) , lugedes tipust, siis \ Siis ristkülikukujulisest \(\kolmnurk OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Pange tähele, et kolmnurkade võrdsusest \(OAH, OBH, OCH\) järeldub, et \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).
Vastus: 60
Ülesanne 3 #2852
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Sirge \(l\) on risti tasapinnaga \(\pi\) . Sirge \(p\) ei asu tasapinnal \(\pi\) ega ole sellega paralleelne ega paralleelne sirgega \(l\). Leidke sirgete \(p\) ja \(l\) ning sirge \(p\) ja tasapinna \(\pi\) vaheliste nurkade summa. Esitage oma vastus kraadides.
Tingimusest tuleneb, et sirge \(p\) lõikub tasapinnaga \(\pi\) . Olgu \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Siis \(\angle POL\) on nurk joonte \(p\) ja \(l\) vahel.
Kuna sirge ja tasapinna vaheline nurk on nurk sirge ja selle projektsiooni vahel sellele tasapinnale, siis \(\angle OPL\) on nurk \(p\) ja \(\pi\) vahel. Pange tähele, et \(\triangle OPL\) on ristkülikukujuline ja \(\angle L=90^\circ\) . Kuna teravnurkade summa täisnurkne kolmnurk on võrdne \(90^\circ\) , siis \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).
Kommenteeri.
Kui sirge \(p\) ei lõiku sirgega \(l\), siis joonistame sirge \(p"\paralleel p\), mis lõikub \(l\). Seejärel nurk sirge \(p\) vahel ) ja \(l\ ) on võrdsed nurgaga \(p"\) ja \(l\) vahel. Sarnaselt on nurk \(p\) ja \(\pi\) vahel võrdne nurgaga \(p"\) ja \(\pi\) vahel. Ja sirge \(p"\) eelmine lahendus on juba õige.
Vastus: 90
Ülesanne 4 #2905
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kuup. Punkt \(N\) on serva \(BB_1\) keskpunkt ja punkt \(M\) on lõigu \(BD\) keskpunkt. Leidke \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , kus \(\alpha\) on nurk \(MN\) sisaldava sirge ja tasapinna \((A_1B_1C_1D_1)\) vahel. Esitage oma vastus kraadides.
\(NM\) – keskmine joon kolmnurgas \(DBB_1\) , siis \(NM \parallel B_1D\) ja \(\alpha\) on võrdne nurgaga \(B_1D\) ja tasapinna \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Kuna \(DD_1\) on risti tasapinnaga \(A_1B_1C_1D_1\) , siis \(B_1D_1\) on \(B_1D\) projektsioon tasapinnale \((A_1B_1C_1D_1)\) ja nurk \(B_1D\) vahel ) ja tasapind \( (A_1B_1C_1D_1)\) on nurk väärtuste \(B_1D\) ja \(B_1D_1\) vahel.
Olgu kuubi serv \(x\), siis Pythagorase teoreemi järgi \ Kolmnurga \(B_1D_1D\) nurga puutuja \(B_1D\) ja \(B_1D_1\) on võrdne \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), kus \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Vastus: 0,5
Ülesanne 5 #2906
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kuup. Punkt \(N\) on serva \(BB_1\) keskpunkt ja punkt \(M\) jagab lõigu \(BD\) suhtega \(1:2\) , lugedes tipust \(B\) . Leidke \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , kus \(\alpha\) on nurk \(MN\) sisaldava sirge ja tasapinna \((ABC)\) vahel. Esitage oma vastus kraadides.
Kuna \(NB\) on osa \(BB_1\) ja \(BB_1\perp (ABC)\) , siis on seda ka \(NB\perp (ABC)\) . Seetõttu on \(BM\) \(NM\) projektsioon tasapinnale \((ABC)\) . See tähendab, et nurk \(\alpha\) on võrdne \(\angle NMB\) .
Olgu kuubi serv võrdne \(x\) . Seejärel \(NB=0,5x\) . Pythagorase teoreemi järgi \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Kuna tingimuse järgi \(BM:MD=1:2\) , siis \(BM=\frac13BD\) , seega \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Seejärel ristkülikukujulisest \(\kolmnurgast NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Vastus: 8
Ülesanne 6 #2907
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
Millega võrdub \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), kui \(\alpha\) on kuubi diagonaali kaldenurk selle ühe tahu suhtes?
Soovitud nurk langeb kokku kuubi diagonaali ja selle mis tahes tahu diagonaali vahelise nurgaga, sest V sel juhul kuubi diagonaal on kaldu, näo diagonaal on selle kaldpinna projektsioon tasapinnale. Seega on soovitud nurk võrdne näiteks nurgaga \(C_1AC\) . Kui me tähistame kuubi serva kui \(x\), siis \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), siis soovitud nurga kotangensi ruut: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Vastus: 2
Ülesanne 7 #2849
Ülesande tase: keerulisem kui ühtne riigieksam
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pythagorase teoreemi järgi \
Seega \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Kuna \(OH\perp (ABC)\), siis \(OH\) on risti mis tahes sirgjoonega sellelt tasapinnalt, mis tähendab, et \(\kolmnurk OAH\) on ristkülikukujuline. Siis \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Vastus: 0,4
Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistuvatel gümnaasiumiõpilastel on kasulik õppida toime tulema jaotise “Geomeetria ruumis” ülesannetega, milles tuleb leida sirge ja tasapinna vaheline nurk. Varasemad kogemused näitavad seda sarnased ülesanded põhjustada lõpetajatele teatud raskusi. Samas tea põhiteooria ja mõistma, kuidas leida sirge ja tasapinna vaheline nurk, peaksid mõistma mis tahes koolitustasemega keskkooliõpilased. Ainult sel juhul saavad nad loota korralike hinnete saamisele.
Peamised nüansid
Nagu muud stereomeetrilised Ühtsed riigieksami ülesanded, ülesandeid, milles peate leidma sirgete ja tasandite vahelisi nurki ja kaugusi, saab lahendada kahe meetodiga: geomeetriline ja algebraline. Õpilased saavad valida endale sobivaima variandi. Vastavalt geomeetriline meetod, tuleb leida sirgjoonelt sobiv punkt, langetage sellelt risti tasapinnale ja konstrueerige projektsioon. Pärast seda peab lõpetaja rakendama ainult põhitõdesid teoreetilised teadmised ja lahendage nurga arvutamise planimeetriline ülesanne. Algebraline meetod hõlmab soovitud suuruse leidmiseks koordinaatide süsteemi kasutuselevõttu. On vaja määrata kahe sirge punkti koordinaadid, koostada õigesti tasapinna võrrand ja see lahendada.
Tõhus ettevalmistus Shkolkovoga
Et tunnid oleksid lihtsad ja ühtlased raskeid ülesandeid ei tekitanud raskusi, vali meie haridusportaal. Siin on kogu vajalik materjal edukas lõpetamine sertifitseerimise test. Õige põhiandmed leiate jaotisest "Teoreetiline teave". Ja ülesannete täitmise harjutamiseks minge lihtsalt meie matemaatikaportaali kataloogi. See jaotis sisaldab suurt valikut harjutusi erineval määral raskusi. Kataloogis ilmuvad regulaarselt uued ülesanded.
Tehke ülesandeid sirgjoone ja tasapinna vahelise nurga leidmisel või nurga all, vene koolilapsed saab Internetis Moskvas või mõnes teises linnas viibides. Kui õpilane soovib, saab mis tahes harjutuse salvestada lemmikute hulka. See võimaldab vajadusel selle kiiresti üles leida ja selle lahenduse edenemist õpetajaga arutada.
Artikkel algab sirge ja tasapinna vahelise nurga määratlusega. See artikkel näitab teile, kuidas koordinaatide meetodil leida sirge ja tasapinna vaheline nurk. Täpsemalt käsitletakse näidete ja probleemide lahendusi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esiteks on vaja korrata sirgjoone mõistet ruumis ja tasandi mõistet. Sirge ja tasapinna vahelise nurga määramiseks mitu abimääratlused. Vaatame neid määratlusi üksikasjalikumalt.
Definitsioon 1
Sirge ja tasapind ristuvad juhul, kui neil see on ühine punkt, see tähendab, et see on sirge ja tasandi lõikepunkt.
Tasapinda lõikuva sirge võib olla tasapinnaga risti.
2. definitsioon
Sirge on tasapinnaga risti kui see on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega.
3. määratlus
Punkti M projektsioon tasapinnaleγ on punkt ise, kui see asub taga antud lennuk, või on tasapinna ja joone lõikepunkt, tasapinnaga ristiγ, mis läbib punkti M, eeldusel, et see ei kuulu tasapinnale γ.
4. määratlus
Sirge a projektsioon tasapinnaleγ on antud sirge kõigi punktide projektsioonide kogum tasapinnale.
Sellest saame, et tasapinnaga γ risti oleva sirge projektsioonil on lõikepunkt. Leiame, et sirge a projektsioon on tasapinnale γ kuuluv sirge a ja tasandi lõikepunkti läbiv sirge. Vaatame allolevat joonist.
Peal Sel hetkel meil on kõik olemas vajalikku teavet ja andmed sirge ja tasandi vahelise nurga definitsiooni formuleerimiseks
Definitsioon 5
Nurk sirge ja tasapinna vahel nimetatakse nurka selle sirge ja selle projektsiooni vahel sellele tasapinnale ja sirge ei ole sellega risti.
Ülaltoodud nurga definitsioon aitab jõuda järeldusele, et sirge ja tasapinna vaheline nurk on nurk kahe ristuva sirge vahel, st antud sirge koos selle projektsiooniga tasapinnale. See tähendab, et nendevaheline nurk on alati terav. Heidame pilgu allolevale pildile.
Sirge ja tasapinna vahelist nurka loetakse täisnurkseks, st võrdseks 90 kraadiga, kuid paralleelsete sirgjoonte vahel paiknevat nurka ei määratleta. On juhtumeid, kui selle väärtus on võrdne nulliga.
Ülesannetel, kus on vaja leida sirge ja tasapinna vaheline nurk, on palju lahendusvariante. Lahenduse käik ise oleneb seisundi kohta olemasolevatest andmetest. Lahenduse sagedased kaaslased on kujundite sarnasuse või võrdsuse märgid, koosinused, siinused, nurkade puutujad. Nurga leidmine on võimalik koordinaatide meetodil. Vaatame seda üksikasjalikumalt.
Kui sisse kolmemõõtmeline ruum tutvustati ristkülikukujuline süsteem koordinaadid O x y z, siis on selles määratud sirge a, mis lõikub tasapinnaga γ punktis M ja see ei ole tasandiga risti. On vaja leida nurk α, mis asub antud sirge ja tasandi vahel.
Kõigepealt peate koordinaatide meetodil rakendama sirge ja tasapinna vahelise nurga määratlust. Siis saame järgmise.
Koordinaadisüsteemis O x y z on määratud sirge a, mis vastab ruumilise sirge võrranditele ja sirge suunamisvektorile ruumis, tasapinnale γ vastab tasandi võrrand ja normaal. tasapinna vektor. Siis a → = (a x , a y , a z) on antud sirge a suunavektor ja n → (n x , n y , n z) on tasandi γ normaalvektor. Kui kujutame ette, et meil on sirge a suunavektori koordinaadid ja tasapinna γ normaalvektori koordinaadid, siis on nende võrrandid teada, st need on tingimusega täpsustatud, siis on võimalik määrata vektorid a → ja n → võrrandi põhjal.
Nurga arvutamiseks on vaja selle nurga väärtuse saamiseks valemit teisendada, kasutades olemasolevaid sirge ja normaalvektori suunamisvektori koordinaate.
On vaja joonistada vektorid a → ja n →, alustades sirge a lõikepunktist tasapinnaga γ. Nende vektorite asukoha määramiseks antud sirgete ja tasandite suhtes on 4 võimalust. Vaadake allolevat pilti, millel on kõik 4 variatsiooni.
Siit saame, et vektorite a → ja n → vaheline nurk on tähistatud a → , n → ^ ja on terav, siis täiendatakse sirge ja tasandi vahel asuvat soovitud nurka α, st saame avaldise kujul a → , n → ^ = 90 ° - α. Kui tingimuse järgi a →, n → ^ > 90 °, siis on meil a →, n → ^ = 90 ° + α.
Siit on meil koosinused võrdsed nurgad on võrdsed, siis kirjutatakse viimased võrdsused süsteemi kujul
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Avaldiste lihtsustamiseks peate kasutama redutseerimisvalemeid. Siis saame võrdsuse tüüp cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Pärast teisenduste läbiviimist omandab süsteem tüüp pattα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Siit saame, et sirge ja tasandi vahelise nurga siinus võrdne mooduliga Sirge suunavektori ja antud tasandi normaalvektori vahelise nurga koosinus.
Kahe vektori moodustatud nurga leidmise jaotisest selgus, et see nurk võtab väärtuse punktitoode vektorid ja nende pikkuste korrutis. Sirge ja tasapinna lõikumisel saadud nurga siinuse arvutamise protsess viiakse läbi vastavalt valemile
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
See tähendab, et sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamise valem sirge suuna vektori ja tasapinna normaalvektori koordinaatidega pärast teisendust on kujul
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Tuntud siinuse koosinuse leidmine on lubatud baasarvu rakendamisel trigonomeetriline identiteet. Moodustub sirge ja tasapinna ristumiskoht terav nurk. See viitab sellele, et selle väärtus on positiivne arv, ja selle arvutus on tehtud cos valemidα = 1 - sin α.
Lahendame mitu sarnased näited materjali kinnitamiseks.
Näide 1
Leidke sirge x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 ja tasapinnaga 2 x + z - 1 = 0 moodustatud nurga nurk, siinus, koosinus.
Lahendus
Suunavektori koordinaatide saamiseks on vaja arvestada kanoonilised võrrandid otse ruumis. Siis saame, et a → = (3, - 2, 6) on sirge x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 suunavektor.
Normaalvektori koordinaatide leidmiseks on vaja arvestada üldvõrrand lennukid, kuna nende olemasolu määrab ees olevad koefitsiendid võrrandi muutujad. Siis leiame, et tasapinna 2 x + z - 1 = 0 normaalvektor on kujul n → = (2, 0, 1).
On vaja jätkata sirgjoone ja tasapinna vahelise nurga siinuse arvutamist. Selleks on vaja vektorite a → ja b → koordinaadid asendada antud valem. Saame vormi avaldise
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Siit leiame koosinuse väärtuse ja nurga enda väärtuse. Saame:
cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Vastus: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Näide 2
On püramiid, mis on ehitatud vektorite A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 väärtuste abil. Leidke sirge A D ja tasapinna A B C vaheline nurk.
Lahendus
Soovitud nurga arvutamiseks on vaja sirge suuna ja tasapinna normaalvektori koordinaate. sirge A D korral on suunavektori koordinaadid A D → = 4, 1, 1.
Normaalvektor n → , lennuk A B C on vektoriga risti A B → ja A C → . See tähendab, et tasandi A B C normaalvektorit saab käsitleda vektorprodukt vektorid A B → ja A C → . Arvutame selle valemi abil ja saame:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Soovitud nurga arvutamiseks on vaja asendada vektorite koordinaadid, moodustatud ristmikul sirge ja tasapinnaline. saame vormi avaldise:
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Vastus: a r c sin 23 21 2 .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Nurka a sirge l ja tasandi 6 vahel saab määrata lisanurga p kaudu, mis on etteantud sirge l ja antud tasapinnaga risti n, mis on tõmmatud sirge mis tahes punktist (joonis 144). Nurk P täiendab soovitud nurka a kuni 90°. Olles kindlaks teinud nurga P tegeliku väärtuse, pöörates sirge l ja risti moodustatud nurga tasapinda ja ümber sirgjoone, jääb seda täiendada täisnurk. See lisanurk annab sirge l ja tasandi 0 vahelise nurga a tegeliku väärtuse.
27. Kahe tasandi vahelise nurga määramine.
Tõeline väärtus kahetahuline nurk- kahe tasandi Q ja l vahel. - saab määrata kas projektsioonitasapinna asendamisega, et muuta kahetahulise nurga serv projektsiooniks (ülesanded 1 ja 2), või kui serv pole määratud, siis nurgana kahe ristnurga n1 ja n2 vahel, mis on tõmmatud need tasapinnad nende perpendikulaaride ruumi B suvalisest punktist M punktis M saame kaks tasapinna nurka a ja P, mis on vastavalt võrdsed kahe tasandi joonnurkadega külgnevad nurgad(kahekujuline), mille moodustavad tasapinnad q ja l. Olles määranud risti n1 ja n2 vaheliste nurkade tegeliku väärtuse, pöörates ümber nivoo sirgjoone, määrame sellega lineaarne nurk q ja l tasandite moodustatud kahetahuline nurk.
Kumerad jooned. Kõverate joonte eripunktid.
Peal keeruline joonistus kõvera eripunktid, mis hõlmavad käände-, tagasi-, katkestus- ja sõlmpunkte, on samuti selle projektsiooni eripunktid. Seda selgitab üksikud punktid kõverad on nendes punktides ühendatud puutujatega.
Kui kõvera tasapind on väljaulatuvas asendis (joon. A), siis selle kõvera üks projektsioon on sirge kujuga.
Ruumikõvera puhul on kõik selle projektsioonid kõverjooned (joonis 1). b).
Et määrata jooniselt, milline kõver on antud (tasapind või ruumiline), tuleb välja selgitada, kas kõik kõvera punktid kuuluvad samasse tasapinda. Määratud joonisel fig. b kõver on ruumiline, alates punktist D kõver ei kuulu veel kolme punktiga määratletud tasapinnale A, B Ja E see kõver.
Ringjoon - teist järku tasapinnaline kõver, mille ortogonaalprojektsioon võib olla ring ja ellips
Silindriline spiraalne joon (spiraaljoon) on ruumiline kõver, mis kujutab spiraalset liikumist sooritava punkti trajektoori. 
29.Lamedad ja ruumilised kõverjooned.
Vaata küsimust 28
30. Keeruline pinnajoonistus. Põhisätted.
Pind on ruumis liikuvate joonte järjestikuste asukohtade kogum. See joon võib olla sirge või kõver ja seda nimetatakse generatrix pinnad. Kui generatriks on kõver, võib sellel olla konstant või muutuv vaade. Generatrix liigub kaasa juhendid, mis esindavad generaatoritest erineva suunaga jooni. Juhtjooned määravad generaatorite liikumisseaduse. Liigutades generaatorit mööda juhikuid, a raami pind (joonis 84), mis kujutab endast generatriksi ja juhikute mitme järjestikuse positsiooni kogumit. Raami uurides võib veenduda, et generaatorid l ja juhendid T saab vahetada, kuid pind jääb samaks.
Mis tahes pinda saab saada mitmel viisil.
Sõltuvalt generatrixi kujust võib kõik pinnad jagada valitses, millel on generatiivne sirgjoon ja valitsemata, millel on moodustav kõverjoon.
Arendatavad pinnad hõlmavad kõigi polüeedrite, silindriliste, kooniliste ja torsopindade pindu. Kõik muud pinnad on arendamatud. Mittejoonitud pindadel võib olla konstantse kujuga generatriks (pöördepinnad ja torupinnad) ja muutuva kujuga generatriks (kanali- ja raamipinnad).
Keerulise joonise pinda täpsustatakse selle determinandi geomeetrilise osa projektsioonidega, mis näitab selle generaatorite konstrueerimise meetodit. Pinna joonisel on mis tahes ruumipunkti puhul üheselt lahendatud küsimus, kas see kuulub antud pinnale. Pinnamääraja elementide graafiline täpsustamine tagab joonise pööratavuse, kuid ei muuda seda visuaalseks. Selguse huvides kasutavad nad üsna tiheda generatrite raami projektsioonide konstrueerimist ja pinna piirjoonte konstrueerimist (joonis 86). Pinna Q projitseerimisel projektsioonitasapinnale puudutavad eenduvad kiired seda pinda punktides, mis moodustavad sellel kindla joone l, mida nimetatakse kontuur rida. Kontuurjoone projektsiooni nimetatakse essee pinnad. Keerulisel joonisel on igal pinnal: P 1 - horisontaalne piirjoon, P 2-l - frontaalkontuur, P 3-l - pinna profiilkontuur. Eskiis sisaldab lisaks kontuurjoone projektsioonidele ka lõikejoonte projektsioone.
Figuuri tasapinnale projektsiooni mõiste
Sirge ja tasapinna vahelise nurga mõiste tutvustamiseks peate kõigepealt mõistma sellist mõistet nagu suvalise kujundi projektsioon tasapinnale.
Definitsioon 1
Olgu meile antud suvaline punkt $A$. Punkti $A_1$ nimetatakse punkti $A$ projektsiooniks tasapinnale $\alpha $, kui see on punktist $A$ tasandile $\alpha $ tõmmatud risti alus (joonis 1).
Joonis 1. Punkti projekteerimine tasapinnale
2. definitsioon
Olgu meile antud suvaline arv $F$. Kujundit $F_1$ nimetatakse kujundi $F$ projektsiooniks tasapinnale $\alpha $, mis koosneb kujundi $F$ kõikide punktide projektsioonidest tasapinnale $\alpha $ (joonis 2).
Joonis 2. Figuuri projektsioon tasapinnale
1. teoreem
Projektsioon, mis ei ole risti sirge tasapinnaga, on sirgjoon.
Tõestus.
Olgu meile antud tasapind $\alpha $ ja sellega ristuv sirge $d$, mitte sellega risti. Valime sirgel $d$ punkt $M$ ja joonistame selle projektsioon $H$ tasapinnale $\alpha $. Sirge $(MH)$ kaudu joonistame tasapinna $\beta $. Ilmselgelt on see tasapind $\alpha $ tasapinnaga risti. Laske neil ristuda piki sirget $m$. Mõelgem suvaline punkt$M_1$ joonelt $d$ ja tõmmake selle kaudu joon $(M_1H_1$) paralleelselt sirgega $(MH)$ (joonis 3).
Joonis 3.
Kuna tasand $\beta $ on risti tasapinnaga $\alpha $, siis $M_1H_1$ on risti sirgega $m$, st punkt $H_1$ on punkti $M_1$ projektsioon lennuk $\alpha $. Punkti $M_1$ valiku meelevaldsuse tõttu projitseeritakse joone $d$ kõik punktid joonele $m$.
Põhjendades sarnaselt. IN vastupidises järjekorras, saame, et iga punkt sirgel $m$ on mingi punkti projektsioon sirgel $d$.
See tähendab, et joon $d$ projitseeritakse joonele $m$.
Teoreem on tõestatud.
Sirge ja tasapinna vahelise nurga mõiste
3. määratlus
Tasapinda lõikuva sirge ja selle sellele tasapinnale projektsiooni vahelist nurka nimetatakse sirge ja tasandi vaheliseks nurgaks (joonis 4).
Joonis 4. Nurk sirge ja tasandi vahel
Teeme siin paar märkust.
Märkus 1
Kui joon on tasapinnaga risti. Siis on sirge ja tasapinna vaheline nurk $90^\circ$.
Märkus 2
Kui joon on paralleelne või asub tasapinnal. Siis on sirge ja tasapinna vaheline nurk $0^\circ$.
Näidisprobleemid
Näide 1
Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$ ja punkt $M$, mis ei asu rööpküliku tasapinnal. Tõesta, et kolmnurgad $AMB$ ja $MBC$ on täisnurksed, kui punkt $B$ on punkti $M$ projektsioon rööpkülikutasandile.
Tõestus.
Kujutame probleemiseisundit joonisel (joonis 5).
Joonis 5.
Kuna punkt $B$ on punkti $M$ projektsioon tasapinnale $(ABC)$, siis sirge $(MB)$ on risti tasapinnaga $(ABC)$. Märkuse 1 põhjal leiame, et sirge $(MB)$ ja tasandi $(ABC)$ vaheline nurk on võrdne $90^\circ$. Seega
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
See tähendab, et kolmnurgad $AMB$ ja $MBC$ on täisnurksed kolmnurgad.
Näide 2
Antud lennuk $\alpha $. Selle tasapinnaga on nurga $\varphi $ joonestatud segment, mille algus asub sellel tasapinnal. Selle segmendi projektsioon on poole väiksem segmendi enda suurusest. Leidke $\varphi$ väärtus.
Lahendus.
Vaadake joonist 6.
Joonis 6.
Tingimuste järgi on meil
Kuna kolmnurk $BCD$ on täisnurkne, siis koosinuse definitsiooni järgi
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]